Guía 104: Apliquemos las derivadas

CH-FyA-0521

Guía 104: Apliquemos las derivadas

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Guía

105 Meta 35

GRADO 11

GUÍA DEL ESTUDIANTE

APLIQUEMOS LAS

DERIVADAS

3

Guías de Aprendizaje de Cualificar Matemáticas

Fe y Alegría Colombia

Fe y Alegría Colombia

Víctor Murillo

Director Nacional

Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos

Jaime Benjumea - Marcela Vega

Autores de la guía 105

Francy Paola González Castelblanco

Andrés Forero Cuervo

Coordinación pedagógica


Andrés Forero Cuervo

GRUPO LEMA www.grupolema.org

Revisores

Jaime Benjumea


http://www.grupolema.org/

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Guía

105 GRADO 11

APLIQUEMOS LAS DERIVADAS

GRADO 11 - META 35 - PENSAMIENTOS NUMÉRICO - VARIACIONAL

Guía 103

(Duración 13 h)

• Límites de secuencias numéricas

• Secuencias convergentes y

divergentes

• Límites de funciones

• Continuidad de funciones

Guía 104

(Duración 13 h)

• Derivada de una función

• Rectas secantes y tangentes a

una curva

• Cálculo de derivadas usando

límites

• Reglas básicas de derivación:

constante, función lineal,

potencias, regla de suma, regla

del producto, potencias

Guía 105

(Duración 13 h)

ACTIVIDAD 1

• La función derivada

• Segunda derivada

• Derivadas trigonométricas y

exponenciales

• Regla básica de la cadena (para f(kx))

ACTIVIDAD 2

• Máximos y mínimos

• Optimización

META DE APRENDIZAJE N. 35 Infiero el significado de una razón de cambio instantánea (derivada) como límite, en situaciones de ahorro continuo,

velocidad y aceleración de vehículos y cambios de temperatura en donde vivo, entre otras; uso tablas para aproximar

derivadas con sucesiones de razones de cambio promedio; dada la gráfica de una función, identifico su derivada en un

punto como la pendiente de la recta tangente; uso la función derivada para predecir comportamientos de la función inicial

(cuándo crece o decrece, valores extremos) en problemas de cambios de cantidades físicas; calculo algebraicamente la

derivada de polinomios y funciones trigonométricas. Así, aprendo a usar y relacionar tablas, gráficas y ecuaciones para

analizar cambios repentinos en el mundo.

PREGUNTAS ESENCIALES, GUÍA 105:

● Si consideras la función “Tu nivel de cansancio de 1 a 10” en función del tiempo, ¿qué significa o

representa la derivada de esta función? Da ejemplos haciendo una gráfica en un día dado. ● Si tengo una función y calculo su función derivada, ¿qué me dice esta última sobre la primera? ¿Qué

información NO me dice? ● ¿Por qué tendría sentido en la vida real encontrar la segunda derivada de una función? Menciona algunos

ejemplos concretos.

EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE, GUÍA 105:

● Comprendo que la derivada de una función es una nueva función, y sé cómo calcular sus valores

gráficamente

● Dada una función g, razono para encontrar posibles funciones f tales que f’ = g.

● Aplico las reglas de derivación para encontrar la función derivada usando álgebra

● Expreso funciones que originalmente dependen de 2 variables como funciones de una sola variable, usando

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como ayuda una restricción algebraica que relacione las dos variables.

● Dada una situación de optimización de una función de dos variables, encuentro una ecuación “restricción”

que relaciona ambas variables.

● Optimizo una función en una situación real, hallando su máximo o mínimo valor (así como la variable que

logra dicho valor) usando la derivada.

Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno

GUÍA 105 GRADO

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ACTIVIDAD

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ACTIVIDAD 1: LA FUNCIÓN DERIVADA

Aprendamos cómo usar la función derivada de una función y extendamos lo que ya sabemos

para encontrar derivadas de funciones trigonométricas y exponenciales, entre otras.

A) Activando saberes previos

RECUERDA QUE...

Si tenemos una función F y un elemento x de

su dominio, podemos estudiar la variación de

F cerca de x, y también la tasa de cambio

cerca de F, definiendo:

F’(x) = pendiente de la tangente a F en el

punto (x, F(x)) = velocidad instantánea del

cambio de F con respecto al cambio de la

variable, en el punto x.

Así, F es una función, x es un número y F’(x)

es también un número que representa la

pendiente.

Para calcular m, necesitamos no solo a x y a

F(x), sino a los valores de F en una región

cercana a x.

PRACTICA

i) Sea f(t) = 6𝑡2.

Calcula el valor de f’(x) para cada

uno de estos valores de x:

a) x = 0

b) x = 2

c) x = 5

ii) Sea f(t) = 16𝑡 − 16𝑡.

ii) La función F se muestra acá:


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ACTIVIDAD

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7

Calcula el valor de f’(x) para cada

uno de estos valores:

d) x = 1

e) x = 9

Completa la tabla:

P F’(P)

0,3 2

0,4

2 No existe

3,1

5

7

10,98

B) Conceptos

Exploración: La influencia de la gravedad

Antes de comenzar discute en clase: ¿Has visto caricaturas o películas en donde personas u

objetos caen de cierta altura? ¿Es realista este movimiento? ¿Por qué?

Al soltar un objeto desde cierta altura, su función

de posición (en metros) en un tiempo t (en

segundos) es f(t) = 200 − 5t2. En realidad, el coeficiente

que acompaña a la variable es 4,9, pero por simplicidad vamos

a aproximarlo a 5.

f es una función que recibe un tiempo t en segundos, y

produce una posición en metros. Por ejemplo: la “posición inicial”, cuando t = 0, es

de f(0) = 200 − 0 = 200 metros. Es decir, el objeto

está siendo soltado desde una altura de 200 metros.

Sabemos que en cualquier punto a, f’(a) nos da la velocidad

del objeto en tiempo a. Así, f’(a) es una velocidad, medida en

“# de metros por cada segundo”.

Quisiéramos una función g que nos diera la velocidad del

objeto en cada tiempo. Entonces lo que hacemos es definir a

g como f’, la FUNCIÓN DERIVADA de f. Así, g = f’.


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ACTIVIDAD

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f’ es una función que recibe un tiempo t en seg. y produce f’(t) = velocidad del objeto en tiempo t, en m

por seg.

Sabemos por las reglas de derivación que en cualquier tiempo a, f’(a) = 0 − 10a. Así, si

cambiamos a por t (es simplemente un cambio de letra), nos queda que f’ está dada por

f’(t) = −10a.

La función f’ nos ayuda a describir la situación física en más detalle. Primero hacemos una tabla en donde

veamos f y f’ al tiempo:

t 0 1 2 3 4 5 6

f(t) 200 195 180 155 120 75 20

f’(t) 0 −10 −20 −30 −40 −50 −60

Como vemos, la velocidad inicial es 0 (cuando la posición es máxima). Esta situación se

llama CAÍDA LIBRE, pues no hay un impulso inicial hacia abajo. Solo 3 segundos después,

el objeto ha bajado 200 − 155 = 45 m. y su velocidad en ese momento es de 30 m/seg hacia

abajo (por eso el signo menos).

Antes de continuar, ¿cómo harías para averiguar el momento en que el objeto tenía una

velocidad igual a -75? ¿Y para saber el momento exacto en que toca el suelo? La información que tenemos en las fórmulas de f y f’, así como la de la tabla, podemos representarla

gráficamente en un esquema de UNA FUNCIÓN DEBAJO DE LA OTRA. Es decir, graficamos f, y debajo

de f, en otro plano, graficamos su derivada f’. Esto nos ayuda a comprender mejor lo que está pasando.

Posición (f)


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ACTIVIDAD

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Velocidad (f’) (recuerda que f’(t) es la pendiente de la tangente de f en (t, f(t)).

Como vemos, en t=0 f tiene tangente con m = 0, así que f’(t) = 0. Además, el objeto toca el

suelo (f(t) = 0) en aproximadamente t = 6,3 seg, y en ese momento su velocidad es de m =

f’(t) = −63 m/seg.

¿Cuál es la derivada de f’? Pensemos: si f’ es el “cambio”, entonces f’’ es el “cambio del

cambio”. Es decir, el cambio de la velocidad: la aceleración. Como f’(t) = -10t, entonces

f’’(t) = −10, una constante. Así, tenemos una situación en la que la velocidad decrece

pero cambia constantemente (menos 10 por cada segundo). Esto es porque tenemos una

fuerza constante: la gravedad.

Responde:

a) Si justo antes de soltar el objeto de los 200 metros de altura lo empujáramos para arriba o para

abajo, ¿cómo crees que cambiarían las expresiones de f(t) y de f’(t)? Especula e intenta verificarlo con

ayuda de (por ejemplo) textos de física.

b) Si supiéramos que la velocidad del objeto es de f’(t) = 30 − 10t, y la altura inicial

sigue siendo f(0) = 200, ¿cuál sería la fórmula para la posición f(t)? ¿Y para la

aceleración?

c) ¿Puedes pensar en cómo alterar la situación del movimiento del objeto para que la aceleración sea igual

a 0? Es decir, f’’(t) = 0. Explica.

d) ¿Puedes pensar en cómo alterar la situación del movimiento del objeto para que la aceleración no sea

una constante? Explica.

e) Si f’ es una función negativa (es decir, f’(t) < 0 para todo t), ¿esto significa que f es necesariamente

negativa o que f es necesariamente decreciente? Explica.

A continuación recogemos lo aprendido:


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ACTIVIDAD

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Mini-explicación: La función derivada, f’

La función

derivada Sea f una función con derivada en cada punto de su dominio. Entonces la función derivada

de f, f’, es la función que en cada número x, tiene valor igual a f’(x) (la derivada de f en x).

Así, tenemos una asignación entre dos funciones: f |→ f’ llamada “derivada”. Para cada función

diferenciable f, podemos construir una NUEVA función llamada f’ (que ya sabemos cómo se define, por lo hecho en la guía pasada).

DERIVADA: f’(x):= 𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑥

𝑚(𝑡) = 𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑥

𝑓(𝑡)−𝑓(𝑥)

𝑡−𝑥.

f’ no es más que la función “pendiente de la tangente”, la cual va cambiando (a menos que f

sea lineal).

Muchos de los resultados que ya sabemos sobre derivadas como números los podemos

ahora formular hablando de la derivada como una función (cuyos valores son simplemente

las derivadas como números). Por ejemplo:

● Si f es una función lineal, entonces f’ es una función constante

Justificación: la pendiente de la tangente no cambia.

● Si f es una función creciente, entonces f’ es mayor o igual que 0.

Justificación, si f es creciente, sus pendientes de tangentes siempre son mayores

o iguales que 0.

● Si f es una función decreciente, entonces f’ es menor o igual que 0.

● Si f’ = 0, entonces f es una constante.

Justificación: como f’ es cero, entonces TODAS las pendientes de las tangentes

de f son cero, así que NO hay cambio, así que f es constante.

● Si f’ es creciente, entonces f es CÓNCAVA HACIA ARRIBA (tipo U, como x2.)

Justificación: como f’ es creciente, las pendientes de tangentes van creciendo, lo

que solo es posible si f tiene forma cóncava hacia arriba.

(Puedes investigar más sobre el concepto de concavidad en Internet u otras

fuentes).

Nota: si f es positiva, eso no nos dice nada sobre f’: f’ puede ser también positiva, pero

podría ser negativa, o ninguna de las dos. Por ejemplo, la función f(x) = 1/x (para x>0) es

positiva, pero es decreciente así que f’ es negativa. Ahora, f es decreciente pero sus


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ACTIVIDAD

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pendientes de tangentes van creciendo, así que f’ es negativa pero es creciente.

Algunas derivadas importantes

La siguiente tabla es de referencia y nos da las funciones derivadas de algunas funciones.

Algunas fórmulas ya las hemos deducido. Otras las vamos a deducir y otras las vamos a

tomar sin deducirlas (pero lo puedes intentar o consultar en internet):

f(x) f’(x) f(x) f’(x)

k 0 sen(x) cos(x)

ax + b a cos(x) −sen(x)

x2 2x tan(x) sec2(x)

xn

(n ≠ 0)

nxn-1 ex ex

a0 + a1x + a2x2

+ a3x3 +… + anxn

0 + a1 + 2a2x +

3a3x2 +… + n anxn-1

g(kx) k g’(kx)

La última casilla en la tabla es una regla general de derivación.

Por ejemplo, sabemos que la derivada de sen(x) es cos(x).

Entonces si g(x) = sin(5x), la derivada de g es g’(x) = 5 sin(5x).

Otro ejemplo: si f(x) = (4x)7, entonces f’(a) = 4•7(4a)6 = 28(4a)6.

Otro ejemplo: la derivada de e2x es 2e2x.

Paso 1: Ejemplo: El movimiento de un resorte

Comprendamos el movimiento de un resorte. Sabemos que el resorte sube, baja, vuelve a subir, etc. ¿Cuál

es la función de su movimiento? Dada la naturaleza periódica (repetitiva), las funciones trigonométricas

nos ayudan a estudiar su comportamiento.

La posición vertical Y de un resorte en tiempo t se puede modelar con la siguiente ecuación:

𝑌(𝑡) = 𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡 + 𝑐)


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ACTIVIDAD

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Y es una función de t. Los parámetros A, b y c van a darnos más detalles. En particular, A

nos dice la AMPLITUD de Y (A es su máxima altura y −A su mínima altura, si A > 0); entre

b sea mayor, el resorte tomará menos tiempo en dar un ciclo entero; c nos da la

posición inicial (en tiempo t=0) del resorte.

Por simplicidad, vamos a elegir los siguientes parámetros: A = 3, b = 1 y c = 0.

Entonces 𝑌(𝑡) = 3𝑠𝑒𝑛(𝑡). Supongamos que t ≥ 𝜋

2y analicemos lo que pasa en el intervalo [

𝜋

2,5𝜋

2],

que corresponde a un periodo de movimiento.

Preguntémonos:

¿En qué tiempo esperamos

que el resorte se mueva con

mayor rapidez? (es decir,

mayor velocidad positiva, o

menor velocidad negativa? ¿Y

velocidad 0?

▶ Mayor velocidad

positiva: en t = 2𝜋 (Y = 0),

cuando el resorte va para

arriba, lejos de ambos

extremos. En ese momento

alcanza su máxima velocidad,

ya que a medida que sube, se

va frenando.

▶ Mayor velocidad

negativa: en t = 𝜋 (Y = 0),

cuando el resorte va para

abajo, lejos de ambos

extremos. En ese momento alcanza su mínima velocidad, ya que a medida que baja, se va frenando.

▶ Velocidad 0: en t = 𝜋

2 (Y = 3), cuando el resorte alcanza su máxima altura (ya que se iba frenando y

en su altura tope su velocidad instantánea debe ser 0, de lo contrario avanzaría un poquito más), y

similarmente en t = 3𝜋

2(Y = −3), cuando el resorte alcanza su mínima altura (su velocidad es

0, pues si fuera negativa, entonces podría seguir bajando por una mínima fracción de

tiempo).

Resumiendo en una tabla:


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ACTIVIDAD

1

13

t 𝜋

2

𝜋 3𝜋

2

2𝜋

¿Qué ocurre con

la posición, Y?

Máxima 0 Mínima 0

¿Qué ocurre con

la velocidad, Y’?

0 Mínima

(negativa)

0 Máxima

(positiva)

Vamos a verificar nuestras observaciones encontrando la

velocidad Y’, es decir, la derivada.

La tabla de la página anterior dice que Y’(t) = 3cos(t). (“La

derivada de seno es igual a coseno”). Esto lo verificaremos

más abajo, pero por ahora usémoslo.

En el intervalo [𝜋

2,5𝜋

2], tenemos que Y’(t) = 3cos(t) es máximo

en t = 2π (valor 3), mínimo en t = π (valor −3) y 0 en t = 𝜋

2y t =

3𝜋

2.

Es decir, haciendo una tabla de Y’:

t 𝜋

2

𝜋 3𝜋

2

2𝜋

¿Qué ocurre con Y’? 0 Mínima (negativa) 0 Máxima (positiva)

¡Como vemos, se verifica la anterior tabla!

Demostración de la derivada de Y, para Y(t) = 3sen(t): Usamos límites. Vamos a usar esta identidad:

sen(a+b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a).

Entonces Y’(t) = 𝑙𝑖𝑚𝑧→𝑡

𝑌(𝑧)−𝑌(𝑡)

𝑧−𝑡= 𝑙𝑖𝑚

𝑧→𝑡

3𝑠𝑒𝑛(𝑧)−3𝑠𝑒𝑛(𝑡)

𝑧−𝑡= 3𝑙𝑖𝑚

𝑧→𝑡

𝑠𝑒𝑛(𝑧)−𝑠𝑒𝑛(𝑡)

𝑧−𝑡. Si hacemos h = z−t ,

entonces h tiende a 0, z = h+t y nos queda:

Y’(t) = 3𝑙𝑖𝑚ℎ→0

𝑠𝑒𝑛(ℎ+𝑡)−𝑠𝑒𝑛(𝑡)

ℎ= 3𝑙𝑖𝑚

ℎ→0

𝑠𝑒𝑛(ℎ)𝑐𝑜𝑠(𝑡)+𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑐𝑜𝑠(ℎ)−𝑠𝑒𝑛(𝑡)

ℎ= 3𝑙𝑖𝑚

ℎ→0(

𝑠𝑒𝑛(ℎ)

ℎ𝑐𝑜𝑠(𝑡) +

𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑐𝑜𝑠(ℎ)−1

ℎ).


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ACTIVIDAD

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Es posible demostrar, con trigonometría, las siguientes leyes: i) 𝑙𝑖𝑚ℎ →0

𝑠𝑒𝑛(ℎ)

ℎ= 1 y ii) 𝑙𝑖𝑚

ℎ →0

𝑐𝑜𝑠(ℎ)−1

ℎ= 0.

Entonces: Y’(t) = = 3(1 𝑐𝑜𝑠(𝑡) + 𝑠𝑒𝑛(𝑡) 0) = 3𝑐𝑜𝑠(𝑡).

Paso 2: Completa este ejemplo: Verificando la derivada de f(x) = cos(x). Recordemos que la derivada de f(x) = cos(x) es g(x) = −sen(x) (ver la tabla de derivadas).

Vamos a comprobar que esto tiene sentido gráficamente (esta no es una demostración).

Gráfica de f(x) = cos(x):

Primero, completa esta tabla, diciendo en qué

puntos la posición es 0, máxima o mínima, y lo

mismo con la pendiente de la tangente.

x 0 𝜋

2

𝜋 3𝜋

2

2𝜋 5𝜋

2

Posición f(x) Máxima (1) 0 ? ? Máxima (1) ?

Pendiente de

la tangente

0 ? ? Máxima ? ?

Ahora, grafica la función g(x) = −sin(x) de 0 a 5𝜋

2.

Después, completa la siguiente tabla de posiciones de g(x):

x 0 𝜋

2

𝜋 3𝜋

2

2𝜋 5𝜋

2

Posición g(x) 0 ? ? ? ? ?

Compara esta tabla con la fila de pendientes de la tangente. ¡Deberían ser exactamente iguales!


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ACTIVIDAD

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Paso 3: Tu turno: La derivada de 𝟏

𝒙

a) Dibuja la función 𝒚 =𝟏

𝒙+ 𝟏.

Para esto, primero elige unos 10 valores de x (no olvides tener valores negativos y positivos) y haz una tabla

que describa el valor de la función, así como el valor estimado de la derivada, a partir de la pendiente.

Después, calcula la derivada de la función usando límites primero, y después usando las leyes de derivación.

Dibuja la derivada de la función en un nuevo plano cartesiano DEBAJO de la función inicial y verifica qué

tan buenas fueron tus estimaciones de los valores de la derivada.

b) Repite el proceso anterior para la función 𝒚 =𝟏

𝟏+𝒙𝟐; para esta función no hemos dicho la ley de

derivación (aunque puedes consultar en internet), pero sí puedes hacer el límite para encontrar la derivada.


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ACTIVIDAD

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C) Resuelve y practica

1) Sea f(x) = x3 + 7x2 + 4x + 5. ¿Cuántas veces

necesitamos derivar a f para llegar a la función constante 0? Explica y haz un diagrama con flechas en donde se vea cada derivada: f → f’ → f’’, etc.

2) Sea g(x) = x321 + 2x21 + 7x. ¿Cuántas veces

necesitamos derivar a g para llegar a la función

constante 0? Explica.

3) Sea f(x) = sen(x). ¿Cuántas veces

necesitamos derivar a f para “volver” a f

misma? Explica y haz un diagrama.

4) Si sabemos que f’(x) = x3 + 4x, y además que

f(0) = 5, cuál es la función f(x)? ¡Descúbrela!

5) Sabemos que g’(x) = 2x2 − 1. Da 3 funciones

distintas posibles que puedan ser iguales a

g(x). (¡Hay infinitas!)

6) Supongamos que h es una función tal

que su derivada es h’(x) = (x + 4)(x − 1).

a) Determina en qué intervalos h’ es positiva y

en cuáles h’ es negativa.

b) Usa a para determinar en qué intervalos la

función h está creciendo, y en qué intervalos la

función h está decreciendo.

c) Intenta hallar h(x) (hay infinitas, pero todas

tienen la misma forma), graficarla con una

calculadora o en tu cuaderno, y verificar tu

respuesta en b).

7) Calcula las derivadas de estas funciones,

usando las leyes de derivación (es decir, NO

e) y = -2cos(x)

f) y = 4 sen(3x)

8) Observa la siguiente gráfica de f:

¿Cual de las siguientes gráficas podría ser igual a la

función derivada (f’)? Explica tus razones.

a) b)

c)

9) Supongamos que h es una función y su derivada h’

es: h’(x) = 𝑒5𝑥(5𝑠𝑒𝑛(3) + 3𝑐𝑜𝑠(3𝑥) ) y h(0) =


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ACTIVIDAD

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necesitas usar los límites)

a) f(x) = (5x)3.

b) f(t) = 3/(7t).

c) g(z) = (z + 4)/z.

d) h(u) = 𝑒𝑢𝑢2.

0, Demuestra que entonces la función h es

h(x) = 𝑒5𝑥 𝑠𝑒𝑛(3𝑥 ).

D) Resumen


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ACTIVIDAD

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E) Valoración

i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno

Tema ⚫⚪⚪ No entiendo

los conceptos

(TODAVÍA)

⚫⚫⚪ Voy bien pero

quiero más

práctica

⚫⚫⚫ Comprendí

muy bien

el tema

Comprendo que la

derivada de una

función es una

nueva función, y

sé cómo calcular

sus valores

gráficamente

Dada una función

g, razono para

encontrar

posibles

funciones f tales

que f’ = g.

Aplico las reglas

de derivación

para encontrar la

función derivada

usando álgebra

ii) Preguntas de comprensión

Sea f una función diferenciable.

1) Si f es positiva,...

[ ] entonces f’ debe ser positiva.

[ ] f’ no es necesariamente positiva.

2) Si f es estrictamente creciente,...

[ ] entonces f’ debe ser positiva.

[ ] f’ no es necesariamente positiva.

3) Si f’ es positiva,...

[ ] entonces f debe ser positiva.

[ ] f no es necesariamente positiva.

4) Si f’ es positiva,...

[ ] entonces f debe ser creciente.

[ ] f no es necesariamente creciente.

(Verifica las respuestas con tu profesor)

iii) Resuelvo un problema

a) Encuentra una función g tal que g(0) = 1 y g’(t) = 3 + 2t + sen(t). Verifica tu respuesta.

b) Encuentra todas las funciones g tal que g’’(t) = 1 − 5t + cos(t). Verifica tus

respuestas.

[Ayuda: vas a necesitar 2 parámetros para describir la familia de funciones]


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ACTIVIDAD

2

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ACTIVIDAD 2: DERIVADAS Y OPTIMIZACIÓN

Utilicemos la función derivada, derivando e igualando a cero, para encontrar máximos y mínimos

de una función en distintas situaciones de la vida.

A) Activando saberes previos

RECUERDA QUE...

● El máximo de un conjunto de números (si existe), es el número del conjunto que es mayor que

el resto de números del conjunto. El mínimo se define de forma similar.

● Optimizar significa hallar el máximo o el mínimo de cierto

conjunto.

Por ejemplo, supongamos que queremos ir del punto A al B.

Cada trayectoria tiene una longitud asociada.

De todas las trayectorias, la que optimiza (en este caso,

minimiza) la distancia es el segmento de recta.

Otro ejemplo: Supongamos que tenemos una función f dada

por esta tabla:

x 0 2 4 6 8 10

f(x) 3 5 11 11 9 7

El máximo valor de la función es 11. Hay dos valores de x que maximizan la función: x = 4 y

x = 6. Decimos que en esos valores de x la función alcanza su máximo valor.

PRACTICA

i) Completa esta tabla, escribiendo el tipo de optimización

que escogerías para cada función. Justifica brevemente.

Función Optimización (MAX o MIN)

Tiempo de preparación de

un almuerzo

Minimizar (entre menos

tiempo, mejor)

Velocidad al correr una

carrera

ii) Considera la función G dada por:

r 0 1 2 3 4 5 6

G(r) −6 −3 −7 −8 −3 −9 −4

a) ¿Cuáles son los valores óptimos de la

función?


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ACTIVIDAD

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Descuento que me dan en

una compra

Personas que van a mi

concierto

Costo de un material que

voy a comprar

b) Da los valores de la variable en donde se

alcanza cada valor óptimo.

B) Conceptos

Exploremos: Maximicemos nuestras ganancias

Antes de comenzar, discute en clase: ¿Qué herramientas utilizas para encontrar la forma de

ahorrar el máximo dinero posible, o de maximizar tus ganancias en un negocio?

Eres el organizador de una gran final de baloncesto que se va a jugar en un coliseo que alberga hasta 2

000 personas. Estás pensando cuánto cobrar por entrada para maximizar las ganancias.

Un amigo te sugiere cobrar $50 000, pero crees que si bien

ganarías mucho por persona, es posible que ese precio sea muy

alto y poca gente compre la boleta.


GUÍA 105 GRADO

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ACTIVIDAD

2

21

Te sugieren cobrar poco, por ejemplo $10 000. Pero crees que si bien así atraerías a muchas personas, la

tarifa es muy baja y no recogerías tanto dinero.

La idea es encontrar el precio “perfecto”, ni muy barato, ni

muy costoso, que maximice tus ganancias.

Encuestas a varias personas, donde descubres lo siguiente:

● Si cobraras X = $10 000 por boleta, entonces atraerías

a A = 1800 asistentes.

● Por cada $1 000 que le subas al precio de la boleta, 40

personas menos estarán interesadas en ir.

Ejemplo: si cobras $11 000 por boleta, entonces 1760 personas

asistirían en total.

Antes de continuar: ¿Qué precio cobrarías? ¿Cuánto dinero recaudarías con ese precio?

Primero decides explorar con 5 precios distintos. Llamemos X al precio y G al dinero ganado o recaudado.

G es una función. Dado que G depende del precio y del # de asistentes, pero el # de asistentes depende

totalmente del precio, entonces podemos decir que G solo depende de x, y podemos escribir:

G = G(X).

Además sabemos:

G(10 000) = 1800 ; si x aumenta en $1000, entonces la cantidad de personas disminuye en 40. Así que por

cada aumento en $25 se pierde una persona. Esto nos dice que la función A(x) del número de asistentes

tiene una pendiente de −1

25.

Hagamos una tabla con distintos valores de X, viendo cuánto ganaríamos en cada caso:

x (pesos) A(x) = # de Asistentes G(x) (pesos) (x • A)

10 000 1800 10 000 • 1 800 = 18’000 000

20 000 1800 − 40(10) = 1400 20 000 • 1 400 = 28’000 000

40 000 1800 − 40(30) = 600 40 000 • 600 = 24’000 000

50 000 1800 − 40(40) = 200 50 000 • 200 = 10’000 000

Según la tabla, nos conviene cobrar $20 000… pero, ¿habrá mejores valores? Seguramente.


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ACTIVIDAD

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En general, A(x) = 1800 − 40(x − 10000)/1000, como puedes comprobar. Simplificando:

A(x) = 2200 −1

25𝑥

Entonces, la función G(x) tiene la siguiente fórmula:

G(x) = 𝑥 • 𝐴(𝑥) = 𝑥( 2200 −1

25𝑥 ) = 2200𝑥 −

1

25𝑥2 .

G es una parábola invertida dado que el coeficiente de x2 es negativo. Para encontrar su máximo valor,

recordemos que en ese punto la derivada debe ser igual a cero (y además conociendo las parábolas, solo

hay un valor de x con derivada 0). Así que podemos usar cálculo para detectar ese valor sin graficar!

Derivamos a G(x) e igualamos a 0 para hallar x:

G’(x) = 2200 −2

25𝑥 . Igualamos a 0: 2200 −

2

25𝑥 = 0 . Multiplicamos por 25 y dividimos entre 2:

25

22200 − 𝑥 = 0, entonces x = 27 500. Este es el vértice de la parábola, que es su máximo.

Las ganancias serán G(x) = g(27 500) = 2200(27500) −1

25(27500)2 = 30′250 000 .

Responde:

a) ¿Cuál es el dominio y el rango de la función G(x)? Recuerda que las ganancias deberían ser no

negativas...

b) Grafica la función G(x) en tu cuaderno (puedes completar cuadrado antes de hacer la gráfica) para

verificar que el máximo ocurre en el punto x = 27 500.


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ACTIVIDAD

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Mini-explicación: Optimizando una función usando derivadas

Optimizando

usando

derivadas

Supongamos que tenemos una situación de la vida en la que

queremos que cierta cantidad F sea lo máximo (o mínimo)

posible.

Entonces decimos que vamos a OPTIMIZAR el valor de F.

Llamamos a F la función o valor OBJETIVO (pues es lo que

nos interesa en últimas).

F puede ser una función de varias variables, pero intentamos,

utilizando las restricciones que conocemos, expresarla en

función de SOLO UNA VARIABLE x.

Así, F = F(x).

Debemos conocer muy bien el dominio de F: el conjunto de valores de X que tienen sentido

para usar como entradas, en la situación que estamos analizando.

Entonces derivamos a F con respecto a x, igualamos a 0 y hallamos el valor de x (en muchos

casos es uno solo):

F’(x) = 0. Raíces de la función F’

Después utilizamos lo que sabemos de F (la forma de su gráfica, o valores de F’ a la

izquierda o derecha de F) para concluir si dimos con un máximo, un mínimo, o ninguno.

Finalmente calculamos Y = F(x) para ver cuál es el valor óptimo (en caso de concluir que sí

era un extremo). En caso de haber dos posibles candidatos, comparamos valores.

En el ejemplo de la exploración:

● Queríamos MAXIMIZAR la función de ganancias, G.

● G depende de X (precio de cada boleta) y A (# de asistentes)

● La restricción ayuda a expresar A en términos de X: A(x) = 2200 −1

25𝑥.

● Usando la restricción, la función G(x, A) se nos vuelve G(x) en términos solo de x.

● Derivando G(x) e igualando a 0, obtuvimos x = 27 500. Sabiendo que G era una

parábola invertida, concluimos que en ese x estaba nuestro máximo absoluto.

● Hallamos las ganancias, reemplazando el x hallado en G: G(x) = 30'250 000.

Paso 1: Ejemplo: Maximizando el área


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Consideremos todos los rectángulos de perímetro 12 que podemos construir. Hay infinitos. La restricción

es que el perímetro sea 12, lo cual nos da una relación entre x y y (las dimensiones del rectángulo).

De todos estos rectángulos, ¿cuál es el que tiene el mayor área?

Solucionemos este problema. La función a optimizar es el área: queremos maximizar el área (no el

perímetro, recordemos que el perímetro es siempre 12, y esta es nuestra restricción).

A(x, y) = x • y. Esta es una función de x y de y.

La restricción que tenemos nos va a dar una relación entre las variables,

para poder expresar una en términos de la otra:

P = 12, así que 2x + 2y = 12, o simplificando: x + y = 6. Es decir,

y = 6 − x.

Ahora tomamos A de nuevo, y podemos pensar que es una función solo de x

(o solo de y):

A(x) = x • y = x • (6 − x) = 6x − x2.

Ahora sí estamos listos para derivar: A’(x) = 6 − 2x = 0, así que x = 3. Entonces y = 3

también, y la figura que descubrimos es un cuadrado: x = 3 = y, y el área es igual a 9.

Conclusión: de todos los rectángulos de perímetro 12, el de mayor área posible es el cuadrado, con lado X

= 3, y área A(X) igual a 9. La gráfica nos muestra el área del rectángulo, en función del lado x, con 0 < x <

6.

Paso 2A: Completa este ejemplo: Minimizando perímetros


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ACTIVIDAD

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En el paso 1 mostramos cómo podíamos maximizar el área si fijábamos el perímetro (lo manteníamos

constante).

Ahora vamos a intentar minimizar el perímetro fijando el área.

Considera el conjunto de todos los rectángulos que tienen un área igual a 16 unidades cuadradas.

a) Completa esta lista con tus propios ejemplos de rectángulos, dando sus dimensiones x y y:

i) x = 8, y = 2; ii) x = 2, y = 8 ; iii) x = 10, y = 16/10; …

b) La función que queremos minimizar es el perímetro: P(x,y) = 2x + 2y.

Utiliza la restricción dada para escribir a P como función de solo una variable.

c) Optimiza P, resolviendo el problema. ¿Cuál es la figura? ¿Y cuál es el perímetro?

Paso 2B: Completa este ejemplo: Una huerta

Una huerta actualmente tiene 50 árboles y cada árbol produce 800

frutos. Por cada árbol extra que se plante, la producción por árbol baja en

10 frutos.

¿Cuántos árboles extra deberíamos plantar para maximizar la producción

total de frutos en la huerta?

a) Completa esta tabla con algunos valores de x, el número de árboles, así

como del número de frutos por árbol y el número total de frutos:

x (# de árboles) u(x) = producción de frutos por árbol Producción total de frutos

50 800 50 • 800 = 40 000

51 790 ?

60 ? ?

? ? ?

b) ¿Cuál es tu función objetivo? Es decir, la función que quieres minimizar. ¿De qué variable depende?

Dale un nombre a tu función.

c) Resuelve el problema. ¿Cuántos árboles más sembrar? ¿Cuántos frutos se producirán en total?


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ACTIVIDAD

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Paso 3: 1-2-4: Tu turno (individual, en parejas y en grupos de 4)

Trabaja primero individualmente. En este ejemplo

queremos minimizar el costo de cierta lata.

Queremos que una lata tenga una capacidad de 20π

metros cúbicos. El material de las bases circulares

(tapa y fondo) cuesta $10000 por metro cuadrado. El

material del lado cuesta $8 000 por metro cuadrado.

Da un ejemplo de una lata, dibujándola (recuerda que su

volumen debe ser V = 𝜋𝑅2ℎ = 20 𝜋 𝑚3). Debes decir qué

valores elegiste para el radio de la base R, y para la

altura de la lata h. Además, debes calcular el costo.

Júntate con otro estudiante. Entre ambos comparen sus

latas y decidan cuál es más económica. Intenten juntos

encontrar una lata aún más económica.

Júntense con otra pareja y compartan sus dibujos y

soluciones. Después, usen derivadas para encontrar de

forma exacta las dimensiones R y h de la lata más económica posible. Recuerden que la función

objetivo es el COSTO, y deben dar una fórmula de ella en términos de solo una variable (ya sea R

o h, es su elección).

Finalmente, elaboren una cartelera o presentación digital con todos los ejemplos de latas y con la deducción

matemática de las dimensiones que minimizan el costo.


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C) Resuelve y practica

1) Considera todos los números x, y cuya

suma es igual a 100.

De esos números, ¿cuáles hacen que el

producto xy sea el máximo posible?

2) Una huerta actualmente tiene 20 árboles

y cada árbol produce 100 frutos. Por cada

árbol extra que se plante, la producción por

árbol baja en 6 frutos.

¿Cuántos árboles extra deberíamos plantar

para maximizar la producción total de frutos

en la huerta? Explica.

3) Se quiere producir una lata cilíndrica para

envasar gaseosas, cuyo área de superficie,

incluyendo su tapa y fondo circulares, sean

de 80 cm2. ¿Cuáles deben ser las medidas

(radio de base y altura) del envase si

queremos maximizar su volumen?

4) Se quiere construir una ventana de forma

como en la figura: la parte inferior es un

rectángulo, y la

parte superior es un

semi círculo.

Si se tienen 12

metros para el

perímetro (marco)

de la ventana, ¿qué

dimensiones

deberíamos escoger

para maximizar la

cantidad de luz que

entre al cuarto?

5) ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de mayor

área posible que cabe dentro de un círculo de radio r?

¿Qué porcentaje del área del círculo representa el área

del rectángulo?


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D) Resumen


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E) Valoración

i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno

Tema ⚫⚪⚪ No entiendo

los conceptos

(TODAVÍA)

⚫⚫⚪ Voy bien

pero quiero

más

práctica

⚫⚫⚫ Comprendí

muy bien

el tema

Expreso funciones

que originalmente

dependen de 2

variables como

funciones de una

sola variable,

usando como ayuda

una restricción

algebraica que

relacione las dos

variables.

Dada una situación

de optimización de

una función de dos

variables,

encuentro una

ecuación

“restricción” que

relaciona ambas

variables.

Optimizo una

función en una

situación real,

hallando su

máximo o mínimo

valor (así como la

variable que logra

dicho valor)

usando la derivada.

ii) Preguntas de comprensión

1) La función 3x + 1 en el conjunto [0, 6)...

[ ] no tiene máximo.

[ ] tiene máximo.

2) La función 3x + 1 en el conjunto [0, 6)...

[ ] no tiene mínimo.

[ ] tiene mínimo.

3) La función −3x2 + 1 en el conjunto R

(todos los reales)...

[ ] no tiene mínimo.

[ ] tiene mínimo.

4) La función −3x2 + 1 en el conjunto R

(todos los reales)...

[ ] no tiene máximo.

[ ] tiene máximo.

(Verifica las respuestas con tu profesor)


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iii) Resuelvo un problema

Considera todos los números x, y cuyo producto es igual a 60.

a) Da 5 ejemplos de estas parejas de números.

b) De todas las parejas de números x, y, ¿cuál o cuáles hacen que la suma x + y sea la mínima

posible?

Guía 104: Apliquemos las derivadas

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