Graficando Funciones Cuadráticas

7/26/2019 Graficando Funciones Cuadrticas

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Graficando Funciones Cuadrticas

Objetivos de Aprendizaje

Graficar ecuaciones cuadrticas en el eje de coordenadas.

Definir e identificar las races de una ecuacin cuadrtica.

Introduccin

Adems de las funciones lineales,uno de los tipos ms comunes de funcionespolinomiales con las que trabajamos en el lgebra es la funcin cuadrtica. Unafuncin cuadrtica es una funcin que puede ser descrita por una ecuacin de la forma y= ax2 bx c, donde a! ". #ing$n t%rmino en la funcin polinomial tiene un grado ma&orque 2. 'as funciones cuadrticas son $tiles cuando trabajamos con reas, &frecuentemente aparecen en problemas de mo(imiento que implican gra(edad o

aceleracin.

'as grficas de las funciones cuadrticas tienen caractersticas que estn estrec)amenterelacionadas con su forma simblica. A medida que e*ploremos estas grficas,aprenderemos a identificar estas caractersticas, & (eremos algunas de las maneras deestructurar las ecuaciones cuadrticas.

Graficando con Puntos

Una funcin cuadrtica es un polinomio de grado 2, es decir, el e*ponente ms alto en la(ariable es 2. 'os siguientes son ejemplos de funciones cuadrticas+

'a funcin cuadrtica ms bsica & simple tiene la ecuacin . i )acemos una tablacon los (alores de estafuncin,(emos que el rango-los (alores de y, o salida no secomportan como una funcin lineal. /n una funcin lineal, el (alor de ycambia por lamisma cantidad cada (e0 que el (alor dexaumenta por 1. /so no sucede con una funcincuadrtica+

x y= x

3 4
http://void%280%29/http://void%280%29/http://void%280%29/http://void%280%29/http://void%280%29/http://void%280%29/http://void%280%29/http://void%280%29/http://void%280%29/http://void%280%29/http://void%280%29/http://void%280%29/http://void%280%29/http://void%280%29/http://void%280%29/


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2 5

1 1

" "

1 1

2 5

3 4

'os (alores de yno cambian por una cantidad constante. Grafiquemos algunos puntospara (er cmo se (era la funcin+


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Despu%s de graficar algunos puntos, podra ser tentador conectar los puntos consegmentos de lnea, que son rectos. 6ero esto estara mal, & producira un patrn que norepresenta la funcin.

7orremos esas lneas rectas & grafiquemos el resto de los puntos+

A)ora dibujamos una curva suaveconectando los puntos.

89ejor: Una funcin cuadrtica resulta en una grfica con forma de U, llamada parbola.'os (alores de la funcin cambian sua(emente, por lo que la cur(a debe ser sua(etambi%n. A)ora que podemos (er la naturale0a de la parbola -forma de U, (eamos suforma en detalle.

Caracter!sticas de una Parbola
http://void%280%29/http://void%280%29/


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'a forma estndar de una ecuacin cuadrtica es . 6or ejemplo ,el (alor del coeficienteaes 1, & b& cson ". i bien muc)as ecuaciones cuadrticaspresentan (alores de b& cdiferentes de cero, la grfica resultante siempre ser unaparbola.

'as parbolas tienen muc)as propiedades que pueden a&udarnos a graficar ecuacionescuadrticas. Una parbola tiene un punto especial llamado v"rtice; este es el puntodonde la U


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>uando ase aleja de " en cualquier direccin la parbola se (uel(e ms delgada.>onsecuentemente, cuando ase acerca a ", la parbola se )ace ms anc)a -)asta quese con(ierte en una lnea recta cuando a= ". A (eces comparamos una parbola con la

grfica de . >uando EaE C 1, la parbola es ms anc)a que & cuando EaE 1,

la parbola es ms delgada que . Fntenta con la grfica interacti(a, usando (alores

como a= 2 oa =3, & a= ".2 o a= ".5.

>ul de las siguientes ecuaciones cuadrticas es una parbola que abre )acia abajoH

1.

2.

3.

5.

A 1 & 3

7 2 & 5

> 3

D 2

Mostrar/Ocultar la Respuesta

A Fncorrecto. /n , el coeficiente de es 3, & en ,el coeficiente es 444. /n ambos casos, el (alor de aes positi(o. /stas parbolas abren)acia arriba. 'a respuesta correcta es 7.

7 >orrecto. /n , el coeficiente de es ".2I, lo que significa que el

(alor de a es negati(o. /n , despu%s de multiplicar los t%rminos

factori0ados, la ecuacin cuadrtica en su forma estndar es . /lcoeficiente atiene un (alor negati(o -1. Ambas parbolas abrirn )acia abajo.

> Fncorrecto. /n , aes igual a 444 el cual es positi(o. 'aparbola abrir )acia arriba. 'a respuesta correcta es 7.

D Fncorrecto. 'a ecuacin 2, , tiene un (alor negati(o para a, por lo que

abrir )acia abajo. 6ero la ecuacin 5, , resulta en . /lcoeficiente atiene un (alor de 1. /sta parbola tambi%n abrir )acia abajo. 'a


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respuesta correcta es 7.

Graficando la Parbola usando el #"rtice $ el %je de &imetr!a

6ara una funcin cuadrtica y= ax2 bx c, la coordenadaxdel (%rtice es siempre .>omo el eje de simetra siempre pasa por el (%rtice, significa que el eje de simetra es una

lnea (ertical . >ambia los (alores de a& ben la grfica siguiente para (er dndeestn el (%rtice & la lnea de simetra.

emos (isto cmo graficar una ecuacin cuadrtica dibujando los (alores de x& y&conectndolos con una cur(a sua(e. Jtra forma de graficar una parbola es usando loque sabemos sobre el (%rtice & el eje de simetra. abemos que el (%rtice es el puntodonde la parbola cambia de direccin. K sabemos que cada punto de un lado del eje desimetra tiene un punto equi(alente en el otro lado, a la misma distancia del eje & con lamisma coordenada y. i encontramos el (%rtice & algunos puntos de un lado, tendremostodo lo necesario para dibujar una grfica.

%jemplo

Problema

'sar el v"rtice $ el eje de simetr!a para

graficar (

>omo el coeficientex2es positi(o, laparbola abre )acia

arriba

6ara encontrar el(%rtice, encontrar los(alores de a & b.


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a= 2

b= 2

on los coeficientesde los t%rminosx2&xcuando la ecuacincuadrtica se escribeen su forma estndar

/ncontrar lacoordenadaxdel(%rtice sustitu&endolos (alores de a& ben la frmula del

(%rtice

/ncontrar lacoordenada ydel(%rtice sustitu&endoel (alor dexen laecuacin original

Graficar el (%rtice -

".I, 12.I & dibujarel eje de simetrax=".I.


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Graficar dos puntosen un lado del eje desimetra, como -",12 & -1, L.

#ota+ 6odemoselegir cualquier (alorde * que queramos;

x= " &x= 1 sonnormalmente buenosporque los clculostienden a ser fciles.6ara encontrar los(alores de y, sustituir

los (alores dexque)emos escogido enla funcin &resol(erla

Dibujar los puntoscorrespondientes delotro lado del eje desimetra

Solucin erminar la parboladibujando una cur(asua(e que conecte


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todos los puntos

Factorizar para %ncontrar las )a!ces de una Parbola

Jtras caractersticas $tiles de una ecuacin cuadrtica son las ra!ces de una ecuacincuadrtica. 'as races son puntos donde la parbola toca o cru0a el eje x. 'ascoordenadasxen esos puntos se conocen como interseccin en x. -'as coordenadas yson ". Dependiendo de la naturale0a de la grfica -la direccin de la forma de U & lalocali0acin del (%rtice, una funcin cuadrtica puede tener cero, una, o dos races.6iensa por un momento sobre cmo se (era una parbola que intersecta el ejexen unsolo lugar. J en dos lugares. >mo se (era una parbola que ni siquiera toca el eje xH

Aqu )a& algunos ejemplos de parbolas con uno, dos & cero races.
http://void%280%29/http://void%280%29/http://void%280%29/http://void%280%29/http://void%280%29/http://void%280%29/http://void%280%29/


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6ara encontrar las races de una funcin cuadrtica, podemos igualar la funcin a " -para

que la coordenada ysea " & resol(er la ecuacin. Fntent%moslo con una funcincuadrtica simple, con un coeficiente a= 1+

%jemplo

Problema

%ncontrar las ra!ces de

(

>omo la interseccin enxocurre cuando el (alorde la coordenada yes


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igual a ", encontramoslas races igualando laecuacin a "

Mactori0ar

" =x 2

x = 2

" =x 1

x = 1

Usando la PropiedadCero de la*ultiplicacintenemosquexN 2 = " ox 1 ="

Oesol(er ambasposibilidades

Solucin -2, " & -1, " /sta parbola tiene dosraces

Gracias a la naturale0a sim%trica de una parbola, si conocemos las races tambi%npodemos conocer la coordenadaxdel (%rtice. i )a& dos races, estar a la mitad entreellas. /n este caso, el (%rtice esta a una distancia igual entrex= 2 &x= 1, o enx= ".I.

ambi%n podemos factori0ar una ecuacin cuadrtica que tenga un coeficiente adiferentede 1+
http://void%280%29/http://void%280%29/http://void%280%29/http://void%280%29/http://void%280%29/http://void%280%29/


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%jemplo

Problem

a

%ncontrar las ra!ces de

/mpe0ar por sacar elfactor com$n

Mactori0ar el resto de la

e*presin .

" = * 3 o " = * 2

ustituir ypor " & usarla 6ropiedad >ero de la9ultiplicacin.

Solucin

-3, " & -2, "

/sta parbola tiene dosraces

'a forma factori0ada de una ecuacin cuadrtica tambi%n se le denomina forma

interseccin de una ecuacin cuadrtica./n esta forma, , lasintersecciones enxsonp & q. 6ara una funcin que no tiene races, la ecuacin no tieneforma interseccin. i la funcin tiene slo una ra0, p= q& la forma interseccin puedeescribirse tambi%n como as y= a-xNp2. iempre & cuando una ecuacin cuadrticapueda ser factori0ada, podemos usar este m%todo para encontrar las races.
http://void%280%29/http://void%280%29/http://void%280%29/http://void%280%29/http://void%280%29/


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>ul de las siguientes grficas podran representar la parbola dada por la ecuacin

cuadrtica H

A 7

> D

Mostrar/Ocultar la Respuesta

A Fncorrecto. /sta parbola tiene las races correctas -3," & -1, ", pero la parbola


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abre )acia abajo. >omo el coeficiente dexes 2, la parbola debera abrir )acia arriba.

'a respuesta correcta es >.

7 Fncorrecto. i bien esta parbola abre )acia arriba, las races no son -3, " & -1, ".

'a respuesta correcta es >.

> >orrecto. 'a grfica muestra las races en -3, " & -1, " & abre )acia arriba.

D Fncorrecto. /sta parbola no tiene races, pero la grfica correcta debera tener dosraces, -3, " & -1, ". /sta grfica no tiene posibilidad de representar la ecuacin. 'arespuesta correcta es >.

&umario

'a grfica de una funcin cuadrtica es una cur(a con forma de U llamada parbola.6uede ser tra0ada dibujando soluciones de la ecuacin, encontrando el (%rtice & usandoel eje de simetra para graficar puntos seleccionados, o encontrando las races & el(%rtice.

'a forma estndar de una ecuacin cuadrtica es . /sta forma nospermite encontrar fcilmente el (%rtice de la parbola & el eje de simetra usando la

frmula para la coordenadaxdel (%rtice, .

'a forma interseccin de una ecuacin cuadrtica es y= . 'as races, o

intersecciones enxde la parbola son -p, ")& -q, ". #o todas las ecuaciones cuadrticastienen una interseccin porque no todas las parbolas tienen una ra0.

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