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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 1 Asignatura:Matematicas Financieras Docente: Ing. Rolando Medina Arevalo Semestre: Segundo

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 1

Asignatura:Matematicas Financieras

Docente: Ing. Rolando Medina Arevalo

Semestre: Segundo

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GUÌA DE ESTUDIOS DE MATEMÀTICAS FINANCIERAS

CARRERA: Tecnología Superior en Contabilidad

SEMESTRE: Segundo “A” Nocturno

ASIGNATURA: Matemáticas Financieras

CÓDIGO DE ASIGNATURA: CO-S1-MAFI

TOTAL DE HORAS: 144

DOCENTE RESPONSABLE: Ing. Rolando Medina Arévalo

Copyright©2020 Instituto Superior Tecnológico Ismael Pérez Pazmiño. All rights reserved.

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INTRODUCCIÓN:

En la empresa como en la vida personal, constantemente se debe tomar decisiones.

decisiones de distinta naturaleza, decisiones relacionadas con el hacer o el dejar

hacer. Para tomar una decisión, es necesario que el tomador de decisiones, disponga

de la mayor cantidad de información, conozca los métodos o herramientas que están

relacionados con el problema de decisión, de tal modo, que la elección del curso de

acción a adoptar, sea el correcto.

Con frecuencia una persona o empresa se enfrenta al problema: ¿Qué hacer con

cierto dinero?, ¿Qué decidir entre alternativas mutuamente excluyente?, ¿Cuál

alternativa genera mayor rentabilidad o ganancia?, ¿Cuál alternativa de

financiamiento es la más económica?, ¿Cómo comprobar que lo que me cobra una

institución financiera es lo correcto?, etc.

En este sentido, las MATEMÁTICAS FINANCIERAS constituyen un conjunto de

herramientas, de métodos y procedimientos que ayudan a la toma de decisiones, en

materia de obtención y uso del dinero.

Las técnicas, métodos y procedimientos que serán tratados en el presente módulo,

requieren del dominio de algunos conocimientos básicos de matemáticas puras,

como, por ejemplo, el saber: resolver una ecuación (principalmente de primer grado),

calcular el logaritmo de un número, obtener su raíz enésima, etc.

A pesar, que, para determinar una fórmula, se requiere utilizar los conceptos de

sumatoria, productoria, progresión geométrica, progresión aritmética, limites, y

derivadas entre otras. La utilización de la fórmula no exige el dominio perfecto de los

temas señalados anteriormente.

El conocer los distintos tópicos que comprende las matemáticas financieras, permitirá

disponer de un valioso conjunto de herramientas a aquellas personas que directa o

indirectamente, o que potencialmente deban manejar dinero, para optimizar su uso,

de tal modo, de maximizar las utilidades o minimizar las pérdidas.

Para poder adquirir el conjunto de herramientas que te permitan en algún momento

ayudar a la toma de decisiones, es recomendable que vayas aprendiendo las materias

paulatinamente. Si al enfrentarte a una prueba más adelante y te das cuenta que no

dominas ciertos conceptos o has respondido en forma errónea, vuelve a repasar el

tema. No cometas el error de seguir avanzando, porque el vacío que puedas tener se

convertirá en un gran hoyo.

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ÍNDICE

Información general

Introducción

Syllabus

Desarrollo de Actividades:

1. INTERÉS SIMPLE.

1.1. Introducción y conceptos básicos

1.2. Monto

1.3. Valor actual o presente

1.4. Interés

1.5. Tasa y tiempo de interés

1.6. Plazo o tiempo

1.7. Tiempo real y tiempo aproximado

1.8. Descuento

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1.9. Ecuaciones de valor equivalente

2. INTERÉS COMPUESTO.

2.1. Introducción y conceptos básico

2.2. Monto

2.3. Tasa nominal, tasa efectiva y tasa equivalente

2.4. Valor actual o presente

2.5. Tiempo

2.6. Tasa de interés

2.7. Tasa y tiempo de interés

2.8. Ecuaciones de valores equivalentes

2.9. Tiempo equivalente

3. ANUALIDADES SIMPLES, CIERTAS, VENCIDAS E INMEDIATAS.

3.1. Introducción y terminología

3.2. Tipos de anualidades

3.3. Monto

3.4. Valor actual

3.5. Renta

3.6. Plazo

3.7. Tasa de interés

4. ANUALIDADES ANTICIPADAS Y DIFERIDAS.

4.1. Introducción

4.2. Monto y valor actual

4.3. Renta, plazo e interés

5. AMORTIZACIÓN.

5.1. Introducción

5.2. Tablas de amortización

5.3. Importe de los pagos en una amortización

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INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO ISMAEL PÉREZ PAZMIÑO

SYLLABUS DE LA ASIGNATURA

I. DATOS INFORMATIVOS

NOMBRE DE LA CARRERA: Tecnología Superior en Contabilidad

ESTADO DE LA CARRERA: Vigente X

NIVEL: Tecnológico

TIPO DE CARRERA: Tradicional

NOMBRE DE LA SIGNATURA: Matemática Financiera

CÓDÍGO ASIG: CO-S1-MAFI

PRE–REQUISITO: Ninguno

CO-REQUISITO: Matemática Básica

TOTAL HORAS: 203

Componente docencia 72

Componente de prácticas de aprendizaje 72

Componente de aprendizaje autónomo 59

SEMESTRE: Segundo PARALELOS: A

PERIODO ACADÉMICO: Noviembre 2019 – Abril 2020 (IIPA 2019)

MODALIDAD: Presencial

DOCENTE RESPONSABLE: Ing. Rolando Oswaldo Medina Arévalo

II. FUNDAMENTACIÓN

Toda sociedad requiere de la contribución de la ciencia para evolucionar, por lo que,

el ambiente empresarial también recurre a ésta para la solución de sus problemas y

el mejoramiento de sus réditos, es aquí donde se acude a las matemáticas, ya que se

deben realizar cálculos para la obtención de resultados que direccionen a la correcta

toma de decisiones.

Este módulo aporta al Tecnólogo Superior en Contabilidad conocimientos sobre

procesos financieros, que le servirán en el transcurso de su formación académica y

posteriormente en el ejercicio mismo de su profesión, siendo soporte para los

diferentes cálculos en los que tendrán que incurrir el profesional para obtener

resultados cuantitativos en áreas como finanzas, contabilidad, etc.

El desarrollo de la Matemática Financiera por parte del docente, estará apegada

estrictamente en el fin último de la educación, siendo ésta la transformación del

individuo, por tal motivo, no existirá discriminación de ninguna clase en las actividades

académicas, aceptando la diversidad cultural que se presente en el grupo de

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estudiantes, mostrándose además, como una asignatura abarcadora, que brinda su

aporte cultural, al saber los principios y orígenes de los conceptos a desarrollar,

logrando con esto cumplir con varios objetivos del Buen Vivir, que se encuentran

plasmados en la Constitución Política de la República.

El problema planteado en la asignatura de matemáticas financieras es ¿Cómo calcular

el interés, aplicando las diferentes fórmulas de interés financiero para la debida toma

de decisiones en una empresa?

El objeto de estudio de esta asignatura son las fórmulas de interés, según las cuales

se debe racionalmente analizar, calcular e interpretar los resultados que afecten la

acción administrativa que tiene su base y su instrumento necesario en el cálculo

aplicado a la materia económica-patrimonial y financiera.

La asignatura de matemáticas financieras, corresponde al área académica de

formación profesional, siendo de naturaleza teórico-práctica; y tiene como propósito

que el alumno pueda calcular intereses exactos para una empresa, utilizando los

conceptos básicos de la matemáticas, interés simple, interés compuesto y

anualidades.

Siendo entonces el objetivo de esta asignatura calcular el interés, aplicando las

diferentes fórmulas que se emplean tanto en interés simple, compuesto y anualidades

de manera responsable, para una debida toma de decisiones empresariales

mejorando la rentabilidad de las organizaciones.

III. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Analizar problemas sobre interés simple, descuento racional y bancario, para

el cálculo del monto y valor presente de un préstamo, aplicando diferentes

fórmulas matemáticas de manera responsable.

Aplicar los conceptos básicos y fórmulas de interés compuesto, para el cálculo

del monto y valor presente de una deuda de manera responsable; y, mediante

el análisis profesional se dará solución al nivel de endeudamiento por parte de

las empresas.

Calcular el monto y valor presente de anualidades ciertas ordinarias, que

permita un análisis responsable de los fondos con los que cuenta una empresa,

para la oportuna toma de decisiones.

Calcular anualidades anticipadas y diferidas, para la elaboración de diagramas

de flujo de caja en la toma de decisiones de manera transparente, mediante el

desarrollo de ecuaciones equivalentes.

Elaborar tablas de amortización y fondo de amortización, mediante la aplicación

de manera ética y profesional de las diferentes fórmulas para la determinación

del valor de la amortización y del fondo de amortización.

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IV. CONTENIDOS

Sistema General de conocimientos

Unidad I: Interés simple

Unidad II: Interés compuesto

Unidad III: Anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas

Unidad IV: Anualidades anticipadas y diferidas

Unidad V: Amortización

Sistema General de Habilidades

Unidad I: Analizar problemas sobre interés simple, descuento racional y

bancario.

Unidad II: Aplicar conceptos y fórmulas de interés compuesto en el cálculo del

monto y valor presente.

Unidad III: Calcular las anualidades vencidas, para un análisis del nivel de

endeudamiento de una empresa.

Unidad IV: Calcular anualidades anticipadas y diferidas, para la oportuna toma

de decisiones empresariales.

Unidad V: Elaborar tablas de amortización y fondo de amortización, para el

control de los créditos recibidos por parte de las entidades financieras.

Sistema General de Valores

Unidad I: Responsabilidad en el cálculo del monto y valor presente de una

deuda.

Unidad II: Ética profesional en el manejo de fondos para el cumplimiento de

obligaciones contraídas.

Unidad III: Responsabilidad en el cálculo de anualidades vencidas.

Unidad IV: Transparencia en el manejo de fondos.

Unidad V: Ética profesional en la elaboración de tablas de amortización.

V. PLAN TEMÁTICO

TEMAS DE LA ASIGNATURA

DESARROLLO DEL PROCESO CON

TIEMPO EN HORAS

C CP S C

E

T L E THP TI THA

Interés simple 6 16 - - 8 - 2 32 15 47

Interés compuesto 4 14 - - 4 - 2 24 9 33

Anualidades simples, ciertas,

vencidas e inmediatas 7 15 - - 8 - 2 32 10 42

Anualidades anticipadas y

diferidas 5 15 - - 8 - 2 30 15 45

Amortización 4 12 - - 6 - 2 24 10 34

EXAMEN FINAL 2 2 - 2

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Total de horas 26 72 - - 34 - 12 144 59 203

Leyenda:

C – Conferencias.

S – Seminarios.

CP – Clases prácticas.

CE – Clase encuentro.

T – Taller.

L – Laboratorio.

E – Evaluación.

THP – Total de horas presenciales.

TI – Trabajo independiente.

THA – Total de horas de la asignatura.

VI. SISTEMA DE CONTENIDOS POR UNIDADES DIDÁCTICAS

Unidad I: INTERÉS SIMPLE

Objetivo: Analizar problemas sobre interés simple, descuento racional y bancario,

para el cálculo del monto y valor presente de un préstamo, aplicando diferentes

fórmulas matemáticas de manera responsable.

Sistema de

conocimientos Sistema de habilidades

Sistema de

Valores

Introducción y conceptos

básicos

Tiempo real y tiempo

aproximado

Monto

Valor actual o presente

Interés

Tasa y tiempo de interés

Plazo o tiempo

Descuento

Ecuaciones de valor

equivalente

Reconocer las generalidades

del interés simple.

Resolver problemas sobre

cálculo del valor del monto.

Resolver problemas sobre

cálculo del valor actual.

Calcular el valor del interés.

Calcular el porcentaje de

interés y el plazo.

Resolver los casos de tiempo

real y aproximado.

Resolver problemas sobre

cálculo del descuento.

Resolver ecuaciones de valor

Responsabilidad en

el cálculo del monto y

valor presente de una

deuda.

Unidad II: INTERÉS COMPUESTO

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Objetivo: Aplicar los conceptos básicos y fórmulas de interés compuesto, para el

cálculo del monto y valor presente de una deuda de manera responsable; y, mediante

el análisis profesional se dará solución al nivel de endeudamiento por parte de las

empresas.

Sistema de

conocimientos

Sistema de habilidades Sistema de Valores

Introducción y conceptos

básicos

Monto

Tasa, nominal, efectiva y

equivalente

Valor actual o presente

Tiempo

Interés

Tasa y tiempo de interés

Ecuaciones de valor

equivalente

Tiempo equivalente

Reconocer las generalidades

del interés compuesto.

Calcular el valor del monto.

Valorar los tipos de tasas

existentes.

Calcular el valor actual.

Calcular el plazo de un

interés compuesto.

Resolver casos sobre cálculo

de tasa y plazo.

Resolver ecuaciones de valor

equivalente.

Ética profesional en el

manejo de fondos para el

cumplimiento de

obligaciones contraídas.

Unidad III: ANUALIDADES SIMPLES, CIERTAS, VENCIDAS E INMEDIATAS

Objetivo: Calcular el monto y valor presente de anualidades ciertas ordinarias, que

permita un análisis responsable de los fondos con los que cuenta una empresa, para

la oportuna toma de decisiones.

Sistema de

conocimientos Sistema de habilidades Sistema de Valores

Introducción y terminología

Tipos de anualidades

Monto

Valor actual

Reconocer las generalidades

de las anualidades.

Comparar los tipos de

anualidades.

Resolver enunciados de

valor del monto.

Responsabilidad en el

cálculo de anualidades

vencidas.

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Sistema de

conocimientos Sistema de habilidades Sistema de Valores

Renta

Plazo

Tasa de interés

Resolver enunciados de

valor actual, renta, plazo y

tasa de interés.

Unidad IV: ANUALIDADES ANTICIPADAS Y DIFERIDAS

Objetivo: Calcular anualidades anticipadas y diferidas, para la elaboración de

diagramas de flujo de caja en la toma de decisiones de manera transparente, mediante

el desarrollo de ecuaciones equivalentes.

Sistema de

conocimientos

Sistema de habilidades Sistema de Valores

Introducción

Monto y valor actual

Renta, plazo e interés

Reconocer las generalidades

de las anualidades

anticipadas y diferidas.

Resolver ejercicios de

aplicación para encontrar el

monto y valor actual.

Resolver enunciados que

permitan el cálculo del valor

de la renta, plazo e interés.

Transparencia en el

manejo de fondos.

Unidad V: AMORTIZACIÓN

Objetivo: Elaborar tablas de amortización y fondo de amortización, mediante la

aplicación de manera ética y profesional de las diferentes fórmulas para la

determinación del valor de la amortización y del fondo de amortización.

Sistema de

conocimientos

Sistema de habilidades Sistema de Valores

Introducción

Importe de los pagos en

una amortización

Tablas de amortización

Fondo de amortización

Reconocer las generalidades

de una amortización.

Elaborar tablas de

amortización.

Resolver casos prácticos

para el cálculo del importe de

los pagos.

Ética profesional en la

elaboración de tablas de

amortización.

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Sistema de

conocimientos

Sistema de habilidades Sistema de Valores

Tablas de fondo de

amortización

Elaborar tablas de fondo de

amortización.

VII. ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Y DE ORGANIZACIÓN DE LA

ASIGNATURA.

Esta asignatura será desarrollada con el apoyo de la aplicación del método

problémico, el cual permitirá al docente utilizar o ejecutar tareas que conduzca al

estudiante a la búsqueda de vías de solución, favoreciendo a la adquisición del

conocimiento nuevo, así como métodos de acción; esto ocasionará en el estudiante

aprendizajes significativos, pues el estudiante podrá construir su propio conocimiento

partiendo de otros ya adquiridos.

La asignatura de Matemática Financiera será desarrollada durante el segundo

semestre de la carrera de Tecnología Superior en Contabilidad abarcando siete horas

semanales, en cada sesión de clase se hará visible el tema y el objetivo planteado,

con el fin de desarrollar las respectivas habilidades en los estudiantes, quienes podrán

revisar con anticipación los temas propuestos para cada una de las unidades, con las

que se podrá establecer un intercambio de ideas al inicio de la nueva clase.

Para evidenciar el desarrollo de las clases impartidas en el aula, el estudiante

documentará todas las actividades de aprendizaje plasmándolas en un portafolio y

diarios de campo, lo mismo hará con los respectivos talleres (trabajo en equipo)

realizados en clase, los cuales tendrán una puntuación que contribuirá con la nota

total de la asignatura, proceso que repetirá con las tareas extra clase.

Como material de apoyo se hará llegar al estudiante por medios electrónicos, el

respectivo syllabus de asignatura, así como los contenidos de todos los temas. Los

trabajos extra clase serán recibidos a través de la plataforma Amauta, para lo cual el

docente deberá subir al sistema la nueva tarea con sus respectivas orientaciones, con

fecha de apertura y fecha máxima de entrega.

Los estudiantes tendrán una participación activa en los diferentes foros que se subirán

en la plataforma virtual Amauta de un tema determinado, el que tendrá una puntuación

respectiva. Con respecto al desarrollo de los temas, es su primera sesión, se aplicará

la conferencia para el desarrollo de conceptos básicos, luego se apoyará en las clases

prácticas, para la aplicación del conocimiento, también se ejecutarán talleres en la

parte final de cada unidad para fortalecer los conocimientos adquiridos mediante

ejercicios de aplicación.

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La puntualidad a las sesiones de clases es de vital importancia, es por ello que se

pasará lista al inicio y al final de cada sesión, además, se evaluará cada una de las

unidades académicas desarrolladas con el fin de verificar la asimilación de los

contenidos propuestos.

VIII. RECURSOS DIDÁCTICOS

Básicos: marcadores, borrador, pizarra de tiza líquida.

Audiovisuales: Computador, retroproyector.

Técnicos: Documentos de apoyo, separatas, texto básico, libros digitales.

IX. SISTEMA DE EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA

El sistema de evaluación será sistemático y participativo, con el objetivo de adquirir

las habilidades y destrezas cognitivas e investigativas que garanticen la calidad e

integridad de la formación profesional.

Para la respectiva evaluación se valorará la gestión de aprendizaje propuestos por el

docente, la gestión de la práctica y experimentación de los estudiantes, y la gestión

de aprendizaje que los estudiantes propondrán mediante la investigación.

Se tomó como referencia el Reglamento del Sistema Interno de Evaluación Estudiantil

para proceder a evaluar la asignatura, de esta manera se toma como criterio de

evaluación la valoración de conocimientos adquiridos y destrezas evidenciadas dentro

del aula de clases en relación a la labor que un auditor de sistemas realiza.

Cada alumno deberá demostrar lo aprendido en cada una de las unidades

académicas, y de esta manera esté apto para desenvolvimiento profesional.

Por ello desde el primer día de clases, se presentará las unidades didácticas y los

criterios de evaluación del proyecto final. Se determinará el objeto de estudio, que en

este caso son las fórmulas de interés.

Se explica a los estudiantes que el semestre se compone de dos parciales con una

duración de diez semanas de clases cada una, en cada parcial se evaluará sobre

cinco puntos las actividades diarias de las clases, trabajos autónomos, trabajos de

investigación, actuaciones en clases y talleres; sobre dos puntos un examen de parcial

que se tomará en la semana diez y semana veinte. De esta manera cada parcial tendrá

una nota total de siete puntos como máximo.

El examen final se llevará a cabo mediante la ejecución de un proyecto integrador de

asignaturas y tiene una valoración de tres puntos. Por consiguiente, el alumno podrá

obtener una nota total de diez puntos.

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El proyecto integrador del presente semestre corresponde al tema Elaboración del

estado flujos de efectivo.

Por tal motivo, la asignatura Matemáticas financieras contribuirá en el proyecto

integrador mediante la aplicación correcta de las matemáticas financieras para la

elaboración de las tablas de depreciación y de amortizaciones.

Los parámetros de evaluación del presente proyecto o actividad de vinculación de la

asignatura, se clasifican en parámetros generales que serán los mismos en todas las

asignaturas y en parámetros específicos que corresponde únicamente a la asignatura;

la cual se detallan a continuación:

Parámetros Generales

- Exposición 0.75

- Estructura 0.25

- Coherencia del documento 0.25

- Dominio del uso de los métodos y técnicas de la

profesión 0.25

TOTAL 1.50

Parámetros Específicos

- Aplicación de teorías matemáticas 0.50

- Cálculo de interés financiero 0.50

- Calculo de depreciaciones y amortizaciones 0.50

TOTAL 1.50

Una vez que el estudiante exponga su proyecto integrador y defienda las preguntas

propuestas por el tribunal, será notificado en ese momento la nota obtenida y se

procederá a la respectiva firma de constancia.

Dentro de las equivalencias de notas se clasifican de la siguiente manera:

10,00 a 9,50: Excelente

9,49 a 8,50: Muy bueno

8,49 a 8,00: Bueno

7,99 a 7,00: Aprobado

6,99 a menos: Reprobado

Los estudiantes deberán alcanzar un puntaje mínimo de 7,00 puntos para aprobar la

asignatura, siendo de carácter obligatorio la presentación del proyecto integrador.

Si el estudiante no alcance los 7,00 puntos necesarios para aprobar la asignatura,

deberá presentarse a un examen supletorio en la cual será evaluado sobre diez puntos

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y equivaldrá el 60% de su nota final, el 40% restante corresponde a la nota obtenida

en acta final ordinaria de calificaciones.

Aquellos estudiantes que no podrán presentarse al examen de recuperación son

quienes hubiesen reprobado por faltas del 25% o más en la asignatura impartida, para

presentarse al examen de recuperación deben obtener de la suma del primer parcial,

segundo parcial y sustentación del proyecto como promedio mínimo 2,50 que

corresponde al 40% y la evaluación tendrá una ponderación máxima de 6 puntos

equivalente al 60%.

El estudiante no conforme con la nota del proyecto integrador podrá solicitar mediante

oficio una recalificación y obtendrá respuesta del mismo en un plazo no mayor a tres

días hábiles.

El docente tendrá un plazo de 48 horas para socializar las calificaciones obtenidas

luego se asentará en las actas finales y se procederá a recoger la firma de los

estudiantes.

Los proyectos presentados serán sometidos a mejoras o corrección si el caso lo

amerita con la finalidad de ser presentadas en la feria de proyectos científicos que el

Instituto Tecnológico Superior Ismael Pérez Pazmiño lanzará cada año.

En caso de que algún estudiante no se presentare a la defensa publica, por causas

debidamente justificadas, podrá solicitar nueva fecha de sustentación; y, en el

caso de estudiantes que no justificaren debidamente su ausencia, en los tiempos

establecidos en el ITS, se registrara la nota mínima de 0,01 y deberán presentarse

al examen de recuperación, donde el proyecto de vinculación tendrá una ponderación

del 60% de la nota total el restante 40% corresponderá a los contenidos de la

asignatura.

X. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA Y COMPLEMENTARIA

Ayres, F. (1997). Matematicas Financieras. Naucalpan, Mexico: Impreandes Presencia S.A.

Diaz Mata, A., & Aguilera Gomez, V. M. (2008). Matematicas Financieras (Cuarta ed.).

Mexico D.F., Mexico: McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. de

C.V.

Medina Arevalo, R. O. (2018). Guia de Didactica de Matematicas Financieras (Primera ed.).

Machala, El Oro, Ecuador: Instituto Superior Tecnologico Ismael Perez Pazmi;o.

Ochoa Lopez, U. (2012). Matematicas Financieras II (Primera ed.). Tlalnepantla, Mexico

D.F., Mexico: Red Tercer Milenio.

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Ramirez Molinares, C., Garcia Barboza, M., Pantoja Algarin, C., & Zambrano Meza, A.

(2009). Fundamentos de Matematicas Financieras. Cartagena de Indias: Editorial

Universidad Libre Sede Cartagena.

Villalobos Perez, J. L. (2012). Matematicas Financieras (Cuarta ed.). Nacualpan de Juarez,

Mexico D.F., Mexico: PEARSON EDUCACIÓN.

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ORIENTACIONES PARA EL USO DE LA GUÍA DE ESTUDIOS

I. GENERALIDADES

Antes de empezar con el estudio de la asignatura Matemáticas Financieras le doy mi

felicitación por haber decidido emprender sus estudios profesionales en el área de

Contabilidad y Auditoría en el Instituto Superior Tecnológico “Ismael Pérez Pazmiño”.

Ha hecho ¡Buena elección!

Esta guía contiene información sobre contenidos, objetivos, actividades, metodología,

criterios de evaluación y otros asuntos de interés para los alumnos/as de tercer

semestre, que cursan la asignatura denominada Matemáticas Financieras.

Examínela atentamente y no la pierda de vista, pues en ella se encuentran las claves

para llevar a cabo el trabajo empresarial con responsabilidad social. Además de tomar

en cuenta lo siguiente:

1. Se instruirán los conocimientos de cada unidad, al final de cada una de ellas.

2. Se recomienda analizar los sistemas de contenidos de cada capítulo, en su

parte final presenta el resumen de cada tema.

3. Tener una actitud positiva, voluntad, motivación e interés en el desarrollo de las

actividades.

4. Adquirir un lenguaje en término empresarial, dado de los saberes propuesto

dentro de cada unidad.

5. No memorizar los conceptos, sino más bien generalizar la idea del tema y

relacionarla con el contexto.

6. Cuando se haya hecho la primera lectura comprensiva, proceda a desarrollar

las actividades, aplicando en la práctica una actitud reflexiva y crítica;

capacidad de análisis, síntesis y creatividad.

7. Revisar el borrador de las clases recibidas durante horas presenciales.

8. Revisar las bibliografías recomendadas y folletos que facilita el docente, para

aprender de la investigación, es necesario apoyarse en otras fuentes

bibliográficas.

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 19

9. Considera las horas que son dedicadas a su trabajo u ocupación personal. Lo

importantes es saber determinar y organizar el tiempo que necesita para

cumplir con todas sus actividades.

INSTRUCCIONES PARA EL APRENDIZAJE

SIMBOLOGÍA SIGNIFICADO INSTRUCCIONES

SUGERENCIA

Considerar la lectura

reflexiva para el

desarrollo adecuado de

las actividades

REFLEXIÓN

Recomendaciones del

profesor para conocer el

nivel de entendimiento

de los contenidos.

TAREAS

Reforzar el

conocimiento adquirido,

mediante la elaboración

de trabajos en casa.

APUNTE CLAVE

Información importante

RESUMEN

Explicación breve del

tema tratado

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 20

DESARROLLO DE ACTIVIDADES

Unidad didáctica I:

Título de la Unidad Didáctica I: Interés simple

Introducción de la Unidad Didáctica I: En la presente unidad se analizarán los

conceptos básicos de lo que son las matemáticas financieras, el tanto por ciento, el

tiempo, el monto, el interés y tasa de interés lo cual permitirá en lo posterior poder

realizar cálculos respecto a intereses simple y compuesto, anualidades y

amortizaciones ya que estos son muy importantes en el desarrollo de las actividades

en las empresas cuando están en las posibilidades de realizar un crédito.

Para el cálculo del interés simple hay que tomar en cuenta varios aspectos que

permitan aplicar correctamente las formulas a estudiar, uno de ellos es la conversión

que se debe realizar al tanto por ciento y el tiempo, y para ello el estudiante debe

determinar el tiempo con exactitud, y saber cuándo se debe emplear el tiempo exacto

o aproximado al momento de establecer el interés generado por una deuda

Objetivo de la unidad didáctica I:

Analizar problemas sobre interés simple, descuento racional y bancario, para el

cálculo del monto y valor presente de un préstamo, aplicando diferentes fórmulas

matemáticas de manera responsable.

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 21

Organizador Grafico de la Unidad I:

INT

ER

ÉS

SIM

PL

E

Introducción y conceptos básicos.

Tiempo real y tiempo aproximado.

Monto.

Valor actual o presente.

Interés.

Tasa y tiempo de interés.

Plazo o tiempo

Descuento.

Ecuaciones de valor equivalente.

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Desarrollo de contenidos:

Actividades de Aprendizaje de la Unidad Didáctica I:

Actividad de Aprendizaje I de la Unidad Didáctica I: Introducción y

conceptos básicos.

Introducción y conceptos básicos

Los empresarios exitosos son aquellos que saben emplear el dinero ajeno de la mejor

manera, a esto se resume la utilización que una persona le puede dar a una

determinada suma de dinero que no sea de ella, y a su vez dicha utilización con el

pasar del tiempo va a generar una ganancia (intereses).

Al interés de una deuda se le ha dado varias denominaciones, el cual lo podemos

resumir como aquel valor que genera un capital durante un tiempo determinado.

El valor que se obtiene por el préstamo de un dinero se lo denomina interés el cual

está sujeto a variaciones del mercado, inflación u otras condiciones económicas, pero

en si el cálculo dependerá de las condiciones que pacten las partes involucradas en

la operación.

En la presente unidad se tratarán conceptos claros para el cálculo de interés simple y

la aplicación de este en los diferentes casos de operaciones financieras de las

empresas.

Interés simple. - El Interés es simple cuando al término de cada periodo el interés

obtenido no se agrega al capital inicial (no se capitaliza) para producir nuevos

intereses, es decir que el capital permanece invariable y consecuentemente el interés

devengado también es constante, que se puede retirar al final de cada periodo o al

final del horizonte temporal.

Capital inicial. - Es la suma de dinero que se tiene al principio de la operación

financiera, puede ser un préstamo o una inversión, depende desde la perspectiva que

se observe el problema. Se representa con la letra “C”

Tanto por ciento. - En matemáticas el “tanto por ciento” es una forma de expresar un

número en proporción cien (de ahí el nombre “por ciento”), y se denota con el símbolo

“%”

Formula:

I=C*i*n

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 23

Tasa de interés. - la tasa de interés corresponde al valor del tanto por ciento que se

aplica a una operación financiera dividida para 100. Y se representa con la letra “i”.

Plazo o tiempo. - Es el que normalmente se especifica en el documento o contrato

puede ser cualquier unidad de tiempo; días, meses, años, etc. Representada por la

letra “t”.

Periodo. - El periodo no nada más que el tiempo para lo cual fue fijado la deuda

dividido para 360 en caso de que tiempo sea en días y 12 en caso de meses. Y está

representado por la letra “n”.

Interés Comercial. - Se llama interés comercial o bancario, cuando los cálculos se

efectúan considerando el año de 12 meses de 30 días cada uno, haciendo un total de

360 días anuales.

Ejercicios Resueltos:

Encontrar el interés simple de $ 2000:

a) Al 5 ¼ %, durante 8 meses

Solución

Tabla de datos: I=Cxixn

C= 2000 I= 2000x0.0525x0.666666667

%= 5.25%( (1/4) +5) I= 70

i= 0.0525

t= 8 meses

n= 0.666666666 (8/12)

I=? $ 70

Para encontrar el interés de una cantidad se lo puede hacer mediante la siguiente formula:

I=Cxixn

Ejemplo 1: una persona adquiere una deuda de $ 1000 a 9 meses al 8% de interés. Tabla de valores C= 1000 I= 1000x0.08x0.75 %= 8% I= 60 I= 0.08 (8/100) t= 9 meses n= 0.75 (9/12) I=? $ 60

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b) Al 6%, durante 2 años

Solución

Tabla de datos: I=Cxixn

C= 2000 I= 2000x0.06x2

%= 6% I= 240

i= 0.06

t= 2 años

n= 2

I=? $ 240

c) Al 4 ½ %, durante 120 días

Solución

Tabla de datos: I=Cxixn

C= 2000 I= 2000x0.045x0.333333333

%= 4.5 %( (1/2) +4) I= 30

i= 0.045

t= 120 días

n= 0.333333333 (120/360)

I=? $ 30

Problemas propuestos

Determinar el interés simple de:

a) $ 800 durante 7 meses al 5%

b) $ 1800 durante 9 meses al 4 ½ %

c) $ 600 durante 210 días al 3 ¾ %

d) $ 900 durante 3 años al 11%

e) $ 1500 durante 150 días al 7.5%

Respuestas: a) $ 23.33; b) $ 60.75; c) $ 13.13; d) $ 297; e) $ 48.88

Orientaciones tarea: Para poder desarrollar el trabajo extraclase se debe seguir las orientaciones que el docente de en el aula, ayudándose con esta guía para su mejor comprensión. para su mejor comprensión.

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Actividad de Aprendizaje II de la Unidad Didáctica I:

Tiempo real y tiempo aproximado

Para el cálculo de interés en muchos de los casos debemos de establecer o diferenciar

si el tiempo que se está aplicando es exacto o aproximado, lo que generalmente se

da cuando este esta expresado en días. Cabe señalar que cuando hablamos de

tiempo exacto estamos considerando los días exactos que existen entre una fecha a

otra, mientras que el tiempo aproximado se refiere a realizar un cálculo de aproximado

entre fecha y fecha.

Para calcular el tiempo exacto se ha diseñado una tabla de tiempo en la cual se toma

los 365 (366 en caso de ser año bisiesto) días del año calendario, esto permitirá

determinar con más prontitud los días de una fecha a otra.

Ejemplo 8:

Determinar el tiempo exacto y aproximado que existe entre el 08 de marzo al 21 de

Agosto del 2018.

Marzo 23

21 8 2018 Abril 30

8 3 2018 Mayo 31

13 5 0 Junio 30

Julio 31

Respuesta: 163 dias Agosto 21

Respuesta 166

Tiempo Aproximado Tiempo exacto

Como podemos notar existe una diferencia de 3 días entre los cálculos realizados.

Para el cálculo del tiempo cuando este es dado en días o de una fecha a otra, lo podemos realizar de forma exacta o aproximada esto ayuda para poder diferenciar cómo se comporta tasa de interés de acuerdo al tiempo real o aproximado que se coloca un préstamo.

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 26

Ejercicios resueltos

¿Cuál será el monto el 24 de diciembre de un capital de $ 10000 depositado el 15 de

mayo del mismo año en una cuenta de ahorros que paga 19% anual simple?

a) Para calcular el tiempo real es necesario determinar el número de días que

transcurren entre las dos fechas (observe que el 15 de mayo no se incluye, ya

que, si se deposita y retira una cantidad el mismo día, no se ganan intereses).

Mayo 16

Junio 30

Julio 31

Agosto 31

Septiembre 30

Octubre 31

Noviembre 30

Diciembre 24

223

Tiempo exacto

Tabla de datos: Solución

C= 10000 S= C (1 + in)

%= 19% S= 10000 {1 + (0.19x0.610958904)}

i= 0.19 S= 10000 {1 + 0.116082191}

t= 223 días S= 10000 {1.116082192}

n= 0.610958904 (223/365) S= 11,160.82

I= $ 1,160.82 (11160.82-10000)

S=? $ 11,160.82

Cuando se toma el tiempo aproximado se debe restar la fecha final de la fecha inicial de la siguiente manera:

Día Mes Año

Fecha final 19 10 2018 Fecha inicial 16 10 1995 03 0 23

Para este ejemplo la respuesta aproximada del tiempo es 23 años 03 días.

En el caso que no se pueda restar los días se pide un periodo a los meses y en el caso de los meses se pide un periodo a los años, para poder realizar dichas operaciones.

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b) En muchos casos se calcula el tiempo en forma aproximada, contando meses

enteros de 30 días y años de 360 días.

Solución

S=

24 12 2018 S= 10000 {1 + (0.19*0.608333333)}

15 5 2018

9 7 0 S= 10000 {1 + 0.115583333}

Respuesta: 219 dias {(7*30) + 9} S= 10000 {1 .115583333}

S= 11.155,83

Calculo de tiempo aproximado C {1 +(i*n)}

Tabla de datos:

C= 10000

%= 19%

i= 0.19

t= 219 días

n= 0.608333333 (219/360)

I= $ 1,155.83 (11,155.83-10000)

S=? $ 11,155.83

Ejercicios propuestos

Determinar en forma aproximada y exacta el tiempo transcurrido entre:

a) El 27 de enero al 31 de agosto del 2018

b) El 09 de marzo al 14 de noviembre del 2018

c) El 28 de octubre del 2018 al 07 de marzo del 2019

d) El 13 de abril del 2015 al 25 de mayo del 2017

e) El 02 de mayo al 15 de octubre del 2016

f) El 08 de agosto al 23 de enero del próximo año

Respuestas: a) 216, b) 250, c) 130, d) 773, d) 166, e) 168

Orientaciones tarea: Para poder desarrollar el trabajo extraclase se debe guiar en las fórmulas para calcular el interés simple, y considerar que el tiempo aproximado o exacto

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Actividad de Aprendizaje III de la Unidad Didáctica I:

Monto

El monto es la suma del capital más el interés que genera una determinada cantidad

de dinero durante un tiempo establecido. Para efecto de nuestro estudio

designaremos al monto con la letra S.

S= C + I

El monto simple está dado por la siguiente expresión:

S= C + I ==>> C + Cin

S= C (1 + in)

Ejemplo 2:

Al adquirir cierta mercancía, un comerciante acuerda con el proveedor pagar de

contado el 50% y el resto a tres meses después.

¿Cuánto debe pagar para liquidar el saldo, si el interés que le cobran es del 12% anual

y el importe de la mercancía es de $ 25000?

Para este caso vamos aplicar dos formas para determinar el monto de una deuda:

La primera forma es calcular primero el valor del interés para luego sumarlo al capital

original.

Valor original de la compra $ 25000 menos $ 12500 (50% a pagarse en tres meses).

Solución

Tabla de datos: I=Cxixn

C= 12500 I= 12500x0.12x0.25

%= 12% I= 375 Respuesta

i= 0.12

t= 3 meses S= C + I

n= 0.25 (3/12) S= 12500 + 375

I= $ 375 S= 12875

S=?$ 12875

Para la forma de calcular el valor del monto aplicaremos la fórmula directa del monto,

por lo que queda de la siguiente forma:

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Tabla de datos: Solución

C= 12500 S= C (1 + in)

%= 12% S= 12500 {1 + (0.12x0.25)}

i= 0.12 S= 12500 {1 + 0.03}

t= 3 meses S= 12500 {1.03}

n= 0.25 (3/12) S= 12875

I= $ 375 (12875-12500)

S=? $ 12875

Ejercicios Resueltos:

Encontrar el interés simple y monto de $ 3000:

a) Al 5%, durante 18 meses

Tabla de datos: Solución

C= 3000 S= C (1 + in)

%= 5% S= 3000 {1 + (0.12x0.25)}

i= 0.05 S= 3000 {1 + 0.03}

t= 18 meses S= 3000 {1.03}

n= 1.5 (18/12) S= 3090

I= $ 90 (3090-3000)

S=? $ 3090

b) Al 6%, durante 3 años

Tabla de datos: Solución

C= 3000 S= C (1 + in)

%= 6% S= 3000 {1 + (0.06x3)}

i= 0.06 S= 3000 {1 + 0.18}

t= 3 años S= 3000 {1.18}

n= 3 S= 3540

I= $ 540 (3540-3000)

S=? $ 3540

c) Al 4.5%, durante 280 días

Para la determinación del monto de una deuda se puede emplear dos fórmulas, pero por lo general se debe aplicar la siguiente formula:

S= C (1 + in)

Lo cual permitirá calcular de una forma más rápida el valor total del monto de una deuda.

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Tabla de datos: Solución

C= 3000 S= C (1 + in)

%= 4.5% S= 3000 {1 + (0.045x0.777777777)}

i= 0.045 S= 3000 {1 + 0.035}

t= 280 días S= 3000 {1.035}

n= 0.777777777 (280/360) S= 3105

I= $ 105 (3105-3000)

S=? $ 3105

Problemas propuestos

Determinar el interés simple y monto de:

a) $ 600 durante 5 meses al 4 ¾ %

b) $ 500 durante 22 meses al 6 ½ %

c) $ 300 durante 160 días al 8 ½ %

d) $ 450 durante 2 años al 10%

e) $ 1200 durante 120 días al 5.5%

Respuestas: a) $ 11.88, $ 611.88; b) $ 59.58, $ 559.58; c) $ 11.33, 311.33; d) $ 90,

540; e) $ 22, $ 1222

Orientaciones tarea: Para poder desarrollar el trabajo extraclase se debe seguir las orientaciones que el docente de en el aula, ayudándose con esta guía para su mejor comprensión. A guía para su mejor comprensión.

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Actividad de Aprendizaje IV de la Unidad Didáctica I:

Valor actual o presente

En muchos de los casos podemos tener conocimiento del monto (S) de una deuda, y

a su vez las condiciones de la empresa pueden mejorar lo que permite poder realizar

la cancelación de dicho monto de una forma anticipada o puede ser caso que no se

conozca el valor inicial de la deuda, en cualquiera de los dos ejemplos estamos frente

a la determinación del valor actual, capital o valor presente.

Lo que significa trasladar todos los valores adquiridos a una fecha actual, en muchos

de los casos denominada fecha focal la misma que nos indica la fecha exacta en la

que se realizara el pago o condonación de la deuda. Para ello aplicaremos la siguiente

formula:

Ejemplo 3:

Encontrar el valor presente, al 7% de interés simple, de $ 1000 con vencimiento en 6

meses.

Tabla de datos Solución

C= ? $ 996.18 S

%= 7% 1 + in

i= 0.07

t= 6 meses 1000

n= 0.5 (6/12) 1 + (0.07x0.5)

I=? $ 33.82

S= 1000 1000

1 + 0.035

1000

1,035

C= 966,18

C=

C=

C=

C=

C= ___S__

1+in

El valor presente, valor actual o simplemente capital es el valor que se tiene de una deuda al día de hoy, para lo cual aplicaremos la siguiente formula: De igual manera se denomina como fecha focal a la fecha en la que se realiza el pago de una deuda.

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Ejercicios Resueltos:

Encontrar el valor presente de las siguientes deudas:

a) Al 6.5% de interés simple de $ 1800 con vencimiento en 6 meses.

Tabla de datos Solución

C= ? $ 1,743.34 S

%= 6.5% 1 + in

i= 0.065

t= 6 meses 1800

n= 0.5 (6/12) 1 + (0.065x0.5)

I=? $ 56.66

S= 1800 1800

1 + 0.0325

1800

1,0325

C= 1.743,34

C=

C=

C=

C=

b) Un monto de $ 2240 al 10% de interés simple durante 110 días

Al momento de establecer la fecha en la que se va a realizar el pago de la deuda debemos de considerar el tiempo real por el cual fue prestado el dinero, para ello nos valemos de una línea de tiempo. Por ejemplo:

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Tabla de datos Solución

C= ? $ 2,173.58 S

%= 10% 1 + in

i= 0.10

t= 110 dias

n= 0.305555555 (110/360)

I=? $ 66.42

S= 2240

C= 2.173,58

C=

C=

C=

C=

2240

1 + (0.10x0.305555555)

2240

1 + 0.030555555

2240

1,030555555

c) Un pagare firmado el día de hoy por un valor de $ 5000 a 18 meses al 8 ¾ %.

Tabla de datos Solución

C= ? $ 4,419.89 S

%= 8.75% (8+(3/4)) 1 + in

i= 0.0875

t= 18 meses

n= 1.5 (18/12)

I=? $ 580.11

S= 5000

C= 4.419,89

C=

C=

C=

C=

5000

1 + (0.0875x1.5)

5000

1 + 0.13125

5000

1,13125

Orientaciones tarea: Para poder desarrollar el trabajo extraclase se debe guiar en las fórmulas para calcular el capital o valor presente a interés simple.

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Problemas propuestos

Determinar el valor presente de:

a) Un pagare de $ 1000 firmado el 18 de abril con vencimiento en 7 meses

y con interés de 6% en vendido a un señor el 15 de agosto con una base

de rendimiento de 5%. ¿Cuánto pago este señor por el documento?

b) Dentro de 10 meses Alexandro tiene que cancelar $ 6800 al 8% de

interés. ¿Cuánto es el valor a cancelar luego de 4 meses realizado el

préstamo?

c) Lizandro Meza firma un pagare el día hoy por un monto de $ 9890 el cual

deberá ser cancelado en 10 meses. Determinar el valor del pagare

dentro de 3 meses, suponiendo un rendimiento del 4.5%

d) Determinar el valor de las siguientes obligaciones, a ser canceladas el

día de hoy, suponiendo una tasa del 7% de interés simple: 500 con

vencimiento el día de hoy, $ 1000 con vencimiento en 8 meses al 3% de

interés y $ 1500 con vencimiento en un año al 10%. Emplear el día de

hoy como fecha focal.

Respuestas: a) $ 982.80; b) $ 6538.46; c) $ 9637.03; d) $ 3,016.58

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Actividad de Aprendizaje V de la Unidad Didáctica I:

Interés

El interés es aquel valor que genera el dinero que ha sido prestado a un determinado

tiempo sea este anual, mensual o en muchos casos hasta diario con una tasa de

interés convenida entre las partes que realizan la transacción.

Ejemplo 4:

Determinar el interés simple de $ 800 al 5% durante 9 meses.

Tabla de datos: I=Cxixn

C= 800 I= 800x0.05x0.75

%= 5% I= 30

i= 0.05

t= 9 meses

n= 0.75 (9/12)

I=? $ 30

Ejemplo 5:

Una persona realiza un préstamo de $ 3000 en una institución financiera, y se

compromete a liquidarla dentro de 280 días a una tasa de interés del 9%. ¿Cuánto es

el valor de interés que deberá cancelar al terminar el plazo?

Tabla de datos: I=Cxixn

C= 3000 I= 3000x0.09x0.777777777

%= 9% I= 210

i= 0.09

t= 280 días

n= 0.777777777 (280/360)

I=? $ 210

El objetivo principal de todo dinero prestado tiene como condición principal generar o ganar un tanto por ciento de interés, esto está sujeto a las condiciones en que las partes lleguen respecto al dinero cedido, y para calcular ese interés se debe tomar en cuenta la tasa de interés, tiempo y capital.

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Problemas propuestos

Determinar el interés simple de:

a) $ 1000 durante 90 días al 6.5%

b) $ 800 durante 4 años al 4 ¾ %

c) $ 1600 durante 180 días al 3%

d) $ 2500 durante 2 años al 15%

e) $ 2000 durante 16 meses al 9%

Respuestas: a) $ 16.25; b) $ 152; c) $ 24; d) $ 750; e) $ 240

Orientaciones tarea: Para poder desarrollar el trabajo extraclase se debe guiar en las fórmulas para calcular el interés simple.

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Actividad de Aprendizaje VI de la Unidad Didáctica I:

Tasa y tipos de interés

La tasa de interés es aquel porcentaje que se pacta por el uso del dinero en un tiempo

determinado generalmente expresado en días, meses o años. Partiendo de la formula

inicial M = C + (Cxixn) obtendremos (i) que es la tasa de interés.

S

C- 1

ni=

Ejemplo 6:

a) A que tasa de interés simple el monto de $ 1000 será $ 1055 en un año.

Tabla de datos Solución

C= 1000 S

%=? 5.5 % (0.055*100) C

i= ? 0.055

t= 1 año

n= 1 1055

I= 55 (1055-1000) 1000

S= 1055 1

1,055 - 1

1

0,055

1

i= 0,055

i=

i=

1

n

i=

- 1

i=

-

Respuesta: el valor de “i” es 0.055 lo que es equivalente al 5 ½ %

b) El monto de $ 700 será $ 744 en 9 meses. ¿Cuál es la tasa de interés simple

que se aplicó en esta operación?

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Tabla de datos Solución

C= 700 S

%=? 8.4 % (0.084*100) C

i= ? 0.084

t= 9 meses

n= 0.75 (9/12) 744

I= 44 (744-700) 700

S= 744

1,063 - 1

0,063

0,75

i= 0,084

i=

i=

1

n

i=

- 1

i=

-

0,75

0,75

Respuesta: el valor de “i” es 0.084 lo que es equivalente al 8.4 %

c) Armando compro un celular en $ 320. Dio un anticipo de $ 120 y acordó pagar

la diferencia en 6 meses, más un cargo adicional de $ 60.00. ¿Qué tasa de

interés simple pago?

Tabla de datos Solución

C= 200 S

%=? 60 % (0.6*100) C

i= ? 0.60

t= 6 meses

n= 0.5 (6/12) 260

I= 60 200

S= 260 (200+60)

1,3 - 1

0,3

0,5

i= 0,6

i=

i=

1

n

i=

- 1

i=

-

0,5

0,5

Respuesta: el valor de “i” es 0.6 lo que es equivalente al 60 %

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Problemas propuestos

Hallar la tasa de interés simple sabiendo que el monto de $ 1800 es:

a) $ 1920 en 5 meses

b) $ 2110 en 150 días

c) $ 1852 en 9 meses

d) $ 1896 en 2 años

e) $ 2000 desde el 09 de marzo hasta el 29 de noviembre

Respuestas: a) 16%; b) 41.33%; c) 3.85%; d) 2.67%; e) 15.09%

Orientaciones tarea: Para poder desarrollar el trabajo extraclase se debe guiar en las fórmulas para calcular el interés simple.

En ocasiones al momento de prestar dinero lo único que se pacta es el valor entregado y el valor a recibir por parte del prestatario al culminar el tiempo del crédito por este motivo se aplica la fórmula de interés simple para saber a qué porcentaje se calculan los intereses.

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Actividad de Aprendizaje VII de la Unidad Didáctica I:

Plazo o tiempo

Conociendo el valor futuro, capital inicial y la tasa de interés se puede calcular el

número de períodos a la cual está pactada la transacción financiera.

I

C x in =

Ejemplo 7:

a) ¿En qué tiempo el monto de $ 3000 será $ 3360 al 6% de interés simple?

Tabla de datos Solución

C= 3000 I

%= 6 % C x i

i= 0.06

t= ? 2 años

n= ? 2

I= 360

S= 3360 360

180

n= 2

n=

n=

n=3000 x 0.06

360

b) ¿En qué tiempo $ 1564 se convertirá en $ 792.74 colocado al 9 ¾ % de interés

simple?

Tabla de datos Solución

C= 1564 I

%= 9.75 % (9+(3/4)) C x i

i= 0.0975

t= ? 18 meses

n= ? 1.5

I= 228.74

S= 1792.74 228,74

152,49

n= 1,50003

n=

n=

n=1564 x 0.0975

228,74

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Ejercicios resueltos

a) ¿Qué tiempo es necesario para que $ 967.74 se convierta en $ 1000, invertido

al 5%?

Tabla de datos Solución

C= 967.74 I

%= 5% C x i

i= 0.05

t= ? 8 meses

n= ? 0.666667

I= 32.26

S= 1000 32,26

48,39

n= 0,66667

n=

n=

n=967.74 x 0.05

32,26

b) ¿En qué tiempo un capital de $ 2500 se convertirán en $ 2800 al 4 ½ %?

Tabla de datos Solución

C= 2500 I

%= 4.5% (4 + (1/2)) C x i

i= 0.045

t= ? 2 años 8 meses

n= ? 2.666667

I= 300

S= 2800 300

112,5

n= 2,66667

n=

n=

n=2500 x 0.045

300

c) ¿En qué tiempo un capital de $ 900 se convertirán en $ 998.44 al 8 ¾ % de

interés simple?

Para la determinación del tiempo es muy importante tener en cuenta que este puede ser medido en años, meses o días esto varía de acuerdo a los términos en que se llega al momento de realizar un préstamo. Para el cálculo se procede con la formula general para calcular el interés (I= Cxixn) de la cual despejamos la variable “n”

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Tabla de datos Solución

C= 900 I

%= 8.75% (8 + (3/4)) C x i

i= 0.0875

t= ? 1 años 3 meses

n= ? 1.25

I= 98.44

S= 998.44 98,44

78,75

n= 1,25003

n=

n=

n=900x 0.0875

98,44

d) ¿En qué tiempo se duplica un capital de $ 500 al 6% de interés simple?

Tabla de datos Solución

C= 500 I

%= 6% C x i

i= 0.06

t= ? 16 años 8 meses

n= ? 16.66667

I= 500

S= 1000 500

30

n= 16,6667

n=

n=

n=500 x 0.06

500

Problemas propuestos

En qué tiempo un capital de $ 3000 produce:

a) $ 100 al 4% de interés simple

b) $ 50 al 5% de interés simple

c) $ 270 al 6% de interés simple

d) $ 140 al 8% de interés simple

e) $ 356 al 9 ½ % de interés simple

Respuestas: a) 10; b) 4 meses; c) 1 año 6 meses; d) 7 meses; e) 1 año 3 meses

Orientaciones tarea: Para poder desarrollar el trabajo extraclase se debe guiar en las fórmulas para calcular el interés simple.

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Actividad de Aprendizaje VIII de la Unidad Didáctica I:

Descuento

En muchos de los casos ocurre que un pagare o una deuda que debe ser cancelada

en un tiempo determinado, es comprada por una tercera persona lo cual origina el

establecimiento de un descuento, que se aplicara en el momento en que se realice la

transacción es decir se descuenta el valor a la fecha de la adquisición del documento.

Para el cálculo del descuento lo podemos realizar de las siguientes formas:

Descuento comercial. - Es un instrumento de financiación a corto plazo que las

entidades financieras ponen a disposición de sus clientes, para permitirles hacer

líquidos anticipadamente créditos comerciales no vencidos, a cambio del pago de los

intereses y comisiones previamente acordados entre ambas partes. Para su cálculo

aplicamos la siguiente formula:

D= Sdn

Ejemplo 8:

Si el banco realiza operaciones de descuento a 20% anual, y si el señor Díaz desea

descontar el documento el 15 de junio, los $185 000 (el valor nominal del pagaré)

devengarán los siguientes intereses (descuento) durante los 2 meses en que se

adelanta el valor actual del documento:

Tabla de datos

%= 20% D= Sin

i= 0.20

t= 2 meses D= 185000 x 0.20 x 0.166666666

n= 2

S= 185000 D= 6,166.67

D=? 6,166.67

Valor nominal 185,000.00

Descuento 6,166.67

Valor anticipado 178,833.33 Por lo tanto, el señor Díaz recibe $ 178,833.33, que es el valor comercial del

documento el 15 de junio, ya que se aplicó el descuento comercial. Tal como se había

señalado al principio, el descuento se calculó con base en el valor nominal del pagaré.

Descuento real o justo.- a diferencia del descuento comercial o bancario este tipo de

descuento se lo aplica sobre el valor nominal del pagare, y para calcularlo se lo realiza

aplicando la fórmula de interés simple (valor presente):

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Aplicando los datos del ejercicio 8, se procede a calcular el descuento real.

Tabla de datos Solución

%= 20% S

i= 0.20 1 + in

t= 2 meses

n= 0.166666666

S= 185000 1 + (0.20 x 0.166666666)

D=? 5,967.74

1 + 0.033333333

C=

Valor nominal

Valor anticipado

Descuento

C=

C=185000

C=185000

185.000,00

179.032,26

5.967,74

C=185000

1,033333333

179.032,26

Conclusión: Como podemos darnos cuenta el descuento real es inferior al descuento

comercial.

Ejercicios resueltos

a) ¿Cuál es el descuento comercial de un documento que vence dentro de 5

meses, y que tiene un valor nominal de $ 3850, si se le descuenta a una tasa

de 18% tres meses antes de su vencimiento?

Tabla de datos Solución

%= 18% D= Sin

i= 0.18

t= 3 meses D= 3850 x 0.18 x 0.25

n= 0.25 (3/12)

S= 3850 D= 173,25

D=? 173.25

Valor nominal 3.850,00

Descuento 173,25

Valor anticipado 3.676,75 b) ¿Cuál es el descuento real del documento del ejercicio anterior?

C= ___S__

1+in

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 45

Tabla de datos Solución

%= 18% S

i= 0.18 1 + in

t= 3 meses

n= 0.25

S= 3850 1 + (0.18 x 0.25)

D=? 165.79

C=

Valor nominal

Valor anticipado

Descuento

3.850,00

3.684,21

165,79

C=3850

1,045

3.684,21

C=

C=3850

C=3850

1 + 0.045

Ejercicios propuestos

Hallar el valor actual al 6% de descuento simple:

a) $ 2000 con vencimiento en 1 año

b) $ 600 con vencimiento en medio año

c) $ 1500 con vencimiento en 3 meses

d) Un documento por $ 3000 a 240 días con intereses al 7%, fechado el

10 de agosto del 2017 fue descontado el 16 de febrero del 2018 al

5%. Hallar el importe de la operación.

Respuestas: a) $ 120; $ 1880, b) $ 18; $ 582, c) $ 22.50; $ 1,477.50, d) $ 3,078.19

Actividad de Aprendizaje IX de la Unidad Didáctica I:

Ecuaciones de valor equivalente

Muy a menudo ocurre que las empresas o personas naturales realizan más de un

préstamo financiero lo que ocasiona elaborar un cálculo de lo que en realidad el

deudor debe de cancelar en cada uno de los períodos establecidos. Lo que en su

defecto da la determinación de ecuaciones de valor equivalente, estas permiten juntar

todas las deudas contraídas para realizar la cancelación mediante pagos únicos en

cada uno de los periodos.

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 46

Recomendaciones Metodológicas para la Resolución de Ecuaciones de Valor.

Lea detenidamente el problema, determine la información numérica y de

carácter literal existente, finalmente identifique la pregunta y establezca la

incógnita para el planteamiento de la ecuación.

Grafique la información en la Recta de Tiempos; el gráfico siempre será de

extremada utilidad, sin embargo, en problemas de fácil interpretación, puede

omitir el gráfico.

Ubique la Fecha Focal, es muy conveniente ubicarla en la incógnita, en el caso

del Interés Simple la fecha focal se ubicará de acuerdo con la información

existente, en los demás casos, puede ubicarla en cualquier parte y obtendrá el

mismo resultado.

Verifique que el tiempo esté expresado en las mismas unidades y de acuerdo

con el tiempo que indica la tasa de interés o rédito; no se olvide que la tasa de

interés, mientras no se diga lo contrario, es anual y que el año tiene 360 días

(año comercial).

Plantee la ecuación de valor, reemplace los términos de la ecuación por las

fórmulas de cálculo y finalmente por los valores conocidos, la ecuación

resultante podrá ser resuelta como cualquier ecuación lineal o de primer grado.

Optimice el uso de la calculadora, fije dos decimales, utilice paréntesis,

memorias y todos los demás recursos que dispone su máquina, de manera que

evite al máximo el redondeo de operaciones.

Para comprobar el resultado obtenido puede utilizar los programas de cálculo

que se encuentran almacenados en el CD adjunto al texto; estos programas

están desarrollados en la Hoja Electrónica de Cálculo Excel, para versión 2010

en adelante.

Ejemplo 9:

Una persona contrajo una deuda hace 8 meses por $200 000 con 40% de interés

simple, que vence dentro de 4 meses. Además, debe pagar otra deuda de $150 000

contraída hace 2 meses, con 35% de interés simple y que vence dentro de dos meses.

Considerando un interés de 42%, ¿qué pago deberá hacer hoy para saldar sus

deudas, si se compromete a pagar $100 000 dentro de 6 meses?

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 47

A su vencimiento, el valor de la primera deuda (A) es:

200000 [1 + 0.40(1)]

200000 (1.4) = 280000

Mientras que su valor en la fecha focal asciende a:

280000

1 + (0.42)(0.333333333)=

280000

1.14= 245614.04

A su vencimiento, el valor de la segunda deuda (B) es:

150000 [1 + 0.35 (0.333333333)] = 167500

Y su valor en la fecha focal:

167500

1 + (0.42)(0.166666666)=

167500

1.07= 156542.06

El valor de $100000 en la fecha focal (C) es:

100000

1 + (0.42)(0.50)=

100000

1.21= 82644.63

Y finalmente como resultado tenemos la suma de A + B y restamos C:

X= 245614.04 + 156542.06 - = 82644.63

X= 319.511.47

Ejercicios propuestos

a) Un comerciante adquiere artículos para su negocio por un valor de $

8600 pagando de contado el 30% y el resto con financiamiento directo del

proveedor; dos meses más tarde realiza un pago de $ 2000 quedando en saldar

la deuda mediante un pago final después de 6 meses. Encontrar el valor del

pago final considerando que el dinero se financia al 7%.

b) Un empresario adquiere una deuda de $ 7500 para pagarse en 10

meses con interés del 8%; tres meses más tarde se realiza un abono de $ 3000

quedando en saldar la deuda mediante un pago final en 2 meses antes del

vencimiento; encontrar el valor del pago final considerando para la liquidación

una tasa del 8.25%. Tómese como fecha focal en 8 meses.

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 48

c) Se adquiere una deuda de $ 70000 el día de hoy, si se realiza un pago

de $ 30000 dentro de 2 meses y se compromete a cancelar la deuda mediante

dos pagos iguales a 4 y 6 meses respectivamente, Cuál debe ser el valor de

dichos pagos si se considera un rendimiento del dinero del 11%. Tomar como

fecha focal en 6 meses.

d) Esteban solicita un préstamo de $ 1500 a pagar en 3 meses con un

interés del 10%; otro préstamo de $ 5000 a pagar en 10 meses con un interés

del 9%. En común acuerdo con los acreedores se va a liquidar las deudas

mediante un pago único en 5 meses; hallar el valor del pago único si en la

liquidación se aplica una tasa del 9.5%. Tomar como fecha focal en cinco

meses.

e) Una empresa debe $ 5000 con vencimiento en 3 meses, $ 2000 con

vencimiento en 6 meses y $ 4800 con vencimiento en 9 meses; desea liquidar

sus deudas mediante dos pagos iguales con vencimiento en 6 meses y 12

meses respectivamente. Determinar el importe de cada pago suponiendo para

la liquidación un rendimiento del 6% y tomando como fecha focal la fecha de

un año.

Respuestas: a) $ $ 4.184,03; b) $ 4.788,37; c) $ 21.180,44; d) $ 6.732,18; e) $

5.988,67

Unidad didáctica II:

Título de la Unidad Didáctica I: Interés compuesto

Introducción de la Unidad Didáctica II: El dinero y el tiempo son dos factores que

se encuentran estrechamente ligados con la vida de las personas y de los negocios.

Cuando se generan excedentes de efectivo, se ahorran durante un periodo

determinado a fin de ganar un interés que aumente el capital original disponible; en

otras ocasiones, en cambio, se tiene necesidad de recursos financieros durante un

tiempo y se debe pagar un interés por su uso. En periodos cortos por lo general se

utiliza, como ya se vio, el interés simple. En períodos largos, sin embargo, se utilizará

casi exclusivamente el interés compuesto.

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 49

Objetivo de la unidad didáctica II:

Aplicar los conceptos básicos y fórmulas de interés compuesto, para el cálculo del

monto y valor presente de una deuda de manera responsable; y, mediante el análisis

profesional se dará solución al nivel de endeudamiento por parte de las empresas.

Organizador Grafico de la Unidad II:

Actividades de Aprendizaje de la Unidad Didáctica II:

Actividad de Aprendizaje I de la Unidad Didáctica II:

Introducción y conceptos básicos

En el interés simple el capital original sobre el que se calculan los intereses permanece

sin variación alguna durante todo el tiempo que dura la operación. En el interés

compuesto, en cambio, los intereses que se generan se suman al capital original en

periodos establecidos y, a su vez, van a generar un nuevo interés adicional en el

siguiente lapso.

En este caso se dice que el interés se capitaliza y que se está en presencia de una

operación de interés compuesto.

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 50

En estas operaciones, el capital no es constante a través del tiempo, pues aumenta al

final de cada periodo por la adición del interés ganado de acuerdo con la tasa

convenida.

Período de capitalización. - el periodo de capitalización lo podemos definir como el

número de veces que el capital se capitaliza, ya que este puede ser convertido anual,

semestral, trimestral o mensual.

Por ejemplo, podemos citar: ¿Cuál es el período de conversión de un depósito que

gana el 6% de interés capitalizable semestralmente?

Para este la convertibilidad está dada semestralmente lo que implica considerar que

durante un año existen 2 semestres, por lo tanto:

Un año 12 meses

Un semestre 6 meses= = 2

En este ejemplo el período de conversión es de 2

Tasa de interés compuesto. - La tasa de interés compuesto se diferencia de la simple

puesto que en esta sufre una conversión de acuerdo al período de convertibilidad o

conversión, cabe destacar que por lo general la tasa está dada anualmente y

dependiendo del acuerdo entre las partes puede ser considerada mensual, trimestral,

etc. En el caso que no se indique alguna capitalización, se entiende que ésta es anual.

Es muy importante que, para la solución de cualquier problema de interés compuesto,

el interés anual sea convertido a la tasa que corresponda de acuerdo con el periodo

de capitalización que se establezca; si el interés se capitaliza mensualmente el interés

anual debe transformarse en interés mensual; si es trimestralmente, a interés

trimestral, etcétera.

El periodo de capitalización y la tasa de interés compuesto siempre deben ser

equivalentes

NOTA IMPORTANTE: Para la solución de cualquier problema de interés compuesto, el interés anual sea convertido a la tasa que corresponda de acuerdo con el periodo de capitalización que se establezca; si el interés se capitaliza mensualmente el interés anual debe transformarse en interés mensual; si es trimestralmente, a interés trimestral, etcétera.

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 51

Ejemplo 10:

Un depósito de $ 20000 a 10 años. La tasa de interés es la misma en ambos casos:

12% anual. En el interés simple éste no se capitaliza, en tanto que el interés

compuesto lo hace cada año.

0 20.000,00 20.000,00

1 22.400,00 22.400,00

2 24.800,00 25.088,00

3 27.200,00 28.098,56

4 29.600,00 31.470,39

5 32.000,00 35.246,83

6 34.400,00 39.476,45

7 36.800,00 44.213,63

8 39.200,00 49.519,26

9 41.600,00 55.461,58

10 44.000,00 62.116,96

Monto a interes

simple S= C(1 +in)

Monto a interes

compuesto S= C(1+i)nAño

Como podemos observar en el interés simple el valor del interés es constante,

mientras que el valor del interés compuesto varía conforme van pasando los periodos.

Ejercicios resueltos

a) Una cierta cantidad de dinero es invertida por 5 años 4 meses, al 8% convertible

trimestralmente. Hallar la tasa de interés por período de conversión y el número

de períodos.

Un año 12 meses

Un trimestre 3 meses= = 4

Por lo tanto, i= (0.08/4) ==> 0.02 y n= {(5*4) +4} ==> 24 períodos

b) Una cierta cantidad de dinero es invertida del 10 de octubre del 2011 al 10 de

enero del 2018, al 10% convertible cuatrimestralmente. Hallar la tasa de interés

por período de conversión y el número de períodos.

Un año 12 meses

Un cuatrimestre 4 meses= = 3

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Dìa Mes Año

10 13 2017

10 10 2011

0 3 6

Nota:

En este caso le pedimos un año al 2018,

por lo que en los meses sube a 13 y en a

ño queda 2017, de lo contrario no podrìa

mos restar.

Calculo de tiempo aproximado

Por lo tanto, i= (0.10/3) ==> 0.033333333 y n= {(6*3) +3} ==> 21 períodos.

Ejercicios propuestos

1. ¿Cuál es la tasa de interés por periodo de:

a) 30% anual capitalizable mensualmente?

b) 16% anual capitalizable trimestralmente?

c) 2% trimestral?

d) 15% anual?

e) 18% anual capitalizable semestralmente?

f) 18% anual capitalizable mensualmente?

g) 0.5% mensual?

Respuestas: a) 0.025, b) 0.04, c) 0.005, d) 0.15, e) 0.09, f) 0.015, g) 0.000416667

2. ¿Cuál es la frecuencia de conversión de los ejemplos del problema anterior?

Respuestas: a) 12, b) 4, c) 4, d) 1, e) 2, f) 12, g) 12

Orientaciones tarea: Para poder desarrollar el trabajo extraclase se debe guiar en las fórmulas iniciales y se procede al despeje para encontrar cada una de las incógnitas.

Por lo general, la tasa de interés se expresa en forma anual. Además, junto con ella se indica, si es necesario, su periodo de capitalización. Si el interés se expresa sin mención alguna respecto de su capitalización, se entiende que ésta es anual.

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Actividad de Aprendizaje II de la Unidad Didáctica II:

Monto

El monto compuesto es aquel valor que se obtiene del resultado de ir sumando al

capital original el interés compuesto que se obtiene en cada uno de los períodos, para

calcular el monto se aplica la siguiente formula:

S= C (1+i)n

Ejemplo 10:

Se depositan $ 5000 en un banco a una tasa de interés de 8% anual capitalizable

trimestralmente. ¿Cuál será el monto acumulado en 3 años?

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En primer lugar, se debe convertir tanto el tiempo como la tasa de interés al período

de conversión establecido que para este caso es trimestralmente.

Para calcular la tasa de interés mensual, se divide la tasa anual entre la frecuencia de

conversión:

0.08

4

i= 0.02

i=

i=

Tasa de interes anual

Frecuencia de conversion

Mientras que, para determinar n, se multiplica el lapso en años por la frecuencia de

conversión:

Tabla de datos:

Solución

C= 5000 S= C (1 + i)n

%= 8% S= 5000 (1 + 0.02)12

i= 0.08/4 = 0.02 S= 5000 (1.02)12

t= 3 años S= 5000 (1.268241795)

n= 12 (3 x 4) S= 6,341.21

I= $ 1,341.21 (6.341.21 - 5000)

S=? $ 6,341.21

Ejercicios resueltos

El monto compuesto será el que se obtenga al

añadir al capital original el interés compuesto

generado, y se determinará utilizando la fórmula

M = C(1 + i)n

donde i = tasa de interés por periodo

y n = número de periodos de capitalización.

n= Tiempo x Frecuencia de conversion

n= 3 x 4

n= 12

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a) Se invierten $ 2000 durante 6 años al 9% convertible cuatrimestralmente. ¿Cuál

será el interés compuesto?

Tabla de datos: Solución

C= 2000 S= C (1 + i)n

%= 9% S= 2000 (1 + 0.03)18

i= 0.09/3 = 0.03 S= 2000 (1.03)18

t= 6 años S= 2000 (1.702433061)

n= 18 (6 x 3) S= 3,404.87

I=? $ 1,404.87 (3,404.87 - 2000)

S= $ 3,404.87

b) El 20 de marzo del 2001, se invirtieron $ 50 en un fondo que pagaba el 10%

convertible mensualmente. ¿Cuál era el importe del fondo al 20 de Septiembre

del 2017?

Tabla de datos: Solución

C= 50 S= C (1 + i)n

%= 10% S= 50 (1 + 0.008333333)198

i= 0.10/12 = 0.008333333 S= 50 (1.008333333)198

t= 16 años y medio S= 50 (5.171500907)

n= 198 {(16 x 12) + 6} S= 258.58

I= $ 208.58 (258.58 - 50)

S=? $ 258.58

Ejercicios propuestos

1. Hallar el monto compuesto de $ 100 al 5% por:

a. 10 años,

b. 20 años.

c. 30 años.

Orientaciones tarea: Para poder desarrollar el trabajo extraclase se debe guiar en las fórmulas iniciales y se procede al despeje para encontrar cada una de las incógnitas.

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En forma aproximada ¿cuándo el monto compuesto es el doble del capital

original?

Respuestas. (a) $ 169.89, (b) $ 265.33, (c) $ 432.19

2. Determine el interés que gana en un año un depósito de $1000 en:

a) Una cuenta de ahorros que paga 20% de interés anual compuesto

semestralmente.

b) Una cuenta de valores que paga 20% de interés anual convertible

trimestralmente.

c) Una cuenta de valores que paga 20% de interés anual pagadero

mensualmente.

Respuestas. (a) $1,210, (b) $ 1,215.51, (c) $ 1,219.39

Actividad de Aprendizaje III de la Unidad Didáctica II:

Tasa nominal, tasa efectiva y tasa equivalente

Se dice que dos tasas anuales de interés con diferentes períodos de conversión son

equivalentes su producen el mismo compuesto al final de un año.

Cuando el interés es convertible más de una vez en el año, la tasa anual dada se

conoce como tasa nominal, mientras que la tasa de interés efectivamente ganada en

un año se le conoce como tasa efectiva anual.

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Ejemplo 11:

¿Cuál es la tasa efectiva de interés que se recibe de un depósito bancario de $ 1000

pactado a 18% de interés anual convertible mensualmente?

Tabla de datos: Solución

C= 1000 S= C (1 + i)n

%= 18% S= 1000 (1 + 0.015)12

i= 0.18/12 = 0.015 S= 1000 (1.015)12

t= 1 año S= 1000 (1.195618171)

n= 12 (1 x 12) S= 1,195.62

I= $ 195.62 (1,195.62 – 1,000.00)

S=? $ 1,195.62

Por lo tanto, a tasa equivalente a una tasa anual de 18% convertible mensualmente

es de 19.56% convertible anualmente.

Otra manera de calcular la tasa equivalente es la siguiente: sea i la tasa anual efectiva

de interés, j la tasa de interés anual nominal y m el número de periodos de

capitalización al año, lo que establece que ambas tasas son equivalentes si producen

el mismo interés al cabo de un año.

Por lo tanto, C (1 + i) = C (1 + j/m)m

Lo que nos da como resultado la siguiente formula.

(1 + i) = (1 + j/m)m

i = (1 + j/m) m – 1

Para ejemplarizar tomamos los datos del ejercicio anterior.

i = (1 + j/m)m – 1

i = (1 + 0.015)12 – 1

i = (1.015)12 – 1

i = 1.195618 – 1

I

C

195.62

1000

i= 0.1956

i=

i=

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i = 0.195618

i= 19.56 %

Ejercicios resueltos

1. ¿Cuál es la tasa efectiva que se paga por un préstamo bancario de $250000

que se pactó a 16% de interés anual convertible trimestralmente?

Solución

i = (1 + j/m)m – 1

i = (1 + 0.04)4 – 1

i = (1.04)4 – 1

i = 1.169859 – 1

i = 0.169859

i= 16.98 %

2. Hallar la tasa efectiva i equivalente a j= 0.0525 convertible trimestralmente en

un año.

Solución

i = (1 + j/m)m – 1

i = (1 + 0.013125)4 – 1

i = (1.013125)4 – 1

i = 1.053542 – 1

i = 0.053542

i= 5.35 %

Cuando se trabaja con interés compuesto, es de

importancia fundamental que la tasa de interés

que se maneje sea exactamente la del periodo de

capitalización establecido. Las tasas de interés se

expresan comúnmente en forma anual que indica,

cuando es necesario, sus periodos de

capitalización.

Orientaciones tarea: Para poder desarrollar el trabajo extraclase se debe guiar en las fórmulas iniciales y se procede al despeje para encontrar cada una de las incógnitas.

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Ejercicios propuestos

Hallar la tasa nominal convertible:

a) Anualmente es equivalente al 6% convertible trimestralmente

b) Trimestralmente equivalente al 5% convertible semestralmente.

c) Mensualmente equivalente al 5% convertible semestralmente.

Actividad de Aprendizaje IV de la Unidad Didáctica II:

Valor actual o presente.

Al igual que en interés simple hay casos en los que se conoce el valor del monto a

cancelar pero no el valor inicial del crédito a una tasa determinada y a un tiempo

establecido, a ese valor no conocido se le denomina valor presente o valor actual,

para ello se emplea la fórmula del monto S = C (1 + i)n y si despejamos C la fórmula

para calcular el valor presente es:

C = S (1 + i)-n

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Ejemplo 12:

¿Cuánto debe depositarse en el banco si se desea tener un monto de $ 50000 dentro

de 3 años y la tasa de interés es de 20% anual convertible semestralmente?

Tabla de datos: Solución

C= ? $ 28,223.70 C = S (1 + i)-n

%= 20% C= 50000 (1 + 0.10)-6

i= 0.20/2 = 0.10 C= 50000 (1.10)-6

t= 3 años C= 50000 (0.56447393)

n= 6 (3 x 2) C= 28,223.70

I= $ 21,776.30 (50000 – 28,223.70)

S= $ 50000

Ejercicios resueltos

1. Juan Marcet desea adquirir una casa con valor de $ 500000. Le pidieron que

entregue 50% de anticipo y 50% en un plazo de dos años y medio, al término

de la construcción y entrega del inmueble. ¿Cuánto dinero debe depositar en

el banco en este momento para poder garantizar la liquidación de su adeudo,

si la tasa de interés vigente es de 5% anual capitalizable trimestralmente?

Juan Marcet paga en este momento $ 250000 (50% de la operación), y debe

pagar otro tanto en un plazo de dos años y medio, como se aprecia en la

siguiente gráfica:

El valor actual a interés compuesto de una

deuda que vence en el futuro, es lo que se

adeuda al momento en que se calcula, es decir

no incluye los intereses a vencer en el futuro. El

monto es el valor futuro conocido cuyo valor

actual se desea hallar. Es decir, el monto es lo

que pagaré al vencimiento, por concepto de

capital más intereses.

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250000

0 1 2 2 1/2

250000

Tabla de datos: Solución

C=? $ 220,795.23 C = S (1 + i)-n

%= 5% C= 250000 (1 + 0.0125)-10

i= 0.05/4 = 0.0125 C= 250000 (1.0125)-10

t= 2 años y medio C= 250000 (0.883180926)

n= 10 (2.5 x 4) C= 220,795.23

I= $ 29,204.77 (250000 – 220,795.23)

S= $ 250000

2. Una compañía minera ha descubierto una veta de manganeso en un país

latinoamericano y debe decidir la conveniencia o inconveniencia de su

explotación. A fi n de poder beneficiar el mineral es necesario realizar una

inversión de $350 000. Sus analistas financieros estiman que la veta producirá

sólo durante 3 años y, de acuerdo con el precio vigente del metal, los ingresos

serían los siguientes: 1er. año 100000, 2o. año 200000 y 3er. año 300000. Si

la tasa de inflación promedio de los próximos tres años es de 40%, ¿resulta

rentable la inversión?

Tabla de datos: Solución

C=? 71,428.57 C = S (1 + i)-n

%= 40% C= 100000 (1 + 0.40)-1

i= 0.40 C= 100000 (1.40)-1

t= 1 año C= 100000 (0.714285714)

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n= 1 C= 71,428.57

I= $ 28,571.43 (100000 – 71,428.57)

S= $ 100000

Tabla de datos: Solución

C=? 102,040.82 C = S (1 + i)-n

%= 40% C= 200000 (1 + 0.40)-2

i= 0.40 C= 200000 (1.40)-2

t= 2 años C= 200000 (0.510204081)

n= 2 C= 102,040.82

I= $ 97,959.18 (200000 – 102,040.82)

S= $ 200000

Tabla de datos: Solución

C=? 109,329.45 C = S (1 + i)-n

%= 40% C= 300000 (1 + 0.40)-3

i= 0.40 C= 300000 (1.40)-3

t= 3 años C= 300000 (0.364431486)

n= 3 C= 109,329.45

I= $ 190,670.55 (300000 – 109,329.45)

S= $ 300000

El valor presente total ($ 282,798.84) es la sumatoria de todos los valores actuales

calculados:

Primer año 71,428.57

Segundo año 102,040.82

Tercer año 109,329.45

282,798.84

Ejercicios propuestos

Hallar el valor presente de:

a) $ 1500 pagaderos en 10 años al 5%

b) $ 2000 pagaderos en 8 ½ años al 5% convertible semestralmente

c) $ 5000 pagaderos en 6 años al 4.8% convertible trimestralmente

d) $ 4000 pagaderos en 5 años 5 meses al 6% convertible semestralmente

Orientaciones tarea: Para poder desarrollar el trabajo extraclase se debe guiar en las fórmulas para calcular el monto o valor futuro a interés compuesto.

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e) $ 4000 pagaderos en 5 años 4 meses al 6% convertible trimestralmente

Respuestas: a) $ 920.87, b) $ 1314.39, c) $ 3755.20, d) $ 2903.96, $ 2904.13 e) $

2911.50, $ 2911.58

Actividad de Aprendizaje V de la Unidad Didáctica II:

Tiempo

Como ya se mencionó, la fórmula 3.3 puede utilizarse para resolver cualquier

problema de interés compuesto, pues en ella están involucradas todas las variables

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 64

que lo determinan: monto, capital, tiempo y tasa de interés; conociendo tres de ellas

se despeja y determina la cuarta.

long (S/C)

long (1 + i)n=

Ejemplo 13:

¿En cuánto tiempo se duplicará una inversión de $1000 si se considera una tasa de

interés del 36% anual convertible mensualmente?

Tabla de datos Solución

C= 1000 long (S/C)

%= 36% long (1 + i)

i= 0.03 (0.36/12)

t= ? 1 año y 11 meses y 11 dias long (2000 / 1000)

n= ? 23.45 long (1 + 0.03)

I= 1000

S= 2000

0.301029995

0.012837224

n= 23.45

n=

long 2

long (1.03)

n=

n=

n=

Se necesitan 23.45 meses para que el capital invertido se duplique dada una tasa de

3% mensual.

¿En cuánto tiempo se duplicará una inversión de $1000 si se considera una tasa de

interés del 24% anual también convertible mensualmente?

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 65

Tabla de datos Solución

C= 1000 long (S/C)

%= 24% long (1 + i)

i= 0.02 (0.24/12)

t= ? 2 años y 11 meses long (2000 / 1000)

n= ? 35 long (1 + 0.02)

I= 1000

S= 2000

0.301029995

0.008600172

n= 35

n=

long 2

long (1.02)

n=

n=

n=

Se necesitan 35 meses para que el capital invertido se duplique dada una tasa de 2%

mensual.

Ejercicios resueltos

a) ¿En qué tiempo un monto de $ 2500 será $ 3500 al 6% convertible

trimestralmente?

Tabla de datos Solución

C= 2500 long (S/C)

%= 6% long (1 + i)

i= 0.015 (0.06/4)

t= ? 5 años 2 meses y 216 dias long (3500 / 2500)

n= ? 22.60 long (1 + 0.015)

I= 1000

S= 3500

0.146128035

0.006466042

n= 22.60

n=

long 1.4

long (1.015)

n=

n=

n=

Tiempo equivalente y se indicó que especifica la

fecha en la cual pueden ser liquidadas con un

pago único dos o más deudas.

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 66

b) ¿Qué día deberá invertir $10000 el matemático Gutiérrez para disponer de

$10512 el 11 de mayo? Suponga que la inversión genera intereses del 13%

compuesto por semanas.

Tabla de datos Solución

C= 10000 long (S/C)

%= 13% long (1 + i)

i= 0.0025 (0.13 / 52)

t= ? 140 dias long (10512 / 10000)

n= ? 20 long (1 + 0.0025)

I= 512

S= 10512

0.021685352

0.001084381

n= 20

n=

long 1.0512

long (1.0025)

n=

n=

n=

Ejercicios propuestos

¿Cuantos años se necesitarán para que:

a) $ 1500 aumenten al doble, al 6% convertible trimestralmente?

b) Un capital de $ 2500 se $ 6000 al 5% convertible semestralmente?

c) Un capital de $ 4000 se $ 5000 al 4% convertible mensualmente?

d) Un capital de $ 4000 se $ 7500 4.6% convertible trimestralmente?

Respuestas: a) 11.64, b) 17.73, c) 5.59, d) 13.74

Orientaciones tarea: Para poder desarrollar el trabajo extraclase se debe guiar en las fórmulas para calcular el monto o valor futuro a interés compuesto.

NOTA IMPORTANTE: Como se calculó el tiempo y tanto por ciento en semanas (52 semanas al año), para conocer la fecha exacta se multiplica el resultado por 7 días que tiene la semana y ese valor haciendo uso de la tabla de tiempo da como resultado que el préstamo debió realizarse 22 de diciembre del año anterior.

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 67

Actividad de Aprendizaje VI de la Unidad Didáctica II:

Tasa de interés

Las tasas de interés compuesto no son proporcionales exactamente en el tiempo.

Para determinar la tasa de interés conociendo las otras variables mediante la

aplicación de la siguiente fórmula:

𝒊 = (𝑺

𝑪)

𝟏/𝒏

− 𝟏

Ejemplo 14:

¿A qué tasa de interés se deben depositar $ 15000 para disponer de $ 50000 en un

plazo de 5 años? Considere que los intereses se capitalizan:

a) Semestralmente

𝒊 = (𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎

𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎)

𝟏/𝟏𝟎

− 𝟏

i= (3.333333333)0.10 -1

i= 1.127944873 – 1

i= 0.127944873

Dada una tasa de 12.79% semestral (25.58% anual nominal), $15 000 se convertirán

en $ 50000 en 5 años.

b) Trimestralmente

𝒊 = (𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎

𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎)

𝟏/𝟐𝟎

− 𝟏

i= (3.333333333)0.05 -1

i= 1.062047491 – 1

i= 0.06204749

Si la frecuencia de conversión se incrementa, la tasa anual nominal requerida

disminuye a 24.8% (0.06204749 × 4 = 0.24818996).

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 68

c) Mensualmente

𝒊 = (𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎

𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎)

𝟏/𝟔𝟎

− 𝟏

i= (3.333333333)0.016666666 -1

i= 1.020268893 – 1

i= 0.020268893

Si la frecuencia de conversión es mensual, la tasa requerida es de 2.03% y la tasa

anual disminuye a 24.32%.

Ejercicios resueltos

¿Qué tasa de interés nominal ha ganado un capital de $ 20000 que se ha

incrementado a $ 50000 en 3 años, si dicho interés se capitaliza:

a) Mensualmente?

𝒊 = (𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎

𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎)

𝟏/𝟑𝟔

− 𝟏

i= (2.5)0.027777777 -1

i= 1.025779201 – 1

i= 0.025779201

Si la frecuencia de conversión es mensual, la tasa requerida es de 2.58% y la tasa

anual disminuye a 30.96%.

b) Trimestralmente?

𝒊 = (𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎

𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎)

𝟏/𝟏𝟐

− 𝟏

i= (2.5)0.083333333 -1

La tasa así expresada recibe el nombre de tasa

nominal =Jm, donde J es la tasa nominal anual

y m es el número de veces que se capitaliza

durante el año (frecuencia de conversión), y

debe distinguirse de la tasa efectiva por

periodo, i, que expresa el interés efectivo

generado (puede ser mensual, semestral,

anual, etc.). Se dice que dos tasas son

equivalentes cuando producen el mismo

interés efectivo en un periodo determinado.

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i= 1.079348438 – 1

i= 0.079348438

Si la frecuencia de conversión es trimestral, la tasa requerida es de 7.93% y la tasa

anual aumenta a 31.72%.

c) Semestralmente?

𝒊 = (𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎

𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎)

𝟏/𝟔

− 𝟏

i= (2.5)0.166666666 -1

i= 1.164993051 – 1

i= 0.16499305

Si la frecuencia de conversión es semestral, la tasa requerida es de 16.50% y la tasa

anual aumenta a 33%.

d) Anualmente?

𝒊 = (𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎

𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎)

𝟏/𝟏

− 𝟏

i= (2.5)1 -1

i= 2.5 – 1

i= 1.5

Si la frecuencia de conversión es anual, la tasa requerida es de 150%.

Ejercicios propuestos

¿A qué tasa de interés se deben depositar $ 2000 para disponer de $ 6000

en un plazo de 4 años? Considere que los intereses se capitalizan:

a) Cuatrimestralmente

b) Bimensualmente

c) Mensualmente

d) Semestralmente

Respuestas: a) 28.76%, b) 28.10%. c) 27.78% d) 29.44

Orientaciones tarea: Para poder desarrollar el trabajo extraclase se debe guiar en las fórmulas para calcular el monto o valor futuro a interés compuesto.

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 70

Actividad de Aprendizaje VII de la Unidad Didáctica II:

Ecuaciones de valores equivalentes

Una ecuación de valor no es otra cosa que igualar a una fecha focal establecida cada

una de las obligaciones contraídas, de esta manera podemos decir que cuanto se trata

con interés simple dos conjuntos de obligaciones que son equivalentes en una cierta

fecha pueden no serlo en otra distinta. En interés compuesto, dos conjuntos de

obligaciones que son equivalentes en una fecha también lo son el cualquier otra.

Ejemplo 15:

Rafael Nadal debe a Rogger Federer $ 10000 pagaderos en 2 años y $ 30000

pagaderos en 5 años. Acuerdan que Nadal liquide sus deudas, mediante un pago

único al final de 3 años sobre la base de un rendimiento de 5% convertible

trimestralmente.

0

10000 30000

1 2 X 4 5

Solución: Designemos con X el pago requerido. Tomando el final del tercer año como

fecha focal, la deuda de $ 10000 está vencida en un año y su valor es 10000 (1.0125)4,

la deuda de $ 30000 vence en dos años y su valor es 30000 (1.0125)-8, mientras que

el valor del pago X es X en la fecha local. Igualando la suma de los valores de las

deudas con el valor del pago único en la fecha focal tenemos.

X= C (1 + i)n + S (1 + i)-n

X= 10000 (1.0125)4 + 30000 (1.0125)-8

X= 10000 (1.050945337) + 30000 (0.905398446)

X= 10,509.45 + 27,161.95

X= 37,671.40

Ejercicios resueltos

Una ecuación de valores equivalentes es la que se obtiene al igualar en una fecha de comparación o fecha focal dos flujos distintos de efectivo. Observe que se habla de dos flujos de efectivo y no de dos cantidades, pues un flujo de efectivo puede estar constituido por una o más cantidades que se pagan o se reciben en distintos momentos del tiempo.

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 71

Para comprar un automóvil se suscriben tres documentos de $ 15000 a pagar a 30,

60 y 90 días. Se decide liquidar la deuda con dos pagos iguales a 30 y 60 días

considerando una tasa de interés de 1.5% mensual. ¿Cuál es el importe de cada

pago?

0

15000

X X

31 2

15000 15000

X + X (1 + 0.015)-1 = 15000 + 15000 (1 + 0.015)-1 + 15000 (1 + 0.015)-2

X + X (1.015)-1 = 15000 + 15000 (1.015)-1 + 15000 (1.015)-2

X + X (0.985221674) = 15000 + 15000 (0.985221674) + 15000 (0.970661748)

X + 0.985221674X = 15000 + 14,778.32 + 14,559.93

1.985221674X = 44,338.25

44338.25

1.985221674X=

X = 22,334.16

Se deben pagar dos abonos de $ 22,334.16 para saldar la deuda.

Se decide pagar la compra de una maquinaria con valor de $ 80000 en dos pagos de

$ 40000 a 6 meses y un año, más intereses calculados a 20% de interés anual

convertible semestralmente. Luego del transcurso de un trimestre se renegocia la

compra y se determina pagarla mediante tres pagos trimestrales: el primero por $

15000, el segundo por $ 25000 y el tercero por la diferencia, considerando en este

segundo flujo un interés de 24% convertible trimestralmente. ¿Cuál es el importe del

último pago?

Solución: Primeramente, se debe de calcular el monto de los pagos requeridos

tomando en consideración la convertibilidad, así:

Primer pago Segundo pago

S= C (1 + i)n S= C (1 + i)n

S= 40000 (1 + 0.10)1 S= 40000 (1 + 0.10)2

S= 40000 (1.10)1 S= 40000 (1.10)2

S= 40000 (1.10) S= 40000 (1.21)

S= $ 44000 S= $ 48400

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 72

48400

4

X

0

44000

15000 25000

31 2

X+15000 (1 + 0.06)2+ 25000 (1 + 0.06)1 = 44000 (1 + 0.06)1 + 48400 (1 + 0.06)-1

X + 15000 (1.06)2 + 25000 (1.06)1 = 44000 (1.06)1 + 48400 (1.06)-1

X + 15000 (1.1236) + 25000 (1.06) = 44000 (1.06) + 48400 (0.88999644)

X + 16854 + 26500 = 46640 + 43,075.83

X + 43354 = 86715.83

X = 86715.83 - 43354

X = 46,361.83

La operación se liquida con el pago de $ 46,361.83

Ejercicios propuestos

a) Luciano Figueroa debe $ 3000 con vencimiento en 2 años sin intereses; y $

2000 con intereses al 4% convertible trimestralmente, pagaderos en 6 años.

Suponiendo un rendimiento del 5% convertible semestralmente, ¿Cuál sería

el pago único que tiene que hacer dentro de 4 años para liquidar sus

deudas?

b) Rocío Jurado obtiene un préstamo de $ 5000 con intereses al 5%

convertible semestralmente. Acepta pagar $ 1000 dentro de un año, $ 2000

en 2 años y el saldo en 3 años. Hallar el pago final.

Orientaciones tarea: Para poder desarrollar el trabajo extraclase se debe guiar en el procedimiento para resolver las ecuaciones de valor a interés compuesto.

NOTA IMPORTANTE: Para resolver problemas de este tipo, se usan gráficas (de tiempo valor) en las que se colocan las fechas de vencimiento, las obligaciones originales y de pagos, respectivamente. Las ecuaciones de valor se representan con la siguiente ecuación:

Ʃ deudas = Ʃ pagos

Ʃ deudas = Ʃ pagos

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c) Suponiendo una tasa efectiva del 4%, ¿con que pagos iguales X al final de

un año y al final de 3 años, es posible reemplazar las siguientes

obligaciones: $ 2000 con vencimiento en 3 años sin intereses, y $ 4000 con

intereses al 4% convertible semestralmente con vencimiento en 6 años?

d) José José tiene una deuda de $ 500 pagaderos en 2 años y otra de $ 750

pagaderos en 6 años se van a liquidar mediante un pago único dentro de 4

años. Hallar el importe del pago suponiendo un rendimiento del 4%

convertible trimestralmente.

e) Roberto Cabañas debe $ 1000 pagaderos dentro de 3 años. Si hace el de

hoy un pago de $ 400. ¿Cuál será el importe que tendría que hacer en 2

años para liquidar su deuda suponiendo un rendimiento del 5% convertible

semestralmente?

Respuestas: a) $ 5,612.08, b) $ 2,593.40, c) $ 3,127.33, d) $ 1,234.04, e) $ 510.29

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Actividad de Aprendizaje VIII de la Unidad Didáctica II:

Tiempo equivalente

El tiempo equivalente es el tiempo promedio de dos o más deudas. La fecha en la cual

las obligaciones, con vencimiento en fechas diferentes, pueden liquidarse mediante

un pago único igual a la suma de las distintas deudas, se conoce como la fecha

promedio de las deudas.

Ejemplo 16:

¿Cuál es el tiempo equivalente para el pago de unas deudas de $1000 con

vencimiento de 1 año y $3000 con vencimiento en 2 años suponiendo un rendimiento

de 4% convertible trimestralmente?

5 6 7 8

30001000

40 31 2

4000 (1 + 0.01)-4x = 1000 (1 + 0.01)-4 + 3000 (1 + 0.01)-8

4000 (1.01)-4x = 1000 (1.01)-4 + 3000 (1.01)-8

(1.01)-4x = 1000 (0.960980344) + 3000 (0.923483222)

4000

(1.01)-4x = 960.98 + 2770.45

4000

(1.01)-4x = 3,731.43

4000

(1.01)-4x = 0.9328575

-4X log (1.01) = log 0.9328575

X = log 0.9328575

-4 log 1.01

X = - 0.030184692

- 0.017285495

X = 1.75 años

Este resultado indica que, para liquidar la deuda con un pago único, se deberán

entregar $ 4000 transcurridos 1.75 años.

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 75

Ejemplo 17:

Una compañía adeuda al banco $ 150000 con vencimiento a 2 trimestres y $ 250000

con vencimiento a 6 trimestres. Desea liquidar la deuda con un pago único. ¿Cuál es

el tiempo equivalente suponiendo un interés de 4.5% trimestral?

40

150000

31 2 5 6 7 8

250000

400000 (1 + 0.045)-x = 150000 (1 + 0.045)-2 + 250000 (1 + 0.045)-6

400000 (1.045)-x = 150000 (1.045)-2 + 250000 (1.045)-6

(1.045)-x = 150000 (0.915729951) + 250000 (0.767895738)

400000

(1.045)-x = 137359.49 + 191973.93

400000

(1.045)-x = 329733.42

400000

(1.045)-x = 0.82433355

-X log (1.045) = log 0.82433355

X = log 0.82433355

- log 1.045

X = - 0.083897024

- 0.01911629

X = 4.39 trimestres

Este resultado indica que, para liquidar la deuda con un pago único, se deberán

entregar $ 400000 transcurridos 4.39 trimestres

Las ecuaciones de valores equivalentes, que

se presentaron en el capítulo 2, se aplicaron en

éste a la resolución de problemas en los que es

necesario igualar dos flujos de efectivo

(ingresos y egresos) utilizando interés

compuesto. A diferencia del interés simple, se

demostró que el resultado será el mismo sin

importar la fecha focal que se seleccione para

igualar los flujos.

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 76

Unidad didáctica III:

Título de la Unidad Didáctica III: Anualidades simples, ciertas, vencidas e

inmediatas

Introducción de la Unidad Didáctica III: En préstamos, como en adquisiciones de

bienes, generalmente los pagos que se efectúan son iguales en intervalos de tiempo

y todo indica que la medida común es un año, a menos que se indique lo contrario. A

veces sucede que son quincenales, mensuales, bimestrales, trimestrales, tanto para

tasas como para los pagos en el tiempo; cuando esto pasa, se habla de convertibilidad

de las tasas, cuando coincide tiempo y tasa y el pago de la deuda, o bien cuando

todos difieren. El cobro quincenal del sueldo, el pago mensual de la renta de la casa

o del departamento, los abonos mensuales para pagar un automóvil, el pago anual de

la prima de seguro, los dividendos semestrales sobre las acciones, etc. Es así que

hablamos de anualidades.

Objetivo de la unidad didáctica III:

Calcular el monto y valor presente de anualidades ciertas ordinarias, que permita un

análisis responsable de los fondos con los que cuenta una empresa, para la oportuna

toma de decisiones.

Organizador Grafico de la Unidad III:

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 77

Actividades de Aprendizaje de la Unidad Didáctica III:

Actividad de Aprendizaje I de la Unidad Didáctica III:

Introducción y terminología

Una anualidad se define como una serie de pagos generalmente iguales que se

realizan a intervalos de tiempo iguales. En su sentido más amplio, el concepto

anualidad se usa para indicar el pago o depósito de una suma fija a intervalos

regulares de tiempo, periodos que pueden ser mensuales, bimestrales, trimestrales,

cuatrimestrales, semestrales, etcétera. Algunos ejemplos de anualidades son:

Los pagos mensuales por renta.

El cobro quincenal o semanal de sueldos.

Los abonos mensuales a una cuenta de crédito.

Los pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida

Se conoce como intervalo o período de pago al tiempo que transcurre entre un pago

y otro, y se denomina plazo de una anualidad al tiempo que pasa entre el inicio del

primer periodo de pago y el final del último. Renta es el nombre que se da al pago

periódico que se hace. También hay ocasiones en las que se habla de anualidades

que, o no tienen pagos iguales, o no se realizan todos los pagos en intervalos iguales.

Nomenclatura

C

Representa el capital inicial, llamado también principal. Suele

representarse también por las letras A o P (valor presente).

S

Representa el capital final, llamado también monto o dinero incrementado.

Es el valor futuro de C.

R Es la renta, depósito o pago periódico.

% Es la tasa nominal de interés calculada para un periodo de un año. Se

expresa en tanto por uno o tanto por ciento.

i

Es la tasa de interés por periodo de tiempo y representa el costo o

rendimiento por periodo de capitalización de un capital ya sea producto de

un préstamo una cantidad que se invierte. Es el cociente de dividir la tasa

nominal entre la frecuencia de conversión.

t Es el tiempo que permanece prestado o invertido un capital.

n Es el número de periodos de que consta una operación financiera a

interés compuesto.

Finalmente, para estudiar las anualidades, tomando en cuenta su clasificación, en

cada caso, se deberán resolver los problemas siguientes:

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 78

1. Determinar el monto (M) o valor actual (C) de una serie de anualidades.

2. Establecer el valor de la anualidad (renta = R) en la etapa del monto o del valor

actual.

3. Precisar la tasa (i) en función del monto o del valor actual.

4. Determinar el tiempo (n) en los problemas de monto y de valor actual (más el

tiempo diferido, cuando se trate de esta clase de anualidades).

Actividad de Aprendizaje II de la Unidad Didáctica III:

NOTA IMPORTANTE: Es muy importante señalar que lo mismo que en el interés compuesto, en donde las variables n (números de pagos) e i (tasa de interés), se expresan en la misma medida de tiempo, en las anualidades se agrega una variable, la renta (R), que debe estar en la misma medida de tiempo.

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 79

Tipos de anualidades

A las anualidades las podemos clasificar según los siguientes criterios:

CRITERIO TIPO

a) Intereses Simples ---------- Generales

b) Tiempo Ciertas ---------- Contingentes

c) Pagos Ordinarias -------- Anticipadas

d) Iniciación Inmediatas ------- Diferidas

a) Tiempo. Este criterio de clasificación se refiere a las fechas de iniciación y de

terminación de las anualidades:

Anualidad cierta. Sus fechas son fijas y se estipulan de antemano. Por

ejemplo, al realizar una compra a crédito se fija tanto la fecha en que se

debe realizar el primer pago, como la fecha para efectuar el último.

Anualidad contingente. La fecha del primer pago, la fecha del último

pago, o ambas, no se fijan de antemano; depende de algún hecho que

se sabe que ocurrirá, pero no se sabe cuándo. Un caso común de

anualidad contingente son las rentas vitalicias que se otorgan a un

cónyuge tras la muerte del otro. El inicio de la renta se produce cuando

el cónyuge muere, pues se sabe que este morirá, pero no se sabe

cuándo.

b) Intereses. En este caso:

Anualidad simple. Cuando el periodo de pago coincide con el de

capitalización de los intereses. Un ejemplo muy simple seria el pago de

una renta mensual X con intereses del 1.8% mensuales.

Anualidad general. A diferencia de la anterior, el período de pago no

coincide con el período de capitalización: el pago de una renta semestral

con intereses de 30% anuales.

c) Pagos. De acuerdo con los pagos:

Anualidad vencida. También se la conoce como anualidad ordinaria y,

como su primer nombre lo indica, se trata de casos en los que los pagos

se efectúan a su vencimiento, es decir, al final de cada período de pago.

Anualidad anticipada. Es aquellas en la que los pagos se realizan al

principio de cada período.

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 80

d) Iniciación. De acuerdo con el momento en que se inicia:

Anualidad inmediata. Es el caso más común. La realización de los

cobros o pagos tiene lugar en el período que sigue inmediatamente a la

formalización del trato: hoy se compra a crédito un artículo que se va a

pagar en mensualidades, la primera de la cuales debe realizarse en ese

momento o en un mes después de adquirida la mercadería (anticipada

o vencida).

Anualidad diferida. Se pospone la realización de los cobros o pagos, el

día de hoy se compra un artículo a crédito, para pagar con abonos

mensuales, el primero de los cuales debe efectuarse 6 meses después

de adquirida la mercancía.

De acuerdo con las anteriores clasificaciones se pueden distinguir diversos tipos de

anualidades:

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 81

VencidasInmediatas

diferidas

Ciertas

AnticipadasInmediatas

diferidas

Simples

VencidasInmediatas

diferidas

Contingentes

AnticipadasInmediatas

diferidas

Anualidades

VencidasInmediatas

diferidas

Ciertas

AnticipadasInmediatas

diferidas

Generales

VencidasInmediatas

diferidas

Contingentes

AnticipadasInmediatas

diferidas

Actividad de Aprendizaje III de la Unidad Didáctica III:

NOTA IMPORTANTE: De estos 16 tipos de anualidades, el más común es el de las simples, ciertas, vencidas e inmediatas que, por esta razón, se analizará en primer lugar en la sección siguiente.

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Monto

El monto de las anualidades ordinarias o vencidas es la suma de los montos de todas

y cada una de las rentas que se realizan hasta el momento de realizar la última.

Ejemplo 18:

Una persona decide depositar $ 6,000.00 al fin de cada mes en una institución

financiera que le abonará intereses del 12% convertible mensualmente: el 1%

mensual durante 6 meses. Se pide calcular y conocer el monto que se llegue a

acumular al final del plazo indicado.

CONCEPTO CANTIDAD

Deposito al final del primer mes 6.000,00

Intereses por el segundo mes (6000 x 0.01) 60,00

Suma 6.060,00

Deposito al final del segundo mes 6.000,00

Monto al final del segundo mes 12.060,00

Intereses por el tercer mes (12060 x 0.01) 120,60

Deposito al final del tercer mes 6.000,00

Monto al final del tercer mes 18.180,60

Intereses por el cuarto mes (18180.60 x 0.01) 181,81

Deposito al final del cuarto mes 6.000,00

Monto al final del cuarto mes 24.362,41

Intereses por el quinto mes (24.362,41 x 0.01) 243,62

Deposito al final del quinto mes 6.000,00

Monto al final del quinto mes 30.606,03

Intereses por el sexto mes (30.606,03 x 0.01) 306,06

Deposito al final del sexto mes 6.000,00

Monto final (al termino del sexto mes) 36.912,09

Fórmula para calcular el monto futuro de una anualidad simple, cierta,

ordinaria

Se conoce la renta, la tasa nominal, la frecuencia de conversión y el plazo de tiempo,

y donde:

(1 + i)n - 1

iRS=

Tabla de datos

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R= el pago periódico de una anualidad,

i= la tasa de interés por período de interés,

n= el número de intervalos de pago,

S= el monto de una anualidad,

A= el valor presente de una anualidad.

Ejemplo 19: Aplicando los datos del ejercicio anterior, obtendremos los siguientes

resultados.

Tabla de datos

R= 6000

i= 0.01 (0.12/12)

n= 6

S= ? 36,912.09 (1 + 0.01)6 – 1

0.01

(1.01)6 – 1

0.01

1.061520151 – 1

0.01

0,061520151

0,01

S= (6,1520151)

S=

Solución

6000

36,912.09

6000S=

S= 6000

S= 6000

S= 6000

RS= (1 + i)n – 1

i

Ejercicios resueltos

NOTA IMPORTANTE: Como podemos darnos cuenta el valor del monto coincide tanto aplicando la fórmula de anualidad, como la de interés compuesto en cualquiera de los casos siempre será el valor del monto igual, indistintamente de la fórmula que se aplique.

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 84

Calcular el monto futuro de una serie de depósitos semestrales de $ 50,000.00 durante

2 años en una cuenta bancaria que rinde:

a) El 5% capitalizable cuatrimestralmente

Tabla de datos

R= 5000

%= 5%

i= 0.016666666 (0.05/3)

t= 2 años (1 + 0.016666666)6 – 1

n= 6 (2 x 3) 0.016666666

S= ? 31,278.13

(1.016666666)6 – 1

0.016666666

1.104260424 – 1

0.016666666

0.104260424

0.016666666

S= (6,255625714)

S=

Formula

5000

31,278.13

5000S=

S= 5000

S= 5000

S= 5000

RS= (1 + i)n – 1

i

b) El 6% capitalizable mensualmente

Tabla de datos

R= 5000

%= 6%

i= 0.005 (0.06/12)

t= 2 años (1 + 0.005)24

– 1

n= 24 (2 x 12) 0.005

S= ? 127,159.78

(1.005)24

– 1

0.005

1.127159776– 1

0.005

0.127159776

0.005

S= (25.43195524)

S=

Solución

5000

127,159.78

5000S=

S= 5000

S= 5000

S= 5000

RS= (1 + i)n – 1

i

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Ejercicios propuestos

a) En los últimos 10 años, Rajoy ha depositado $ 500 al final de cada año

en una cuenta de ahorro, la cual paga el 3 ½ %. ¿Cuánto había en la

cuenta después de haber realizado el décimo pago?

b) El día de hoy, Francescoli compra una anualidad de $ 2500 anuales

durante 15 años, en una compañía de seguro que utiliza el 3% anual. Si

el primer pago vence en 1 año. ¿Cuál fue el costo de la anualidad?

c) Luis Felipe ahorra $ 600 cada medio año y los invierte al 3% convertible

semestralmente. Hallar el valor del importe de sus ahorros después de

10 años.

d) ¿Qué cantidad se acumularía en un semestre si se depositaran $100

000 al finalizar cada mes en una cuenta de inversiones que rinde 6%

anual convertible mensualmente?

e) ¿Cuál es el monto de $20 000 semestrales depositados durante 4 años

y medio en una cuenta bancaria que rinde 12% capitalizable

semestralmente?

Respuestas: a) $ 5,865.70, b) $ 29,844.84, c) $ 13,874.20, d) $ 607,550.19, e) $

229,826.32

Una anualidad, se refiere a una serie de flujos

normalmente de un mismo monto y períodos

iguales. Pueden ser abonos o pagos y lo más

importante, no necesariamente deben ser de

periodicidad anual, sino mensual, quincenal,

bimestral etc.

Un ejemplo clásico de convenio es cuando

adquirimos un automóvil, aquí ya sabemos

cuándo principia y cuándo termina el plazo

que nos dan para liquidar nuestro auto.

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 86

Actividad de Aprendizaje IV de la Unidad Didáctica III:

Valor actual

Cuando la época del cálculo coincide con la iniciación de la serie de pagos o rentas,

el valor equivalente de la serie es actual. El lapso que transcurre entre la fecha de la

entrega del valor actual y el vencimiento de la primera anualidad será igual a cada

periodo que separa a las demás rentas.

Ejemplo 20:

Se tienen seis pagarés con vencimientos escalonados en forma trimestral cada uno

de $ 5,000.00, y se quieren liquidar el día de hoy, aplicando una tasa del 5%

trimestralmente.

Numero de cuota Operación C= R (1 + i)-n

Resultado

Primera cuota C= 5000 (1 + 0.05)-1

4.761,90

Segunda cuota C= 5000 (1 + 0.05)-2

4.535,15

Tercera cuota C= 5000 (1 + 0.05)-3

4.319,19

Cuarta cuota C= 5000 (1 + 0.05)-4

4.113,51

Quinta cuota C= 5000 (1 + 0.05)-5

3.917,63

Sexta cuota C= 5000 (1 + 0.05)-6

3.731,08

VALOR ACTUAL DE LA DEUDA 25.378,46

Por lo tanto, ¿Qué cantidad habrá que invertir al 5% trimestralmente para tener

derecho a recibir seis rentas de $ 5.000,00 cada una? De acuerdo a la resolución

anterior, se sabe que el valor actual de la deuda es de $ 25.378,46. Comprobemos si

con el importe de seis pagos de $ 5,000.00 cada uno el deudor salda su cuenta.

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 87

CONCEPTO CANTIDAD

Capital invertido 25.378,46

Intereses del primer trimestre (0.05) 1.268,92

Suma 26.647,38

Menos el pago de la primera cuota 5.000,00

Saldo al final del primer trimestre 21.647,38

Intereses sobre el saldo (0.06 1.082,37

Suma 22.729,75

Menos el pago de la segunda cuota 5.000,00

Saldo al final del segundo trimestre 17.729,75

Intereses sobre el saldo (0.06 886,49

Suma 18.616,24

Menos el pago de la tercera cuota 5.000,00

Saldo al final del tercer trimestre 13.616,24

Intereses sobre el saldo (0.06 680,81

Suma 14.297,05

Menos el pago de la cuarta cuota 5.000,00

Saldo al final del cuarto trimestre 9.297,05

Intereses sobre el saldo (0.06 464,85

Suma 9.761,90

Menos el pago de la quinta cuota 5.000,00

Saldo al final del quinto trimestre 4.761,90

Intereses sobre el saldo (0.06 238,10

Suma 5.000,00

Menos el pago de la sexta cuota 5.000,00

Fórmula para calcular el valor presente de una anualidad simple, cierta,

ordinaria

1 - (1 + i)-n

iRC=

NOTA IMPORTANTE: El valor presente o actual de las anualidades ordinarias se puede presentar en alguna de estas dos modalidades:

a) Como el descuento de una serie de anualidades, que vencen escalonadamente y están separadas por intervalos iguales de tiempo.

b) Como la determinación de un capital que, invertido a interés, proporciona una serie de rentas futuras.

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 88

Ejercicios resueltos

a) Empleando los datos del ejercicio anterior, calcular su valor presente o valor

actual.

Tabla de datos

R= 5000

%= 5%

i= 0.05

n= 6 1 - (1 + 0.05)6

S= ? 25,378.46 0.05

1 - (1.05)6

0.05

1 - 0.746215396

0.05

0.253784603

0.05

(5.075692067)

C=

C=

Solución

5000

25,378.46

5000C=

C= 5000

C= 5000

C= 5000

RC= 1 - (1 + i)-n

i

b) ¿Cuál es el valor en efectivo de una anualidad de $ 2000 al final de cada 2

meses durante 3 años con un interés del 8% capitalizable bimestralmente?

Tabla de datos

R= 2000

%= 12%

i= 0.02 (0.12/6)

t= 3 años 1 - (1 + 0.02)-18

n= 18 (3 x 6) 0.02

S= ? 29,984.06

1 - (1.02)-18

0.02

1 - 0.700159375

0.02

0.299840625

0.02

(14.99203125)

C=

Solución

2000

29,984.06

2000C=

C= 2000

C= 2000

C= 2000

RC= 1 - (1 + i)-n

i

C=

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 89

Ejercicios propuestos

a) ¿Cuál es el valor actual de una renta trimestral de $ 4500 depositada al final

de cada uno de siete trimestres, si la tasa de interés es de 9% trimestral?

b) ¿Cuál es el valor en efectivo de una anualidad de $1000, que se pagan al

final de cada 3 meses durante 5 años, suponiendo un interés anual de 16%

convertible trimestralmente?

c) ¿Cuál es el valor actual de un refrigerador adquirido mediante 52 abonos

semanales “chiquititos”, vencidos, de $240? Considere un interés anual de

15% convertible semanalmente.

d) Hallar el valor presente de una anualidad de $ 100 al final de cada tres

meses durante 15 años, suponiendo un interés del 5% convertible

trimestralmente.

e) Hallar el valor presente de una anualidad de $ 500 trimestrales durante 8

años 9 meses, al 6% convertible trimestralmente.

Respuestas: a) $ 22,648.28, b) $ 13,590.33, c) $ 11,573.52, d) $ 4,203.46, e) $

13,537.80

Actividad de Aprendizaje V de la Unidad Didáctica III:

Literalmente, la palabra anualidad significa

“periodos de tiempo de un año”, en el campo de

las operaciones financieras tiene una definición

más amplia, ya que una anualidad estará

relacionada con periodos que no necesariamente

son anuales sino de cualquier magnitud:

semestres, meses, semanales o incluso diarios

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 90

Renta

Llamamos renta al valor que se cancela a intervalos iguales de pago. Para calcular la

renta de una anualidad simple, cierta, ordinaria, aplicamos las siguientes fórmulas

para calcular:

a) Si se conoce el capital inicial, la tasa de interés nominal o por periodo de

capitalización, la frecuencia de conversión y el plazo de tiempo o número de

periodos de capitalización:

Ci C

1 - ( 1+ i)-n

1 - ( 1+ i)-n

i

R= Ò R=

b) Si se conoce el monto futuro, la tasa de interés nominal o por periodo de

capitalización, la frecuencia de conversión y el plazo de tiempo o número de

periodos de capitalización:

Si S

( 1+ i)n

- 1 ( 1+ i)n - 1

i

R= Ò R=

Ejemplo 21:

¿Cuánto debe invertir el señor Wong al final de cada mes durante los próximos 10

años en un fondo que paga 10.5% convertible mensualmente con el objeto de

acumular $ 100000 al realizar el último depósito?

Aplicando ambas fórmulas tendremos los siguientes valores de R.

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 91

Tabla de datos

R=? 474.35

%= 10.50%

i= 0.00875 (0.105/12)

t= 10 años

n= 120 (10 x 12)

S= 100000

R=

Solución

R=S

i

(1 + i)n - 1

R=(1 + 0.00875)

120 - 1

100000

R=100000

2.844629618 - 1

0.00875

R=100000

(1.00875)120

- 1

0.00875

0.00875

R=100000

1.844629618

0.00875

R=100000

210.8148135

474.35

Tabla de datos

R=? 474.35

%= 10.50%

i= 0.00875 (0.105/12)

t= 10 años R=

n= 120 (10 x 12)

S= 100000

R=

R=

Solución

R=Si

(1 + i)n - 1

100000 (0.00875)

474.35

R=875

1.844629618

(1 + 0.00875)120

- 1

R=875

2.844629618 - 1

875

(1.00875)120

- 1

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 92

Ejemplo 22:

Una persona adquiere hoy a crédito una computadora cuyo precio es de $ 19750 y

conviene en pagarla con 4 mensualidades vencidas. ¿Cuánto tendrá que pagar cada

mes si se le cobran 1.8% mensual de interés?

Tabla de datos

R=? 5,161.67

%= 1.8%

i= 0.018

t= 4 meses

n= 4

C= 19750

R=

Solución

R=C

i

1 - (1 + i)-n

R=1- (1 + 0.018)

-4

19750

R=19750

1- (1.018)-4

0.018

0.018

R=19750

1- 0.931126931

0.018

$ 5,161.67

R=19750

0.068873068

19750

0.018

R=3.826281604

NOTA IMPORTANTE: Como nos podemos dar cuenta mediante la aplicación de cualquiera de las dos fórmulas el valor de la cuota es igual, lo que implica que el Sr. Wong debe realizar 120 abonos de $ 474.35 para poder reunir $ 100000

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 93

Tabla de datos

R=? 5,161.67

%= 1.8%

i= 0.018

t= 4 meses

n= 4

C= 19750

R= $ 5,161.67

R=355.50

0.068873068

R=355.50

1- 0.931126931

R=1- (1 + 0.018)

-4

19750 (0.018)

R=355.50

1- (1.018)-4

Solución

R=Ci

1 - (1 + i)-n

Ejercicios resueltos

a) ¿Cuál es la renta mensual que se requiere para obtener $30,760.08 durante 6

meses si se invierte con el 12% capitalizable mensualmente?

NOTA IMPORTANTE: Mediante la aplicación de cualquiera de las dos fórmulas el resultado de la operación va a resultar igual por lo tanto el valor a cancelar cada mes será $ 5,161.67 para cancelar un monto de $ 19,750.00

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 94

Tabla de datos

R=? 5000

%= 12%

i= 0.01 (0.12/12)

t= 6 meses R=

n= 6

S= 30760.08

R=

R=

Solución

R=Si

(1 + i)n - 1

30,760.08 (0.01)

5000

R=307.60

0.061520151

(1 + 0.01)6 - 1

R=307.60

1.061520151 - 1

307.60

(1.01)6 - 1

b) Enzo Francescoli compra un auto usado en $ 13500 y acuerda pagar $ 2250

de cuota inicial y la diferencia en 18 abonos mensuales, el primero con

vencimiento en un mes. Si el concesionario carga el 12% convertible

mensualmente, ¿Cuál es el valor del abono mensual?

Tabla de datos

R=? 686.05

%= 12%

i= 0.01 (0.12/12)

t= 18 meses

n= 18

C= 11250

R= $ 686.05

R=11250

0.163982685

11250

0.01

R=16.39826858

0.01

R=11250

1- 0.836017314

0.01

R=1- (1 + 0.01)

-18

11250

R=11250

1- (1.01)-18

0.01

Solución

R=C

i

1 - (1 + i)-n

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 95

Problemas propuestos

a) Calcular los depósitos semestrales necesarios en una cuenta de ahorros

que paga el 8% con capitalización semestral, para obtener en 5 años un

capital de $ 20000.

b) Calcular los pagos por semestres vencido, necesarios para cancelar el

valor de $ 100.00 de una propiedad comprada a 8 años plazo con el

interés del 9% capitalizable semestralmente.

c) Un comerciante vende televisores en $ 6500 precio de contado. Para

promover sus ventas idea el siguiente plan de ventas a plazos con cargo

del 1% mensual de interés. Cuota inicial de $ 1200 y el saldo en 18

abonos mensuales. ¿Cuál es el valor de las mensualidades?

d) Para mantener en buen estado cierto puente es necesario repararlo cada

6 años con un costo de $ 85.000. El concejo del municipio al cual

pertenece el puente decide establecer una reserva anual para proveer

los fondos necesarios para las reparaciones futuras del puente. Si esta

reserva se deposita en una cuenta que abona el 8% de interés, hallar el

monto de la reserva anual.

Respuestas: a) 1,665.82, b) $ 8,901.54, c) $ 323.20, d) $ 11,586.81,

Al igual que en las anualidades vencidas, en algunos casos

se requiere conocer el valor de la renta para lo cual se

pueden utilizar las fórmulas para calcular el valor presente o

para el monto, dependiendo los datos con los que se cuente

(valor futuro o monto).

Una vez que se identifica, si se cuenta con el valor actual o

el monto de la anualidad, junto con el resto de los datos, se

sustituyen éstos en la fórmula correspondiente, se realizan

las operaciones que se puedan para simplificar la operación

y por último se despeja el valor de la renta.

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 96

Actividad de Aprendizaje VI de la Unidad Didáctica III:

Plazo

El plazo o tiempo de una anualidad se calcula por medio del número de períodos de

pago n.

Fórmulas para calcular el tiempo o plazo en una anualidad simple, cierta,

ordinaria.

Para el cálculo en este tipo de anualidades se tiene que tener en consideración lo

siguiente:

a) Si se conoce el monto futuro, la renta, la tasa nominal o la tasa efectiva por

período y la frecuencia de conversión:

M

Ri + 1Ln { }

n=Ln (1 + i)

b) Si se conoce el capital inicial, la renta, la tasa nominal o la tasa efectiva por

período y la frecuencia de conversión:

C

Ri

1Ln

n=Ln (1 + i)

1 -

Ejemplo 23:

¿Cuántos pagos deben realizarse para llegar a acumular $ 30,760.08 si se depositan

$ 5,000.00 mensuales con una tasa de interés del 12% compuesto mensual?

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 97

Tabla de datos Solución

R= 5000 S

%= 12% R

i= 0.01 (0.12/12)

t= ? 6 meses

n= ? 6 30,760.08

C= 30,760.08 5000

n=

n=

n=

Ln

n=

Ln 1.06152016

0.025928246

0.004321374

n=0.004321374

6.152016 x

n=

n=

0.004321374

0.06152016 +1Ln

6

Ln (1.01)

Ln { 0.01 + 1 }Ln (1 + 0.01)

Ln { 0.01 + 1 }

i + 1{ }Ln (1 + i)

Ejemplo 24:

¿Cuántos pagos bimestrales vencidos de $ 1,550.00 se tendrían que hacer para

saldar una deuda pagadera hoy de $8,000.00 si el 1er. pago se realiza dentro de 2

meses y el interés es del 2.75% bimestral? Expresar el resultado en años, meses y

días.

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Tabla de datos Solución

R= 1,550.00

%= 2.75 % C

i= 0.0275 R

t= ? 11 meses 9 dias

n= ? 5.642592

C= 8,000.00

8000

1550

{1 - 5161290323 x 0.0275}

{1 - 0.141935483}

Ln

0.066480056

0.01178183

n=

Ln1

Ln (1.0275)n=

1

{1 - x i}Ln

n=

Ln1

{1 -

Ln (1 + i)

n=Ln (1 + 0.0275)

x 0.0275}

Ln1

n=0.01178183

Ln1

n=0.01178183

0.858064517

5.642592

n=

1.165.413.533

0.01178183n=

Hay ocasiones en las que es necesario determinar el número de

pagos o de depósitos que se requieren para cubrir una anualidad

anticipada. Al igual que con las anualidades vencidas, el número

de rentas se puede determinar utilizando las fórmulas para

calcular el monto o el valor actual, dependiendo de los datos con

los que se cuente.

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 99

Ejercicios propuestos

a) ¿Cuántos pagos de $ 607.96 al final de mes tendría que hacer el

comprador de una lavadora que cuesta $8 500, si da $2 550 de enganche y

acuerda pagar 24% de interés capitalizable mensualmente sobre el saldo?

b) Una persona desea acumular $300 000. Para reunir esa cantidad decide

hacer depósitos trimestrales vencidos en un fondo de inversiones que rinde

12% anual convertible trimestralmente. Si deposita $5 000 cada fi n de

trimestre, ¿dentro de cuánto tiempo habrá acumulado la cantidad que

desea?

c) Pablo Neruda adquiere un auto de $ 3250 con una cuota inicial de $ 500.

Un mes después empezara una serie de pagos mensuales de $ 100 cada

uno. Si le cargan intereses de 12% convertible mensualmente. ¿Cuántos

pagos completos deberá hacer?

d) Al cumplir 45 años, Andrea depósito $ 1000 en un fondo que pago el 3 ½

%, y continúo haciendo depósitos similares cada año, el ultimo al cumplir

64 años. A partir de los 65 años Andrea desea realizar retiros anuales de $

2000. ¿Cuántos retiros podrá hacer?

Respuestas: a) 11, b) 105, c) 32, d) 19

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 100

Actividad de Aprendizaje VII de la Unidad Didáctica III:

Tasa de interés

Debido a que la tasa de interés se encuentra en el numerador y en el denominador de

las fórmulas de monto y valor actual de una anualidad simple, cierta, ordinaria, no se

puede despejar por lo que se usa para su cálculo, el procedimiento llamado de

prueba y error a base de iteraciones sucesivas.

También se puede utilizar una calculadora programable, calculadora financiera o una

computadora con software financiero.

a) Si se conoce el capital inicial, la renta, la frecuencia de conversión y el plazo de

tiempo o número de periodos de capitalización:

C = 1 - (1 + i)-n

R i

b) Si se conoce el monto futuro, la renta, la frecuencia de conversión y el plazo de

tiempo o número de periodos de capitalización:

S = (1 + i)n -1

R i

Ejemplo 25:

¿A qué tasa se aplicó una serie de 6 pagos mensuales de $ 5,000.00 cada uno, para

acumular, al final de los mismos, $30,760.08?

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 101

Tabla de datos

R= 5000

i= ? 0.01 M (1 + i)n

- 1

t= 6 meses R i

n= 6

C= 30,760.08 30,760.08 (1 + i)6- 1

5000 i

(1 + i)6- 1

i

Si i= 0.005 (1.005)6- 1

0.005

Si i= 0.012 (1.012)6- 1

0.012

Si i= 0.01 (1.01)6- 1

0.016.152015

Solución

=

=6.152.016

= 6.075501879

= 6.182906045

=

=

Ejemplo 26:

Un deudor requiere pagar hoy $ 175,000.00 pero al no disponer de esa cantidad

acuerda con el acreedor liquidar en 6 mensualidades de $ 31,000.00 cada una la 1ª

de ellas dentro de un mes.

NOTA IMPORTANTE: Mediante la aplicación de la técnica del tanteo hemos demostrado que el porcentaje de interés que se aplicó en esta operación fue del 12% anual es decir 0.01 corresponde la tasa de interés para en 6 meses cancelar un monto de $ 30,760.08.

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 102

Tabla de datos

R= 31000

i= ? 1.77 C 1 - (1 + i)-n

t= 6 meses R i

n= 6

C= 175000 175000 1 - (1 + i)-6

31000 i

1 - (1 + i)-6

i

Si i= 0.02 1 - (1.02)-6

0.02

Si i= 0.018 1 - (1.018)-6

0.018

Si i= 0.0177 1 - (1.0177)-6

0.01775.645169496

Solución

=

=5.645161

= 5.601430891

= 5.639434775

=

=

Para el cálculo de la tasa de interés en las anualidades ciertas

ordinarias, aplicamos dos fórmulas las mismas que están

relacionadas con el monto y el capital dependiendo del caso,

el resultado no se podrá realizar de manera directa y efectiva

lo cual en muchos de los casos puede ocasionar retraso al

momento de obtener dicho valor.

NOTA IMPORTANTE: En el caso que se conozca el capital de una anualidad, se aplica de igual manera el método de tanteo para ir verificando al azar cual es el porcentaje que se aplicó en una operación, para el caso de nuestro ejemplo la tasa mensual aplicada es del 1.77% para poder realizar retiros de $ 31000 cada mes.

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 103

Ejercicios propuestos

a) Calcular con qué tasa de rendimiento semestral se acumulan $ 400000

con 15 depósitos semestrales de $ 12000.

b) Lucero de la Mañana debe pagar hoy $ 350000. Como no tiene esa cantidad

disponible, platica con su acreedor y acuerda pagarle mediante 6 abonos

mensuales de $ 62000, el primero de ellos dentro de un mes. ¿Qué tasa de

interés va a pagar?

c) ¿A qué tasa nominal convertible semestralmente se acumulan $ 500000 en el

momento de realizar el último de 15 depósitos semestrales de $ 10 000?

Respuestas: a) 10.60%, b) 1.80%, c) 31.21%

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 104

Unidad didáctica IV:

Título de la Unidad Didáctica I: Anualidades anticipadas y diferidas

Introducción de la Unidad Didáctica IV: De acuerdo a su clasificación las

anualidades pueden ser de acuerdo a cuatro criterios:

Criterio Tipo de anualidad

a) Intereses Simples y generales

b) Tiempo Ciertas y contingentes

c) Pagos Vencidas y anticipadas

d) Iniciación inmediatas y diferidas

A partir de estas cuatro características se pueden presentar 16 tipos distintos de

anualidades, de las cuales las más comunes son las simples, ciertas, vencidas e

inmediatas (ASCVI), que se estudiaron en el capítulo anterior. Aunque hay varias

maneras de resolver los otros 15 tipos de anualidades, para simplificar el análisis se

acostumbra abordarlas a partir de las fórmulas ya vistas de las ASCVI.

Objetivo de la unidad didáctica IV:

Calcular anualidades anticipadas y diferidas, para la elaboración de diagramas de flujo

de caja en la toma de decisiones de manera transparente, mediante el desarrollo de

ecuaciones equivalentes.

Organizador Grafico de la Unidad IV:

ANUALIDADES ANTICIPADAS Y DIFERIDAS

Introducción

Monto y valor actual

anualidades anticipadas

Renta, plazo e interés

anualidades anticipadas.

Monto y valor actual

anualidades diferidas

Renta, plazo e interés

anualidades anticipadas.

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 105

Actividades de Aprendizaje de la Unidad Didáctica IV:

Actividad de Aprendizaje I de la Unidad Didáctica IV:

Introducción

Hasta el momento se han analizado las anualidades vencidas y algunos casos donde

se presentan; sin embargo, en la realidad, no todas las situaciones con pagos

constantes en tiempos iguales se refieren a anualidades de este tipo, existen

situaciones tales como la renta de un departamento, la cual no se paga al término del

mes sino al principio, o la compra de un coche donde los pagos se realizan el primer

día de cada mes y no los días de corte.

En esta unidad analizaremos situaciones como las mencionadas anteriormente,

enfocaremos el estudio a las anualidades anticipadas, el cálculo del monto que

representan, su valor presente, el número de pagos y la renta que implican.

A diferencia de las anualidades vencidas, que se pagan al final de cada periodo, las

anticipadas se cubren al comienzo de cada periodo.

Ordinarias R R R R R

Anticipadas R R R R R

En las anualidades ordinarias, la primera anualidad se paga al final del periodo,

mientras que en las anticipadas se realiza al comenzar. Por eso, el pago de la última

renta ordinaria coincide con la terminación del plazo de tiempo estipulado en la

operación; esto hace que no produzca intereses y que su inversión se haga solamente

como complemento del monto de las rentas. En tanto, en las anualidades anticipadas,

la última renta se paga al principio del último periodo: sí produce intereses.

Actividad de Aprendizaje II de la Unidad Didáctica IV:

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 106

Monto y valor actual

Una anualidad anticipada es aquella cuando los pagos se llevan a cabo al inicio de

cada periodo. Para poder calcular el monto de una anualidad anticipada, a cada renta

se le agregan los intereses que se generen entre la fecha del pago y el plazo. Este

tipo de anualidades es común en transacciones como pagos de primas de seguros,

los pagos por alquiler de un departamento, entre otros.

Fórmulas para calcular el monto futuro y valor presen de una anualidad simple,

cierta, anticipada

Si se conoce la renta, la tasa nominal, la frecuencia de conversión y el plazo de tiempo

aplicamos la siguiente formula:

(1 + i)n

- 1

i

Ò

(1 + i)n+1

- 1

i

S= R (1 + i)

S= R{ -1}

Ejemplo 27:

Si se hacen 6 depósitos trimestrales anticipados de $25,000.00 cada uno con una tasa

del 20% capitalizable trimestralmente, ¿cuál es el monto futuro?

NOTA IMPORTANTE: Para calcular el valor del monto en una anualidad anticipada se podrá aplicar cualquiera de las dos fórmulas, puesto que el resultado al final de la operación no sufrirá ninguna alteración en su valor

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 107

Tabla de datos

R= 25000 (1 + i)n

- 1

i= 0.05 i

t= 1 año y seis meses

n= 6 (1 + 0.05)6

- 1

S= ? 178,550.21 0.05

(1.05)6

- 1

0.05

1.340095641 - 1

0.05

0.340095641

0.05

S= 25000 (6.801912813) (1.05)

S=

(1 + 0.05)

178,550.21

Solucion:

S= 25000 (1.05)

S= 25000 (1.05)

S= 25000 (1.05)

S= R (1 + i)

S= 25000

En ocasiones, no es el monto lo que se requiere conocer, sino el valor presente o

actual de una anualidad anticipada, ya que esto representa el precio de contado, el

valor de una deuda al momento de contraerla, etcétera.

(1 + i)-n

- 1

i

Ò

1 - (1 + i)-n+1

i

C= R (1 + i)

C= R{ 1+ }

NOTA IMPORTANTE: Al igual que en el caso del monto el valor presente en una anualidad anticipada no sufrirá ninguna alteración puesto que de cualquiera de las dos formas el resultado será igual.

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 108

Ejemplo 28:

¿Cuál es el capital de 6 depósitos trimestrales anticipados de $ 25,000.00 si se

calculan con 20% compuesto trimestralmente?

Tabla de datos

R= 25000 1 - (1 + i)-n

i= 0.05 i

t= 1 año y seis meses

n= 6 1 - (1 + 0.05)-6

C= ? 133,236.92 0.05

1 - (1.05)-6

0.05

1 - 0.746215396

0.05

0.253784603

0.05

S= 25000 (5.075692067) (1.05)

S=

(1 + 0.05)

133,236.92

Solucion:

S= 25000 (1.05)

S= 25000 (1.05)

S= 25000 (1.05)

S= R (1 + i)

S= 25000

En la presente unidad se expuso la definición de las anualidades

anticipadas, como aquellas en las que los pagos se realizan al

principio de cada período y no al final como ocurre en las

anualidades vencidas.

Al igual que en las anualidades vencidas, el monto (S) es la suma

de los pagos en el momento de vencimiento de la anualidad,

mientras que para determinar el valor actual o presente de una

anualidad anticipada (C), tenemos que regresar en el tiempo

todas las rentas menos una (la primera), ya que este pago se

encuentra en la fecha de evaluación, que en este caso es el inicio

de la anualidad.

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 109

Ejercicios propuestos

a) Una persona alquila una bodega por $28 000 mensuales, realizando sus

pagos el primer día de cada mes. Propone al propietario pagarle el

alquiler de todo el año, al momento de firmar el contrato, si la tasa de

interés en ese momento es de 30% anual capitalizable mensualmente.

¿Cuál será el pago único que realizará a la firma del contrato?

b) El señor Márquez deposita $1 500 al principio de cada mes en una

cuenta bancaria que paga una tasa de interés de 32.4% anual

capitalizable mensualmente. ¿Cuál es su saldo después del primer año

de ahorro?

c) La empresa Papel del Futuro, S. A. sabe que dentro de 5 años requerirá

cambiar una máquina, si decide realizar depósitos trimestrales

anticipados de $15 720 en una cuenta de ahorros que le paga 37.2%

anual capitalizable trimestralmente, ¿cuál será el precio de la máquina

cuando se compre?

d) Un individuo deposita en su cuenta de ahorro la suma de $ 250 al

principio de cada año. Cuanto tendrá al final de 8 años, si su Banco le

reconoce una tasa de interés del 3%.

e) Una compañía alquila un terreno de $ 4 000 mensuales y propone al

propietario pagar el alquiler anual al principio de año con la tasa del 12%

capitalízatele mensualmente. Hallar el valor presente del alquiler.

Respuesta: a) $ 294,397.84, b) $ 21,493.91, c) $ 909,186.46, d) $ 2,289.78, e) $

45,470.51

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 110

Actividad de Aprendizaje III de la Unidad Didáctica IV:

Renta, plazo e interés

Cuando se desea conocer cualquiera de estos tres conceptos, se utilizan las fórmulas

de las anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas. El cálculo de la anualidad

representa determinar el importe de los pagos o la renta que es necesario realizar en

periodos de tiempo definidos a una tasa de interés determinada y a un plazo estipulado

para acumular una cantidad de dinero, donde el inicio de los pagos comienza al inicio

de cada periodo.

Fórmulas para calcular la renta de una anualidad simple, cierta, anticipada

En el caso de la renta se aplicarán dos fórmulas dependiendo de lo que se requiera,

por lo tanto.

a) Si se conoce el capital inicial, la tasa de interés nominal o por periodo de

capitalización, la frecuencia de conversión y el plazo de tiempo o número de

períodos de capitalización:

Ci

1 + i - (1 + i)-n+1R=

b) Si se conoce el monto futuro, la tasa de interés nominal o por periodo de

capitalización, la frecuencia de conversión y el plazo de tiempo o número de

períodos de capitalización:

Si

(1 + i)n+1

-1 - iR=

Ejemplo 29:

En una tienda se vende una bicicleta por $1800 al contado o mediante 5 abonos

mensuales anticipados. Si el interés que aplica la tienda es de 32.4% convertible

mensualmente, calcule el valor del pago.

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 111

Tabla de datos

R= ? 379.43 Ci

i= 0.027 1 + i - (1 + i)-n+1

t= 5 meses

n= 5

C= 1800 1 + 0.027 - (1 + 0.027)-5+1

48.60

1.027 - (1.027)-4

1.027 - 0.898914168

48.60

0.128085831

R= 379.43

1800 (0.027)

48.60

Solucion:

R=

R=

R=

R=

R=

Ejemplo 30:

La señora Gavaldón debe pagar $ 90000 dentro de 2 años y, para reunir esta cantidad,

decide hacer 12 depósitos bimestrales en una cuenta de inversión que rinde 1.2%

bimestral de interés. ¿De cuánto deben ser sus depósitos si hoy realiza el primero?

Tabla de datos

R= ? 6,934.57 Si

i= 0.012 (1 + i)n+1

-1 - i

t= 2 años

n= 12 (2 x 6 bimestres)

S= 90000 (1 + 0.012)12+1

-1 - 0.012

1080

(1.012)13

-1.012

1.16774136 - 1.012

1080

0.155741359

R= 6,934.57

90000 (0.012)

1080

Solucion:

R=

R=

R=

R=

R=

Fórmulas para calcular el tiempo o plazo en una anualidad simple, cierta,

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 112

anticipada

a) Si se conoce el capital inicial, la renta, la tasa nominal o la tasa efectiva por

periodo y la frecuencia de conversión:

Ci

RLn { 1 + i - }

Ln (1 + i)n= 1 -

b) Si se conoce el monto futuro, la renta, la tasa nominal o la tasa efectiva por

periodo y la frecuencia de conversión:

Si

RLn { 1 + i + }

Ln (1 + i)n= -1

Ejemplo 31:

Una compañía fabricante de cocinas integrales ofrece uno de sus modelos con

un precio de contado de $ 13,069.63, mediante pagos mensuales anticipados de $

750 con un cargo de 18% de interés convertible mensualmente. ¿Cuántos pagos han

de efectuarse para liquidar la cocina?

Tabla de datos Solucion

R= 750 Ci

i= 0.015 (0,18/12) R

t=? 1 año 8 meses

n= ? 20

C= 13,069.63 13,069.63 x 0,015

Ln { 1,015 - 0,2613926 }

Ln { 0,7536074 }

Ln (1,015)

-0,122854845

0,006466042

n= 1 - (-19)

n= 1 -

n= 1 -

n= 1 - Ln (1,015)

Ln (1,015)

}

Ln (1 + 0,015)

Ln { 1,015 -

n= 1 - 750

196,04445

Ln { 1 + 0,015 - }

n= 1 - 750

Ln { 1 + i - }

Ln (1 + i)n= 1 -

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 113

Ejemplo 32:

Lupita desea reunir $ 480000 para la compra de un departamento, para lo cual

deposita $ 17500 mensuales anticipados en una cuenta bancaria que paga 24% de

interés anual convertible mensualmente. ¿Cuántos depósitos debe efectuar Lupita

para reunir lo que necesita?

Tabla de datos

R= 17500

i= 0.02 (0,24/12) Si

t=? 1 año 10 meses R

n= ? 22

S= 480000

Ln { 1,02 + 0,548571428}

0,1955043

0,008600172

n= 22,7326035 - 1

n= 21,73

Solucion

Ln { 1 + 0,02 + }

n=

480000 x 0,02

Ln { 1 + i + }

Ln (1 + i)n= -1

-1Ln (1 + 0,02)

Ln { 1,02 + }

17500

n=

n= -1

9600

17500

0,008600172

n= -1

-10,008600172

n= -10,008600172

Ln { 1,568571429}

Fórmulas para calcular la tasa de interés de una anualidad simple, cierta,

anticipada

a) Si se conoce el capital inicial, la renta, la frecuencia de conversión y el plazo de

tiempo o número de periodos de capitalización:

C 1 - (1 + i)-n+1

R i= 1 +

b) Si se conoce el monto futuro, la renta, la frecuencia de conversión y el plazo de

tiempo o número de periodos de capitalización:

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 114

S (1 + i)n+1

- 1

R i= -1

Ejemplo 33:

¿Cuál es la tasa de interés si se realizan 6 depósitos trimestrales anticipados de

$25,000.00 para obtener un monto de $ 178,550.21?

Tabla de datos Solucion

R= 25000 S (1 + i)n+1

- 1

i=? 0,05 (0,20/4) R i

t= 1 año y medio

n= 6 (1,5*4) 178550,21 (1 + i)6+1

- 1

S= 178,550,21 25000 i

(1 + i)6+1

- 1

i

(1 + 0,04)6+1

- 1

0,04

(1 + 0,055)6+1

- 1

0,055

(1 + 0,05)6+1

- 1

0,05Si 0,05 -1 = 7,142008

7,1420084

-1Si 0,04 = 6,898294

Si 0,055 -1 = 7,266894

= -1

= -1

= -1

NOTA IMPORTANTE: En el caso para la determinación de la tasa de interés se aplica la fórmula de anualidades anticipadas y a continuación se procede a realizar la técnica del tanteo.

Debido a que la tasa de interés se encuentra en el

numerador y en el denominador de las fórmulas de

monto y valor actual de una anualidad simple,

cierta, anticipada, no se puede despejar por lo que

se usa para su cálculo, el procedimiento llamado

de prueba y error a base de iteraciones sucesivas.

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 115

Ejercicios propuestos

a) Una persona deposita $900 al principio de cada mes en una cuenta bancaria

que paga una tasa de interés de 36% anual capitalizable mensualmente.

¿Cuál es su saldo después de 4 años de ahorro?

b) El señor González alquila un departamento por $4 000 mensuales,

realizando sus pagos el primer día de cada mes. Propone al propietario

pagarle el alquiler de todo el año al momento de firmar el contrato. Si la tasa

de interés en ese momento es de 24% anual capitalizable mensualmente,

¿cuál será el pago único que realizará a la firma del contrato?

c) ¿Cuánto se debe depositar al principio de cada bimestre, en una cuenta de

ahorros que paga 11.4% de interés con capitalización bimestral, para que al

final de 4 años se tengan reunidos $ 125000?

d) Ricardo Sosa quiere comprar una computadora cuyo precio de contado es

de $18 700. Si la tienda le da la oportunidad de pagarla con 18

mensualidades anticipadas, ¿de cuánto será cada pago mensual si le

cargan una tasa de interés de 24% anual convertible mensualmente?

e) Una tienda departamental ofrece telepantallas a un precio de contado de $

16,920.00, mediante pagos mensuales de $ 2100.00 con un cargo de 18%

de interés convertible mensualmente. ¿Cuántos pagos han de efectuarse

para liquidar la telepantalla?

Respuestas: a) $ 96,786.58, b) $ 43,147.39, c) $ 4,081.71, d) $ 1,222.87, e) 9

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 116

Actividad de Aprendizaje IV de la Unidad Didáctica IV:

Cálculo del monto de anualidades diferidas

Se utilizan las mismas fórmulas de una anualidad simple cierta ordinaria o anticipada,

ya que lo único que se modifica es el inicio del primer pago o depósito, el cual se

efectúa hasta después de transcurrido un intervalo de tiempo desde el momento en

que la operación quedó formalizada.

El resultado del monto futuro de una anualidad diferida es exactamente el mismo

que el de una anualidad inmediata.

El monto de las anualidades diferidas vencidas es igual al de las anualidades

ordinarias, en las mismas condiciones de importe de la renta, plazo o tiempo y

tasa de interés. Esto se debe a que, durante el tiempo diferido, no se realiza ningún

pago o depósito. En el ejercicio 2, en el inciso b, se considera y comprueba el monto

de una anualidad diferida.

Ejemplo 34:

Una tienda departamental pone en el mes de mayo su plan de ventas “Compre ahora

y pague hasta agosto”. El señor Gómez decidió aprovechar la oferta y adquirir 3 trajes

que le entregaron inmediatamente. Si acordó pagar mediante 4 mensualidades de $

975 cada una a partir de agosto, con un cargo de 18% anual convertible

mensualmente, ¿cuál es el precio que se tendría que haber pagado por sus trajes si

se comprara en la misma fecha que se realizará el último pago?

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 117

Tabla de datos

R= 975

%= 18%

i= 0.015 (0.18/12)

n= 4 (1 + 0.015)4 – 1

S= ? ,3,988,63 0,015

(1.015)4 – 1

0,015

1.061363551 – 1

0,015

0,06136355

0,015

S= (4,090903375)

S=

Formula

975

3,988,63

975S=

S= 975

S= 975

S= 975

RS= (1 + i)n – 1

i

Ejemplo 35:

Se desea establecer un fondo, para que un hospital que estará terminado dentro de 6

años, reciba una renta anual de $ 3500 por 20 años. Hallar el valor del fondo si gana

el 8% de interés.

Tabla de datos

R= 3500

%= 8%

i= 0.08 (8/100)

n= 20 (1 + 0.08)20

– 1

S= ? 160.166,88 0,08

(1.08)20

– 1

0,08

4,660957144 – 1

0,08

3,660957144

0,08

S= (45,7619643)

S=

Formula

3500

160.166,88

3500S=

S= 3500

S= 3500

S= 3500

RS= (1 + i)n – 1

i

Ejercicios propuestos

a) Un señor desea que su hija de 15 años reciba desde que cumpla 18 años en

forma semestral, una cantidad de $ 6000.00 durante 5 años. ¿Cuánto habrá

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 118

acumulado la hija a los 23 años si decide invertirlos en un fondo que le

proporciona el 18% anual convertible mensualmente?

b) Cuando cumpla 22 años un niño que hoy tiene diez deberá recibir la suma

de $ 2500.00 al final de cada trimestre durante 15 años. Si esta cantidad se

invierte a medida que se recibe, de manera que produzca el 5% de interés anual

convertible trimestralmente, ¿qué cantidad tendrá este niño cuando cumpla 37

años?

c) Una persona de 20 años desea invertir, desde que cumpla 30 años, una

cantidad de $ 8000.00 anuales al principio de cada año. ¿Qué cantidad habrá

acumulado cuando cumpla 45 años, si el banco le otorga una tasa de interés

efectiva del 12% anual?

d) Después de 5 años, y al final de cada año, pensamos invertir $10 000.00.

¿Qué cantidad tendremos dentro de 20 años si la tasa de interés efectiva que

nos otorgan es del 8% anual?

Respuestas: a) $ 101,328.55, b) $ 221,436.26, c) $ 334,026.24, d) $ 271, 521.14

Actividad de Aprendizaje V de la Unidad Didáctica IV:

Cálculo del valor presente de anualidades diferidas

Se utilizan las mismas fórmulas de una anualidad simple cierta ordinaria o anticipada,

ya que lo único que se modifica es el inicio del primer pago o depósito, el cual se

efectúa hasta después de transcurrido un intervalo de tiempo desde el momento en

que la operación quedó formalizada.

En este caso, es importante considerar el plazo diferido, que se llama también plazo

de gracia, para traer a valor presente al inicio de la operación el valor actual de la

anualidad simple, cierta, ordinaria.

El valor presente de las anualidades ordinarias coincide con la iniciación del tiempo

de pago, en tanto que el valor actual de las anualidades diferidas se sitúa en el

comienzo del tiempo diferido. En otras palabras, el valor actual de las anualidades

diferidas se calcula a una fecha anterior de aquella a la cual se

calcula el valor presente de las anualidades ordinarias. Así, en el ejemplo del diagrama

siguiente, el valor actual de las anualidades diferidas se calcularía en el 0, en tanto

que, si no existiera el tiempo diferido y nos encontráramos frente a un caso de

anualidades ordinarias, su valor actual se determinaría en el 4.

Para encontrar el valor actual de las anualidades diferidas, se puede calcular el valor

presente como si se tratara de anualidades ordinarias a la fecha en que se inicia el

periodo de pago. Conocido ese valor, lo descontamos por el tiempo diferido para

regresarlo, en el tiempo, a la fecha de iniciación del periodo de aplazamiento.

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 119

Lo anterior, en forma de diagrama, se expresa de la siguiente manera:

1 - (1 + i)-n

i(1 + i)

-mC= R

Ejemplo 36:

Calcula el valor actual de una renta semestral de $3 200 efectuada durante 6 años, si

el primer pago se debe realizar dentro de año y medio, si consideramos una tasa de

32% capitalizable semestralmente.

Tabla de datos Solucion

R= 3200 1 - (1 + i)-n

%= 32% i

i= 0.16(0.32/2)

n= 12 (2 x 6) 1 - (1 + 0,16)-12

C= ? 12,359,35 0,16

1 - (1,16)-12

0,16

1 - 0,168462844

0,16

0,831537155

0,16

C= 3200 (5,197107222) (0,743162901)

C= 12,359.35

C= 3200 0,743162901

C= 3200 (1,16)-2

C= 3200 0,743162901

(1 + i)-mC= R

C= 3200 (1 + 0,16)-2

Ejercicios propuestos

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 120

a) Hallar el Valor Futuro y el Valor Actual de la anualidad anticipada: $2500

anuales durante 7 años al 8% efectivo anual.

b) Hallar el Valor Futuro y el Valor Actual de la anualidad anticipada: $1500

trimestrales, durante 7 años al 7% convertible trimestralmente.

c) Calcular el valor de contado de una propiedad vendida a 10 años plazo

con pagos de $ 3000 trimestrales por trimestre anticipado; si la tasa de interés

del 12% convertible trimestralmente.

d) Un equipo puede ser adquirido mediante $ 150 de cuota inicial y $ 150

mensuales, por los próximos 12 meses; suponiendo intereses al 7% convertible

mensualmente, cual es el valor de contado del equipo?

e) Una persona recibe tres ofertas por la venta de su propiedad: (a) $ 500000

de contado, (b) $ 300000 de contado y $ 60000 semestralmente durante 2 años,

(c) $ 25000 por trimestre anticipado durante 3 años y un pago de $ 320000 al

finalizar el cuarto año; Que oferta debe preferir si la tasa nominal de interés es

del 8%, capitalizable de acuerdo con la transacción.

Respuestas: a) $ 24,091.57; $ 14,057.20, b) $ 54,544.94; $ 33,557.59, c) $ 71,424.65,

d) $ 1,883.57, e) ?

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 121

Unidad didáctica V:

Título de la Unidad Didáctica V: Amortización

Introducción de la Unidad Didáctica V: Una de las aplicaciones más importantes de

las anualidades en las operaciones de negocios está representada por el pago de

deudas que devengan intereses.

Cuando una deuda se liquida en una serie de pagos periódicos de igual valor y si se

paga el interés que se adeuda al momento que se efectúan los pagos, también se

estará liquidando una parte del capital inicial. A medida que la deuda se va pagando,

se reducirá el interés sobre el saldo insoluto.

Objetivo de la unidad didáctica V:

Elaborar tablas de amortización y fondo de amortización, mediante la aplicación de

manera ética y profesional de las diferentes fórmulas para la determinación del valor

de la amortización y del fondo de amortización.

Organizador Grafico de la Unidad V:

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 122

Actividades de Aprendizaje de la Unidad Didáctica V:

Actividad de Aprendizaje I de la Unidad Didáctica V:

INTRODUCCIÓN

Amortización es el método por el cual se va liquidando una deuda en pagos parciales.

El importe de cada pago sirve para solventar los intereses. Las deudas se amortizan

con pagos periódicos iguales. Se hacen depósitos periódicos iguales en un fondo de

amortización que genera intereses para amortizar una deuda futura.

Para encontrar cada una de las variables o incógnitas, se utiliza la fórmula del valor

actual de los diversos tipos de anualidades. Generalmente, se calcula con base en el

valor actual de las anualidades ordinarias.

En la amortización se demuestra que:

1. El capital va disminuyendo conforme se van dando los pagos hasta su

liquidación total.

2. Al ir reduciéndose el capital, los intereses también van descendiendo.

3. La amortización del capital va aumentando conforme pasan los periodos, al ir

disminuyendo –en la misma proporción– los intereses.

AMORTIZACIÓN

Introducción

Importe de los pagos en una amortización

Tablas de amortización

Fondo de amortización

Tablas de fondo de amortización

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 123

4. Si se quieren conocer las amortizaciones de los diferentes periodos, basta

multiplicar la primera amortización por la razón: (1 + i)n , donde n es el número

de periodos que faltan para llegar a la amortización del periodo

correspondiente.

5. La suma de las amortizaciones será igual al valor actual o capital inicial del

préstamo.

Nomenclatura

C Representa el capital inicial, llamado también principal. Suele

representarse también por las letras A o P (valor presente).

R Es la renta, depósito o pago periódico.

% Es la tasa nominal de interés calculada para un periodo de un año. Se

expresa en tanto por uno o tanto por ciento.

i Es la tasa de interés por periodo de tiempo y representa el costo o

rendimiento por periodo de capitalización de un capital ya sea producto

de un préstamo o de una cantidad que se invierte. Es el cociente de dividir

la tasa nominal entre la frecuencia de conversión m

m Es la frecuencia de conversión o de capitalización y representa el número

de veces que se capitaliza un capital en un año.

t Es el número de años que permanece prestado o invertido un capital.

n Es el número de periodos de que consta una operación financiera a

interés compuesto.

SI Es el saldo insoluto de capital o pendiente de amortiza en cualquier fecha.

CA Es el importe de capital por amortizar en cualquier fecha.

DAC Son los derechos del acreedor sobre un bien y se obtienen considerando

el saldo insoluto de capital a determinada fecha y en forma porcentual.

DAD Son los derechos adquiridos por el deudor sobre el bien y considera la

cantidad amortizada a determinada fecha y en forma porcentual.

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 124

Actividad de Aprendizaje II de la Unidad Didáctica V:

Determinación del importe del pago periódico para amortizar una

deuda.

Se calcula mediante la utilización de la fórmula para el valor presente de una anualidad

simple, cierta, ordinaria y se considera una amortización de capital a base de pagos e

intervalos de tiempo iguales.

Se conoce el capital inicial que se adeuda, la tasa de interés nominal o periodo de

capitalización, la frecuencia de conversión y el plazo de tiempo o número de

periodos de capitalización:

Ci C

1 - ( 1+ i)-n

1 - ( 1+ i)-n

i

R= Ò R=

Ejemplo 37:

Un préstamo de $ 4,000.00 se va a amortizar por medio de 8 pagos mensuales

iguales. Hallar el valor del pago mensual si la tasa de interés es del 34% capitalizable

mensualmente.

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 125

Tabla de datos

R=? 565,83

%= 34%

i= 0.028333333 (0.34/12)

t= 8 meses

n= 8

C= 4000

R= $ 565,83

R=4000

0,200297063

4000

0,028333333

R=7,069308203

0,028333333

R=4000

1- 0.799702936

0,028333333

R=1- (1 + 0.028333333)

-8

4000

R=4000

1- (1.028333333)-8

0,028333333

Solución

R=C

i

1 - (1 + i)-n

Ejemplo 38:

El señor Jiménez tiene una deuda de $ 150000, la cual debe estar liquidada dentro de

5 años, para lo cual realiza pagos bimestrales iguales. Si la tasa de interés vigente es

de 20.4% anual compuesto bimestralmente, ¿de cuánto debe ser cada pago

bimestral?

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 126

Tabla de datos

R=? 8,053,84

%= 20,40%

i= 0.034 (0.204/6)

t= 5 años

n= 30 (5x6)

C= 150000

R= $ 8,053,84

R=150000

0,633238418

150000

0,034

R=18,62465936

0,034

R=150000

1- 0,366761581

0,034

R=1- (1 + 0.034)

-30

150000

R=150000

1- (1.034)-30

0,034

Solución

R=C

i

1 - (1 + i)-n

Ejemplo 39:

Una empresa adquiere una máquina que vale $95 000 mediante una serie de pagos

periódicos semestrales durante 7 años y una tasa de interés de 24% anual

capitalizable semestralmente. ¿De cuánto debe ser cada pago semestral?

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 127

Tabla de datos

R=? 14,332,77

%= 24%

i= 0.12 (0.24/2)

t= 7 años

n= 14 (7x2)

C= 95000

R= $ 14,332,77

R=95000

0,795380187

95000

0,12

R=6,628168228

0,12

R=95000

1- 0,204619812

0,12

R=1- (1 + 0.12)

-14

95000

R=95000

1- (1.12)-14

0,12

Solución

R=C

i

1 - (1 + i)-n

Ejercicios propuestos

a) ¿De cuánto deben ser los pagos trimestrales necesarios para liquidar una

deuda de $ 740000, que debe estar pagada dentro de 10 años, si la tasa de

interés es de 28% anual convertible trimestralmente?

b) Carlos Álvarez compró una casa con valor de $890 000 mediante un crédito

hipotecario, el cual amortiza mediante pagos mensuales iguales, con duración

de 15 años, que tienen un interés de 9% con capitalización mensual. ¿Cuál es

el valor de cada uno de los pagos mensuales?

c) ¿Cuál es el valor de los pagos semestrales que se realizan durante 5 años

para cubrir una deuda de $75 000 si la tasa de interés es de 15% anual

convertible semestralmente?

d) Si compras un carro con valor de $138 000 mediante un crédito que se

amortiza con 52 pagos mensuales y una tasa de interés de 21% anual

convertible mensualmente, ¿de cuánto será cada pago?

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 128

Actividad de Aprendizaje III de la Unidad Didáctica V:

Tablas de amortización.

Para su mayor comprensión, las amortizaciones pueden representarse en una

matriz donde:

Las columnas representan lo siguiente:

1. La primera muestra los periodos (n).

2. La segunda da el importe de la renta o pago (R).

3. La tercera indica los intereses (I) y resulta de multiplicar el saldo insoluto (SI)

anterior por la tasa de interés del periodo (i).

4. La cuarta señala la amortización (A) del periodo y resulta de restar al pago del

periodo (R) los intereses del mismo (I).

5. La quinta revela la amortización acumulada (AA), consecuencia de la suma de la

amortización acumulada (AA) del periodo anterior más la amortización (A) del

periodo en estudio.

6. La sexta expresa el saldo insoluto de la deuda, que se obtiene al hacer alguno de

estos procedimientos:

Restar al capital inicial (C) la amortización acumulada (AA) hasta ese periodo.

Restar el saldo insoluto del periodo anterior (SI) la amortización del periodo (A).

Con el fin de mostrar el comportamiento de una deuda que se está amortizando,

periodo a periodo, es conveniente la elaboración de una tabla de amortización, la cual

se puede definir como un cuadro o tabla donde se muestra tanto la cantidad pagada

de intereses como la cantidad pagada de capital.

Ejemplo 40: tomando los datos del ejemplo 37 se procede a elaborar una tabla de

amortización:

B= R C= E x i D= B - C E= E1

- D

PeriodosPago

mensualIntereses Amortizacion

Saldo

insoluto

0 4.000,00

1 565,83 113,33 452,50 3.547,50

2 565,83 100,51 465,32 3.082,19

3 565,83 87,33 478,50 2.603,68

4 565,83 73,77 492,06 2.111,63

5 565,83 59,83 506,00 1.605,62

6 565,83 45,49 520,34 1.085,29

7 565,83 30,75 535,08 550,21

8 565,83 15,62 550,21 -

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 129

Interpretación:

Como se puede apreciar en la tabla, el pago mensual es igual durante los 8 períodos,

mientras que el valor de los intereses va disminuyendo en cada uno de los pagos,

mientras que la amortización va creciendo, y por último el saldo insoluto va

disminuyendo.

Ejercicios resueltos.

a) Antonio compra una casa valuada en $ 230,000.00 y paga $ 15,000.00 de

enganche. Antonio obtiene un préstamo hipotecario a 20 años por el saldo. Si

se cobra un interés del 29% capitalizable cada mes, ¿cuál sería el valor del

pago mensual? Elabórese una tabla de amortización para los primeros 10

meses.

Tabla de datos

R=? 5,212.74

%= 29%

i= 0.024166666 (0.29/12)

t= 20 años

n= 240 (20 x 12)

C= 215000 (230000 -15000)

R= $ 5,212.74

R=215000

0.996757252

215000

0.024166666

R=41.24512881

0.024166666

R=215000

1- 0.003243748

0.024166666

R=1- (1 + 0.024166666)

-240

215000

R=215000

1- (1.024166666)-240

0.024166666

Solución

R=C

i

1 - (1 + i)-n

NOTA IMPORTANTE: Amortización puede definirse como el proceso mediante el cual se extingue gradualmente una deuda y sus intereses por medio de una serie de pagos o abonos al acreedor.

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 130

Tabla de amortización

B= R C= E x i D= B - C E= E1

- D

PeriodosPago

mensualIntereses Amortizacion

Saldo

insoluto

0 215.000,00

1 5.212,74 5.195,83 16,91 214.983,09

2 5.212,74 5.195,42 17,32 214.965,78

3 5.212,74 5.195,01 17,73 214.948,04

4 5.212,74 5.194,58 18,16 214.929,88

5 5.212,74 5.194,14 18,60 214.911,28

6 5.212,74 5.193,69 19,05 214.892,23

7 5.212,74 5.193,23 19,51 214.872,72

8 5.212,74 5.192,76 19,98 214.852,74

9 5.212,74 5.192,27 20,47 214.832,27

10 5.212,74 5.191,78 20,96 214.811,31

b) Una deuda de $100,000.00 se debe liquidar en 6 pagos mensuales a una tasa

del 24% convertible mensualmente.

NOTA IMPORTANTE: En este caso solo se está realizando la tabla de amortización por los 10 primeros períodos, y en la cual podemos observar que el valor de los intereses es muy alto en función del crédito otorgado.

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 131

Tabla de datos

R=? 17,852.58

%= 24%

i= 0.02 (0.24/12)

t= medio año

n= 6 (0.5 x 12)

C= 100000

R= $ 17,852.58

R=100000

0.112028617

100000

0.02

R=5.601430891

0.02

R=100000

1- 0.887971382

0.02

R=1- (1 + 0.02)

-6

100000

R=100000

1- (1.02)-6

0.02

Solucion

R=C

i

1 - (1 + i)-n

Tabla de amortización

B= R C= E x i D= B - C E= E1

- D

PeriodosPago

mensualIntereses Amortizacion

Saldo

insoluto

0 100.000,00

1 17.852,58 2.000,00 15.852,58 84.147,42

2 17.852,58 1.682,95 16.169,63 67.977,79

3 17.852,58 1.359,56 16.493,02 51.484,76

4 17.852,58 1.029,70 16.822,88 34.661,88

5 17.852,58 693,24 17.159,34 17.502,54

6 17.852,58 350,04 17.502,54 -

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 132

Ejercicios propuestos

Construya la tabla de amortización de las siguientes situaciones financieras:

a) Se tiene una deuda de $ 720000, la cual se amortiza con 8 pagos trimestrales

con una tasa de interés de 20% anual con capitalización trimestral.

b) Andrés Franco adquirió una computadora con valor de $ 28500, la cual

acordó liquidar mediante 6 pagos bimestrales aumentando 18% de interés

anual convertible bimestralmente.

c) Laura Ortiz adquirió ropa en el Palacio de Hierro con valor de $ 7500. Se

ofrece una promoción en la cual dan la oportunidad de liquidar su ropa mediante

6 pagos mensuales, considerando un interés de 12% anual capitalizable

mensualmente.

d) Rafael Ortega contrajo una deuda por $125 600, la cual amortiza mediante

8 pagos bimestrales con una tasa de interés de 36% anual con capitalización

bimestral.

Actividad de Aprendizaje IV de la Unidad Didáctica V:

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 133

Fondos de amortización.

Es el método por el cual se provee el monto, por medio de una serie de rentas o pagos,

para liquidar una deuda. Asimismo, funciona para ahorrar o recuperar el valor histórico

de un activo. Esto se realiza invirtiendo una serie de pagos iguales, en periodos

iguales, durante el lapso de vida útil del bien, con la finalidad de acumular un monto

disponible en efectivo para volver a comprar el sustitutivo del activo al término de su

uso.

Esta práctica es muy útil financieramente, aun cuando, al llegar al fin de su vida

útil, la cantidad acumulada no llegue a cubrir el costo del bien. En este rubro, se utilizan

las fórmulas del monto o valor futuro de las diferentes anualidades, generalmente, la

del monto de anualidades ordinarias.

Tablas de fondo de amortización

En este método se utiliza, al igual que en la amortización, una matriz, en donde las

columnas se conforman así:

1. La primera expresa los periodos (n).

2. La segunda, los pagos o rentas (R).

3. La tercera, los intereses (I) del periodo y resulta de multiplicar el saldo final (M) del

periodo anterior por la tasa de interés (i).

4. La cuarta, la cantidad que se acumula al fondo (CA) y se calcula sumando la renta

(R) más los intereses (I) del periodo.

5. La quinta, el saldo final (M), resultado de la suma del saldo final (M) del periodo

anterior más la cantidad que se acumula (CA) al fondo del periodo.

Ejemplo 41:

Una deuda de $ 5000 con vencimiento al termino de 5 años, sin intereses, va a ser

liquidada mediante el sistema de fondo de amortización. Si se van a hacer 8 depósitos

semestrales iguales, el primero con vencimiento en 6 meses, en un fondo que gana el

3% convertible semestralmente, hallar el importe de cada uno de los depósitos.

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 134

Tabla de datos

R=? 592.92

%= 3%

i= 0.015(0.03/2)

t= 4 años

n= 8 (4 x 2)

S= 5000

R=

Solucion

R=S

i

(1 + i)n - 1

R=(1 + 0.015)

8 - 1

5000

R=5000

1.126492587 - 1

0.015

R=5000

(1.015)8 - 1

0.00875

0.015

R=5000

0.126492586

0.015

R=5000

8.432839106

$ 592.92

Ejemplo 42:

La vida útil de un cierto equipo industrial que acaba de ser adquirido por una compañía

es de 5 años. Con el fin de reemplazarlo al final de este tiempo, la compañía establece

un fondo de amortización efectuando depósitos anuales en una cuenta bancaria que

paga el 9.6%, anual. Si se estima que el equipo costará $ 42740 dólares, halle el valor

del depósito.

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 135

Tabla de datos

R=? 7,056.68

%= 9,60%

i= 0.096

t= 5 años

n= 5

S= 42740

R=

R=42740

6,056668615

$ 7,056.68

0,096

R=42740

0,581440187

0,096

R=(1 + 0.096)

5 - 1

42740

R=42740

1.581440187 - 1

0,096

R=42740

(1.096)5 - 1

0,096

Solucion

R=S

i

(1 + i)n - 1

Ejercicios propuestos

a) Una persona desea reunir $1,350.00 para comprar una cámara fotográfica

dentro de 3 meses. ¿Cuánto deberá depositar cada quincena en una cuenta

bancaria que paga el 20% de interés capitalizable quincenalmente?

b) Alejandro Hernández compró equipo para un consultorio dental, por el cual

tiene que pagar la cantidad de $ 119500 dentro de año y medio. Alejandro

decide reunir el dinero mediante depósitos bimestrales en una cuenta bancaria

que genera 24% anual capitalizable bimestralmente. ¿De cuánto debe ser cada

depósito?

c) La Señora Gómez se va a jubilar dentro de 8 años. Para entonces desea

tener en el banco $ 500000, cantidad con la que piensa iniciar un negocio.

¿Cuánto debe depositar cada trimestre si el banco ofrece una tasa de interés

de 20% anual con capitalización trimestral?

d) El hijo del señor Roberto Flores entrará a la universidad dentro de 10 años.

De acuerdo con datos estadísticos, el costo de estudiar una carrera para

entonces será de $ 156000, por lo cual decide crear un fondo de ahorro con

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 136

depósitos mensuales en una cuenta bancaria que paga 32% anual capitalizable

mensualmente. ¿Cuánto debe depositar Roberto cada mes?

e) ¿Cuánto se debe pagar semestralmente por un seguro escolar que ofrece

cubrir un monto de $820 000 dentro de 10 años, si la tasa de interés vigente es

de 22.5% anual compuesto semestralmente?

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 137

Actividad de Aprendizaje V de la Unidad Didáctica V:

Tablas de Fondos de amortización.

De la misma forma como ocurre con las amortizaciones, en el caso del fondo de

amortización también es necesario conocer su comportamiento para saber cuánto se

lleva ahorrado en cualquier momento, cuánto se está ganando por concepto de

intereses en cada periodo o simplemente cuánto aumenta en realidad nuestro ahorro

con cada depósito.

Al documento que nos permite analizar de manera detallada el comportamiento de un

fondo de amortización (fondo de ahorro) se le conoce como tabla del fondo de

amortización.

Ésta es una herramienta que permite establecer cuánto se deposita, cuánto se genera

de interés y cuánto se tiene ahorrado en cualquier momento, etcétera.

Algunos conceptos importantes para construir la tabla de un fondo de amortización

son:

Interés ganado. Representa el interés generado por el capital existente en el fondo,

es decir, el interés que se genere sobre la cantidad que tenga ahorrada hasta ese

momento, el cual se va a ir agregando al ahorro, a diferencia de lo que ocurre en la

amortización donde el interés lo paga el cliente, y no lo cobra como en el caso del

fondo de amortización.

Agregado al fondo. Representa la cantidad real que se agrega al fondo con cada

depósito, y está integrado por el interés generado y el depósito mismo (renta). El

AGREGADO AL FONDO

INTERESDEPOSITO

(RENTA)

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 138

agregado al fondo corresponde a la suma del depósito y el interés generado en ese

periodo.

Total en el fondo o acumulado en el fondo. Corresponde a la cantidad total que se

ha acumulado en el fondo en cualquier momento, y se obtiene sumando el agregado

al fondo y el acumulado del periodo anterior.

De la misma forma, las tablas de amortización deben contener algunos elementos

clave; las tablas del fondo de amortización también deben proporcionar algunos

elementos fundamentales (número de depósito, valor de los depósitos, interés

ganado, agregado al fondo y acumulado en el fondo), aunque cada institución

financiera puede agregar más información en sus tablas, y ordenar la información de

acuerdo con sus propias necesidades; sin embargo, nosotros manejaremos las tablas

de fondo de amortización de la siguiente forma:

Períodos Deposito Intereses Incremento

al fondo

Importe al

final del

periodo

En esta

columna se

anota el

número de

depósitos

que

corresponde.

Esta

columna

indica el

valor de

cada uno

de los

depósitos a

realizar (R)

la cual se

obtiene con

las fórmulas

de las

anualidades

vencidas.

Esta

columna

corresponde

al interés

generado

sobre el

valor

acumulado

en el fondo,

el mismo

que se

obtiene

multiplicando

la tasa de

interés por el

valor

acumulado

en el periodo

anterior.

Es la

cantidad

total que se

agregara en

la cuenta en

cada

periodo y se

la obtiene

sumando el

valor del

depósito y

el interés

generado.

Es la

cantidad de

dinero que

se tiene

acumulado

en el fondo.

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Guía de Matemáticas Financieras Ing. Rolando Medina Arévalo 139

Ejemplo 43:

Elaborar una tabla de fondo de amortización en función de los datos del ejemplo 41.

Tabla de fondo de amortización

B= R C= E x i D= B + C E= E1

+ D

Periodos Deposito InteresesIncremento al

fondo

Importe del

fondo al final

del periodo

1 592,92 - 592,92 592,92

2 592,92 8,89 601,81 1.194,73

3 592,92 17,92 610,84 1.805,57

4 592,92 27,08 620,00 2.425,58

5 592,92 36,38 629,30 3.054,88

6 592,92 45,82 638,74 3.693,63

7 592,92 55,40 648,32 4.341,95

8 592,92 65,13 658,05 5.000,00

Ejercicios propuestos

a) Una deuda de $ 400000 vence dentro de 5 años. Para su cancelación, se crea

un fondo de amortización con pagos semestrales que ganan 44% anual

compuesto semestralmente. Construye la tabla que describe este fondo.

b) Una persona requiere cubrir dentro de un año una deuda de $ 98000, para lo

cual decide crear un fondo de amortización con pagos bimestrales, en una

cuenta de interés que paga 16% anual capitalizable bimestralmente. Construye

la tabla del fondo de amortización para este caso.

c) Gaby crea un fondo de amortización con 8 depósitos trimestrales, para reunir $

187620, en una institución financiera que ofrece un interés de 28% anual

compuesto trimestralmente.

NOTA IMPORTANTE: Una suma de dinero que se va acumulando con el fin de obtener un determinado monto se llama fondo de amortización. El fondo de amortización generalmente se forma invirtiendo cantidades iguales al final de periodos iguales; esto significa que el valor del fondo, al final de un cierto tiempo, corresponde al monto de una anualidad ordinaria.

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d) Angélica requiere juntar $ 12800 en cinco meses, para lo cual realiza depósitos

mensuales en un fondo de amortización que le paga 48% de interés anual con

capitalización mensual.

e) Una deuda de $ 680500 se debe liquidar dentro de un año, por lo cual se forma

un fondo de ahorro con depósitos mensuales y una tasa de interés de 24%

anual convertible mensualmente.