GUÍA DE TRABAJOS PRÁCTICOS “HIDRÁULICA GENERAL”...

GUÍA DE TRABAJOS PRÁCTICOS

“HIDRÁULICA GENERAL”

TRABAJO PRÁCTICO N° 2: APLICACIONES

DEL TEOREMA DE BERNOULLI

MATERIAL PREPARADO POR:

ING. PATRICIA S. INFANTE, PROF. ADJUNTO

PAULA A. ACOSTA, AYUD. DE SEGUNDA

AÑO: 2002

FACULTAD DE INGENIERIA U.N.Cuyo

HIDRÁULICA GENERAL

3º AÑO INGENIERIA CIVIL- AÑO 2002

TRABAJO PRÁCTICO N° 2 APLICAC. TEOREMA DE BERNOULLI

HOJA Nº 2 DE 25.

EJERCICIO Nº1

En un canal rectangular de ancho b la ley de variación de la velocidad en la altura de agua es lineal. La altura aguas arriba es h1. Se coloca en el mismo una grada (o escalón) de subida, calcular la altura de agua aguas abajo h2, recordando que se produce un movimiento permanente variado. Utilizar el coeficiente α. DATOS: h1 = 1.5 m a=0.30m b = 3 m v = 1.8 h1 - 1.2 z [m/s]

g

U

2

21

1α g

U

2

22

2α

B2

B1 h1 h2

a Cálculo del caudal Q. dq = v * dz

∫== 1h

0dz*v

b

Qq

( )q h z dz h dz z dz h zzh h h h

h

= − = − = −∫ ∫ ∫18 12 18 12 18 12210 10 0 1 0

2

0

1 1 1 1

1

. . . * . * . * . *

q h h hm

ms

m

ms= − = =18

12

212 2 71

212

12

3 3

..

. .

Cálculo de la velocidad media U en la sección 1.

UQ

b h

m

sm m

m

s11

3

81

3 1518= = =

*

.

* ..

Cálculo del coeficiente de velocidad de la sección 1 (α1).

ξηα ++= 31 ∫Ω ωω

=α d*vU*

1 33

Q q bm

msm

m

s= = =* . * .2 7 3 81

3 3

Plano de referencia


HIDRÁULICA GENERAL



HOJA Nº 3 DE 25.

∫Ω ωω

=β d*vU*

1 22

∫∫∫ωω

==ωω

=β 1h

0

22

10 2

2

10 2

2

1 dz*vU*h

1dz*b*

U

v

h*b

1d*

U

v1

( ) 221

21

221

2 z2.1z*h*2.1*8.1*2h8.1z2.1h8.1v +−=−=

+−=

+/

/−= 31

331

21

1210

32

0

2

10

21

121

1 3

2.1*2.1*8.18.1

*

1

32.1

2*2.1*8.1*2*8.1

*

111

1 hhhhU

zzhzh

hU

hhhβ

( )∫∫ −=ωω

=αω 1h

0

313

110 3

3

1 dz*bz2.1h8.1U*h*b

1d*

U

v1

( ) 332221

231

331

3 z2.1z*2.1*h*8.1*3z*2.1*h*8.1*3h8.1z2.1h8.1v −+−=−=

( ) ( )[ ]∫ −+−+= 1

0

332211

231

131

1 2.1*2.1**8.1*32.1**8.1*38.1*

1 hzzhzhh

hUα

[ ]16.23

2.1*

3

2.1*8.1*3*

2

2.1*8.1*38.1

*

131

3134

1

334

1

234

1

234

13

121

1U

hhhhh

hU=

−+−

/== ////α

3111 101083.0*325.131 −=−−=η−−α=ξ

Cálculo del Bernoulli de la sección 2 (B2) y la altura h2. B1 = B2 + a

m71.1m706.1msg

8.1*25.1m5.1

g2

UhB

221

111 ≅=+=α+=

m41.1aBB 12 =−= g

UhB

2

22

222 α+=

La altura crítica es:

m906.0ms81.9

sm7.2

g

qh 3

32

262

3

2

c ===

En el planteo hay dos incógnitas (h2 y U2) y una sola ecuación, de modo que para resolverla es necesario encontrar otra segunda ecuación que haga determinado el sistema. Para lo cual se usa la ecuación de la continuidad en movimiento permanente variado. El escalón de subida en el fondo del canal implica una singularidad, lo que significa que el movimiento que se produce allí es movimiento

083.11 =β

25.11 =α

001.01 =ξ

083.0083.01083.11 11 =η⇒=−=−β=η


HIDRÁULICA GENERAL



HOJA Nº 4 DE 25.

permanente variado, de modo que se puede usar la ecuación de continuidad del MPV como segunda ecuación para hacer determinado el sistema. Esta ecuación es: U4 η = cte ∴ U1

4 η1 = U24 η2 ∴ η2 = η1 (U1/U2)

4 Luego como ξ ≈ 0 ∴ α2 = 1+3η2 Aplicando el método de aproximaciones sucesivas, se hacen tanteos para obtener h2 y α2. Se usan valores de h2 por encima y por debajo de hc. Los mismos se ordenan a través de una tabla de cálculo.

h2 U2=Q/bh2 ηηηη=ηηηη1(U1/U2)4 αααα2=1+3ηηηη2 B2=h2+αααα2U2

2/2g OBSERVACIONES

1.10 1.05 0.75 0.77 0.78

2.455 2.571 3.60 3.506 3.462

0.024 0.020 0.005 0.005 0.006

1.072 1.060 1.016 1.017 1.018

1.429 1.407 1.421 1.408 1.402

hR

hT

Se han encontrado dos valores de h2 que cumplen el valor de B2, uno es mayor que hc y el otro es menor. Régimen de escurrimiento aguas arriba y aguas abajo. Se calcula el número de Froude para saber si es régimen de RÍO o de TORRENTE.

Cálculo de h*g

U

b

hb*g

U

B*g

UFr =

×=

Ω=

a) Aguas Arriba

RIO147.0m5.1*g

s/m8.1Fr ⇒⟨==

b) Aguas Abajo

TORRENTE128,1m77,0*g

s/m506,3Fr

RIO180.0m05.1*g

s/m571,2Fr

⇒⟩==

⇒⟨==

28.1Frm77.0h

80.0Frm05.1h

T

R

=⇒==⇒=

O sea que aguas debajo del escalón puede producirse un escurrimiento de Río o uno de Torrente, de qué depende que se produzca uno ú otro, de las condiciones aguas abajo del canal (sobre todo de la pendiente de fondo). Cálculo de los valores críticos:

m359.1h2

3

g2

hgh

g2

UhB

s

m98.2

91.0*3

1.8Um91.0h c

cc

2c

cccc ==××+=+=⇒==⇒=


HIDRÁULICA GENERAL



HOJA Nº 5 DE 25.

Trazado de la curva de Energía. Derivando la función Bernoulli respecto de la altura de agua se obtiene:

bU

g

11

dh

dB

dh

dUU2*

g2

11

dh

dB

2

Ω−=

+=

dh

dU

dh

dU

Udh

d

dh

dU0

dh

dQ

*UQ

ΩΩ

−=

Ω+Ω==

Ω=

pero B

gUc

Ω=

interpretación gráfica

cc

cc

cc

ccc

hh

hB

g

hgh

g

uhB

2

3

2

2

*

2

2

−+=

+=+=

ccc

cc

cc

c

ghug

huh

hbgb

u

gb

Qh

=⇒=

//

== //

223

322

2

2

32

2

• Energía mínima, escalón máximo • B1 - Bc = amáx Dibujar a escala a:

g

Qh

g

uhB

22 2

22

ω+=+=

EJERCICIO Nº2 Dada la siguiente ley de variación de velocidad en función de la profundidad, v = 2 – (2/3 z2) y la altura del tirante de agua 1.50 m. Calcular el caudal, la velocidad media y los coeficientes de velocidad.

2c

2

U

U1

dh

dB −=

22

2 1

2 hgb

QhB +=


HIDRÁULICA GENERAL



HOJA Nº 6 DE 25.

∫ ∫∫ ∫

−==== 1

0

50.1

0

2 *3

22***

hdzbzdzbvdvdQQ

ωω

ms

mzzq

b

Q/25.2

3*

3

2*2

350.1

0

350.1

0=−==

hb*=ω hbUUQ *** == ω

s

m

m

ms

m

h

qUhUq 50.1

50.1

/25.2*

3

===∴=

Cálculo de los coeficientes de velocidad:

ξηα ++= 31 ∫Ω= ωω

α dvU

**

1 33

1−= βη ∫Ω= ωω

β dvU

**

1 2

2

∫∫ /

−/

==h

dzbzUhb

dU

v0

32

30 3

3

*3

22

**

1*

1 ωω

ωα

dzzzzhU

dzzzzhU

hh

∫∫

−+−=

−+−=0

642

30

64223

3 27

8

3

888

*

1

27

8

9

4*2*3

3

2*2*32

*

1α

−+−=

−+−/

/=

///642

3

674523

35.1*

189

85.1*

15

85.1*

3

88

5.1

1

727

8

53

8

388

*

1 hhhh

hUα

∫∫∫∫

−====hh

dzzUh

dzvUh

dzbU

v

hbd

U

v0

22

20

2

20 2

2

0 2

2

*3

22

*

1*

*

1**

*

1*

1 ωωω

ωβ

∫∫

+−=

+−=hh

dzzzUh

dzzzUh 0

42

20

42

2*

9

4

3

84

*

1*

9

4

3

2*2*24

*

1β

2497.11 =α

v

h=1.5m

z

b

ΩΩΩΩ

dz

z


HIDRÁULICA GENERAL



HOJA Nº 7 DE 25.

+−=

+−

/=

//42

2

4523

25.1*

45

45.1*

9

84

5.1

1

59

4

33

84

*

1 hhh

hUβ

1−= βη

0143.01088.0*32497.131 −=−−=−−= ηαξ

EJERCICIO Nº3 En una tubería circular se conoce, según una sección cualquiera, la ley de variación de la velocidad. Calcular los coeficientes de velocidad. e e v R r R dr r

( )22

2

máx rRR

vv −=

Velocidad media:

Ω= Q

U ∫Ω= ωdvQ *

( ) ωdrRR

vQ 22

2

máx −= ∫Ω 2* rπω = drrd *2πω =

( ) ( )drrrRR

vdrrrR

R

vQ

RR 32

02

máx22

0 2

máx *2*2 −=−= ∫∫

ππ

2máx4

2

máx42

2

2

máx

4

*2

4

1

2

1*2

42

*2R

vR

R

vRRR

R

vQ

πππ=

−=

−=

r

RvQU M

π2

* 2

=Ω

=

2Mv

U =

Cálculo de los coeficientes de velocidad:

ξηα ++= 31 ∫Ω= ωω

α dvU

**

1 33

088.11 =β

0143.0−=ξ

088.0=η


HIDRÁULICA GENERAL



HOJA Nº 8 DE 25.

1−= βη ∫Ω= ωω

β dvU

**

1 2

2

( )∫∫∫ /−//

/

===/

/ΩΩ

RM

M

drrrRR

v

vR

dvU

dU

v0

22

4

2

2

22

2

22

2

*2

2*

1

*

1*

1 ππ

ωω

ωω

β

( ) ( )

/+////−//

/=+−=+−=

////

/

/∫∫ 6242

2

82

82

8 6424

2

60

5324

60

4224

6

RRRR

R

RdrrrRrR

RrdrrrRR

R

RRβ

13

41 −=−= βη

( )∫∫∫ /−//

/

===/

/ΩΩ

R M

M

drrrRR

v

vR

dvU

dU

v0

322

6

3

32

3

33

3

*2

8*

1

*

1*

1 ππ

ωω

ωω

α

( ) ( )∫∫ −+−=−=RR

drrrrRrrRrRR

rdrrRR 0

642246

80

322

833

1616α

24

3*16

24

312181216

8

1

6

3

4

3

2

116

863

43

2

16 862

446

2

8=

−+−=

−+−=

/−//+//−///

=//

//

///

/

RRR

RRR

R

Rα

13

1*3231 −−=−−= ηαξ

EJERCICIO Nº4 (propuesto) Realizar el Ejercicio Nº 2 para v = 1.5 – (1.2 z). EJERCICIO Nº5 (propuesto) En un canal rectangular de ancho b, escurre agua con Movimiento Permanente (MP), se conoce el ancho en una sección Ω1-1, la ley de variación de la velocidad y la altura de agua sobre el fondo. Aguas abajo existe un escalón de fondo de subida, de altura “e”. Se desea calcular la altura de agua sobre fondo h2 en una sección Ω2-2, ubicada aguas abajo del escalón. Representar para Q cte., h-B y el escalón en MP. DATOS: h1 = 1.5 m v = 1.8 h1 - 1.2 z [m/s] e = 0.30 m b = 3 m

0=ξ

2=α

3

4

6

8 ==β

3

1=η


HIDRÁULICA GENERAL



HOJA Nº 9 DE 25.

EJERCICIO Nº6

En un canal rectangular se conoce en una sección 1-1, la ley de variación de velocidades, dada por la expresión siguiente:

2

3

22 yu −= [m/s]

contando desde la superficie libre. La profundidad en la sección 1-1 es h1= 1,5 m. Se pide calcular la profundidad en otra sección 2, en la que el fondo ha subido 0,4 m.

Distribución de velocidades

2

3

22 yux −== donde hy =

Procedimiento 1) Cálculo del caudal

Tendremos que calcular el gasto, que es el volumen líquido que pasa por una sección en la unidad de tiempo.

Sección 1-1 Sección 2-2

hT

hR

h1

g

U

2

21

1 =αg

U RR 2

2

=α

g

UTT 2

2

=α

Torrente

Río

a a

h u 0

0,5 1

1,5

2 1,83 1,33 0,5

u[m/s]

2

1

1 0

1,5

1,5

0,5

0,5

h[m]


HIDRÁULICA GENERAL



HOJA Nº 10 DE 25.

hbUUQ ⋅⋅=Ω⋅=

hUb

Qq ⋅==

ms

myydyydhudqq

h h 125,2

9

22

3

22

35,1

0

5,1

0

35,1

0

2

0 0

=−=

−=⋅== ∫∫ ∫

2) Cálculo de la velocidad media

s

m

mms

m

h

qQU 5,1

5,1

125,2

3

===Ω

=

3) Determinación de los coeficientes de velocidad

∫Ω

Ω⋅Ω

=0

33

1du

Uα

2

3

22 yu −=

donde dhbd ⋅=Ω

223 UqbUUhbU ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅Ω

2497,127

8

3

888

5,125,2

1

3

22

11 5,1

0

6422

5,1

0

32

20

32

=

−+−⋅

=

−⋅

=⋅⋅⋅⋅

= ∫∫∫ dyyyydyyUq

dhbuUqb

h

α

∫Ω

Ω⋅Ω

=0

22

1du

Uβ

0889,19

4

3

84

5,125,2

1

3

22

11 5,1

0

425,1

0

22

0

2 =

+−⋅

=

−⋅

=⋅⋅⋅⋅

= ∫∫∫ dyyydyyUq

dhbuUqb

h

β

⇒

0889,010889,11 =−=−= βη ⇒ ξηα ++= 31 ⇒ 017,00889,0312497,131 =⋅−−=−−= ηαξ ⇒

Por lo tanto, por ser ξ tan pequeño se puede despreciar y adoptar

267,131 =+= ηα ⇒ 4) Cálculo de Bernoulli

g

UhB

2

21

111 α+=

( )mmm

g

smmB 646,1115,0267,15,1

2

/5,1267,15,1

2

1 =⋅+=⋅+= ⇒

mmmaBB 246,14,0646,112 =−=−= ⇒

dh dΩ

b

η=0,0889 ξ=0,017

α=1,267

β=1,0889

B1=1,646m

B2= 1,246m


HIDRÁULICA GENERAL



HOJA Nº 11 DE 25.

5) Determinación de la altura en la sección 2-2

Como el escalón es una singularidad, se origina en la transición, un movimiento permanentemente variado, donde la ecuación de continuidad:

.4422

411

4 cteUUUU nn =⋅=⋅=⋅=⋅ ηηηη

Con esta ecuación, entonces, podemos calcular el valor de η2

42

42

4

42

411

2

4500,05,10889,0

UUU

U=⋅=

⋅=

ηη

De esta manera, la altura h2 se calcula por tanteos hasta conseguir el Bernoulli correspondiente a la sección 2-2.

mg

UhB 246,1

2

22

222 =+= α

h2 h

qU =2

42

45,0

U=η 22 31 ηα +=

g

U

2

22

g

U

2

22

2α B2 ∆

0,60 3,75 0,00228 1,0068 0,7167 0,7216 1,3216 0,0759 0,67 3,36 0,00354 1,0106 0,5748 0,5809 1,2509 0,0052

0,68 3,31 0,00375 1,0113 0,5580 0,5643 1,2443 -0,0014

0,69 3,26 0,00398 1,0119 0,5420 0,5484 1,2384 -0,0073 0,70 3,21 0,00422 1,0126 0,5266 0,5332 1,2332 -0,0125 0,80 2,81 0,00719 1,0216 0,4032 0,4119 1,2119 -0,0338 0,90 2,50 0,01152 1,0346 0,3186 0,3296 1,2296 -0,0161 0,92 2,45 0,01258 1,0377 0,3049 0,3164 1,2364 -0,0093 0,93 2,42 0,01313 1,0394 0,2983 0,3101 1,2401 -0,0056

0,94 2,39 0,01371 1,0411 0,2920 0,3040 1,2440 -0,0017

1,00 2,25 0,01756 1,0527 0,2580 0,2716 1,2716 0,0259 1,10 2,05 0,02571 1,0771 0,2132 0,2297 1,3297 0,0840

Como se observa, hay dos valores que verifican o convergen al valor de B2. El valor a adoptar, dependerá de las condiciones de aguas abajo. Por ejemplo, si estamos en régimen sub-crítico o de río, entonces tendremos la altura h2, será

la más alta, es decir 0,94 m para nuestro caso, en tanto que si el régimen es super-crítico o de torrente, la altura h2 será la menor, o sea 0,68 m. Nota: Que α2 sea menor que α1, significa que la distribución de velocidades es más uniforme en la sección 1-1, que en la 2-2. Al aumentar α crece la distribución parabólica, y por dicha razón ξ → 0, o sea que hemos supuesto bien. Al acelerarse la corriente α → 1, ello ocurre cuando hay una rápida aceleración en las zonas cercanas al escurrimiento crítico, y también cuando se presentan tirantes chicos y velocidades grandes. 6) Escurrimiento crítico

Para encontrar la ecuación de mínimo Bernoulli, o sea la mínima energía por unidad de peso, o gasto constante, bastará con igualar a cero su derivada primera.


HIDRÁULICA GENERAL



HOJA Nº 12 DE 25.

g

UhB

2

2

α+=

012

21 =+=+=

dh

dU

g

U

dh

dU

g

U

dh

dB ( 1 )

Si ahora derivamos la ecuación de la continuidad UQ ⋅Ω=

0=Ω+Ω=dh

dU

dh

dU

dh

dQ ⇒

dh

dU

dh

dU ΩΩ

−=

Además dhbd ⋅=Ω ⇒ bU

dh

dU

Ω−=

Reemplazando este valor en la ( 1 )

0112

=Ω⋅⋅−=

Ω

−+=g

bUb

U

g

U

dh

dB ⇒

bg

U cc

Ω⋅=

Si reemplazamos U en ⇒b

gUQ c

ccc

Ω⋅×Ω=⋅Ω= ⇒

b

gQ c

c

Ω⋅×Ω=

Esta última ecuación revela que para una sección dada la velocidad crítica es función del caudal, es decir que queda definida la sección crítica para cada caudal y forma de sección transversal.

En cuanto a la altura de velocidad crítica será:

b2g2b

g

g2U c

c2c Ω

=

Ω⋅

=

y la energía mínima será: b2

hBc cc

Ω+=

El Bernoulli mínimo separa las corrientes en dos grupos: a) Ríos: donde la altura de agua es mayor que la altura crítica (hc) b) Torrentes: donde la altura de escurrimiento es menor que la altura crítica

El tránsito de una corriente a otra es a través de una sección crítica, por lo tanto el escurrimiento que se verifica con un Bernoulli mínimo es un escurrimiento crítico y la profundidad de agua es la altura crítica (hc) y la velocidad es la velocidad crítica (Uc).

Para el caso de una sección rectangular:

3ccc

cccc hgbhghb

bg

hbUQ ⋅⋅=⋅⋅⋅=Ω⋅

⋅⋅=⋅×Ω=

si 3chg

b

Qq ⋅== ⇒ 3

2

g

qhc = ⇒

( )m

sm

smhc 8021,0

/81,9

/25,23

2

22

==

7) Curva de energía

La ecuación Ω⋅⋅−=

g

bU

dh

dB 2

1 nos da la derivada del Bernoulli respecto a la altura, pero

como:


HIDRÁULICA GENERAL



HOJA Nº 13 DE 25.

bg

U cc

Ω⋅= ⇒ 2

c

2

UU

1dhdB −=

Por otra parte es fácil de apreciar que hb

=Ω , por lo que Uc será mayor que U cuando la

altura sea mayor que la crítica, y Uc será menor que U si h es menor que hc. Por lo tanto la derivada del Bernoulli (tangente de la función Bernoulli en un punto) será

positiva en los ríos y negativa en los torrentes. Podemos representar gráficamente la variación de la suma de Bernoulli con la profundidad.

Se ve que la curva tiene 2 asíntotas hB =' y g

UB

2''

2

= . Donde B’ nos da una recta a 45°

en tanto que B” nos da una hipérbola equilátera ya que:

22

2

22

2

2

22 1.

1

2222 hcte

hg

q

hbg

Q

g

Q

g

U ⋅==⋅⋅

=Ω⋅

=

8) Representación gráfica

Realizamos la siguiente tabla de valores.

h b Ω q Ω

== Q

h

qU

g

U

2

2

g

UhB

2

2

+=

0,1 1 0,1 2,25 22,50 25,80 25,9028 0,2 1 0,2 2,25 11,25 6,45 6,6507 0,3 1 0,3 2,25 7,50 2,87 3,1670 0,4 1 0,4 2,25 5,63 1,61 2,0127 0,5 1 0,5 2,25 4,50 1,03 1,5321 0,6 1 0,6 2,25 3,75 0,72 1,3167 0,7 1 0,7 2,25 3,21 0,53 1,2266 0,8 1 0,8 2,25 2,81 0,40 1,2032 0,9 1 0,9 2,25 2,50 0,32 1,2186 1 1 1 2,25 2,25 0,26 1,2580

1,1 1 1,1 2,25 2,05 0,21 1,3132

CONCLUSIONES Para un Q determinado el agua podrá escurrir con distintas energías, pero nunca con una

menor que la crítica Bc. Podemos decir que Bc es el mínimo valor de energía que permite el escurrimiento. El escalón límite es B1-Bc

Cuando se proyecta un canal la sección normal de escurrimiento debe estar alejada de las condiciones de crisis, ya que se pueden originar cambios de regímenes que generan ondas de traslación cuya altura es de la envergadura de la altura de agua.


HIDRÁULICA GENERAL



HOJA Nº 14 DE 25.

EJERCICIO Nº7

Los tanques de la figura están conectados por una tubería de 1220m de longitud y 0,25 m de diámetro. El nivel del recipiente del tanque inferior está a 37 m por encima del nivel del tanque inferior. El gasto que transporta la tubería es de 0,128 m3/s. Determinar: 1. Pérdida de carga total. 2. La presión que existe en la sección a la mitad de la tubería, si dicha sección se encuentra a la misma

elevación que el nivel del tanque inferior, siendo que la mitad de la energía disponible se pierde desde el tanque superior hasta dicha sección.


HIDRÁULICA GENERAL



HOJA Nº 15 DE 25.

1) Considerando que α1 = α2 = 1, la ecuación de la energía (1) se puede aplicar entre los tanques 1 y 2,

con el plano de referencia coincidiendo con la superficie libre del tanque 2:

∑+++=++ r

22

22

2

21

11

1 hg2

UPz

g2UP

z αγ

αγ

(1)

∑+++=++ 2

10000037 rh ⇒ mhr 37

2

1=∑ La pérdida de carga total que se puede producir

es de 37m. 2) La velocidad media en el tubo vale

( ) sm

607,2m0491,0s

m128,0

m25,04

sm

128,0QU

2

3

2

3

===Ω

=π

De la misma forma la ecuación de la energía (1) aplicada entre el tanque 1 y la sección 3 (con la pérdida disponible de la mitad que la anterior ∆hr = 18,50 m), permite calcular la presión P3 como sigue:

m

s

ms

mP

5,1881,92

607,2

00037

2

2

3 +⋅

++=++γ

⇒ 223 m/N9.177

kg1N8.9

mkg

153,18P =×=

Esta presión, obviamente, cambia si cambiamos z3.

1

2

3 z3 = ? P3 = ? z2 = 0

V2 = 0 P2 = 0

L = 1220m D = 0,25m

z1 = 37m V1 = 0 P1 = atm.=0


HIDRÁULICA GENERAL



HOJA Nº 16 DE 25.

EJERCICIO Nº8

El ancho de un canal rectangular abierto se reduce de 1,8 a 1,5 m y el fondo se eleva en 30 cm, de la primera a la segunda sección. El tirante en la primera sección es de 1,2 m y la caída de nivel piezométrico es de 0,08 m. Determinar el caudal de agua en el canal, despreciando las pérdidas de energía.

g2U

hB21

1f1 +=

ff BeB 12 =+ g

Uhe

g

Uh

22

21

1

22

2 +=++ ⇒ ( )g

UUehh

2

21

22

21

−=+−

g2U

hB22

2f2 +=

Además ∆++= 21 heh ⇒ ( ) ∆=+− ehh 21 ⇒ ∆=−g

UU

2

21

22 (1)

Calculando h2, podemos encontrar la relación entre U1 y U2 usando la ecuación de continuidad: mmmmehh 82,030,008,020,112 =−−=−∆−=

2211 Ω=Ω= UUQ ⇒ 2211

2221 570,0

8,12,1

5,182,0U

mm

mmU

bh

bhUU ⋅=

⋅⋅==

en (1) ( ) ∆=⋅− gUU 257,0 22

22 ⇒

s

mm

s

m

U 525,157,01

08,081,92

2

2

2 =−

⋅⋅=

Una vez conocida la velocidad podemos calcular el caudal.

Sección 1 Sección 2

h1 h2

b1 b2

∆

e


HIDRÁULICA GENERAL



HOJA Nº 17 DE 25.

s

m

s

mmmUbhUQ

3

22222 876,1525,15,182,0 =⋅⋅==Ω= ⇒ s

mQ

3

88,1=

EJERCICIO Nº9

El agua fluye en un canal rectangular de 3 m de ancho, tal como lo muestra la figura. Sin considerar las pérdidas, calcular el tirante en la sección 2.

21 BB =

g

Uh

g

Uhz

22

22

2

21

11 +=++

2211 UUQ Ω=Ω= ⇒ 12

1

2

112 U

h

h

hb

UhbU =

⋅⋅

=

g

Uh

h

hg

Uhz

22

2

12

1

2

21

11

+=++

( )22

2

2

2

2

2

2

2,1

81,92

9,4

81,92

9,42,14,2

h

m

s

ms

m

h

s

ms

m

mm⋅

+=⋅

++ º

h2 = -0,5714 m

22

3

2

76,182,4

h

mhm += ⇒ 076,182,4 32

232 =+⋅− mhmh h2 = 0,6496 m

h2 = 4,7417 m La raíz negativa del polinomio de tercer grado no tiene significado físico, la altura menor corresponde al régimen de torrente y la altura mayor al régimen de río.

U1 = 4,9 m/s h1 = 1,2 m z1 = 2,4 m

U1

h2

h1

z1

U2

b

h


HIDRÁULICA GENERAL



HOJA Nº 18 DE 25.

EJERCICIO Nº10

Si la distribución de velocidades en un conducto circular está dada por: n

R

r

v

v

−= 10

donde R

es el radio de la conducción, y v0 es la velocidad en el centro del mismo. Calcular el caudal y la velocidad media U, como funciones de v0 y n.

∫ Ω⋅= dvQ

donde 0

n

vRr

1v

−= y drrd ⋅⋅=Ω π2

( ) =

+−⋅=

+−⋅=

−⋅=⋅⋅

−=+++

∫∫ n

2n2

0

R

0

2n

n

2

0

R

0n

1n

0

R

0

n

0 R2nR

2R

v22n

rR1

2r

v2drRr

rv2dr2Rr

1vQ ππππ

( ) ( ) ( )2

02

0

n2n2

0 R2n

nv

2n222n

Rv22n

R2

Rv2

+⋅=

+−+⋅⋅=

+−⋅=

−+

πππ ⇒ ( )2

0 R2n

nvQ

+⋅= π

( ) 02

20

2v

2nn

R2n

Rnv

RQQ

U+

=⋅⋅+⋅⋅⋅

==Ω

=π

ππ

⇒ 0v2n

nU

+=

EJERCICIO Nº11

Un canal de sección rectangular tiene un estrechamiento como el de la figura. Conociendo h1 = 0,8 m y b =2 m, calcular la altura h2 en el estrechamiento para un caudal de 1m3/s.

R

r

dr

dΩ

Sección 1 Sección 2 b

h1


HIDRÁULICA GENERAL



HOJA Nº 19 DE 25.

g

UhB

2

21

11 +=

g

UhB

2

22

22 += ⇒ 12 BB =

s

m

mms

m

bh

QU 625,0

28,0

13

11 =

⋅== ⇒ m

s

ms

m

mB 820,081,92

625,08,0

2

2

1 =⋅

+= ⇒ mB 82,02 =

Por la ecuación de continuidad 2211 Ω=Ω= UUQ ⇒ 2

112 Ω

Ω=

UU

gbh

bhUgbh

gbh

bhUh

g

UhB

2

2

2

1

2 22

22

21

21

212

32

2

22

1112

22

22

+=

+=+= ⇒ 2

121

212

322

22

22 22 bhUgbhBgbh +=⋅

y como 12 bb = ⇒ 022 21

21

222

322 =+⋅−⋅ hUhgBhgb

mh 11664,02 −=

025,009,1662,19 22

32 =+⋅−⋅ hh mh 8,02 =

mh 13655,02 =

La raíz negativa no tiene significado físico, mientras que de las positivas la mayor corresponde al régimen de río y la menor al régimen de torrente. EJERCICIO Nº12

Un canal de gran ancho, y con una altura de agua h = 2,4 m, presenta la siguiente ley de

variación de velocidades: h

yv 2,16,0 += v(m/s) y h(m)

Según esta misma ecuación la velocidad superficial es de 1,8 m/s y la de fondo 0,6 m/s. Calcular:

1. El caudal por unidad de ancho q 2. La velocidad media U 3. El Bernoulli medio Bm

1) El caudal por unidad de ancho q

∫∫∫ ⋅=

⋅⋅=

⋅== dyv

b

dybv

b

dv

bQ

qω

hhhyh

ydyyh

dydyh

yq

hhh

hh

4,18,06,03

22,16,0

2,16,02,16,0

00

2/32/10

0

2/12/1

0

5,0

=+=+=+=

+= ∫ ∫∫

⇒ hq 4,1=

( ) ms

mq

⋅=⋅=

3

4,2 36,34,24,1 ⇒ ms

mq

⋅=

3

36,3


HIDRÁULICA GENERAL



HOJA Nº 20 DE 25.

2) La velocidad media U

s

m

mms

m

h

q

bh

bqQU 4,1

4,2

36,33

=⋅==⋅⋅=

Ω= ⇒

s

mU 4,1=

3) El Bernoulli medio Bm

g

UhBm

2

2

α+=

=⋅

=⋅⋅⋅

=ΩΩ

= ∫∫∫Ω

h

0

33

h

0

333

3

dyvUh1

dybvUhb

1d

Uv1α

=

+⋅+⋅+=

+⋅

= ∫∫ dyyh

yh

yh

dyh

y

Uh

hh

0

2/32/3

2/12/1

0

32/1

3

728,144,16,03

2,136,03216,02,16,0

1

=+++⋅

=h

yh

yh

yh

yUh 0

2/52/3

22/32/13 5

2728,1

2

1592,2

3

2296,1216,0

1

332/5

2/322/3

2/13

0672,30672,3

16912,0296,1864,0216,0

1

Uh

Uhh

hh

hh

hh

Uh=

⋅=

+++⋅

=

⇒ 118,14,1

0672,30672,333

==U

α

m

s

ms

m

mg

UhBm 512,2

81,92

4,1118,14,2

22

2

2

=⋅

+=+= α ⇒ mBm 512,2=

EJERCICIO Nº13

El agua fluye por una canalización abierta con un escalón de fondo de 0,15 m y un ancho constante. Las velocidades medias son U1 = 3 m/s y U2 = 4,5 m/s. Calcular las alturas de agua h1 y h2 para el movimiento permanente variado que se produce, suponiendo que no hay pérdida de energía en el escalón de fondo

eg2

Uh

g2U

hB22

2

21

1 ++=+= (1)

Por la ecuación de continuidad:

bhUbhU 2211 = ⇒ 21

21 h

U

Uh = y 1

2

12 h

U

Uh =

h1

e

h2 U1 U2


HIDRÁULICA GENERAL



HOJA Nº 21 DE 25.

Reemplazando el valor obtenido de h1 en (1)

eg

Uh

U

U

g

Uh ++=+

22

22

12

121

1 ⇒ eg

UU

U

Uh +

−=

−

21

21

22

2

11

⇒

m170,2

sm

3sm

5,4

sm

5,4

s

m81,92

m15,0s

m81,92

sm

3sm

5,4

UUU

g2eg2UU

h

2

2

22

12

221

22

1 =−

×⋅

⋅+

−

=−

×⋅+−

=

⇒ mh 17,21 = Conociendo h1, se puede calcular h2 a partir de la ecuación de continuidad.

mm

s

ms

m

hU

Uh 447,117,2

5,4

3

12

12 === ⇒ mh 45,12 =

EJERCICIO Nº14

Calcular los coeficientes α,β,η y ξ, y determinar la energía de la corriente de las siguientes características.

Determinación del caudal y de la velocidad media

=−⋅=⋅

−=Ω⋅== ∫ ∫∫h

0

2h

0 2y

51

yh5,0bdyby51

h5,0dvdqQ

( )s

mmmhb

hhb

322

22

88,22,155

2

5

2

102=⋅=⋅=

−= ⇒

s

mQ

3

88,2=

s

m

mms

mQ

U 48,02,15

88,23

=⋅

=Ω

= ⇒ s

mU 48,0=

b

h dy yhv

5

15,0 −=

mh 2,1= mb 5=

yhv5

15,0 −=


HIDRÁULICA GENERAL



HOJA Nº 22 DE 25.

Cálculo de los coeficientes de velocidad (αααα,ββββ,ηηηη y ξξξξ)

=⋅

−⋅

=ΩΩ

= ∫∫h

0

3

33

3dyby

51

h21

hbU1

dvU

1α

=−+⋅−⋅=

−⋅⋅+⋅⋅−= ∫hh yyhyh

yh

hUdyyyhyhh

hU0

43223

30

32233 4125

1

350

3

220

3

8

1

125

1

25

1

2

13

5

1

4

13

8

11

0625,148,0

2,1068,0068,0

500150

3

40

3

8

13

3

34444

3=

==

−+−=

U

hhhhh

hU ⇒ 0625,1=α

=⋅

−⋅

=ΩΩ

= ∫∫h

0

2

32

2dyby

51

h21

hbU1

dvU

1β

=+⋅−⋅=

+⋅⋅−= ∫hh yyh

yh

hUdyyyhh

hU0

322

20

222 325

1

254

1

25

1

5

1

2

12

4

11

0208,148,0

2,1163,0163,0

75104

12

2

2333

3=

==

+−=

U

hhhh

hU ⇒ 0208,1=β

0208,010208,11 =−=−= βη ⇒ 0208,0=η

ξηα ++= 31 ⇒ 0001,00208,0310625,131 =⋅−−=−−= ηαζ ⇒ 0001,0=ξ

Cálculo del Bernoulli

m

s

ms

m

mg

UhB 212,1

81,92

48,00625,12,1

22

2

2

=⋅

+=+= α ⇒ mB 212,1=

EJERCICIO Nº15

Determinar U y los coeficientes de velocidad (α,β,η y ξ) en un conducto cilíndrico con distribución de velocidad:

−=

2

2

max R

r1vv

vmax

r

R

R R

dr

dΩ


HIDRÁULICA GENERAL



HOJA Nº 23 DE 25.

Determinación de la velocidad media

=−⋅=

−⋅=⋅

−=Ω⋅== ∫∫ ∫∫

R

0

4

2

2

max

R

02

3

max

h

02

2

max 4r

R1

2r

v2drRr

rv2drr2Rr

1vdvdqQ πππ

4R

v24

R2

Rv2

2

max

22

max ⋅=

−⋅= ππ ⇒

2

RvQ

2max⋅

=π

2

v

R2

RvQU max

2

2max ⋅

=⋅

⋅=

Ω=

ππ

⇒ 2

vU max=

Cálculo de los coeficientes de velocidad

∫∫∫ =⋅

−+−=⋅

−=Ω

Ω=

R

06

6

4

4

2

23max3

max2

h

0

3

2

2

max3max

2

33

3drr

R

r

R

r3

R

r312v

vR

8drr2

R

r1v

vR

2dv

U

1 ππ

ππ

α

=−+−=

−+−= ∫

RR r

R

r

R

r

R

r

Rdr

R

r

R

r

R

rr

R0

8

6

6

4

4

2

2

20

6

7

4

5

2

3

2 8

1

6

3

4

3

2

1633

16

8

16

8

1

6

3

4

3

2

16 2222

2=

−+−= RRR

R

R ⇒ 2=α

∫∫∫ =⋅

+−=⋅

−=Ω

Ω=

R

04

4

2

22max2

max2

h

0

2

2

2

max2max

2

22

2drr

R

r

R

r212v

vR

4drr2

R

r1v

vR

2dv

U

1 ππ

ππ

β

6

8

6

1

22

8

6

1

4

2

2

82

8 222

20

6

4

4

2

2

20

4

5

2

3

2=

+−=+−=

+−= ∫ R

RR

R

r

R

r

R

r

Rdr

R

r

R

rr

R

RR

⇒ 3

4=β

3

11

3

41 =−=−= βη ⇒

3

1=η

ξηα ++= 31 ⇒ 03

131231 =−−=−−= ηαζ ⇒ 0=ξ

EJERCICIO Nº16

Un tubería vertical de 1,8 m de diámetro y 22 m de longitud tiene una altura de presión en el extremo superior de 5,6 m de columna de agua. Cuando el caudal es tal que la velocidad media vale 5 m/s, despreciando las pérdidas de energía, hallar la altura de presión en el extremo inferior de la tubería cuando el flujo sea hacia abajo y hacia arriba.


HIDRÁULICA GENERAL



HOJA Nº 24 DE 25.

g

Upz

g

Upz BB

BAA

A 22

22

++=++γγ

y como 22BA UU = ⇒

γγB

BA

A

pz

pz +=+

mmmzp

zp

AB

BA 6,2706,522 =−+=−+=

γγ

EJERCICIO Nº17

Suponiendo un canal rectangular abierto donde la velocidad en la superficie es el doble que en el fondo del canal. La velocidad varía linealmente de arriba hacia abajo. Hallar los coeficientes de velocidad α,β,η y ξ.

La distribución de velocidades sigue la ley:

+=+=hy

1VyhV

Vv

Con esta fórmula se pueden calcular el caudal Q y la velocidad media U

2hbV3

2h

hbV2y

h1

ybVdybhy

1VdvQh

0

2h

0

⋅⋅⋅=

+⋅=+⋅=⋅

+=Ω⋅= ∫∫Ω

⇒ 2

hbV3Q

⋅⋅⋅=

D = 1,8m L = 22m P/γ = 5,6m U = 5m L

B

A

dy

V b

h v

y

2V

D


HIDRÁULICA GENERAL



HOJA Nº 25 DE 25.

V23

hb2hbV3Q

U =⋅⋅

⋅⋅⋅=Ω

= ⇒ V23

U =

Cálculo de los coeficientes de velocidad

=

+⋅++=⋅

+⋅

=ΩΩ

= ∫∫∫h

0

33

22

h

0

33

33

33

3dyy

h

1y

h

13y

h1

31h27

8dyb

hy

1VhbV3

2dv

U

1α

4

15

27

8

4

1

2

3

27

8

4

1

3

3

2

3

27

8

0

4

3

3

2

2

=

+++=+++= hhhhh

y

h

y

h

y

hy

h

h

⇒ 9

10=α

=

+⋅+=⋅

+⋅

=ΩΩ

= ∫∫∫h

0

22

h

0

22

22

22

2dyy

h1

yh1

21h94

dybhy

1VhbV3

2dv

U1β

3

7

9

4

3

1

9

4

3

1

2

2

9

4

0

3

2

2

=

++=++= hhhh

y

h

y

hy

h

h

⇒ 27

28=β

27

11

27

281 =−=−= βη ⇒

27

1=η

ξηα ++= 31 ⇒ 027

131

9

1031 =−−=−−= ηαζ ⇒ 0=ξ

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