Guía: Composición de funciones

SGUICEG071EM32-A17V1

Bloque 32

Guía: Composición de funciones

TABLA DE CORRECCIÓN

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

N° Clave Habilidad Dificultad estimada

1 E Comprensión Media

2 A Comprensión Media

3 E Comprensión Fácil

4 D Aplicación Media

5 B Aplicación Difícil

6 A Aplicación Media


8 C Aplicación Media



11 B Aplicación Fácil


13 A Aplicación Media

14 C Aplicación Difícil


16 D Aplicación Difícil

17 D ASE Difícil

18 D ASE Difícil

19 C ASE Media

20 C ASE Difícil

21 C ASE Difícil

22 C ASE Difícil

23 A ASE Difícil

24 B ASE Media

25 D ASE Difícil

1. La alternativa correcta es E.

Unidad temática Teoría de funciones

Habilidad Comprensión

La función g(x) = 3, es una función constante. Esto significa que para cualquier x real, su imagen será

3. Por lo tanto, .33

1 fg

2. La alternativa correcta es A.



Por composición de funciones se tiene x

xgh2

1))(( . Por tanto se tendrá que el dominio es }0{IR .

3. La alternativa correcta es E.



))(())(( xgfxgf )1( 2 xf 2)1( 2 x

12 x

4. La alternativa correcta es D.


Habilidad Aplicación

f(– 2) = 4

3

4

21

)2(

)2(1

2

f(f(– 2)) =

4

3f =

9

4

9

16

4

1

16

94

1

4

3

4

31

2

5. La alternativa correcta es B.



h(g(x)) = h(x + 2) = (x + 2)² y g(h(x)) = g(x²) = x² + 2. Luego:

h(g(x)) = g(h(x))

(x + 2)² = x² + 2

x² + 4x + 4 = x² + 2

4x + 4 = 2

4x = – 2

x = 2

1




)2)(()2)(( gffg ))2(())2(( gffg )223()1)2(2( 2 fg

= )26()142( fg )8()7( fg )1128(221 – 108




Si suponemos una función g tal que 32)( xxg , entonces ))(()32( xgfxf . Como queremos

conocer el valor de )7(f , entonces la imagen de algún x es la función g debe ser igual a 7, es decir:

2x – 3 = 7 (Sumando 3)

2x = 10 (Dividiendo por 2)

x = 5

Por lo tanto, ))5(()7( gff , pero 11124))(( 2 xxxgf , es decir:

1151254))5(( 2 gf 1160254 49100 51

8. La alternativa correcta es C.



Por composición de funciones se tiene que

2

132

1))((

x

xfgfg .

Luego, reemplazando se obtiene: 9

2

2

9

1

2

132

1

2

162

1

2

1)2(32

1))2((

fg




f(g(2)) = f(2² + 4) = f(8) = 3·8 = 24




f (g(x)) = log (a · b x) = log a + log (b

x) = log a + x · log b

Como a y b son números reales positivos distintos de 1, entonces log a y log b son constantes reales

distintas de 0. Por lo tanto, al representar la función f (g(x) = log a + x · log b en el sistema de ejes

coordenados mencionado tendría la forma de una línea recta que no pasa por el origen.




f(7x) = 7 · 7x = 49x 7 · f(7x) = 7 · 49x = 343x




))0((gf

06

3

2f

1

3

2f

3

2f 3

2

27 2

3 27 23 9




))5(())5(( gfgf ))5(()5( 22 ff )25()25( ff 125125 12




Antes de analizar cada una de las afirmaciones, es conveniente realizar las composiciones entre las

funciones del enunciado, es decir, (f ∘ g)(x) y (g ∘ f)(x). Entonces:

581681)34(2)34())(())(( xxxxfxgfxgf

183483)12(4)12())(())(( xxxxgxfgxfg

Luego:

I) Verdadera, ya que (g ∘ f) corresponde a una función afín con coeficiente de posición – 1, es decir,

su gráfica pasa por el punto (0, – 1).

II) Falsa, ya que al evaluar el valor (– 1) en 58))(( xxgf , se obtiene

3585)1(8)1)(( gf . Luego, el par (– 1, – 3) perteneces a (f ∘ g).

III) Verdadera, ya que (f ∘ g) y (g ∘ f) son funciones con comportamiento lineal con igual pendiente y

distinto coeficiente de posición, es decir, gráficamente corresponden a rectas paralelas no

coincidentes, en la que la recta asociada a (f ∘ g) está siempre por sobre la recta asociada a (g ∘ f),

para cualquiera sea el valor de x. Luego, (f ∘ g)(x) es siempre mayor que (g ∘ f)(x).

Por lo tanto, solo I y III son verdaderas.




Sean 5)( xxf y 3)1(2)( xxg , entonces

52))((

382))((

3)4(2))((

3)51(2))((

3))5(1(2))((

)5())((

xxfg

xxfg

xxfg

xxfg

xxfg

xgxfg




Para que el 5 no sea parte del dominio, entonces no debe tener imagen en una de las funciones de las

alternativas. Por lo tanto,

A) 3)1())1(()))5((()5)(( fgfhgfhgf

B) 2)3())1(()))5((()5)(( gfghfghfg

C) 3)1())3(()))5((()5)(( fhfghfghf

D) ))3(()))5((()5)(( fhgfhgfh , )3(f no tiene imagen, ya que 3 no es parte del dominio de

f , por lo tanto 5 no es parte del dominio de )( gfh .

E) 1)1())3(()))5((()5)(( ghgghgghg



Habilidad ASE

I) Falsa, ya que 3 23 23 2 963)())(())(( xxxxgxfgxfg

II) Verdadera, ya que ))32(3(8())(())(( 2 xxgxfgxfg

2

)32(3(83 2

xx

2

9623 2

xx 3 2 96 xx

III) Verdadera, ya que 3 23 969)6())6(())(())(( xxxxxxgxfgxfg

Por lo tanto, solo II y III son verdaderas.



Habilidad ASE

I) Falsa, ya que xx

xhmxf11

))(()( , solo está definida para los reales positivos.

II) Verdadera, ya que ))((11

y 1

))(( xhmxxx

xmh .

III) Verdadera, ya que 3

2

3

11

9

11))9((1 hm y por otra parte .

3

2

9

4

4

9

mh

Por lo tanto son verdaderas solo II y III.



Habilidad ASE

I) Verdadera, ya que ))(())(( mgfmgf , luego

))(( mgf )14( mf )14(23 m 283 m m81

II) Falsa, ya que ))5(()5)(( fgfg , luego ))5(( fg )5·23(g )7(g 1)7(·4 27

III) Verdadera, ya que ))1(())1(()1)(()1)(( gfgfgfgf , luego

))1(())1(( gfgf )3()5( ff )3(·235·23 63103 2

Por lo tanto, solo I y III son verdaderas.



Habilidad ASE

La función logaritmo está definida para los reales positivos. Como la función x2 tiene su recorrido en

los reales positivos más el cero, entonces, es necesario eliminar el cero para que sirva de argumento de

la función logaritmo.

Es decir, si a la función x2 se le ingresa cualquier número real distinto de cero, entonces la función

f(x) = log (x2) queda bien definida. Luego, el dominio de la función f(x) = log (x

2) es IR – {0}



Habilidad ASE

Como 2915))(( xxfg , entonces 2915))(( xxfg . Es decir, 2915)73( xxg . Luego:

2915)73( xxg (Sumando 7 a la variable)

⟹ 29)7(15)773( xxg (Calculando)

⟹ 293

715

3

3

xxg (Dividiendo la variable por 3)

⟹ 29)7(5 xxg (Simplificando)

⟹ 29355 xxg (Distribuyendo)

⟹ 65 xxg (Calculando)

Por lo tanto, 65 xxg



Habilidad ASE

Se sabe que si ))(( xfg es igual a ))(( xfg , entonces el recorrido de f será el dominio de g.

Como f es una función afín creciente y el dominio de f corresponde al intervalo [– 1, 4[, entonces el

menor valor que tomará f será cuando x sea – 1, es decir, 8353)1(5)1( f ; mientras

que el mayor valor que tomará f será cuando x se acerca a 4, que al evaluar en este valor se obtiene

17320345)4( f . Por lo tanto, el recorrido de f corresponde al intervalo

[17,8[)[4(),1([ ff .

Luego, el recorrido de f es igual al dominio de g, por lo que el recorrido de g a partir del dominio

determinado, corresponderá al recorrido de )( fg .

Como nuevamente la función g es afín creciente, entonces el mínimo valor que tomará )(xg será

cuando x sea igual a – 8, es decir, 124164)8(2)8( g ; mientras que el máximo valor se

obtendrá cuando x se acerca a 17, que al evaluar en este valor se obtiene 384344172)17( g .

Por lo tanto, el recorrido de )( fg corresponde al intervalo )[17(),8([ gg , es decir, [– 12, 38[.



Habilidad ASE

Sean 1)( 2 xxf y xxg )( , entonces 1)1())(( 22 xxgxfg , una función real con x en

todos los reales, es decir, el dominio de esta función corresponde a IR, mientras que su recorrido son

solo los reales positivos. Por otro lado, 11))((2

xxxfxgf , para 0x , es decir, el

dominio de esta función es ,0 , mientras que su recorrido es ,1 Entonces:

I) Verdadero, ya que el dominio de )( fg es IR.

II) Falso, ya que el recorrido de )( gf son los reales que pertenecen a ,1 .

III) Falso, ya que 51)2())2(( 2 fg , mientras que 514))4(( gf .

Por lo tanto, solo I es una afirmación verdadera.



Habilidad ASE

Antes de analizar cada una de las informaciones adicionales, realizaremos la composición de las

funciones. abxbxgxfgxfg 2)())(())((

Luego, evaluando en (2a – b) babbaabbabafg 2222)2()2)((

Revisando cada una de las informaciones adicionales:

(1) El valor numérico de a. Con esta información, no es posible determinar el valor numérico de

)2)(( bafg , ya que esta última expresión no depende de a, por lo que a puede ser cualquier

valor real y no afectará al resultado final.

(2) El valor numérico de b. Con esta información, es posible determinar el valor numérico de

)2)(( bafg , ya que el valor de esta expresión depende únicamente de b. Como

bbafg 2)2)(( , entonces conociendo el valor numérico de b, se puede determinar el valor

solicitado.

Por lo tanto, la respuesta correcta es: (2) por sí sola.



Habilidad ASE

(1) 56))(( xxgf . Con esta información sí es posible determinar la expresión que representa a f,

ya que al hacer la composición de funciones, se obtiene:

))(())(( xgfxgf ))1(( bxaf bbxaa ))1(( babxaa )( 2.

Como 56))(( xxgf , entonces se cumple que 56)( 2 xbabxaa . Luego se cumple

que 62 aa y 5 bab , ya que )( 2 aa corresponde a la pendiente, mientras que

)( bab corresponde al coeficiente de posición.

2o30)2)(3(066 22 aaaaaaaa .

Si a = – 3, entonces 4

5545)3(5 bbbbbab . Por lo tanto, a no puede

ser igual a – 3, ya que b sería un número no entero, lo que se contradice con el enunciado. Por otra

parte, si a = 2, entonces 55525 bbbbbab , siendo ambos

valores números enteros. Luego, 52)( xxf .

(2) 106))(( xxfg . Con esta información sí es posible determinar la expresión que representa a f,

ya que al hacer la composición de funciones, se obtiene:

))(())(( xfgxfg )( baxg bbaxa ))(1( abxaa )( 2

Como 106))(( xxfg , entonces se cumple que 106)( 2 xabxaa . Luego se cumple

que 62 aa y 10ab , por el mismo motivo que la información (1).

2o30)2)(3(066 22 aaaaaaaa .

Si a = – 3, entonces 3

1010)3(10 bbab . Por lo tanto, a no puede ser igual a – 3,

ya que b sería un número no entero, lo que se contradice con el enunciado.

Por otra parte, si a = 2, entonces 510210 bbab , siendo ambos valores números

enteros. Luego, 52)( xxf .

Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola.

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