Guia 3 Limite
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Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 1 Bienvenido a la serie de guías resueltas de Exapuni! Esta serie de guías resueltas fue hecha por estudiantes de la comunidad Exapuni para facilitar el estudio y con la mejor intención de ayudar. Esperamos que te sean útiles. Podés buscar todo el material, responder tus dudas y mucho más durante toda tu carrera en www.exapuni.com, sumate! Límite de funciones y asíntotas Nos piden que calculemos el límite de las funciones graficas cuando tiende a y a . Hay que tener en cuenta que las líneas punteadas son asíntotas. Sabiendo que se aproxima a las asíntotas pero nunca llega podemos resolver el ejercicio. a) Mientras más grande es el valor de más la imagen se aproxima al valor ( ). Cuando tiende a el valor de la imagen es . b) Guía 3 Matemática 2014 Ej. 1) Analizando el gráfico…
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matematica guia 3 cbc uba
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Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 1
Bienvenido a la serie de guías resueltas de Exapuni! Esta serie de guías resueltas fue
hecha por estudiantes de la comunidad Exapuni para facilitar el estudio y con la mejor
intención de ayudar. Esperamos que te sean útiles. Podés buscar todo el material,
responder tus dudas y mucho más durante toda tu carrera en www.exapuni.com,
sumate!
Límite de funciones y asíntotas
Nos piden que calculemos el límite de las funciones graficas cuando tiende a y a
. Hay que tener en cuenta que las líneas punteadas son asíntotas. Sabiendo que
se aproxima a las asíntotas pero nunca llega podemos resolver el ejercicio.
a)
Mientras más grande es el valor de más la imagen se aproxima al valor ( ).
Cuando tiende a el valor de la imagen es .
b)
Guía 3 Matemática
2014
Ej. 1) Analizando el gráfico…
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c)
Notar que no hay asíntota cuando tiende a .
d)
e)
No hay asíntotas.
f)
Tanto el seno como el coseno son funciones periódicas (los valores de la función se
repiten conforme se añade a la variable independiente un determinado período), las
mismas no tienen límite en el infinito.
Vamos a ir resolviendo los ejercicios y explicando que pasa en cada caso particular,
cualquier duda podes consultar en la página.
a)
⏞
Infinito es un número extremadamente grande, si elevamos un número
extremadamente grande al cuadrado y lo multiplicamos por cuatro vamos a obtener un
Ej. 2) Calcular…
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número extremadamente grande. Esta es la razón del que el resultado sea . Hay
que tener en cuenta esta lógica que acabamos de plantear para resolver los ejercicios
de límite.
b)
⏞
Pasa lo mismo que en el inciso anterior, la lógica es la misma.
c)
⏞
Es similar a los dos incisos anteriores, al elevar a la quinta el resultado es , al
multiplicarlo por un número negativo cambia el signo del número siendo el resultado
.
d)
⏟ ⏟
En este ejercicio sucede algo diferente, al dividir un número por infinito obtenemos
como resultado el cero. Esto se debe a que mientras más grande sea el número del
denominador de una fracción más nos aproximamos al valor . Podes probar esto
fácilmente con una calculadora.
e)
(
) (
⏟
)
f)
(
) ⏞
(
⏟
)
g)
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( )
( )
(
⏞
)
⏟
( ⏟
)
⏟
h)
(
⏟
⏟
) ⏞
i)
(
⏟
⏟
⏟
) ⏞
j)
(
)
( )
(
)
( )
(
⏞
⏞
)
⏟
( ⏟
)
k)
( )
( )
(
⏞
)
( ⏟
)
l)
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( )
(
)
(
)
(
)
(
⏞
)
( ⏟
⏟
)
m)
(
)
( (
)
(
)
)
( (
)
(
)
)
(
(
⏞
⏞
)
( ⏟
⏟
)
)
⏞
(
)
n)
(
)
( (
)
( )
)
(
⏞
)
( ⏟
)
⏞
o)
(
) (
)
(
( )
)(
)
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(
⏟
( ⏟
)
)
(
⏟
)
p)
(
)(
)
( (
)
( )
)(
( )
)
((
)
( )
)(
( )
)
(
(
⏞
⏞
)
( ⏟
)
)
(
⏟
( ⏟
)
)
(
)(
⏟
)
⏟
a)
⏟
La lógica es la misma que en el punto anterior, hay que tener en cuenta que al elevar
a un número par se transforma en . No es el caso pero hay que tenerlo en
cuenta.
b)
⏟ ⏟
c)
Ej. 3) Calcular…
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(
) ⏞
(
⏟ ⏟ )
d)
(
) ⏟
(
⏞
⏟
⏞
⏟ )
e)
( )
( )
(
⏞
)
⏟
(
⏟
)
f)
(
)
( )
( ⏟
⏞
)
(
⏟
⏟ )
g)
( )
⏟
h)
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(
)
(
)
⏞
( ⏟
⏟
)
i)
(
)
(
⏞
⏞
)
⏟
j)
(
)
(
( )
)
⏞
( ⏟
)
⏟
k)
(
)
(
)
( )
( )
(
⏞
)
( ⏟
)
l)
(
)
( )
(
)
( )
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⏞
(
⏞
⏞
)
( ⏟
)
Para determinar las asíntotas horizontales de una función tenemos que hacer el límite
de la función tendiendo a y a . Si alguno de los límites da como resultado un
número ese número es una asíntota horizontal. Ahora resolviendo los ejercicios se va a
entender mejor.
a)
Resolvamos primero con limite tendiendo a .
( )
( ⏟
)
El resultado es , por lo tanto existe un asíntota horizontal en .
Veamos que pasa ahora cuando el límite tiende a .
( )
( ⏟
)
Obtenemos el mismo resultado, entonces existe una sola asíntota horizontal en
. Graficamos para que se entienda mejor:
Ej. 4) Analizar la existencia…
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Esta es una función homográfica, vamos a verlas mejor a partir del ejercicio 11. En el
grafico se puede ver una asíntota vertical (después vamos a aprender cómo
encontrarlas) y además se puede apreciar que la función se aproxima a pero
nunca llega. Por lo tanto es una asíntota horizontal tanto cuando el límite tiende
a como a y se corrobora lo que deducimos antes analíticamente.
b)
Resolvamos primero con limite tendiendo a .
(
)
( )
(
⏞
)
( ⏟
)
Por lo tanto hay una asíntota horizontal en .
Veamos que pasa ahora cuando el límite tiende a .
(
)
( )
(
⏞
)
( ⏟
)
Obtenemos el mismo resultado, entonces existe una sola asíntota horizontal en
.
c)
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Resolvamos primero con limite tendiendo a .
(
)
( ⏟
⏟
)
Por lo tanto hay una asíntota horizontal en .
(
)
⏟
( ⏟
⏟
)
Obtenemos el mismo resultado, entonces existe una sola asíntota en .
d)
(
)
( )
⏞
(
⏞
)
⏟
Al dar como resultado sabemos que no existe asíntota horizontal cuando .
(
)
( )
(
⏞
)
⏟
Al dar como resultado - sabemos que no existe asíntota horizontal cuando .
e)
( )
⏞
( ⏟
)
⏞
Por lo tanto hay una asíntota horizontal en .
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( )
⏟
( ⏟
)
⏞
Obtenemos el mismo resultado, entonces existe una sola asíntota horizontal en .
f)
(
)
(
)
(
)
(
)
⏞
(
⏞
⏞
)
( ⏟
⏟
)
Al dar como resultado sabemos que no existe asíntota horizontal cuando .
(
)
(
)
(
)
(
)
⏞
(
⏞
⏞
)
( ⏟
⏟
)
Al dar como resultado sabemos que no existe asíntota horizontal cuando .
g)
(
)
(
)
(
)
(
)
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(
⏞
⏞
)
( ⏟
⏟
)
Por lo tanto hay una asíntota horizontal en .
(
)
(
)
(
)
(
)
(
⏞
⏞
)
( ⏟
⏟
)
Obtenemos el mismo resultado, entonces existe una sola asíntota horizontal en .
h)
Resolvamos primero con limite tendiendo a .
(
)
(
)
(
)
(
)
(
⏞
⏞
)
( ⏟
⏟
)
Por lo tanto hay una asíntota horizontal en .
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(
)
(
)
(
)
(
)
(
⏞
⏞
)
⏞
( ⏟
⏟
)
Obtenemos el mismo resultado, entonces existe una sola asíntota en .
a)
Resolvemos:
(
)
( )
(
⏞
)
( ⏟
)
b)
Ej. 5) Determinar el valor…
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(
)
( )
(
⏞
⏞
)
( ⏟
)
c)
Es similar a los incisos anteriores pero expresado de otra forma, lo vamos a expresar
como en los incisos anteriores:
Lo resolvemos con ya que el límite es igual tanto por izquierda como por
derecha.
( )
( ⏟
)
El ejercicio es similar al ejercicio 1.
Ej. 6) Dado el gráfico de…
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a)
b)
No hay asíntotas en la función (notar que en el gráfico no se restringe ningún punto).
c)
En los limites anteriores no es claro si existe o no límite. No hay línea punteada
marcando asíntota aunque la función parece comportarse como si hubiera asíntota en
. Sin embargo como no hay información suficiente para concluir esto preferimos
poner que no existe (no te preocupes que no te van a tomar esto en el parcial)
Es igual a los casos anteriores, lo ponemos separado para hacer una aclaración. Notar
que en este límite no se aclara si es por izquierda o por derecha (falta el signo), por lo
tanto solo tiene sentido resolverlo si los limites por los laterales son los mismos.
d)
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e)
f)
Tener en cuenta que cuando el resultado es o significa que hay asíntota
vertical para el valor al que tiende el límite.
a)
⏟
⏟
b)
Ej. 7) Calcular.
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c)
(
) (
)
(
) (
)
d)
Si reemplazamos en el valor , obtenemos una indeterminación del tipo
Tenemos que salvar la indeterminación:
Por lo tanto no tiene asíntota vertical en (Para que exista asíntota vertical el
limite tiene que ser infinito)
e)
f)
g)
h)
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Ahora en vez de las asíntotas horizontales nos piden que calculemos las verticales,
para calcular este tipo de asíntotas hay que analizar el dominio de la función y ver qué
valores no puede tomar. En esos valores que el dominio no puede tomar probablemente
estén las asíntotas que buscamos. Vamos a resolver:
a)
El denominador no puede tomar el valor . Por lo tanto:
Por lo tanto el dominio es: ( ) {
}
Analizamos que pasa con el límite en ese valor.
(
)
(
)
(
)
(
)
Debido a que el límite es existe una asíntota vertical en
.
b)
Analicemos el dominio de la función:
Ej. 8) Analizar la existencia...
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Veamos que sucede en este valor:
Debido a que el límite es existe una asíntota vertical en .
c)
Analicemos el dominio de la función:
Tenemos que aplicar la formula resolvente para descomponer en raíces:
√
√
√
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Por lo tanto:
Esto significa que tenemos que analizar si existen asíntotas en ambos valores:
⏟
⏟
Debido a que el límite es existe una asíntota vertical en .
⏟
⏟
Por lo tanto también existe una asíntota vertical en .
d)
Analicemos el dominio de la función:
Tenemos que aplicar la formula resolvente para descomponer en raíces:
√
√
√
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Esto significa que tenemos que analizar si existen asíntotas en ambos valores:
Debido a que el límite es existe una asíntota vertical en .
Por lo tanto no hay asíntota en .
a)
Analizamos el dominio de la función:
Ahora vemos que pasa en el valor
Ej. 9) Dar el dominio y las...
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Debido a que el límite es existe una asíntota vertical en .
Ahora vamos a ver si tiene asíntotas horizontales:
(
)
( )
(
⏞
)
( ⏟
)
(
)
( )
(
⏞
)
( ⏟
)
(
)
( )
(
⏞
)
( ⏟
)
Por lo tanto tiene una asíntota horizontal en .
b)
Analizamos el dominio de la función:
Ahora vemos que pasa en el valor
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⏟ ⏟
⏟ ⏟
Por lo tanto tiene una asíntota vertical en .
Analicemos si tiene asíntotas horizontales:
⏟
⏟
Por lo tanto tiene una asíntota horizontal en .
c)
Analizamos el dominio de la función:
No existe ningún valor en los números reales que elevado al cuadrado de negativo. El
dominio son todos los reales y por lo tanto no existe asíntota vertical.
Ahora busquemos asíntotas horizontales:
( )
( )
⏞
⏟
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( )
( )
⏞
⏟
Por lo tanto tiene una asíntota horizontal en
.
d)
Analizamos el dominio de la función:
Tenemos que aplicar la formula resolvente para descomponer en raíces:
√
√
√
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⏟
⏟
Por lo tanto es una asíntota vertical.
⏟
⏟
Por lo tanto también es una asíntota vertical.
Ahora vamos a determinar si existen asíntotas horizontales:
⏟
( )
(
)
⏞
( ⏟
⏟
)
( )
(
)
⏞
( ⏟
⏟
)
Por lo tanto tiene una asíntota horizontal en .
e)
Analizamos el dominio de la función:
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( )
Por lo tanto es una asíntota vertical.
Ahora buscamos asíntotas horizontales:
( )
( )
⏞
⏟
( )
( )
⏞
⏟
Por lo tanto tiene una asíntota horizontal en .
f)
Analicemos el dominio de la función:
Tenemos que aplicar la formula resolvente para descomponer en raíces:
√
√
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√
Vamos a buscar ahora asíntotas verticales:
No hay asíntota vertical en .
Por lo tanto existe asíntota vertical en .
Ahora buscamos asíntotas horizontales:
(
)
(
)
⏞
⏞
⏟
⏟
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(
)
(
)
⏞
⏞
⏟
⏟
Por lo tanto tiene una asíntota horizontal en .
g)
Analicemos el dominio de la función:
El denominador es igual que el del inciso anterior, las raíces son y .
Vamos a buscar asíntotas verticales:
Por lo tanto existe asíntota vertical en .
No existe asíntota vertical en .
Ahora buscamos asíntotas horizontales:
(
)
(
)
⏞
⏞
⏟
⏟
Por lo tanto tiene una asíntota horizontal en .
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h)
Analicemos el dominio de la función:
( )
Veamos que sucede en :
Por lo tanto existe asíntota vertical en .
Ahora vamos a analizar asíntotas horizontales:
( )
(
)
⏞
⏟
⏟
( )
(
)
⏞
⏟
⏟
Por lo tanto existe asíntota horizontal en .
a)
Ej. 10)
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Este ejercicio lo hacemos en base a lo que vinimos haciendo. Sabemos que para
determinar asíntotas verticales tenemos que analizar los valores restringidos del
dominio. En este caso sabemos que la asíntota vertical es . Por lo tanto:
Ahora que tenemos el valor de nos piden que calculemos la asíntota horizontal:
(
)
( )
⏞
⏟
(
)
(
)
⏞
⏟
Por lo tanto existe asíntota horizontal en .
b)
La función entonces es:
Tenemos que aplicar la formula resolvente para descomponer en raíces:
√
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√
√
Ya sabemos que es una asíntota vertical, vamos a ver qué pasa con
( ⏟
)
( ⏟
)
Por lo tanto es una asíntota vertical.
Ahora vamos a buscar asíntotas horizontales:
( )
(
)
(
⏞
)
( ⏟
⏟
)
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( )
(
)
(
⏞
)
( ⏟
⏟
)
Ahora entramos en la unidad de funciones homográficas, en realidad en los ejercicios
que hicimos aparecieron algunas funciones homográficas, tienen la forma:
Vamos a resolver:
a)
Primero vamos a obtener el dominio:
( )
Para obtener la imagen vamos a usar las asíntotas horizontales:
⏟
⏟
Por lo tanto existe un asíntota horizontal en . Esto significa que la función no
tiene ceros. La imagen es:
( )
Ahora veamos si tiene asíntota vertical:
Ej. 11) Hallar el dominio…
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Tiene asíntota vertical el .
Nos queda determinar los intervalos de positividad y de negatividad.
Tenemos que ver que pasa a la izquierda y a la derecha de la asíntota vertical, al no
tener ceros la función sabemos que no hay cambio de signo:
Por lo tanto el intervalo pertenece al intervalo de negatividad.
Por lo tanto el intervalo pertenece al intervalo de positividad.
Y finalmente graficamos:
b)
Primero vamos a obtener el dominio:
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( )
Para obtener la imagen vamos a usar las asíntotas horizontales:
⏟
⏟
Por lo tanto existe un asíntota horizontal en . Esto significa que la función no
tiene ceros. La imagen es:
( )
Ahora veamos si tiene asíntota vertical:
Tiene asíntota vertical el .
Nos queda determinar los intervalos de positividad y de negatividad.
Tenemos que ver que pasa a la izquierda y a la derecha de la asíntota vertical, al no
tener ceros la función sabemos que no hay cambio de signo:
Por lo tanto el intervalo intervalo al conjunto de positividad.
Por lo tanto el intervalo intervalo al conjunto de negatividad.
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Y finalmente graficamos:
c)
Primero vamos a obtener el dominio:
( )
Para obtener la imagen vamos a usar las asíntotas horizontales:
(
)
( )
⏞
⏟
(
)
( )
⏞
⏟
Por lo tanto existe un asíntota horizontal en . Por lo tanto la imagen es:
( )
Vamos a determinar los ceros de la función:
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Ahora veamos si tiene asíntota vertical:
Tiene asíntota vertical el .
Nos queda determinar los intervalos de positividad y de negatividad.
Tenemos que ver que pasa a la izquierda y a la derecha de la asíntota vertical, a su vez
tenemos que tener en cuenta también que hay un cero y analizar que pasa a la
izquierda y derecha del cero.
Por lo tanto el intervalo pertenece al intervalo de positividad.
Por lo tanto el intervalo pertenece al conjunto de negatividad.
Por lo tanto el intervalo pertenece al conjunto de positividad.
⋃
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Y finalmente graficamos:
d)
Primero vamos a obtener el dominio:
( ) {
}
Para obtener la imagen vamos a usar las asíntotas horizontales:
(
)
( )
⏞
⏟
(
)
( )
⏞
⏟
Por lo tanto existe un asíntota horizontal en . Por lo tanto la imagen es:
( )
Vamos a determinar los ceros de la función:
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Ahora veamos si tiene asíntota vertical:
(
)
(
)
(
)
(
)
Tiene asíntota vertical el
.
Nos queda determinar los intervalos de positividad y de negatividad.
Tenemos que ver que pasa a la izquierda y a la derecha de la asíntota vertical, a su vez
tenemos que tener en cuenta también que hay un cero y analizar que pasa a la
izquierda y derecha del cero.
Por lo tanto el intervalo (
) pertenece al intervalo de positividad.
Por lo tanto el intervalo (
) pertenece al intervalo de positividad.
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Por lo tanto el intervalo (
) pertenece al intervalo de negatividad.
(
)
(
) ⋃ (
)
Y finalmente graficamos:
e)
Primero vamos a obtener el dominio:
( )
Para obtener la imagen vamos a usar las asíntotas horizontales:
(
)
( )
⏞
⏟
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(
)
( )
⏞
⏟
Por lo tanto existe un asíntota horizontal en . Por lo tanto la imagen es:
( )
Vamos a determinar los ceros de la función:
Ahora veamos si tiene asíntota vertical:
Tiene asíntota vertical el .
Nos queda determinar los intervalos de positividad y de negatividad.
Tenemos que ver que pasa a la izquierda y a la derecha de la asíntota vertical, a su vez
tenemos que tener en cuenta también que hay un cero y analizar que pasa a la
izquierda y derecha del cero.
Por lo tanto el intervalo pertenece al intervalo de positividad.
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Por lo tanto el intervalo pertenece al intervalo de negatividad.
Por lo tanto el intervalo pertenece al intervalo de positividad.
⋃
Y finalmente graficamos:
f)
Primero vamos a obtener el dominio:
( )
Para obtener la imagen vamos a usar las asíntotas horizontales:
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(
)
( )
⏞
⏟
(
)
( )
⏞
⏟
Por lo tanto existe un asíntota horizontal en . Por lo tanto la imagen es:
( )
Vamos a determinar los ceros de la función:
Ahora veamos si tiene asíntota vertical:
Tiene asíntota vertical el .
Nos queda determinar los intervalos de positividad y de negatividad.
Tenemos que ver que pasa a la izquierda y a la derecha de la asíntota vertical, a su vez
tenemos que tener en cuenta también que hay un cero y analizar que pasa a la
izquierda y derecha del cero.
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Por lo tanto el intervalo (
) pertenece al intervalo de positividad.
(
)
(
)
( )
( )
Por lo tanto el intervalo (
) pertenece al intervalo de negatividad.
Por lo tanto el intervalo pertenece al intervalo de positividad.
(
)
(
) ⋃
Y finalmente graficamos:
a)
Sabemos que
es una asíntota horizontal y es asíntota vertical.
Ej. 12)
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(
)
( )
⏞
⏞
⏟
Ahora vamos a determinar en base a la asíntota vertical.
Para que el resultado sea el valor de debe ser 3.
Por lo tanto la función es:
b)
Determinamos la asíntota horizontal:
(
)
( )
⏞
⏟
Ahora usamos el cero
:
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( )
( )
(
)
Ahora reemplazamos en la primera ecuación:
La función por lo tanto es:
Sabemos que el área de un rectángulo se obtiene multiplicando la base ( ) por la altura
( ).
Vamos a llamar a la altura y vamos a expresar la altura en función de dos variables,
la variable que es la altura sumándole la variable que es lo que le falta a para
alcanzar la medida de la base. Por lo tanto expresamos esto con las nuevas variables:
Ej. 13) Hallar la expresión…
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Ahora podemos calcular los límites que nos piden:
( )
(
) ⏞
(
⏟
)
Por lo tanto la función no tiene asíntota horizontal.
Por lo tanto es una asíntota vertical de la función.
El gráfico de la función es:
Vamos a ver qué sucede cuando la función tiende a .
(
)
(
⏟
)
Se puede ver que existe una astintota horizontal en
, esto significa que el agua
salada va a fluir hacia el agua pura hasta que sea igual a . Transcurrido este
tiempo esto ya no sucedera. Este es un proceso natural conocido como difusión, en
este caso la sal pasa del medio de menor concentración al de mayor concentración
hasta que se produzca un equilibro que está dado por la ecuación.
Ej. 14) Hacia un tanque que…
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Ahora vamos a hacer un nuevo tipo de ejercicio. Para aplicar composición de funciones
lo que hacemos es poner una función dentro de la otra. Es más claro verlo con los
ejercicios, así que vamos a resolverlos.
a)
( )
Notar que lo que estamos haciendo es reemplazar en la de la función la función
.
( )
Notar que lo que estamos haciendo es reemplazar en la de la función la función
.
b)
( ) (
)
( )
c)
( ) (
)
( )
Ej. 15) Dadas las funciones…
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Notar que en hay dos , la función se coloca en ambas al hacer la
composición.
d)
( )
( )
( )
(
)
e)
( )
( ) ( )( )
f)
√
( ) ( √ ) √
( ) √ √
√
a) Nos dicen que la función que hay que encontrar es lineal. Por lo tanto tiene la forma
Ej. 16)
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Las igualdades que nos dan se pueden interpretrar como dos puntos de la función
donde uno de los valores es y el otro . Nos dicen que conociendo los grados Kelvin
tenemos que determinar los grados Celsius, esto lo interpretramos como que grados
Kelvin corresponde a la variable (variable que conocemos) y grados Celsius
corresponde a la variable (el valor a calcular).
{
Expresamos la primera ecuación en función de
Reemplazamos en la segunda ecuación:
Ya tenemos el valor de la pendiente, ahora vamos a obtener :
Por lo tanto la función es
b)
Claramente estamos frente a un ejercicio de composición de funciones. Tenemos
ambas funciones:
( )
La función resultante es lineal, siempre que hagamos una composición de dos funciones
lineales vamos a obtener una función lineal.
Ej. 17)
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a)
Primero obtenemos
( )
Ahora tenemos que obtener
Ya teniendo el valor de podemos obtener la función
( )
Ahora tenemos que obtener
b)
Primero obtenemos
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( )
Ahora tenemos que obtener
Ya teniendo el valor de podemos obtener la función
( ) (
)
Ahora tenemos que obtener
(
) (
)
Primero vamos a obtener
( ) (
)
Ya tenemos , ahora vamos a buscar las asíntotas. Primero veamos si tiene
asíntota horizontal:
Ej. 18) Sean …
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⏟
⏟
⏟
⏟
Por lo tanto existe una asíntota horizontal en .
Ahora veamos si tiene asíntota vertical, primero averiguamos el dominio:
( )
Veamos que sucede en :
⏟
⏟
Por lo tanto hay una asíntota vertical en
Ahora vamos a obtener
( )
Ya tenemos , ahora vamos a buscar las asíntotas. Primero veamos si tiene
asíntota horizontal:
⏟
⏟
⏟
⏟
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Por lo tanto existe una asíntota horizontal en .
Ahora veamos si tiene asíntota vertical, primero averiguamos el dominio:
( )
Veamos que sucede en :
⏟
⏟
Por lo tanto hay una asíntota vertical en
a)
Tenemos la ecuación y el enunciado nos dice que tenemos que tener en cuenta que
. Resolvamos:
Para
Graficamos:
Ej. 19) Resolver la ecuación …
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Para
Graficamos:
b)
Para
√
Graficamos:
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Para
√
No existe solución en los números reales.
c)
Para
Graficamos:
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Para
Da un absurdo, por lo tanto no tiene solución.
a)
Tenemos la función , para obtener la función inversa de la misma lo que tenemos
que hacer es reemplazar la variable por la variable y la variable (o sea ) por
la variable . Luego tenemos que despejar la variable . Vamos a verlo en el ejercicio.
Lo que acabamos de obtener es la función , la inversa de la función .
Ej. 20) Calcular y dar…
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El dominio de la función son todos los reales.
Vamos a graficar ambas funciones
b)
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no puede tomar el valor por lo tanto el dominio de la función es
( )
Vamos a graficar ambas funciones
c)
√
√
√
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( )
Vamos a graficar ambas funciones
d)
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( )
Vamos a graficar ambas funciones
e)
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√
√
Vamos a determinar el dominio:
( )
Vamos a graficar ambas funciones
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como un aporte útil para la comunidad. Si encontrás algún detalle, podés dejarnos tus
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