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ALGEBRA LINEALALGEBRA LINEALALGEBRA LINEALALGEBRA LINEAL

TRABAJO COLABORATIVOTRABAJO COLABORATIVOTRABAJO COLABORATIVOTRABAJO COLABORATIVO

UNIDAD 1.UNIDAD 1.UNIDAD 1.UNIDAD 1.

Grupo: 32Grupo: 32Grupo: 32Grupo: 32

IIIIntegrantesntegrantesntegrantesntegrantes:::: JOSE HARBEY SALAZAR GONZALEZ

Código: 1.053.604.692

MANUEL GUILLERMO TORO

Código 1.047.965.189

HERNAN AUGUSTO ROJAS RODRIGUEZ

Código: 1.052.381.202

ADRIANA ROCIO CACERES SEQUERA

Código: 1.052.381.202

Presentado aPresentado aPresentado aPresentado a::::

Tutora: Tutora: Tutora: Tutora: ALBA JANNETH PINZONALBA JANNETH PINZONALBA JANNETH PINZONALBA JANNETH PINZON

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAUNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAUNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAUNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

14 JULIO 201114 JULIO 201114 JULIO 201114 JULIO 2011

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INTRODUCCION

Este trabajo está desarrollado con el fin de reforzar los conocimientos adquiridos atreves de la unidad 1 que comprende los conceptos en general de vectores matrices y determinantes. Siendo los vectores un vector es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física del cual depende únicamente un módulo (o longitud) y una dirección (u orientación) para quedar definido. Matriz Es un arreglo rectangular de números, símbolos o expresiones, cuyas dimensiones son descritas en las cantidades de filas (usualmente m) por las de columnas (n) que poseen. Los arreglos matriciales son particularmente estudiados por el álgebra lineal y son bastantes usados en las ciencias e ingeniería. Forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales. A

continuación El desarrollo del taller propuesto.

El propósito de este trabajo es que nosotros se apropie de manera significativa los elementos teóricos fundamentales de Algebra Lineal y desarrollemos las competencias pertinentes para contextualizarlos en su campo de formación disciplinar. El Algebra Lineal es un área de las matemáticas que en las últimas décadas ha tenido un significativo desarrollo con el aporte de las ciencias computacionales. Su aplicabilidad en diversos campos del saber ha generado la necesidad de articularla al proceso formativo del profesional de hoy en día como herramienta de apoyo para resolver problemas en las más diversas disciplinas. En este sentido y por su carácter mismo, este trabajo hace aportes significativos al desarrollo de las competencias y aptitud matemática en nosotros, para desarrollar habilidades de pensamiento de orden superior, como la abstracción, el análisis, la síntesis, la inducción, la deducción, etc.

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OBJETIVOS GENERALES

Que nosotros comprendamos el conjunto de conocimientos relacionados con los fundamentos básicos que constituyen el campo teórico y aplicativo de los vectores, matrices y determinantes a través del estudio y análisis de fuentes documentales y situaciones particulares en diferentes campos del saber.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

• Desarrollar una apropiación conceptual que refleje el entendimiento de

nociones como la de vector, complementado con un manejo pertinente de las operaciones con los mismos.

• Que nosotros como estudiantes conozcamos de cerca el concepto de matriz,

lo llevemos a espacios más generales y reconozcamos su importancia en aplicaciones mas especificas.

• Entender y manejar con propiedad las distintas operaciones que con ellas se

puede realizar y que nos permitan utilizar herramientas como el determinante y el proceso de obtener la inversa de matrices para resolver a futuro sistemas lineales.

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1. Dados los siguientes vectores dados en forma polar: a) |�| � 2; � � 135° b) || � 4; � � 240°

Realice analíticamente, las operaciones siguientes:

1.1. � � � � 1.2. � � � � 1.3. 2� � 3� � SOLUCION:

1. |�| � 2; � � 135° � � � �2 cos 135° , 2���135°� � ��1.41,1.41�

2. || � 4; � � 240° � � � �4 cos240° , 4���240°� � ��2,�3.46�

1.1. � � � � � � � ��1.41,1.41� � � ��2,�3.46� � � � � � ��1.41,1.41� � ��2,�3.46� � ��3.41,�2.05�

u

v

u+v

-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

(-1.41,1.41)

(-2,-3.46)

(-3.41,-2.05)

� � � �

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1.2. � � � � � � ��2,�3.46� � � � ��1.41,1.41� � � � � � ��2, �3.46� � ��1.41,1.41� � ��0.59,�4.87� 1.3. 2 � � 3� � 2 � � 2��2, �3.46� � ��4,�6.92� 3� � � 3��1.41,1.41� � ��4.23,4.23� 2 � � 3� � � ��4,�6.92� � ��4.23,4.23� � �0.23,�11.15�

u

v

v-u

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

(-1.41,1.41)

(-2,-3.46)

(-0.59,-4.87)

� � � !"#��$#%#%&

� � �

3u

2v

2v-3u

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-12

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

(-4.23,4.23)

(-4,-6.92)

(0.23,-11.15)

� � � !"#��$#%#%&

2 � � 3� � !"#��$#%#%&

2 � � 3� �

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2. Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores:

2.1. � � � 3'̂ � 7)̂ * � � �'̂ � 2)̂ 2.2. + � � �'̂ � 3)̂ * � � � 2'̂ � 8) ̂

SOLUCION:

,&�� � �. |�||| 2.1. � � � 3'̂ � 7)̂ |�| � -3. � 7. � √58 � � �'̂ � 2)̂ || � -��1�. � ��2�. � √5 �. � �3,7� 0 ��1,�2� � �3 � 14 � �17 ,&�� � �17√58√5 � �17√290

� � cos12 �17√290 � 176,633

2.2. + � � �1'̂ � 3) ̂|�| � -��1�. � ��3�. � √10 � � � 2'̂ � 8)̂ || � -�2�. � ��8�. � √68 �. � ��1, �3� 0 �2,�8� � �2 � 2 4 � 22 ,&�� � 22√10√68 � 22√680

� � cos12 22√680 � 32,47119

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3. Dada la siguiente matriz, encuentre A1 empleando para ello el método de Gauss – Jordán. (Describa el proceso paso por paso).

3 � 4�3 1 15 �2 �10 7 �35 4�3 1 15 �2 �10 7 �3 61 0 00 1 00 0 175

� 2892

:1 � 28 � 285 �2 �10 7 �3 ;� 28 0 00 1 00 0 17<

�592 � 9.

=1 � 28 � 280 � 28 .80 7 �3 >� 28 0 0?8 1 00 0 1

7@ �39.

:1 � 28 � 280 1 �20 7 �3 ;� 28 0 0�5 �3 00 0 17<

289. � 92

41 0 �10 1 �20 7 �3 6�2 �1 0�5 �3 00 0 175 � 79. � 98

41 0 �10 1 �20 0 11 6�2 �1 0�5 �3 035 21 175 222 98 :1 0 �10 1 �20 0 1 ;�2 �1 0�5 �3 08?22 .222 222

7< 198 � 92

=1 0 00 1 �20 0 1 > 2822 2A22 222�5 �3 08?22 .222 2227@ 298 � 9.

BCCCD1 0 00 1 00 0 1 >>

2822 2A22 2222?22 E22 .228?22 .222 2227FGGGH

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4. Emplee una herramienta computacional adecuada (por ejemplo MAPLE, o cualquier software libre) para verificar el resultado del numeral anterior. Para esto, anexe los pantallazos necesarios que verifiquen el resultado.

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5. Encuentre el determinante de la siguiente matriz, describiendo paso a paso la operación que lo va modificando (sugerencia: emplee las propiedades e intente transformarlo en una matriz triangular.

I � >>8�5300

01001093�400

2�2253111�21 >> ?J91 � F2

SOLUCION:

• Transformamos la matriz en una Matriz triangular mayor, empleando el método de Gauus Jordan

I � >>8 1L0 0L3 1L0 0L0 0L

0 0L1 1L0 0L0 0L10 1L

9 1L69 8L�4 1L0 0L0 0L

2 1L�3 4L2 1L5 1L3 1L

1 1L13 8L1 1L�2 1L1 1L >> � 8J91 � 93

I � >>8 1L0 0L3 1L0 0L0 0L

0 0L1 1L0 0L0 0L10 1L

9 1L69 8L�59 8L0 0L0 0L

2 1L�3 4L5 4L5 1L3 1L

1 1L13 8L5 8L�2 1L1 1L >> � 391 � 93

I � >>8 1L0 0L3 1L0 0L0 0L

0 0L1 1L0 0L0 0L10 1L

9 1L69 8L�59 8L0 0L0 0L

2 1L�3 4L5 4L5 1L3 1L

1 1L13 8L5 8L�2 1L1 1L >> � 1092 � 95

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I � >>8 1L0 0L3 1L0 0L0 0L

0 0L1 1L0 0L0 0L0 0L

9 1L69 8L�59 8L0 0L�345 4L

2 1L�3 4L5 4L5 1L21 2L

1 1L13 8L5 8L�2 1L�61 4L >> � MEA?E 9 � F53

I � >>8 1L0 0L0 0L0 0L0 0L

0 0L1 1L0 0L0 0L0 0L

9 1L69 8L�59 8L0 0L0 0L

2 1L�3 4L5 4L5 1L�243 59L

1 1L13 8L�1 4L�2 1L�1331 59L >> � .N8.E? 94 � 95

I � >>8 1L0 0L0 0L0 0L0 0L

0 0L1 1L0 0L0 0L0 0L

9 1L69 8L�59 8L0 0L0 0L

2 1L�3 4L5 4L5 1L0 0L

1 1L13 8L�1 4L�2 1L�7141 295L >>

OPQ 3 � RS TL URT TL UV�WX SL YVW TL YV�ZT[T \XWL Y � T]SW\Z]^ \_]^L � ZT[T

6. Encuentre la inversa de la siguiente matriz, empleando para ello determinantes.

I � 6 2 3 �10 7 0�5 1 �56 I12 � 1det I #%c I

det I � 2 d7 01 �5d � 3 d 0 0�5 �5d � ��1� d 0 7�5 1d � 2��35� � 3�0� � 35 � �105

I%c I � ef e � 6I22 I2. I28I.2 I.. I.8I82 I8. I886

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Igh � ��1�gihjkghj I22 � ��1�2i2 d7 01 �5d � �35

I2. � ��1�2i. d 0 0�5 �5d � 0

I28 � ��1�2i8 d 0 7�5 1d � 35

I.2 � ��1�.i2 d3 �11 �5d � 14

I.. � ��1�.i. d 2 �1�5 �5d � �15

I.8 � ��1�.i8 d 2 3�5 1d � �17

I82 � ��1�8i2 d3 �17 0 d � 7

I8. � ��1�8i. d2 �10 0 d � 0

I88 � ��1�8i8 d2 30 7d � 14

e � 6�35 0 3514 �15 �177 0 14 6 I%c I � ef � 6�35 14 70 �15 035 �17 146

I12 � 1�105 6�35 14 70 �15 035 �17 146 � >> 13 � 215 � 1150 17 0�13 17105 � 215>

>

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CONCLUSIONES

• Aprendimos muchas definiciones sobre vectores en , y en general con sus variedades de soluciones.

• Supimos conceptos y características de los vectores.

• Aprendimos a utilizar las formulas de los ángulos y la magnitud.

• Aprendimos a desarrollar de un facilidad los ejercicios propuestos en el trabajo

colaborativo.

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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

• MODULO DE ALGEBRA LINEAL 2011. CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G.