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GUÍA Nº 2

FORMULACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL – PARTE 2

EJERCICIOS

1. Hexxon Oil Company tiene una gran refinería localizada en Newark, New Jersey. La

gasolina refinada es enviada de allí a tanques de almacenamiento en Filadelfia a través de

una red de oleoductos con estaciones de bombeo en Sayerville, Easton, Trenton,

Bridgewater y Allentown. El oleoducto está construido en segmentos que conectan

parejas de estas ciudades. A lo largo de cada segmento existe un número máximo

conocido de galones por hora que pueden enviarse. Esos segmentos y sus respectivas

capacidades en galones por hora son:

De A Capacidad

Newark Sayerville 150000

Sayerville Trenton 125000

Trenton Filadelfia 130000 Newark Bridgewater 80000 Sayerville Bridgewater 60000 Bridgewater Easton 100000

Easton Allentown 75000

Easton Trenton 50000

Allentown Filadelfia 90000

En la región de Filadelfia se espera un aumento en la conducción en los próximos meses

de verano. ¿Tendrá Hexxon suficiente gasolina para satisfacer la mayor demanda en las

estaciones de servicio? Antes de incrementar la tasa de producción de la refinería, la

administración de Hexxon desea conocer el número máximo de galones de gasolina por

hora que pueden enviarse a través de la red de oleoductos a los tanques de

almacenamiento de Filadelfia.

2. La CALIFORNIA MANUFACTURING COMPANY analiza la posibilidad de llevar a cabo una

expansión mediante la construcción de una nueva fábrica ya sea en Los Ángeles o en San

Francisco, o tal vez ambas ciudades. También piensa en construir, a lo sumo, un nuevo

almacén, pero la decisión sobre el lugar donde lo instalará está restringida a la ciudad

donde se construya la nueva fábrica. En la tabla inferior, se muestra el valor actual neto

(rendimiento total que toma en cuenta el valor del dinero en el tiempo) de cada

alternativa y el capital que se requiere para las respectivas inversiones. El capital total

disponible es de 10 millones de dólares. El objetivo es encontrar la combinación factible

de alternativas que maximice el valor presente neto total.

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Opciones de construcción Valor actual neto Capital requerido

Fábrica en Los Ángeles $9 millones $6 millones

Fábrica en San Francisco $5 millones $3 millones

Almacén en Los Ángeles $6 millones $5 millones

Almacén en San Francisco $4 millones $2 millones Capital disponible: $10 millones

3. La división de investigación y desarrollo de la GOOD PRODUCTS COMPANY ha desarrollado

tres nuevos productos para el mercado internacional que pueden ser producidos en dos

de sus plantas. Sin embargo, para evitar una diversificación excesiva de la línea de

productos de la compañía y por cuestiones tanto administrativas como financieras, se han

impuesto las siguientes limitantes:

Restricción 1: De los tres nuevos productos posibles, deben escogerse, como

máximo, solo dos.

Restricción 2: Sólo una de las dos plantas debe asignarse para la producción de los

nuevos productos.

En esencia, el costo unitario de producción de cada producto seria el mismo en las dos

plantas. Sin embargo, por diferencias en las instalaciones, el número de horas de

producción por unidad de cada unidad difiere entre ellas. Estos datos se dan en la tabla

inferior, junto con otra información relevante que incluye las estimaciones del

departamento de mercadotecnia sobre el número máximo de unidades de cada producto

que podrían venderse a la semana. El objetivo es seleccionar los productos, la planta y las

tasas de producción de los bienes elegidos de manera que se maximice la ganancia total.

Plantas

Tiempo de producción utilizado por cada unidad producida Horas disponibles

por semana Producto 1

Producto 2

Producto 3

Planta 1 3 4 2 30

Planta 2 4 6 2 40

Ganancia unitaria [$/unid] 50 70 30

Ventas potenciales [unid/semana] 7 5 9

4. Supóngase que una planta en La Paz fabrica un producto 1, que sirve como componente

insumo para la fabricación de un producto 2 en Cochabamba y otro producto 3 en Santa

Cruz. Asimismo, el producto 3 requiere como producto insumo adicional al producto 2. La

siguiente figura muestra el flujo de fabricación.

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La Paz Producto 1

Cochabamba

Ventas

nacionales

Ventas al

extranjero

Producto 2

Santa Cruz Producto 3

Ventas

nacionales

Ventas al

extranjero

Ventas

nacionales

Ventas al

extranjero

La capacidad mensual de producción de cada planta es:

Fábrica Capacidad de producción

La Paz 200000 unidades de producto 1

Cochabamba 120000 unidades de producto 2

Santa Cruz 100000 unidades de producto 3

La siguiente tabla da la cantidad de unidades i requeridas en la fabricación de una unidad

j.

Insumos Productos

Producto 1 Producto 2 Producto 3

Producto 1 - 4 2

Producto 2 - - 1

Producto 3 - - -

La demanda mensual mínima y máxima nacional para cada producto está dada a

continuación.

Productos Venta mínima mensual Venta máxima mensual

Producto 1 10000 30000

Producto 2 25000 50000

Producto 3 40000 60000

Además, por políticas internas se debe exportar al extranjero el 10% de la venta nacional

mensual. Los costos unitarios de producción son de $3, $5 y $10 respectivamente para los

productos 1, 2 y 3. Los cuales se venden en el mercado nacional a $6, $10 y $15, y en el

extranjero un 20% más caro, respectivamente. El costo unitario de exportación es de $2.

Formule un programa lineal que determine la producción mensual de los productos 1, 2 y

3, tal que satisfaga todas las condiciones descritas anteriormente y maximice los ingresos

provenientes por ventas nacionales e internacionales.

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5. Usted, un estudiante de ingeniería industrial, realizó un estudio de tiempos en una de las

líneas de producción de una empresa manufacturera. En esta línea trabajan 3 operarios,

Juan, Pedro y Satuco. Al aparecer, lo más justo para ellos es dividir el trabajo entre los 3,

de manera que dos de ellos trabajen en 3 actividades y otro solo en 2. La eficiencia en

cada una de las actividades difiere entre los operarios de la línea; la siguiente tabla

proporciona el tiempo que cada uno necesita para realizar estas actividades:

Operarios

Tiempo de ciclo [min/unid]

Operaciones Inspección

1 2 3 4 5 6 7

Juan 4.5 7.8 - 3.9 2.3 3.8 3.3 -

Pedro 4.9 7.2 4.3 - 2.6 4.6 - 6.5

Satuco - 7.9 - 3.4 2.0 - 3.5 6.8

La secuencia y ubicación de áreas de trabajo para cada actividad se muestra en el layout

que realizo para esta línea de producción:

Con toda la información dada, formule un modelo de programación lineal para obtener un

proceso de producción eficiente.

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EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Sunco Oil quiere enviar la máxima cantidad posible de petróleo (por hora) vía tubería del

nodo A al nodo B en la figura inferior. En su camino del nodo A al nodo B, el petróleo debe

pasar por alguna o todas las estaciones 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Los distintos arcos representan

tuberías de diferentes diámetros. El número máximo de barriles de petróleo (millones de

barriles por hora) que se bombean por cada arco se muestran en la tabla inferior. Formule

un MPL que permita determinar el número máximo de barriles de petróleo por hora que

pueden enviarse de A al nodo B

A

1

2

4

B

3 5 6

2. Un estudio de cine quiere producir cinco películas en los próximos 3 años. Defina una

variable en la cual el subíndice i se refiera a la película (i =1, 2, 3, 4, 5) y el subíndice j se

refiera al año (t= 1, 2, 3). es una variable binaria que tiene valor 1 si se produce la

película i en el año j, y el valor es 0 en caso contrario. Considere en forma independiente

cada una de las siguientes situaciones y formule una o más restricciones enteras que

satisfagan la condición que se establece.

a) No se puede producir más de una película el primer año.

b) La película 2 no puede producirse antes que la película 3, pero si pueden

producirse las dos en el mismo año.

c) Hay que producir al menos una película al año.

d) La película 4 no puede producirse después del año 2.

e) Las películas 1 y 5 no se pueden producirse en el mismo año.

3. Una compañía planea abrir unas bodegas en cuatro ciudades; Nueva york, los Ángeles,

Chicago y Atlanta. Desde cada bodega se pueden embarcar 100 unidades por semana. El

costo fijo por semana por mantener en operación cada bodega es de 400 dólares para

Arco Capacidad

[millones de barriles/hr]

(A, 1) 2

(A, 2) 3

(A, 3) 4

(1, 4) 3

(1, 2) 4

(2, B) 2

(2, 5) 3

(3, 4) 2

(3, 5) 4

(4, 5) 2

(4, B) 3

(5, B) 3

(5, 6) 2

(6, B) 2

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Nueva York, 500 dólares para Los Ángeles, 300 dólares para Chicago y 150 dólares para

Atlanta. La región 1 del país requiere 80 unidades por semana, la región 2 demanda 70

unidades por semana y la región 3 necesita 40 unidades por semana. Los costos (sin

olvidar los costos de producción y embarque) por enviar una unidad desde una planta a

una región se señalan en la tabla inferior. Se desea cumplir con las demandas semanales a

un costo mínimo, sujeto a la información precedente y a las restricciones siguientes:

Si se abre la bodega de Nueva York, entonces se debe abrir la bodega de Los

Ángeles.

Es posible abrir a lo más dos bodegas.

Se tiene que abrir la bodega de Atlanta o la de Los Ángeles.

Costos de envió [dólares/unidad]

Desde Hasta

Región 1 Región 2 Región 3

Nueva York 20 40 50

Los Ángeles 48 15 26

Chicago 26 35 18

Atlanta 24 50 35

4. Supóngase que una planta en Oruro fabrica dos productos 1 y 2, que sirven como

componentes insumos para la fabricación de un producto 3 en Sucre y otro producto 4 en

Potosí. Asimismo, en La Paz existe una planta que produce un producto 5 que requiere

como productos insumos a los productos 3 y 4. La siguiente figura muestra el flujo de

fabricación. Todas estas fábricas pertenecen a un grupo industrial.

Oruro

Producto 1

Producto 2

Sucre

Ventas

nacionales

Ventas al

extranjero

Producto 3

Potosi Producto 4

La Paz Producto 5

Ventas

nacionales

Ventas al

extranjero

Ventas

nacionales

Ventas al

extranjeroVentas

nacionales

Ventas al

extranjero

Ventas

nacionales

Ventas al

extranjero

La capacidad mensual de producción de cada planta es:

Fábrica Capacidad de producción

Oruro 150000 unidades de producto 1

100000 unidades de producto 2

Sucre 180000 unidades de producto 3

Potosí 150000 unidades de producto 4

La Paz 120000 unidades de producto 5

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La siguiente tabla da la cantidad de unidades i requeridas en la fabricación de una unidad

j.

Insumos Productos

Producto 1 Producto 2 Producto 3 Producto 4 Producto 5

Producto 1 - - 2 4

Producto 2 - - 1 2

Producto 3 - - - - 4

Producto 4 - - - - 2

Producto 5

La demanda mensual mínima y máxima nacional para cada producto está dada a

continuación.

Productos Venta mínima mensual Venta máxima mensual

Producto 1 10000 20000

Producto 2 20000 30000

Producto 3 35000 55000

Producto 4 25000 40000

Producto 5 30000 60000

Los costos unitarios de producción son de $2, $3, $8, $7 y $10 respectivamente para los

productos 1, 2, 3, 4 y 5, los cuales se venden en el mercado nacional a $5, $8, $10, $12 y

$15 y en el extranjero un 30% más caro, respectivamente. El costo unitario de exportación

es de $3.

Formule un programa lineal que determine la producción mensual de los productos 1, 2, 3,

4 y 5 tal que satisfaga todas las condiciones descritas anteriormente y maximice los

ingresos provenientes por ventas nacionales e internacionales.

5. Usted, un estudiante de ingeniería industrial, realizó un estudio de tiempos en una de las

líneas de producción de una empresa manufacturera. En esta línea trabajan 4 operarios,

Juan, Pedro, Pablo y Satuco. La eficiencia en cada una de las actividades difiere entre los

operarios de la línea; la siguiente tabla proporciona el tiempo que cada uno necesita para

realizar estas actividades:

Operarios

Tiempo de ciclo [min/unid]

Operaciones

1 2 3 4 5 6 7

Juan 4.5 7.8 - 3.9 2.3 3.8 3.3

Pedro 4.9 7.2 4.3 - 2.6 4.6 -

Pablo 3.5 7.0 4.1 4.0 - - 3.5

Satuco - 7.9 - 3.4 2.0 - 3.5

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Cada operario puede trabajar en 2 operaciones como máximo y en una operación como

mínimo.

La secuencia y ubicación de áreas de trabajo para cada actividad se muestra en el layout

que realizo para esta línea de producción:

Con toda la información dada, formule un modelo de programación lineal para obtener un

proceso de producción eficiente.