Guía Nº6 Expresiones Algebraicas

Guía Nº6 Expresiones Algebraicas Matemática 3º Año ES 2020

Apellido y Nombre:

División: Prof. Américo A. Castello / Tomás Cerrotta

Guía Nº6 – Expresiones Algebraicas 1 Prof. Américo A. Castello / Tomás Cerrotta

Cuando queremos indicar en lenguaje matemático …

…que un número es igual al doble de otro, escribimos : 𝒚 = 𝟐. 𝒙

…la relación que existe entre la hipotenusa de un triángulo rectángulo y sus

catetos, anotamos : 𝑯𝟐 = 𝑨𝟐 + 𝑩𝟐

…la relación que existe entre espacio y tiempo : 𝒗 =𝒆

𝒕

En todos estos casos estamos trabajando con expresiones algebraicas.

Es decir que una

expresión algebraica es la manera de representar en

lenguaje matemático una situación real.

A toda combinación de números, letras y, por lo menos, una operación que los une

entre sí se las denomina

.

Ejemplos:

3. 𝑎3. 𝑏 1

2𝑥2𝑦 + 7𝑎2

𝑥4 − 2𝑥 +2

3𝑦3

2𝑥3 + 𝑥2 − 5𝑥


Según el número de términos que tengan estas expresiones, se las clasifica en:

→ un término

→ dos términos

→ tres términos

→ cuatro términos

→ más de cuatro términos

Al operar con expresiones algebraicas, es necesario tener presente que:

El signo de multiplicar puede no escribirse entre un número y una letra o

entre dos letras. (Por ejemplo: 𝟓. 𝒂. 𝒃𝟑 se puede escribir 𝟓𝒂𝒃𝟑)

El exponente 1 suele no escribirse. (Por ejemplo: 𝟑𝒙𝟏 se puede escribir

𝟑𝒙)

El coeficiente 1 suele no escribirse. (Por ejemplo: 𝟏𝒙𝟐 se puede escribir

𝒙𝟐)

Los términos de las expresiones algebraicas están formados por un

coeficiente y una parte literal. (Por ejemplo: en la expresión 𝟕𝒙𝟐𝒚 , el

coeficiente es 𝟕 y la parte literal es 𝒙𝟐𝒚 )

Cuando dos expresiones algebraicas tienen la misma parte literal se

denominan semejantes.

Por ejemplo:

𝟑𝒂𝟐𝒃 y 𝟏, 𝟐𝒂𝟐𝒃 o 𝟑𝒙 y 𝟐𝒙 , son semejantes.

𝟒𝒙 y 𝟒𝒙𝟐 o 𝟐𝒂𝒃 y 𝟓𝒂 , no son semejantes.

𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟎𝒙 + 𝟏 se escribe 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟏

𝒚 = 𝟑 + (−𝟒)𝒙𝟐 se escribe 𝒚 = 𝟑 − 𝟒𝒙𝟐


Las expresiones algebraicas cuya parte literal está formada sólo por una letra (por ej.

x) cuyo exponente sea un número natural o cero, reciben el nombre de

.

Por ejemplo: 𝑓(𝑥) = 3𝑥4 − 6𝑥2 − 2𝑥 𝑔(𝑡) = −2𝑡 + 3𝑡2 + 5

ℎ(𝑥) = 6,1𝑥4 − 3𝑥2 + 3

2𝑥

𝑖(𝑥) = 1

3+ 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 𝑗(𝑥) = 2 –

1

2𝑥 + 5𝑥3 𝑘(𝑚) =

3

4𝑚 – 2

El EXPONENTE MAYOR, de la parte literal, indica el GRADO de una

función polinómica. (Por ejemplo si 𝒇(𝒕) = 𝟑 + 𝟐𝒕 − 𝟒𝒕𝟐, 𝑮𝒓(𝒇) = 2)

Cada término tiene su grado, que coincide con el exponente del mismo.

El término de:

grado cero se llama término independiente (porque no

depende de x).

grado uno o primer grado se llama . término lineal

se llama grado dos o segundo grado . término cuadrático se llama grado tres o tercer grado . término cúbico

Hallar el valor numérico de una función (también llamado valor

de la función), consiste en reemplazar la variable (parte literal) por el

número indicado.

Por ejemplo, si tenemos la función:

𝒇(𝒕) = 𝟑 + 𝟐𝒕 − 𝟒𝒕𝟐

y queremos saber cuál es su valor numérico cuando t=5,

reemplazamos t por el número indicado (en este caso 5).

Lo escribimos:

𝒇(𝟓) = 𝟑 + 𝟐. 𝟓 − 𝟒. 𝟓𝟐

Y al resolver, obtenemos:

𝒇(𝟓) = −𝟖𝟕


(𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑎 + 𝑏2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

En resumen:

(𝒂 + 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐

(𝑎 + 𝑏)3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = (𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2)(𝑎 + 𝑏) =

= 𝑎3 + 𝑎2𝑏 + 2𝑎2𝑏 + 2𝑎𝑏2 + 𝑎𝑏2 + 𝑏3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3

En resumen:

(𝒂 + 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 + 𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 + 𝒃𝟑

Llamamos raíz o cero de una función, al valor de 𝑥 que verifica que 𝑓(𝑥) = 0.

Por ejemplo:

Si tenemos la función:

𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟒

y el valor cuando 𝒙 = −𝟐 es,

𝒇(−𝟐) = 𝟎

Entonces

𝒙 = −𝟐 es raíz o cero de 𝒇(𝒙)


Decimos que una función polinómica está ordenada cuando observamos que los

grados correspondientes a cada término se encuentran en orden descendente o

ascendente.

Por ejemplo:

𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟒 está ordenada.

𝒈(𝒕) = 𝟔𝒕 − 𝟓 + 𝒕𝟑 no está ordenada.

𝒎(𝒉) = 𝟐 − 𝟖𝒉 + 𝟓𝒉𝟒 está ordenada.

𝒑(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 − 𝟏 no está ordenada.

Decimos que una función polinómica está completa cuando observamos que se

encuentra TODOS los grados correspondientes a cada término

desde el mayor hasta cero.

Por ejemplo:

𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟒 está completa.

𝒈(𝒕) = 𝟔𝒕 − 𝟓 + 𝒕𝟑 no está completa.

𝒎(𝒉) = 𝟐 − 𝟖𝒉 + 𝟓𝒉𝟒 no está completa.

𝒑(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 − 𝟏 + 𝟕𝒙 está completa.

polinómica incompletaPara completar una función , agregamos los términos faltantes utilizando

coeficientes el cerocomo .

Por ejemplo:

𝒈(𝒕) = 𝟔𝒕 − 𝟓 + 𝒕𝟑 está incompleta

⇓

𝒈(𝒕) = 𝟔𝒕 − 𝟓 + 𝒕𝟑 + 𝟎𝒕𝟐 está completa.

𝒎(𝒉) = 𝟐 − 𝟖𝒉 + 𝟓𝒉𝟒 está incompleta

⇓

𝒎(𝒉) = 𝟐 − 𝟖𝒉 + 𝟓𝒉𝟒 + 𝟎𝒉𝟐 + 𝟎𝒉𝟑 está completa.


Nos permite obtener el cociente y el resto de la división entre una función polinómica

y un binomio de la forma (𝒙 + 𝒂), siendo 𝒂 un número real cualquiera.

Por ejemplo

Si queremos realizar el cociente entre el polinomio

𝑔(𝑥) = 2𝑥4 + 7𝑥3 + 4𝑥2 − 6𝑥 + 10 con el binomio

(𝑥 + 3).

Primero debemos tener la función polinómica ordenada en forma descendente (mayor

a menor) y completa,

y luego procedemos de la siguiente manera:

coeficientes del dividendo 2 7 4 -6 10

opuesto de 3 -3 -6 -3 -3 27

coeficientes del cociente 2 1 1 -9 37

cociente 2 x3

+ 1 x2 + 1 x - 9

resto 37

Es decir que al resolver

(𝟐𝒙𝟒 + 𝟕𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏𝟎) : (𝒙 + 𝟑)

obtenemos como cociente

𝟐𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟗

y

resto = 37


Nos permite encontrar posibles raíces racionales de una función

polinómica con coeficientes enteros.

Si queremos buscar las raíces de la siguiente función polinómica : 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 – 5

a) Buscamos los divisores del término independiente: 𝒑 = {−1; 1; −5; 5}

b) Buscamos los divisores del término de mayor grado: 𝒒 = {−1; 1}

c) Determinamos las posibles raíces =

rq

p

rq

p

r1 = 1

11 ; r2 = +

1

55 ; r3 = - 1 ; r4 = - 5

d) Comprobamos las posibles raíces :

𝑟1 = 1 : 𝑓(1) = 12 + 4 . 1 – 5 = 0 1 es raíz

𝑟2 = 5 : 𝑓(5) = 52 + 4 . 5 – 5 = 40 5 no es raíz

𝑟3 = −1 : 𝑓(−1) = (−1)2 + 4 . (−1) – 5 = −8 -1 no es raíz

𝑟4 = −5 : 𝑓(−5) = (−5)2 + 4 . (−5) – 5 = 0 -5 es raíz

El resto de la división de una función polinómica en 𝒇(𝒙) por un binomio de la

forma (𝒙 + 𝒂) es el valor numérico de divha función cuando 𝒙 = − 𝒂,

es decir que el resto es

𝒇(−𝒂).

Para verificar si un binomio (𝑥 + 𝑎) es divisor de un polinomio 𝑃(𝑥), es suficiente

calcular que el resto de la división de 𝑃(𝑥) ÷ (𝑥 + 𝑎) 𝑒𝑠 0, para comprobarlo

aplicamos el TEOREMA DEL RESTO

Si 𝒙 = 𝒂 es raíz de un polinomio 𝑃(𝑥) entonces (𝒙 − 𝒂) es divisor de 𝑃(𝑥).


1. Indicar cuáles de las siguientes expresiones son funciones polinómicas:

𝐴 = 3𝑥2 + 2𝑥 − 3 𝐵 = 3𝑥2 + 2𝑦 𝐶 = 3𝑥−1 + 5𝑥2

𝐷 = 3𝑎2–1

2𝑎 𝐸 = 7𝑎𝑏2 + 4𝑏 𝐹 = 𝑦4 + 2 𝑦 𝐺 = 𝑥

1

2 + 3𝑥

2. Indicar el grado de las siguientes funciones polinómicas

a. 𝑔(𝑡) = −2𝑡 + 3𝑡2 + 5

b. ℎ(𝑥) = 6,1𝑥4 − 3𝑥2 + 3

2𝑥

c. 𝑖(𝑥) = 1

3+ 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3

d. 𝑘(𝑚) = 3

4𝑚 – 2

e. g(x) = 81x2 +25x

8 + 4x

4 - 36x

3

f. k(x) = 3 3 + 3 x2 + 125x

3

3. Escribir una función polinómica 𝑓(𝑥), de grado tres, donde el coeficiente del término de

tercer grado sea 1, el coeficiente del término cuadrático sea 4, el coeficiente del término

lineal sea 2 y el término independiente sea -1 .

4. Calcular el valor numérico indicado en cada caso.

a. 𝑓(1) y 𝑓(−1) para 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 1

b. 𝑔(1/2) y 𝑔(4) para 𝑔(𝑥) = 2𝑥 – 5

c. ℎ(0)y ℎ(−1) para ℎ(𝑥) = 𝑥3 – 2𝑥2 + 1

5. Calcular el valor de "𝒂" en las siguientes funciones polinómicas:

a. 𝑓(𝑥) = 𝒂𝑥2 + 𝒂𝑥 − 𝒂 siendo 𝑓(2) = 5

b. 𝑔(𝑥) = 𝒂𝑥3 − 3𝑥 + 𝒂 siendo 𝑔(1/2 ) = 3/4

c. ℎ(𝑥) = −𝒂𝑥4 + 2𝒂𝑥2 − 4𝑥 siendo ℎ(−1) = −1

d. 𝑖(𝑥) = 4𝒂𝑥 − 𝒂𝑥3 +1

2𝒂 siendo 𝑖(1) = 3/2

6. Resolver:

a. 3𝑚 − 5𝑚 +1

2𝑚

b. 6𝑥 + 2𝑥 − 𝑥2

c. 1

3𝑥2 + 𝑥2

d. 4𝑎 −1

2𝑎2 + 𝑎2

e. 4𝑥 ∙ 𝑥4

f. 1

2𝑥5 ∙ 3𝑥2

g. 2

3𝑥4 ∙ 3𝑥2 ∙ 5𝑥

h. 1

5∙ 2 ∙ 𝑎 ∙ 15𝑎3

7. Indicar cuáles de los resultados son incorrectos y corregirlos.

a. 𝑥3 ∙ 𝑥 = 2𝑥4

b. (𝑥 + 2)2 = 𝑥2 + 4

c. 2𝑥2 + 3𝑥3 = 5𝑥5

d. (3𝑥)2 = 3𝑥2

e. 𝑥5

𝑥= 𝑥5

f. 3𝑥2 = 9𝑥

8. Siendo 𝑃 = −3𝑥3 + 5𝑥 − 2; 𝑄 =

1

2𝑥 + 1; 𝑅 = 𝑥3 − 𝑥 + 3, hallar:

a. 𝑃 + 𝑄 − 𝑅

b. 𝑅 − 𝑄 − 𝑃

c. 𝑄 − (𝑃 − 𝑅)


9. Resolver:

a. (𝑥2 + 1) ∙ (𝑥2 − 1) b. (2𝑥2 − 5𝑥) ∙ (−𝑥2 + 𝑥 − 4)

c. (𝑥 − 2 ) ∙ (𝑥 + 2 )

d. (𝑥 + 1) ∙ (2𝑥– 1) e. (−3𝑥 + 1)2

f. (𝑥2– 𝑥) ∙ (𝑥 + 1)

10. Resolver aplicando la fórmula que corresponde:

a. (𝑥 + 2)2

b. (𝑎 − 3)2

c. (2 + 3𝑏)2

d. (𝑦3 − 9)2

e. (𝑎 + 2)3

f. (2𝑥 + 1)3

g. (𝑎2 − 1)3

h. (𝑥 − 2)3

11. Dados los siguientes polinomios:

𝐴(𝑥) = 4𝑥3 − 2𝑥2 + 5𝑥 − 3; 𝐵(𝑥) = 5𝑥4 + 2𝑥2 − 9𝑥; 𝐶(𝑥) = 𝑥2 − 1

a. Calcular

i. 𝐴 + 𝐵 ii. 2𝐴 + 𝐶

iii. 𝐴– 2

3𝐶

iv. 3𝐴– 4𝐵

v. 𝐴 ∙ 𝐶

vi. 𝐵 ∙ 𝐶

vii. 𝐶2

viii. 𝐶3

b. Indicar el grado de cada uno de los polinomios obtenidos

12. Resolver:

a. 8𝑥4 ÷ 2𝑥2

b. 5𝑦4 ÷3

5𝑦2

c. 3

2𝑥7 ÷

1

2𝑥3

d. 4𝑐6 ÷ 6𝑐5

13. Efectuar las siguientes divisiones:

a. (10𝑚3 −1

10𝑚4 − 5𝑚2) ÷ (

1

2𝑚2)

b. (𝑥5 −1

2𝑥3 +

3

4𝑥2 +

9

8𝑥4) ÷ (

3

2𝑥2)

c. (𝑎3 − 5𝑎4 −1

2𝑎 + 2𝑎2) ÷ 𝑎

d. (1

2𝑥4 −

3

4𝑥3 + 2𝑥2) ÷ (−

4

3𝑥2)

14. Resolver aplicando la Regla de Ruffini:

a. (𝑥3 − 3𝑥2 + 2) ÷ (𝑥 + 1)

b. (5 − 3𝑥 + 𝑥4) ÷ (𝑥 −1

2)

c. (𝑥3 − 8) ÷ (𝑥 − 2)

d. (2𝑥4 − 𝑥2 − 2) ÷ (𝑥 − 1) e. (𝑥3 + 𝑥2 − 14𝑥 + 6) ÷ (𝑥 − 3)

f. (3𝑥3 − 12𝑥2 + 4𝑥 +1

2) ÷ (𝑥 − 3)

g. (5𝑥4 + 6𝑥3 − 2𝑥2 − 𝑥 − 7) ÷ (𝑥 + 2) h. (9𝑥2 − 6𝑥 − 5) ÷ (𝑥 − 1) i. (𝑥3 + 6𝑥 − 5) ÷ (𝑥 − 5) j. (2𝑥6 − 3) ÷ (𝑥 − 2)

k. (𝑥3 +2

3) ÷ (𝑥 −

3

4)

l. (𝑥3 − 2) ÷ (𝑥 − 5)

15. Escribir V o F . Justificar.

a. 𝑥 = 2 es raíz de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4

b. 𝑥 = −2 es raíz de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4

c. 𝑥 = 0 es raíz de 𝑓(𝑥) = 𝑥4 +1

2𝑥3 − 𝑥

d. 𝑥 = −1 es raíz de 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 1

e. 𝑥 = −3 es raíz de 𝑓(𝑥) = 𝑥3 +5

2𝑥2 −

3

2𝑥


16. Hallar analíticamente las raíces de las siguientes funciones:

a. 𝒇(𝒙) = 𝑥2– 1 b. 𝒈(𝒙) = 𝑥2 + 1

c. 𝒉(𝒙) = 2𝑥– 1

d. 𝒊(𝒙) = 𝑥3– 27

e. 𝒋(𝒙) = 𝑥 + 4

f. 𝒇(𝒙) = 2𝑥2 + 𝑥– 3

g. 𝒈(𝒙) = 3𝑥2 + 6𝑥 + 3

h. 𝒉(𝒙) = 𝑥2 + 4𝑥 + 3

i. 𝒊(𝒙) = 4𝑥2 + 4𝑥– 8

j. 𝒋(𝒙) = 𝑥2– 8𝑥 + 15

17. Calcula solamente el resto de las siguientes divisiones

a. (3𝑥3 − 2𝑥 + 2) ÷ (𝑥 −1

2)

b. (𝑥4 −3

2𝑥2 + 2) ÷ (𝑥 + 1)

c. (−2𝑥 + 𝑥7 − 5) ÷ (𝑥 − 1) d. (𝑥5 + 1) ÷ (𝑥 + 1) e. (−14𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 + 6) ÷ (𝑥 − 3) f. (𝑥3 + 2𝑥2 − 15𝑥 + 5) ÷ (𝑥 + 5)

18. Verificar si el polinomio 𝑥4 + 4𝑥3 + 30 − 8𝑥2 − 23𝑥 es divisible por (𝑥 − 2) y por

(𝑥 + 3).

19. Hallar el valor de 𝒒 para que los polinomios indicados sean divisibles por los binomios

correspondientes.

a. 𝑥2 − 𝒒𝑥 + 3 con 𝑥 − 3

b. 𝒒𝑥4 − 2𝑥3 + 𝒒𝑥2 − 𝑥 + 3 con 𝑥 + 3

20. Escribir los divisores de las funciones polinómicas del ejercicio 16.

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