INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO“SANTIAGO MARIÑO”EXTENSIÓN MÉRIDA

ASIGNATURA: RESISTENCIA Y ENSAYO DE MATERIALESPROFESOR: ING. DOUGLAS GARCÍA

GUÍA TEÓRICACONCEPTOS BÁSICOS EN LA RESISTENCIA DE MATERIALES

Sistemas de Unidades Básicas

Los cálculos que se requieren en la aplicación de la resistencia de materiales involucran la manipulación de varios conjuntos de unidades en ecuaciones. Para obtener precisión numérica, es de gran importancia asegurar que se utilizan unidades consistentes en las ecuaciones. A lo largo de este curso, se escribirán los números con sus respectivas unidades.

El nombre formal para el sistema de unidades de uso en Estados Unidos es el Sistema de Unidades Gravitacionales Inglesas (EGU: English Gravitational Unit System). El Sistema métrico, aceptado internacionalmente, se conoce por el nombre en francés de Systéme International d ’Unités, o Sistema Internacional de Unidades que, en el presente texto, se abrevia con las siglas SI. En la mayoría de los casos, los problemas en este curso se trabajan tanto en el sistema de unidades estadounidenses como en el sistema SI, en vez de mezclar unidades. En los problemas donde los datos se dan en ambos sistemas de unidades, es deseable cambiar todos los datos al mismo sistema antes de terminar la solución del problema. La Tabla 00 da factores de conversión para utilizarse al momento de realizar las conversiones.

Las magnitudes básicas para cualquier sistema de unidades son: longitud, tiempo, fuerza, masa, temperatura y ángulo. La Tabla 01 es una lista de las unidades para estas magnitudes en el SI, y la Tabla 02 lista las magnitudes en el sistema de unidades anglosajonas.

Tabla 01. Dimensiones Básicas del Sistema Métrico Decimal (SI)Magnitud Unidad SI Otras Unidades MétricasLongitud Metro (m) Milímetro (mm)Tiempo Segundo (s) Minuto (min), hora (h)Fuerza Newton (N ) kg ∙m /s2

Masa Kilogramo (kg) N ∙s2/mTemperatura Kelvin (K ) Grados Celsius (℃)

Ángulo radián grado

Tabla 02. Dimensiones Básicas en el Sistema de Unidades Anglosajonas

MagnitudUnidad

AnglosajonaOtras Unidades Anglosajonas

Longitud pie (ft) pulgada (plg)Tiempo Segundo (s) Minuto (min), hora (h)Fuerza libra (lb) kip *Masa slug lb∙ s2/ pie

Temperatura Rankine (R) Grados Fahrenheit (℉)Ángulo grado radián (rad)

*1kip=1000 lb El nombre se deriva del termino kilopound (kilolibra).

Prefijos para unidades SI. En el SI, deben utilizarse prefijos para indicar órdenes de magnitud y de este modo eliminar dígitos y proporcionar un conveniente sustituto para escribir potencias de 10, como generalmente se prefiere para cálculos. Se recomiendan los prefijos que representan saltos de 1000. Aquellos que generalmente se encuentran en la resistencia de materiales, se listan en la Tabla 03. En la Tabla 04 se muestra la forma en que deben convertirse los resultados que se calcularon para utilizarse con los prefijos convencionales de unidades.

Tabla 03. Prefijos para Unidades SIPrefijo Símbolo SI Otras Unidades MétricasGiga G 109=1.000.000.000Mega M 106=1.000.000kilo k 103=1.000mili m 10-3=0.001

micro μ 10-6=0,000 001nano n 10-9=0,000 000 001

Tabla 04. Método Adecuado para Reportar Cantidades

Resultado Calculado Resultado Reportado

0,00548 m 5,48 x 10-3 m, o 5,48 mm12.750 N 12,75 x 103 N , o 12,75 kN34.500 kg 34,5 x 103 kg, o 34,5 Mg (megagramos)

Relaciones entre Masa, Fuerza y Peso

La fuerza y la masa son magnitudes separadas y distintas. El peso es una clase especial de fuerza.

La masa se refiere a la cantidad de sustancia que hay en un cuerpo. La fuerza es la acción de empujar o jalar que se ejerce sobre un cuerpo, ya sea por una

fuente externa, o por la gravedad. El peso es la fuerza de la atracción gravitacional sobre un cuerpo.

La masa, la fuerza y el peso, se relacionan por la ley de Newton:

Fuerza=masa×aceleración

Con frecuencia utilizamos los símbolos F, para fuerza, m para masa y a para aceleración.Entonces:

F=m×a o m= Fa

Cuando se involucra la atracción de la gravedad en el cálculo del peso de una masa, a toma valor de g, la aceleración debida a la gravedad. Entonces, utilizando W para peso,

Relación peso- masa: W=m×g o m=Wg

(1)

Utilizaremos los siguientes valores para g:

Unidades SI: g=9.81m/ s2 Unidades anglosajonas: g=32.2 pie /s2.

Unidades de masa, fuerza y peso.

En las Tablas 01 y 02 se muestran las unidades preferidas, y algunas otras unidades convenientes para masa y fuerza, en los sistemas de unidades SI y anglosajones. Las unidades para fuerza también se utilizan como unidades para peso.

El newton (N) en el SI se llama así en honor de Isaac Newton y representa la cantidad de fuerza que se requiere para dar una aceleración de 1m /s2 a una masa de 1kg.

Las unidades equivalentes para el newton pueden obtenerse al sustituir las unidades correspondientes en la 2a. ley de Newton:

F=m×a=kg ∙m /s2=newton

En el sistema de unidades anglosajonas, la unidad para fuerza se define como libra, en tanto que la unidad de masa (slug) se deriva de la 2a. ley de Newton de la forma siguiente:

m= Fa= lb

pie /s2=lb ∙ s2

pie=slug

Densidad y peso específico. Para caracterizar la masa o peso de un material en relación con su volumen, utilizamos los términos densidad y peso específico, que se definen de la forma siguiente:

Densidad es la cantidad de masa por unidad de volumen de un material. Peso específico es la cantidad de peso por unidad de volumen de un material

Utilizaremos la letra griega ρ (rho) como símbolo de densidad. Para el peso específico utilizaremos γ (gamma).

A continuación se resumen las unidades para densidad y peso específico.

Tabla 05. Unidades para Densidad y Peso EspecíficoUnidades

anglosajonasSI

Densidadslugs

pie s3kg

m3

Peso específico lb

pies3N

m3

Algunas veces se utilizan otras convenciones, que en consecuencia producen confusiones.Por ejemplo, en Estados Unidos, en ocasiones se expresa la densidad en lb / pies3 o Il b/ plg3. Para esto se utilizan dos interpretaciones. Una es que el término implica la densidad en peso, con el mismo significado que el peso específico. Otra es que la magnitud Ib significa libra-masa en lugar de libra-peso, y ambas tienen valores numéricos iguales.

Concepto de Esfuerzo

El objetivo de cualquier análisis de resistencia es establecer la seguridad. Lograr esto requiere que el esfuerzo que se produzca en el material del miembro que se analiza esté por debajo de un cierto nivel de seguridad, que se describirá más adelante. Comprender lo que significa esfuerzo en un miembro que soporta carga, como se describe a continuación, es de la mayor importancia para estudiar la resistencia de materiales.

Esfuerzo es la resistencia interna que ofrece un área unitaria del material del que está hecho un miembro para una carga aplicada externa.

Nos interesamos en lo que sucede dentro de un miembro que soporta una carga. Debemos determinar la magnitud de fuerza que se ejerce sobre cada área unitaria del material. El concepto de esfuerzo puede expresarse matemáticamente como:

Definición de esfuerzo: Esfuerzo= fuerzaárea

= FA

(2)

En algunos casos, como se describe en la siguiente sección que trata del esfuerzo normal directo, la fuerza aplicada se reparte uniformemente en la totalidad de la sección transversal del miembro. En estos casos, el esfuerzo puede calcularse con la simple división de la fuerza total por el área de la parte que resiste la fuerza. Entonces, el nivel de esfuerzo será el mismo en un punto cualquiera de una sección transversal cualquiera.En otros casos, tal como en el caso de esfuerzo debido a flexión, el esfuerzo variará en los distintos lugares de la misma sección transversal. Entonces, es esencial que usted considere el nivel de esfuerzo en un punto. Por lo general, el objetivo es determinar en qué punto ocurre el esfuerzo máximo, y cuál es su magnitud.En el sistema de unidades anglosajonas, la unidad típica de fuerza es la libra, y la unidad de superficie más conveniente es la pulgada cuadrada. Por consiguiente, el esfuerzo se indica en lb / plg2, que se abrevia psi. Los niveles de esfuerzo característicos, en los diseños de maquinaria y análisis estructurales, son de varios miles de psi. Por esta razón, con frecuencia se utiliza la unidad de kip / plg2, que se abrevia ksi. Por ejemplo, si se calcula que el esfuerzo es de 26.500 psi, puede reportarse como:

Esfuerzo=26500 lbplg2

×1kip1000 lb

=26,5kipplg2

=26,5ksi

En el sistema de unidades del SI, la unidad convencional para fuerza es el newton y la superficie o área se expresa en metros cuadrados. Por consiguiente, la unidad convencional para esfuerzo está dada en N /m2, la cual recibe el nombre de pascal y se abrevia Pa.Los niveles típicos de esfuerzo son de varios millones de pascales, de forma que la unidad de esfuerzo más conveniente es el megapascal o MPa. Esto también es conveniente por otra razón. Al calcular el área de la sección transversal de miembros que soportan cargas, con frecuencia se utilizan mediciones que se expresan en mm. Entonces el esfuerzo estaría dado en N /mm2 y puede demostrarse que es numéricamente igual a la unidad de MPa.Por ejemplo, supongamos que se ejerce una fuerza de 15000 N en un área cuadrada de 50 mm de lado. El área de resistencia sería de 2500 mm2, y el esfuerzo resultante sería:

Esfuerzo= fuerzaárea

= 15.000N2500mm2

= 6N

mm2

Convirtiendo esto a pascales, obtendríamos:

Esfuerzo= 6Nmm2 ×

(1000)2mm2

m2=6×106 N /m2=¿6MPa¿

Esto demuestra que la unidad de N /mm2 es idéntica al MPa, una observación por la que nos regiremos a lo largo de este curso.

Esfuerzo Normal Directo

Uno de los tipos más fundamentales de esfuerzo es el esfuerzo normal, denotado por la letra griega minúscula σ (sigma), en donde el esfuerzo actúa de manera perpendicular, o normal, a la sección transversal del miembro de carga. Si el esfuerzo es también uniforme sobre el área de resistencia, el esfuerzo se conoce como esfuerzo normal directo. Los esfuerzos normales pueden ser de compresión o de tensión. Un esfuerzo de compresión es aquel que tiende a aplastar el material del miembro de carga, y a acortar al miembro en sí. Un esfuerzo de tensión es aquel que tiende a estirar al miembro y romper el material.

Figura 01. Ejemplo de Esfuerzo de Compresión Directo

En la Figura 01 se muestra un ejemplo de un miembro sujeto a un esfuerzo de compresión. El pedestal se diseñó para colocarse bajo el equipo pesado durante su ensamble y el peso del equipo tiende a aplastar al eje cuadrado del soporte, al someterlo a compresión.

Figura 02. Esfuerzo de Compresión sobre una Sección Transversal arbitraria del Eje de Pedestal de Soporte

Figura 03. Esfuerzo de Tensión sobre una Sección Transversal arbitraria de una Varilla Circular.

Elementos Sometidos a Esfuerzo para la Visualización de Esfuerzos Normales Directos

La ilustración de esfuerzos en las Figuras 02 y 03 son útiles para visualizar la naturaleza de la resistencia interna a la fuerza aplicada externa, particularmente para aquellos casos en donde los esfuerzos son uniformes sobre la totalidad de la sección transversal.En otros casos, es más conveniente visualizar las condiciones de esfuerzo sobre un elemento pequeño (infinitesimal). Considérese un pequeño cubo de material en alguna parte dentro del eje cuadrado del pedestal de soporte que se muestra en la Figura 01.

Figura 04. Elementos para la Visualización de Esfuerzos de Compresión.

Figura 05. Elementos para la Visualización de Esfuerzos de Tensión.

Debe haber una fuerza de compresión neta que actúe sobre las caras superior e inferior del cubo, como se muestra en la Figura 04(a). Si se considera que las caras son áreas unitarias, estas fuerzas pueden considerarse como los esfuerzos que actúan sobre las caras del cubo. Un cubo de esta clase se conoce como elemento sometido a esfuerzo.Debido a que el elemento se toma de un cuerpo en equilibrio, el elemento en sí está también en equilibrio, y los esfuerzos en las caras superior e inferior son iguales. Un elemento simple como éste, con frecuencia se muestra como un elemento cuadrado bidimensional en lugar de cubo tridimensional, como se muestra en la Figura 04(b).Asimismo, el esfuerzo de tensión sobre cualquier elemento de la varilla de la Figura 03 puede mostrarse como en la Figura 05, donde el vector de esfuerzo actúa hacia afuera desde el elemento. Note que los esfuerzos de compresión o tensión mostrados, actúan en forma perpendicular a la superficie del elemento.

Esfuerzo Cortante Directo

Cortante hace referencia a la acción de corte. Cuando se utilizan unas tijeras domésticas normales, se hace que una de las dos hojas se deslice sobre la otra para cortar papel, tela o cualquier otro material. Un fabricante de lámina metálica utiliza una acción cortante similar al cortar metal para un ducto. En estos ejemplos, la acción de corte progresa sobre la longitud de la línea que debe cortarse, de forma que sólo una pequeña parte del corte total se haga para un tiempo dado. Y, desde luego, el objetivo de la acción es en realidad cortar el material. Es decir, se quiere que el material se fracture.Los ejemplos descritos en esta sección, junto con las figuras anexas, ilustran varios casos donde se produce cortante directo. Es decir, la fuerza cortante aplicada se resiste uniformemente por el área de la parte que se corta, lo que produce un nivel uniforme de fuerza cortante sobre el área. El símbolo que se utiliza para el esfuerzo cortante es la τ (letra griega minúscula tan). Entonces, el esfuerzo cortante directo puede calcularse a partir de:

Esfuerzo cortante directo: EsfuerzoCortante=τ= fuerzaaplicadaárea cortante

= FA s

(3)

Figura 06. Ilustración de Esfuerzo Cortante Directo en una operación de Perforación.

La Figura 06 muestra una operación de perforación, donde el objetivo es cortar una parte del material del resto. La acción de perforación produce una ranura en la lámina metálica plana. La parte que se extrae en la operación es el trozo o bocado. Muchas formas diferentes pueden producirse mediante perforación, tanto con el trozo como con la lámina en que se ha hecho el agujero en la parte deseada. Normalmente, la operación de perforación se diseña de tal manera que se perfora la totalidad de la forma al mismo tiempo. Por consiguiente, la acción cortante ocurre sobre los lados del trozo: El área que se corta en este caso, se calcula multiplicando la longitud del perímetro de la forma cortada, por el espesor de la lámina. Es decir para una operación de perforación:

Área Cortante por perforación: A s=perimetro×espesor=p×t (4)

Cortante simple. Con frecuencia se inserta un perno o un remache en un agujero cilíndrico a través de partes coincidentes para conectarlas, como se muestra en la Figura 07. Cuando se aplican fuerzas perpendiculares al eje del perno, existe la tendencia de cortarlo a través de su sección transversal, produciendo un esfuerzo cortante. Esta acción se llama cortante simple, porque una sola sección transversal del perno resiste la fuerza cortante aplicada. En este caso, generalmente se diseña el perno para que el esfuerzo cortante esté por debajo del nivel que haría que se fracturase el perno.

Figura 07. Conexión mediante Perno que Ilustra el Esfuerzo Cortante Simple.

Cortante doble. Cuando se diseña una conexión por medio de pernos como se muestra en la Figura 08, hay dos secciones transversales que resisten la fuerza aplicada. En esta disposición, se dice que el perno está a esfuerzo cortante doble.

Figura 08. Junta mediante Pernos que Ilustra el Esfuerzo Cortante Doble.

Cuñas. La Figura 09 muestra una importante aplicación del esfuerzo cortante en las transmisiones mecánicas. Cuando un elemento transmisor de potencia, tal como un engrane, una rueda dentada para cadena o polea de banda transportadora se montan en un eje, con frecuencia se utiliza una cuña para conectarlos y transmitir el par de torsión de uno al otro. El par de torsión produce una fuerza tangencial en la superficie de contacto entre la flecha y el interior del cubo. Al par de torsión se le opone el momento de la fuerza en la cuña por el radio de la flecha. Es decir, T=F ¿). Por consiguiente, la fuerza es F=2T /D. En la Figura 09, mostramos la fuerza F1 ejercida por la flecha en el lado izquierdo de la cuña. En el lado derecho, una fuerza igual F21 es la reacción ejercida por el cubo sobre la cuña. Este par de

fuerzas tienden a cortar la cuña, produciendo un esfuerzo cortante. Nótese que el área de corte, A s es un rectángulo de b x L.

Figura 09. Acción Cortante Directa sobre una Cuña entre un Eje y el Cubo de un Engrane, Polea o Rueda Dentada para Cadena en un Sistema de Transmisión Mecánica.

Elementos Sometidos a Esfuerzo para Visualizar Esfuerzos Cortantes

Un elemento cúbico infinitesimalmente pequeño de material del plano cortante de cualquiera de los ejemplos que se muestran en la parte anterior como se muestra en la Figura 10, donde los esfuerzos cortantes actúan paralelos a las superficies del cubo. Por ejemplo, un elemento tomado del plano cortante de la cuña de la Figura 09 tendría un esfuerzo cortante que actuaría hacia la izquierda en su superficie superior. Para el equilibrio del elemento respecto a fuerzas horizontales, debe haber un esfuerzo igual que actúe hacia la derecha en la superficie inferior. Ésta es la acción de corte característica del esfuerzo cortante.

Figura 10. Elemento que muestra el Esfuerzo Cortante, (a) Elemento tridimensional, (b) Elemento bidimensional.

Pero los dos vectores de esfuerzo en las superficies superior e inferior no pueden actuar solos, porque el elemento tendería a girar por la influencia del par formado por las dos fuerzas cortantes que actúan en direcciones opuestas. Para equilibrar este par, se desarrolla un par de esfuerzos cortantes iguales en los lados verticales del elemento sometido a esfuerzo, como se muestra en la Figura 10(a).El elemento se dibuja con frecuencia en la forma bidimensional que se muestra en la Figura 10(b).Nótese cómo los vectores de esfuerzo en los lados adyacentes tienden a unirse en los vértices. Estos elementos son útiles en la visualización de esfuerzos que actúan en un punto, dentro de un material sometido a fuerza cortante.

Esfuerzo de Apoyo

Cuando un cuerpo sólido descansa sobre otro y le transfiere una carga, en las superficies en contacto se desarrolla la forma de esfuerzo conocida como esfuerzo de apoyo. Al igual que el esfuerzo de compresión directo, el esfuerzo de apoyo es una medida de la tendencia que tiene la fuerza aplicada de aplastar al miembro que lo soporta.El esfuerzo de apoyo se calcula igual que los esfuerzos normales directos:

Esfuerzo de Apoyo: σ b=cargaaplicadaáreade apoyo

= FAb

(5)

En superficies planas en contacto, el área de apoyo es simplemente el área sobre la que se transfiere la carga de un miembro al otro. Si las dos partes tienen áreas distintas, se utiliza el área menor. Otra condición es que los materiales que transmiten las cargas deben permanecer casi rígidos y planos con el fin de conservar su capacidad de trasmitir las cargas. La deflexión excesiva reducirá el área de apoyo efectiva.Concepto de Deformación

Todo miembro de carga se deforma por la influencia de la carga aplicada. El eje cuadrado del pedestal de apoyo de la Figura 01 se acorta cuando sobre él se coloca equipo pesado.La deformación total de un miembro de carga puede, desde luego, ser medido. Más adelante se demostrará cómo puede calcularse la deformación.La Figura 11 nos muestra una fuerza de tensión axial de 10.000 Ib aplicada a una barra de aluminio con un diámetro de 0,75 plg. Antes de aplicar la carga, la longitud de la barra era de 10 plg. Luego de aplicar la carga, la longitudes de 10.023 plg. Por consiguiente, la deformación total es de 0,023 plg.La deformación que también se conoce como deformación unitaria, se obtiene dividiendo la deformación total entre la longitud original de la barra. La deformación se denota con la letra griega minúscula épsilon (ε):

Deformación: Deformación=ε=deformacióntotallongitud original

(6)

Figura 11. Alargamiento de una Barra en Tensión.

Para el caso que se muestra en la Figura 11:

ε=0,023 plg10 plg

=0.0023 plg / plg

Puede decirse que la deformación es adimensional, porque las unidades del numerador y el denominador se cancelan. Sin embargo, es mejor reportar las unidades como plg / plg o mm /mm, para mantener la definición de deformación por unidad de longitud del miembro.

Coeficiente de Poisson

Si se remite a la Figura 12 podrá obtener una comprensión más completa de la deformación de un miembro sujeto a esfuerzos normales. El elemento que se muestra está tomado de la barra de la Figura 11. La fuerza de tensión en la barra la alarga en la dirección dé la fuerza aplicada, como sería de esperar. Pero, al mismo tiempo, el ancho de la barra se acorta. De este modo, en el elemento de esfuerzo ocurre un alargamiento y contracción simultáneos. Puede determinarse la deformación axial a partir del alargamiento, y, de la contracción, puede determinarse la deformación lateral.El coeficiente de la deformación lateral en el elemento a la deformación axial se conoce como coeficiente de Poisson, y es una propiedad del material del que está hecho el miembro de carga.

Figura 12. Ilustración del Coeficiente de Poisson para un Elemento en Tensión.

Deformación Axial=Lf−L0Lf

=εa

Deformación Lateral=hf−h0h f

=εl

Coeficiente de Poisson=εlε a

=ν

En el presente curso, se utiliza la letra griega minúscula ni (ν) para denotar el coeficiente de Poisson. Nótese que algunas referencias utilizan mi (μ).Los materiales metálicos más comúnmente usados tienen un coeficiente de Poisson con valor entre 0,25 y 0,35. Para el concreto, varía ampliamente según el grado y el esfuerzo aplicados, pero generalmente cae entre 0,1 y 0,25. Los elastómeros y el caucho tienen un coeficiente de Poisson que llega a ser hasta de 0,50. En la Tabla 06 se muestran valores aproximados del coeficiente de Poisson.

Tabla 06. Valores aproximados del coeficiente de Poisson

Material Coeficiente de Poisson ν

Aluminio (la mayoría de sus aleaciones) 0,33Bronce 0,33

Hierro colado 0,27Concreto 0,10-0,25

Cobre 0,33Bronce al fósforo 0,35

Acero al carbón y aleado 0,29Acero inoxidable (18-8) 0,30

Titanio 0,30

Deformación por Cortante

Las discusiones anteriores de deformación, describieron la deformación normal, porque ésta es causada por el esfuerzo de compresión o tensión normal, desarrollado en un miembro de carga. Bajo la influencia del esfuerzo cortante, se produce la deformación por cortante.La Figura 13 muestra un elemento de esfuerzo sujeto a fuerza cortante. La acción cortante en las caras paralelas del elemento, tienden a deformarlo angularmente, como se muestra de forma exagerada. El ángulo y (gamma), medido en radianes, es la deformación por cortante. En los problemas prácticos se encuentran sólo valores sumamente pequeños de deformación por cortante y, por consiguiente, las dimensiones del elemento sólo se cambian levemente.

Figura 13. Deformación por Cortante en un Elemento Infinitesimal.

Módulo de Elasticidad

Puede obtenerse una medida de la rigidez del material calculando el coeficiente del esfuerzo normal en un elemento y la deformación correspondiente en el mismo. Esta relación se conoce como módulo de elasticidad, y se denota por E.Es decir:

Módulo de elasticidad: módulode elasticidad= Esfuerzo NormalD eformaciónNormal

E=σε

(7)

Un material con un valor de E elevado se deformará menos con un esfuerzo dado que uno con un valor reducido de E. Un término más completo para E sería el módulo de elasticidad a tensión o compresión, porque se define en función del esfuerzo normal. Sin embargo, el término “módulo de elasticidad”, sin ningún modificador, generalmente se considera como el módulo de tensión.

Módulo de Elasticidad a Cortante

El coeficiente del esfuerzo cortante y la deformación por cortante se conoce como módulo de elasticidad a cortante, o módulo de rigidez, y se denota por G. Es decir:

Módulo de elasticidad a cortante: G= EsfuerzoCortanteDeformaciónCortante

= τγ

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G es una propiedad del material, y se relaciona con el módulo de tensión y el coeficiente de Poisson por:

Relación entre G y el coeficiente de Poisson: G= E2(1+ν) (9)

Apéndice 01. Factores de Conversión