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Área: Matemáticas Octavo Tema: Factorización. Guía N° 2Profesor: Luis H. Cuesta Perea Fecha de Entrega: _________________

FACTORIZACIÓN Indicadores de desempeño:

Aplica los diferentes casos de factorización para reducir expresiones algebraicas. Factoriza expresiones algebraicas aplicando el factor común.

FACTORIZACION DE POLINOMIOS

En la experiencia de repaso anterior vimos que el polinomio 4a2b2 - 9c4 puede escribirse como el producto de los polinomios (2ab - 3c2) y (2ab + 3c2); es decir, 4a2b2 - 9c4 = (2ab - 3c2) (2ab + 3c2)

Al proceso de expresar un polinomio como el producto de dos o más polinomios o potencia de otro polinomio se le denomina FACTORIZACION.

Como a2 - 9 = (a + 3)(a - 3) entonces a + 3 y a - 3 son factores de a2 - 9Como a4 + a3 - 6a2 = a2( a + 3 )( a - 2 ) entonces a2, a + 3 y a - 2 son a4 + a3 - 6a2.

Como x2 - 4x + 4 = (x - 2)2 entonces x - 2 es un FACTOR de multiplicidad 2 de x2 – 4x +4.

Numerosos problemas del álgebra y de la matemática en general se simplifican al realizar una adecuada factorización de las expresiones que intervienen en él.

APRENDAMOSDEFINICIÓN DE FACTORIZACION.FACTORIZAR un polinomio en un cierto conjunto numérico es obtener otros polinomios coeficientes pertenecen al conjunto numérico indicado y cuyo producto sea igual al polinomio

1. Antes de factorizar un polinomio es muy importante definir en cuál conjunto lo estamos haciendo: si en N, en Z, en Q o en R. Por ejemplo si nos piden factorizar el polinomio x 2 - 5 es necesario precisar en cuál conjunto lo queremos hacer. Este polinomio no es factorizable en N, ni en Z, ni en Q, pero si en R. en efecto: x2 - 5 = (x + )(x - ).

Es decir, x2 - 5 es un polinomio con coeficientes racionales, pero no es factorizable en los racionales, ya que sus factores x + y x - no tienen TODOS sus coeficientes en el conjunto Q de los números racionales (¿por qué?).

2. Cuando un polinomio no puede factorizarse en un determinado conjunto numérico se dice es PRIMO en dicho conjunto numérico.

3. Mientras no se indique lo contrario, factorizaremos los polinomios en el conjunto Q de los números racionales.

4. Las propiedades algebraicas más utilizadas en el proceso de factorización son:La propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma. Las propiedades asociativas de la suma y el producto, Los productos notables estudiados en la unidad anterior.

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Ejemplo: El polinomio x2 - 2 es PRIMO en el conjunto de los números racionales, ya que no podemos escribirlo como producto de dos polinomios que tengan coeficientes racionales; sin embargo, en los REALES sí es factorizable ya que: x2-2 = (x + )(x - )

FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMÚNObserva esto: Escuchemos el diálogo de Andrés y Carolina:

Andrés: El polinomio 4x2y - 4x3z + 4x5 tiene FACTORES REPETIDOS o COMUNES: Uno es numérico y el otro literal. ¿Cuáles son?

Carolina: Fácil, el numérico es 4 y el literal es x

Andrés: ¿Cuál es el menor exponente al que está elevado el factor común literal?

Carolina: Es 2; es decir, el factor común literal es x2. Esto significa que el factor común del polinomio es 4x2.

Andrés: ¿Podemos escribir 4x2y - 4x3z + 4x5 como el producto del factor común 4x2 con otro factor? ¿Con cuál factor?

Carolina:¡Claro! Observa: 4x2y - 4x3z + 4x5 = 4x2 (y - xz + x3)

¿Cómo hizo Carolina para factorizar el polinomio 4x2y - 4x3z + 4x5 ?. Observemos: " Primero identificó el factor común numérico y el factor común literal; así:

NUMÉRICO: 4 FACTOR COMÚN LITERAL x2

Luego, el FACTOR COMÚN del polinomio dado es 4x2

A continuación, dividió cada término del polinomio entre el factor común; así:(4x2y - 4x3z + 4x5) ÷ 4x2 = y - xz + x3

Por lo tanto: 4x2y - 4x3z + 4x5 = 4x2(y - xz + x3)

Notemos que el factor común del polinomio se obtiene formando el producto de los REPETIDOS Y ELEVADOS AL MENOR EXPONENTE; es decir, hallando el máximo común (M.C.D.) de los términos del polinomio.

APRENDAMOSDEFINICIÓN DE FACTOR COMUN.

El FACTOR COMUN de un polinomio es el máximo común divisor (m.C.D.) de los términos del polinomio.

Para obtener el otro factor DIVIDIMOS el polinomio dado por el factor común.

Ejemplo 1: Hallemos el factor común y factoricemos el polinomio 6x2 - 2x3y.Solución: El factor común de 6x2 - 2x3y es el M.C.D. de los términos del polinomio. Veamos:

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Por lo tanto, el factor común es 2x2.

Ahora dividimos el polinomio dado entre el factor común para obtener el otro factor:(6x2 - 2x3y) ÷ 2x2 = 3 – xy

En consecuencia: 6x2 - 2x3y = 2x2(3 - xy)

Ejemplo 2: Factoricemos 8m2n - 4mn + 20m3n2

Solución: Este polinomio tiene factores comunes numéricos y literales, veamos cuál es el factor común:

Luego, el factor común es 4mn.

Si dividimos el polinomio entre el factor común nos queda 2m - 1 + 5m2n (¡comprobarlo!). Por lo tanto:

8m2n- 4mn + 20m3n2 = 4mn (2m – 1 + 5m2n).

El siguiente ejemplo nos muestra que el factor común puede ser no sólo un monomio sino también binomio o un polinomio. Veamos:

Ejemplo 3: Factoricemos: a( x + y ) + b( x + y ).

Solución: Este polinomio tiene dos términos: a(x + y) y b(x + y). Estos dos términos tienen un factor común: (x + y).

Por lo tanto: a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b).

También es posible factorizar algunos polinomios agrupando sus términos de manera conveniente, y obtener resultados parecidos a los del ejemplo anterior. Veamos:

Ejemplo 4: Factoricemos el polinomio: mx + ny + nx + my Solución: Podemos factorizar agrupando de dos formas:

PRIMERA FORMA mx + ny + nx + my = (mx + nx ) + (ny + my) = x(m + n) + y(n + m)

Observemos que aún no hemos factorizado porque sigue habiendo una suma; sin embargo, tenemos un factor común: (m + n). Por lo tanto: mx + ny + nx + my = x(m + n) + y(m + n) = (m + n)(x + y)

SEGUNDA FORMA mx + ny + nx + my = (mx 4- my) + (ny + nx) = m(x + y) + n(y + x) = (x + y)(m + n)

Notemos que de cualquier manera, el resultado de la factorización es el mismo. En general, cuando polinomio puede ser factorizado de dos o más formas distintas, el resultado siempre es el mismo.

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Ejemplo 5: Factoricemos en Z, el polinomio 7x – 3y. Solución: La única factorización posible en Z es 1 (7x - 3y); por lo tanto, como los ÚNICOS factores son 1 y el mismo polinomio 7x - 3y, entonces el polinomio es PRIMO en Z.

APRENDAMOSUn polinomio es PRIMO, en un conjunto dado, cuando sus ÚNICOS factores son 1 y él mismo.

En un conjunto dado, un polinomio tiene factorización única o es primo. PREGUNTA: Si del polinomio 7x - 3y nos pidieran sacar el factor 7 o el factor 3, ¿cómo lo haríamos?

TALLEREn los ejercicios del 1 al 21, factoriza cada polinomio en el conjunto Q de los números racionales:1. 3x + 3y 2. 5m2n + 10a2 3. pq - 5qr4. 6m2 - 3mn 5. 7x2y2 - 14x2y 6. 12ab + 18ab2

7. 24p2q2 - 12pq 8. -6x2yz - 3xyz 9. 3x2 - 9

10. 11. 14m2n - 2n 12. 5ab2 - 7a2b

13. 3x2m2 + 24x2m + 6xm2 14. -5a2b + 20ab2 15. 3x3y2 + 9x2y2 - 27xy 16. 5xyz2 - 10xy2z - 25x2yz 17. 16a2bc + 4ab2c - 8abc2 18. 18a3b - 9a2b + 27 a2b3 19. 26x4 -39x3m + 13x3 20. 51m2n2 - 34mn2 - 17mn 21. 24p2q3 - 9pq2 + 18p3q

En los ejercicios 22 a 29, factoriza cada polinomio en el conjunto Q de los números racional sacando un factor común binomio o trinomio22. a(x + y) + b(x + y) 23. 3p(2a + 3) - 5q(2a + 3) 24. 9x2(a2 + 2b) - 12xy(a2 + 2b) 25. 5a(2 - 7b) + 8ab(2 - 7b) 26. a(x3 + y3 + z3) - b(x3 + y3 + z3) 27. 3(x + 3y) + p(x + 3y) 28. 2(x - 2y) + m(x - 2y) 29. 3a(a - 1) - 2b(a - 1) + c(a - 1)

En los ejercicios 30 a 37, es necesario agrupar algunos términos antes de factorizar.30. a(x + y) – x – 3 + 5(x + 3) 31. (x + y – 1)(x2 + 1) – x2 – 1 32. (2 - a)(5 + x) - 3(2 - a) - 2 + a 33. p(x + y)2 - x2 - 2xy - y2

34. xz + yw - yz - xw 35. abc + adf + adc + abf 36. a - b + x(b - a) – cxb + cxa 37. (a + b)2 - (2 - a)(a + b) + (a – b)(a + b)2 .

DIVIERTETE MIENTRAS PIENSASSi agregamos un uno (1) a la izquierda y otro uno (1) a la derecha de número de dos dígitos, este se incrementa en 1226. ¿De cuál número dos dígitos estamos hablando?.