GUIA 2 : LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON RAZONES ...

Liceo Bicentenario Marítimo Valparaíso Asignatura: Matemática. Nivel: Tercero Medio Común. Profesora: Stephanie Vásquez Lobos.

GUIA 2 : LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

OA 08: Mostrar que comprenden las razones trigonométricas de seno, coseno y tangente en triángulos rectángulos. Objetivo: Aplicar las razones trigonométricas en diversos contextos para determinar ángulos o medidas de lados.

¿Qué vimos la clase anterior? Se identificaron las razones trigonométricas entre los lados y los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Debes recordar que la posición del cateto opuesto y adyacente va a cambiar dependiendo del ángulo agudo a trabajar. ¿Recuerdan que en el video y la guía pasada se determino que 𝑠𝑒𝑛(45) = cos(45) = √"

" y

tg(45) = 1? Para llegar a esos valores solo se realizaron trabajos algebraicos para determinar los valores solicitados. Las razones trigonométricas pendientes estaban relacionados a los ángulos de 30º y 60º. Para ello (en el video) a través de un trabajo algebraico, se determinó el valor de la altura. Esta era: ℎ = √#

"𝑥

Al reemplazar este valor se debía llegar a:

𝐬𝐞𝐧(𝟑𝟎) =𝟏𝟐 𝐬𝐞𝐧(𝟔𝟎) =

√𝟑𝟐

𝐜𝐨𝐬(𝟑𝟎) =√𝟑𝟐 cos(60) =

12

𝐭𝐠(𝟑𝟎) =√𝟑𝟑

tg(60) = √3

Es importante destacar que la unidad de medida de los ángulos son los grados, los cuales provienen del sistema sexagesimal.


Otra unidad de medida de los ángulos es el radián. Un radián es la medida del ángulo central de una circunferencia con un arco de la misma longitud que su radio. La relación entre ambos sistemas (sexagesimal y radial) es:

Ejemplo: ¿A cuántos radianes equivalen 150º? De lo anterior, tenemos que: De este modo, la conversión que debemos plantear es la siguiente:

𝑥 =150𝜋180

/𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜𝑝𝑜𝑟30

𝑥 =5𝜋6

Finalmente, 150º = $%

&

En la siguiente imagen se presenta la circunferencia con sus respetivos ángulos en grados y radianes. Si se traza una línea desde el origen (0 , 0) hasta cada punto azul se forma cada ángulo.


En la siguiente tabla, se presentan los valores de las razones trigonométricas de ángulos conocidos, sin necesidad de utilizar calculadora:

¿Es posible resolver problemas mediante las razones trigonométricas? La respuesta es si. Hace 3000 mil años que las razones trigonométricas son útiles, no solo para los matemáticos, sino que para resolver diversas problemáticas sobre distancias. Antes de resolver problemas, es necesario entregar un tipo de caracterización respecto a los ángulos. Estos ángulos corresponden a: ángulos de depresión y elevación.

Ángulo de elevación: Ángulo formado por la horizontal y la recta que une al observador con el objeto cuando el objeto está sobre el observador.

Ángulo de depresión: Ángulo formado por la horizontal y la recta que une al observador con el objeto cuando el objeto está bajo el observador.


Si denotamos estos ángulos en un ejemplo “real” tenemos:

Si me preguntas: ¿Existe alguna estrategia para resolver problemas relacionados con trigonometría? Mi respuesta sería no. La única estrategia que te puedo recomendar es la siguiente: 1. Leer con atención el problema. 2. Identificar los datos que me entregan (ángulos, lados) 3. Hacer un boceto sobre la situación presentada incluyendo los datos identificados. 4. Resolver el problema identificando que razón trigonométrica me es de utilidad. 5. Entregar una respuesta formal. Insisto en la importancia de realizar un bosquejo de la situación planteada en el problema, así será fácil comprender mejor la situación involucrada. Ejemplos: 1. Desde un punto P situado a nivel del suelo, el ángulo de elevación de la cima de una

torre es de 30º. Si la distancia entre el punto P y la base de la torre es de 12 metros, determinar la altura de la torre.

Desarrollo: Entre los datos necesarios para desarrollar el bosquejo de la situación tenemos: Ángulo de elevación: 30º Distancia del punto P y la base de la torre: 12 metros. Altura: h El bosquejo debería ser de la siguiente forma:


Según los datos entregados, necesito determinar el valor de la altura. Según la imagen presentada, tenemos que: Altura: cateto opuesto al ángulo. Distancia del punto P y la base de la torre: cateto adyacente al ángulo. Con los datos determinados, es posible trabajar con la razón trigonométrica de la tangente (relación de ambos catetos). De este modo:

tg(30) =√33

Finalmente, reemplazando todos los datos tenemos:

tg(30) =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

tg(30) =𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑒𝑙𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑃𝑦𝑙𝑎𝑏𝑎𝑠𝑒𝑑𝑒𝑙𝑎𝑡𝑜𝑟𝑟𝑒

√33 =

ℎ12

12√33 = ℎ

𝟒√𝟑 = 𝒉

Respuesta: La altura de la torre mide 𝟒√𝟑 metros o bien 6,9 metros.

2. Desde la cima de un faro se observa un bote con un ángulo de depresión de 60°. Si el faro tiene una altura de 28 metros ¿Cuál es la distancia entre el punto de observación y el bote?

Desarrollo:

Entre los datos necesarios para desarrollar el bosquejo de la situación tenemos:

Altura de la torre: 28 metros

Ángulo de depresión (𝛃): 60º

Distancia entre el punto de observación y el bote (línea visual): x

El bosquejo de la situación debería ser de la siguiente forma:


Según los datos entregados, necesitamos identificar el valor de la línea visual que aparece en la imagen.

Ahora, noten que el ángulo que se forma entre la línea horizontal y la altura del faro es de 90º. De este modo, tenemos que:

β+α=90°

60°+α=90°

α=90°-60°

α=30°

Finalmente, el bosquejo con el que deberíamos trabajar queda así:

Los datos que utilizaremos para dar solución al problema serán: Altura del faro: 28 metros Ángulo α = 30º Línea visual = x Con los datos determinados, es posible trabajar con la razón trigonométrica coseno (relación entre cateto adyacente e hipotenusa). De este modo:

cos(30) =√32

Finalmente, reemplazando todos los datos tenemos:

cos(30) =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

√32 =

28𝑥

𝑥 =28 ∙ 2√3

𝒙 =𝟓𝟔√𝟑

Respuesta: La distancia entre la cima del faro y el bote es de 𝟓𝟔√𝟑

metros o bien 32,33 metros.


Actividad

1. Sin utilizar calculadora, determina el valor de las siguientes expresiones. (utiliza los valores de 30º, 45º y 60º determinados en la actividad de la guia 1. También puedes encontrar esta información en el cuadro entregado en esta guía)

2. Calcula las medidas de los lados faltantes en los siguientes triángulos rectángulos:

3. Observa el triángulo ABC:

4. En la imagen se muestra el modelo de una casa. El ángulo α de la pendiente del techo se mide en relación con la horizontal. Si el ancho de la casa es de b = 12 m, su largo c mide 20 m y el ángulo que forma el techo con la horizontal es α = 20°, ¿cuál es la altura h que tiene la punta del techo sobre el segundo piso?

5. La longitud del hilo que sujeta un volantín es de 18m y el ángulo que forma este respecto al suelo es de 30°. ¿A qué altura está el volantín?

6. Violeta sube un resbalín que tiene una inclinación de 30º y 3m de longitud. ¿Cuál es la mayor altura que Violeta puede alcanzar?


IMPORTANTE: 1. No olvidar quedarse en sus casas y salir SOLO si es de EXTREMA urgencia. 2. Ante cualquier duda o consulta escribir al siguiente correo: [email protected]

Responderé a la brevedad. 3. Durante la semana subiré un documento en donde se explicará la guía enviada. Atentos a

SISTEMCOL. 4. Les envío a cada uno y una mucha energía positiva para las semanas que se avecinan.

Un abrazo gigante. Atte. Profesora Stephanie.

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