Introducción al CalculoLIMITES, DERIVADAS E INTEGRALES

LIMITES

El limites de una función f(x) es L cuando x tiende ha a, siempre que se puede hallar para cada ocasión un x cerca de a de manera tal que el valor de f(x) sea tan cercano a L como se pretenda.

También se puede hablar del límite de una sucesión que puede ser existente o único y divergente, en el caso de que los términos de aquella no converjan en ningún punto. Cumplen con diversas propiedades generales que ayudan a simplificar los cálculos.

La noción está vinculada con la variación de los valores que toman las funciones o sucesiones y con la idea de aproximación entre números.

Limites de una funcion

Cuando escribimos “ lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝐿 ” queremos decir que 𝑓(𝑥) es

arbitrariamente o cerca de L que conforma x esta cerca de 0

Ejemplo 1

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂𝒇(𝒙) = 𝑳 F(X)= 𝑥2 +2X +3

LIM𝑥→2𝑥2 +2X +3 = L

𝑥2 +2X +3 = L

(2)2 +2(2) +3 = L

4 + 4 +3 = 11 L = 11

Ejemplo 2

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟔

3𝑥−2+5𝑥

𝑥2= L

Ejemplo 3

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟑𝑥3 + 2𝑥 − 𝑥2 - 5x = L

Derivada

En una función, límite hacia el cual tiende la razón entre el incremento de la función y el correspondiente a la variable cuando el incremento tiende a cero.

Derivada en cualquier punto

Si 𝑦 = 𝑓(𝑥) , entonces la derivada de la función f con respecto a x, es la 𝑓′(𝑥)para cualquier valor de x.

𝑓′ 𝑥 = limℎ→0

𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)

ℎ

Ejemplos

Integral

En general, una función continua y= f (x) en el intervalo [a, b]. Divida [a, b] en n sub-intervalos de longitud ∆x. Elija cualquier valor 𝑥1 en el primer sub-intervalo, 𝑥2 en el segundo, y así sucesivamente. Calcule f (𝑥1), f (𝑥2), f (𝑥3), .. . , f (𝑥𝑛), multiplique cada valor por ∆x y sume los productos.

El límite de esta suma cuando n tiende a infinito es la solución al problema del área y es también la solución al problema de la distancia recorrida.

La integral definida

𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim𝑛→∞

𝑖=1

𝑛

𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥

Ejemplo

Ejemplo

Suponga que una bola rueda hacia abajo en una rampa de tal manera que su velocidad después de t segundos siempre es 2t pies por segundo. ¿Qué distancia recorre durante los primeros 3 segundos?

Ejemplo

Propiedades de los limites

ejemplos

Que lim𝑥→0

𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑥= 1. Use este hecho, junto con

las propiedades de los límites, para determinar los siguientes límites:

GRACIAS POR SU ATENCION …….