Grafos de exclusividad básicos en correlaciones cuánticas

GRAFOS DE EXCLUSIVIDAD BÁSICOSEN CORRELACIONES CUÁNTICAS

José Ra. Portillo Fernández

Universidad de Sevilla, España

18 de Octubre de 2013

JOSÉ RA. PORTILLO GRAFOS DE EXCLUSIVIDAD BÁSICOS EN CORRELACIONES CUÁNTICAS

GRAFOS DE EXCLUSIVIDAD BÁSICOS EN CORRELACIONES CUÁNTICAS

con M. KLEINMANN, O. GUHNE, J.A. LARSSON, A. CABELLOMemory cost of quantum contextuality.New J. Phys 13 (113011), 2011.con E. AMSELEM, L. E. DANIELSEN, A. J. LÓPEZ-TÁRRIDA, M. BOURENNANE,A. CABELLOExperimental fully contextual correlations.Physical Review Letters 108 (200405), 2012.con A. CABELLO, L. E. DANIELSEN, A. J. LÓPEZ-TÁRRIDAQuantum Social Networks.J. Phys. A: Math. Theor 45 (285101), 2012.con A. CABELLO, L. E. DANIELSEN, A. J. LÓPEZ-TÁRRIDABasic logical structures in quantum correlations.Physical Review A 88, (032104) 2013.


RESUMEN

CONTEXTUALIDAD CUÁNTICA

Correlaciones cuánticas entre resultados de medidas compatibles nopueden ser reproducidas mediantes teorías de variables ocultas nocontextuales (NCHV)

DETECCIÓN EXPERIMENTAL: DESIGUALDADES NO CONTEXTUALES (NC)

Violación de desigualdades satisfechas por modelos NCHV

PROBLEMAS FUNDAMENTALES

Comprender por qué QM sólo viola algunas desigualdades NC

Identificar qué previene violaciones mayores a las cuánticas.

¡ RESOLVEMOS USANDO GRAFOS!


LA VERDAD

LA VERDAD


LA VERDAD

¿ QUÉ ESLA VERDAD ?


LA VERDAD

LA VERDADES UN GRAFO


LA VERDAD

Los vérticesson proposiciones lógicas

Las aristasunen proposiciones contradictorias


LA VERDAD

¿ CUÁNTA VERDAD HAYEN UN GRAFO?


VERDAD NCHV


VERDAD PROBABILÍSTICA


VERDAD CUÁNTICA


DESIGUALDAD CLAUSER-HORNE-SHIMONY-HOLT

Desigualdades no contextuales (NC)⇐⇒herramientas para identificar e investigar correlaciones.

Desigualdades NC violadas por QM⇐⇒Grafos cuánticos contextuales.

〈A1B0〉 =

∫A(a′, λ)B(b, λ)ρ(λ)dλ

〈A1B0〉 − 〈A1B1〉 =

∫[A(a′, λ)B(b, λ) − A(a′, λ)B(b′, λ)]ρ(λ)dλ =∫

A(a′, λ)B(b, λ)[1 ± A(a, λ)B(b′, λ)]ρ(λ)dλ −∫

A(a′, λ)B(b′, λ)[1 ± A(a, λ)B(b, λ)]ρ(λ)dλ

|〈A1B0〉 − 〈A1B1〉| ≤∫

[1 ± A(a, λ)B(b′, λ)]ρ(λ)dλ +

∫[1 ± A(a, λ)B(b, λ)]ρ(λ)dλ,

|〈A1B0〉 − 〈A1B1〉| ≤ 2 ± (〈A0B1〉 + 〈A0B0〉) =⇒|〈A1B0〉 − 〈A1B1〉 + 〈A0B1〉 + 〈A0B0〉| ≤ 2

β = 〈A0B0〉+ 〈A0B1〉+ 〈A1B0〉 − 〈A1B1〉NCHV

≤ 2


GRAFO DE EXCLUSIVIDAD


P(a, b | x , y) = P(se obtiene a al medir Ai y se obtiene b al medir Bj )

±〈Ai Bj 〉 = 2[P(1,±1 | i, j) + P(−1,∓1 | i, j)] − 1 =⇒ S =β

2+ 2 =

P(1, 1 | 0, 0) + P(−1,−1 | 0, 0) + P(1, 1 | 0, 1) + P(−1,−1 | 0, 1)

+P(1, 1 | 1, 0) + P(−1,−1 | 1, 0) + P(1,−1 | 1, 1) + P(−1, 1 | 1, 1)NCHV

≤ 3


GRAFO DE EXCLUSIVIDAD


SCHSH = Σx,y,a,b∈0,1s.t.a⊕b=xy P(a, b|x , y),

(a, b|x , y) (a′, b′|x ′, y ′) excluyente↔↔ x = x ′, a 6= a′ o y = y ′, b 6= b′.


CLAUSER-HORNE-SHIMONY-HOLT INEQUALITY


GRAFOS CUÁNTICOS CONTEXTUALES

Desigualdades no contextuales (NC)⇐⇒herramientas para identificar e investigar correlaciones.

Combinaciones lineales de probs. de eventos en una desig. NC⇐⇒ combinaciones convexas de probabilidades de eventos S⇐⇒ grafo G(S).

eventos↔ vérticeseventos excluyentes↔ aristas.


LA VERDAD

¿ CÓMO SE CALCULALA VERDAD CUÁNTICA?


LA VERDAD CUÁNTICA

LÓGICA CUÁNTICA

Proposiciones = vectores de un espacio de Hilbert de dimensión d > 2.

Proposiciones excluyentes↔ vectores ortonormales.

GRAFOS CONTEXTUALES: REPRESENTACIONES ORTONORMALES

proposiciones↔ vectores↔ vértices

proposiciones excluyentes↔ vectores ortonormales↔ aristas

d-contextos completos↔ bases ortonormales↔ d-cliques

VERDAD

En un estado cuántico Ψ, las probabilidades de las proposiciones asociadasa los vectores |vi〉 son

|〈Ψ|vi〉|2


VERDAD NCHV

α(G) = 3


VERDAD CUÁNTICA

ϑ(G) = m«ax|Ψ|=1,G o.r. |vi 〉

n∑i=1

|〈Ψ|vi〉|2 = 2 +√

2


VERDAD PROBABILÍSTICA

α∗(G) = 4



α(G) ≤ ϑ(G) ≤ α∗(G)

α(G) Número de Independencia

ϑ(G) Número de Lovász m«ax|Ψ|=1,G o.r . |vi 〉

n∑i=1

|〈Ψ|vi〉|2

α∗(G) Número de Rosenfeld m«ax∑i∈clique wi≤1

∑i∈V (G),0≤wi≤1

wi



α(G) ≤ ϑ(G) ≤ α∗(G)

α(G) Número de IndependenciaCota de Teorías clásicasϑ(G) Número de LovászCota de Mecánica Cuánticaα∗(G) Número de RosenfeldCota de Teorías probabilísticas



α(G) ≤ ϑ(G) ≤ α∗(G)

Grafos cuánticos contextuales: α < ϑ

Grafos cuánticos totalmente contextuales: α < ϑ = α∗

Grafos cuánticos no contextuales: α = ϑ



RESULTADOS

GCCs no son grafos perfectosα(G) ≤ ϑ(G) ≤ α∗(G)↔ ω(G) ≤ ϑ(G) ≤ α∗(G) ≤ χ(G)

QCGPG

G

QNCG



RESULTADOS

GCCs tienen como grafos inducidos a agujeros impares (odd holes) oantiagujeros impares (odd antiholes).


AGUJEROS IMPARES

RESULTADOS

Los agujeros impares (ciclos con n vértices, n > 3 impar) son GCCs.

α(Cn) =n − 1

2< ϑ(Cn) =

n cos(π

n

)1 + cos

(πn

)R.O. óptima Lovász de agujeros impares en dimensión 3:

〈vj | =

√ϑ

n√1− ϑ

ncos

(2πjn

)√

1− ϑ

nsin(

2πjn

)


AGUJEROS ANTIIMPARES

RESULTADOS

Los antiagujeros impares (complementarios de ciclos con n vértices,n > 3 impar) son GCCs.

α(Cn) = 2 < ϑ(Cn) =

1 + cos(π

n

)cos(π

n

)

R.O. óptima Lovász de antiagujeros impares en dimensión 2n + 1(Knuth, 1993)R.O. óptima Lovász de antiagujeros impares en dimensión n − 2(Portillo, 2012):

vj,0 =

√ϑ

n

vj,2m−1 = (−1)j(m+1)

√√√√√√√√√2

(cos(π

n

)+ (−1)m+1 cos

((m + 1)π

n

))

n cos(π

n

) cos

(j(m + 1)π

n

)

vj,2m = (−1)j(m+1)

√√√√√√√√√2

(cos(π

n

)+ (−1)m+1 cos

((m + 1)π

n

))

n cos(π

n

) sin

(j(m + 1)π

n

)


AGUJEROS ANTIIMPARES

RESULTADOS

Si una estructura cuántica contiene un antiagujero impar de n ≥ 5vértices, entonces la dimensión cuántica producida por la correlación es,al menos,b2n/3c.


NMERO DE ESTRUCTURAS BÁSICAS INDUCIDASEN DESIGUALDADES NC Y DEMOSTRACIONES KS

NC inequalityKS proof Vertices Dimension C5 C7 C7 C9 C9

KCBS 5 3 1 0 0 0 0CHSH 8 4 8 0 0 0 0S3 10 4 10 0 0 0 0KCBS-twin 10 6 12 0 0 0 0Mermin 16 8 96 0 0 0 0KS-18 18 4 144 108 0 12 0YO 22(13+9) 3 288 384 0 0 0KS-24 24 4 576 576 0 192 0KS-31 31 3 70 184 0 248 0KS-33 33 3 72 84 0 128 0


NÚMERO DE GRAFOS CONEXOS CON n VÉRTICES

Tipo / vértices 5 6 7 8 9 10No isomorfos 21 112 853 11117 261080 11716571Perfectos 20 105 724 7805 126777 3122221Contextuales 1 3 33 498 16533 975330No perfectos y - 4 96 2814 117770 7619020no contextualesTotalmente context. - - - - - 4

RESULTADOS

P(α(G) < ϑ(G)) u 1 para G de orden arbitrariamente grande.

1

34

25 6

7

8

9

10

1

34

25 6

7

8

9

10

(a) (b) 1

3

8

2 5

6 7

4

9

10

12

3

4

56

7

8

9

10(c) (d)


EN LABORATORIO


EN LABORATORIO

Probabilidad Resultado experimental Experimento idealP(010|012) 0,24091± 0,00021 0,25P(111|012) 0,30187± 0,00020 0,25

P(01|02) 0,28057± 0,00020 0,25P(00|03) 0,50375± 0,00014 0,5P(11|03) 0,47976± 0,00014 0,5P(00|14) 0,47511± 0,00034 0,5P(01|25) 0,43765± 0,00015 0,5

P(010|345) 0,24296± 0,00051 0,25P(111|345) 0,25704± 0,00052 0,25

P(10|35) 0,24751± 0,00035 0,25Ω 3,4671± 0,0010 3,5


PROBLEMAS ABIERTOS

Caracterización de grafos contextuales


GRAFOS CONTEXTUALES


PROBLEMAS ABIERTOS

Caracterización de grafos contextualesCaracterización de grafostotalmente contextuales


GRAFOS CONTEXTUALES

1

34

25 6

7

8

9

10

1

34

25 6

7

8

9

10

(a) (b) 1

3

8

2 5

6 7

4

9

10

12

3

4

56

7

8

9

10(c) (d)


PROBLEMAS ABIERTOS

Caracterización de grafos contextualesCaracterización de grafostotalmente contextualesGrafos contextuales con simetría


GRAFOS CONTEXTUALES


PROBLEMAS ABIERTOS

Caracterización de grafos contextualesCaracterización de grafostotalmente contextualesGrafos contextuales con simetríaRango ortogonal de un grafo(dimensión cuántica)


Gracias


AVISO LEGAL

Ningún gato ha sido maltratado en esta investigación.


REDES SOCIALES

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REDES SOCIALES


REDES SOCIALES

DIFERENCIA ENTRE CSN Y GSN

Probabilidad media T de que para un actor Ti = 1.

REDES SOCIALES CLÁSICAS

T =ω(G)

n=

número de cliquenúmero de vértices

(=

26

=13

)=α(G)

n

REDES SOCIALES GENERALES

T =α∗(G)

n

(=

5/26

=5

12

).

REDES SOCIALES CUÁNTICAS

T =1n

n∑i=1

|〈Ψ|ψi〉|2 =ϑ(G)

n

(=

√5

6

)


REDES SOCIALES / GRAFOS CONTEXTUALES

RESULTADOS

Estados cuánticos |Ψ〉 y |ψi〉 en dim. mín. ξ(G) optimizando T .

|Ψ〉 estado inicial de S con máxima ventaja cuántica.


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