Metodos Matematicos. Tarea 6

Nombre: Rafael Mora Vazquez Fecha: 04/07/2015

Ejercicio 1

Probar que el conjunto de los numeros enteros Z con adicion como composicion de grupo es un grupo infinitoaditivo siendo 0 el elemento neutral

Solucion: Para que este conjunto de numeros enteros Z sea un grupo infinito aditivo se deben satisfacer loscuatro axiomas requeridos de la definicion de un grupo. Estos son

1) Elemento identidad. Si m Z, se debe cumplir

0 (m) = 0m = m0 (m+ 1) = 0m+ 1 = m+ 1

...

0 (1) = 0 1 = 10 0 = 0 + 0 = 0

...

0 (m 1) = 0 +m 10 m = 0 +m = m,

de modo que el cero es el elemento identidad para este grupo.

2) Cerradura. Si m,n Z entonces debe cumplirse

n m = n+m Z,

esto es se satisface la propiedad de cerradura.

3) Elemento inverso. Si m Z y m1 denota el elemento inverso, entonces m m1 = 0 donde 0 es elelemento identidad, esto es

m m1 = m+m1 = 0,

por tanto m = m1 y entonces m1 Z.

4) Asociatividad. Tomemos tres numeros enteros 1, 2, 3 Z entonces

1 (2 3) = 1 + (2 + 3) = 6(1 2) 3 = (1 + 2) + 3 = 6

1 2 3 = 1 + 2 + 3 = 6

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Ejercicio 2

Sean x, y R . La siguiente composicion

x y := (x3 + y3)1/3,

Define un grupo?

Solucion: Aplicando cada uno de los axiomas a la composicion

1) Elemento identidad.

x 0 = (x3 + 03)1/3 = x0 y = (03 + y3)1/3 = y

Se cumple el axioma del elemento identidad

2) Cerradura. Como x y = (x3 + y3)1/3 y como (x3 + y3)1/3 R entonces se satisface este axioma.

3) Elemento inverso. Si x1 es el elemento inverso de x entonces

x x1 = (x3 + (x1)3)1/3 = 0 x3 + (x1)3 = 0

(x1)3 = x3 x1 = x.

Entonces x1 R.

4) Asociatividad. Sea z R debe cumplirse

x(yz) = x (y3 + z3)1/3 = (x3 + y3 + z3)1/3(xy)z = (x3 + y3)1/3 z = (x3 + y3 + z3)1/3

Por lo tanto x(yz) = (xy)z. Se ve entonces que se cumplen los cuatro axiomas, de modo que la composicionx y s define un grupo.

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Ejercicio 3

Considere el grupo G = {+1,1,+i,i} bajo la multiplicacion. Encuentre todos los subgrupos.

Solucion: El subgrupo {+1,1} satisface los 4 axiomas que deben satisfacer los grupos. Esto es

1) Elemento identidad. Para este caso el elemento identidad es 1 pues

1 1 = 11 1 = 1.

2) Cerradura. Tenemos

1 1 = 1,1 1 = 1,

1 1 = 1.Vemos entonces que se satisface el axioma de la cerradura.

3) Elemento inverso. El elemento inverso de 1 es 1 pues 1 1 = 1 y 1 es el elemento inverso de 1 yaque 1 1 = 1.

4) Asociatividad. Se cumple este axioma pues

(1) 1 = 1 (1) = 1

Ejercicio 4

Muestra que el conjunto infinito de matrices

A =

(cos sin sin cos

)poducidos por la variacion continua de entre 0 y 2pi forma un grupo continuo Cual es este grupo?

Solucion: Este grupo es continuo ya que los elementos de esta matriz aij R y A R2. Este grupo formaparte de SO(2) y es abeliano.

Ejercicio 5

Muestra que el conjunto infinito de matrices triangulares

A =

(1 0 1

)

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