Guía de matemáticas IV – Ciclo escolar 2014-2015

Gráficas y funciones

1 Rep re sen ta l a s s i gu ien te s re c ta s:

1 y = 2

2 y = x

3 y = −2x − 1

4 y = ½x − 1

2 Rep re sen ta l a s s i gu ien te s f unc io nes , sab iendo que :

1 T iene pend ien te −3 y o rdenada en e l o r i g en −1 .

2 T iene po r pend ien te 4 y pasa po r e l pun to (−3, 2 ) .

3 Rep re sen ta l a s f unc iones de f i n id as a t roz os:

1

2

3

4 Ha l l a e l v é r t i ce y l a e cuac ión de l e je de s ime t r í a de l a s s i gu ien te s pa rábo la s:

1 y = (x−1)² + 1

2 y = 2(x+1)² − 3

3 y = x ² − 7x −18

5 En l a s 10 p r i me ras semana s de cu l t i v o de un a p lan ta , que med ía 2 c m, se ha ob se rvado que su c re c im ien to e s d i re c ta ment e p roporc i ona l a l t i empo , v i endo que en l a p r ime ra semana ha pasado a med i r 2 .5 c m. Es tab le ce r una f unc ión a f i n que dé l a a l tu ra de l a p l an ta en f unc ión de l t i empo y rep re sen ta r g rá f i camente .

6 Cuando se ex cava hac ia e l i n te r i o r de l a t i e r ra , l a t e mpe ra tu ra au menta c on a r reg lo a l a s i gu ien te f ó rmu la :

t = 15 + 0 .01 h .

Donde t e s l a t empe ra tu ra a l can zada en g rados cen t í g rados y h e s l a p ro f und idad , en me t ros , de sde l a co r te za te r re s t re . Ca l cu la r :

a ) ¿Qué tempe ra tu ra se a l can za a l o s 100 m de p ro f und idad?

b ) ¿Cuán tos me t ros hay que ex cava r pa ra a l canza r una tempe ra tu ra de 100 ºC?

Funciones reales

1 Ca l cu la r e l d omin i o de l a s f unc iones po l i nó mic as:

1

2

2 Ca l cu la r e l d omin i o de l a s f unc iones ra c i ona le s :

1

2

3

3 Ca l cu la r e l d omin i o de l a s f unc iones rad i ca l e s :

1

2

3

4

5

4 Es tud ia l a s ime t r í a de l a s s i gu ien te s f unc iones :

1 f (x) = x 6 + x 4 - x 2

2 f (x) = x 5 + x 3 - x

5 Es tud ia e l c re c i m ien to o de c re c im ien to de l a s s i gu ien te s f unc iones en l o s pun tos que se i nd i can :

1 f (x) = 5x² - 3x + 1 en x = 1

2

Ejercicios de límites de funciones

1 Ca l cu la r l o s s i gu ien te s l í m i te s :

1

2

3

4

5

Ejercicios y problemas de derivadas usando la def inición y los 4 pasos

1 Ca l cu la r l a s de r i v adas en l o s pun tos que se i nd i ca :

1 en x = -5 .

2 en x = 1 .

3 en x = 2 .

4 en x = 3 .

2 Dada l a cu rva de e c uac ión f (x ) = 2x 2 − 3x − 1 , ha l l a l a s coo rdenadas de l o s pun tos de d i cha cu rva en l o s que l a t angen te f o rma con e l e je OX un ángu lo de 45° .

3 ¿Cuá l e s l a v e loc idad que l l e va un veh í cu lo que se mueve según l a e cuac ión e ( t ) = 2 − 3 t 2 en e l qu in to segundo de s u re co r r i d o? E l e spa c io se m ide en me t ros y e l t i empo en segundos .

Cálculo de derivadas por medio de las fórmulas

1 Ca l cu la l a s de r i v adas de l a s f unc iones:

1

2

3

4

5

6

2 Ca l cu la l a de r i v ada de l a s s i gu ien te s f unc iones :

1

2

3

4

5 풇(풙) = ퟒ√풙ퟐퟑ

6

7

8

Aplicaciones de la derivada

1 Ca l cu la r l o s pun tos en que l a t angen te a l a cu rva y = x 3 − 3x 2 − 9x + 5 e s pa ra le l a a l e je OX .

2 Se ha t ra zado una re c ta tangen te a l a cu rva y= x 3 , cuya pend ien te e s 3 y pasa po r e l pun to (0 ,−2) . Ha l l a r e l pun to de t angenc ia .

3 Busca r l o s pun to s de l a cu rva f (x ) = x 4 + 7x 3 + 13x 2 + x +1 , pa ra l o s cua le s l a t angen te f o rma un ángu lo de 45º con OX .

4 La e cuac ión de un mov i m ien to re c t i l í neo e s: e ( t ) = t ³ − 27 t . ¿En qué momento l a v e loc idad en nu la? Ha l l a r l a a ce le r ac ión en e se i n s tan te .

5 Supóngase que R(x ) dó la re s e s e l i ng re so to ta l po r l a v en ta de x mesas y que

푅(푥) = 300푥 − 푥

De te rmine :

a ) La f unc ión de i ng re so marg ina l b ) E l i ng re so marg ina l cuando x=40 c ) E l i ng re so rea l po r l a v en ta de l a mesa 41