Gráficos Existenciales Gama en Colory Algunos Sistemas de Lógica Modal

Leonardo Jiménez Moscovitzljmoscovitz@math.com

Trabajo de Grado para Optar porel Título de Matemático

Director: Schweitzer RocutsMatemático Universidad Nacional de ColombiaCandidato a M.Sc. de la Universidad Nacional

Fundación Universitaria Konrad LorenzFacultad de Matemáticas

27 de junio de 2003

Resumen

Se presenta una breve introducción al cálculo proposicional clásico ya algunas lógicas modales proposicionales estándar, y luego se explicanlos conceptos básicos de los gráficos existenciales alfa y gama en color. Apartir de estos elementos se establecen las reglas de un sistema gama encolor y se muestra su equivalencia con el sistema de lógica modal S5.

Tinctured existential graphs and some systems of classical modal logic:A short introduction to classical propositional calculus and classical propo-sitional modal logic is presented and then the basics of alpha and tincturedexistential graphs are explained. Based on these elements, a set of rulesfor a tinctured gamma system are developed, as well as its equivalencewith the S5 system of classical modal logic.

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Índice GeneralIntroducción 4

1 Preliminares 51.1 Sistemas Deductivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Cálculo Proposicional Clásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Lógicas Modales Proposicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1 Semántica de Mundos Posibles . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.2 Sistema K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.3 Sistema T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.4 Sistema S4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.5 Sistema S5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 La Lógica Gráfica de Peirce 162.1 Sistema Alfa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2 Equivalencia entre Alfa y Cálculo Proposicional . . . . . . . . . . 21

2.2.1 Traducción entre Alfa y el cálculo proposicional clásico . . 222.2.2 La base de Alfa en el sistema de Rosser. . . . . . . . . . . 232.2.3 La base del sistema de Rosser en Alfa. . . . . . . . . . . . 24

2.3 Sistema Gama en Color. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4 Equivalencia entre Gama Color y S5 . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4.1 Función de Traducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4.2 La Base de Gama Color en el sistema S5. . . . . . . . . . 302.4.3 La Base del Sistema S5 en Gama Color. . . . . . . . . . . 34

2.5 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Conclusiones 38

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IntroducciónEn medio de la inmensa y muy variada obra de Charles Saunders Peirce aparecenmuy importantes aportes a la matemática y, en particular, a la lógica matemáti-ca, como la distinción de deducibilidad e implicación a través de un teorema dela deducción, la teoría de cuantificadores y formas normales y el desarrollo delcálculo de predicados, entre muchos otros trabajos de gran relevancia. En par-ticular en sus aportes a la lógica aparece un constructo mucho más robustoque comprende la lógica o semiótica universal, las tres categorías generales, lamáxima pragmática, el vaivén evolutivo entre determinación e indeterminacióny la clasificación de las ciencias [Zal01][Oos01]. En medio de su obra aparece loque Peirce consideró su obra maestra: los gráficos existenciales, con los cualesse realizan deducciones formales de forma visual y los cuales son ejemplo nítidode su constructo filosófico.Los gráficos existenciales, que corresponden a la versión evolucionada de

varias propuestas al respecto, son presentados por Peirce en tres niveles, a decir,los gráficos Alfa, Beta y Gama que equivalen respectivamente al cálculo proposi-cional, de predicados relacional de primer orden y algunos sistemas modales.Además los gráficos gama, cuya presentación quedó inconclusa, permiten ver-siones del cálculo clásico de segundo orden y representaciones del metalenguaje.El lenguaje usado por Peirce para sus gráficos comprende en las versiones

Alfa y Beta, la hoja de aserción, las letras para simbolizar proposiciones opredicados, las líneas de cortadura e identidad para simbolizar la negación y elcuantificador existencial. En la versión Gama se extiende este lenguaje con unalínea de identidad punteada o resaltada, y en el caso de lógicas modales, unalínea de cortadura punteada o color para simbolizar alguna modalidad.Aunque se dispuso de toda la bibliografía anotada al final, la mayor parte

del trabajo se ha basado en la tesis doctoral de Jay Zeman “The Graphical Logicof C. S. Peirce” que hace extensivos análisis a los sistemas Alfa, Beta y GamaPunteado.En capítulo 1 se hace una breve presentación, sintáctica y semántica, del cál-

culo proposicional clásico y los sistemas modales K, T, S4 y S5. En el capítulo2 se muestran los gráficos existenciales Alfa y Gama a Color y la equivalenciaentre el cálculo proposional y el sistema modal S5, respectivamente. En la úl-tima parte del trabajo se hace alusión a algunas de las exploraciones llevadas acabo en desarrollo del trabajo.Se han utilizado, tal como en las obras referenciadas de Hughes y Cresswell,

los signos “⊃ ” para la implicación material, “−→ ” para significar “se derivaque”, y el signo “`L ” para significar “se concluye que” en una lógica deductivaL, escribiendo simplemente ` si el sistema lógico es obvio.En cuanto a la presentación de este documento, realizado como proyecto

de grado, se han seguido las normas de la AMS, omitiéndose algunas de ellaspara no sacrificar la claridad del mismo, especialmente en el tratamiento de losgráficos existenciales y las figuras.

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1 Preliminares

1.1 Sistemas Deductivos

En lógica matemática los sistemas deductivos o lógicas generalmente se estudi-an bajo dos perspectivas fundamentales, sintaxis y semántica, con lo cuál sepersigue caracterizar los argumentos y verdades de este sistema. El estudio sin-táctico percibe al sistema como una colección de símbolos y reglas precisas deformación de objetos del sistema, acompañadas de reglas de manipulación detales objetos, lo que brinda una visión de sus propiedades estructurales, mien-tras que el estudio semántico del sistema confronta al sistema con universosinterpretantes donde cobra sentido la noción de verdad o validez.Más precisamente, los elementos sintacticos básicos con que se define un sis-

tema deductivo formal son: Un alfabeto, reglas de formación, reglas detransformación, axiomas y definiciones. El alfabeto es un conjunto novacio de símbolos; las reglas de formación permiten la obtención del lenguajedel sistema a través de la correcta construcción sus elementos, los cuales se de-nominan fórmulas bien formadas (fbf) o simplemente las fórmulas del sistema.Se pide que el conjunto de fórmulas del sistema sea decidible, es decir, debe serposible utilizando algún algoritmo de verificación, si una cadena es una fbf ono. Las reglas de transformación dan movimiento al sistema y permiten obte-ner relaciones entre los componentes de cada regla. Los axiomas y definicionesson fórmulas bien formadas que son el punto de inicio del movimiento del sis-tema a través de las reglas de transformación. Lás fórmulas resultantes de estemovimiento son los teoremas del sistema deductivo.En cálculo proposicional clásico, el alfabeto consta de símbolos de proposi-

ciones, conectivos y parentesis, mientras que el cálculo de predicados clásicoconsta de símbolos de variables, constantes y predicados, paréntesis, conectivosy cuantificadores además del símbolo de igualdad. Las reglas de formación enestos calculos permiten la construcción univoca de una fórmula, es decir sudescomposición única en fórmulas más sencillas. Las reglas de precedencia delos conectivos en la notación infija de la lógica clásica no evitan por sí mis-mas la ambiguedad, por lo cual se hace uso extensivo de paréntesis en casosdonde se pueda presentar esta situación. La notación polaca, desarrollada porŁuckasiewics, no require del uso de paréntesis.El estudio semántico del sistema deductivo comprende las interpretaciones

o valoraciones que se da a las fórmulas del mismo, con lo que entonces, lasemántica proporciona una justificación intuitiva a los procedimientos deduc-tivos. En cálculo proposicional clásico se asigna una función -llamada funciónde valuación- a cada conectivo lógico, y el valor que tome depende del valor delas proposiciones a las cuales conecta. Es así como se construyen las tablas deverdad para los conectivos, y un conectivo que posee esta propiedad se le llamafuncional de verdad. No todos los conectivos lógicos tienen esta propiedad,ya que los conectivos modales no son conectivos funcionales de verdad. Una fbfse dice válida o que es una tautología, si es verdadera para toda valuacióndefinida en las variables o constantes que la conformen.

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1.2 Cálculo Proposicional Clásico

Se puede establecer un sistema de cálculo proposicional clásico a partir de lasiguiente base axiomática:

Definición 1.1 (Alfabeto) Conjunto enumerable de símbolos que consta delos siguientes elementos:

1. Letras proposicionales: p, q, r, ..., p1, p2, ...

2. Dos conectivos proposicionales primitivos: Conectivo unario ¬ (negación),y conectivo binario ∧ (Conjunción).

3. Paréntesis, izquierdo y derecho: ( y )

4. Conectivos proposicionales no primitivos: ∨,⊃,≡ .

Definición 1.2 (Conectivos no Primitivos) Sean α y β fbfs. A partir delos conectivos primitivos, se definen los siguientes conectivos binarios:

1. (∨) Disyunción. α ∨ β ≡ ¬(¬α ∧ ¬β)2. (⊃) Implicación material. α ⊃ β ≡ ¬(α ∧ ¬β), donde α es el antecedentey β el consecuente.

3. (≡) Equivalencia. (α ≡ β) ≡ (α ⊃ β) ∧ (β ⊃ α)

Regla 1.1 (Reglas de formación de fbfs) Una cadena de símbolos es unafbf si se obtiene mediante la aplicación de una de las siguientes reglas:

1. Las letras proposicionales son fbfs.

2. α es una fbf, entonces ¬(α) es una fbf.3. α y β son fbfs, entonces (α) ∧ (β) es una fbf.4. Nada más es una fbf.

Axioma 1.1 (Rosser 1) p ⊃ p ∧ p

Axioma 1.2 (Rosser 2) p ∧ q ⊃ p

Axioma 1.3 (Rosser 3) (p ⊃ q) ⊃ (¬(q ∧ r) ⊃ ¬(r ∧ p))

Regla 1.2 (Sustitución Uniforme) Sean α,β fbfs de Pr, con α una tau-tología que contiene la variable p. Si α0 = α(p/β), esto es, α0 es la fórmulaque resulta de sustituir en α, todas las ocurrencias de p por β , entonces α0

tautología.

Regla 1.3 (Modus Ponens o Regla de Separación) Si se tiene α y (α ⊃β) entonces ` β

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Al conjunto de axiomas y teoremas de una lógica L se le llamarán las tesis deL. La selección de los tres axiomas de Rosser bien se hubiera podido sustituir porotro conjunto mínimo de axiomas que permitieran que el sistema fuera completoy consistente. Los tres axiomas suministrados forman la base del Sistema deRosser (Pr). Las dos reglas de inferencia del sistema lógico son las que leproporcionan los mecanismos deductivos.En el proceso deductivo, un conjunto de premisas premisa Γ es un conjunto

de fbf de las cuales se quieren obtener deducciones.

Definición 1.3 (Deducción Formal) Dado una lógica L, una sucesión finitade fbfs α1, a2, ..., an de L se llama deducción formal, si para todo ai, 1 ≤ i ≤ n,se tiene una de las condiciones siguientes:

1. ai es un axioma, ó

2. ai se obtiene a partir de alguna de las fbfs anteriores (a1, ..., ai−1) mediantela aplicación de una de las reglas de inferencia del sistema.

Se dice entonces que la sucesión α1,α2, ...,αi−1 es una prueba de αi y seescribe α1,α2, ...,αi−1 ` αi o Γ ` αi. Si Γ = φ se dice que αi es un teorema.

Teorema 1.1 (Deducción) Sea Γ un conjunto posiblemente vacío de premisas.Si Γ,α ` β, entonces Γ ` α ⊃ β

Luego si α1,α2, ...,αi−1 ` αi entonces α1 ⊃ (α2 ⊃ (... ⊃ (αi−1 ⊃ αi)...)) esun teorema, por aplicación reiterada del teorema de la deducción.Si P es un conjunto de letras proposicionales, una valuación de P es una

función v : P −→ Ω, donde Ω es un conjunto de elementos distintos llamadosvalores de verdad. Para la lógica clásica bivaluada Ω = V, F . Gracias a lasreglas de formación se permite extender de manera natural una valuación v auna función v en el conjunto =(P ) de las fórmulas cuyas letras proposicionalesestan en P , así:

1. v [α] = v [α] si α ∈ P2. v [¬α] = 1− v [α]3. v [α ∧ β] = Min(v [α] , v [β])4. v [α ∨ β] = Max(v [α] , v [β])5. v [α ⊃ β] = Max(1− v [α] , v [β])

Definición 1.4 (Tautología) Se dice que una fórmula α es una tautología, oque es válida, y se denota ² α, si v [α] = V para toda valuación definida en lasvariables proposicionales que la conforman. Si α es una tautología en una lógicaL, se denota ²L α.

Teorema 1.2 (Validez) Si `L α entonces ²L α. En una lógica L, todo teore-ma es una tautología.

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Teorema 1.3 (Completitud) Si ²L α entonces `L α. En una lógica L, todatautología es demostrable.

Definición 1.5 (Consistencia) Sea Γ una colección de fbfs de una lógica L.Se dice que Γ es consistente si no existe α tal que Γ `L α y Γ `L ¬α. Si Γ nocumple esta condición, se dice que es inconsistente.

Afirmaciónt 1.1 El sistema de Rosser, Pr, es consistente y completo.Son muchos los patrones que se han identificado y estudiado en cada una de

los sistemas lógicos. Uno de ellos, y de particular interés en las demostracionesque se harán en el siguiente capítulo, tienen que ver con la paridad de la cantidadde negaciones que afectan una subfórmula dentro de una fórmula.

Definición 1.6 (Posición antecedente y consecuente) Sea P una subfór-mula de una fórmula Q de Pr. Se dice que P está en posición antecedente yse escribe QA(P ) para la fórmula completa, sii la ocurrencia de la subfórmulaP está bajo el alcance de un número impar de negaciones. En caso contrario,se dice que P está en posición consecuente y se escribe QC(P ) para la fórmulacompleta, esto es, sii la ocurrencia de P está bajo el alcance de un número parde negaciones.

Con esta definición, Zeman establece los siguientes lemas, muy utiles en elestudio del cálculo proposicional clásico, y cuya demostración se encuentra en[Zem64]:

Lema 1.1 Si `L QA(P ) y `L R ⊃ P entonces también `L QA(R)Lema 1.2 Si `L QC(P ) y `L P ⊃ R entonces también `L QC(R)En palabras, el primero de estos dos lemas dice que si se concluye que P está

en posición antecedente, y que se tiene que otra fórmula R implica a P, entoncesR también está en posición antecedente. Y análogamente para el segundo lema,con la posición consecuente.Recordando que en la lógica es común el uso de esquemas, esto es, de ex-

presiones que contienen identificadores que representan expresiones, algunas de-mostraciones utilizarán un esquema muy particular [Zem64].En ciertos casos esconveniente utilizar, dentro del metalenguaje de la lógica, la variable functorque se denotará por δ(p), y que es un esquema que representa cualquier fun-ción de verdad de su argumento p. La variable functor permite caracterizar demanera abreviada, diferencias o similitudes entre fórmulas.

1.3 Lógicas Modales Proposicionales

Las lógicas modales incorporan en su léxico nuevos conectivos para calificarla verdad de un juicio sobre una proposición. Diferentes conectivos y diferen-tes interpretaciones de cada conectivo conducen a sistemas lógicos diferentes.Mientras que en el cálculo proposicional clásico, a cada uno de los conectivos

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se les puede asignar una función de verdad, en las lógicas modales se trabajacon conectivos adicionales a los cuales no se les puede asignar una función deverdad.Una lógica modal muy importante incluye los conectivos modales dos nuevos

conectivos modales: ♦ que se interpretan como “posibilidad”, y ¤ que se in-terpreta como “necesidad”. Existen variadas interpretaciones de este par desímbolos, que han llegado a convertirse en lógicas modales particulares; cadauna de ellas conserva el calificativo de “modal” porque expresan modos o mane-ras en que una proposición puede ser verdadera. La lógica modal es el estudiodel comportamiento deductivo de expresiones “es necesario que” y “es posibleque” que utilizan los signos ¤ y ♦ respectivamente. Las lógicas modales quetrabaja con base en esta interpretación recibe el nombre genérico de alethiclogics, que en algunas publicaciones se ha traducido como “lógicas aléticas”.

1.3.1 Semántica de Mundos Posibles

Dado que no hay tablas de verdad para expresiones que utilizan conectivosmodales, Kripke [Gol02] desarrolló un procedimiento formal que permite es-tablecer la verdad o falsedad de una expresión modal. Se requieren las siguientesdefiniciones [HC96]:

Definición 1.7 (Marco) Un marco para la lógica modal proposicional es unpar F = (W,R) donde W es un conjunto no vacío, llamado dominio, dotadode una relación binaria R sobre elementos de W.

A los elementos de W se les llama mundos posibles. Si se tiene un marcoF = (W,R) donde W = w1, w2, ...wi..., entonces entre dos mundos wi, wj deW decimos que existe una relación de accesibilidad y se denota R(wi, wj).Por tanto R es subconjunto deW×W. Si R(wi, wj) se dice que wj es R-accesiblepara wi.

Notación 1.1 El valor de verdad de una sentencia atómica p, en el mundo w,dado por una valuación V se escribe V (p,w).

Definición 1.8 (Modelo) Un modelo Φ para un marco es una terna M =(W,R, V ), donde W es el conjunto de mundos posibles, V : Φ −→ 2W , y R esuna relación entre mundos de W .

Por lo tanto, un modelo es un marco dotado de una función de valuación.V es una función que asigna a cada fórmula atómica p de LM un subconjuntoV (p) de W. Se puede ver a V (p) como el conjunto de mundos en los cuales p esverdadero, esto es V (p,w) = T .Las definiciones siguientes describen la validez de una fórmula dependiendo

del contexto donde se considere.

Notación 1.2 Si se tiene el modeloM = (W,R, V ) se escribe (M, w) ² p paradenotar que la fórmula atómica p se cumple en el mundo w de W en M, estoes: V (p,w) = T.

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Definición 1.9 (Fórmula Verdadera) Si se tiene un modeloM = (W,R, V ),se dice que una fórmula α es verdadera en el mundo w del modelo M, si secumple [RW01]:

1. (M, w) ² p sii w ∈ V (p), donde p es una fórmula atómica.2. (M, w) ² ¬α sii ¬(M, w) ² α.

3. (M, w) ² α ∧ β sii (M, w) ² α y (M, w) ² β.

4. (M, w) ² ¤α sii para todo wi en W , si R(w,wi) entonces en (M, wi) ² α.

5. (M, w) ² ♦α sii existe un wi en W tal que R(w,wi) y (M, wi) ² α.

La condición 4 dice que una proposición α es necesariamente verdadera, sicumple que α es verdadera en todo mundo wi que seaR-accesible desde el mundoactual. Y lo contrario, que si en todo mundo wi al que se puede acceder desde w,se tiene que α es verdadera, entonces α es una verdad necesaria. La condición5 dice que α es posiblemente verdadera debe existir al menos un mundo wi,R-accesible desde w, donde α es verdadera. Y recíprocamente.La noción de verdad aquí expresada es local, ya que las fórmulas son eva-

luadas en algún mundo particular w, aún para los conectivos modales, ya quepara ♦ y ¤, se observa que el valor de estos operadores depende de los mun-dos posibles R-accesibles desde el mundo actual y no mediante una verificaciónen todos los mundos posibles. Las siguientes definiciones son importantes paradeterminar el contexto de las afirmaciones en lógica modal:

Definición 1.10 (Validez - en un mundo) Una fórmula α es válida en unmundo w de un marco F , si α es verdadera en w para cada modelo M basadoen F . Se denota (F , w) ² α.

Definición 1.11 (Validez - en un marco) Una fórmula α es válida en unmarco F , si es válida en cada mundo wi de W en F .Definición 1.12 (Consecuencia semántica local) Sea S una clase de mo-delos (o una clase de marcos). Sea Σ un conjunto de fórmulas modales y Auna fórmula. Se dice que A es una consecuencia semántica de Σ sobre S, y sedenota por Σ ²S A si para todos los modelosM de S y para todos los mundosw enM, si (M, w) ² Σ entonces (M, w) ² A.

Definición 1.13 (Consecuencia semántica global) Sea S una clase de mo-delos o una clase de marcos. Sea Σ un conjunto de fórmulas modales y A unafórmula. Se dice que A es una consecuencia semántica global de Σ sobre S, y sedenota por Σ ²gS A si para todos los modelosM de S o para todos los marcosF de S, si S ² Σ entonces S ² A.Se han desarrollado métodos para realizar las pruebas de validez de una

expresión, que indican si una expresión es válida y en que marcos: [HC96]y [Sie02]; su presentación se omite en el presente trabajo por ser demasiado

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extensa. La definición siguiente, establecida por Lemmon y Scott en el año1977, se ofrece como una herramienta rápida para establecer la correspondenciaentre algunos axiomas y el marco en que son válidos, y funciona para lógicas queextienden al sistema K (apartado 1.3.2) con axiomas de una forma específica[LS77]:

Definición 1.14 (Convergencia-hijk) Si se tiene un axioma de la forma♦h¤ip ⊃ ¤j♦kp, la condición de los marcos que le corresponde, de acuer-do con los valores de h, i, j y k, viene dada por Rh(w, v) ∧ Rj(w, u) −→∃x(Ri(v, x) ∧ Rk(u, x)), donde R0 es la relación identidad, y cada R se puedecomponer, de tal manera que Rn = R R ... n veces.

Para establecer el marco en el que es válido un determinado axioma de laforma mencionada, se toma ♦h¤ip ⊃ ¤j♦jp, y se dan valores a h, i, j, y k detal manera que quede tal como el axioma a demostrar, teniendo en cuenta que♦0 indica que no hay ocurrencias de ♦ en el axioma, e igualmente para ¤. Losvalores h, i, j, y k obtenidos se reemplazan en la expresión de las relaciones, ydonde aparece R0(w, v) se coloca w = v. Al final se obtiene la relación buscada.En el ejemplo 2.1 aparece una aplicación. Es conveniente en todo caso realizarlas pruebas de validez para el resultado obtenido, tal como en [HC96].Los conectivos modales que se utilizarán en el resto del trabajo, la inter-

pretación que se les da, las reglas de inferencia y axiomas que se tomarán comopunto de partida definen lo que se llama una lógica normal.

Definición 1.15 (Lógicas Normales) Una Lógica LN se denomina normalsi contiene todas las tautologías del cálculo proposicional (CP), contiene losesquemas:

a. ¤(p ⊃ q) ⊃ (¤p ⊃ ¤q)b. ¤ ≡ ¬♦¬y es cerrada bajo las siguientes reglas:

a. Modus Ponens (MP )

b. Sustitución Uniforme (SU)

c. Regla de Necesidad: si `CP α −→²LN ¤α

Las lógicas normales forman una importante familia de lógicas que tienenen común estas especificaciones. A la más débil de todas las lógicas normalesse se le llama sistema K., y se utiliza como base para contruir otros sistemasmodales normales.A continuación se expondrán los sistemas K, T, S4 y S5. Los teoremas

más importantes de cada uno de estos sistemas, así como sus demostraciones,se puede encontrar en [HC96] por ejemplo. Los conectivos ¤ y ♦ serán aquísiempre interpretados como en la página 9.

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1.3.2 Sistema K

A la lógica normal más pequeña se le llama sistema K, en honor a Kripke. Esel sistema modal mínimo en el sentido de que sus axiomas son válidos en todoslos marcos, lo que lo convierte en el menos restrictivo de los sistemas normales.El sistema K se define formalmente así:

Símbolos Primitivos

• Los símbolos del Cálculo Proposicional son símbolos válidos de K.• Conectivo monádico ♦.

Definición 1.16 (Necesidad) ¤ := ¬♦¬

Axioma 1.4 si `CP α −→²K α. Es decir, si α es una fbf válida o Teoremadel CP, entonces α es un Teorema en K

Axioma 1.5 (Axioma K) ¤(p ⊃ q) ⊃ (¤p ⊃ ¤q)

Regla 1.4 (CP) Una regla de transformación válida en CP es también válidaen K.

Regla 1.5 (Modus Ponens) Si α y α ⊃ β son teoremas, β es un teorema.

Regla 1.6 (Necesidad) Si α es un teorema del CP, ¤α es un teorema deK.

Los teoremas más importantes que se encuentra en el sistema K son:

Teorema 1.4 (K1) ¤(p ⊃ q) ≡ (¤p ⊃ ¤q)

Teorema 1.5 (K2) (¤p ∨¤q) ⊃ ¤(p ∨ q)

Es importante verificar que el converso de K2 no es un teorema.

Teorema 1.6 (K3) ♦(p ∨ q) ≡ (♦p ∨ ♦q)

Teorema 1.7 (K4) ♦(p ⊃ q) ≡ (¤p ⊃ ♦q)

1.3.3 Sistema T

El sistema T se define con base en el sistema K, con la adición de un axiomaadicional

Axioma 1.6 (Axioma T o Axioma de Necesidad) ¤α ⊃ α

Regla 1.7 si `K α −→`T α. Es decir, todo teorema de K es teorema de T.

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El sistemaT contiene al sistemaK, lo cual se expresa comoT =K+AxiomaT . El axioma T es muy importante en la diferenciación de las lógicas modalesrespecto de otras lógicas en la familia de lógicas modales.Algunos teoremas de T que no son teoremas en K son:

Teorema 1.8 (T1) p ⊃ ♦q

Teorema 1.9 (T2) ♦(p ⊃ ¤p)

Teorema 1.10 (T3) ¤(p ∧ q) ≡ (¤p ∧¤q)

El sistema T es válido en todo marco F = (W,R) en el cual se cumpla quepara todo mundo wi de W, se tiene que R(wi, wi), es decir, en todos los marcosreflexivos. El proceso detallado de verificación de los marcos en que es válidoun sistema se puede encontrar en [HC96].El sistema T, al igual que el K, es débil para formalizar de manera correcta

la lógica de la necesidad y la posibilidad. Por este motivo, se idearon nuevos axi-omas que reflejaran propiedades importantes de estos conectivos que conducenentre muchos otros, a S4 y S5, que son los sistemas de más utilizados.

1.3.4 Sistema S4

La base de S4 es la misma base de T, con la adición del siguiente axioma:

Axioma 1.7 (Axioma 4) ¤α ⊃ ¤¤α

Como este sistema contiene al sistema T, usualmente se expresa como S4 =T+Axioma 4. Algunos teoremas de S4 son:

Teorema 1.11 ¤¤α ≡ ¤α

Teorema 1.12 ♦♦α ≡ ♦α

Teorema 1.13 ¤♦¤♦α ≡ ¤♦α

Teorema 1.14 ♦¤♦¤α ≡ ♦¤α

Entonces, lo que expresa el axioma 4 es que si una fórmula tiene una cadena¤n, toda la cadena se puede reemplazar por una cadena con menor cantidad deconectivos ¤, o solo con uno. Análogamente sucede para cadenas ♦n. Más aún,tal como sugieren los teoremas S4-3 y S4-4, la iteracion de modalidades de laforma (¤♦)n o (♦¤)n se pueden simplificar, hasta dejar un solo patron. Antesde generalizar estos resultados en S4 se requieren las siguientes definiciones.

Definición 1.17 (Modalidad) Una modalidad es una sucesión contínua decero o más conectivos monádicos ¬,¤,♦. Cuando se tienen cero conectivos enla cadena, se denota por “−”.

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Si la modalidad está expresada de tal manera que no contiene negaciones, osólo contiene una negación al principio de la cadena, se dice que está en formaestándar, y que en el primer caso es una modalidad positiva y en el segundouna negativa. Si la modalidad contiene dos o más conectivos modales, se diceque es una modalidad iterada [HC73].Dos modalidades A y B se dicen equivalentes en un sistema dado. si el

resultado de reemplazar A por B o B por A en cualquier fórmula del sistema,es siempre equivalente a la fórmula original. Si A y B son equivalentes en undeterminado sistema, y A contiene menor cantidad de operadores modales, sedice que B es reducible a A.

Teorema 1.15 (Modalidades en S4) Cualquier modalidad en S4 es equiva-lente a una de las siguientes modalidades:

- ¤ ♦ ¤♦ ♦¤ ¤♦¤ ♦¤♦¬ ¬¤ ¬♦ ¬¤♦ ¬♦¤ ¬¤♦¤ ¬♦¤♦Por lo tanto, en S4 se tienen 14 modalidades diferentes. Cualquier otra

modalidad debe ser equivalente a una de las modalidades descritas. Esto tam-bién permite describir en detalle las transformaciones posibles que se puedendar entre fórmulas de S4.El sistema S4 es válido en todo marco F = (W,R) que cumpla las siguientes

dos condiciones: F debe ser reflexivo (ya que S4 contiene a T) y transitivo:F debe cumplir también que, dados wi, wj de W, para todo mundo w de W setiene que si R(w,wi) y R(wi, wj), se debe tener R(w,wj).

1.3.5 Sistema S5

La base de S5 es T, con la adición del siguiente axioma:

Axioma 1.8 (Axioma E) ♦α ⊃ ¤♦αY se expresa como S5 = T+Axioma E. Algunos teoremas de S5 son:

Teorema 1.16 (S5-1) ¤α ≡ ♦¤αTeorema 1.17 (S5-2) ♦α ≡ ¤♦αTeorema 1.18 (S5-3) ¤α ⊃ ¤¤αTeorema 1.19 (S5-4) ♦(p ∧ ♦q) ≡ (♦p ∧ ♦q)Teorema 1.20 (S5-5) ♦(p ∧¤q) ≡ (♦p ∧¤q)El axioma 4 no es axioma en S5, pero aquí se puede demostrar como teorema,

lo cual constituye una prueba de que S5 contiene a S4. También se puededemostrar que S4 no contiene el axioma E.Se observa que así como S4 permite simplificar cadenas con conectivos o pa-

trones de conectivos repetidos, S5 permite un mayor grado de simplificación, yaque cualquier cadena de conectivos puede reemplazarse por el último conectivode la sucesión, esto es:

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• XX...¤ ≡ ¤• XX...♦ ≡ ♦

Donde cada X en XX... puede representar indistintamente ¤ o ♦.

Teorema 1.21 (Modalidades en S5) Cualquier modalidad en S5 es equiva-lente a una de las siguientes modalidades:

- ¤ ♦¬ ¬¤ ¬♦

Luego en S5 se tienen sólo 6 modalidades diferentes, dentro de las cuales setienen las siguientes transformaciones: ¤p ⊃ p ⊃ ♦p y F ⊃ ¬p ⊃ ¬¤p. [Sie02].Las reglas de reducción de S5 permiten que sea el único de los 4 sistemas revisa-dos, que disponga de una forma normal conjuntiva modal para cualquierfbf [HC73].El sistema S5 es válido en todo marco F = (W,R) que cumpla con las

siguientes tres condiciones: F debe ser reflexivo, transitivo y simétrico. Lasdos primeras, por contener a T y S4 respectivamente. La última condiciónestablece que en todos los marcos F = (W,R) para cada par de mundos wi, wjde W, se tiene que si R(wi, wj), se debe tener también R(wj , wi). A un marcoque cumple con estas tres condiciones se le llama también marco universal,y la relación de accesibilidad se da entre todos los mundos posibles [Sie02]. Esuno de los marcos más útiles en la representación adecuada de la lógica de la“necesidad” y la “posibilidad” bajo diversas interpretaciones.

15

2 La Lógica Gráfica de PeirceLa lógica gráfica de Peirce que en su etapa más desarrollada llamó gráficosexistenciales, se desarrolló como tres sistemas lógicos, con muchas característicasen común, y que llamó Alfa, Beta y Gama.Alfa es un sistema lógico equivalente al cálculo proposicional clásico, y uti-

liza tres símbolos distintos a partir de los cuales se desarrolla todo el lenguaje:La hoja de aserción, las letras y el corte. En cuanto a Beta, se ha demostradosu equivalencia con el cálculo de predicados de primer órden. Utiliza los mismoselementos del lenguaje que Alfa, e incorpora un símbolo adicional, llamado lalínea de identidad. Gama fue un proyecto que Peirce no alcanzó a concluir, ydel cual realizó diferentes versiones incompletas, con un objetivo común: re-presentar adecuadamente las diversas lógicas modales. Una de las versiones deGama, Gama Punteado, introduce el conectivo modal “posiblemente no” medi-ante la utilización de un corte punteado. La otra versión, llamada Gama Color,introduce el conectivo modal “posiblemente”, y lo hace rodeando un gráficocompletemente de color.En cualquier caso, Peirce sugiere [MS514] algunas definiciones y convenciones

que permiten establecer un lenguaje más claro.

Hoja de Aserción (HA). El elemento básico de los gráficos existenciales esla hoja de aserción, superficie sobre la cual se dibujan los gráficos. Más queuna simple área de dibujo, representa el universo del discurso, el dominio de losobjetos acerca de los cuales se está afirmando alguna proposición como válida.La HA en blanco representa “la verdad”. Todo lo que se dibuje sobre la HA seafirma como verdadero.

Gráfico. En [MS514] Peirce define gráfico como “la manera en que una afir-mación dada es representada”. Cuando el grafico es dibujado sobre la hoja deaserción, se tiene lo que Peirce denomina instancia de un gráfico. En otraspalabras, un gráfico es cualquier signo o combinación de signos que ex-prese en una proposición cualquier estado posible del universo, mientras que alinscribirlo en una hoja se tiene una instancia de dicho gráfico. Al utilizar lapalabra “gráfico”, siempre se le dará la connotación de gráfico bien formado(gbf), cuya definición se dará más adelante de manera formal.Los gráficos fueron clasificados por Peirce como divisibles, si se pueden des-

componer en gráficos más elementales, e indivisibles (o atómicos) si no es posibleesta descomposición. Sobre la HA se utilizarán las letras mayúsculas X,Y, ...para representar un gbf cualquiera, indivisible o no.

Corte. Es una línea cerrada, como muestra la figura 1 que divide o separa lasuperficie de la hoja en dos zonas: una interior al corte y otra exterior a él.El corte tiene como propósito afirmar que el gráfico que está en su interior

es falso, y se verá que tiene un comportamiento análogo a la negación de lalógica clásica. Por lo tanto el gráfico anterior niega la verdad de Y. Peirce lo

16

Y

Figura 1: El corte que rodea al gráfico Y

llamó también “sep” [MS514] , ya que establece una separación entre interior yexterior.

Área. Peirce denominó área a la totalidad de una superficie contínua. Dadoque el corte establece una separación sobre la superficie de la hoja de aserción,entonces el área es toda la superficie que podemos recorrer sin cruzar por uncorte. Si un gráfico α está en el área interior de un corte y otro gráfico βse encuentra en el área exterior al corte, decimos que α y β se encuentranseparados.Los gráficos indivisibles deben estar totalmente contenidos en una única área.

Cuando se trabaje con Beta o con el sistema Gama en gráficos que contenganLíneas de Identidad, se deberán tener en cuenta consideraciones adicionales([MS514] página 14).Los gráficos que están yuxtapuestos sobre la misma área forman una con-

junción, tal como los gráficos X y Y de la figura 2, donde todo el gráfico se lee¬(X ∧ Y ) :

YX

Figura 2: Yuxtaposición de dos gráficos X y Y.

Lectura e interpretación de un gráfico. En cuanto a la lectura de ungráfico e interpretación de un gráfico, Peirce establece para los gráficos exis-tenciales que “...la regla de interpretación que necesariamente se sigue de ladiagramación es que el proceso se realiza de afuera hacia adentro...”1. La lec-tura e interpretación por lo tanto se realizan de una manera natural, aún engráficos complejos.Es conveniente disponer de un metalenguaje para hablar acerca de los propios

gráficos y de las relaciones entre ellos, el cual será de utilidad en las demostra-ciones. Este metalenguaje se define así:

Notación 2.1 (Metalenguaje para los Gráficos Existenciales) Como sig-nos del metalenguaje para describir los gráficos existenciales se utilizarán los

1C. S. Peirce, MS514, p. 16

17

siguientes:

1. gi representa un gráfico indivisible, donde i = 0, 1, 2... y g0 representa laHA en blanco. El conjunto de todos los gráficos indivisibles del sistema sellama Mg = g0, g1, .... Cada gráfico indivisible posee una relación uno auno con los signos g0, g1, ...

2. α,β, ... con o sin subíndices representan tanto gráficos atómicos (es decir,gk) como divisibles.

3. S(α) es el resultado de rodear el gráfico α por un corte.

4. J(α1α2...αn) es el resultado de inscribir los gráficos α1,α2, ...αn sobre lamisma área.

5. P (α) es el resultado de rodear el gráfico α de color.

6. Rx(β,α) es la notación que indica que al gráfico α se le aplicó una ciertaregla x y se transformó en el gráfico β. La x será reemplazada por laabreviatura de la regla particular utilizada.

2.1 Sistema Alfa

Las siguientes definiciones, reglas de formación de gbfs, y reglas de transfor-mación, además de un único axioma, permiten definir a Alfa como un sistemalógico deductivo.

Definición 2.1 (Alfabeto) Conjunto enumerable de símbolos que consta de:

1. Hoja de aserción (HA).2. Letras proposicionales. p, q, r, ...

3. Corte.

Definición 2.2 (Gráfico bien formado) Un gbf Alfa se obtiene mediante laaplicación de una de las siguientes reglas:

1. HA en blanco es un gráfico bien formado.

2. Inscribir una letra proposicional en la HA es un gbf.

3. Si α es un gbf, S(α) es un gbf.

4. Si α,β son gbfs, J(α,β) es un gbfs.

5. Nada más es un gbf.

Regla 2.1 (Inserción - Eliminación) La regla de inserción establece que enun área encerrada bajo número impar de cortaduras, cualquier gráfico puedeser dibujado. La regla de eliminación establece que de un área encerrada bajonúmero par de cortaduras cualquier gráfico puede ser borrado.

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Su representación abreviada en el metalenguaje es Rins para la regla deinserción y Reli para eliminación. Hay que resaltar que inserción-eliminación noson procesos inversos el uno del otro, ya que una vez que se inserta un gráficobajo impar, no se puede borrar mediante aplicación de la regla de eliminación.El siguiente es un ejemplo en gráficos existenciales, donde los gráficos A y B seinsertan bajo impar y todas las instancias de W se eliminan bajo par :

YX ZA

YX ZB

Rins

YX ZA B

ReliW

W WW

Regla 2.2 (Iteración - Desiteración) La regla de iteración permite repetircualquier gráfico en la misma área, o en cualquier área bajo un número mayorde cortaduras encerradas por la misma área. La regla de desiteración nos permiteborrar cualquier copia de un gráfico que pueda deberse a la iteración.

Su representación abreviada en el metalenguaje es Rit para la regla de ite-ración y Rdit para desiteración. Estos dos procedimientos si son inversos el unodel otro. Su representación en gráficos existenciales es:

YX ZA

YX ZA A A

Rit Rdit

YX ZA

Regla 2.3 (Doble corte) Un doble corte puede ser insertado o removido decualquier área, siempre y cuando la región entre los cortes esté vacía.

Su representación abreviada en el metalenguaje es Rdc para la regla de in-serción de doble corte y Redc para eliminación del doble corte. Son procesosinversos el uno del otro. Con la introducción de estas reglas se completa ladefinición del Alfa.

Z X Z

Rdc Redc

ZXX

Ya se dispone de reglas para formación de gráficos bien formados, y su re-presentación en metalenguaje. Dado que cada gráfico puede ser representado enfunción de los signos deMg = g0, g1, ... , y estos pueden ser ordenados, Zemanestablece que se puede seleccionar un ordenamiento de los gráficos y subgráficosque contiene, tal que a cada gráfico se le puede asociar un único número naturaly viceversa. Como consecuencia, a cada gráfico se le puede asociar una únicarepresentación en metalenguaje, llamada nombre estándar, y es la notaciónen la cual la secuencia de elementos que formen parte del argumento de cada

19

aparición de una J , están ordenados apropiadamente. La descripción detalladade los pasos constructivos para obtener el nombre estándar único de cualquiergbf Alfa se encuentra en [Zem64].Es conveniente ahora dar una definición más clara de la notación en meta-

lenguaje para las reglas Alfa, de tal manera que sean útiles más adelante en lasdemostraciones.

Notación 2.2 (Metalenguaje para reglas de Alfa) Los siguientes son lossignos del metalenguaje para las reglas de Alfa [Zem64]:

1. Rins(β,α): Representa las reglas de inserción de Alfa. Es verdadero sii βes idéntico a α excepto en que contiene un subgráfico γ bajo número imparde cortes, el cual no está en α en la posición correspondiente.

2. Reli(β,α): Representa la regla de eliminación de Alfa. Es verdadero siiRins(S(α), S(β)) es cierto.

3. Rit(β,α): Representa la regla de iteración de Alfa. Es verdadero sii β esidéntico a α excepto en que contiene una ocurrencia o instancia adicionalde un subgráfico γ dentro de la misma área bajo el mismo o mayor nú-mero de cortes, y esta ocurrencia adicional no está en α en la posicióncorrespondiente.

4. Rdit(β,α): Representa la regla de desiteración de Alfa. Es verdadero siiRit(α,β) es verdadero

5. Rdc(β,α): Representa la regla de inserción de doble corte de Alfa. Es ver-dadero sii β es idéntico a α excepto en que contiene un subgráfico S(S(γ))donde en α solo aparece el subgráfico γ.

6. Redc(β,α): Representa la regla de eliminación de doble corte de Alfa. Esverdadero sii Rdc(α,β) es cierto.

En cálculo proposicional existen conectivos que se pueden derivar de losconectivos primitivos, igualmente sucede en Alfa. Para el caso de la implicación,se utiliza α ⊃ β ≡ ¬(α∧¬β), por lo que la implicación material se puede dibujarcomo en la figura 3.

QP

Figura 3: P ⊃ Q

En cuanto al conectivo ∨ se tiene que α ∨ β ≡ ¬(¬α ∧ ¬β) y su gráfico escomo en la figura 4.

20

QP

Figura 4: P ∨Q

Es necesario ahora demostrar que Alfa es un sistema lógico deductivo. Elmétodo seleccionado consiste en demostrar la equivalencia de las bases de Al-fa con las de algún sistema de cálculo proposicional clásico que ya se hayademostrado como consistente y completo, tal como el sistema de Rosser porejemplo.

2.2 Equivalencia entre Alfa y Cálculo Proposicional

Para el caso concreto del estudio de la equivalencia entre Alfa y el cálculoproposicional clásico, el método que se utilizará es el de demostrar que la basede Alfa y una base del cálculo proposicional clásico son alternas, de la siguientemanera:

1. Toda gbf de Alfa se puede escribir como una única fbf de Pr, y que todafbf de Pr se puede escribir como un único gbf de Alfa.

2. Que todo axioma de Alfa es una tesis de Pr, y viceversa.3. Que las reglas de transformación Pr corresponden a transformaciones vá-lidas en Alfa, y viceversa.

Es decir, se deriva en Pr aquellas partes de la base de Alfa que no están ensu propia base y viceversa [HC73].Dos sistemas lógicos L y L0 se dicen deductivamente equivalentes o equi-

valentes si tienen diferente base pero en cada uno de ellos se pueden deducirexactamente las mismas tesis. Las bases de dos sistemas lógicos que cumplancon esta condición se llaman bases alternas o “permutables”.Si se da el caso de que todas las tesis de L sean tesis de L0, pero no todas

las tesis de L0 son tesis de L, se dice que L0 contiene a L, o que L0 es másfuerte que L. Luego si dos sistemas L y L0 son equivalentes, se debe cumplirque L contiene a L0 y que L contiene a L0.Al demostrar que dos sistemas lógicos son equivalentes mediante los tres

pasos mencionados, se está demostrando que todo teorema de un sistema esteorema del otro sistema. En particular por el paso tres, que dice que las reglasde un sistema corresponden, en el otro, a transformaciones que preservan lavalidez.El primer paso en la demostración de la equivalencia de dos sistemas lógicos

se basa en establecer una función de traducción para ir de un sistema al otro.Martin Davis [Dav58] da la siguiente definición de traducción entre lógicas:

21

Definición 2.3 Sean L y L0 dos lógicas. Se dice que L es traducible en L0 siiexiste una función recursiva f(α) tal que `L α sii `L0 f(α) y además, siempreque se tengan dos fórmulas tales que α ≡ β, entonces f(α) ≡ f(β).Si L y L0 son equivalentes, debe ser posible encontrar una función f para

traducir de L a L0, y una función g para traducir de L0 a L. Estas funcionesproporcionan en primera instancia un mecanismo para representar cualquier fbfde uno de los sistemas mediante una fbf del otro sistema, o en otras palabras,un cambio de sintaxis.

2.2.1 Traducción entre Alfa y el cálculo proposicional clásico

Definición 2.4 (f : traducción de Alfa al cálculo proposicional) La fun-ción f toma el conjunto de gráficos Alfa como su dominio, y halla su rango enel conjunto de fórmulas del cálculo proposicional clásico (Pr): Dado cualquiergbf Alfa, se escribe su nombre estándar. Siempre que en la notación estándaraparezca J(β1...βn), se elimina la J y se reemplaza por n−1 conectivos ∧ entrelas subfórmulas β1...βn, quedando β1 ∧ ... ∧ βn. Cuando en el nombre estándaraparezca una S, se reemplaza por el signo ¬. Finalmente, cada ocurrencia de gise reemplaza por la letra proposicional correspondiente pi.Bajo esta definición, si α es un gbf de Alfa, f(α) es una fbf del cálculo

proposicional.

Dado que el nombre estandar es único, se puede demostrar que la funciónf así definida es inyectiva, y que por lo tanto se tendrá que f(α) es la mismafórmula que f(β) sii el gráfico α es el mismo gráfico que β.

Definición 2.5 (g : traducción del cálculo proposicional a Alfa) La fun-ción g toma el conjunto de fórmulas del cálculo proposicional como su dominio,y halla su rango en el conjunto de gráficos alfa: Dado cualquier fbf del cálcu-lo proposicional, se reemplazan los conectivos no primitivos en función de ¬ y∧ con base en su respectiva definición, y la expresión así obtenida se escribeen notación polaca, que solo contendrá por tanto conectivos K y N . Siempreque en la notación polaca aparezca una N se elimina y se reemplaza por unaS, colocando entre paréntesis las subfórmulas que se encuentren bajo el alcancede N . Cuando aparezca una K que no esté bajo el alcance directo de otra K,se elimina y en su lugar se coloca una J(), y dentro del paréntesis se colocanconsecutivamente las subfórmulas que estén dentro de su alcance. Cualquier Kque aparezca dentro del alcance directo de la K que ha sido reemplazada, simple-mente se elimina y se colocan las subfórmulas dentro de los mismos paréntesis.La expresión obtenida en metalenguaje se dibuja finalmente sobre la HA.Bajo esta definición, si A es una fbf del cálculo proposicional, g(A) es un

gbf de Alfa.

Se puede verificar que la función g así definida cumple con la definición2.3. Ahora que se tiene un procedimiento para escribir una fbf del cálculoproposicional como un gbf de Alfa y viceversa, se verificarán las condiciones deequivalencia 2 y 3.

22

2.2.2 La base de Alfa en el sistema de Rosser.

El único axioma Alfa es HA, que representa a T , la verdad, y su equivalenciaen Pr es directa.Lema 2.1 Dados dos gráficos α y β. Si Rins(β,α) es cierto, entonces si f(α)es un teorema, f(β) es un teorema.

Demostración. Dado que Rins(β,α) es verdadero, α y β son idénticosexcepto en que en β existe un subgráfico γ bajo número impar de cortes, que noaparece en la correspondiente posición en α. La definición de la fórmula f diceque f(α) y f(β) son idénticos excepto en que f(β) contiene la subfórmula f(γ)que está en posición antecedente. Se puede escribir de manera general que laposición antecedente de f(α) es A∧B, mientras que la de f(β) es A∧ f(γ)∧C,dado que A y B no sean nulos simultáneamente.Mediante la aplicación del Axioma 1.2, se llega a que `Pr (A ∧ f(γ) ∧C) ⊃

A ∧B. Aplicando ahora el Lema 1.1, se tiene que si f(α) es un teorema de Pr,f(β) también debe ser un teorema de Pr.Lema 2.2 Dados dos gráficos α y β. Si Reli(β,α) es cierto, entonces si f(α)es un teorema, f(β) es un teorema.

Demostración. Análoga a la prueba del lema anterior, utilizando el lema1.2.

Lema 2.3 Dados dos gráficos α y β. Si Rit(β,α) es cierto, entonces si f(α)es un teorema, f(β) es un teorema.

Demostración. Dado que Rit(β,α) es verdadero, α y β son idénticos ex-cepto en que tanto en α como en β existe un subgráfico γ, pero en β tiene unaocurrencia (instancia) adicional, que está encerrada por una cantidad mayor oigual de cortes que la ocurrencia de γ en α.Sea δp la variable functor (página 8) que puede representar cualquier

función de verdad de la expresión p. Se puede caracterizar la diferencia en-tre f(α) y f(β) asi: las fórmulas f(α) y f(β) son idénticas excepto en quedonde f(α) contiene la subfórmula f(γ) ∧ δ(A ∧ B) se tiene que f(β) contienela subfórmula f(γ) ∧ δ(A ∧ f(γ) ∧ B) y donde A y B no pueden ser nulossimultáneamente. Bajo estas condiciones es evidente y fácilmente demostrableque `Pr f(γ)∧ δ(A∧B) ≡ f(γ)∧ δ(A∧ f(γ)∧B) que por sustitutividad del bi-condicional, y dadas las definiciones de f(α) y f(β),permite concluir finalmenteque `Pr f(α) ≡ f(β)Lema 2.4 Dados dos gráficos α y β. Si Rdit(β,α) es cierto, entonces si f(α)es un teorema, f(β) es un teorema.

Demostración. Análoga a la prueba del lema anterior.

Lema 2.5 Dados dos gráficos α y β. Si Rdc(β,α) es cierto, entonces si f(α)es un teorema, f(β) es un teorema.

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Demostración. Dado que Rdc(β,α) es cierto, β contiene el subgráficoS(S(γ)) donde α contiene solo a γ. Al aplicar la función de traducción f setienen los subgráficos f(α) y f(β), iguales excepto que donde f(β) contiene lasubfórmula ¬¬f(γ), f(α) contiene f(γ).Se tiene que `Pr p ≡ ¬¬p, y nuevamente aplicando la sustitutividad del

bicondicional, llegamos a que `Pr f(α) ≡ f(β)Lema 2.6 Dados dos gráficos α y β. Si Redc(β,α) es cierto, entonces si f(α)es un teorema, f(β) es un teorema.

Demostración. Como ya se demostró el lema anterior, la prueba de estelema es directa ya que Redc es el converso del teorema anterior.

Lema 2.7 El sistema de Rosser contiene a Alfa.

Demostración. Por los lemas 2.1 a 2.6.

2.2.3 La base del sistema de Rosser en Alfa.

A continuación se verificará que Alfa contiene al sistema de Rosser. Primero seprobará en Alfa la regla de inferencia del cálculo proposicional, Modus Ponens:α y (α ⊃ β) entonces ` β, y enseguida los axiomas de Rosser.

Lema 2.8 Si p y (p ⊃ q) entonces `Pr q, en Alfa se tiene que de g(p) y g(p ⊃ q)entonces `Alfa g(q)Demostración. Se aplicará inicialmente la función de traducción g, donde

P es g(p) y Q es g(q). Entonces, p ∧ (p ⊃ q) es J(PS(PS(Q))), que es el gráficode partida. Luego se aplican las reglas de Alfa, así: se aplica desiteración de P,eliminación de doble corte y eliminación de P, con lo que se demuestra finalmenteQ:

QPP QP QP Q

Por lo tanto, Alfa contiene la regla Modus Ponens.

Lema 2.9 Si p ⊃ p ∧ p es axioma de Pr, entonces de g(p), g(p) `Alfa g(p)Demostración. Si p ⊃ p∧p, entonces por teorema de la deducción se tiene

que de p, p `Pr pp ∧ p en Alfa es el primero de los gráficos, que es J(PP ) en metalenguaje,

donde P es g(p). La desiteración de P permite llegar a la conclusión.:

PP P

Luego en Alfa se puede deducir el primer axioma de Rosser.

24

Lema 2.10 Si p ∧ q ⊃ p es axioma de Pr, entonces de g(p), g(q) `Alfa g(p)

Demostración. Si p ∧ q ⊃ p, por el teorema de la deducción se tiene quep ∧ q ` pSi P es g(p) y Q es g(q), entonces p ∧ q en Alfa es J(PQ), el primero de los

gráficos siguientes, que por eliminación de Q permite concluir P :

QP P

Luego en Alfa se puede deducir el segundo axioma de Rosser.

Lema 2.11 Si (p ⊃ q) ⊃ (¬(q ∧ r) ⊃ ¬(r ∧ p)) es un axioma de Pr, entoncesde g(p ⊃ q), g(¬(q ∧ r)) `Alfa g(¬(r ∧ p))

Demostración. Si (p ⊃ q) ⊃ (¬(q ∧ r) ⊃ ¬(r ∧ p)), por el teorema de ladeducción se tiene que (p ⊃ q),¬(q ∧ r) `Pr ¬(r ∧ p)Si P es g(p), Q es g(q) y Q es g(q), entonces g(p ⊃ q) es S(J(PS(Q))), el

primero de los gráficos siguientes, y g(¬(q∧r)) es S(J(QR)), el segundo gráfico,se tiene por iteración de S(J(QR)) dentro del otro gráfico que se encuentradentro de la misma área:

QP RQ QP RQRQ

Aplicando simultáneamente desiteración del gráfico Q y eliminación de gráfi-co S(J(QR)) que esta bajo número par de cortes (ya no se requiere como testigode la iteración):

QP RQRQ QP R

Eliminando la instancia de Q que se encuentra bajo par y en el paso siguienteeliminando el doble corte:

QP R P R P R

Por lo tanto, `Alfa S(J(PR)), es decir `Alfa g(¬(r ∧ p)).Luego el tercer axioma de Rosser es demostrable en Alfa.

Lema 2.12 El sistema Alfa contiene al sistema de Rosser.

Demostración. Por los lemas 2.8 a 2.11.Y finalmente se puede establecer lo siguente:

25

Lema 2.13 El sistema Pr y el sistema Alfa son deductivamente equivalentes.

Demostración. Por los lemas 2.7 y 2.12.

2.3 Sistema Gama en Color.

El elemento adicional que incluye Gama Color para representar expresionesmodales es precisamente el color: Para indicar que una expressión α es posible,se rodea de color, lo que en el metalenguaje, se expresa como P (α). El color noproduce una separación, tal como lo hace el corte. El color que rodea la expresiónα se puede concentrar en un anillo que la rodee, tal como lo describe la ReglaR10 de Roberts [Rob73]: “Cualquier área coloreada se puede transformar en unárea sin color que tiene un borde de color, y viceversa.”2 La figura 5 muestrados gráficas que expresan ♦Y :

YY

Figura 5: Expansión - retracción del color.

Como convención en el presente trabajo, siempre que se hable de color, seestará haciendo referencia a un anillo de color que rodea un gráfico. Por loanterior, la figura 6 muestra dos formas equivalentes de dibujar el gráfico ¤Y(esto es, ¬♦¬Y ) en Gama Color:

YYY

Figura 6: Anillo de Necesidad.

y se puede hacer referencia a él como un “anillo de necesidad”, que rodeaal gráfico Y en este caso.En lógica modal se tiene, bajo la semántica de mundos posibles (sección

1.3.1), que ♦p forza a que dado el mundo actual w, exista otro wi, (juntos enel conjunto de mundos W ) tal que existe una relación R(w,wi) y un modelo

2D. Roberts, The Existential Graphs of Charles S. Peirce, p. 108.

26

M tales que (M, wi) ² p, esto es, que V (p,wi) = T . Resumiendo, ♦p forza aque exista un mundo accesible desde el mundo actual, donde p sea válido. EnGama Color se puede ver así: w es la hoja de aserción actual, sobre la que seestá dibujando o razonando y que se encuentra en un libro W , y wi es cualquierotra hoja de aserción del mismo libro W. Entonces R(w,wi) dice que de la hojaw se puede ir a (o consultar) la hoja wi. La relación de accesibilidad dice enGama cuales hojas de aserción sí son accesibles desde la hoja actual y bajo quecondiciones.En este capítulo se propondrá una base alterna para el sistema modal S5 uti-

lizando gráficos existenciales Gama en Color. Una vez realizado esto, se definiráuna función de traducción entre el sistema Gama en Color y S5. Se seguirá elprocedimiento clásico para decidir la equivalencia del sistema así obtenido conS5 ( y que por lo tanto contiene a S4, T y K).El sistema propuesto requiere las siguientes definiciones:

Definición 2.6 (Gráfica completamente modalizada) Un gráfico se llamacompletamente modalizado si cumple una de las siguientes condiciones:

Condición 2.1 Su área más externa está totalmente encerrada en color.

Condición 2.2 Si α es una gráfica que cumple la condición anterior, S(α) esuna gráfica completamente modalizada.

Estas definiciones corresponden en lógica modal proposicional a expresionesde la forma ♦A y ¬♦A (figura 7), y por definición de ¤, corresponden a ex-presiones ¬¤B y ¤B, donde A y B son fbfs cualesquiera. En este caso se diráque A y B son fórmulas completamente modalizadas. Si α es un gráficototalmente modalizado, el gráfico encerrado bajo el color más externo se llamaráel interior del gráfico.La siguiente figura muestra dos gráficos, cada uno de ellos completamente

modalizado:

X Y

Figura 7: Gráficos completamente modalizados.

La base del sistema Gama Color. Los elementos del Lenguaje para elsistema propuesto van a ser los mismos del Sistema Gama en Color tal comolos dejó Peirce,en cuanto al alfabeto se refiere. Se han introducido algunasrestricciones adicionales a la regla de iteración de gbf.

Definición 2.7 (Alfabeto) Consta de los siguientes elementos:

27

1. Hoja de aserción (HA).2. Letras proposicionales. p, q, r, ...

3. Corte.

4. Color.

Definición 2.8 (Gráfico bien formado de Gama Color) Un gbf de GamaColor se obtiene mediante la aplicación de cualquiera de las siguientes reglas:

1. Si α es un gbf de Alfa, α es un gbf de Gama Color.

2. Si α es un gbf, P (α) es un gbf.

3. Si α es un gbf, S(α) es un gbf.

4. Si α,β son gbfs, J(α,β) es un gbfs.

5. Nada más es un gbf Gama Color.

Axioma 2.1 HA

Axioma 2.2 S(P (S(g0))). Esto es, sobre una región en blanco de HA se puedeinscribir un anillo de necesidad.

Regla 2.4 (Reglas Alfa) Todas las reglas de Alfa son válidas en Gama Colora excepción de la Regla de Iteración - Desiteración, la cual debe tener restric-ciones adicionales que se especifican más adelante.

Regla 2.5 (Inserción de color) Un área bajo un número par de cortes, sepuede rodear totalmente de color. Su expresión abreviada en metalenguaje esRic.

Regla 2.6 (Eliminación de color) A un área coloreada encerrada bajo nú-mero impar de cortes, se le puede borrar el color. En metalenguaje se expresaabreviadamente como Rec.

Regla 2.7 (Iteración de gráfico completamente modalizado) Un gráficocompletamente modalizado se puede iterar libremente. (Esto incluye transportarel color). En metalenguaje se expresa abreviadamente como Ritm.

Regla 2.8 (Desiteración de gráfico completamente modalizado) Un grá-fico que se pueda deber a la iteración de un gráfico completamente modalizadose puede desiterar libremente. (Esto incluye borrar el color). Se expresa comoRditm en metalenguaje.

De manera análoga a como se definieron en el metalenguaje las reglas deAlfa, se definen las reglas para gama así:

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Notación 2.3 (Metalenguaje para reglas de Gama Color) Se utilizaránlos siguientes signos del metalenguaje para las reglas de Gama Color: (LasReglas de Alfa conservan su notación original).

1. Ric(β,α): Representa la regla de inserción de color de Gama Color. Esverdadero sii β es idéntico a α excepto en que contiene un subgráfico P (γ)bajo número par de cortes, mientras que en la posición correspondiente deα aparece solo γ.

2. Rec(β,α): Representa la regla de eliminación de Color de Gama Color.Es verdadero sii Ric(α,β) es cierto.

3. Ritm(β,α): Representa la regla de iteración de un gráfico completamentemodalizado. Es verdadero sii β es idéntico a α excepto en que contiene unaocurrencia o instancia adicional de un subgráfico completamente modali-zado γ dentro de la misma área bajo el mismo o mayor número de cortes,y esta ocurrencia adicional no está en α en la posición correspondiente.

4. Rditm(β,α): Representa la regla de desiteración de gráficos completamentemodalizados en Gama Color. Es verdadero sii Ritm(α,β) es verdadero.

En Gama Color se debe tener en cuenta que aún cuando el color no impongauna separación dentro de un área, restringe el tipo de gráficos que lo puedancruzar durante la iteración. Esto previene por ejemplo, que se de el caso ♦p ⊃ p.

2.4 Equivalencia entre Gama Color y S5

Dado que Gama Color tal como se ha definido contiene al sistema Alfa, solo sedemostrará la parte que tenga que ver con el color.

2.4.1 Función de Traducción.

Definición 2.9 (f∗: de Gama Color a LM) Es la misma función f defini-da para Alfa, con la consideración adicional de que siempre que en el gráficoaparezca una zona de color, se escribirá una P , siguiendo un tratamiento aná-logo al de la S. Al final se obtiene la fórmula en la notación de LM.

Definición 2.10 (g∗: de LM a Gama Color) Es la misma función g defini-da para el cálculo proposicional, con la consideración adicional de que siempreque en la fórmula en notación polaca aparezca ♦, se escribirá una P , siguiendoel mismo tratamiento que para la S. La expresión obtenida en metalenguaje sedibuja finalmente sobre la HA.

Se puede demostrar que las funciones f∗ y g∗ son uno a uno.

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2.4.2 La Base de Gama Color en el sistema S5.

El axioma 2.2 de gama representa ¤T, y su equivalencia en S5 es directa.

Lema 2.14 Dados dos gráficos α y β. Si Rins(β,α) es cierto, entonces si f∗(α)es un teorema, f∗(β) es un teorema.

Demostración. En la demostración del teorema correspondiente para Alfa,se llegó a la conclusión de que `Pr (A∧ f(γ)∧B) ⊃ A∧B. Evidentemente estoes válido trivialmente para Gama Color, sin importar si la subfórmula f(γ) esmodalizada o no. Entonces `S5 (A∧ f∗(γ)∧B) ⊃ A∧B y se tiene que si f∗(α)es un teorema de S5, f∗(β) también debe ser un teorema de S5.

Lema 2.15 Dados dos gráficos α y β. Si Reli(β,α) es cierto, entonces si f∗(α)es un teorema, f∗(β) es un teorema.

Demostración. Análoga a la prueba del lema anterior.

Lema 2.16 Dados dos gráficos α y β. Si Ric(β,α) es cierto, entonces si f∗(α)es un teorema, f∗(β) es un teorema.

Demostración. Dado que Ric(β,α) es verdadero, α y β son idénticos excep-to en que tanto en α como en β existe, bajo número par de cortes, un subgráficoγ que en β está rodeado de color pero no en α. Por la definición de f∗ se tiene quef∗(α) y f∗(β) son idénticos excepto en que donde f∗(α) contiene la subfórmulaf∗(γ), f∗(β) contiene la subfórmula ♦f∗(γ), en posición consecuente.La posición consecuente de f∗(α) se puede escribir de manera general como

A∧f∗(γ)∧B, mientras que la de f∗(β) se escribe como A∧♦f∗(γ)∧B.Mediantela aplicación del teorema de T : p ∧ q ⊃ ♦p, y aplicando el Lema 1.2 se tieneque si f∗(α) es un teorema de S5, f∗(β) también es un teorema de S5.

Lema 2.17 Dados dos gráficos α y β. Si Rec(β,α) es cierto, entonces si f∗(α)es un teorema, f∗(β) es un teorema.

Demostración. Análoga a la prueba del lema anterior, utilizando el lema1.1.

Lema 2.18 Dados dos gráficos α y β. Si Ritm(β,α) es cierto, entonces si f∗(α)es un teorema, f∗(β) es un teorema.

Demostración. Se procederá por inducción. Sea δ la variable functor ysean A,B fbfs del cálculo proposicional y γ un gráfico completamente modali-zado (definición 2.6). La regla de iteración nos lleva al siguiente esquema: siRitm(α,β) es verdadero, α y β son idénticos excepto en que tanto en α comoen β existe un subgráfico γ, pero en β tiene una ocurrencia adicional, que estáencerrada por una cantidad mayor o igual de cortes que la ocurrencia de γ enα. Luego las fórmulas f∗(α) y f∗(β) son idénticas excepto en que donde f∗(α)contiene la subfórmula f∗(γ) ∧ δ(A ∧B) se tiene que f∗(β) contiene la subfór-mula f∗(γ)∧δ(A∧f∗(γ)∧B), donde A y B no serán nulos simultáneamente. Se

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pretende demostrar que `S5 f∗(γ)∧ δ(A∧B) ≡ f∗(γ)∧ δ(A∧ f∗(γ)∧B) y portanto `S5 f∗(α) ≡ f∗(β) en todos los casos posibles de iteracion, considerandolos conectivos modales primitivos tomados para S5. Podría omitirse el caso 4,pero se ha dejado por ilustración, ya que es bastante común encontrar sistemascon ¤ como conectivo primitivo.

1. Si δ(A) ≡ A.En este caso β contiene la subfórmula f∗(γ) ∧ δ(A ∧ f∗(γ) ∧ B) dondeα contiene f∗(γ) ∧ δ(A ∧ B). Dado que δ(A) se refiere a la fórmula delcálculo proposicional A, se puede escribir f∗(γ) ∧A ∧ f∗(γ) ∧B donde αcontiene f∗(γ)∧A∧B. Las dos expresiones anteriores son equivalentes yaque en cálculo proposicional y por tanto en LM se tiene que `S5 p ≡ p∧ p(idempotencia) y por tanto es evidente que : `S5 f∗(γ) ∧ δ(A ∧ B) ≡f∗(γ)∧ δ(A∧ f∗(γ)∧B). Por sustitutividad del bicondicional se tiene que`S5 f∗(α) ≡ f∗(β).

2. Si δ(A) ≡ ¬A.En este caso β contiene la subfórmula f∗(γ) ∧ δ(A ∧ f∗(γ) ∧ B) dondeα contiene f∗(γ) ∧ δ(A ∧ B). Dado que δ(A) se refiere a la fórmula delcálculo proposicional ¬A, se puede escribir f∗(γ)∧¬(A∧f∗(γ)∧B) donde αcontiene f∗(γ)∧¬(A∧B). Aplicando las leyes de De Morgan, y el teoremap ∨ F ≡ p (ley de identidad) partiendo de la primera subfórmula se tieneque:

f∗(γ) ∧ ¬(A ∧ f∗(γ) ∧B) ≡ f∗(γ) ∧ (¬A ∨ ¬f∗(γ) ∨ ¬B)f∗(γ)∧¬(A∧f∗(γ)∧B) ≡ (f∗(γ)∧¬A)∨ (f∗(γ)∧¬f∗(γ))∨(f∗(γ)∧¬B)f∗(γ) ∧ ¬(A ∧ f∗(γ) ∧B) ≡ (f∗(γ) ∧ ¬A) ∨ F ∨ (f∗(γ) ∧ ¬B)f∗(γ) ∧ ¬(A ∧ f∗(γ) ∧B) ≡ (f∗(γ) ∧ ¬A) ∨ (f∗(γ) ∧ ¬B)f∗(γ) ∧ ¬(A ∧ f∗(γ) ∧B) ≡ f∗(γ) ∧ ¬(A ∧B).Se ha llegado entonces a que en este caso: `S5 f∗(γ)∧ δ(A∧B) ≡ f∗(γ)∧δ(A ∧ f∗(γ) ∧B), y por sustitutividad del bicondicional se tiene que `S5f∗(α) ≡ f∗(β).

3. Si δ(A) ≡ ♦A.En este caso β contiene la subfórmula f∗(γ)∧δ(A∧f∗(γ)) donde α contienef∗(γ) ∧ δ(A). Dado que δ(A) se refiere a la fórmula ♦A, las subfórmulasse escriben respectivamente como f∗(γ) ∧ ♦(A ∧ f∗(γ)) y f∗(γ) ∧ ♦(A).Como f∗(γ) es completamente modalizada, es de la forma ♦X o ¬♦X,y esta última se puede transformar en ¤¬X, ante la validez en la lógicamodal del esquema X ≡ ¬¬X. Se recurre ahora al teorema 1.19: ♦(p ∧♦q) ≡ (♦p∧♦q) si f∗(γ) es de la forma ♦X, o al teorema 1.20 ♦(p∧¤q) ≡(♦p∧¤q) si f∗(γ) es de la forma ¬♦X, con lo que las subfórmulas quedan:f∗(γ) ∧ ♦(A ∧ f∗(γ)) ≡ f∗(γ) ∧ ♦A ∧ ♦f∗(γ)f∗(γ) ∧ ♦(A ∧ f∗(γ)) ≡ f∗(γ) ∧ ♦A ∧ f∗(γ)

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f∗(γ) ∧ ♦(A ∧ f∗(γ)) ≡ f∗(γ) ∧ ♦Ay es entonces el caso que `S5 f∗(γ) ∧ δ(A ∧ f∗(γ)) ≡ f∗(γ) ∧ δ(A) y porsustitutividad del bicondicional, que `S5 f∗(α) ≡ f∗(β).

4. Si δ(A) ≡ ¤A.En este caso β contiene la subfórmula f∗(γ)∧δ(A∧f∗(γ)) donde α contienef∗(γ) ∧ δ(A). Dado que δ(A) se refiere a la fórmula ¤A, las subfórmulasse reescriben como f∗(γ)∧¤(A∧ f∗(γ)) y f∗(γ)∧¤(A) respectivamente.La subfórmula f∗(γ) es completamente modalizada y valen las mismasconsideraciones que para el caso anterior, luego es de la forma ♦X o ¤¬X.Se recurre ahora al teorema 1.10 de T : ¤(p∧ q) ≡ (¤p∧¤q). Al aplicarloa las dos expresiones se tiene que:

f∗(γ) ∧¤(A ∧ f∗(γ)) ≡ f∗(γ) ∧¤A ∧¤f∗(γ))Es posible escoger la forma apropiada para f∗(γ), de tal manera que enla última expresión se obtengan dos modalidades iteradas: Si f∗(γ) es dela forma ♦X la utilización de los teoremas de simplificación de modali-dades iteradas (teoremas 1.17 para este caso) de S5 permiten realizar lassiguientes transformaciones:

♦X ∧¤(A ∧ ♦X) ≡ ♦X ∧¤A ∧¤♦X♦X ∧¤(A ∧ ♦X) ≡ ♦X ∧¤A ∧ ♦X♦X ∧¤(A ∧ ♦X) ≡ ♦X ∧¤Alo cual conduce a que `S5 f∗(γ) ∧¤(A ∧ f∗(γ)) ≡ f∗(γ) ∧¤(A))Si f∗(γ) es de la forma ¬♦X, se reescribe como ¤¬X y mediante laaplicación del axioma 4 de S4 se realizan las siguientes transformaciones:

¤¬X ∧¤(A ∧¤¬X) ≡ ¤¬X ∧¤A ∧¤¤¬X¤¬X ∧¤(A ∧¤¬X) ≡ ¤¬X ∧¤A ∧¤¬X¤¬X ∧¤(A ∧¤¬X) ≡ ¤¬X ∧¤Aque lleva también a que `S5 f∗(γ) ∧ δ(A ∧ f∗(γ)) ≡ f∗(γ) ∧ δ(A))Luego en cualquiera de los dos casos se tiene el resultado esperado y porsustitutividad del bicondicional se llega a `S5 f∗(α) ≡ f∗(β)

5. Si δ(A) ≡ δ1(A)∧ δ2(A) donde δ1(A) y δ2(A) son expresiones que cumplencon una de las condiciones 1 a 4.

Luego β contiene la subfórmula f∗(γ) ∧ δ(A ∧ f∗(γ)) donde α contienef∗(γ)∧ δ(A). Se puede la primera expresión como f∗(γ)∧ δ1(A∧ f∗(γ))∧δ2(A ∧ f∗(γ)) y la segunda como f∗(γ) ∧ δ1(A) ∧ δ2(A). Partiendo dela primera expresión y de los pasos inductivos anteriores se tiene por ladefinición de δ(A) que

f∗(γ) ∧ δ(A ∧ f∗(γ)) ≡ f∗(γ) ∧ (δ1(A ∧ f∗(γ)) ∧ δ2(A ∧ f∗(γ)))f∗(γ) ∧ δ(A ∧ f∗(γ)) ≡ (f∗(γ) ∧ δ1(A ∧ f∗(γ))) ∧ (f∗(γ) ∧ δ2(A ∧ f∗(γ)))

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y gracias a las demostraciones de las condiciones 1 a 4 y por sustituciónde equivalentes se tiene que:

f∗(γ) ∧ δ(A ∧ f∗(γ)) ≡ (f∗(γ) ∧ δ1(A)) ∧ (f∗(γ) ∧ δ2(A))f∗(γ) ∧ δ(A ∧ f∗(γ)) ≡ f∗(γ) ∧ (δ1(A) ∧ δ2(A))f∗(γ) ∧ δ(A ∧ f∗(γ)) ≡ f∗(γ) ∧ δ(A)Esto es `S5 f∗(γ)∧ δ(A∧ f∗(γ)) ≡ f∗(γ)∧ δ(A)) y por sustitutividad delbicondicional se tiene que `S5 f∗(α) ≡ f∗(β).

6. Si δ(A) ≡ ¬δ1(A) donde δ1(A) es una fórmula que cumple con al menosuna de las condiciones 1 a 5.

Se tiene que β contiene la subfórmula f∗(γ)∧δ(A∧f∗(γ)) donde α contienef∗(γ)∧ δ(A). Aplicando la ley de identidad y la definición dada para δ setiene:

f∗(γ) ∧ δ(A ∧ f∗(γ)) ≡ f∗(γ) ∧ ¬δ1(A ∧ f∗(γ))Por la definición de δ1 y gracias a las demostraciones anteriores, la susti-tución de equivalentes permite transformar en:

f∗(γ) ∧ δ(A ∧ f∗(γ)) ≡ f∗(γ) ∧ ¬δ1(A)f∗(γ) ∧ δ(A ∧ f∗(γ)) ≡ f∗(γ) ∧ δ(A)Esto es `S5 f∗(γ)∧ δ(A∧ f∗(γ)) ≡ f∗(γ)∧ δ(A)) y por sustitutividad delbicondicional se tiene que `S5 f∗(α) ≡ f∗(β).→

Luego en todos los casos se tiene que si f∗(α) es un teorema, f∗(β) es unteorema.

Lema 2.19 Dados dos gráficos α y β. Si Rditm(β,α) es cierto, entonces sif∗(α) es un teorema, f∗(β) es un teorema.

Demostración. La prueba es directa ya que Rditm es el converso del lemaanterior.

Lema 2.20 Dados dos gráficos α y β. Si Ridc(β,α) es cierto, entonces si f∗(α)es un teorema, f∗(β) es un teorema.

Demostración. Dado que Ridc(α,β) es cierto, β contiene el subgráficoS(S(γ)) donde α contiene solo al subgáfico γ, que puede ser modalizado o Alfa.Al aplicar la función de traducción f∗ se tienen los subgráficos f∗(α) y f∗(β),iguales excepto que donde f∗(β) contiene la subfórmula ¬¬f∗(γ), f∗(α) contienef∗(γ).Se tiene que `S5 p ≡ ¬¬p, donde p es cualquier fbf del sistema, y aplicando

la sustitutividad del bicondicional, se llega a que `S5 f∗(α) ≡ f∗(β).

Lema 2.21 Dados dos gráficos α y β. Si Redc(β,α) es cierto, entonces si f∗(α)es un teorema, f∗(β) es un teorema.

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Demostración. Este lema es el converso del anterior, luego su prueba esdirecta.

Lema 2.22 El sistema S5 contiene al sistema Gama Color.

Demostración. Por los lemas 2.14 a 2.21.

2.4.3 La Base del Sistema S5 en Gama Color.

En la lógica modal y en particular S5, son válidos todas las tesis del cálculoproposicional. Modus Ponens también es igualmente válido y su demostraciónse encuentra a partir de la página 21. Luego es necesario probar únicamente losaxiomas particulares de S5 en Gama Color. Los axiomas que definen a S5 enparticular son: El axioma K, el axioma T y el axioma E (página 14).

Lema 2.23 Dado el axioma K : ¤(q ⊃ r) ⊃ (¤q ⊃ ¤r), entonces g(¤(q ⊃r)) `GAMA g(¤q ⊃ ¤r) en Gama Color.Demostración. Se aplica a la fórmula en S5 la función g∗, donde Q es

g∗(q) y R es g∗(r), para obtener la fórmula correspondiente en gama. Dado quese puede utilizar el teorema de la deducción en este caso (ver [Sie02] página 44),debemos llegar a que de:S(P (S(S(J(QS(R)))))) ∧ S(P (S(Q))) `GAMA S(P (S(R)))en la cual P representa el color que rodea el gráfico correspondiente. Apli-

cando iteración al gráfico de la izquierda se obtiene:

Q R Q QQ RQ R

En un solo paso se desitera Q y se elimina el subgráfico de la izquierda yaque no se requiere más como testigo de la iteración:

QRQQ RQ R

eliminando el color del subgráfico en el interior:

QR QR

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eliminando doble corte y luego eliminando Q se tiene:

QR QR R

Lo que completa la demostración, ya que `GAMA S(P (S(R))). Entonces elaxioma K es un teorema de Gama Color.

Lema 2.24 El axioma T : ¤q ⊃ q es un teorema en Gama Color.

Demostración. A la fórmula en S5 se le aplica la función g∗, donde Qes g∗(q), para obtener la fórmula correspondiente en Gama Color. Se parte deS(P (S(Q))), aplicando eliminación de color y luego eliminación de doble cortese tiene:

Q Q Q

esto es, `GAMA Q y por lo tanto, el axoma T es un teorema de en GamaColor.

Lema 2.25 El axioma E : ♦q ⊃ ¤♦q es un teorema en Gama Color.Demostración. A la fórmula en S5 se le aplica la función g∗, donde Q es

g∗(q), para obtener la fórmula correspondiente en Gama Color.Se parte del gráfico P (Q), en el primer paso se aplica el axioma de inserción

del anillo de necesidad (Axioma 2.2) de Gama Color, y en el segundo paso seitera el gráfico original dentro del anillo de necesidad, paso permitido ya que seestá iterando un gráfico completamente modalizado:

Q Q Q Q

Se elimina el gráfico original:

Q Q Q

y por lo tanto se tiene que P (Q) `GAMA S(P (S(P (Q)))), o en otras palabras,el axioma E es un teorema de Gama Color.

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Lema 2.26 El sistema Gama Color contiene al sistema S5.

Demostración. Por los lemas 2.23 a 2.25.Finalmente se puede concluir:

Lema 2.27 El sistema S5 y el sistema Alfa son deductivamente equivalentes.

Demostración. Por los lemas 2.22 y 2.26.

2.5 Ejemplos

Ejemplo 2.1 El sistema B es un sistema cuya base es la de T, con la adicióndel axioma: q ⊃ ¤♦q. Y como es usual, se expresa diciendo que el sistema B =sistema T+ Axioma B. Se desea verificar si el axioma B es un teorema deGama Color (S5).

Q es g∗(q). Partiendo de su gráfico y aplicando en el primer paso el axioma2.2 (inserción de un anillo de necesidad sobre un área en blanco de la hoja), enel segundo paso aplicando la regla de inserción de color (Ric) al gráfico Q bajopar (cero cortaduras), quedando convertido en P (Q). En el tercer paso el gráficocompletamente modalizado P (Q) se itera libremente (Ritm) dentro del anillo denecesidad, y eliminando el testigo de la iteración, esto es, el gráfico P (Q) sobreel área más externa, se concluye finalmente el gráfico S(P (S(P (Q)))) que alaplicarle la función f∗ se convierte en ¬♦¬♦q o equivalentemente, en ¤♦q.

QQ QQQQ QQQQ

Una vez que se ha demostrado el Axioma B en Gama Color (S5), surge lapregunta acerca de marcos en los que es válido este axioma. Una opción es seguirel procedimiento de verificación expuesto en [HC96]. Otra opción es que dadala forma del axioma B, se puede utilizar la definición de convergencia-hijk deLemmon y Scott (ver pág. 11): se toma ♦h¤ip ⊃ ¤j♦jp, y se hace h = 0, i = 0,j = 1 y k = 1 con lo que se obtiene el Axioma B. Reemplazando en la expresiónde las relaciones se tiene R0(w, v)∧R1(w, u) −→ ∃x(R0(v, x)∧R1(u, x)). Dadoque R0 es la relación identidad, se debe tener que w ≡ v y x ≡ v. Y por lotanto (v = v) ∧ R(v, u) −→ (v = v) ∧ R(u, v) o mejor R(v, u) −→ R(u, v), quees claramente una relación simétrica. Luego el Axioma B es válido en marcossimétricos.Se puede concluir adicionalmente que mientras que el sistema S5 contiene

al sistema B, S4 no lo contiene ya que S4 solo es válido en marcos reflexivos ytransitivos.

Ejemplo 2.2 Se desea verificar que gama color S5 contiene al Axioma 4 deS4.

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El axioma 4 dice que ¤q ⊃ ¤¤q. Por tanto, se tiene que ¤q `S5 ¤¤q.Aplicando la función g∗ se tiene que Q es g∗(q), y se debe verificar que:g(¤q) `S5 g(¤¤q).Sobre la HA se dibuja S(P (S(Q))), se aplica el axioma de inserción de anillo

de necesidad, se aplica Ritm del gráfico original dentro del anillo de necesidad,y se aplica Reli del gráfico original, lo cual completa la prueba:

Q Q Q Q Q

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3 ConclusionesDurante la exploración del sistema Gama Color y su comportamiento ante di-ferentes procedimientos se observó lo siguiente, sin pretender dar afirmacionesconcluyentes al respecto:

1. Si el axioma de inserción de anillo de necesidad se elimina de S5, y en sureemplazo se adiciona la regla RP1: “Cualquier doble corte que encierreun gráfico completamente modalizado se puede rellenar de color en su in-termedio”, se obtiene un sistema que contiene a S5, esto es, es válida enmarcos universales (reflexivos, simétricos y transitivos).

Esto se verifica fácilmente ya que si se tiene ♦p, al ser éste un gráfico com-pletamente modalizado, aplicando primero Rdc, y luego la regla RP1, sepuede concluir que ¤♦p. Por una parte, es necesario continuar las pruebasde esta regla para verificar que no se llega a inconsistencias, y por otraparte, verificar si lleva a sistemas modales no clásicos, ya que esta regla talcomo está enunciada no excluye su aplicación a cualquier subgráfico com-pletamente modalizado que forme parte de un gráfico no completamentemodalizado.

2. Si al sistema Gama Color S5 se adiciona la regla RP2: “Una gráfica nocompletamente modalizada (parcialmente modal o Alfa) se puede iterar através de zonas con color, siempre y cuando caiga en un área bajo númeroimpar de cortes (y análogamente para la desiteración, bajo impar)” seobtienen esquemas válidos en marcos universales.

3. Si se adiciona la regla RP3: “Una gráfica no completamente modalizada(parcialmente modal o Alfa) se puede iterar a través de zonas con color,siempre y cuando caiga en un área en la cual haga conjunción únicamentecon gráficos completamente modalizados” se obtienen esquemas válidos enmarcos universales.

Los comentarios para la regla propuesta RP1, son válidos también para lasreglas RP2 y RP3 : pueden llevar a sistemas modales no clásicos, siempre ycuando no conduzcan a inconsistencias.Los ejemplos desarrollados muestran la facilidad y sencillez de los gráficos

existenciales. Es un sistema analítico en la máxima extensión de la palabra: sebasa en simples reglas de inserción y eliminación.

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