Guía de cálculo Integral

MATEMÁTICAS

1 G.F.S.

Guía de cálculo Integral

Sistema dual de educación

Maestro: Gabriel Flores Sánchez

Enero 2018

MATEMÁTICAS

2 G.F.S.

La diferencial

Aprendizajes

Describir gráficamente la diferencial de una función.

Calcular por aproximación el área y volúmenes de figuras y cuerpos geométricos, aplicando el concepto de diferencial.

Calcular por aproximación las raíces o potencias no exactas, aplicando el concepto de diferencial.

Determinar la diferencial de una función

La diferencial de una función.

En la práctica uno realizaste cálculos para obtener el incremento tanto del área como del perímetro de un

cuadrado, ahora se te presentará una forma más sencilla de obtenerlo utilizando la derivada de una función,

para ello se abordará el tema de “la diferencial de una función” y posteriormente se te proporcionarán

algunos ejemplos de su utilidad.

La diferencial de una función (dy) en un punto (xo, yo) es el incremento de la ordenada medido sobre la

tangente a la curva representativa en ese punto

Si f(x) es una función que representa una medida física, su diferencial es una estimación del error absoluto

de dicha medida. El error absoluto es la diferencia entre el valor aproximado y el valor exacto.

La diferencia entre la diferencial de la función dy, y el incremento de la función Δy, se le conoce como el

error, el cual se visualiza en la siguiente gráfica:

Al observar la gráfica de la recta tangente trazada en el punto xo, se tiene que el ángulo de inclinación es la

razón que existe entre “dy” y “Δx”. El ángulo de inclinación de una recta equivale a la pendiente de la recta

tangente en el punto mencionado, este tema lo estudiaste en Matemáticas 3 y se expresa como sigue:

MATEMÁTICAS

3 G.F.S.

Ahora bien si se denota a Δx como dx, se

obtiene:

Despejando “dy” se logra la forma de obtener

la diferencial de la función.

Anteriormente se mencionó que para resolver problemas de incrementos, como el mencionado en la

actividad 2, era más sencillo de resolverlo con la diferencial, es por ello que se retomará ese problema y se

resolverá utilizando la diferencial.

APLICACIÓN DEL CONOCIMIENTO

Ejemplo 1.

Tomando en cuenta que se trazó un cuadrado cuyo lado mide 3 unidades.

a) Si la longitud de sus lados se incrementa media unidad, ¿cuánto se incrementará su perímetro?

Cuando se posee la cuadrícula es sencillo contar de forma directa el incremento del perímetro cuando son

unidades enteras, pero cuando no lo son, se puede recurrir a la diferencial, como se muestra a continuación.

Se denominará a:

L : como la longitud del lado del cuadrado.

P : es el perímetro del cuadrado.

Considerando que se solicita el incremento del perímetro, se expresa la función correspondiente:

P 4L

Tomando la fórmula de la diferencial dy = f’(x)dx , ajustándola a la notación de este problema, se expresa:

dP = P’(L)dL

Donde:

dP significa el incremento del perímetro.

P’(L) es la derivada de la función perímetro.

MATEMÁTICAS

4 G.F.S.

dL es el incremento de la longitud de su lado.

Por lo tanto al tomar en consideración que la longitud del lado se incrementó en una unidad y la derivada

del perímetro, se obtiene:

El perímetro se incrementó 2 unidades.

b) Si la longitud de sus lados se incrementa un cuarto de unidad, ¿cuánto se incrementará su área?

Se denominará a:

L : como la longitud del lado del cuadrado.

A : es el área del cuadrado.

El área del cuadrado se expresa como:

A = L2

La diferencial del área queda de la siguiente forma:

dA = A’= (L)dL

Donde:

dA significa el incremento del área.

A’(L) es la derivada de la función área.

dL es el incremento de la longitud de su lado.

Al tomar en consideración que la longitud del lado se incrementó en dos unidades y la derivada del área, se

obtiene:

El área se incrementó 1.5 unidades cuadradas.

Ejemplo 2.

Obtener el valor aproximado del incremento en el volumen de un cubo, cuyos lados miden (o tienen una

longitud de) 2 m, considerando un aumento de 0.003 por lado.

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5 G.F.S.

Se hace un bosquejo del problema para entender qué se está pidiendo.

El volumen original del cubo es:

Entonces el diferencial del volumen es:

dV= 3L2 dL

Entonces, dV representa el incremento de volumen y dL representa el aumento del lado, así que

sustituyendo los valores se obtiene:

Esto significa que el cubo aumentó 0.036 m3.

Ejemplo 3.

Hallar el valor aproximado del volumen de una cáscara esférica de 200 mm de diámetro exterior y 1 mm de

espesor.

Primero se tiene que bosquejar el dibujo que representa el problema, para entenderlo mejor.

Se muestra la esfera:

El volumen de la cáscara es la parte sólida de la esfera, la cual se visualiza como un incremento del

volumen que ocupa la esfera en su interior, por lo tanto, es lo mismo que obtener el incremento de volumen

de una esfera de radio inicial 99 mm con un aumento de 1 mm de radio.

La fórmula del volumen de una esfera es:

MATEMÁTICAS

6 G.F.S.

Sustituyendo los datos se obtiene:

El volumen de la cáscara es aproximadamente de 123,163 mm3

Ejemplo 4.

Al calentar una placa cuadrada metálica de 15 cm. de longitud, su lado aumenta 0.04 cm. ¿Cuánto aumentó

aproximadamente su área?

Encontrar el aumento de área es lo mismo que encontrar el dA.

La fórmula del área de un cuadrado es:

A = L2

Donde L es la longitud uno de los lados del cuadrado.

dA = 2LdL

Sustituyendo los datos se tiene:

Por lo tanto, el área presenta un aumento de 1.2 cm2

Ejemplo 5.

Al enfriar una placa cuadrada metálica de 20 cm. de longitud, su lado disminuye un 0.03%. ¿Cuánto

disminuirá porcentualmente su área?

Utilizando diferencial de área para resolver el problema se tiene:

El 0.03% que disminuye equivale a 0.006 cm, para verificar esto se multiplica 20 cm por 0.0003.

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7 G.F.S.

Para calcular cuánto disminuyó porcentualmente el área, se tiene que dividir el diferencial del área entre el

área inicial y multiplicarlo por cien.

Por lo tanto su disminución porcentual se obtiene de la siguiente forma:

Si el lado de la lámina disminuye el 0.03%, su área disminuye el 0.06%

Además de las aplicaciones de la diferencial en el cálculo aproximado de incrementos, podemos calcular o

determinar aproximaciones de radicales.

Ejemplo 6

Utilizar el concepto de diferencial para estimar el valor de

Solución. Sabemos que = 5. Por tanto, se necesita estimación para el incremento de , desde

25 a 27. La diferencial en este caso es:

Con x = 25 y dx = 2, el valor de dy es:

Significa que una variación de x desde 25 hasta 27 aumenta el valor de la raíz cuadrada en

aproximadamente 0.2 unidades. Por lo tanto:

Ahora bien, se puede comprobar que (5.2)2 = 27.04 por lo que nuestra estimación está muy cercana al valor

indicado en la raíz

ACTIVIDAD DE DESARROLLO 1.

Resuelve los siguientes problemas de aplicación de la diferencial

1. La pared lateral de un depósito cilíndrico de radio 50 cm y altura 1 m, debe revestirse con una capa de

concreto de 3 cm de espesor. ¿Cuál es aproximadamente la cantidad de concreto que se requiere?

Resp: 94247cm3= 0.094247m

3

MATEMÁTICAS

8 G.F.S.

2. Calcula el incremento del área de un cuadrado cuyos lados tienen una longitud de 7 m, considerando que

éstos aumentaron 3 mm.

Resp: 42000mm2 = 0.042m

2

3. Calcula el incremento aproximado del volumen de un cubo cuyos lados miden 7.3 m, considerando un

aumento de 0.007 m por lado.

Resp: 1.1109m3

4. Si la medida de la arista de un cubo es 12 pulgadas, con un posible error de 0.03 pulgadas, estimar

mediante diferenciales el máximo error posible cometido al calcular:

a) El volumen del cubo.

Resp: 12.96 p3

b) El área del cubo.

Resp: 4.32p2

5. Estimar el valor de

mediante diferenciales. Después comparar la estimación con el resultado

obtenido con una calculadora

Resp: 10.033

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9 G.F.S.

6. Estimar el valor de

mediante diferenciales. Después comparar la estimación con el resultado

obtenido con una calculadora

Resp: 1.96875

Teoremas sobre Diferenciales.

Considerando que la diferencial de una función es el producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente, se acepta que a cada fórmula de derivación (vistas en la asignatura de Cálculo Diferencial), le corresponde una diferenciación que se detallará a continuación.

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10 G.F.S.


A continuación se presentan varios ejemplos donde se calcula la diferencial de funciones, utilizando las fórmulas de diferenciación. Ejemplos:

MATEMÁTICAS

11 G.F.S.

MATEMÁTICAS

12 G.F.S.


Determina la diferencial de las siguientes funciones.

dy= (6x-11)dx

dy=(2x-2

-2x-3

-21x-4

)dx

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13 G.F.S.

dy=8xCos(4x2-8)dx

dx=4x3secx

4tanx

4dx

dy=240x

7(3x

8+5)

9dx

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14 G.F.S.

La integral indefinida

Aprendizajes

Identificar las propiedades básicas de la integral indefinida.

Determinar la función original a partir de su derivada.

Calcular la integral indefinida de funciones algebraicas.

Calcular la integral indefinida de funciones trascendentes.

En el estudio del cálculo integral es muy importante que identifiques que dada la derivada de una función, encuentres la función original, esto es, la antiderivada o primitiva de la función, a la cual le llamaremos integral indefinida.

Para diferenciar a la integral definida de la integral indefinida, a ésta no se le escriben los límites de integración, sino que se le agrega una “c” que significa constante de integración, a f(x) se le llama integrando y x representa la variable de integración, la representamos con la siguiente

Definición

Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I, si )()( xfxFdx

d

en I, es decir, si F´(x) = f(x) para toda x en I, esto es:

)()(' )()( xfxFsisóloysícxFdxxf

Esta definición se puede interpretar de la siguiente manera: Al integrar una función f(x) obtenemos como resultado F(x); si este resultado se deriva obtendremos como resultado al integrando y además nos sirve como comprobación. Propiedades básicas de la integral indefinida.

Observa las siguientes propiedades, las cuales debemos tomar en cuenta para el cálculo de integrales indefinidas.

Sí f es integrable y k es un número real cualquiera, entonces kf es integrable.

dxxfkdxxfk )( )(

Sean f y g dos funciones integrables, entonces:

dxxgdxxfdxxgxfii

dxxgdxxfdxxgxfi

)( )( )()( )

)( )( )()( )

Un factor constante k puede escribirse antes del signo de integral, donde c es la

constante de integración.

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15 G.F.S.

cxkdxkdxk

Regla de las potencias para integrales indefinidas.

cx

ndxx nn 1

1

1

Donde el exponente n es un número racional y n -1

En las funciones trascendentes se encuentran las trigonométricas, las exponenciales y las logarítmicas. Para calcular este tipo de integrales se usan las siguientes fórmulas de integración.

cuduu

cuduu

sen cos

cos sen

cuduu

cutanduu

cuduutan

cot csc

sec

sec ln

2

2

cutanuduu

cuduu

cuduuu

cuduutanu

sec ln sec

sen ln cot

csc cot csc

sec sec

cuuduu cot csc ln csc

ca

adua

cuu

du

cedue

uu

uu

ln

ln

APLICACIÓN DEL CONOCIMIENTO Observa en los siguientes ejemplos cómo se aplican las propiedades de la integral indefinida.

Vamos a calcular la siguiente integral indefinida dxx3 5

Paso 1: El 5 es una constante que se puede escribir fuera de la integral.

dxxdxx 5 5 33

Paso 2: Para encontrar una antiderivada de x

3 (o sea la primitiva) aplicamos la fórmula siguiente:

cxn

dxx nn

1

1

1

o sea que:

cxdxx

133

13

1 5 5

Paso 3: Se realizan las operaciones indicadas y se obtiene finalmente el resultado.

cxdxx 43 4

5 5

Para realizar la comprobación de la integral, se deriva el resultado, esto es:

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16 G.F.S.

dx

cdxcx

dx

d 4

4

5

4

5 144

Recuerda que la derivada de una constante es igual a cero. Al simplificar se obtiene al integrando.

34 54

5xcx

dx

d

Nota: recuerda que al hacer mención de la antiderivada o primitiva nos estamos refiriendo a la integral indefinida.

Ahora veamos la aplicación de estas propiedades en una función polinomial.

Calcula la integral indefinida dxxxx 2543 35 y realiza la comprobación.

Paso 1: Se escribe la integral, recordando que la suma o resta de funciones es igual a la suma o

resta de las integrales, esto es:

dxdxxdxxdxxdxxxx 2 5 4 3 2543 3535

Paso 2: Los factores constantes se escriben fuera de la integral y se aplica la fórmula de una potencia, como se muestra a continuación:

dxdxxdxxdxxdxxxx 2 5 4 3 2543 3535

Paso 3: Se integra cada una de éstas.

4

3

11

2

133

1

155

22

11

1 5 5

13

1 44

15

1 33

cxdx

cxdxx

cxdxx

cxdxx

Paso 4: Se sustituyen los valores, tomando en cuenta que 4321 ccccc .

cxxxxdxxxx 22

5

4

4

6

3 2543 24635

Paso 5: Finalmente se simplifica el resultado.

cxxxxdxxxx 22

5

2

1 2543 24635

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17 G.F.S.

Para verificar el resultado, se deriva el polinomio y se obtiene el integrando.

02)2(2

546

2

12

2

5

2

1 35246

xxxcxxxx

dx

d

Simplificando se obtiene:

254322

5

2

1 35246

xxxcxxxx

dx

d

Analiza los siguientes procedimientos para calcular integrales indefinidas trascendentes.

Calcula la integral indefinida dxx sen y realiza la comprobación.

Paso 1: Este tipo de integrales se resuelven de forma inmediata, por lo tanto:

cxdxx cos sen

Paso 2: Se realiza la comprobación derivando el resultado.

xxcdx

dx

dx

dcx

dx

d sen0 sen cos) (cos

Ahora resuelve los siguientes ejercicios, aplicando las propiedades de la integral indefinida.

a) Calcula la integral dxxxx 4839 23 y realiza la comprobación.

b) Calcula la integral dxx cos y realiza la comprobación.

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18 G.F.S.


I. INSTRUCCIONES: Analiza con atención cada uno de los siguientes expresiones y calcula las integrales

aplicando el método de integración respectivo.

1. dxxxxx 72 234

2.

dxxxx 8

5

62 23

3.

dxxx

2

3

4

1

3

2 2

4. dxxx 304 23

5. dxx 2 3

6. dxx 2

3

7. dxxx 96 24

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19 G.F.S.

8. dxxx 123

9. dxxx 231

II. INSTRUCCIONES: Analiza las siguientes expresiones y aplicando el procedimiento adecuado, calcula

las integrales trascendentes.

10. dxxe x )2(

11. dxx

1

12. dxx sec2 2

13. dxx cos5

14. dxx

3

sen

15. dxx

3

8

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20 G.F.S.

TABLA DE COMPROBACIÓN

Número de pregunta Respuesta correcta

1. cxxxxxdxxxxx 72

1

3

1

2

1

5

172 2345234

2.

cxxxdxxxx 23423 4

5

2

2

18

5

62

3. cxxxdxxx

2

3

8

1

9

2

2

3

4

1

3

2 232

4. cxxxdxxx 303

4

4

1)304( 3423

5. cxdxx 23 2

6. cxdxx 2

5

2

3

5

2

7. cxxxdxxx 925

196 3524

8. cxxxdxxx 22

3

3

212

9. cxxxdxxx 22

1231 23

10. cxedxxe xx 22

11. cxdxx

ln1

12. cxtandxx 2 sec2 2

13. cxdxx sen5 cos5

14. cxdxx

cos3

1

3

sen

15. cxdxx

ln3

8

3

8

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21 G.F.S.

Aplicación de la integral.

Aprendizajes

Aplicar el método de sustitución al cálculo de integrales.

Aplicar el método de integración por partes al cálculo de la integral.

I.- El método de sustitución o cambio de variable Consiste en sustituir la variable “x” por una nueva variable; veamos el siguiente: Teorema: Sea g una función derivable y supóngase que F es una antiderivada de f. Entonces u = g(x).

cxgFcuFduufdxxgxgf ))(()()()(')(

Observa el siguiente ejemplo donde se aplica este método.

1.- Evalúa la siguiente integral: dxxx 4 2

Paso 1: Se hace el cambio de variable, tomando 42 xu , entonces la derivada de u es

dxxdu 2

Paso 2: Se sustituyen estos valores en la integral, esto es:

2

4 2

1

2 duudxxx

Observa que dxxdu 2 y en el integrando sólo se tiene dxx , entonces dxxdu

2

.

Paso 3: Se aplican las propiedades de la integral; esto es, 2

1se escribe fuera de la integral por ser

una constante.

2

1 4 2

1

2 duudxxx

Paso 4: Se realiza la integral, obteniendo lo siguiente:

cu

duu

12

12

1

2

11

2

1

2

1

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22 G.F.S.

cucucu

2

3

2

32

3

3

1

6

2

2

32

1

Paso 5: Se hace el cambio de variable de 42 xu y se sustituye en el resultado:

cxdxxx 2

322 4

3

1 4

por lo tanto: cx 32 4

3

1

Observa con detenimiento los siguientes ejemplos, donde se aplican los métodos de integración y realiza los ejercicios propuestos.

2.-Evaluaremos la siguiente integral indefinida aplicando el método de sustitución.

dxxx 1243

Paso 1: Se toma como 124 xu , entonces la derivada de u es dxxdu )04( 3 , recuerda

que la derivada de una constante es cero.

Paso 2: Observa que en la integral están x3 y dx y al realizar el cambio de variable dxxdu 4 3 ,

queda de la siguiente forma:

dxxdu 3

4

Paso 3: Se sustituyen los valores de u y du en la integral, obteniendo de esta manera el cambio de variable.

dxxx 1243

42

1du

u

Paso 4: Cómo 4

1es una constante, se aplican las propiedades de la integral y se coloca fuera de

dicha integral este valor, esto es:

duudu

u 4

1

42

1

2

1

Paso 5: Se realiza la integral.

cucu

cu

dxxx

2

32

31

2

1

43

12

2

2

34

1

12

14

1 12

MATEMÁTICAS

23 G.F.S.

Paso 6: Se sustituye el valor que se tomó como 124 xu y se obtiene el resultado de dicha

integral, esto es:

cx

cxdxxx

34

2

3443

126

1

126

1 12

Ejercita tus conocimientos y aplica este método de sustitución en la siguiente integral.

dxxx 23 2

Resp:

II. Método de integración por partes: El método de integración por partes se basa en la integración de la fórmula derivada del producto de dos funciones. Veamos el siguiente procedimiento para obtener la fórmula de integración por partes: Sea u = u(x) y v = v(x), entonces:

)(')()(')()()( xuxvxvxuxvxuDx

Integrando ambos lados de la ecuación se obtiene la siguiente expresión:

dxxuxvdxxvxuxvxu )(')( )(')()()(

Despejando la primera integral tenemos:

dxxuxvxvxudxxvxu )(')()()( )(')(

Sí dxxuduydxxvdv )(' )(' , entonces la ecuación anterior se puede escribir de la

forma siguiente:

duvvudvu

La cual es la fórmula para integrar por partes. El éxito de éste método, depende de la elección

apropiada de u y dv , lo cual se consigue solamente con la práctica.

MATEMÁTICAS

24 G.F.S.

1.- Para aplicar este método, vamos a evaluar la siguiente integral: dxxx cos

Paso 1: Se escribe dxxx cos como dvu ; entonces dxduyxu

Paso 2: Si dxxdv cos , entonces, para encontrar v se integran ambos lados, obteniendo:

dxxdv cos , entonces

cxv sen

Paso 3: Los valores de vydvduu , , se sustituyen en la fórmula, quedando de la siguiente

manera:

dxxxxdxxx sensen cos

La integral de cxdxx cos sen , sustituyendo este resultado en la integral anterior, se

obtiene el resultado.

cxxxdxxx cossen cos

Recuerda que las constantes de integración están incluidas en “c”.

2.- Vamos a resolver un ejemplo aplicando el método de integración por partes en la siguiente integral.

dxxx sen2

Paso 1: Se toma como 2xu ; la derivada de u es dxxdu 2 ; de esta manera xdv sen ,

entonces v es la integral de xsen

1cos sen cxdxxv

Paso 2: Con estos valores se sustituyen en la fórmula vduuvudv .

dxxxxx

dxxxxxdxsenxx

cos2cos

2coscos

2

22

Paso 3: Observa que la integral del lado derecho otra vez se tiene que realizar por partes,

entonces se hacen los siguientes cambios:

MATEMÁTICAS

25 G.F.S.

2 cos

csenxvxdxdv

dxduxu

De esta manera, la integral dxxx cos , queda de la siguiente manera:

3cos cos cxxsenxdxsenxxsenxdxxx

Nota: es importante que Las constantes c1, c2, y c3 se incluyen al final del resultado de la integral para no crear confusión con dichas constantes. Paso 4: Sustituyendo los valores, se obtiene el resultado de la integral.

cxxsenxxx

cxxsenxxxdxxxxxdxsenxx

cos22cos

cos2cos cos2cos

2

222

Ejercita tus conocimientos y calcula la siguiente integral: dxxx 2sen2

Res:

MATEMÁTICAS

26 G.F.S.


INSTRUCCIONES: Lee con atención los siguientes reactivos y resuelve lo que se pide.

I.- Aplica el método de sustitución y evalúa las siguientes integrales, escribe tu desarrollo y la solución.

1. dxxx432 5

2. dxx6

93

3.

dxe

ex

x

21

4. dxx5

1

5. dxxx cos sen3

6.

dxx

x

9

32

MATEMÁTICAS

27 G.F.S.

II.- Aplica el método de integración por partes y calcula las siguientes integrales.

7. dxxx sen

8. dxx ln

9. dxex x2

10. dxxx cos 4



1

dxxdu

dxxduxu 223

3 3 5

cxdxxx53432 5

15

15

2

dxdu

dxduxu 3

3 93

cxdxx76

9321

193

3 dxe

dudxedueu xxx

2 2 21

MATEMÁTICAS

28 G.F.S.

cedxe

e x

x

x

21ln2

1

21

4

dxduxu 1

cxdxx65

16

11

5

dxxduxu cos sen

cxdxx 43 sen

4

1 sen

6

dxxdu

dxxduxu 2

2 92

cxdxx

x9ln

2

3

9

3 2

2

7

xvdxxdvdxduxu cos sen

cxxxdxxx coscos sen

8

xvdxdvdxx

duxu 1

ln

cxxxdxx ln ln


9

xx evdxedvxdxduxu 2 2

dxxeexdxex xxx 222

La integral del lado derecho se realiza otra vez por partes, esto es:

xx evedvdxduxu 1111 2 2

cxxedxex xx 2222

10

xvdxxdvdxduxu sen cos 4 4

cxxxdxxx cos4sen4 cos4

MATEMÁTICAS

29 G.F.S.

EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN

INSTRUCCIONES: Lee con atención cada uno de los siguientes reactivos y contesta lo que se solicita, anotando el desarrollo y la solución.

Para resolver estos ejercicios cuentas con noventa minutos.

I.- Aplica las propiedades de la integral indefinida y evalúa la siguiente integral.

1. dxxxx 7642 23

2. Encuentra una antiderivada (primitiva) de la función: 25)( 3 xxf

3. Evalúa la siguiente integral indefinida.

dxxx 11

4. Evalúa la siguiente integral indefinida.

dxxtan 3

II.- INSTRUCCIONES: Aplica el método de sustitución y evalúa las siguientes integrales indefinidas.

5. dx

x

x

25

22

6. dxx 15 cos

MATEMÁTICAS

30 G.F.S.

III.- Aplica el método correspondiente y calcula las siguientes integrales indefinidas.

7. dxxe x cos

CLAVE DE RESPUESTAS


1 cxxxx 733

4

2

1 234

2 cxxxF 24

5)( 4

3 cxx 3

3

1

4 cxócx 3cosln3

1 3secln

3

1

5 cx 25ln 2

6 cx 15sen5

1

7 cxxe x sencos2

1

MATEMÁTICAS

31 G.F.S.

III. Método de integración de funciones racionales (Método de expansión en fracciones parciales). Una función racional es, por definición, el cociente de dos polinomios, por ejemplo:

xx

xxxxh

xx

xxg

xxf

5

12)( ,

84

22)( ,

1

2)(

3

35

23

Teóricamente cualquier expresión racional )(

)(

xg

xf se puede expresar como una suma de

expresiones racionales cuyos denominadores son potencias de polinomios de grado menor o igual a dos.

rFFFxg

xf ....

)(

)(21

La suma de rFFF ...21 es la descomposición en fracciones parciales de )(

)(

xg

xf y cada kF

se llama fracción parcial.

Observa con detenimiento los siguientes pasos para obtener la descomposición en fracciones

parciales de

)(

)(

xg

xf

1. Si el grado de f(x) no es menor que el de g(x), se realiza la división. 2. Expresar g(x) como un producto de factores lineales qpx o formas cuadráticas irreducibles

cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que g(x) quede expresado como un

producto de

factores distintos de la forma mqpx o bien ncbxax 2

con m y n enteros no

negativos. 3. Aplicar las siguientes reglas:

a) Por cada factor de la forma mqpx con 1m , la descomposición en fracciones parciales

contiene

una suma de m fracciones parciales de la forma:

m

m

qpx

A

qpx

A

qpx

A

)(.....

)( 2

21

Donde cada numerador kA es un número real.

MATEMÁTICAS

32 G.F.S.

b) Por cada factor ncbxax 2, con 1n , donde cbxax 2

es Irreducible, la

descomposición

en fracciones parciales contiene una suma de n fracciones parciales de la forma:

n

nn

cbxax

bxA

cbxax

bxA

cbxax

bxA

)(...

)( 222

22

2

11

Donde todos los kk byA son números reales.

I. El siguiente ejercicio se resuelve aplicando el método de expansión en fracciones parciales.

dxxxx

x

32

3523

Paso 1: Se factoriza el denominador, quedando de la siguiente forma.

)1)(3( )32(32 223 xxxxxxxxx

Paso 2: Al factor x le corresponde una fracción parcial de la forma x

A, de la misma forma, a los

factores )1( 3 xyx les corresponden fracciones parciales de la forma: 1

;3 x

C

x

B,

respectivamente; la descomposición en fracciones parciales tiene la siguiente forma:

13)1)(3(

35

32

3523

x

C

x

B

x

A

xxx

x

xxx

x

Paso 3: Se multiplica por 13 xxx ambos lados de la igualdad y se obtiene lo siguiente:

1

)1)(3(

3

)1)(3()1)(3(

13

)1(335

x

xxCx

x

xxbx

x

xxAx

xxx

xxxx

Simplificando tenemos que:

)( )3()1()1)(3(35 xCxxBxxxAx ver paso 4

Paso 4: Los valores de A, B y C pueden encontrarse sustituyendo por “x” valores que hagan que

los factores sean cero en la ecuación ( ), es decir, en este caso, “x” toma los valores de: 0, -3 y +1.

Para: 0x

)30)(0()10)(0()10)(30(3)0(5 CBA


MATEMÁTICAS

33 G.F.S.

1A

Para: 3x

)33)(3()13)(3()13)(33(3)3(5 CBA


1B

Para: 1x

)31)(1()11)(1()11)(31(3)1(5 CBA


2C

Paso 5: La descomposición en fracciones parciales es:

1

2

3

11

)1)(3(

35

xxxxxx

x

Paso 6: Se integra y la suma de las constantes, la denotamos como “c”; de esta forma obtenemos

el resultado final.

1

2

332

3523 x

dx

x

dx

x

dxdx

xxx

x

cx x x 1ln23lnln

II. Aplica tus conocimientos y realiza la siguiente integral, aplicando el método de fracciones parciales.

dx

xx

x

6

132

MATEMÁTICAS

34 G.F.S.

ACTIVIDAD DE DESARROLLO 5

III.- Aplica el método de fracciones parciales a las siguientes integrales.

1.

dxxx 2

52

2.

dx

xx

x

43

112

3.

dx

xxx

xx

2

4223

2

MATEMÁTICAS

35 G.F.S.



1

2

5

2

5 BA

cxxdxxx

2ln2

5ln

2

5

2

52

2

2 3 BA

cxxdx

xx

x1ln24ln3

43

112

3

1 1 2 CBA

cxxxdx

xxx

xx1ln2lnln2

2

4223

2

EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN INSTRUCCIONES: Lee con atención cada uno de los siguientes reactivos y contesta lo que se

solicita, anotando el desarrollo y la solución.

1.

dx

xxx

xx

6

62423

2

CLAVE DE RESPUESTAS


1 cxxx 2ln5

33ln

5

12ln

MATEMÁTICAS

36 G.F.S.

Notación Sumatoria

Aprendizajes

Describir la notación sumatoria.

Cálculo de términos con notación sigma en un sucesión.

Calcular por aproximación el área bajo la curva, aplicando la notación sigma.

Calcular por aproximación el área bajo la curva, aplicando el concepto de suma de Riemann.

Notación sumatoria. Los números cuya suma se indica en una notación sigma pueden ser naturales, complejos u objetos matemáticos más complicados. Si la suma tiene un número infinito de términos, se conoce como serie infinita. Dada una sucesión: Ésta se puede representar como la suma de los primeros términos con la notación de sumatoria o notación sigma. El nombre de esta notación se denomina de la letra griega (sigma mayúscula, que corresponde a nuestra S de "suma"). La notación sigma es de la siguiente manera:

La ecuación anterior se lee la "suma de ak desde uno hasta n ." La tetra k es el índice de la suma o variable de la sumatoria y se reemplaza k en la ecuación después de sigma, por los enteros 1, 2, 3, 4, 5, …., n, y se suman las expresiones que resulten, con lo que resulte del lado derecho de la ecuación

MATEMÁTICAS

37 G.F.S.

ACTIVIDAD DE DESARROLLO 6

Resuelve las siguientes sumas.

Resp: 40

Resp: 182

Resp: -11

Resp: 77/30

Resp: 3

Resp: 139

Resp: 0

MATEMÁTICAS

38 G.F.S.

CÁLCULO DE ÁREA POR APROXIMACIÓN

Arquímedes calculó el área de un círculo por medio de aproximaciones sucesivas, inscribió rectángulos dentro del círculo, calculó el área de cada rectángulo y sumó todas éstas. Después construyó rectángulos más estrechos de modo que la suma de las áreas de los rectángulos se aproximaba cada vez más al área del círculo. Para una función, la idea intuitiva de continuidad es que la curva que represente a la gráfica debe dibujarse con un trazo continuo, o sea, que no tenga saltos. Por ejemplo: sea A el área de una

región limitada por el eje “x” y la gráfica de una función no negativa y = f(x), la cual está definida en

un cierto intervalo cerrado a, b, como se observa en la siguiente figura.

El cálculo del área A se lleva a cabo dividiendo dicha área en un determinado número de

rectángulos, es decir, en “n” rectángulos sobre el intervalo a, b.

Lo anterior se representa en la gráfica siguiente:

La gráfica anterior representa las áreas de los rectángulos, la cual es una aproximación al área real. Generalmente dichas áreas se representan en unidades cuadradas (u

2).

Como podrás observar, la suma de todas las áreas de los rectángulos son una aproximación

al área bajo la curva, esta área se representa con la siguiente definición, donde el símbolo (sigma) indica una suma.

Por lo tanto. Sea f(x) una función continua en el intervalo cerrado a, b y f(x) 0, para toda “x” en

el intervalo a, b.

Se define el área bajo la gráfica en el intervalo como:

n

k

kk xxfA1

* )( I.1

De la fórmula anterior,*

kx , kx y )( *

kxf , se representan en la siguiente gráfica.

MATEMÁTICAS

39 G.F.S.

Donde *

kx representa el punto que será evaluado por la función y )( *

kxf representa la altura del

rectángulo, el valor x representa la base de cada rectángulo.

A partir de la gráfica, se tienen las siguientes condiciones:

Al dividir el área en “n” rectángulos, el lado derecho de cada uno éstos, está representado por *

kx .

La amplitud (base del rectángulo) en cada uno de ellos es igual a x .

La altura del rectángulo construido bajo la curva se representa por: )( *

kxf .

Para utilizar la fórmula de la definición 1.1, es conveniente realizar los siguientes pasos:

Paso 1: Divide el intervalo a, b en “n” subintervalos, esto es:

n

abx

Paso 2: Haz que los *

kx sean los lados derecho de cada subintervalo. Si x0 = a, entonces para

efectuar los cálculos se utiliza la siguiente fórmula:

n

abaxxx 110

*

1

n

abaxxx 220

*

2

n

abaxxx 330

*

3

n

abkaxkxxk 0

*

baban

abnaxnxxn

0

*

MATEMÁTICAS

40 G.F.S.

Es importante revisar la sustitución de los valores, así como sus signos y realizar correctamente las

operaciones. Por otra parte el ultimo valor de *

kx depende del valor de “n”, por ejemplo si n = 4,

entonces *

kx debe calcularse hasta n-1, en esta caso *

3x .

Para obtener la altura de cada uno de los rectángulos )( *

kxf , se sustituyen los valores de ,, *

2

*

1 xx

...*

1kx en la función.

Las condiciones anteriores no siempre se satisfacen en la solución de problemas. Por esto es necesario generalizar los conceptos a los siguientes casos:

La función puede ser discontinua en algunos puntos de a, b.

f(x) puede ser negativo para alguna “x” en el intervalo a, b.

Las longitudes de los subintervalos k1 , xxk pueden ser diferentes entre sí.

El número kw puede ser cualquier número en k1 , xxk .

CÁLCULO DE ÁREA POR APROXIMACIÓN

Una partición P de un intervalo cerrado a, b, es una descomposición cualquiera del intervalo a, b en subintervalos de la forma:

x0,, x1, x1, x2, x2, x3, ...xn-1, xn

Donde “n” es un número entero positivo y los kx son números tales que:

a = x0 x1 x2 x3 ... xn-1 xn = b

La longitud del k-esimo subintervalo xk-1, xk, se denota por kx , es decir:

1 kkk xxx

La partición x contiene “n” subintervalos, donde uno de éstos es el más largo, sin embargo

puede haber más de uno. La longitud del subintervalo más largo de la partición x se le llama

Norma de la Partición P y se denota por P .

En la siguiente figura se observa una partición del intervalo a, b. El siguiente concepto la suma de Riemann, es llamado así en honor del matemático B. Riemann, y es un concepto fundamental para la definición de la Integral definida.

Sea f una función definida en un intervalo cerrado a, b y sea P una partición de a, b. Una suma de Riemann de f para P es cualquier expresión Rp de la forma:

a = x0 x1 x2 ..... xk-1 xk ... xn-1 xn = b

MATEMÁTICAS

41 G.F.S.

n

k

kkp xwfR1

)( I.2.

donde wk es un número en el intervalo xk-1, xk. La siguiente es la representación gráfica de la integral definida.

Las flechas indican donde se localizan estos puntos. Observa en la gráfica que la altura de los rectángulos está dada por la función evaluada en el punto wk, o sea f(wk). Se debe tomar en cuenta que un área es positiva si está por arriba del eje x y se le asigna un signo menos a las áreas que están por debajo del eje x.

Analiza el procedimiento con el cual se resuelven los siguientes ejemplos.

Sea la función f(x) = 4 – x2 en el intervalo cerrado -1, 2, con n =4.

Paso 1: Se gráfica la función y se divide el intervalo -1, 2 en 4 subintervalos.

y

n

abx

4

3

4

12

4

)1(2

x

4

3x

Paso 2: Al sustituir los datos, se obtienen los siguientes resultados:

-4

-2

0

2

4

-3 -2 -1 1 2 3

x

MATEMÁTICAS

42 G.F.S.

4

1

4

31

4

311110

*

1

n

abaxxx

Recuerda que el valor de x0 = a = -1

2

1

4

61

4

321220

*

2

n

abaxxx

4

5

4

91

4

331330

*

3

n

abaxxx

Es importante revisar la sustitución de los valores, así como sus signos y realizar correctamente las

operaciones. Por otra parte, el ultimo valor de *

kx depende del valor de “n”, en este caso n = 4,

entonces *

kx debe calcularse hasta el valor de n-1, en este ejercicio hasta *

3x .

Paso 3: Para obtener la altura de cada uno de los rectángulos )( *

kxf , se sustituyen los valores de

*

3

*

2

*

1 y x x,x en la función 24)( xxf

16

63

16

14

4

144)(

22*

1

*

1

xxf recuerda que:

16

644

16

60

4

15

4

14

2

144)(

22*

2

*

2

xxf

16

39

16

254

4

544)(

22*

3

*

3

xxf

Paso 4: Se sustituyen los valores en la fórmula

n

k

kk xxfA1

* )(

xxfxxfxxfA )()()( *

3

*

2

*

1

4

3

16

39

4

3

16

60

4

3

16

63A

2u 59.764

486

64

117

64

180

64

189A

Por lo tanto el valor del área es: A = 7.59 u

2.

MATEMÁTICAS

43 G.F.S.

Observa el siguiente procedimiento para resolver otro ejercicio.

Considera la función 2

2

18)( xxf , sea P una partición del intervalo cerrado 0, 6 en

cinco subintervalos determinados por: x0 = 0, x1 = 1.5, x2 = 2.5, x3 = 4.5, x4 = 5 y x5 = 6. Encuentra:

a) La norma de la Partición.

b) La suma de Riemann Rp sí w1 = 1, w2 = 2, w3 = 3.5, w4 = 5 y w5= 5.5

Paso 1: Se gráfica la función 2

2

18)( xxf y se indican los puntos correspondientes a wk.

Se indican los rectángulos de alturas )( kwf para k = 1, 2, 3, 4 y 5 intervalos.

y Paso 2: Se determinan las bases de los rectángulos de la siguiente manera:

15.15.2

5.105.1

2

1

x

x

25.25.43 x Ésta es la norma de la partición P

(Cantidad mayor de los x )

-8

-6

-4

-2 0

2

4

6

8

-4 -2 2 4 6 8 10 12 x

MATEMÁTICAS

44 G.F.S.

156

5.05.45

5

4

x

x

Paso 3: Se aplica la fórmula

n

k

kkp xwfR1

)( y se calculan los )( kwf , sustituyendo los

valores en la función.

5544332211 )()()()()( xwfxwfxwfxwfxwfRp

125.7125.1585.52

18)5.5(

5.45.12852

18)5(

875.1125.685.32

18)5.3(

62

482

2

18)2(

5.72

181

2

18)1(

2

2

2

2

2

f

f

f

f

f

Sustituyendo los valores se obtiene:

2u tanto lo por 625.11

)1)(125.7()5.0)(5.4()2)(875.1()1)(6()5.1)(5.7(

)1)(5.5()5.0)(5()2)(5.3()1)(2()5.1)(1(

p

p

p

R

R

fffffR

Ahora, tomando en cuenta el ejemplo anterior, resuelve el siguiente ejercicio.

Sea: 825)( 23 xxxxf calcula la suma de Riemann Rp de la función para la

partición

P de 0, 5 en los cinco subintervalos determinados por: x0 = 0, x1 = 1.1, x2 = 2, x3 = 3.2, x4 =4 y x5 = 5; w1 = 0.5, w2 = 1.5, w3 = 2.5, w4 = 3.6 y w5 = 5

MATEMÁTICAS

45 G.F.S.

Paso 1: Elabora la gráfica la función.

Paso 2: Calcula los valores de kx y obtén la norma de la partición P .

Paso 3: Calcula los valores )( kwf .

Paso 4: Aplica la fórmula

n

k

kkp xwfR1

)( y calcula la sumatoria de Riemann.

MATEMÁTICAS

46 G.F.S.


I. INSTRUCCIONES: Lee con atención cada uno de los siguientes reactivos, y contesta lo que se solicita en

cada uno de ellos.

1) Sea 63)( xxf en el intervalo cerrado 2, 4 con n = 4.

I.- Calcula el área A aplicando la definición 1.1 II.- Realiza la gráfica.


I.- Calcula el área A aplicando la definición 1.1 II.- Realiza la gráfica.

MATEMÁTICAS

47 G.F.S.


I.- Calcula el área A aplicando la definición 1.1 II.- Realiza la gráfica. II. INSTRUCCIONES: En cada uno de los siguientes ejercicios, los números dados: (x0, x1, ... xn)

determinan una partición P del intervalo cerrado a, b.

4) 0, 5, x0 = 0, x1 = 1.1, x2 = 2.6, x3 = 3.7, x4 = 4.1 y x5 = 5

I.- Calcula los nxxx ..., , , 21

II.- Calcula la norma P de la partición.

5) 2, 6, x0 = 2, x1 = 3, x2 = 3.7, x3 = 4, x4 = 5.2 y x5 = 6


MATEMÁTICAS

48 G.F.S.


6) -3, 1, x0 = -3, x1 = -2.7, x2 = -1, x3 = 0.4, x4 = 0.9 y x5 = 1



II. INSTRUCCIONES: Lee con atención cada uno de los siguientes ejercicios y contesta lo que se

solicita. 7) Aplica la definición 1.2 a la siguiente función y calcula la suma de Riemann.

Sea 32)( xxf en el intervalo cerrado 1, 5 dividido en 4 subintervalos determinados por: x0 =

1, x1 = 2, x2 = 3, x3 = 4 y x4 = 5, si: w1 = 1.5, w2 = 2.5, w3 = 3.5 y w4 = 4.5

MATEMÁTICAS

49 G.F.S.

8) Aplica la definición 1.2 a la siguiente función y calcula la suma de Riemann.

Sea 3)( xxf en el intervalo cerrado -2, 4 dividido en los cuatro subintervalos determinados

por: x0 = -2, x1 = 0, x2 = 1, x3 = 3, y x4 = 4, si: w1 = -1, w2 = 1, w3 = 2 y w4 = 4 9) Aplica la definición 1.2 a la siguiente función y calcula la suma de Riemann

Sea 2

8)(2x

xf en el intervalo cerrado 0, 6 dividido en los cuatro subintervalos

determinados por: x0 = 0, x1 = 1.5, x2 = 3, x3 = 4.5 y x4 = 6, si: w1 = 1, w2 = 2, w3 = 4 y w4 = 5



1

I

2

1

4

24

4 ,2 ,4 4,2

63)(

0

n

abx

bxan

xxf

2

7

2

132

32

122

2

5

2

112

*

3

*

2

*

1

x

x

x

2

96

2

73

2

7

36)3(3)3(

2

36

2

53

2

5

f

f

f

MATEMÁTICAS

50 G.F.S.

2 2

9

4

9

2

3

4

3

2

1

2

9

2

13

2

1

2

3uA

II


2

I

4

3

4

130

2

1

4

120

4

1

4

1)1(0

4

1

4

011041,01)(

*

3

*

2

*

1

0

2

x

x

x

xbxanxxf

16

25

16

91

4

31

4

3

4

5

4

11

2

11

2

1

16

17

16

11

4

11

4

1

2

2

2

f

f

f

2

32

31

64

62

64

25

16

5

64

17

4

1

16

25

4

1

4

5

4

1

16

17

uA

A

II

-8

-6

-4

-2 0

2

4

6

-2 -1 1 2 3 4 5 x

MATEMÁTICAS

51 G.F.S.


3

I

4

1 ,2 ,0 ,8 2,0 42)( 0 xbxanxxf

4

7

4

170

4

6

4

160

4

5

4

150

4

4

4

140

4

3

4

130

4

2

4

120

4

1

4

110

*

7

*

6

*

5

*

4

*

3

*

2

*

1

x

x

x

x

x

x

x

-1

0

1

2

3

-1 -0.5 0.5 1 x

y

MATEMÁTICAS

52 G.F.S.

-4

-2

0

2

4

6

8

-2 -1 1 2 3 4 x

4

24

4

72

4

7

4

44

4

62

4

6

4

64

4

52

4

5

4

84

4

42

4

4

4

104

4

32

4

3

4

124

4

22

4

2

4

144

4

12

4

1

f

f

f

f

f

f

f

2

2

7

16

56

16

2

16

4

16

6

16

8

16

10

16

12

16

14

4

1

4

2

4

1

4

4

4

1

4

6

4

1

4

8

4

1

4

10

4

1

4

12

4

1

4

14

uA

A

II

4

I

9.01.45

4.07.31.4

1.16.27.3x

1.51.1-2.6

1.101.1

5

4

3

2

1

x

x

x

x

II

5.1P

Número d pregunta Respuesta correcta

MATEMÁTICAS

53 G.F.S.

5

I

8.02.56

2.142.5

3.07.34

7.037.3

123

5

4

3

2

1

x

x

x

x

x

II

2.1P

6

1.09.01

5.04.09.0

4.114.0

7.17.21

3.037.2

5

4

3

2

1

x

x

x

x

x

II

7.1P

7

5.4 145

5.3 134

5.2 123

5.1 112

5 ,1 32)(

44

33

22

11

wx

wx

wx

wx

xxf

12)3)5.4(2)5.4(

103)5.3(2)5.3(

83)5.2(2)5.2(

635.12)5.1(

f

f

f

f

2 36)1(12)1(10)1(8)1(6 uRp

8

1 2)2(0

4 ,2 )(

11

3

wx

xxf

2 213

1 101

33

22

wx

wx

4 134 44 wx

1)1()1( 3 f

1)1()1( 3 f

8)2()2( 3 f

MATEMÁTICAS

54 G.F.S.

64)4()4( 3 f

279

641612)1)(64()2)(8()1)(1()2)(1(

uR

R

p

p


9

2 5.15.13

1 5.105.1

6 ,0 2

8)(

22

11

2

wx

wx

xxf

5 5.15.46

4 5.135.4

44

33

wx

wx

6

2

28)2(

2

15

2

18)1(

2

2

f

f

2

9

2

58)5(

02

48)4(

2

2

f

f

2 2

27

4

54

2

3

2

9

2

3)0(

2

3)6(

2

3

2

15

uR

R

p

p

Sugerencias

Si te equivocaste en los reactivos 1,2 ó 3, revisa con detenimiento los ejemplos resueltos. Si te equivocaste en los reactivos 4, 5 ó 6 revisa el libro de Swokowski, “Introducción al Cálculo con Geometría Analítica”, pág. 227. Si te equivocaste en los reactivos 7, 8 ó 9 revisa la definición 1.2 y consulta el libro de Swokowski, p.p. 226 – 230

MATEMÁTICAS

55 G.F.S.

La Integral Definida

Aprendizajes

Identificar las propiedades de la integral definida.

Aplicar la noción de integral definida a la solución de problemas.

Aplicar el teorema fundamental del cálculo en la solución de problemas.

La integral definida puede interpretarse como el área bajo la curva y en forma equivalente como un límite. En el tema anterior se aproximó el valor del área bajo la curva mediante suma de las áreas de un conjunto de rectángulos contenidos dentro del área a determinar. Calcular la integral definida aplicando las sumas de Riemann, es bastante tedioso y frecuentemente difícil. Para hacerlo más simple, necesitamos desarrollar algunas propiedades de la integral definida, las cuales se presentan con los siguientes teoremas. Propiedades de la integral definida.

Teorema:

Sea f la función constante, definida por cxf )( para toda x en el intervalo cerrado

a, b, entonces:

)( )( abcdxcdxxfb

a

b

a

En donde:

:b Representa el límite superior.

:a Representa el límite inferior.

: Se le llama signo de integración, el cual indica “suma”.

:)(xf Se le llama integrando.

:)(xfb

a

Se le llama integral definida, que indica el límite de una suma.

La representación gráfica de la función constante cxf )( , es la siguiente:

y

c cxf )( (función constante)

dxcb

a

a b x

MATEMÁTICAS

56 G.F.S.

Teorema:

Sí f es integrable en b ,a y k es un número real cualquiera, entonces k f es integrable

en b ,a y

dxxfkdxxfb

a

b

a

)( )(k

“La conclusión del teorema anterior a veces se enuncia de la siguiente forma: Un factor constante en el integrando se puede sacar del signo de la integral. No está permitido sacar fuera del signo de integral a expresiones en las cuales aparece la variable”

Teorema:

Sí f y g son funciones integrables en b ,a , entonces gf es integrable en b ,a y

dxxgdxxfdxxgxfb

a

b

a

b

a

)( )( )( )(

Teorema:

Sí f es integrable en un intervalo cerrado y sí a, b y c son tres números cualesquiera en ese intervalo, entonces:

dxxfdxxfdxxfc

b

b

a

c

a

)( )( )(

Las siguientes definiciones forman parte de las propiedades de la integral definida.

Sí a b y f es una función integrable en el intervalo cerrado b ,a , entonces:

0 )(

)( )(

dxxf

dxxfdxxf

a

a

b

a

a

b

Observa que al cambiar los límites de integración, la integral cambia de signo; por otra parte si los límites de integración son iguales, resulta cero la integral porque no hay área para calcular, sino que se trata de un punto.

Teorema Fundamental del Cálculo.

Sí F es una antiderivada de f, entonces:

)()( )( aFbFdxxfb

a

MATEMÁTICAS

57 G.F.S.

“Este Teorema fue descubierto de manera independiente en Inglaterra por Sir Isaac Newton (1642 – 1727) y en Alemania por Gottfried Leibnitz (1646 – 1716). Es principalmente debido a este descubrimiento que se les atribuye a estos sobresalientes matemáticos la invención del Cálculo” Para aplicar el teorema fundamental del cálculo, debemos recordar que una función continua es aquella que se representa con un solo trazo o sea sin despegar el lápiz. Por otra parte, una antiderivada es una función que al derivarla ésta se convierte en la función a integrar, por ejemplo:

la antiderivada de x es 2

2x, porque si derivamos

2

2x obtenemos:

dx

d

2

2xxxx 112

2

2)2(

2

1


Observa cuidadosamente los pasos para resolver la siguiente integral, utilizando el teorema fundamental del cálculo y haciendo uso de las propiedades de la integral definida.

Calcula la integral definida dada por la función 196)( 23 xxxxf en el intervalo cerrado

2 ,1 .

Paso 1: Dada la función se debe buscar una antiderivada de ésta, esto es:

xxxx

2

9

3

6

4

234

si ésta función se deriva, se obtiene la función original. Paso 2: Se sustituye la función original con el signo de integral y se escriben los límites de integración.

dxxxx 196 232

1

Paso 3: Se aplican las propiedades de la integral definida.

dxdxxdxxdxxdxxxx2

1

2

1

22

1

32

1

232

1

1 9 6 196

2

1

2

1

22

1

32

1

4

2

9

3

6

4x

xxx

Paso 4: Se evalúan las integrales, sustituyendo el límite superior (2) menos el límite inferior (1);

estos valores se sustituyen por la “x” en la ecuación anterior, de la siguiente manera:

2

1

2

1

22

1

32

1

4

2

9

3

6

4x

xxx =

)1(

2

)1(9

3

)1(6

4

1)2(

2

)2(9

3

)2(6

4

2 234234

MATEMÁTICAS

58 G.F.S.

2 4

17 1

2

9

3

6

4

12

2

36

3

48

4

16u

Por lo tanto el valor de la integral es:

2232

1

4

17 196 udxxxx

Siguiendo los pasos anteriores resuelve el siguiente ejercicio.

Calcula la integral definida, dada la función xxxf 23)( 2 en el intervalo cerrado 3 ,0 .

Paso 1: Busca una antiderivada de la función. Paso 2: Representa la función original como una integral, sustituyendo los límites de integración.

Paso 3: Aplica las propiedades de la integral. Paso 4: Evalúa la integral, sustituyendo primero el límite superior y restando el límite inferior.

Paso 5: Simplifica y obtén el resultado.

Por lo tanto el valor de la integral es:

MATEMÁTICAS

59 G.F.S.

ACTIVIDAD DE DESARROLLO 8. I. INSTRUCCIONES: Lee con atención cada uno de los siguientes ejercicios y aplica las propiedades de la integral definida y encuentra el valor de las siguientes integrales.

1. dxx

2

4

2

2. dxxx 23 23

1

3. dxx 32

2

II. INSTRUCCIONES: Lee con atención cada uno de los siguientes problemas y contesta lo que se solicita, anotando el desarrollo y la solución.

4. Sea la función 5)( xf en el intervalo cerrado 2 ,0 .

I.- Calcula el área bajo la curva. II.- Realiza la gráfica.

MATEMÁTICAS

60 G.F.S.

5. Sea la función 5)( xxf en el intervalo cerrado 3 ,2 .


6. Sea la función 2)( xxf , en el intervalo cerrado 2 ,2 .


III. INSTRUCCIONES: En los siguientes reactivos aplica el teorema fundamental del cálculo y

calcula el valor de las siguientes integrales.

7. Cada la función 22)( xxxf en el intervalo cerrado 2 ,0 .

I.- Calcula el área de la región comprendida por la función. II.- Realiza la gráfica.

MATEMÁTICAS

61 G.F.S.

8. Dada la función xxxxf 6)( 23 entre x = 0 y x = 3.


9. Dada la función 33)( 23 xxxxf , entre x = -1 y x = 2.




1

dxxdxx

2

1

2

4

2

4

2

2

224

2

2

4

2

2

3144

4

4

16

)2(4

1)4(

4

1

4

1

22

1

u

x

x

2 3 uA

MATEMÁTICAS

62 G.F.S.

2

2

2

2323

3

1

233

1

23

3

1

23

1

23

1

34

3411927

1133

2

2

3

3

2 3 23

uA

u

xxxx

dxxdxxdxxx

3

0

4

2

4

2

4

442

2

43

2

2

x

dxx

0A


4

I

10)0(5)2(55 52

0

2

0

xdx 2 10 uA

II y

5

I

2

5510215

2

9

)2(52

2)3(5

2

3

52

5

22

3

2

23

2

xx

dxx

2 2

55uA

-2

8

0

2

4

6

-3 -2 -1 1 2 3 x

MATEMÁTICAS

63 G.F.S.

II y


6

I

2

332

2

32

2

2

3

16

3

16

3

8

3

8

3

2

3

2

3

uA

xdxx

II y

7

I

3

4

3

8

3

12

3

00

3

22

32

32

32

2

0

322

2

0

xxdxxx

2 3

4uA

y II }

-4

-2

0

2

4

-1 1 2 3 4 5 x

-2

0

2

4

6

8

10

-3

-2

-1

1 2 3 x

-2

0

2

4

6

8

-3

-2

-1

1 2 3 4 x

MATEMÁTICAS

64 G.F.S.


8

dxxxxdxxxx 6 6 232

0

232

0

2

0

234

2

6

34

xxx

0

2

26

3

2

4

2234

2 3

32

3

3212

3

84

123

84

uA

y


9 I

-10

-5

0

5

10

-4 -2 2 4 x

MATEMÁTICAS

65 G.F.S.

2

1

23

41

1

23

4

232

1

231

1

232

1

324

324

33 33

33

xx

xx

xx

xx

dxxxxdxxxx

dxxxx

132

11

4

123

2

22

4

2

132

11

4

113

2

11

4

1

23

423

4

23

423

4

3

2

11

4

162843

2

11

4

13

2

11

4

1

3

2

11

4

162843

2

11

4

13

2

11

4

1

4

23

2

1

4

25

2

1

4

16

2

1

4

1713

32

11

4

162844

2 4

23uA

II y

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-4 -2 2 4 x

Guía de cálculo Integral

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