Graficas de las funciones trigonometricas

Funciones trigonométrica

INDICEGRAFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.______________________________________________II

1. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA___________________________________________________________II

1.1FUNCIÓN SENO:________________________________________________________________________II1.2FUNCIÓN COSENO:______________________________________________________________________III1.3FUNCIÓN TANGENTE:____________________________________________________________________III1.4 FUNCIÓN COTANGENTE__________________________________________________________________IV

1.5 FUNCION SECANTE_________________________________________________________________V1.6 FUNCION COSECANTE:________________________________________________________________VI

2. TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS_________________________VIII

2.1 AMPLITUD:_________________________________________________________________________VIII2.2 PERIODO:___________________________________________________________________________IX2.3 DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL.____________________________________________________________IX2.4 DESPLAZAMIENTO VERTICAL:_______________________________________________________________X

3. EJERCICIOS RESUELTOS:_______________________________________________________________XI

4. EJERCICIOS PROPUESTOS_____________________________________________________________XIV

I


GRAFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.

1. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICALas funciones trigonométricas son funciones muy utilizadas en las ciencias naturales paraAnalizar fenómenos periódicos tales como: movimiento ondulatorio, corriente eléctricaAlterna, cuerdas vibrantes, oscilación de péndulos, ciclos comerciales, movimiento periódico de los planetas, ciclos biológicos, etc. En aplicaciones de las funciones trigonométricas relacionadas con fenómenos que se repiten periódicamente, se requiere que sus dominios sean conjuntos de números reales. Para la obtención de valores de las funciones trigonométricas de números reales con una calculadora por ejemplo, se debe usar el modo radián.

1.1Función Seno:La función seno es la función definida por: f(x)= sen x.-Características de la función seno:

1. Dominio: IRRecorrido: [-1, 1]2. El período de la función seno es 2 π.3. La función y=sen x es impar, ya que sen(-x)=-sen x, para todo x en IR.4. La gráfica de y=sen x intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x =n π. paratodo número entero n.5. El valor máximo de senx es 1, y el mínimo valor es -1. La amplitud de la funcióny=senx es 1.

1.2Función coseno:La función coseno es la función definida por: f(x)= cos x.

II


Características de la función coseno1. Dominio: IRRecorrido: [-1, 1]2. Es una función periódica, y su período es 2 π.3. La función y=cosx es par, ya que cos(-x)=cos x, para todo x en IR.La gráfica de y=cosx intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x =(π/2) + nπ,para todo número entero n.5. El valor máximo de cos x es 1, y el valor mínimo valor es -1. La amplitud de laFunción y=cosx es 1.

1.3Función tangente:La función tangente es la función definida por: f(x)= tan x..Características de la función tangente1. La función tangente es una función periódica, y su período es π.2. La función y=tan x es una función impar, ya que tan(-x)=-tan x.3. La gráfica de y=tan x intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x =n π , paratodo número entero n.

Las otras tres funciones trigonométricas: cotangente, secante y cosecante son también

III


funciones periódicas.Las funciones trigonométricas fueron sistematizadas por Newton y Leibniz, quienes habíaDado expansiones en forma de serie para las mismas. Pero fue Euler quien dio el tratamiento completo y sistemático a las funciones trigonométricas. La periodicidad de estas funciones y la introducción de la medida de los ángulos por radianes, fue realizada por Euler en su Introducido in Analysis Infinitorum en 1748.

1.4 Función CotangenteFunción cotangente: asocia a cada número real, x, el valor de la cotangente del ángulo cuya medida en radianes es x.

f(x) = cotg x

Propiedades de la función cotangente

Dominio:

Recorrido:

Continuidad: Continua en

Período:

Decreciente en: Máximos: No tiene.Mínimos: No tiene.Impar: cotg(−x) = −cotg x

IV


Cortes con el eje OX:

1.5 FUNCION SECANTELa función secante asocia a cada número real, x, el valor de la secante del ángulo cuya medida en radianes es x.

f(x) = sec x

Propiedades de la función secante

Dominio: Recorrido: (- ∞, -1] [1, ∞)

Período:


Creciente en:

Decreciente en:

Máximos:

Mínimos: Par: sec(-x) = sec xCortes con el eje OX: No corta

1.6 FUNCION COSECANTE:La función cosecante asocia a cada número real, x, el valor de la cosecante del ángulo cuya medida en radianes es x.

V


f(x) = cosec x

Propiedades de la función cosecante

Dominio: Recorrido: (- ∞, -1] [1, ∞)

Período:


Creciente en:

Decreciente en:

Máximos:

Mínimos: Impar: csc(-x) = -csc xCortes con el eje OX: No corta

VI

Transformaciones de graficas

2. Transformaciones de gráficas de funciones trigonométricasLas reglas para desplazar, dilatar, contraer, reflejar la gráfica de una función se pueden aplicar a las funciones trigonométricas, recordadas en el siguiente diagrama: fx=sen (α )y=sen (α )y=A sen (Bx+C )+D

A = AmplitudB = PeriodoC = Desplazamiento horizontalD = Desplazamiento vertical

2.1 Amplitud: La amplitud es la distancia vertical entre una cresta y el punto medio de la onda.

fx=sen(x )

Amplitud

A > 1 A < 1-A se invierte

VIII


fx=2 sen(x )

Amplitud

2.2 Periodo:El tiempo que tarda en cumplir un ciclo.

fx=sen ( x+2π )=sen (x)En la función seno el periodo es 2π

Formula: B > 1 T Periodo B < 1 T

T = 2πB

π=180 -B Función se invierte

fx=sen(2x ) fx=sen(2x )

T = 2πB

=2π2

=π=180

fx = sen(x)

2.3 Desplazamiento Horizontal. Es el valor donde comienza el ciclo que comenzaba en 0 (también se conoce como desfase)

Desfase = −cb

IX


C

fx=sen(x+π /2)

Desfase = −cb

= -π/2 = -90O

D- = adelanteD+ = atrasado fx=sen(x+π /2)

fx=sen( x−π3 ) Desfase = −cb

= −π31

= 60o

fx=sen( x−π3 )

2.4 Desplazamiento vertical: La gráfica de la ecuación de la forma y = f(x) + k es la gráfica de y = f(x) desplazada hacia arriba si k es positiva y desplazada hacia abajo si k es negativa. De manera que, la gráfica de y = f(x) + k se puede obtener de la gráfica de y = f(x) al trasladar verticalmente la gráfica de y = f(x), k unidades hacia arriba si k es positiva y k unidades hacia abajo si k es negativa.

fx=sen ( x )+D

X


fx=sen ( x )+0.5

fx=sen ( x )+0.5

fx=sen ( x )−1

3. Ejercicios resueltos:

fx=2 sen (2x−π /3 )−1

T=2πB

=2π2

=π=180°

D=−cB

=−−π32

=π6=30 °

Valor supuesto del eje x Valor supuesto del eje y

Valor real del eje x (sumamos mas 30 °)

Valor real del eje y

0 ° 0 30 ° -145 ° 1 75 ° 190 ° 0 120 ° -1135 ° -1 165 ° -3180 ° 0 210 ° -1

Gráfica:

XI


fx=−12sen(2x+ π4 )−1

T=2πB

=2π2

=π=180°

D=−cB

=−π42

=−π8

=−22.5°


Valor real del eje x (restamos−22.5 °)


0 ° 0 −22.5 ° -145 ° 1 22.5 ° -1.590 ° 0 67.5 ° -1135 ° -1 112.5° -0.5180 ° 0 157.5 ° -1

Gráfica:

XII


fx=sen (3 x+π )+1

T=2πB

=2π3

=120 °

D=−cB

=−π3

=−π3

=−60 °


Valor real del eje x (restamos−60 °)


0 ° 0 −60 ° 130 ° 1 −30 ° 260 ° 0 0 ° 190 ° -1 30 ° 0120 ° 0 60 ° 1

Gráfica:

XIII


4. Ejercicios Propuestos

a. fx=3 sen(2 x+12 π )−2

b. fx=2 sen( 12 x+π)+ 12

c. fx=12sen(4 x+ 23 π)+2

d. fx=3 sen(5 x+ 13 π)−1

XIV

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