Gu a ejercicios resueltos Sumatoria y Binomio de Newtonhcornejo.com/Algebra/Portafolio 2011 - 2/Guia...

34
Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile Guía ejercicios resueltos Sumatoria y Binomio de Newton Solución: a) Como k no depende de j, 2k es constante a la sumatoria. b) c) d)

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Guía ejercicios resueltos Sumatoria y Binomio de Newton

Solución:

a)

Como k no depende de j, 2k es constante a la sumatoria.

b)

c)

d)

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e)

f)

g)

h)

Las demás se resuelven de la misma forma.

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Solución:

a)

b)

Como es una sumatoria telescópica se salva el primero y el último.

c)

La sumatoria geométrica debería comenzar desde cero, pues conocemos la siguiente formula.

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Para empezar desde cero basta restarle uno a los límites de la sumatoria y a la vez sumar uno

en la variable dentro de la sumatoria.

Solución:

De esta sección solo realizare el primero, dada la simplicidad de los ejercicios.

Dado los valores del enunciado para .

Solución:

a)

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b)

c)

d)

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e)

La sumatoria geométrica debería comenzar desde cero, pues conocemos la siguiente formula.

Para empezar desde cero basta restarle uno a los límites de la sumatoria y a la vez sumar uno

en la variable dentro de la sumatoria.

f)

g)

La sumatoria geométrica debería comenzar desde cero, pues conocemos la siguiente formula.

Para empezar desde cero basta restarle uno a los límites de la sumatoria y a la vez sumar uno

en la variable dentro de la sumatoria.

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h)

i)

La sumatoria geométrica debería comenzar desde cero, pues conocemos la siguiente formula.

Para empezar desde cero basta restarle uno a los límites de la sumatoria y a la vez sumar uno

en la variable dentro de la sumatoria.

j)

k) J

Para la sumatoria que esta más a la derecha el 2 elevado a la i, es independiente de j.

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Solución:

Solución:

6) Las progresiones aritméticas son de la siguiente forma:

( ) ( ) ( ) ( )nksksksks ++++++++ K32

116)12*104()10(

412

565

202

=+−=+−=∧=⇒

=+=+

ss

sk

ks

ks

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 6202

)110(101240

2

)110(1012)4(101032

10

1

10

1

=++−=+

++−=+=++++++++

=

=

i

i

iks

iksksksksks K

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7) Las progresiones aritméticas son de la siguiente forma:

( ) ( ) ( ) ( )nksksksks ++++++++ K32

34

4

=+=+

nks

ks

( ) 2471

=+∑=

n

i

iks

Calculemos la sumatoria:

( ) ( )

( ) 4942

4942

2472

2472

1

2

2

1

=++=++

=++

=++=+∑=

kknsn

knknsn

nnksn

nnksniks

n

i

Ahora, sumemos las dos ecuaciones del enunciado.

382

34

4

=++=+

=+

knks

nks

ks

Reemplazando, ( ) 1349438 =⇒= nn

8) Las progresiones aritméticas son de la siguiente forma:

( ) ( ) ( ) ( )nksksksks ++++++++ K32

( )

( ) 2700

200

100

51

50

1

=+

=+

=

=

i

i

iks

iks

Calculemos la sumatoria:

( ) ( )

200127550

2002

1505050

50

1

=+

=++=+∑=

ks

ksiksi

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( ) ( ) ( )

( )

( )

29005050100

29002

1100100100

2900

2700

100

1

200

50

1

100

1

100

51

=+

=++

=+

=+−+=+

∑∑∑

=

=

===

ks

ks

iks

iksiksiks

i

iii43421

Tomado las dos ecuaciones;

200127550 =+ ks (1)

29005050100 =+ ks (2)

2*(1) - (2) ( ) 40029001275*25050 −=− k

( )5,211

25002500

=⇒==sk

k

9) Las progresiones aritméticas son de la siguiente forma:

( ) ( ) ( ) ( )nksksksks ++++++++ K32

( )

( )3

360000

360000

40

31

40

1

=+

=+

=

=

i

i

iks

iks

Calculemos la sumatoria:

( ) ( )

36000082040

3600002

1404040

40

1

=+

=++=+∑=

ks

ksiksi

( ) ( ) ( )

( )

24000046530

1200002

1303030360000

12000030

1

360000

40

1

40

31

−=−−

=

++−

=+−+=+ ∑∑∑===

ks

ks

iksiksiksiii

43421

Tomado las dos ecuaciones;

36000082040 =+ ks (3)

24000046530 =+ ks (4)

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3*(3) –4* (4) ( ) 240000*4360000*3465*43*820 −=− k

( )4900200

120000600

=⇒==

sk

k

10) Las progresiones geométricas son de la siguiente forma:

( ) ( ) ( ) ( )

−−==++++

+

=∑

r

raraararara

nn

i

in

1

11

0

2K

4

729

54

6

3

=

=

ar

ar

Resolviendo:

( )

162

3

4

72954

4

72954

54

3

63

3

=⇒=

=

=

=

ar

r

rr

ra

∑∑==

=n

i

in

i

ira

00 2

316

Solución:

Considere que,

Para r<1.

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Ahora, debemos calcular:

Solución:

10) Las progresiones geométricas son de la siguiente forma:

( ) ( ) ( ) ( )

−−==++++

+

=∑

r

raraararara

nn

i

in

1

11

0

2K

320

40

6

3

=

−=

ar

ar

Resolviendo:

( )

52

8

32040

32040

40

3

3

63

3

=⇒−=−=

=−

=−

−=−

ar

r

r

rr

ra

El décimo termino es igual a ( ) 25602*599 −=−=ar

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( ) ( ) ( )( )1

1

00

213

5

21

21525

++

==−−=

−−−−=−= ∑∑ n

nn

i

in

i

ira

Solución:

Usando que,

Simplificar y calcular.

Resolveremos los más difíciles, pues en los demás se puede utilizar la calculadora

facilmente.

Pero sabemos que,

Ahora, restemos a la ultima ecuación los terminos que no estan en la primera sumatoria.

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Resover (ultimo),

Si consideramos, a=2 y b=1

La unica diferecia con nuestra primera ecuación, es que una parte desde 1 y la otra

desde cero. Consideremos la ultima ecuación y separemos el primer termino.

Solución:

a)

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b)

c)

d)

Solución:

a)

b)

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c)

Solución:

Usando que,

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a)

b)

c)

d)

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Solución:

a)

( )

kx

kk

k kxx

kkx

kx

k

k kxx

kxk

x

k kxx

+−∑=

=

+

−−∑=

=

+

=

=

+

7732

7

0

772

23

73

722

7

0

772

23

732

27

0

772

23

Como nos piden encontrar el coeficiente que acompaña al 11

x , basta igualar el

exponente del k

x+7

a 11.

4

117

==+

k

k

Entonces, para 4=k encontraremos el coeficiente que acompaña a 11

x .

33

42

4

7

1133

42

4

747473

42

4

7

=

=+−

Coef

xx

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b)

3254

272

27

0

2727

2

23

2543272

27

0

2727

2

23

272

23127

0

2727

2

23

kkx

k

k kx

x

kx

k

xk

k kx

x

kx

k

x

k kx

x

++−−∑=

=

+

+−−∑=

=

+

∑=

=

+

3754

272

27

0

2727

2

23k

xk

k kx

x+−−∑

=

=

+

Como nos piden encontrar el coeficiente que acompaña al 2

x , basta igualar el

exponente de 3754 k

x+−

a 2.

24

23

754

=

=+−

k

k

Entonces, para 24=k encontraremos el coeficiente que acompaña a 2

x .

32

24

27

324*754

24272

24

27

=

+−−

Coef

x

c) Es análogo a los dos anteriores.

d)

( )

( ) kxk

r

k k

rrx

krk

xr

k k

rrx

21

4

0

442

1

412

4

0

442

1

−∑=

=

−∑

=

=

Como nos piden encontrar el coeficiente que acompaña al r

x2

, basta igualar el

exponente de k

x2

a 2r.

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rk

rk

== 22

Entonces, para rk = encontraremos el coeficiente que acompaña a r

x2

.

( )

( )rr

rCoef

rxr

r

r

14

21

4

=

19. Encuentre los términos centrales en el desarrollo de

a) 10

63

−a

a

( )

( )

( ) ka

kk

k kaa

kka

kak

k kaa

ka

k

ak kaa

2101036

10

0

10106

3

103

106

10

0

10106

3

103610

0

10106

3

−−−∑=

=

−−−−∑=

=

−∑=

=

Como nos piden encontrar el termino central del desarrollo del binomio 10

63

−a

a ,

basta tomar el 5=k , pues la sumatoria va desde 0 a 10 siendo el termino central el

5=k .

Entonces, el término central es igual a:

( ) ( ) ( ) ( )5185

105185

105356

5

1010*210510356

5

10

−=−

=−

=−−−

a

b)

5

2

5

5

4

−x

x

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kx

kk

k kx

x

kx

kk

x

k

k kx

x

kx

k

xk kx

x

255

5

4

2

55

0

55

2

5

5

4

55

5

4

2

55

0

55

2

5

5

4

5

5

4

2

55

0

55

2

5

5

4

−−

−∑=

=

−−

−∑=

=

−∑=

=

Como nos piden encontrar el termino central del desarrollo del binomio

5

2

5

5

4

−x

x,

basta tomar el 2=k y el 3=k , pues la sumatoria va desde 0 a 5 existiendo dos

términos centrales, debido a que son 6 términos los del desarrollo.

Entonces, el

término central

es igual a:

c) ( )24xbxa −+− , con ba <<0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) kxb

kxa

k kxbxa

kxb

kxa

kk

xbxa

−−−∑=

=−+−

−−−∑=

=−+−

2424

0

2424

2424

0

2424

Como nos piden encontrar el termino central del desarrollo del binomio

( )24xbxa −+− , basta tomar el 12=k , pues la sumatoria va desde 0 a 24 siendo

el termino central el 12=k .

Entonces, el término central es igual a:

110

3

5

5

24

2

5

12

5

43

2

5

3

53

5

42

2

5

2

5

3*2535

5

43

2

5

3

52*2525

5

42

2

5

2

5min

=

=

−−

+−−

=

xx

xx

xxoTer

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( ) ( )

( ) ( )66

12

24

122412

12

24min

xbxa

xbxaoTer

−−

=

−−−

=

20. Encontrar el término independiente de x en el desarrollo.

a)

9

3

1

2

23

x

x

kx

k

kk

kx

x

kx

k

kk

x

k

kx

x

k

kx

k

xkx

x

3189

0

9

2

3

3

199

3

1

2

23

2189

0

9

2

3

3

199

3

1

2

23

9

0

9

2

23

3

199

3

1

2

23

−∑=

=

−∑=

=

∑=

=

Como nos piden encontrar el termino independiente de x del binomio

9

3

1

2

23

x

x,

basta igualar a cero el exponente de k

x318−

, pues el termino independiente de x esta

elevado a la cero.

6

0318

==−

k

k

Entonces, el término independiente es:

3

36

696

6

1

6

9

2

3

3

1

6

9

6*318

2

3

3

1

6

9depen)Termino(in

=

=

=

x

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a)

n

x

x

3

2

1

( )

( )

( )∑=

−−

=

∑=

−−−

=

∑=

=

n

k

knxk

k

nn

x

x

n

k

knx

kxk

k

nn

x

x

n

k

knx

k

xk

nn

x

x

3

0

331

33

2

1

3

0

321

33

2

1

3

0

32

133

2

1

Como nos piden encontrar el termino independiente de x del binomio

n

x

x

3

2

1

− ,

basta igualar a cero el exponente de kn

x33 −

, pues el termino independiente de x esta

elevado a la cero.

nk

kn

==− 033

Entonces, el término independiente es:

( )

( )n

nnn

n

n

xn

n

13

13

depen)Termino(in33

=

= −

21. Calcular el valor numérico del término independiente de x.

n

x

xx

3

2

12

653

+

Solución:

( )

( )

( ) ( )∑=

−−

+∑

=+−−

=

+

∑=

−−−

+=

+

∑=

+=

+

n

k

knxk

k

nn

k

knxk

k

nn

x

xx

n

k

knx

kxk

k

nx

n

x

xx

n

k

knx

k

xk

nx

n

x

xx

3

0

3312

33

0

653313

33

2

12

653

3

0

321

32

653

3

2

12

653

3

0

32

132

653

3

2

12

653

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Como nos piden encontrar el termino independiente de x del binomio

n

x

xx

3

2

12

653

+ , basta igualar a cero el exponente de

6533 +− knx y el de

knx

33 −, pues por cada sumatoria podría existir un termino independiente de x.

Para la primera sumatoria:

3

65

06533

+=

=+−

nk

kn

Como el k no es un número entero positivo, implica que ese término no existe.

Para la segunda sumatoria:

nk

kn

==− 033

Entonces, el término independiente es:

( )

( )n

nnn

n

n

xn

n

123

123

depen)Termino(in33

=

= −

Es decir, la primera sumatoria no aporta nada.

22. Calcular el coeficiente de 2−

x en el desarrollo de x:

28

2

122

x

xx

( )

( )

( )∑=

−−

=

∑=

−−

=

∑=

−−−

=

∑=

=

28

0

4581

2828

2

122

28

0

4561

28228

2

122

28

0

25621

28228

2

122

28

0

282

2

128228

2

122

k

kxk

kx

xx

k

kxk

kx

x

xx

k

kx

kxk

kx

x

xx

k

kx

k

xkx

x

xx

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Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile

Como nos piden encontrar el coeficiente de 2−

x del binomio 28

2

122

x

xx , basta

igualar a -2 el exponente de k

x458−

, lo que permitirá conocer el k necesario para

encontrar el coeficiente

15

2458

=−=−

k

k

Entonces, el coeficiente de 2−

x

( )

−=

−=

=

15

28

15

28

115

28min

2

15*45815

Coef

x

xoTer

23. Determinar el valor de a para los coeficientes de 7

x y 6

x en el desarrollo de:

( ) ( )325 axax −+ sean iguales.

Solución:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

∑=

−∑

=−+

+∑

=−+

−∑

=−+

=

∑=

−∑

=−

+∑

=−

−∑

=−

=

∑=

−+−=−+

∑=

−=−+

5

0

858

5

0

71512

5

0

6256

5

0

535

5

0

558

5

0

5512

5

0

556

5

0

55

5

0

5538

212

26

3325

5

0

5532325

3223

k

ka

kx

kk

ka

kx

kk

ka

kx

kk

ka

kx

k

k

ka

kx

ka

k

ka

kx

kxa

k

ka

kx

kax

k

ka

kx

kx

k

ka

kx

kaxaaxxaxax

k

ka

kx

kaxaxax

- Tenemos cuatro sumatoria que nos aportaran coeficientes para 7

x y 6

x .

- Como nos piden encontrar el coeficiente de 6

x del binomio ( ) ( )325 axax −+ , basta

igualar a 6 el exponente de 3+k

x , 2+k

x , 1+k

x y k

x , lo que permitirá conocer el k

necesario para encontrar el coeficiente de cada sumaria:

Primera sumatoria:

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3

63

==+

k

k

2

3

535

3

5

1aaCoef

=−

=

Segunda sumaria

4

62

==+

k

k

2

4

56

46

4

56

2aaCoef

−=−

−=

Tercera sumaria

5

61

==+

k

k

2

5

512

57

5

512

3aaCoef

=−

=

Cuarta sumaria

6=k

No aporta nada, debido a que el mayor valor que puede tomar k es 5.

28

212

230

210

2

5

512

2

4

56

2

3

5

321

6

6

6

6

aCoef

aaaCoef

aaaCoef

CoefCoefCoefCoef

−=

+−=

+

=

++=

- Como nos piden encontrar el coeficiente de 7

x del binomio ( ) ( )325 axax −+ , basta

igualar a 7 el exponente de 3+k

x , 2+k

x , 1+k

x y k

x , lo que permitirá conocer el k

necesario para encontrar el coeficiente de cada sumaria:

Primera sumatoria:

4

73

==+

k

k

aaCoef

=−

=

4

545

4

5

1

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Segunda sumaria

5

72

==+

k

k

aaCoef

−=−

−=

5

56

56

5

56

2

Tercera sumaria

6

71

==+

k

k

No aporta nada, debido a que el mayor valor que toma k es 5.

Cuarta sumaria

7=k

No aporta nada, debido a que el mayor valor que toma k es 5.

aCoef

aaCoef

aaCoef

CoefCoefCoef

−=−=

=

++=

7

7

7

7

65

5

56

4

5

21

Ahora, igualando el 7Coef a 6Coef .

( ) 018

82

76

=−−=−

=

aa

aa

CoefCoef

Es decir, para 8

10 21 =∧= aa los coeficientes de

7x y

6x son iguales.

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24. Hallar el coeficiente de 7

x en el desarrollo de: ( )n

xx32

1 −−

Desarrollo:

( )( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ik

i

kn

k

kn

ik

i

kn

k

kn

kkn

k

kn

n

k

knkn

xi

kx

k

nxx

xi

kx

k

nxx

xxk

nxx

xxk

nxx

∑∑

∑∑

==

==

=

=

=+−

=+−

+−

=+−

+−

=+−

0

2

0

2

0

2

0

2

2

0

2

0

22

111

111

1111

1111

Para la sumatoria que depende de i, los términos que dependen de k son constantes.

Como nos piden encontrar el coeficiente de 7

x del polinomio ( )n

xx32

1 −− , basta

igualar a 7 el exponente de ik

x+2

, de esa manera conoceremos los posibles valores que

pueden tomar k e i.

72 =+ ik

Con las siguientes restricciones,

nki ≤≤≤0

Ahora,

⇒⇐=⇒= 70 ik Debido a que ki ≤

⇒⇐=⇒= 51 ik Debido a que ki ≤

⇒⇐=⇒= 32 ik Debido a que ki ≤

13 =⇒= ik Este caso cumple con nki ≤≤≤0

⇒⇐−=⇒= 14 ik Debido a que nki ≤≤≤0

Luego, la única solución es con 13 =⇒= ik

( )( ) ( )∑∑=

+

=

=+−

n

k

ikk

i

kn

xi

k

k

nxx

0

2

0

2111

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( )

−=

=

1

3

3

11

3

3

3

ncoef

ncoef

25.

i) ∑=

144

0

144

k kk

Desarrollo:

( )

423423

0

423423

0

423423

0

423

0

2423

11423

11423423

=

+=

=

∑∑

=

=

==

k

k

kk

kk

k

k

kk

ii) ( )∑=

1012

0

10121

k

k

k

Desarrollo:

( ) ( )

( ) ( )

( ) 01012

1

111012

1

1110121012

1

1012

0

10121012

0

10121012

0

1012

0

=

−=

=

∑∑

=

=

==

k

k

k

k

kk

kk

k

k

k

kk

iii) ∑=

144

0

144

k kk

Desarrollo:

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( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )∑

∑∑

=

=

=

==

+−⋅−=

−+−⋅−=

−⋅−=

−⋅⋅=

144

1

144

1

144

1

144

1

144

1

1143!1

!144

11144!1

!144

144!1

!144

144!

!144144

k

k

k

kk

kk

kk

kk

kkk

kk

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

=

=

=

=

−=

−−⋅−=

−−⋅−⋅=

−−⋅−=

144

1

144

1

144

1

144

1

1

143144

1143!1

!143144

1143!1

144!143

1143!1

!144

k

k

k

k

k

kk

kk

kk

( )143

143

143143

0

143

0

2144

11144

11143

144

143144

143

143

142

143

2

143

1

143

0

143144

⋅=

+⋅=

⋅⋅

=

=

+

++

+

+

⋅=

=

=

kk

k

k

k

k

K

iv) ( )( )∑=

++

1998

0

1998

21

1

k kkk

Desarrollo:

Multiplicaremos por 1, para reordenar la combinatoria.

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( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

∑∑

=

=

=

=

=

==

+⋅=

+−⋅+⋅=

+−−⋅+⋅=

⋅−⋅+=

⋅⋅

−⋅⋅

++=

⋅⋅

++=

++

1998

0

1998

0

1998

0

1998

0

1998

0

1998

0

1998

0

2

2000

20001999

1

!22000!2

!2000

20001999

1

!221998!2

!2000

20001999

1

20001999

1

!1998!2

!2000

20001999

20001999

!1998!

!1998

21

1

20001999

200019991998

21

11998

21

1

k

k

k

k

k

kk

k

kk

kk

kk

kkkk

kkkkkk

+

++

+

+

+

⋅=

2000

2000

1999

2000

5

2000

4

2000

3

2000

2

2000

20001999

1K

Ahora, sumemos cero dentro del paréntesis.

⋅=

+

++

+

+

⋅=

+

+

++

+

⋅=

∑=

=

=

1

2000

0

20002000

20001999

1

1

2000

0

2000

2000

2000

1999

2000

2

2000

1

2000

0

2000

20001999

1

1

2000

1

2000

0

2000

0

2000

2000

2000

3

2000

2

2000

20001999

1

2000

0

0

0

k k

K

44 344 21

44 844 76

K

( )

[ ]2001220001999

1

1

2000

0

20002

20001999

1

1

2000

0

200011

20001999

1

1

2000

0

200011

2000

20001999

1

2000

2000

2000

20002000

0

−⋅

=

⋅=

−+

⋅=

−⋅

⋅= −

=∑ kk

k k

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26. Determine:

i) 7a en nnan

k

k 62

1

+=∑=

Desarrollo:

Partamos con algo conocido,

( )

nnk

nnk

n

k

n

k

+=

+=

=

=

2

1

1

2

2

1

Sumemos a toda la ecuación 5n.

nnk

nnk

nnk

nnnnk

n

k

n

k

n

k

n

k

n

k

n

k

652

652

6152

552

2

1

2

11

2

11

2

1

+=+

+=+

+=+

++=+

∑∑

∑∑

=

==

==

=

Por enunciado,

19

52

652

7

1

2

1

=+=

=+=+ ∑∑==

a

ka

annk

k

n

k

k

n

k

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ii) 7t en

723

+y

xx

3

7

77

772

7

31

7

7

723

17

7

0

723

17

0

77

23

xty

xxt

k

y

x

k

xk

t

kkt

k

y

x

k

x

k ky

xx

k

=⇒−

=

=

∑=

=−

∑=

=

+

iii) 5t en

20

23

2

5

34

+

x

x

15

115

3

25

5

4

5

20

520

23

25

5

34

5

20

20

23

2

5

3420

20

0

20

23

2

5

3420

0

2020

23

2

5

34

5

5

x

t

x

xt

k

x

kx

kt

kkt

k

x

kx

k kx

x

k

=

=

=

∑=

=−

∑=

=

+

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iv) 5t en ( )122 yx−

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )725

5

12

51225

5

12

12212

12

0

12212

0

12122

7

5

xyt

xyt

kxkyk

t

kktkxky

k kyx

k

−=

−−

=

−−

=

∑=

=−−∑=

=−