MINISTERIO DE EDUCACIÓN

DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN DE SAN MIGUELITO

INSTITUTO RUBIANO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

TRIMESTRE: II

GUÍA DIDÁCTICA

TEMAS: • El Conjunto de los Números racionales

• Rectas Paralelas cortadas por una Transversal

Publicación en la página web:

del 7 al 9 de julio de 2021.

Fecha de entrega al docente:

19 de agosto de 2021

ATENCIÓN SEMANAL ASINCRÓNICA

PROFESOR DÍA HORARIO DÍA HORARIO

José E. Velarde MARTES 10:00−10:20 VIERNES 09:00−09:20

Josimar guerra LUNES 10:00−10:20 VIERNES 08:00−08:20

Evelin Ortega LUNES 1:30-1:50 VIERNES 3:30-3:50

Oscar Rubattino LUNES 1:30-1:50 JUEVES 3:30-3:50

28 de junio de 2021

PRESENTACIÓN

El año 2020 nos ha situado en una nueva realidad que nos exige generar

cambios en nuestra forma de educar. Hoy día, es normal manejarnos con

medios tecnológicos, pero dada la situación que se ha generado a nivel mundial

es imprescindible que nuestra educación no se detenga. De allí que se nos hace

un llamado a que todos pongamos a disposición del bien de la comunidad

educativa, cada uno de los recursos y competencias que sirvan para continuar

con miras a buscar nuevos rumbos que hagan la diferencia en nuestra realidad.

Para ello todos debemos poner de nuestra parte, siendo agentes activos en la

construcción del aprendizaje.

Sé tu mayor competidor. Desafíate cada día a ti

mismo para ser mejor de lo que fuiste ayer.

Kaoru

INDICACIONES GENERALES 5

OBJETIVOS DE GENERALES 6

OBJETIVOS ESPECÍFICOS 6

INDICADORES DE LOGRO 6

TEMA 1: EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES 7

1.1 DEFINICIÓN 7

1.2 ESCRITURA DECIMAL DE UN NÚMERO FRACCIONARIO 10

1.3 DEFINICIÓN DE NÚMERO DECIMAL 11

1.4 PARTES DE UN NÚMERO DECIMAL 11

1.5 DÍGITOS DE UN NÚMERO DECIMAL 12

1.6 RELACIÓN DE LOS NÚMEROS DECIMALES CON NUESTRO SISTEMA MONETARIO 12

1.7 VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO RACIONAL 13

1.8 RELACIÓN DE ORDEN DE LOS NÚMEROS RACIONALES 14

1.9 PRUEBA SUMATIVA #1 17

TEMA 2: OPERACIONES CON FRACCIONES 19

2.1 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ................................................................................................................................... 19 2.2 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ........................................................................................................................................ 19 ➢ PRÁCTICA DE LA SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES. ......................................................................................... 21

2.3 TRANSFORMACIÓN DE UNA FRACCIÓN IMPROPIA A FRACCIÓN MIXTA Y VICEVERSA 22

2,4 ADICIÓN DE FRACCIONES .................................................................................................................................... 23

2.4.1 FRACCIONES DE IGUAL DENOMINADOR. 23

2.4.2 FRACCIONES DE DISTINTO DENOMINADOR. 24

➢ CRITERIOS PARA LA OBTENCIÓN DEL M.C.M ............................................................................................... 25 ➢ PRÁCTICA SOBRE EL CÁLCULO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO. ...................................................................... 27 ➢ EJEMPLOS DE LA SUMA DE FRACCIONES DE DISTINTO DENOMINADOR ................................................................ 27 ➢ PRÁCTICA SOBRE LA SUMA DE FRACCIONES .................................................................................................. 30 2.5 RESTA DE FRACCIONES ......................................................................................................................................... 31

2.5.1 PRÁCTICA SOBRE LA RESTA DE FRACCIONES 31

2.6 APLICACIONES DE LA SUMA Y LA RESTA DE NÚMEROS FRACCIONARIOS .............................................................. 32

2.6.1 PRÁCTICA SOBRE LAS APLICACIONES DE LA SUMA Y LA RESTA DE FRACCIONES 34

2.7 PRUEBA SUMATIVA #2 35

2.8 PRODUCTO DE NÚMEROS FRACCIONARIOS. ........................................................................................................ 37 2.9 DIVISIÓN DE NÚMEROS FRACCIONARIOS ......................................................................................................... 38 ➢ PROBLEMAS DE APLICACIÓN DEL PRODUCTO Y LA DIVISIÓN DE FRACCIONES ........................................................ 39 ➢ PRÁCTICA Y EXPLICACIÓN SOBRE LA APLICACIÓN DE LA MULTIPLICACIÓN Y LA DIVISIÓN DE FRACCIONES. .................... 42 2.10 PRUEBA SUMATIVA #3 ....................................................................................................................................... 43

TEMA 3. OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES 45

3.1 SUMA DE DECIMALES 45

3.1.1 PRÁCTICA DE LA SUMA DE DECIMALES 46

3.2 RESTA DE DECIMALES 46

3.2.1 PRÁCTICA DE LA RESTA DE DECIMALES 47

3.3 PRODUCTO DE DECIMALES 48

3.3.1 PRÁCTICA DEL PRODUCTO DE DECIMALES 49

3.4 DIVISIÓN DE DECIMALES 50

3.4.1 PRÁCTICA SOBRE LA DIVISIÓN DE DECIMALES 51

3.4.2 ESCRITURA DE UNA FRACCIÓN DECIMAL A NOTACIÓN DECIMAL 53

3.4.3 PRÁCTICA SOBRE LA ESCRITURA DE FRACCIONES DECIMALES EN SU NOTACIÓN DECIMAL 53

3.5 PRUEBA SUMATIVA #4 .............................................................................................................................................. 54

TEMA 4: RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPENDICULARES 57

4.1 RECTAS PARALELAS (DEFINICIÓN). ............................................................................................................................. 57 4.2 RECTAS PERPENDICULARES. ..................................................................................................................................... 59 2.3 PAREJAS DE ÁNGULOS. ........................................................................................................................... 60 4.3.1 Ángulos complementarios. 60 4.3.2 Ángulos suplementarios. 60 4.3.3 Ángulos opuestos por el vértice. 60 ➢ EJEMPLOS DE PROBLEMAS RELATIVOS A LOS ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS, SUPLEMENTARIOS Y OPUESTOS POR EL VÉRTICE. 62 ➢ ÁNGULOS RECTOS. ................................................................................................................................ 62 ➢ ÁNGULOS LLANOS ................................................................................................................................. 63 ➢ ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE ......................................................................................................... 63

PRÁCTICA SOBRE PROBLEMAS RELATIVOS A LOS ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS, SUPLEMENTARIOS Y OPUESTOS POR EL VÉRTICE. 64

4.4 RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE (O TRANSVERSAL). 67

• RELACIÓN ENTRE LOS ÁNGULOS FORMADOS POR 2 RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE A ELLAS. 68

• EJEMPLOS DE PROBLEMAS RELATIVOS A LOS ÁNGULOS QUE SE FORMAN CUANDO DOS PARALELAS SON CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL (SECANTE). 69

PRÁCTICA SOBRE PROBLEMAS RELATIVOS A LOS ÁNGULOS QUE SE FORMAN CUANDO RECTAS PARALELAS SON CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL Y

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE. ................................................................................................................................. 70

PRUEBA SUMATIVA #5: RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL. 72

BIBLIOGRAFIA 75

INFOGRAFÍA 75

LISTA DE COTEJO 78

INDICACIONES GENERALES

Te presentamos una Guía Didáctica, en la que encontrarás los temas del II Trimestre juntamente con

algunas prácticas que tienen sus respuestas para que evalúes tus aprendizajes. Este trabajo requiere que

aportes mucho entusiasmo y deseos de superación y requiere cumplir algunas indicaciones:

Lea con mucha atención las indicaciones.

Revisa cuidadosamente el material, las veces que lo consideres necesario.

Resuelve las actividades asignadas, a conciencia.

Ánimo, no estamos solos y

como equipo lograremos

hacer cambios que

marcaran nuevas rutas.

OBJETIVOS DE GENERALES

1. Aplica correctamente la regla de los signos y las propiedades en las operaciones con los

Racionales.

2. Emplea los números racionales, para resolver ejercicios y problemas en situaciones del

contexto aplicando sus propiedades y algoritmo.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

1. Resolver Operaciones básicas del conjunto de los Números Racionales

2. Define y caracteriza el conjunto de los Números Racionales

3. Define y denota el conjunto de los números racionales.

4. Identifica y resuelve operaciones en el conjunto de los Números Racionales.

INDICADORES DE LOGRO

o Enuncia correctamente la ley de los signos de las operaciones de números Racionales.

o Define y denota los números racionales.

o Identifica correctamente los números racionales.

o Nombra con precisión diferente números racionales.

o Aplica el valor absoluto según la definición.

o Compara números racionales utilizando los signos de relación de orden (<,>, =).

o Identifica correctamente las operaciones básicas y sus términos.

o Identifica correctamente operaciones básicas y sus términos.

o Realiza operaciones básicas de números racionales aplicando las reglas.

o Aplica las propiedades de la potenciación de números racionales

7

TEMA 1: EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES

Seis alumnos del Instituto Rubiano compraron una pizza. Si cada uno colaboró con

igual cantidad de dinero, ¿qué parte de la pizza le corresponde a cada uno?

¿Cómo represento la parte que a cada uno le corresponde?

Para representar esta situación, existe un conjunto de números. Es el llamado

conjunto de los NÚMEROS RACIONALES. El concepto de número racional surge

a partir de la idea intuitiva de dividir una totalidad en partes iguales.

1.1 DEFINICIÓN

El conjunto de los números racionales se simboliza Q y se define como el conjunto de

cocientes entre dos números enteros, es decir,

8

¿Cómo se representan los números racionales?

Analizando la situación anterior, la pizza representa la unidad (1 unidad), y si la dividimos

en 6 partes iguales, tenemos:

9

Una fracción es el cociente de dos números enteros a y b, que representamos de la siguiente

forma:

1, numerador de la fracción, es el número de partes que se considera de la unidad o total.

6, denominador, indica el número de partes en que se ha dividido la unidad.

Observa los ejemplos: escribe la fracción que corresponde a la región coloreada.

10

1.2 ESCRITURA DECIMAL DE UN NÚMERO FRACCIONARIO

Una fracción, además de representar las partes que desean tomar en cuenta cuando una

unidad es dividida en partes iguales, también representa un cociente indicado entre 2

números Enteros. De esta manera, cuando dividimos el Numerador entre el Denominador

de una fracción, se obtiene un número decimal que puede ser finito o infinito periódico,

dependiendo de la fracción que se esté considerando.

• Decimal finito:

Es aquel número decimal que se obtiene de fracciones en las cuales, al dividir el

numerador entre el denominador, se obtiene un número exacto o finito de cifras

decimales.

• Decimal infinito periódico:

Es aquel número decimal que se obtiene de fracciones en las cuales, al dividir el

numerador entre el denominador, se obtiene un número infinito y periódico de cifras

decimales.

Veamos la siguiente tabla:

Fracciones que se representan a través de

números decimales finitos:

Fracciones que se representan a través de

fracciones infinitas periódicas

1) 1

4= 1 ÷ 4 = 0.25

Pasos:

𝑎) 1 ÷ 4 = 0.

𝑏) 1 ÷ 4 = 0.2

10

−8

2

c) 1 ÷ 4 = 0.25

10

−8

20

−20

0

2) 1

3= 1 ÷ 3 = 0.333 …

Pasos:

𝑎) 1 ÷ 3 = 0.

𝑏) 1 ÷ 3 = 0.3

10

−9

1

c) 1 ÷ 3 = 0.33 …

10

−9

10

−9

1

11

3) 12

5= 12 ÷ 5 = 2.4

Pasos:

𝑎) 12 ÷ 5 = 2

−10

2

𝑏) 12 ÷ 5 = 2. − 10

20

c) 12 ÷ 5 = 2.4

10

−8

20

−20

0

4) 16

3= 16 ÷ 3 = 5.33 …

Pasos:

𝑎) 16 ÷ 3 = 5

−15

1

𝑏) 16 ÷ 3 = 5. − 15

10

c) 16 ÷ 3 = 5.3

− 15

10

−9

1

1.3 DEFINICIÓN DE NÚMERO DECIMAL

Un número decimal es un numero compuesto de 2 partes: una parte entera y una parte

menor que la unidad (llamada parte decimal), separadas por un punto o una coma. Tanto la

parte entera como la parte decimal pueden tener cualquier cantidad de dígitos

1.4 PARTES DE UN NÚMERO DECIMAL

12

1.5 DÍGITOS DE UN NÚMERO DECIMAL

Parte Entera Parte Decimal

1.6 RELACIÓN DE LOS NÚMEROS DECIMALES CON NUESTRO SISTEMA MONETARIO

13

1.7 VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO RACIONAL

En matemáticas, el valor absoluto de un número Racional "𝑥", denotado por |𝑥| , es el

valor no negativo de "𝑥", sin importar el signo, sea este positivo o negativo.

Ejemplos:

1) |−7

16| =

7

16

2) |15

4| =

15

4

3) |−0.6| = 0.6

4) |3.75| = 3.75

14

1.8 RELACIÓN DE ORDEN DE LOS NÚMEROS RACIONALES

SIMBOLO SE LEE

> Es mayor que

< Es menor que

= Es igual que

Al igual que en los números enteros podemos comparar números racionales

Comparación del cero con otras cantidades.

El 0 es mayor que todo negativo

0 > −2

3 0 <

2

3

El 0 es menor que todos los positivos.

Comparación de una cantidad positiva con otra negativa.

Toda cantidad positiva es mayor que

toda cantidad negativa.

Comparación de fracciones positivas

• Si tienen el mismo denominador,

basta con comparar los numeradores. El

mayor es el que tiene mayor numerador. 6

5<

1

5

1.2 < 0.2

• También podemos dividir las

fracciones y convertirlas en notación

decimal para comparar los decimales.

Todo número a la derecha de otro es

mayor. Esto es válido para cualquier par

de fracciones o números decimales.

−6

5< −

1

5

−1.2 < −0.2

3

4> −

5

4

15

Comparación de fracciones a través del producto en cruz.

Otra forma de comparar fracciones seria multiplicar en cruz las fracciones y

luego comparar los productos cruzados

𝑎

𝑏>

𝑐

𝑑 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 (𝑎)(𝑑) > (𝑏)(𝑐)

𝟏

2>

1

𝟑 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 (1)(𝟑) > (2)(1)

O sea, 3 > 2

𝑎

𝑏<

𝑐

𝑑 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 (𝑎)(𝑑) < (𝑏)(𝑐)

𝟑

4>

2

𝟕 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 (3)(𝟕) > (4)(2)

O sea, 21 > 8

16

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 (𝑎)(𝑑) = (𝑏)(𝑐)

𝟏

2=

4

𝟖 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 (1)(𝟖) = (2)(4)

O sea, 8 = 8

17

1.9 PRUEBA SUMATIVA #1

MINISTERIO DE EDUCACIÓN

DIRECCIÒN REGIONAL DE SAN MIGUELITO

INSTITUTO RUBIANO

PRUEBA SUMATIVA #1

MATEMÁTICA

TEMA: El conjunto de los números racionales "Q" Valor 34 puntos

Nombre Nivel 7°

Fecha

Indicación general: lea correctamente antes de resolver. Escriba sus respuestas en forma clara sin

borrones ni tachones.

Parte1. El valor absoluto.

Determine el Valor absoluto de las siguientes cantidades. Valor: 5 puntos (1 punto c/u)

Parte 2. Relación de Orden entre números fraccionarios.

Escriba en la línea el símbolo <, >, = según sea el caso, recuerda los procedimientos dados.

Valor: 10 puntos (2 puntos c/u)

−6

7

−18

21

+5

9

7

10

+8

2

−2

9

+6

4

6

4

+1

2

−1

1) |−2

9 | =

2) | 2.008 | =

3) |−1

23 | =

4) |−3.1415 | =

5) |+32

5 | =

18

Parte 3. Relación de orden entre números decimales. Escriba en la línea el símbolo <, >, = según sea el

caso, recuerda los criterios estudiados. Valor: 10 puntos (2 puntos c/u)

0.8

0.81

−0.6

−0.5

+0.5

0.055

+0.75

2.5

−0.1

−0.1111

Parte 4. Transformación de una fracción a decimal.

Expresa cada fracción, mediante un número decimal. Valor: 9 puntos (3 puntos c/u).

NOTA: El proceso de división debe aparecer de manera completa.

2

3= −

13

5=

21

10=

19

TEMA 2: Operaciones con Fracciones

2.1 Simplificación de fracciones

Existen fracciones que representan cantidades iguales, aún cuando se escriban de manera distinta,

Estas fracciones equivalentes se obtienen cuando el numerador y el denominador son multiplicados

por una misma cantidad. A través del proceso de simplificación podemos reducir el numerador y el

denominador de muchas fracciones en las cuales sus elementos han sido aumentados mediante la

multiplicación del numerador y el denominador por una misma cantidad.

Simplificar una fracción es transformarla en una fracción equivalente a la fracción dada, pero que

tengan los términos menores.

Para simplificar una fracción dividimos numerador y denominador por un mismo número. La

simplificación termina cuando se obtiene una fracción que tiene los términos primos entre sí, y se

llama fracción irreducible (no hay ningún número que divida numerador y denominador al mismo tiempo).

Para realizar las divisiones, nos apoyaremos con las reglas de divisibilidad.

2.2 Criterios de divisibilidad

Los criterios o caracteres de divisibilidad son ciertas señales de los números que nos permiten

conocer, por simple inspección si un número es divisible por otro.

20

Existen otras reglas que usted puede investigar y que lo ayudan para la rápida resolución de problemas de división.

Para que el proceso de simplificación sea más rápido y efectivo, existen criterios de divisibilidad relacionados con

lo que conocemos como: “El Criterio de Las Tablas de Multiplicar”.

“Cuando número se puede expresar como el producto de 2 o más cantidades, este número se puede

dividir entre cualquiera de sus factores”

Existen 2 formas de representar el proceso de simplificación: la forma vertical y la forma horizontal.

= −

= −4

5

21

➢ Práctica de la simplificación de fracciones.

Simplifique las siguientes fracciones:

1) 20

30= 6)

10

30= 11)

32

36=

2) 500

800 7)

8

16= 12)

42

63=

3) 50

800= 8)

16

8= 13)

72

9=

4) 30

90= 9)

25

40= 14)

9

72=

5) 30

10= 10)

24

16 15)

45

63=

22

2.3 Transformación de una fracción impropia a fracción mixta y viceversa

Para transformar una fracción impropia a número mixto, dividimos el numerador entre el

denominador, colocamos el resultado como entero, lo que sobra es el numerador y repetimos el

denominador.

Para transformar un número mixto a fracción impropia, se multiplica el entero del número

mixto por el denominador, para luego sumarle a este producto el numerador de dicha

fracción. Este total será el numerador de la fracción impropia. El denominador de la

fracción impropia será el mismo denominador del número mixto.

23

2,4 ADICIÓN DE FRACCIONES

Para resolver adiciones con fracciones consideraremos las siguientes situaciones:

2.4.1 Fracciones de Igual Denominador.

Si los racionales tienen el mismo denominador, estas fracciones se denominan “fracciones

homogéneas”, en este caso se suman los numeradores y se coloca el mismo denominador.

Observa estos ejemplos

1)

2) −7

5+

6

5=

−7+6

5= −

1

5

Ambos racionales tienen

igual denominador, por lo

que se coloca el mismo

denominador y, como sus

signos son iguales, se suman,

y se coloca el

mismo signo.

Ambos racionales tienen igual

denominador, por lo que se

coloca el mismo denominador

y, como sus signos son

diferentes, se restan, y se

coloca el

signo del mayor en valor

absoluto.

3) 7

20−

21

20=

7 − 21

20= −

14

20= −

7

10 4) −

100

300−

800

300= −

1

3−

8

3= −

9

3= −3

NOTA: En la suma de fracciones, los sumandos o sus resultados pueden ser simplificados de

acuerdo con las posibilidades que se pueden presentar en cada problema.

24

2.4.2 Fracciones de distinto denominador.

Si los racionales tienen denominador diferente son heterogéneos, en este caso se procede a

buscar el Mínimo Común Múltiplo (M.C.M) para homogenizar las fracciones y luego se aplica el caso

anterior.

Ejemplos:

1) El M.C.M de los números 16 y 8 es el número 16.

16

16= 1

16

8= 2

2) El M.C.M de los números 24, 12 y 8 es el número 24.

24

24= 1

24

12= 2

24

8= 3

3) El M.C.M de los números 7 y 8 es el número 56.

56

7= 8

56

8= 7

A través de M.C.M las fracciones que tienen diferente denominador, se pueden transformar en fracciones

que tienen igual denominador. De esta manera, las sumas de fracciones de diferente denominador se

pueden transformar en sumas de fracciones de igual denominador.

El Mínimo Común Múltiplo de 2 o más cantidades es el número más pequeño que se

puede dividir exactamente entre estos números.

25

➢ Criterios para la obtención del M.C.M

• Dados 2 o más números, si el mayor de estos números se puede dividir entre “todos” los

demás, el M.C.M será el mayor de ellos.

• Ejemplos:

1) El M.C.M de los números 12, 6 y 4 es 12. O sea,

M.C.M(12, 6 ,4) = 12

2) M.C.M(24, 4 ,3) = 24

3) M.C.M(48, 6) = 48

• Dados 2 o más números, si estos no poseen divisores comunes (los números dados no pueden

dividirse por una misma cantidad) entonces, el M.C.M entre estor números será igual al

producto de estos.

• Ejemplos:

1) M.C.M(7, 6) = 42

2) M.C.M(3, 5) = 15

3) M.C.M(5, 4, 3) = 60

4) M.C.M(7, 6, 3) = 42

• Dados 2 o más números, si no se cumplen los casos anteriores, o sea, que el mayor no se

puede dividir entre todos los demás, pero hay divisores comunes entonces se procede a

buscar el M.C.M a través de la descomposición (simultánea) de. los números dados en sus

factores primos.

NOTA: Recordemos que los números primos son números que solamente pueden dividirse entre ellos

mismos y por la unidad (el número 1).

𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔 𝑷𝒓𝒊𝒎𝒐𝒔 = {𝟐, 𝟑, 𝟓, 𝟕, 𝟏𝟏, 𝟏𝟑, 𝟏𝟕, 𝟏𝟗, 𝟐𝟑, 𝟐𝟗, … }

PRIMOS POSIBLES

DIVISORES NO PRIMOS

POSIBLES

DIVISORES

2 2 ÷ 1 = 2 2 ÷ 2 = 1

4

4 ÷ 1 = 4

4 ÷ 4 = 1

𝟒 ÷ 𝟐 = 𝟐

3 3 ÷ 1 = 3 3 ÷ 3 = 1

6 6 ÷ 1 = 6

6 ÷ 6 = 1

26

𝟔 ÷ 𝟐 = 𝟑

𝟔 ÷ 𝟑 = 𝟐

5 5 ÷ 1 = 5 5 ÷ 5 = 1

8

8 ÷ 1 = 8

8 ÷ 8 = 1

𝟖 ÷ 𝟒 = 𝟐

𝟖 ÷ 𝟐 = 𝟒

7 7 ÷ 1 = 7 7 ÷ 7 = 1

9

9 ÷ 1 = 9

9 ÷ 9 = 1

𝟗 ÷ 𝟑 = 𝟑

• Ejemplos:

1) M.C.M(16, 12) = (2)(2)(2)(2)(3) = (8)(6) = 48

2) 𝑀. 𝐶. 𝑀(24, 10) = (2)(2)(2)(3)(5) = (2)(2)(3)(2)(5) = (12)(10) = 120

DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS

27

3) 𝑀. 𝐶. 𝑀(20, 15, 10) = (2)(2)(3)(5) = 60

➢ Práctica sobre el cálculo del Mínimo Común Múltiplo.

Aplicando los criterios, anteriormente presentados, determine el M.C.M de los siguientes grupos de

números:

1) 𝑀. 𝐶. 𝑀(14, 7) =

2) 𝑀. 𝐶. 𝑀(64, 8) =

3) 𝑀. 𝐶. 𝑀(64, 8, 4) =

4) 𝑀. 𝐶. 𝑀(27, 9, 3) =

5) 𝑀. 𝐶. 𝑀(8, 9) =

6) 𝑀. 𝐶. 𝑀(7, 5) =

7) 𝑀. 𝐶. 𝑀(7, 15) =

8) 𝑀. 𝐶. 𝑀(40, 16) =

9) 𝑀. 𝐶. 𝑀(32, 36) =

10) 𝑀. 𝐶. 𝑀(25, 35) =

11) 𝑀. 𝐶. 𝑀(25, 35,15) =

12) 𝑀. 𝐶. 𝑀(27, 18, 9) =

➢ Ejemplos de la suma de fracciones de distinto denominador

1) − 5

16+

7

12=

Para transformar la suma de fracciones de distinto denominador en una suma de fracciones se siguen los

siguientes pasos:

a) Se determina el M.C.M de los denominadores.

b) Se escribe en el resultado una fracción cuyo denominador es igual al M.C.M encontrado.

c) El numerador del resultado estará formado por una cantidad de sumandos igual a la cantidad de las

fracciones que participan en dicha suma. Estos sumandos, tienen el mismo signo de la fracción

respectiva y se obtienen de la siguiente manera:

28

Se divide en M.C.M entre los denominadores de cada fracción. Luego, el resultado de cada división se

multiplica por el numerador respectivo. De esta manera, se obtendrá cada uno de los sumandos cuyo total

corresponderá al numerador del resultado (sin simplificar).

Solución:

M.C.M(16, 12) = (2)(2)(2)(2)(3) = (8)(6) = 48

− 5

16+

7

12=

−15 + 28

𝟒𝟖=

13

48

Obtención de los sumandos que forman parte del numerador del resultado:

𝟒𝟖 ÷ 16 = 3 → (3)(5) = 15

𝟒𝟖 ÷ 12 = 4 → (4)(7) = 28

DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS

28 −15

13

Numerador del resultado

Operaciones con la fracción #1

Operaciones con la fracción #2

29

2) 3

20−

4

15+

7

10=

𝑀. 𝐶. 𝑀(20, 15, 10) = (2)(2)(3)(5) = 𝟔𝟎

3

20−

7

15+

9

10=

9 − 28 + 54

𝟔𝟎=

63 − 28

60=

35

60=

7

12

Obtención de los sumandos que forman parte del numerador del resultado:

𝟔𝟎 ÷ 20 = 3 → (3)(3) = 9

𝟔𝟎 ÷ 15 = 4 → (4)(7) = 28

𝟔𝟎 ÷ 10 = 6 → (6)(9) = 54

En las operaciones con números racionales o fraccionarios, a veces es conveniente expresar los

números fraccionarios mixtos en su forma de fracciones impropias y viceversa. Esto depende del

tipo de aplicación que se desea dar a este tipo de resultados.

Operaciones con la fracción #1

Operaciones con la fracción #2

Operaciones con la fracción #3

Este es el resultado final, luego de

realizar una simplificación de la

fracción anterior, dividiendo ambos

elementos de la misma entre 5

30

➢ Práctica sobre la suma de fracciones

1) −8 + 5 =

2) −8

21+

5

21=

3) −7 − 9 =

4) −7

2−

9

2=

5) 5

9 −

7

18=

6) 6

7−

3

8=

7) 2 5

16−

3

8+

7

4=

8) -3

8−

7

3−

2

5=

9) 11

20+

9

16−

13

12=

10) − 8

21−

5

12+

3

10=

11) − 52

9+

20

7=

12) − 71

9−

8

9+ 3

2

15=

31

2.5 RESTA DE FRACCIONES

Al igual que en la sustracción de enteros, en los racionales, cambiamos el signo y resolvemos. La

operación de allí se resolverá igual que en la suma de los racionales, aplicando las mismas reglas, para

igual denominador como para distinto denominador.

Observemos y analicemos los ejemplos:

1. Resuelva las siguientes operaciones:

Una vez más hay nuevos retos que debes enfrentar. Recuerda que tienes todas las herramientas que necesitas, pero

si tienes dudas revisa las explicaciones y te darás cuenta de que no es tan difícil, solo requiere un poco más de

atención.

2.5.1 Práctica sobre la resta de fracciones

1) −76

11− (−8) =

2) − (20

50) − (−

700

6300) =

3) 54

72− (−

21

240) =

4) 30

200− (

600

500) =

5) − (−2

15) − (

18

15) =

6) 93

4− (

7

2) + (4

2

7) =

7) (16

24) − (

75

100) − 8 =

8) −8

25− (−

9

20) +

8

25=

9) −3

4− (

5

12) + (

11

6) +

75

100=

10) − (1

2) — (

12

24) +

4

21=

11) 93

8— (−

75

8) =

12) − (8

16) + (−

31

62) =

32

2.6 APLICACIONES DE LA SUMA Y LA RESTA DE NÚMEROS FRACCIONARIOS

Solución:

Como la granja ha sido dividida en fracciones, la totalidad de la granja estará representada por

el número 1.

• Partes cultivadas:

𝑀𝑎í𝑧: 2

5

𝑆𝑜𝑦𝑎: 3

7

𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙: 2

5+

3

7=

14 + 15

35=

29

35

Respuesta: El total de la parte cultivada fue de 29

35

33

Respuesta: La parte de la granja que quedó sin sembrar fue de 6

35

34

2.6.1 Práctica sobre las aplicaciones de la suma y la resta de fracciones

1) María y Pedro discuten acerca de quien estudió más para el examen que tendrán en la

tarde. María argumenta que ella estudió 7

16 h; mientras que, por su parte, Pedro sostiene

que estudió 2

5 h. ¿Quién estudió más?

2) Andrés tiene un recipiente de 8

11 litros y Fabio otro de

4

5 litros. ¿Quién tiene el recipiente

con mayor capacidad?

3) Violeta bebió 6

8 litros de leche en la mañana y

5

8 litros en la tarde, ¿cuánta leche tomó en

total?

4) Santiago tiene 7

3 m de alambre y utiliza

4

3 , ¿cuántos metros de alambre le quedan?

5) Viviana vendió 32

7 pliegos de cartulina el martes y 4

4

7 pliegos el miércoles. ¿Cuánta

cartulina vendió en total?

6) En el cumpleaños de Ramiro, David comió 1

8 de la torta, Alejandro

5

14 y Ramiro

3

7 . ¿Cuánta

torta comieron entre los tres?

7) Con base en el ejemplo anterior, ¿qué porción de torta sobró?

8) Después de pintar su casa, a Jorge le sobraron 5 tarros de pintura cada uno con 2

9 de galón

de pintura. ¿Cuánta pintura le quedó?

9) Para ir de su casa al colegio, Camila debe caminar 7

4 de Kilómetro diariamente. Este

recorrido lo realiza en 12 minutos con velocidad constante. ¿Cuánta distancia recorre

cada minuto?

10) Un examen de Matemáticas ha sido aprobado por 6

9 de los estudiantes. Al resto de los

estudiantes le toca repetir el examen. Si el grupo está compuesto por 45 estudiantes,

¿cuántos estudiantes deben repetir dicho examen?

35

2.7 PRUEBA SUMATIVA #2

MINISTERIO DE EDUCACIÓN

CENTRO REGIONAL DE SAN MIGUELITO

INSTITUTO RUBIANO

PRUEBA SUMATIVA #2

Parte 1: Suma de fracciones.

• Resuelva paso a paso las siguientes adiciones. Valor: 15 puntos (5 puntos c/u)

36

Parte 2: Resta de fracciones.

• Resuelva paso a paso las siguientes sustracciones. Valor: 15 puntos (5 puntos c/u)

Parte 3: Aplicaciones de la suma y la resta de fracciones.

• Resuelva paso a paso el siguiente problema de aplicación de la suma y la resta de fracciones.

Valor: 10 puntos.

NOTA: En la solución, además de las operaciones debe aparecer la respuesta en forma completa, tal

como se presentó en los ejemplos. Escriba su resultado en forma de número mixto.

37

2.8 PRODUCTO DE NÚMEROS FRACCIONARIOS.

Para multiplicar dos fracciones, multiplicamos primero los signos. Luego, realizamos, de ser posible,

simplificaciones en cruz (numerador de una fracción con el denominador de otra fracción), o realizamos

simplificaciones de manera independiente (el numerador y el denominador de la misma fracción).

Finalmente, cuando las opciones de simplificación no puedan realizarse, el resultado será igual a una

fracción en la cual el numerador es el producto de los numeradores de los factores y el denominador será

igual al producto de los denominadores de los factores.

NOTA: En una multiplicación de fracciones, es importante saber que cuando el proceso de simplificación

no puede realizarse entre los factores, el resultado del producto de este tipo de factores, es imposible de

simplificar.

Observa los ejemplos:

NOTA: Observe que los resultados positivos no requieren el signo “ + “

38

2.9 DIVISIÓN DE NÚMEROS FRACCIONARIOS

Para dividir fracciones, se aplica el método de invertir y multiplicar. El método consiste en invertir la

segunda fracción, es decir, cambiar el denominador por el numerador y cambiar el numerador por el

denominador. Después, se multiplican las dos fracciones, como explicamos anteriormente.

1) Recordemos que toda fracción es una división,

2)

1)

39

➢ Problemas de aplicación del Producto y la División de fracciones

➢ Producto:

Ejemplos:

Ejemplo 1:

Martha tiene un negocio en el cual vende huevos empacados por docena. Uno de sus clientes le pide

solamente 5

6 de docena, ¿cuántos huevos debe venderle Martha?

Debido a que una docena son doce unidades, y se requiere calcular 5

6 de la misma, se deben multiplicar

los números 5

6 y 12.

Solución:

(5

6) (12) = (

5

6) (

12

1) =

10

1= 10

Respuesta:

Ejemplo 2:

Solución:

➢ La parte que queda =2

5

➢ 1

4 de lo que queda = (

1

4) (

2

5) =

1

10

Respuesta: Andrés se comió 1

10 total del pastel.

1

2

1

2

40

Ejemplo 3:

Observa este otro tipo de ejercicio: Carlos, a quien le encanta cocinar, usa tres cuartos de kilo de harina

para elaborar una torta. ¿Cuántos necesitará para hacer tres tortas y media?

Solución:

(3

4) (3

1

2) = (

3

4) (

7

2) =

21

8= 2

5

8

Respuesta: Carlos necesitará 2 kilos y 5

8 de kilo para hacer 3 tortas y media.

➢ División:

Ejemplo 1:

Un jardinero gasta dos tercios de litro de agua por cada planta que riega, ¿cuántas plantas puede regar si

tiene diez litros?

Solución:

En esta ocasión, se deben distribuir 10 litros de agua en partes de 2

3 de litro cada una.

Es decir, se está preguntando cuántas veces está 2

3 en 10. Para responder a esta pregunta, se debe hacer

la división 10 ÷2

3

10 ÷2

3= (10) (

3

2) = 15

41

Respuesta: El jardinero puede regar 15 plantas

Ejemplo 2:

Diego está organizando una reunión con 12 amigos y dispone de una pizza y media para compartir. Las

porciones que sirve son de un sexto de pizza. ¿Será suficiente la pizza que tiene, o deberá comprar más?

Solución:

En esta ocasión se está distribuyendo 11

2 de pizza (una pizza y media), en partes de

1

6 cada una.

Para saber cuántas partes se obtienen, debemos realizar la división 11

2÷

1

6

11

2÷

1

6=

3

2÷

1

6= (

3

2) (

6

1) = 9

Respuesta:

Con 11

2 obtendremos 9 porciones. Con lo cual 1

1

2 pizza no es suficiente parta 12 personas.

42

➢ Práctica y explicación sobre la aplicación de la multiplicación y la División de fracciones.

➢ Producto

https://www.youtube.com/watch?v=qcu72qR5jTU&t=2s

https://www.youtube.com/watch?v=HZIKzERq--4&t=3s

➢ División

https://www.youtube.com/watch?v=Wp9SABu3RRo&t=61s

https://www.youtube.com/watch?v=ttMqNpQztwg&t=15s

https://www.youtube.com/watch?v=QO7cBBKcP9A&t=45s

Todo sobre las fracciones (Mate Fácil)

https://www.youtube.com/watch?v=bN2TfFh-v1k&list=PL9SnRnlzoyX2wsPKMhI6rbeNj9gWppOGj

43

2.10 PRUEBA SUMATIVA #3

MINISTERIO DE EDUCACIÓN

CENTRO REGIONAL DE SAN MIGUELITO

INSTITUTO RUBIANO

PRUEBA SUMATIVA #3

TEMA: Producto y división de números racionales "Q" Valor 30 puntos

Nombre Nivel 7°

Fecha

Parte 1. Producto de Números Racionales.

Resuelve las siguientes operaciones. Valor: 18 puntos (3 puntos c/u)

44

Parte 2. División de números racionales.

Resuelve las siguientes divisiones. Valor: 18 puntos (3 puntos c/u).

45

TEMA 3. Operaciones con Números Decimales

3.1 Suma de Decimales

Para sumar o restar números decimales, se colocan ambos números de forma que

coincidan en la misma columna las comas decimales y por consiguiente todas las cifras

del mismo orden. Después, se suman o se restan como si fueran números naturales y se

pone la coma en el resultado debajo de la columna de las comas. Si es necesario se

añaden ceros (sobre todo en el caso de las restas).

El conjunto de los números racionales (compuesto por el cero, las fracciones y decimales

positivos y negativos) hereda las mismas leyes relativas a las operaciones básicas en el

conjunto en el conjunto de los números Enteros.

En particular, cuando se trata de los números decimales tenemos:

a) Para sumar decimales de igual signo, se suman los valores absolutos y a este total se

le antepone el signo que llevan todos los sumandos.

Ejemplo:

−2 − 0.75 − 53.4 = −56.15

2.00

0.75

+53.40

56.15

Suma de los valores absolutos de los decimales. Es recomendable que se

agreguen ceros a la parte decimal de forma tal que todos tengan la misma

cantidad de cifras decimales. Para esto, observe qué sumando tiene la mayor

cantidad de cifras decimales. Esto facilitará los procesos de suma y de resta.

46

b) Para sumar 2 números decimales de distinto signo, se restan los valores absolutos (el

mayor menos el menor) y esta diferencia llevará el signo del sumando que tiene

mayor valor absoluto.

Ejemplo:

−12 + 5.896 = − 6.104

12.000

− 5.896

6.104

3.1.1 Práctica de la suma de decimales

• Realice las siguientes sumas:

1) 4 + 6.17 + 0.372 + 9.8 =

2) − 18.3 − 5.332

3) − 5.332 + 18.3 =

4) 163.0008 − 551 =

5) − 29.1 − 642.884 − 5.0026 =

6) 0.1 − 49 + 6.771 − 337.03 = 7) 3.5 − 1.26 + 6.018 − 1 − 25.4 =

3.2 Resta de decimales

Al igual que en la Resta de Enteros, en este tipo de problemas aparecerán paréntesis

precedidos por el signo menos como un indicativo de cambio de signo al número que está

dentro del paréntesis.

Ejemplos:

1) 5.32 − (−9.076) = 5.32 + 9.076 =14.396

9.076

+5.320

14.396

47

2) 5.32 − (−𝟗. 𝟎𝟕𝟔 + 𝟐𝟏. 𝟑) = 5.32 − (12.224)

= 𝟓. 𝟑𝟐 − 𝟏𝟐. 𝟐𝟐𝟒

= −6.904

3.2.1 Práctica de la resta de decimales

1) − 37 − (−19.9434) =

2) − (0.7) + (−5.2653) − (−13.76) =

3) − 52.85 − (+39.1) =

4) − (−73 + 58.035) + (−12.08 − 7.993) =

5) + (−3.7) − (−2.6) + (7.3) − (9.4) =

6) + (−4) + (−0.4) + (−0.04) + (−0.004) =

7) − (3.5) − (−5.3) − (6.2) − (−2.6) − (10) =

8) − (−12.6 + 27.45) + (−50 + 31.339) =

9) (−4.51 − 16.3) − (4 + 0.037) =

10) − (7.017 − 8) + (−5.88 − 10) =

𝟐𝟏. 𝟑𝟎𝟎

− 𝟗. 𝟎𝟕𝟔

𝟏𝟐. 𝟐𝟐𝟒

𝟏𝟐. 𝟐𝟐𝟒

− 𝟓. 𝟑𝟐𝟎

−𝟔. 𝟗𝟎𝟒

48

3.3 Producto de decimales

El signo del producto de decimales obedece a la misma regla utilizada en el producto de

Enteros, donde el signo del resultado se establece a través de un conteo de factores

negativos:

El producto de los valores absolutos de los factores (decimales) se realiza de la siguiente

manera:

Ejemplos:

“Si la cantidad de factores negativos es par, el resultado será positivo. Si la cantidad

de factores negativos es impar, el resultado será negativo”.

“Para multiplicar 2 o más números decimales, se multiplican primero los números

enteros que se obtienen al eliminar los puntos decimales de cada factor. Luego, el punto

decimal del entero así obtenido tendrá que ser desplazado hacia la izquierda una

cantidad de casillas igual al total de casillas decimales que existan entre todos los

factores del producto.”

49

3.3.1 Práctica del producto de decimales

1) (3.7)(2.8) =

2) (−3.7)(0.028) =

3) (−0.6)(−0.0012) =

4) (6.82)(2.003) =

5) (0.7)(−0.08)(0.009) =

6) (0.02)(−1.4)(−12)

7) (5)(7)(−2.6)(0.03)

8) (−2.9)(−1.5)(−4)(−0.09)

9) (−25 + 17)(3.1)(−0.04) =

10) (−0.03)(−12 − 45)(7.2) =

50

3.4 División de decimales

El signo de la división de decimales obedece a la misma regla utilizada en el cociente de

Enteros, donde el signo del resultado se establece a través de un conteo de elementos

negativos entre el Dividendo y el Divisor.

Para dividir un número decimal entre otro número decimal, presentaremos 2 casos:

a) Cuando el dividendo en un número entero.

En este caso, la división puede iniciarse de manera inmediata tal y como lo veremos en el

siguiente ejemplo:

51

b) Cuando el dividendo en un número decimal.

En este caso, antes de iniciar la división, debemos transformar el divisor en un número

entero a través de un desplazamiento de su punto decimal hacia la derecha. La misma

cantidad de casillas en las cuales el punto decimal ha tenido que desplazarse hacia la

derecha, hay que realizarlas también en el dividendo. Es importante reconocer que estos

desplazamientos del punto decimal no significan que el Dividendo también se convertirá

en número Entero. Aquí lo importante es que el Divisor se convierta en número entero.

3.4.1 Práctica sobre la división de decimales

52

53

3.4.2 Escritura de una fracción decimal a notación decimal

Una fracción decimal es aquella fracción en la cual su denominador es la unidad seguida

de ceros. Por ejemplo:

5

10 ,

37

10 ,

9

100 ,

21

1000 , 𝑒𝑡𝑐.

FRACCIÓN DECIMAL NOTACIÓN DECIMAL

5

10 0.5

37

10 3.7

9

100 0.09

21

1000 0.021

3.4.3 Práctica sobre la escritura de fracciones decimales en su notación decimal

“Para escribir una fracción decimal en Notación Decimal, se

desplaza el punto decimal del numerador hacia la izquierda tantas

veces como ceros acompañen a la unidad en el denominador.”

54

3.5 Prueba Sumativa #4 MINISTERIO DE EDUCACIÓN

CENTRO REGIONAL DE SAN MIGUELITO

INSTITUTO RUBIANO

PRUEBA SUMATIVA #4

TEMA: Operaciones básicas con Números Decimales Valor 30 puntos

Nombre Nivel 7°

Fecha

Parte 1. Suma de Números Decimales.

Resuelve las siguientes operaciones. Valor: 12 puntos (3 puntos c/u)

1) 4 + 6.17 + 0.372 + 9.8 =

2) − 29.1 − 642.884 − 5.0026 =

3) 0.1 − 49 + 6.771 − 337.03 =

4) 3.5 − 1.26 + 6.018 − 1 − 25.4 =

55

Parte 2. Resta de Números Decimales.

Resuelve las siguientes operaciones. Valor: 8 puntos (4 puntos c/u)

1) (−4.51 − 16.3) − (4 + 0.037) =

2) − (7.017 − 8) + (−5.88 − 10) =

Parte 3. Producto de Números Decimales.

Resuelve las siguientes operaciones. Valor: 15 puntos (5 puntos c/u)

1) (0.7)(−0.08)(0.009) =

2) (0.02)(−1.4)(−12) =

3) (5)(7)(−2.6)(0.03) =

56

Parte 4. División de Números Decimales.

Resuelve las siguientes operaciones. Valor: 10 puntos (5 puntos c/u)

1) − 12 ÷ −0.003 =

2) − 0.0186 ÷ 93 =

57

TEMA 4: RECTAS PARALELAS Y RECTAS

PERPENDICULARES

4.1 Rectas Paralelas (definición). Las rectas paralelas pueden definirse de varias formas:

1) Son aquellas líneas que mantienen una cierta distancia entre sí, y a pesar de prolongar su trayectoria, nunca se tocan en ningún punto.

2) Son rectas que no presentan ningún punto en común y muestran la misma pendiente (inclinación).

En pocas palabras, las rectas paralelas no han de tocarse ni cruzarse en ningún punto. Un claro ejemplo de esto son las vías del tren.

RECTAS PARALELAS

RECTAS NO PARALELAS

58

Las rectas que no son paralelas se cortan el un solo punto, o cuando se extienden en cierta dirección, se cortarán en un punto. Las líneas paralelas mantienen la misma distancia entre sí. Esta distancia, siempre se medirá sobre el segmento perpendicular, común a ambas. También, poseen la misma inclinación.

PROPIEDADES DE LAS LÍNEAS PARALELAS

• Simétrica: si una recta es paralela a otra, entonces esta será paralela a la primera.

𝑆𝑖 𝐿1 // 𝐿2 entonces 𝐿2 // 𝐿1

• Reflexiva: toda recta es paralela a si misma.

𝐿1 // 𝐿1

59

• Transitiva: si una recta es paralela a otra y a la misma vez a una tercera, la primera será paralela a la tercera recta.

𝑆𝑖 𝐿1 // 𝐿2 y 𝐿2 // 𝐿3 entonces, 𝐿1//𝐿3

4.2 Rectas Perpendiculares. Dos rectas que se encuentran en el mismo plano son perpendiculares cuando forman cuatro ángulos rectos. Los ángulos de 90° son llamados: ángulos rectos.

En el caso de las semirrectas o segmentos, la perpendicularidad aparece cuando se desarrollan ángulos rectos.

60

2.3 Parejas de ángulos.

4.3.1 Ángulos complementarios. Dos ángulos son complementarios, si la suma de ellos es igual a 90° (noventa grados). Por ejemplo: un ángulo de 30° y un ángulo de 60° son dos ángulos complementarios.

Como 90° es la medida de un ángulo recto, otra forma de decir que dos ángulos son complementarios es la siguiente: “Dos ángulos son complementarios si juntos forman un ángulo recto”. 4.3.2 Ángulos suplementarios. Dos ángulos son suplementarios, si la suma de ellos es igual a 180°. Por ejemplo: un ángulo de 110° y un ángulo de 70° son dos ángulos suplementarios.

Como 180° es la medida de un ángulo llano, otra forma de decir que dos ángulos son suplementarios es la siguiente: “Dos ángulos son suplementarios si juntos forman un ángulo llano”. 4.3.3 Ángulos opuestos por el vértice.

Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando tienen un vértice en común y sus lados son semirrectas opuestas. Los ángulos opuestos por el vértice tienen igual medida, ya que tienen igual amplitud.

61

Ángulo recto

Ángulo llano Ángulos opuesto por el

vértice

Ángulos Complementarios

Ángulos Suplementarios Ángulos opuestos por el

vértice.

Suman 90° (forman un ángulo recto)

Suman 180° (forman un ángulo llano)

Los ángulos opuestos por el vertice tienen la misma

medida

• https://www.youtube.com/watch?v=uMJDpmiIboo (Qué es y como dibujar un ángulo)

• https://www.youtube.com/watch?v=i8ceew08bP8 (Ángulos opuestos por el vértice)

• https://www.youtube.com/watch?v=xwyEhApWzo0 (Complemento y Suplemento de un ángulo)

62

➢ Ejemplos de problemas relativos a los ángulos complementarios, suplementarios y

opuestos por el vértice.

Encuentre el ángulo desconocido en cada uno de los siguientes casos:

➢ Ángulos rectos.

NOTA: Asuma que el ángulo AOB, O sea, ∠𝐴𝑂𝐵, es un ángulo recto.

Problema Solución

1

𝑥 = 90° − 65°

𝑥 = 25°

Problema Solución

2

𝑥 = 90° − 28°

𝑥 = 62°

63

➢ Ángulos Llanos

Problema Solución

3

𝑥 = 180° − 45°

𝑥 = 135°

➢ Ángulos opuestos por el vértice

Problema Solución

4

𝑥 = 50°

NOTA: Recuerda que

los ángulos opuestos

por el vértice son

iguales.

64

Práctica sobre problemas relativos a los ángulos complementarios, suplementarios y

opuestos por el vértice.

➢ Parte #1: Encuentre el ángulo desconocido en cada uno de los siguientes problemas:

NOTA: Escriba en la solución la operación realizada y su respectivo resultado.

Problema Solución

1

2

3

4

65

Problema Solución

5

➢ Parte #2: Complete las siguientes tablas

ÁNGULO ÁNGULO COMPLEMENTARIO

CORRESPONDIENTE

45° 90° − 45° = 45°

20°

70°

12°

83°

1°

66

ÁNGULO ÁNGULO SUPLEMENTARIO

CORRESPONDIENTE

45° 180° − 45° = 135°

20°

70°

12°

83°

1°

➢ Parte 3. Ángulos Complementarios y Suplementarios. Complete la siguiente tabla:

Pareja de ángulos Nombre que recibe la

pareja de ángulos

33° y 57° Ángulos complementarios

18° y 72°

136° y 44° Ángulos suplementarios

71° y 19°

39° y 141°

175° y 5°

67

4.4 Rectas paralelas cortadas por una secante (o transversal). Aunque pueda parecer simplemente una curiosidad más, el esquema que vamos a estudiar en esta página es de suma importancia, pues se presenta muy frecuentemente y de múltiples formas. Inclusive el gran matemático griego Eratóstenes (276 - 194 a.C.), se valió de dicho esquema para calcular, hace más de dos mil años, la circunferencia de la tierra.

Imagina dos rectas paralelas y otra oblicua que las corta, llamaremos a esta última, recta secante. En los puntos de intersección de la secante con las paralelas se forman cuatro ángulos, para un total de ocho. Para poder identificarlos con más facilidad, se les ha asignado un nombre según su posición con respecto a las paralelas. De esta manera tenemos:

• Ángulos Internos: Son los ángulos que están entre las dos rectas paralelas.

• Ángulos Externos: Son los ángulos que están en la parte del plano que no está comprendida

entre las rectas.

INTERNOS EXTERNOS

También reciben nombre según la ubicación con respecto a otros ángulos y a la recta secante:

• Alternos: Dos ángulos son alternos si están en lados opuestos de la recta secante, y que

son, simultáneamente, externos o internos. Este tipo de ángulos, no comparten ninguno

de sus vértices y son del mismo tamaño.

Alternos Internos Alternos Internos Alternos Externos Alternos Externos

Línea Transversal

Paralelas

68

• Conjugados: Dos ángulos son conjugados si están al mismo lado de la recta secante y son

ambos externos o ambos internos. La suma de dos ángulos conjugados es igual a 180°.

Conjugados Internos Conjugados Internos Conjugados Externos Conjugados Externos

• Correspondientes: Dos ángulos son correspondientes si están al mismo lado de la recta

secante, uno es externo y el otro interno, y no comparten ninguno de sus vértices.

Ángulos Correspondientes

Otra forma de definir los ángulos correspondientes es la siguiente:

“Dos ángulos son correspondientes si están del mismo lado de la transversal y del mismo lado de las paralelas”.

• Relación entre los ángulos formados por 2 rectas paralelas y una secante a ellas.

Cuando 2 rectas paralelas, son cortadas por una secante (transversal), se

cumplen las siguientes afirmaciones:

• Ángulos alternos internos son congruentes (tienen la misma medida).

• Ángulos alternos externos son congruentes.

• Ángulos correspondientes son congruentes

• Ángulos conjugados (internos o externos) son suplementarios. O sea, forman un ángulo de 180°.

𝑥

45°

𝑥

69

Enlaces relacionados:

➢ https://www.youtube.com/watch?v=m1WcxcDlNAY

➢ https://www.youtube.com/watch?v=GKdFI6mWD5c

➢ https://www.youtube.com/watch?v=FUvuZW1ciWQ

➢ https://www.youtube.com/watch?v=YmeL3BCdFdM

➢ https://www.youtube.com/watch?v=zTiqcCLTCP4

(Estudiantes con necesidades especiales)

• Ejemplos de problemas relativos a los ángulos que se forman cuando dos paralelas son

cortadas por una transversal (secante).

Basado en el siguiente dibujo, relativo a los ángulos que se forman cuando dos o más rectas paralelas son cortadas por una transversal, justifique las siguientes igualdades entre los ángulos:

IGUALDAD JUSTIFICACIÓN

𝑔 = 𝑏 Ángulos Alternos Externos

𝑒 = 𝑑 Ángulos Alternos Internos

𝑔 = 𝑓 Ángulos Opuestos por el

vértice

𝑎 = 𝑒 Ángulos Correspondientes

𝑎 + 𝑏 = 180° Ángulos Suplementarios

𝑎 + 𝑔 = 180° Ángulos Conjugados Externos

𝑎 = 𝑑 Ángulos Opuestos por el

vértice

ℎ = 𝑑

𝑓 + 𝑑 = 180°

70

Práctica sobre problemas relativos a los ángulos que se forman cuando rectas paralelas

son cortadas por una transversal y ángulos opuestos por el vértice.

• Complete la siguiente tabla:

Pareja de ángulos Nombre que recibe la

pareja de ángulos

Alternos Internos

Conjugados Internos

Conjugados Externos

71

Pareja de ángulos Nombre que recibe la

pareja de ángulos

Ángulos correspondientes

72

PRUEBA SUMATIVA #5: RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA

TRANSVERSAL.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN

DIRECCIÒN REGIONAL DE SAN MIGUELITO

INSTITUTO RUBIANO

PRUEBA SUMATIVA #5

MATEMÁTICA

Rectas paralelas cortadas por una

transversal y parejas de ángulos.

Valor: 40 puntos

Nombre: Nivel: 7°

Fecha:

INDICACIONES GENERALES:

1. Entregar las asignaciones en UN SOLO ARCHIVO WORD O PDF, escaneado o fotos

lo más claras posibles.

2. Desarrollar la prueba a lápiz marcando fuertemente o pluma sin tachones ni

borrones.

3. Debe ser ordenado y coherente en su desarrollo

4. Debe ser entregado al correo electrónico del docente.

5. Entregar puntualmente según fecha indicada.

Parte 1: Ángulos rectos, llanos y opuestos por el vértice. Valor: 20 puntos (4 puntos c/u)

• Encuentre el ángulo desconocido en cada uno de los siguientes problemas:

NOTA: Escriba en la solución la operación realizada y su respectivo resultado.

Problema Solución

1

2

73

3

4

5

Parte #2: Justificación de igualdades entre ángulos. Valor: 10 puntos (2 puntos cada uno)

Opuestos por el vértice

74

Parte #3: Determinación de ángulos desconocidos. Valor: 10 puntos (2 pts. c/u)

∠1 = 105°

∠2 = 75°

∠3 = 105°

∠6 =

∠7 =

Parte #4: Complete las siguientes tablas. Valor: 10 puntos (1 punto c/u)

ÁNGULO ÁNGULO COMPLEMENTARIO

CORRESPONDIENTE

17°

28°

42°

15°

34°

ÁNGULO ÁNGULO SUPLEMENTARIO

CORRESPONDIENTE

60°

120°

150°

25°

75°

105°

75

BIBLIOGRAFIA

El mundo maravilloso de la matemática 7 º. Talleres para alumnos

módulo para el desarrollo de las competencias matemáticas. Docentes

de la Maestría en Didáctica de la Matemática, dictada por la

Universidad Autónoma de Barcelona. Auspiciada por la SENACYT y

el Ministerio de Educación

Guía de Premedia. Matemática 7. Ministerio de Educación.

Matemática 7. Santillana.

Aritmética de Baldor

INFOGRAFÍA

• Transformación de números mixtos a fracciones impropias

https://www.youtube.com/watch?v=y25BgQBouj8

• Transformación de fracciones impropias a número mixto

https://www.youtube.com/watch?v=0QoxQ1YIRwQ

• Simplificación de fracciones

https://www.youtube.com/watch?v=bg50TgNjUN8

• Suma de fracciones de igual denominador

https://www.youtube.com/watch?v=antZqj9ePys

76

• Suma de fracciones de distinto denominador

https://www.youtube.com/watch?v=FxZ2NlBcIw8

• Resta de fracciones

https://www.youtube.com/watch?v=TFjU67ldF7g

• Producto de fracciones

https://www.youtube.com/watch?v=SaYI1j1o348

• División de fracciones

https://www.youtube.com/watch?v=p_AlfSeIJ8I

• Problemas de aplicación

https://www.youtube.com/watch?v=2FAexADgxP8

https://www.youtube.com/watch?v=XslDwAOPMU8

https://www.youtube.com/watch?v=HgPhYlIs4mA

https://www.youtube.com/watch?v=8x4W2xy7eFk

• Suma de decimales

https://www.youtube.com/watch?v=itOxiZdUThk

https://www.youtube.com/watch?v=qbO7uBWpiWQ

77

• Producto de decimales

https://www.youtube.com/watch?v=mXSesvYKxRQ

https://www.youtube.com/watch?v=q8NJK9ksVN4

• División de decimales

https://www.youtube.com/watch?v=fsuFOjQ2iuY

https://www.youtube.com/watch?v=tcCojLIto2g&list=RDCMUC_My

y53yTBO7ElRGg3eYLCA&start_radio=1&rv=tcCojLIto2g&t=588

78

LISTA DE COTEJO