UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS

Escuela de Física Gráficas de Datos y Análisis de Errores

1. Graficación de Datos Experimentales Las gráficas están entre los métodos más importantes de presentar y analizar los datos experimentales. Una buena representación gráfica de datos permitirá ver fácilmente modelos (y problemas). La presentación de buenas gráficas forma a menudo el corazón de un informe del laboratorio. Se dibujan las gráficas para obtener las conclusiones acerca de la ley física involucrada en el experimento. Ninguna gráfica está completa si no esta en una forma en que pueda interpretarse y se de la conclusión apropiada. Frecuentemente, una gráfica es la manera más clara de representar la relación entre dos cantidades de interés. Siga las convenciones que se incluyen a continuación: a) Una gráfica indica una relación entre dos cantidades, x e y, cuando otras variables o parámetros tienen valores fijos. Antes de trazar los puntos en una gráfica, es importante colocar los valores correspondientes de x e y en una tabla. b) Escoja una escala conveniente para cada eje para que los puntos trazados ocupen una parte importante del papel cuadriculado o milimetrado, pero no escoja una escala que sea difícil de trazar y leer, como 3 o 3/4 unidades por cuadro. c) Marque cada eje para identificar la variable a ser graficada y las unidades usadas. Puntee las divisiones prominentes en cada eje con los números apropiados. d) Identifique los puntos trazados con símbolos apropiados, como cruces, y cuando sea requerido dibuje las barras verticales u horizontales a través de los puntos para indicar el rango de incertidumbre involucrado en estos puntos. e) Cuando los puntos de una gráfica yacen en una línea recta inclinada al eje, existe una relación lineal entre las variables. La ecuación para tal línea es y = mx + b dónde y es la variable dependiente, x la variable independiente, m la pendiente de la línea, y b el-intercepto con y. Una relación lineal puede demostrarse si los puntos de datos caen a lo largo de una sola línea recta. Hay técnicas matemáticas para determinar qué línea recta se ajusta más a los datos, pero en muchos casos es suficiente si usted simplemente hace visualmente una estimación aproximada. La línea recta óptima debe dibujarse cerca de la media de todos los puntos. Es decir, la línea no necesita pasar precisamente a través del primero y el último punto. En cambio, cada punto debe ser considerado tan exacto como cualquier otro punto (a menos que haya razones experimentales para que algunos puntos sean menos exactos que otros). La línea debe dibujarse con tantos puntos arriba como debajo de ella, y con la distribución 'arriba' y 'abajo' al azar a lo largo de la línea. (Por ejemplo, no todos los puntos deben estar por encima de la línea en un extremo y debajo en el otro extremo). Las relaciones lineales son fáciles de graficar y reconocer. Muchas relaciones son non-lineales. Es bastante difícil reconocer si un conjunto de datos particular tiene una dependencia funcional específica. En estos casos es común introducir una variable auxiliar para que los datos sean lineales en la nueva variable. 1.1 Tipos de Gráficas En general, varios tipos de sistemas de coordenadas son usados. Las coordenadas: cartesiana o rectangular, polar y logarítmica están entre estas. El sistema de coordenadas rectangular normalmente es el más comúnmente usado en la física básica. Hay varias reglas para ser observadas al trazar gráficas que usan este sistema. Debe dibujarse una curva suave del mejor ajuste a través de o cerca de los puntos experimentales. Nunca conecte los puntos de datos con segmentos de línea. Los marcadores de tinta hacen las gráficas pobres porque ellos dibujan las líneas gruesas. Use una línea fina para las gráficas. Cada gráfica debe discutirse en el cuerpo del informe. 1.2 Títulos y Ejes Cada gráfica debe tener un título informativo. Por ejemplo "Presión de Vapor de Agua Saturado contra Temperatura" es más informativa que un frío "P contra T". Para una gráfica dibujada a mano, el título y los ejes deben hacerse en tinta mientras los puntos de datos y la curva deben trazarse en lápiz. Dibuje dos líneas mutuamente perpendiculares para representar los ejes de coordenadas. En cada uno de éstos marque el nombre de la cantidad a ser graficada. El eje de abscisas se usa para la variable independiente (la variable cuyo valor es controlado o escogido en el experimento) y el eje de ordenadas para la variable dependiente (variable que es medida y cuyo valor depende de la variable independiente). Deben etiquetarse los ejes de cada gráfica declarando lo que se traza claramente y en qué unidades. La escala debe ser métrica y debe usar fracciones decimales. Deben escogerse las escalas usadas en los dos ejes para que la gráfica llene la página. Los ejes normalmente deben incluir el origen y deben escogerse para que la gráfica no se apriete hacia un borde del papel o en uno pequeño cuadro. Siempre que sea posible, la escala debe ser tal que los datos puedan leerse desde la curva con el número apropiado de cifras significativas. La escala debe ser conveniente para la lectura, es decir, debe ser fácil de interpolar entre las marcas de la escala para encontrar el lugar apropiado para registrar los puntos en la gráfica. Indique las unidades apropiadas en cada eje. Es normalmente aconsejable que el origen aparezca en el papel. Sin embargo, si una de las variables tiene sólo un rango pequeño de valores y este rango está lejos de cero, no es posible incluir el punto (0,0) en la gráfica. Las escalas en ambos ejes no necesitan ser las mismas. 1.3 Puntos de Datos y Curvas Cada punto trazado debe hacerse visible dibujando un círculo pequeño u otra forma alrededor de él, o una cruz a través de él. Si es apropiado, dibuje una línea recta o una curva suave que represente mejor todos los puntos. Ésta es una línea o curva que abarque como sea posible a la mayoría de los puntos y qué tenga aproximadamente tantos puntos de una parte de la recta como de la otra. Es probable que cualquier punto que se desvíe ampliamente de esta curva sea un error. 1.4 Programas de Graficación por computador Aunque los informes deben escribirse a mano, las gráficas pueden realizarse a mano en papel milimetrado o el requerido, o puede realizarlas con un programa de graficación por computador. Existen muchos sistemas de software disponibles que producen muy buenas gráficas de datos experimentales. La mayoría hace alguna adaptación de curvas por regresión lineal. El más común es Excel de Microsoft. Excel tiene la ventaja de estar ampliamente difundido. Su desventaja es que su artificio de graficación se diseñó principalmente para negocios no para el uso científico. Otros sistemas comerciales incluyen MatLab, Mathematica, y Maple. Éstos son sistemas diseñados para uso científico o ingeniería, pero son costosos. Existe varios software gratuitos como gnuplot en www.gnuplot.info y scilab. Al usar el software de gráficas, sobre todo Excel, asegúrese que sus gráficas sean bastante grandes. Excel tiende a crear gráficas pequeñas. Tómese el tiempo para agregar todos los títulos y etiquetas que una buena gráfica debe tener. Tenga cuidado con las condiciones

predefinidas, ellas se diseñan a menudo para negocios no para el uso científico. No permita al software conectar los puntos. Aprenda a agregar una línea recta a su gráfica. 1.5 Terminología Es necesario saber las definiciones de ciertos términos usados en el sistema de coordenadas rectangular para poder discutir la gráfica cuando es trazada. Las más importantes de estas definiciones son: Origen de coordenadas: El punto de cruce de los ejes vertical y horizontal. Intercepto: La distancia del origen al punto dónde la gráfica cruza el eje. Pendiente de una línea: La razón de la diferencia entre las coordenadas verticales de dos puntos a la diferencia entre las coordenadas horizontales de los mismos dos puntos. Cuando la gráfica no es una línea recta la pendiente de la curva en cualquier punto es la pendiente de la tangente de la línea a la curva a ese punto. Regresión lineal o Ajuste por Mínimos cuadrados: La técnica matemática más importante para ajustar una curva (normalmente una línea recta) a un conjunto de datos. 1.6 Ajuste a una recta por el Método de Mínimos Cuadrados. Regresión Lineal Para conocer cual es la recta que menos se separa de los puntos representados se utiliza el método que se describe a continuación. Se va a suponer una colección de N puntos (xi, yi) correspondientes a dos magnitudes x e y que deberían estar relacionadas según: y = mx + b. El propósito es calcular la ecuación de la recta que "mejor" se ajusta a dichos puntos. La calidad del ajuste, es decir ese "mejor", se va a determinar imponiendo la condición de que la desviación cuadrática de los puntos respecto de la recta de ajuste sea mínima. Este procedimiento está incluido en muchas calculadoras científicas (mirar el correspondiente manual). A continuación se describe los cálculos asociados a este método. La desviación cuadrática entre los puntos y una recta de ecuación y = mx + b se determina como:

( ) ( )2 2

1 1

N N

i i i ii i

y mx b y mx b= =

δ = − + = − −⎡ ⎤⎣ ⎦∑ ∑

Con la condición de mínimo las derivadas de δ respecto de los dos parámetros m y b que se buscan (incógnitas) deben ser nulas simultáneamente: 0

m b∂δ ∂δ

= =∂ ∂

Luego se tiene que resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que proporciona directamente los valores de la pendiente y de la ordenada en el origen:

( )

( )

2

1 1 1 1 1 1 1 1 12

2

1 1 1 1 1

0 ó ;

0

N N N N N N N N N

i i i i i i i i i i i i ii i i i i i i i iN N N N N

i i i i i ii i i i i

y mx b x m x b x y x N y x x y y m xm b

Ny mx b m x bN y N x x

= = = = = = = = =

= = = = =

⎫− − = + = − −⎪⎪ ⇒ = =⎬⎛ ⎞⎪− − = + = − ⎜ ⎟⎪⎭ ⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

la calidad del ajuste suele medirse por el conocido como factor de regresión r (en el caso en que r = 1 el ajuste sería perfecto) que viene dado por la expresión:

2 22 2

1 1 1 122

1 1 1

N N N N

i i i ii i i i

N N N

i i i ii i i

N x x N y y

rN y x x y

= = = =

= = =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦=

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

Procedimientos más elaborados permiten determinar las incertidumbres de m y b como:

( )22

1 12

2

1 1

; con 2

N N

i i ii i

N N

i ii i

x y mx bNm b m

N NN x x

= =

= =

− −σ

δ = δ = δ σ =−⎛ ⎞− ⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ ∑

∑ ∑

Este tipo de método es también útil para tratar de ajustar otro tipo de funciones más complicadas; pero, si el número de parámetros es mayor, el número de ecuaciones también lo será y por lo tanto la solución se complica. 2. Análisis de errores 2.1 Introducción a la Incertidumbre Experimental y Errores La física es una ciencia que incluye un estudio cuantitativo de fenómenos naturales y las relaciones que existen entre estos fenómenos. En los cursos de matemática, los números normalmente son exactos y no surgen preguntas sobre su exactitud. Pero las medidas de cantidades físicas no son exactas debido a las limitaciones del instrumento de medición o del método usado. Por esta razón los errores en los datos son inevitables. En la conclusión de cada experimento es esencial tener alguna idea de la fiabilidad del resultado y declarar el resultado en cierto modo qué indicará esta fiabilidad. Por consiguiente, es necesario estudiar la naturaleza de los errores experimentales y familiarizarse con una manera convencional de registrar un resultado. Cada medida en el laboratorio tiene un poco de incertidumbre o error asociado con ella. Estos errores producen incertidumbres en los cálculos y finalmente en el valor final para las cantidades que usted calcula y que desea comparar a con valores teórico o aceptados. Para evaluar el éxito o fracaso de un experimento es esencial saber los errores presentes. Hay tres conceptos asociados a una medida experimental de una medida directa: exactitud, precisión y sensibilidad. Se entiende por exactitud la cercanía del valor experimental obtenido, al ‘exacto’ de dicha medida. El valor ‘exacto’ de una magnitud física es un concepto utópico, ya que es imposible conocerlo sin incertidumbre alguna. Por ello como valores ‘exactos’, se toman resultados de experiencias con dispositivos muy fiables y efectuados con un control experimental muy riguroso. De tal forma que las determinaciones efectuadas en el laboratorio son más o menos ‘exactas’ en relación a éstos valores supuestamente exactos. Así por ejemplo: En una determinación del valor de la gravedad en un punto de la superficie de la Tierra con un procedimiento experimental muy fiable, se obtiene que su valor es 9.803m/s2, mientras que con tres experimentos distintos se obtiene 9.810, 9.804 y 9.820m/s2. El valor dé 9.804 es el más exacto de los tres. La precisión es un concepto relacionado con el dispositivo experimental. Así, si se desea determinar la longitud de una varilla metálica empleando una cinta métrica graduada en milímetros, se puede asegurar que la mínima fracción que se puede detectar es 1mm mientras que si se utiliza un método basado en técnicas microscópicas se podrán determinar fracciones más pequeñas de longitud. Se puede definir la sensibilidad como la unidad más pequeña que puede detectar un instrumento de medida. El concepto de precisión o sensibilidad también hace referencia al método experimental utilizado y se entiende como la repetitividad dentro de los márgenes más estrechos posibles de los resultados experimentales obtenidos al realizar varias veces una misma experiencia en las mismas condiciones.

2.2 Cómo Estimar los Errores Los errores asociados con las medidas son generalmente divididos en dos grupos, aleatorios y sistemáticos. Es igualmente probable que los errores aleatorios sean demasiados grandes o demasiado pequeños y son manejables para análisis estadístico. Los errores sistemáticos siempre son o demasiado grandes o demasiado pequeños y no pueden analizarse estadísticamente. Ambos tipos de error pueden reducirse mejorando el experimento y la técnica y corrigiendo la instrumentación. Hay tres clases de errores que pueden ocurrir: (1) Errores o equivocaciones. Los errores por parte del observador en la lectura de instrumentos, registro de datos y resultados calculados son completamente impredecibles. Estos errores pueden eliminarse siendo cuidadosos. Repetir una medida es a menudo una ayuda para detectar una equivocación, aunque es normalmente bueno tener un segundo observador independientemente que revise la lectura. (2) Errores sistemáticos. Los errores sistemáticos pueden ser introducidos por el uso de un instrumento que tiene un error fijo, o por un observador que de forma consistente sobre o subestime un resultado en una medida dónde el juicio humano es necesario. Así, todos los datos tendrán el mismo error. Si una escala que es correcta a una temperatura y se usa a una superior, la expansión de la escala lleva a medidas de longitud que siempre son demasiado pequeñas y el error relativo será el mismo no importa que longitud se mida. (3) Errores aleatorios. Los errores accidentales pequeños están presentes en todas las medidas debido al refinamiento limitado del instrumento de medición o para razones desconocidas o indeterminadas. Un ejemplo de lo anterior es el uso de una escala cuyo sub-división más pequeña es 0.1cm. Los errores aleatorios ocurrirán cuando esta escala se usa para estimar una longitud de 0.01cm. Un ejemplo de lo último sería las variaciones aleatorias pequeñas en el tamaño de divisiones de la escala. Los errores aleatorios positivos y negativos son igualmente probables. Hay tres métodos para estimar los errores de las medidas originales. El primero y el mejor método es hacer medidas repetidas de la cantidad, encontrar el valor promedio y luego usar la desviación media o la estándar como el error. Aunque el método de encontrar la desviación media siempre es la mejor manera de estimar el error: a veces los apremios de tiempo hacen impráctico tomar diez (o incluso cinco) medidas de la misma cantidad; a veces la cantidad no puede medirse más de una vez porque no pueden reproducirse las condiciones iniciales del experimento; y a veces la desviación media es una estimación pequeña irrealista del error. Cuando esto ocurre, hay otros dos métodos para estimar el error. El primero de los dos métodos alternativos simplemente es estimar la precisión de la escala de la medida. Por ejemplo: un metro de madera no puede leer mejor que ~ 1/3 mm; un termómetro del mercurio-en-vidrio tiene un error de por lo menos +.1°K y un termómetro de dial puede tener un error de varios grados K; los dispositivos digitales siempre son inciertos por +1 en el último dígito además de su precisión general; y finalmente el tiempo de reacción es de un décimo de segundo y algunas veces más. Como regla-de-aprobación, si la desviación media es mucho menor que la precisión de la escala del instrumento, la precisión de la escala debe citarse como el error. (Esta regla se modifica en los casos dónde la división por √N es más apropiada). El último método para estimar los errores es encontrar la sensibilidad del experimento a un cambio pequeño en uno de los parámetros. Por ejemplo, suponga un experimento que involucra el colgar una masa en un resorte. En principio la masa que podría ser 100g podría medirse dentro de unos miligramos, dando un error muy pequeño. Sin embargo, puede ser que la masa pudiera aumentarse en 5g sin producir un cambio perceptible en el dispositivo experimental En este caso, puesto que la masa de 100g puede reemplazarse por una masa de 105g sin afectar el experimento, el error es 5g. Este método es un atajo que evita la realización repetida de medidas estimando la velocidad de valores que ocurrirían si las medidas se repitieran. 2.3 Análisis estadístico de Errores Aleatorios Suponga que se mide una cantidad A, N veces produciendo los valores Ai, i = 1,..., N. El promedio, A está definido como

1

1 N

ii

A AN =

= ∑

y la desviación individual de cada medida es δAi ≡ Ai - A El promedio A es la estimación óptima de la cantidad y es el valor que se usa en cálculos subsecuentes. El error δ A , de A puede encontrarse como la desviación media

( )1Desv. media

N

ii

A AA

N=

−δ = =

∑

o como la desviación estándar

( )2

1

1

N

ii

A A

N=

−σ =

−

∑

Note el signo de valor absoluto en la definición de la desviación media. Cuando se hacen los cálculos a mano o con una calculadora la se usa la desviación media. Sin embargo, algunas calculadoras tienen una construcción en el teclado para calcular la desviación estándar. Si dispone de tal calculadora, entonces use la desviación estándar, es matemáticamente preferible. Bajo ciertas circunstancias el error citado debe ser δ A /√N en lugar de δ A . El método de desviación media siempre debe usarse por lo menos con N cinco o preferiblemente diez. En conclusión, ninguna medida está completa sin una estimación de su incertidumbre o error. Cada cantidad experimental debe darse en la forma A + δA (δA es un número positivo con unidades), es el error (absoluto) determinado por uno de los métodos discutidos en 2.2. 2.4. Cómo Reportar y Usar Incertidumbres La manera correcta de informar el resultado de una medida es dar [la estimación óptima] + [la incertidumbre] o, en forma de ecuación,

(valor medido de x) = xmejor + δx dónde xmejor es su estimación óptima del valor y δx es la incertidumbre. Significa que se tiene algún grado de confianza que el valor real está en el intervalo xmejor - δx y xmejor + δx. Hay dos reglas básicas asociadas con las incertidumbres y los mejores valores. Primero, no hay absolutamente, ningún propósito útil citar una incertidumbre con precisión alta. La regla para el trabajo normal es usar 1 o a lo sumo 2 cifras significativas. No cite una incertidumbre de más de 10% exactitud. Segundo, no cite su estimación óptima con más (o menos) exactitud que la incertidumbre asociada. El valor mejor y su incertidumbre deben tener su última cifra significativa en el mismo lugar decimal. Las cifras significativas son una manera simplificada de representar la incertidumbre, deben todas “tener significado” dadas las incertidumbres reales. Si un valor medido es 5.1762 con una incertidumbre de 0.02 significa que los dos dígitos finales “62" no son significativos. Las palabras" precisión" y" exactitud" cuando se usan en la discusión de medidas tiene significados bastante diferentes. La precisión puede aumentarse reduciendo el error aleatorio Esto puede hacerse tomando más lecturas o aumentando el refinamiento del instrumento.

Un aumento en la exactitud de una medida implica ambos un aumento en la precisión y la reducción de cualquier error sistemático que puede estar presente en el instrumento o método. 2.5 Uso de Errores Un análisis del error bien hecho es una parte esencial de un informe de laboratorio apropiadamente escrito. Puede indicar la calidad de sus datos y puede ser esencial decir si o no el experimento fue satisfactorio. Si A ± δA es el resultado de su experimento y Ateórico es el valor teórico es entonces el experimento un éxito si A - δA < Ateórico < A + δA, se necesita definir un segundo método de declarar el error en una cantidad. El error δA en una cantidad A como se discute arriba es un número positivo con las mismas unidades y dimensiones que A. δA es a menudo llamado el error absoluto de A. Otra cantidad útil el error relativo es δA/A, o el error porcentual, %A: %A ≅ δA × 100 / A El error relativo o porcentual es una razón luego es un número sin unidades. Para evitar la confusión con otros números es mejor usar el error porcentual. El error porcentual y el error relativo difieren por un factor numérico constante de 100 que se puede omitir a veces. Normalmente se citan los errores absolutos con sólo una cifra significativa aunque si el error está entre 1 y 3 se dan frecuentemente dos cifras. El valor medido o calculado nunca da más exacto que el error (también debe notarse que un número nunca se da menos exacto que su error.) Ejemplos:

incorrecto correcto 3.13 + 0.4 3.1 + 0.4 752 + 39 750 + 40 754.79 + 1.83 75 4.8 + 1.8 3 + 0.01 3.00 + 0.01 2.79315 + 0.02 2.79 + 0.02

El error porcentual es una indicación aproximada de la calidad de la medición, cualquiera sea el tamaño de la cantidad medida. Errores porcentuales del 10% comúnmente caracterizan a las mediciones gruesas. Incertidumbres relativas del 1 o 2% son características de experimentos razonablemente cuidadosos y están cerca del mejor valor que puede obtenerse en experimentos de laboratorio de nivel básico. Errores relativos menores al 1% son difíciles de obtener y son raros de encontrar en el laboratorio de nivel básico. Se debe recordar que el proceso de medición involucra al aparato de medida, al observador y al sistema a medir, y existen errores asociados a cada uno de ellos. Aunque el instrumento de medida permita mediciones con una precisión del 0.1%, puede que los demás factores involucrados en la medición empeoren la precisión del resultado final. 2.6 Propagación de Errores Después de hacer las medidas originales, todos los experimentos involucran algunos cálculos para llegar a una última cantidad que puede compararse a la teoría. Los errores en las cantidades medidas producen los errores en los cálculos. Este proceso se llama propagación del error. Cálculo de errores de medidas directas Una única medida: Si se realiza una única medida el error depende del aparato de medida. Si tiene una escala analógica, se toma como error la mitad de la división más pequeña de la escala. Si es digital, el error será el mínimo incremento entre dos medidas que el aparato pueda mostrar. Varias medidas: Un ejemplo ayudará a entender como se calcula el error asociado a un conjunto de mediciones. Gracias a un cronómetro se mide el periodo T de un péndulo y se obtienen los siguientes resultados:

Ti[ms] 902 850 915 930 888 875 889 902 902 890 Desechando medidas. A veces se obtienen medidas extremadamente diferentes al resto. Estas medidas se conocen como medidas espurias. Si se está seguro de que un valor no refleja un efecto físico no previsto, se puede desechar y trabajar con el resto. Cuando se hace esto, siempre debe escribirse qué puntos han sido eliminados y por qué. Entre los datos del ejemplo una medida espuria habría sido un valor de 1000ms. Cálculo de la media. La mejor aproximación al valor real del periodo del péndulo (que es desconocido) es la media de los valores obtenidos. Se calcula así:

( ) [ ]1

1 1 902 850 890 894.3 ms10

N

ii

T TN =

= = + + + =∑ K

Estimación de la desviación estándar (típica) de los datos. La dispersión de los datos alrededor de la media se mide por su desviación estándar. Se calcula del modo siguiente:

( ) ( ) ( ) ( )2

2 2 21 902 894.3 850 894.3 890 894.3

21.8[ms]1 9

N

ii

T T

N=

−− + − + + −

σ = = =−

∑ K

Estimación del error de la media. Viene dado por la siguiente expresión: 3 3 21.8[ms]=20.7[ms]

10T

Nσ ×

δ = =

El error† así definido se interpreta del modo siguiente: la probabilidad de que el valor real del periodo del péndulo (que por supuesto, no se conoce) esté en el intervalo (T - δT, T + δT) = (873,6ms, 915ms) es del 99,7 %. Esto es, si se repitiese 1000 veces el experimento de hacer 10 medidas del periodo del péndulo, sólo en 3 casos de los 1000, el valor medio del periodo (T) que se obtuviera sería diferente de 894,3ms en más de 21ms.

Cuando termine de calcular los errores, no olvide poner las unidades y trabajar sólo con las cifras significativas. En el ejemplo dado, el resultado del experimento se expresaría del modo siguiente:

T = 894 ± 21ms = (873ms, 915ms) Cálculo de errores de medidas indirectas Aunque algunas magnitudes se obtienen por medida directa, otras muchas son el resultado del cálculo a partir de una cierta formula (magnitudes derivadas). Es evidente que si se tienen incertidumbres en la determinación de las magnitudes directas estas se manifestarán en la magnitud indirecta deducida de ellas. En la mayoría de los casos las magnitudes medidas directamente no son el objetivo final de un experimento, sino un paso necesario para obtener otras magnitudes relacionadas con ellas mediante alguna dependencia funcional. Si se considera el error como una suma (adición o sustracción). Sea C = A ± B dónde A + δA y B + δB son valores experimentales. Se puede escribir C + δC = (A + δA) ± (B + δB) y asumiendo el peor caso C + δC = (A ± B) + (δA + δB)

† Como el error decrece con el número de medidas, conviene tomar el mayor número posible de medidas de cualquier magnitud que se desea conocer.

da δC = δA + δB

Se establece: El error absoluto de una suma o diferencia es la suma de los errores absolutos

Extendiendo esto a la multiplicación, asuma C = AB y considere C + δC = (A + δA) (B + δB) = AB + BδA + AδB + δAδB . Omitiendo el término δAδB por ser muy pequeño se encuentra δC = BδA + AδB. Dividiendo ambos lados por C = AB da

δC/C = δA/A + δB/B o %C = %A + %B. Esta regla también aplica a la división debido a que el error relativo en 1/C es el mismo como el error relativo en C, si el error es pequeño. Para demostrar esto, sea C' = 1/C dónde C tiene el error absoluto δC.

C' + δC' = [C + δC]-1 = C-1·[1 + δC/C]-1 ≈ C-1·[1 - (+δC/C)] = C'·[1 + δC/C] Dividiendo ambos lados por C' da 1 + δC'/C' = 1 + δC/C y por consiguiente %C' = %C Esto puede generalizarse:

El error porcentual en un producto o cociente es la suma de los errores porcentuales. Estas dos reglas simples se ocupan de casi todas las situaciones que usted encontrará. Si supone que las incertidumbres relativas son pequeñas se puede hacer la siguiente aproximación:

( ) ( ) dff x x f x x f fdx

+ δ + δ ≡ + δ

donde el valor medio de f y su incertidumbre son

( ) y dff f x f xdx

= δ = δ

Luego por simple extrapolación cuando se tenga una función f de dos magnitudes observadas (x; y) con x = x + δx y y = y + δy se tiene que f f f= + δ con ( ),f f x y= y

f ff x ydx dy∂ ∂

δ = δ + δ

donde ∂f/∂x es la derivada parcial de f con respecto a x evaluada en x = x que corresponde a una derivada manteniendo a y constante. En un caso más general, la magnitud derivada puede escribirse como función de un número más o menos grande de magnitudes conocidas x, y, z, ... , q = f(x, y, z,...) donde x, y, z, ... tendrían incertidumbres δx, δy, δz, ... . Para calcular la incertidumbre de q se recurre al concepto matemático de diferencial. El diferencial de q= f(x, y, z, ... ) viene dado por:

( ), , , f f fdq df x y z dx dy dzdx dy dz∂ ∂ ∂

= = + + +K K

indica cuanto varía la función q al variar (ligeramente) las variables x, y, z, ... . Es decir, el diferencial permite estimar la incertidumbre en el valor de q en función de las incertidumbres de las variables, siempre que las incertidumbres sean pequeñas. Teniendo en cuenta, que no se sabe que signo tienen las incertidumbres, se puede evaluar la incertidumbre de q, como:

f f fq x y zdx dy dz∂ ∂ ∂

δ = δ + δ + δ + K

donde los valores de las derivadas parciales están dados por los valores conocidos de x , y , z , ... . Con las propiedades arriba enunciadas no es difícil comprobar las siguientes relaciones:

( )

( )

( )

1n n n

n m n m

xx n x x n xx

x y x y

x yxy xyx y

x x x yy y x y

x yx y x y n mx y

− δδ = δ =

δ ± = δ + δ

⎛ ⎞δ δδ = +⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞δ δ

δ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞δ δδ = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Por ejemplo, si se quiere medir el volumen de un cilindro y se sabe que su radio es r = 6,0cm y su altura h = 10,0cm, se sabe que su volumen viene dado por V = πr2h = 1131cm2. Pero, si la magnitud h tiene un error de δh = 0,1cm y r tienen un error de δr = 0,1cm, ¿cuál es el error que se comete en el cálculo del volumen? El valor de δV se obtiene de la ecuación:

V VV r hr h

∂ ∂δ = δ + δ

∂ ∂

que requiere calcular las derivadas parciales. Pero eso es inmediato: 2 2 22 377 cm , 113 cm ,V Vrh r

r h∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤= π = = π =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∂ ∂

y por tanto, el error en el volumen‡ es: ( ) 3 3377 0.1 113 0.1 [cm ] 49[cm ]Vδ = × + × =

Por consiguiente, se tiene que: V = 1130 ± 50 [cm3],

o en notación científica: V = (1,13 ± 0,05)×103[cm3].

‡ La mayor contribución al error δV se debe al radio (37.7), por lo tanto si se quisiera mejorar el error habría que mejorar la precisión de la medida de r.