GUIA 3 ALGEBRA DE NOVENO - … · Por otro lado, la ecuación cuadrática aparece en la solución...

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR

SEDE LICEO FEMENINO

1

Código FR- 17- GA

Versión: 002

Emisión 02/09/2008

Actualización 02/12/2010

GUIA 3 ALGEBRA DE NOVENO

DETERMINANTES DE ORDEN 3

Un determinante de tercer orden es de la forma:

|

|

Para resolver éste tipo de determinantes aplicamos la regla de SARRUS; que consiste en repetir debajo

de la tercera fila las dos primeras filas horizontales así:

El desarrollo del determinante es:

||

|| ( ) ( )

Ejemplo:

|

|

|

| [( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )] [( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )]

[ ] [ ]

ACTIVIDAD No. 6

Desarrolla los siguientes determinantes:

a. |

| b. |

| c. |

|

Resp: 105 Resp: 0 Resp: -7

Diagonales mayores Diagonales menores


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SOLUCIÓN DE ECUACIONES POR DETERMINANTES DE TERCER ORDEN. REGLA DE KRAMER

La solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas por determinantes se obtiene por

medio de la regla de kramer, así:

El valor de cada incógnita es una fracción cuyo denominador es el determinante del sistema que se

forma con los coeficientes de las incógnitas y cuyo numerador es el determinante que se obtiene

sustituyendo en el determinante del sistema, los coeficientes de dicha incógnita por los términos

independientes de las ecuaciones.

Sea el sistema de ecuaciones:

Por tanto:

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

Ejemplos:

1. Resolver por determinantes:

|

|

|

|

( ) ( )

( ) ( )

“Estudia, no para saber algo más, si no para

Saber algo mejor”


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|

|

|

|

( ) ( )

( ) ( )

|

|

|

|

( ) ( )

( ) ( )

2. Resolver por determinantes:

|

|

|

|

( ) ( )

( ) ( )

|

|

|

|

( ) ( )

( ) ( )

|

|

|

|

( ) ( )

( ) ( )

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON TRES INCÓGNITAS


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Una ecuación de primer grado con tres variables representa un plano. En general, una ecuación de la

forma:

Se representa con el plano indeterminado que

pasa por los puntos:

( ) ( ) ( )

En que:

En la figura estos puntos son A, B y C. Así en el plano que pasa por los puntos

es la representación gráfica de la ecuación:

Para encontrar éstos puntos se buscan en los respectivos ejes de las coordenadas, para los cuales se

anulan dos de ellas así:

Para

El plano que pasa por los puntos ( ) ( ) ( ) es pues la gráfica de la ecuación

.


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REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN PUNTO EN EL ESPACIO

Ya vimos en el curso anterior que para determinar clara y distintamente la posición de un punto en el

espacio es necesario referirlo a un sistema tridimensional. Para ello emplearemos el sistema de

coordenadas ortogonales del espacio que determina tres planos; las distancias a estos planos,

llamadas coordenadas, determinan la posición del punto. En la figura la posición del punto P está dada

por su distancia al plano y su distancia al plano , y su distancia al plano , y su distancia

al plano . Estas distancias son las coordenadas del punto P y se llaman abscisa, ordenada y cota,

respectivamente.

Luego si se conocen las coordenadas de un punto es fácil representarlo en un sistema de coordenadas.

Sea por ejemplo el punto P, cuyas coordenadas son ( ) En el eje de las formamos cuatro

unidades, (Fig 2.10) a partir de este punto y paralelo al eje trazamos un segmento de recta igual a

tres unidades; desde aquí y paralelo al eje trazamos un segmento de recta igual a cinco unidades. El

punto P de abscisa 4, de ordenada 3 y de cota 5, es la solución pedida.


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PROBLEMAS CON TRES INCÓGNITAS

Veamos algunos ejemplos de problemas que originan tres ecuaciones con tres incógnitas y su solución

por determinantes.

1. La suma de las tres cifras de un número es igual a 8, dos veces las centenas, más el triple de las

decenas es igual a las unidades aumentadas en cinco; y las centenas más el triple de las

unidades es igual a cinco veces las decenas sumando 10, ¿Cuál es el número?.

Solución:

Sea, el número

De acuerdo con el enunciado del problema tenemos:

ó

Luego:

|

|

|

|

( ) ( )

( ) ( )


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|

|

|

|

( ) ( )

( ) ( )

|

|

|

|

( ) ( )

( ) ( )

Resp:

2. La suma de los tres lados de un triángulo rectángulo es igual a 12; el doble de la suma de los

catetos más uno es igual al triple de la hipotenusa y la suma del cateto mayor y la hipotenusa

es igual al triple del cateto menor. ¿Cuáles son los tres lados?.

Solución:

Sea, Cateto mayor

Cateto menor

Hipotenusa

De acuerdo con el enunciado del problema:

( )

Ó


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Luego:

|

|

|

|

( ) ( )

( ) ( )

|

|

|

|

( ) ( )

( ) ( )

|

|

|

|

( ) ( )

( ) ( )

FUNCION CUADRATICA O DE SEGUNDO GRADO

¿CÓMO SURGIO? Los babilonios fueron quienes lograron mayores avances en la resolución de las

ecuaciones cuadráticas completas, obteniendo (para la solución) una formula muy similar a la utilizada

hoy: √(

)

la cual da una raíz de la ecuación Cuando el coeficiente de

era diferente de 1, como en la expresión optaron como mecanismo para solucionar la

ecuación multiplicarla por el coeficiente de x llegando a la expresión ( ) ( ) similar a la

anterior.

El que no sabe y no sabe que no sabe, es un ignorante: enséñale

El que no sabe y sabe que no sabe, es sincero: ayúdale

El que sabe y no sabe que sabe, está dormido: despiértalo

El que sabe y sabe que sabe, es inteligente: síguelo

PROVERBIO ÁREBE


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Luego hicieron una sustitución de variable: t = 7x. La ecuación se transforma en Ahora

podían usar la fórmula para hallar el valor de t y luego, usando la relación entre x y t, hallaban el valor

de x.

Tanto babilonios como griegos estuvieron familiarizados con la solución de problemas en los que se

pide hallar dos números conocidos su producto, su suma o su diferencia, haciendo uso de las

ecuaciones cuadráticas.

Gran importancia dieron los árabes a la solución de las ecuaciones cuadráticas. En el álgebra de Al-

Khowarizmi, los capítulos IV, V y VI se ocupan de la resolución de los casos que presentan las

ecuaciones cuadráticas completas. Khowarizmi, desde entonces, llama la atención sobre el hecho que

lo que hoy nosotros llamamos discriminante de la ecuación, debe corresponder a un número positivo,

para que se tenga realmente una ecuación.

El nombre de parábola (de “colocar al lado” o “comparar”), se dio a la gráfica de la función cuadrática.

La ecuación moderna de la parábola con vértice en el origen y eje de simetría el eje y es ly = , donde

l es el llamado latus rectus o parámetro. La parábola tiene como propiedad características que para

todo punto tomado sobre la curva, el cuadrado construido sobre su abscisa x, es exactamente igual al

rectángulo construido sobre la ordenada y y el parámetro l.

El geómetra griego Apolonio de Perga, quien posiblemente vivió entre los años 262 y 190 a. de C., fue

quien dio el nombre a esta curva, nombre que ha permanecido hasta nuestros días.

¿EN QUÉ SE APLICA?

La función cuadrática modela muchas

situaciones de lanzamiento vertical u de

caída libre de un cuerpo, por ejemplo: su

estudio en física es importante en casos

como el dela trayectoria de un proyectil,

en donde a menudo puede describirse

mediante una de tales funciones.

En arquitectura su conocimiento es de

gran interés, pues numerosos arcos en templos y otros edificios, así como puentes y represas tiene la

forma de parábola.

Por otro lado, la ecuación cuadrática aparece en la solución de problemas en los que se desea hallar el

parea de diferentes figuras del plano, así como en la medida de distancia y volumen de los cuerpos. En

el campo de la óptica, algunos espejos y lentes tienen curvatura en forma de parábola. En las

comunicaciones, antenas y cables de teléfono también tiene forma de parábola.


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ME PREPARO

1. Factoriza cada expresión.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

2. Grafica, en la recta numérica, los puntos que satisfacen la condición dada:

a. X – 5 > - 1

b. -8 < x + 3 < 1

c. X + 2

d. 0

3. Si 4t + √ = 11, expreso el valor de t con dos cifras decimales.

4. Realizo la operación y simplifico

a.

b.

FUNCION CUADRATICA O DE SEGUNDO GRADO

Una función o relaciones de segundo grado, cuando una de las variables, su mayor exponente es

2.

Dependiendo de ciertas características, una ecuación de 2° grado puede representar:

Parábola (una variable a la uno, la otra variable al cuadrado)

Circunferencia – circulo ( dos variables al cuadrado con el mismo coeficiente)

Elipse ( r variables al cuadrado, coeficientes diferentes de igual signo)

Hipérbole ( 2 variables al cuadrado, coeficientes diferentes de signos contrarios)

FUNCION SEGUNDO GRADO “PARÁBOLA”

f (x)= f(x) =

y = Ecuación de 2° grado con 2 variables

a, b, c

Para que una ecuación de 2° grado en 2 variables sea parábola es necesario:

Una de las 2 variables tenga exponente (1)

La otra variable tenga exponente 2


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En general y = ; si a > 0 (hacia arriba)

y = ; si a < 0 (hacia abajo)

x = ; si a > 0 (hacia la derecha)

x = ; si a < 0 (hacia la izquierda)

Graficar y =

Hallar dominio y rango

Graficar y=

Hallar dominio y rango

X -2 -1 0 1 2 3

Y

X -3 -2 -1 0 1 2 3

Y


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CARACTERISTICAS DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

1. La gráfica de una función cuadrática y = ó x = es una

parábola.

2. En la ecuación y = ; si a > 0 la parábola abre hacia arriba y su punto más bajo

se denomina punto mínimo. Si a < 0 la parábola abre hacia abajo y su punto más alto se

denomina punto máximo.

3. En la ecuación x = ; si a > 0 abre hacia la derecha.

Si a < 0 abre hacia la izquierda

4. Una ecuación de 2° grado en variables representa una parábola cuando una de las

variables tiene de mayor exponente 1 y la otra variable tiene como mayor exponente 2

5. El punto de intersección con el eje “y” se encuentra haciendo x = 0

6. El punto de intersección con el eje “x”, se encuentra haciendo y = 0, al hacer esto se obtiene una

ecuación de grado dos, al solucionar esta ecuación se está encontrando los ceros o raíces

(soluciones) de la ecuación cuadrática.

7. Una función de 2° grado es completa cuando:

y= , con a, b, c ,

Ejemplo: y= ; a = 3 b = 1 c = 8

8. Una función de 2° grado es incompleta cuando:

a. y = c = 0

Ejemplo: y = ; a = - 2 b = 5 c = 0

b. b = 0

Ejemplo: y =

; a =

b = 0 c = 5

c. b = 0; c = 0

Ejemplo: ; a = -3 b = 0 c = 0

ACTIVIDAD No. 1

I. Graficar las siguientes funciones, hallar dominio y rango:

a. f(x) =

b. f(x) =

c. f(x) =

d. f(x) =

II. en cada una de las siguientes ecuaciones de 2° grado determinar el valor de a, b, c.

a. y =

b. y =

c. y= -3x -8

d. y =-4

e. y =

f. √ √


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VÉRTICE DE UNA PARÁBOLA

Es el punto mínimo si la parábola abre hacia arriba o es el punto máximo si la parábola abre hacia abajo.

Las coordenadas del vértice son: v= (

(

))

Ejemplo 1; encontrar el vértice de + 4x + 4

a = 1 b= 4 c= 4

x=

( ) = -2

f (-2) = ( ) ( )

v = (-2, 0)

Graficar + 4x + 4, hallar dominio y rango

Ejemplo 2; encontrar el vértice de - 6x + 9

a = 1 b = -6 c = 9

x=

( )

( ) = 3

( )( ) ( )

( )

V = ( 3, 0)

Graficar - 6x + 9, hallar dominio y rango

SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS

Para resolver una ecuación de segundo grado tenemos tres formas;

a. Factorización b. Competición de cuadrados c. Formula general

Solución de una ecuación de segundo grado por factorización

a. Hallar el valor desconocido

Diferencia de cuadrados


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(L – 11) ( L + 11) = 0

L – 11 = 0 y/o L + 11 = 0

L =11 y / 0 L = -11

Respuesta L=11

( ) ( )

(d - √ )(d + √ )= 0

d = √ y/o d = - √

Respuesta: 40,5

Graficar encontrando corte con los ejes, vértices, dominio, rango

f(m) = - 7m

m 0 7 7/2 1 -1 2 -2 3 -3

n 0 0 -49/4

Corte con “n” m=0

n = ( ) ( )

Corte con “m” =0

0= - 7m ecuacion de segundo grado con una variable factorizacion

- 7m = 0

( − 7) =0 factor común

−7 =0

y/o

Vértice

n =

a= 1 b = -7 c = 0

m =

=

( )

( ) =

n =

=

( )( ) ( )

( ) =

=


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ACTIVIDAD No. 2

1. Graficar, encontrando corte con los ejes, vértices, dominio y rango

a. f(h) =

b. f(k)=

c. f(l)=

d. f(a)=

METODO DE COMPLETACIÓN DEL CUADRADO

Si tenemos la expresión , observamos que hace falta el término constante para que corresponda al desarrollo del cuadrado de un binomio.

Entonces la expresión dada podemos transformarla

PASO 1. Hallemos la mitad del coeficiente de x =

PASO 2. Obtengamos el cuadrado del resultado hallado en el paso anterior (

)

PASO 3. Adicionamos la expresión obtenida en el paso 2 a la expresión (

) = (

)


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EJEMPLO 1. Completemos el cuadrado en:

a. b.

Paso 1. =

= - 9

Paso 2. ( ) Paso 3. = ( )

Paso 1. =

Paso 2. (

)

Paso 3.

= (

)

EJEMPLO 2. Solucionemos la ecuación completan do el cuadrado.

La ecuación también podemos escribirla así; . De esta forma completamos el cuadrado del lado izquierdo de la ecuación, asegurándonos de mantener siempre al igualdad.

(

) = 14 (

) la mitad del coeficiente de x es

, adicionamos,

(

)= 14 (

) el cuadrado de

a ambos lados de la ecuación

(

) =

√

Extraemos la raíz cuadrada

Resolvemos para x

x= -

ó = -

x -7 ó x = 2 el conjunto solución es { -7, 2}

EJEMPLO 3. Hallemos el conjunto solución de la ecuación: + 6 =0. Completando el

cuadrado.

La diferencia de este ejercicio con el anterior está en el coeficiente de que es distinto de 1

+ 6 =0

=- 6

Dividimos ambos lados de la ecuación por 7 para que el coeficiente de sea 1

=


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+ (

) =

(

) adicionamos (

) a ambos lados

+

=

[ (

)] =

= √

extraemos raíz cuadrada a ambos lados

X =

resolvemos para x

X =

X=

ó x =

X =

el conjunto solución es : { 1,

}

ACTIVIDAD No. 3

Resolver por completación de cuadrados:

a. 5( ) = 60

b. ( ) = 7

c.

d.

FÓRMULA CUADRÁTICA

Toda expresión de la formula es una ecuación de segundo grado con una incógnita. Los coeficientes a, b y c son los números reales positivos o negativos. Se requiere que sea diferente de cero para que la ecuación sea de segundo grado, los coeficientes y c pueden ser cero. Solucionemos la ecuación cuadrática , completando el cuadrado.

Adicionamos – c a ambos lados

(

) =

dividimos entre a 0 a cada término de la ecuación

(

) + (

) =

+ (

) completamos el cuadrado adicionando (

) a cada lado


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[x+((

)] =

+

[x+((

)] =

X +

= √

√

Si

√

Discriminante

Como el valor de discrimina o diferencia el número de raíces de la ecuación cuadrática, se

conoce con el nombre de DISCRIMINANTE de

𝑥 𝑦 𝑥 𝑏

𝑎

La última expresión que indica la solución dela ecuación, se conoce con el nombre de FORMULA CUADRATICA. Esta nos da las raíces de la ecuación cuadrática 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 en términos de los coeficientes a, b, c. La ecuación cuadrática 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 tiene dos soluciones que corresponder a nueros reales, cuando 𝑏 𝑎𝑐 > y a 0 tales soluciones son:

𝑥 𝑏 √𝑏

𝑎𝑐

𝑎 𝑥

𝑏 √𝑏 𝑎𝑐

𝑎

Si 𝑏 𝑎𝑐 , las dos soluciones coinciden, se tiene entonces:

Si 𝑏 𝑎𝑐 < la ecuación cuadrática no tiene solución en el conjunto de los REALES


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EJEMPLO 1. Hallemos la solución de la ecuación usando la formula cuadrática. En este caso tenemos a = 9 , b = -4 , c = -6 Como x = para los valores dados queda:

X = ( ) √( ) ( )( )

( )

X √

=

√

=

= 1

=

=

El conjunto solución de la ecuación es {

1}

EJEMPLO 2. Solucionemos la ecuación , usando la formula cuadrática Primero igualamos la ecuación a cero:

En este caso a = 4 , b =-12, c = 9

m = √

Luego m = ( ) √( ) ( )( )

( ) =

√

El conjunto solución dela ecuación es {

, un solo valor, pues =0

EJEMPLO 3. Solucionemos la ecuación Usando la formula cuadrática En este caso a=3, b=5, c= 1

Z= √

Luego z= √( ) ( )( )

( ) =

√

=

√

El conjunto solución es { √

√

EJEMPLO 4. Solucionemos la ecuación aplicando la formula cuadrática

Igualando la ecuación a 0, se tiene de donde a= 5, b= 3, c = 4 por tanto:


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y = √( ) ( )( )

( ) =

√

=

√

¿Cómo es el discriminante? , ¿Cuál es la solución de esta ecuación?

ECUACIONES IRRACIONALES

Una ecuación es irracional, cuando la incógnita o variable figura bajo un radical.

Ejemplo: 3x - √ + 5 =0, x – 3 = √

¿Qué debemos hacer para resolver una ecuación irracional?

1. Aislar el radical

2. Elevar al cuadrado para eliminar el radical ( esta operación debe repetirse hasta que sea

necesario para obtener una ecuación sin radical)

3. Hallamos el valor de la incógnita

4. Verificamos los valores hallados en la ecuación original para descartar las soluciones

inconsistentes llamados: SOLUCIONES EXTRAÑAS

EJEMPLO:

3x - √ + 5 =0

(3x +5) = √ elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación + 25= x + 25 = 0 + 25=0 Ecuación de segundo grado. Resuelva y verifica sus soluciones

ACTIVIDAD No. 4

Resuelve y verifica las soluciones de las siguientes ecuaciones:

a. X – 3 √

b. √ + t =0

c. √ -√ + 1 =0

d. √ +√ =0


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ECUACIONES BICUADRÁTICAS

Llamaremos ecuaciones BICUADRÁTICAS a las ecuaciones de la forma:

Para resolver una ecuación bicuadrática, hacemos sustitución con una nueva variable, con el

objetivo de convertir la ecuación cuadrática, se resuelve esta por cualquiera de los métodos

vistos y se regresa a la sustitución para encontrar las raíces o soluciones de la ecuación

bicuadrática.

m = a ( ) + b ( ) + c = 0

de segundo grado

Ejemplo:

( ) ( ) 9=0

Z=

(z -9)(z+1) =0

Z-9=0 y/o z+1 =0

z =9 y/o z= -1 regresamos a la sustitución

=9, x =3

= -1, x = √

S { 3, -3}


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Versión: 002

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PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN


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Versión: 002

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ACTIVIDAD No. 5

Resuelve las siguientes ecuaciones

a. ( ) + 2x = ( )

b. ( ) ( )

c. + y =0

d. √ +1 =√

e.

f.

g. =0

LOS NUMEROS COMPLEJOS

Al resolver ecuaciones algebraicas, en los números reales, es evidente que toda ecuación de

primer grado con incógnita X, puede reducirse a la forma (con ) y su solución

única es el número real

-

Si la ecuación es de segundo grado para la incógnita X, puede reducirse a la forma

(con ), y en tal caso:

Su conjunto solución tiene dos elementos, que son los números reales

√

y

√

, siempre y cuando se cumpla que > .

Su conjunto solución tiene un solo elemento, que es el número real

, cuando

.

Su conjunto solución no tiene elementos reales, es decir, la ecuaación no tiene solución en los

números reales si < , por cuanto no existe un número real cuyo cuadrado sea un

numero negativo.

En particular la ecuación cuadrática , que puede escribirse como ,

tiene como soluciones √ y √ , numeros que no son reales.

√

Al mismo resultado llegamos si se toma la ecuación , en tal caso, es necesario encontrar

un número cuyo cuadrado sea ; deacuerdo con 1.


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Como lo leimos en ¿Cómo surgio?, los matemáticos llamaron “imaginarios” a los números cuyo

cuadrado es un número negativo y posteriormente idearon el simbolo i, por i comienza la palabra

imaginario, para representar al número cuyo cuadrado es -1, es decir establecieron que

Como resultado tenemos que i no es un número real y además que el producto de un real por i

tampoco es un numero real. ¿Por que?

Como en los números reales todo cuadrado es un número real no negativo, la solución de la

ecuación x2=-1, no es un número real. Se acepta que existe un número denotado i, que no es real,

para el cual i2=-1.

Ahora nos preguntamos: si adicionamos un número real con el producto de un real por i, ¿la suma

a+bi es un número real?

Si a+bi fuera un número real c, entonces bi=c-a, sería también un número real, lo cual no es

posible.

Un número de la forma a+bi, en donde a y b son números reales, no

es un número real. Todos los números de la forma a+bi se llaman

complejos. En un número complejo a se llama parte real y bi se llama

parte imaginaria. Esta forma de representar a los números complejos

se llama forma binomial, por cuanto puede considerarse a+bi como

un binomio algebraico. Dos números complejos son iguales cuando su

parte real y su parte imaginaria, respectivamente son iguales.

Ejemplo 1:

Identifiquemos la parte real y la parte imaginaria de los números 4/5 + 3i, -2 -0,7i, 0,1-4i, √ -

9.

Para el número complejo 4/5 + 3i la parte real es 4/5 y la parte imaginaria es 3i.

Para el número complejo -2 -0,7i la parte real es -2 y la parte imaginaria es -0,7i.

Para el número complejo 0,1-4i la parte real es 0,1 y la parte imaginaria es -4i.

Para el número complejo √ la parte real es 0 y la parte imaginaria es √ .

Para el número complejo -9 la parte real es -9 y la parte imaginaria es 0i.

Ejemplo 2:

¿Cuál es la parte imaginaria de los números 0,23 y 1+x?

Estos números son reales por tanto “no tienen” parte imaginaria Sin em argo es importante

anotar que el número real a puede escribirse como a+0i y se acepta que su parte imaginaria es 0i.

Todo número real a puede escribirse como el complejo a+0i ; por tal razón a todo número real a le

corresponde la representación compleja a+0i, en donde 0i es su parte imaginaria, en este sentido

se acepta que todo número real es un número complejo.


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Potencias de i

Las potencias de la unidad imaginaria i, se obtienen a partir de su definición. Dado que √ ,

entonces:

(√ )

( )

( ) ( )

Estas cuatro potencias se denominan potencias básicas de i, ya que a partir de i5 se repiten en

periodos de a 4.

Actividad No. 6

Escribir el valor correspondiente a cada potencia de i:

a)

b)

c)

d)

e)

Representación gráfica de los números complejos

Todo número complejo se puede representar geométricamente sobre el plano complejo.

El plano complejo es un sistema similar al plano cartesiano, en el cual el eje horizontal es el eje

real y el eje vertical es el eje imaginario.

Así, para representar el número a + bi se emplea su forma cartesiana (a, b).

La primera componente a, se ubica sobre el eje real y la segunda componente b, se ubica sobre el

eje imaginario.

Ejemplo: Representar 3 + 2i, 5 - 2i y -4 - 3i sobre el plano complejo:


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Números complejos conjugados

Dos números complejos se denominan conjugados si difieren únicamente en el signo de la parte

imaginaria.

Si z = a + bi, el conjugado de z se escribe ̅, y es igual a ̅

Ejemplo: Hallar el conjugado de los siguientes números complejos:

z = -3 + 5i ̅

w = +3i ̅

v = -7 ̅

OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS

ADICION DE ℂ

Para sumar dos números complejos se suman respectivamente su parte real y su parte

imaginaria:

Si z1 y z2 ϵ ℂ tal que z1 = a+bi y z2 = c+di; la adición de z1+z2 está dada por:

z1+z2 = (a+bi) + (c+di) = (a+c)+(b+d)i

Las propiedades de la adición de números complejos son las mismas que las de la adición de los

números reales.

Módulo de la adición de los números complejos

Si suponemos que el módulo tiene la forma x+yi, entonces: (a+bi)+(x+yi)=(a+x)+(b+y)i=a+bi

Luego x=0 y y=0. En conclusión, el módulo de la adición de los complejos es el complejo 0+0i.


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Opuesto del complejo a+bi

Para que (a+bi)+(m+ni)=(a+m)+(b+n)i=0+0i, se debe cumplir que m=-a y n=-b; por tanto, el

opuesto de (a+bi) es (-a-bi).

SUSTRACCION DE ℂ

La diferencia de dos números complejos se obtiene restando respectivamente sus partes reales y

sus partes imaginarias.

Si z1 y z2 ϵ ℂ tal que z1 = a+bi y z2 = c+di; la sustracción de z1 - z2 está dada por:

z1 - z2 = (a+bi) - (c+di) = (a - c)+ (b - d)i

MULTIPLICACIÓN DE ℂ

La multiplicación de números complejos se realiza considerando dichos números como binomios

algebraicos. Es decir, en su solución se aplican las propiedades distributiva, asociativa y

conmutativa de números reales.

Por ejemplo para realizar (a+bi) x (c+di), siendo estos números complejos, se procede así:

Se tiene la expresión (a+bi) x (c+di).

Aplicando la ley distributiva para expresiones algebraicas ac adi + bci bdi2

Reemplazando el valor i2 = -1 ac adi + bci bd

Asociando relaes con reales e imaginarios con imaginarios (ac bd) + (adi bci)

Factorizando i en el segundo término (ac bd) + (ad bc)i

Por lo tanto: (a+bi) x (c+di) = (ac bd) + (ad bc)i

Propiedades de la multipli a ión de ℂ

La multiplicación de números complejos cumple las siguientes propiedades:

Clausurativa: Para todo z1, z2 ϵ ℂ z1 . z2 ϵ ℂ

Conmutativa: Para todo z1, z2 ϵ ℂ z1 . z2 = z2 . z1

Asociativa: Para todo z1, z2, z3 ϵ ℂ (z1 . z2).z3 = z1 . (z2 . z3)

Modulativa: Para todo a+biϵ ℂ, existe 1+0i ϵ ℂ tal que (a + bi) x (1+0i) = a + bi


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DIVISIÓN DE ℂ

la división entre números complejos se resuelve multiplicando el numerador y el denominador

por el conjugado del denominador.

Simbólicamente, a + bi ÷ c + di es:

( )

( )

El inverso multiplicativo de todo número complejo zϵ ℂ, es otro complejo z -1ϵ ℂ, tal que cumple:

.

Por lo tanto, ( )

La división de números complejos puede interpretarse como el producto del dividendo con el

inverso multiplicativo del divisor.

Actividad No. 7

Efectuemos las siguientes operaciones entre números complejos:

a) (

) ( )

b) ( ) ( )

c) ( ) ( ) ( )

( )

d) (

) (

)

e) ( ) ( )

f) ( ) ( ) ( )

g) ( ) ( )

h) ( )

i) ( ) ( )

j) (

)

( )

k) ( )

( )

l) ( )

( )

CONSULTA

I. ¿Por qué un número complejo es un vector?

II. Investiga cómo se suman y restan vectores por el método del paralelogramo

III. Dibuja 3 paralelogramos

IV. Trae 3 ejemplos de suma de vectores

V. Trae 3 ejemplos de resta de vectores.


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RECREATE

TALLER DE NIVELACION

1. En cada ecuación, determina los valores de a, b, c

a.

b.

c.

d.

2. Uso la fórmula cuadrática para solucionar cada ecuación

a.

b.

c. h +

d.

3. Usa el método más adecuado para solucionar cada ecuación

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g. 2x(x+2)=(3x-1)(x+3)

h. ( ) ( )

i.

4. Hallo todas las raíces reales de cada ecuación , puedo sustituir por Z

a.

b.

c. ( ) ( )

d. ( ) ( )

La fórmula general de las dos raíces dela ecuación cuadrática

Como ya lo vimos, son:

√

√

5. Soluciono cada problema:


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a. Si la suma de un número y su recíproco es

¿cuál es el número?

b. Un cuadro es 30 cm más largo que ancho y su área es 4264 , ¿cuánto miden el largo y

el ancho del cuadro?

c. La suma de dos número es 46 y su producto 513, ¿cuáles son los números?

6. Hallo un valor de m que haga que la ecuación , tenga una solución única.

7. Realizo la operación indicada y simplifico:

a.

b.

8. Hallo, en cada caso, las coordenadas del vértice de la parábola, la ecuación del eje de simetría,

determino si la función tiene máximo o mínimo y doy el valor correspondiente del máximo o

mínimo.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

9. Dadas las funciones

a. Dibujo las gráficas sobre un mismo plano cartesiano

b. Observo las gráficas representadas y escribo una conclusión sobre los cambios de la gráfica

, cuando c aumenta o disminuye.

10. Escribo el valor del discriminante de cada ecuación y determino el número de raíces de cada

una sin resolverla.

a.

b.

c.

d. 7+3h

11. Dadas las funciones determino:

a. Coordenadas del vértice de la parábola

b. Coordenadas de intercepto con y

c. Coordenadas de los interceptos con x, si los hay

d. Realizo la gráfica de la parábola

e. Expreso como un intervalo, el recorrido de la función

12. En cada caso, obtengo las coordenadas del vértice de la parábola por los dos métodos vistos:

13.

La figura muestra el patio de un colegio, la

parte cementada tiene igual área que la parte

embaldosada, hallemos las dimensiones de la

parte cementada.


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“En tiempos de cambio, quienes estén abiertos al aprendizaje

se adueñaran del futuro, mientras que aquellos que creen

saberlo todo estarán bien equipados para un mundo que ya no

existe”

Eric Hoffer

TALLER DE PROFUNDIZACIÓN

Los siguientes ejercicios son para resolver individualmente

1. Soluciona cada ecuación completando el cuadrado

a. =19

b. =21

c. =8

2. Representa la situación y halla la solución.

a. En un triángulo rectángulo el cateto mayor mide 10 cm menos que la hipotenusa y 35 cm más

que el oro cateto. ¿cuáles son las medidas de los lados y el área del triángulo?

b. ¿cuáles son las medidas de los lados de un rectángulo si su área es 240 y su diagonal

mide 26 dm?

3. En cada caso resuelve la ecuación factorizando

a.

b.

c.

4. Para resolver el problema, responde cada interrogante que aparece al finalizar el enunciado.

Teresa y Raquel, laborando juntas, realizan un trabajo en 6 horas ¿en cuánto tiempo lo haría cada una

por separado, si Teresa emplea 5 horas menos que Raquel?

a. Si llamo x al tiempo que emplea Teresa en hacer sola el trabajo, ¿cuál es el tiempo que utiliza

Raquel en hacer sola el trabajo?

b. ¿qué parte del trabajo hace Teresa en un ahora, trabajando sola?

c. ¿qué parte del trabajo hace Raquel en una hora, trabajando sola?

d. ¿qué parte del trabajo hacen Teresa y Raquel en una hora?


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e. ¿Qué indica la expresión

?

f. Resuelve la ecuación planteada en e

g. Verifica si los valores encontrados solucionan el problema.

5. Dadas las funciones halla de cada parábola:

a. Coordenadas del vértice

b. Coordenadas del y- intercepto

c. Coordenadas de x-interceptos

d. Ecuación del eje de simetría

e. Gráfica de la parábola

f. Dominio de la función

g. Rango de la función

Los siguientes ejercicios son para resolverlos con un grupo de trabajo de compañeras.

6. Sea f(x)=

a. Encuentra los valores de y para los valores de x dados

X 0

1 -1 2 -1 3 -3

Y

b. Tracen un plano cartesiano y en él ubiquen los puntos cuyas coordenadas están en la tabla.

c. Hagan el bosquejo de la curva uniendo los puntos ubicados en el plano.

d. ¿cuál es el dominio de la función?

e. ¿cuál es el rango de la función?

La grafica de la función f(x)= se denomina PARÁBOLA CÚBICA

7. En cada caso, sigan los pasos mencionados en el ejercicio anterior para realizar la gráfica de la

función.

a. h(x)=

b. g(x)= ( )

c. k(x)=

d. f(x)= ( )

8. repitan los pasos anteriores indicados en el ejercicio 6, para realizar la grafica de las funciones

a. ( )

b. ( ) ( )

La vida es como las matemáticas, si la cosa esta yendo

muy fácil ¡Algo está mal!


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PLAN DE LECTURA – 3er PERIODO Objetivo General: Incentivar en las estudiantes la cultura de la lectura desde el área de matemáticas. Metodología: Con la participación directa de las estudiantes en la semana ocho (8), en una hora de matemáticas, se socializará la lectura dejada con anterioridad, en grupos de cuatro (4) estudiantes, en forma creativa ya sea mediante un resumen, mapa conceptual, sopa de letras, crucigrama, cuestionario tipo icfes, sociodrama, juegos, etc.

ACTIVOS E INGRESOS

Antes de formular tu sueño, analiza algunos aspectos que debes tener en cuenta al presentar tu proyecto a quienes te pueden ayudar a hacerlo realidad.

¿Sabes cuál es la meta de tu sueño (proyecto)?

¿Qué necesitas de los demás para realizar tu sueño?

En tu sueño, ¿has tenido en cuenta alguna problemática de tu contexto cotidiano? (ecológico, de convivencia, relacionado con la pobreza, entre otras).

¿Cómo emplearías tus fortalezas para alcanzar tu sueño?

¿Qué impacto tendría tu sueño en otras personas? Además de ti, ¿Quiénes se beneficiarían?

¿Cuánto vale tu proyecto? Para organizar mejor tu sueño, describe la actividad, la meta y el propósito general de tu proyecto. Analiza muy bien los dos últimos conceptos. Después, realiza el ejercicio con base en el siguiente ejemplo:

Actividad Meta Propósito general

Ir al centro comercial__ Conseguir un regalo Festejar el cumpleaños ______________________ _________________ _________________ __________________ ______________________ _________________ _________________ __________________ ______________________ _________________ _________________ __________________

También escribe qué recursos necesitas en cada caso: ____________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


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Elabora la siguiente tabla con tu familia:

Activos de la familia Valor Ingresos mensuales Valor

Vivienda $ Salario de quienes

trabajan $

Vehículos $ Ventas $ Electrodomésticos $ Servicios $ Ahorros $ Otros ingresos $ Maquinaria $

Total $ Total $

Un sábado en la tarde (segunda parte)

Para este momento, ya llevaban mas de una hora en el centro comercial. Es que el tiempo en el parche se pasa volando. Luego de unos minutos en los que todos estuvieron callados, mirando a la gente que caminaba por la plazoleta de comidas, Andrés le preguntó a Juan David:

- ¿Oiga y qué es esodel nuevo grupo que está armando en Facebook?

Lee detenidamente:

Activo: cualquier cosa de valor, de propiedad de una persona, familia o empresa. Por ejemplo, los

bienes de un individuo, pueden incluir dinero en efectivo, casas, automóviles y acciones en la bolsa

de valores.

Ingreso: cantidad de dinero recibido durante cierto periodo producto del trabajo o de la prestación

de un servicio, de la compra y la venta de mercancías o propiedades, y de las ganancias obtenidas

por inversiones financieras.

Fuentes de ingresos: formas de obtener dinero que tiene cualquier persona, empresa o Estado. Las

del último están relacionadas con la gestión de sus entidades y los impuestos; las de las

compañías, con las operaciones comerciales para la venta de sus productos y servicios; y las de los

individuos, con el trabajo, la compraventa de mercancías o propiedades, y las ganancias de sus

inversiones financieras.

Proyección de ingresos: cálculo aproximado, en función de expectativas y posibilidades, de cuánto

dinero se recibirá en un futuro establecido, producto de una o varias fuentes de ingresos.


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- Ah, es una vaina sobre la protección de animales. Es que el otro día ví como le daban duro a un caballito todo flaco – Respondió Andres.

De repente, en ese momento, Luis Fernando se sintió muy motivado a hablar. Algo inusual en él.

- A mí sí me interesa el grupo, cuando vaya a la casa de Laura o de Andrés me inscribo. Desde que me regalaron a Max me he dado cuenta de cómo maltratamos a los animales.

Como empezaba a oscurecer y nadie quería que regañaran a Laura y Ariadna, emprendieron el camino a casa, lógicamente, caminando. Cuando cruzaron la avenida principal, Luis Fernando vió un automóvil que le pareció muy moderno. –¡Uy que carro! Cuando trabaje me voy a comprar uno así, pero el mío será verde-. Dijo.

- Que mal gusto. ¿Cómo se te ocurre un carro tan elegante de color verde? Tú si eres mas ordinario que una iglesia con orinal – Respondió Andrés. Entonces todos rieron a carcajadas.

Después dijo Ariadna:

- En cambio, cuando yo tenga ahorrada suficiente plata, - voy a tener un jardín infantil para los niños pobres del barrio -. - No pues, habló la madre Teresa-. Reparó Andrés. - Ya párela hermano. Más bien dinos que quieres hacer cuando salgas - del colegio-. Dijo Juan David. - Yo ya le dije a mi papá que vaya ahorrando porque quiero hacer - un curso de inglés en Estados Unidos-. Respondió Andrés. - Sueñe mijito. Si acaso lo llevan hasta “Neiva York”-, dijo rápidamente Melissa.

Otra vez fueron inevitables las carcajadas. Juan David, con su acostumbrado tono serio, comentó:

- A mí sí me parece muy chévere en plan de Ariadna. Yo quisiera tener plata para llevar a mi “cucha” al mar, pues ese es su sueño y me sentiría feliz si lo puedo hacer realidad. Debe ser muy bacano-.

- ¿La va a llevar en avión?-. Preguntó Luis Fernando. - No sé. Esa es la idea porque ni ella, ni ninguno de la familia ha montado en avión, pero es muy

caro-. Respondió Juan David. - Si yo tuviera plata me iría a todos los conciertos de reggaetón y me compraría todos los discos

de Daddy Yankee y Calle 13-. Dijo Melissa. Así cada uno fue contando, más bien fue soñando en voz alta qué le gustaría hacer, tener o ser en el futuro. Cada proyecto era muy particular, pero todos tenían en común que implicaban dinero para realizarse.

GUIA 3 ALGEBRA DE NOVENO - … · Por otro lado, la ecuación cuadrática aparece en la solución...

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