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INSTITUCIÓN EDUCATIVA NORMAL SUPERIOR SANTIAGO DE CALI MEN – Resolución Acreditación de Calidad y Desarrollo no. 1462 7 de Febrero de 2019

Reconocimiento Oficial de Estudios Resolución No. 4143.0.21.6478 Septiembre 17 de 2013 Carrera 34 No. 12 – 60 Colseguros

Teléfonos 3364797 – 98 – 99 Fax 3356233 Correo Electrónico: [email protected]

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GUIAS DE APRENDIZAJE

Versión 01 Fecha:17/03/2020 Página 1 de 1

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GUÍA APRENDIZAJE MATEMÁTICAS DE OCTAVO GRADO 8-1 A 8-6 PERÍODO: SEGUNDO GUÍA 2 DEL SEGUNDO PERÍODO

DOCENTE: LEOPOLDO MEDINA ÁREA: MATEMÁTICAS OCTAVO GRADO

CONTENIDO(S): En este segundo período aprenderás a:

• Utilizar letras para representar números desconocidos.

• Hallar el valor numérico de una expresión algebraica.

• Sumar, restar, multiplicar y dividir polinomios.

• Resolver ecuaciones de primer grado.

• Resolver problemas mediante ecuaciones de primer grado.

N° DE HORAS:12 horas

Del 8 al 12 de junio de 2020

DESEMPEÑOS: Calcular operaciones de expresiones numéricas y algebraicas usando las operaciones básicas y las propiedades algebraicas en R.

NOMBRE DE LA GUÍA: Expresiones algebraicas polinomios aritméticos

ACTIVIDAD PROPUESTA: Se pretende que el estudiante adquiera una mayor iniciativa y sea más independiente. De esta forma, participa más activamente en el proceso de aprendizaje adquiriendo continuamente nuevas capacidades y habilidades a través de su desempeño personal. La principal cuestión que implica esta metodología es que el alumno debe estar preparado para asumir dicha responsabilidad. Es decir, tiene que haber una determinación, esfuerzo y motivación por parte del niño y el acompañamiento de los padres de familia o acudientes. El aprendizaje a través de la página web https://sites.google.com/view/matematicasnormal y de la plataforma classroom

INTRODUCCIÓN: El uso de símbolos para denotar incógnitas junto con las operaciones entre números ha permitido desarrollar conceptos y demostrar relaciones y propiedades geométricas y algebraicas. Gracias al desarrollo del lenguaje algebraico, hoy en día es posible comunicar ideas y conceptos universales. El Algebra ya existía antes de que se utilizaran variables y símbolos para escribir expresiones matemáticas. Se llamaba “Algebra Retorica” porque las expresiones se describían con el idioma local. En lugar de utilizar 2x 1 1, se escribía “dos veces la cosa más uno”. Obviamente, solo las personas que conocían el idioma podían comprender el enunciado matemático. Fue Francois Viete (1540-1603), un abogado y jurista francés, miembro del Parlamento y hombre de confianza del rey Enrique IV de Francia, cuya verdadera vocación eran las matemáticas, quien llevo al Algebra a su fase simbólica tal y como hoy se utiliza.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE: VISITA LA PÁGINA WEB https://sites.google.com/view/matematicasnormal Classroom código va2nc5w El alumno debe leer la guía y realizar las actividades propuestas, la observación de videos, la realización de los ejercicios y el envío de los mismos al docente al correo [email protected] Realizar las evaluaciones online

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Los plazos para entrega de las actividades: 26 de junio de 2020.

Polinomios

TIPOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Mira el vídeo https://bit.ly/2Yl1Q4l

Polinomios

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma entre varios monomios no semejantes. Los monomios que conforman un polinomio se denominan términos del polinomio.

Al monomio que no lleva la letra se le llama término independiente.

GRADO DE UN POLINOMIO. Mira el vídeo https://bit.ly/3fgQ8Om

El grado absoluto de un polinomio es el mayor de los grados de los términos que contiene el polinomio.

El polinomio es una expresión algebraica que tiene 2 o más sumandos:





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Binomio: polinomio de 2 sumandos:

3a + 5a2

Trinomio: polinomio de 3 sumandos:

7a — 2b - 4ab

Polinomio: polinomio de 4 o más sumandos:

3a + 7b +8c — 4bc

El grado de un polinomio viene determinado por el de su sumando de mayor grado:

3a + 7b +8c — 4bc: es de grado 2 (grado de su sumando — 4bc)

4a3 — 5cd: es de grado 3 (grado de su sumando 4a3)

8abc — 4b3c: es de grado 4 (grado de su sumando — 4b3c)

Ejercicio 1: Determina el grado y clasifica según el número de términos, las siguientes expresiones algebraicas:

Expresión algebraica Grado de la expresión Número de términos

2x – 5y3 3 binomio

5x2y3

a – b + c – 2d

m2 + mn + n2

x + y2 + z3 – xy2z3





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REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

Si partimos del polinomio:

P(x)=2x3+3x2–6x+x3–5x2+2

Observamos que varios de los términos tienen el mismo grado, es decir son semejantes. Este polinomio lo podemos simplificar haciendo las operaciones de los monomios que sean semejantes:

P(x)= (2x3+x3) + (3x2–5x2) – 6x+2

P(x)=3x3 – 2x2 – 6x + 2

Esta simplificación se llama reducción de términos semejantes, y cuando realizamos esta simplificación obtenemos la forma reducida de ese polinomio

Reducir términos semejantes Ejercicio 2:

1) 8x – 6x + 3x – 5x + 4 – x =

2) 45a − 7b − 14b + 6a + 53b + b =

3) 3m2 − 2mn + 10m2 − 3mn + 2mn − 2m2 =

4) 5x2y + 31 + 8xy2 − 3y3 − 2x2y − 1xy2 + 4y3 − 6 =





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ORDENAR UN POLINOMIO Y COMPLETAR Mira el vídeo https://bit.ly/2xs8aw0

Polinomios ordenados

Los términos de un polinomio se suelen escribir ordenados según el grado de sus monomios

El orden puede ser creciente o decreciente

Polinomios ordenados de forma creciente: los monomios se ordenan de menor a mayor grado

Polinomios ordenados de forma decreciente: los monomios se ordenan de mayor a menor grado

Por ejemplo:

El polinomio P(x)=5x2+2–3x

Lo podemos ordenar de forma creciente:

P(x)=2–3x+5x2

o bien lo podemos ordenar de forma decreciente:

P(x)=5x2–3x+2

Polinomios completos y polinomios incompletos

Un polinomio completo es el que tiene todos los términos, desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

Por ejemplo:

P(x)=5x2–3x+2

Un polinomio incompleto es al que le falta algún término, desde el término independiente hasta el término de mayor grado


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Por ejemplo:

Q(x)=2x3–5x2+3

R(x)=2x3–5x2+3x

Monomios nulos

Si en un monomio cualquiera nos encontramos que a=0, entonces estamos hablando de un monomio nulo, y todo ese monomio vale cero.

Monomio nulo 0X0 = 0

Estos monomios se llaman nulos porque siempre valen cero.

Si a = 0, entonces axn=0xn=0

Un monomio nulo no tiene grado.

La razón de no asignar ningún grado al monomio 0 es que se puede escribir como 0xn para cualquier número n, es decir: 0x,0x2,0x3,0x4, ⋯

Valor numérico de un polinomio Mira el vídeo https://bit.ly/3f4XxA5

El valor numérico de un polinomio es el número que resulta de hacer los cálculos en el polinomio cuando las letras tienen un valor determinado: sustituimos la letra por el valor de la letra y hacemos los cálculos

Por ejemplo:

El valor numérico de P(x)=2x3–5x2+3 cuando x = 2 es:

P(2)=2⋅23–5⋅22+3 = 2⋅8–5⋅4+3=16–20+3=−1


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Ejercicio 3: Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes, considerando:

Expresión algebraica

Reemplazar: a= 2; b=5; c= –3; d= –1; f= 0 Resultado

5a2 – 2bc – 3d

4 ab – 3 bc – 15d

6a3f

5332 dcba2 −−−

)()( dc2ba3 −+−

( b + c )2

OPERACIONES CON POLINOMIOS

SUMA DE POLINOMIOS Mira los vídeos https://bit.ly/3d0dE03 y https://bit.ly/2YmL70s

Para realizar la suma de dos o más polinomios, se debe sumar los coeficientes de los términos cuya parte literal sean iguales, es decir, las variables y exponentes (o grados) deben ser los mismos en los términos a sumar.


https://bit.ly/3d0dE03

https://bit.ly/2YmL70s




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Método 1 para sumar polinomios

Pasos:

1. Ordenar los polinomios del término de mayor grado al de menor.

2. Agrupar los monomios del mismo grado.

3. Sumar los monomios semejantes.

Ejemplo del primer método para sumar polinomios

Sumar los polinomios P(x) = 2x³ + 5x − 3, Q(x) = 4x − 3x² + 2x³.

1. Ordenamos los polinomios, si no lo están.

P(x) = 2x³ + 5x − 3

Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

2. Agrupamos los monomios del mismo grado.





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P(x) + Q(x) = (2x³ + 5x − 3) + (2x³ − 3x² + 4x)

P(x) + Q(x) = (2x³ + 2x³) + (− 3 x²) + (5x + 4x) + (− 3)

3. Sumamos los monomios semejantes.

P(x) + Q(x) = 4x³ − 3x² + 9x − 3

Método 2 para sumar polinomios

También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.

Ejemplo del segundo método para sumar polinomios

Sumar los polinomios P(x) = 7x4 + 4x² + 7x + Q(x) = 6x³ + 8x +3.





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1. Acomodar en columnas a los términos de mayor a menor grado, y sumar.

Así,

2. P(x) + Q(x) = 7x4 + 6x³ + 4x² + 15x + 5

Ejercicio 4:

¿Realiza las siguientes operaciones de suma de polinomios, explica que método vas a utilizar y por qué?

1. (4a - 3a2) + (-2a3 - 2a) + (4a2 - a3) = 2. (5x + 6) + (3x -17) = 3. (7 + 8y) + (3y - 4) = 4. (3z + 2x - 7) + (4x -2z + 8) = 5. (5x -2y + 4) + (7x + 5y -8) = 6. (3x + 8y - 2z) + (-2x - 5y + 5z) = 7. (10 - 4z + 8x) + (-6x + 6 + 5z) = 8. (5a3b2c - 8ab3) + (-2a3b2c + 5ab3) + (7a3b2c - 2ab3) = 9. (4a3 +2a2b - 3ab2) + (6a2b + 2ab2 - 4a3) + (a3 - 7a2b - 6ab2) = 10. (a2 + b2 + 2ab) + (a2 + b2 - 2ab) + (a2 - b2) = 11. (8a2b - 5ab2 + c) + (-4a2b - ab2) =





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Resta de polinomios Mira el vídeo https://bit.ly/2We2ldR

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

Ejemplo de resta de polinomios

1. Restar los polinomios P(x) = 2x3 + 5x - 3, Q(x) = 2x³ - 3x² + 4x.

P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x − 3) − (2x³ − 3x² + 4x)

2. Obtenemos el opuesto al sustraendo de Q(x).

P(x) − Q(x) = 2x³ + 5x − 3 − 2x³ + 3x² − 4x

3. Agrupamos.

P(x) − Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x − 4x − 3

4. Resultado de la resta.

P(x) − Q(x) = 3x² + x – 3

Ejercicio 5:

Realiza las siguientes restas de polinomios

De 5xy2 + 6y + 8w restar 5xy2 + 3y

De (3xy2 – 5x2y – 8x3 ) restar (5x2y + 8x3 – 3xy2)

De (3x + 4y + 11w) restar (2x + 3y + 8w)

(7x2y - 8x3y3 - 5xy4 + 6) - (4x2y + 6x4y2 - 5 - 3x3y3)


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Restar (7x2y – 8x3y3 – 5x4y + 6) de (4x2y + 6x4y2 – 5 – 3x3y3)

Restar (-8x + 7x4 + 6x2) de (-4x2 – 3 + 7x)

(4x3y + 5x2y2 + 9xy3 + 8) - (3xy3 + 7 – 10x3y)

De (8x2 – 2x + 1) restar (3x2 + 5x – 8)

Multiplicación de polinomios

1. Multiplicación de un número por un polinomio Mira el vídeo https://bit.ly/3cXhreq

La multiplicación de un número por un polinomio es, otro polinomio. El polinomio que se obtiene tiene el mismo grado del polinomio inicial. Los coeficientes del polinomio que resulta, son el producto de los coeficientes del polinomio inicial, por el número y dejando las mismas partes literales.

Ejemplos:

1. 3 · (2x³ − 3x² + 4x − 2) = 6x³ − 9x² + 12x − 6

2. 2(3x³ + 4x² + 2x − 1) = 6x³ + 8x² + 4x − 2

2. Multiplicación de un monomio por un polinomio. Mira el vídeo https://bit.ly/3d2WzT1

En la multiplicación de un monomio por un polinomio se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio. Recordar que primero debemos multiplicar signos, posteriormente multiplicar los monomios correspondientes, para lo cual, se debe multiplicar los coeficientes, y luego, realizar la multiplicación de la parte literal, en donde, al multiplicar variables iguales los exponentes se sumarán.


https://bit.ly/3cXhreq

https://bit.ly/3d2WzT1




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Ejemplo:

3x² · (2x³− 3x²+ 4x − 2) = (3x² · 2x³) - (3x² · 3x²) + (3x² · 4x) - (3x² · 2) = 6x5− 9x4 + 12x³ − 6x²

3. Multiplicación de polinomios Mira el vídeo https://bit.ly/2Sp0IsK

Este tipo de operaciones se puede llevar a cabo de dos formas distintas.

Método 1 para multiplicar polinomios

Pasos:

1. Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio.

2. Se suman los monomios del mismo grado, obteniendo otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

Ejemplo:

Multiplicar los siguientes polinomios P(x) = 2x²− 3, Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x.

1Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio.

P(x) · Q(x) = (2x² − 3) · (2x³− 3x² + 4x) = 4x5 − 6x4 + 8x³− 6x³+ 9x²− 12x

2Se suman los monomios del mismo grado.

P(x) · Q(x) = 4x5 − 6x4 + 8x³− 6x³+ 9x²− 12x = 4x5 − 6x4 + 2x³ + 9x² − 12x

3 Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

Grado del polinomio = Grado de P(x) + Grado de Q(x) = 2 + 3 = 5


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y

P(x) · Q(x) = 4x5 − 6x4 + 2x³ + 9x² − 12x

Método 2 para multiplicar polinomios

También podemos sumar polinomios escribiendo un polinomio debajo del otro.

En cada fila se multiplica cada uno de los monomios del segundo polinomio por todos los monomios del primer polinomio. Se colocan los monomios semejantes en la misma columna y posteriormente se suman los monomios semejantes.

Ejemplo:

Multiplicar los siguientes polinomios P(x) = 2x²− 3, Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x.

Como la multiplicación de polinomios cumple la propiedad conmutativa, hemos tomado como polinomio multiplicador el polinomio más sencillo.





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Ejercicio 6:

Halla el producto mostrando la operación que se hizo.

3 (5x4 – 7x2 + 6x – 2)=

X2 (5x4 – 5x3 + 4x2 3x + 2)=





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División de polinomios. Mira los vídeos https://bit.ly/2SpLnrN y https://bit.ly/2KNrh6z

Abordaremos la explicación con un ejemplo.

Ejemplo:

Resolver la división de los polinomios P(x) = x5 + 2x3 − x − 8, Q(x) = x2 − 2x + 1.

P(x) ÷ Q(x)

1. A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

2. A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

3. Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

x5 ÷ x2 = x3

4. Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo÷


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https://bit.ly/2KNrh6z




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5. Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x4 ÷ x2 = 2 x2

6. Procedemos igual que antes.

5x3 ÷ x2 = 5 x





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Procedemos como antes

8x2 se divide por x2

8x2 ÷ x2 = 8

10x − 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.

x3+2x2 +5x+8 es el cociente.





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Ejercicio 7:

Realizar las divisiones, mostrando las operaciones

Dividir (3x3+13x2-13x+2) entre (3x-2)

Dividir (6x 5 + x 4 + 4x 2 – 7x + 1) entre (2x 2 + x – 3)

Dividir (-15x2y3z6) entre (20x2yz2)

Dividir (6x2 + 3x + 2) entre (2x + 3)

Dividir (2x3 – 2 – 4x) entre (2 + x)

Dividir (10x4 – 20x3 + 18x2) entre (2x – 2)

Dividir (16x – 32x5 + 4x3 – 12x2) entre (4x2 – x + 2)

Dividir (21x4 – 30x3 – 12x2 + 3x) entre (3x – 3)

POTENCIACIÓN DE POLINOMIOS. Mira el vídeo https://bit.ly/2WdQWur

La potenciación de polinomios se apoya en el concepto fundamental de potencia, mismo que se define:

bn = b x b x b x b x................... x b

Lo cual quiere decir que multiplicare una base (b) por si misma una cantidad n de veces (n es el exponente).

Entonces para resolver el siguiente ejemplo: (3a3b + 5b3)2

Tendré que efectuar la siguiente multiplicación: (3a3b1 + 5b3) (3a3b1 + 5b3)


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Ya que el exponente 2 me indica que lo debo multiplicar por sí mismo dos veces.

Finalmente tendremos:

(3a3b1 + 5b3)(3a3b1 + 5b3) = 9a6b2 +15a3b4 +15a3b4 +25b6

(3a3b1 + 5b3)(3a3b1 + 5b3) = 9a6b2 +15a3b4 +15a3b4 +25b6

(3a3b1 + 5b3)(3a3b1 + 5b3) = 9a6b2 +30a3b4 +25b6

Ejercicio 8:

Halla las potencias muestra las operaciones.

a) (3 x) 4 =

b) (- 2/3) 2 =

c) (- 4 x2) 3=

d) (4 x³) ² =

e) (4 x² + 3 x) ²=

f) (- 3 x - 2 x³) ²=

g) (4 x - x³) ³ =

h) ( -5 x² - 2 x) ³ =

i) (- 2/3 x - 4 /5) ²=

j) (5 / 2 x³ - 3 x) ³=





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CRITERIOS DE EVALUACIÓN: Resolver los ejercicios Entregar resueltos al correo [email protected]. Pretendemos

que nuestros estudiantes 1) adquieran contenidos conceptuales, 2) dominen contenidos procedimentales y 3) desarrollen contenidos

actitudinales y de valores. Por medio de los instrumentos de evaluación, se contribuye a garantizar una construcción permanente

del aprendizaje.

Recuerden que esta guía es para desarrollar durante varias semanas, Lean cuidadosamente, miren atentamente los vídeos

sugeridos pueden mirar otros vídeos, pregunten a su profesor si tienen dudas, al el correo [email protected] por

el botón verde de la página web https://sites.google.com/view/matematicasnormal, por classroom código va2nc5w , realicen los

ejercicios. Tomen su tiempo la guía no es para resolver en un día o una semana. Cuídense mucho.

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BIBLIOGRAFÍA: Alfa 8 Norma 2003. Superprof.es





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