SERVICIO NACIONAL DE APRENDIZAJE SENA GUA DE APRENDIZAJE

SISTEMA INTEGRADO DE GESTIN Proceso Gestin de la Formacin Profesional Integral

Procedimiento Ejecucin de la Formacin Profesional Integral

Versin: 01

Fecha: 09/10/2014

Cdigo: F004-P006-GFPI

Programa de Formacin: Diseo de acciones de formacin complementaria.

Cdigo: 03000063 Versin: 1

Nombre del Proyecto: Fortalecimiento en razonamiento cuantitativo para la articulacin con la media.

Cdigo: 280301022

Fase del proyecto: Ejecucin

Actividad (es) del Proyecto:

Actividad (es) de Aprendizaje:

Identificar diferentes modelos matemticos para la resolucin De problemas en un contexto real.

Analiza r la informacin o verificar el dominio de los procesos a partir de informacin cuantificable.

Concluir sobre situaciones cuantitativas asociadas a problemas en contexto teniendo en cuenta la informacin suministrada y conocimiento matemtico asociado.

Resultados de Aprendizaje: Resolver problemas cotidianos y de contexto real cuantificable usando operaciones y procedimientos que apliquen las matemticas bsicas.

Competencia: efectuar mediciones de superficies y contornos de acuerdo con planos y especificaciones tcnicas.

Duracin de la gua ( en horas): 15

Trabajar en lgebra consiste en manejar relaciones numricas en las que una o ms cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incgnitas o indeterminadas y se representan por letras. Una expresin algebraica es una combinacin de letras y nmeros, ligada por los signos de las operaciones: adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin y potenciacin. Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar reas y volmenes.

Longitud de la circunferencia: L = 2r, donde r es el radio de la0circunferencia.

rea del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del cuadrado.

Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo.

Expresiones algebraicas comunes:

GUA DE APRENDIZAJE N 2

1. IDENTIFICACIN DE LA GUIA DE APRENDIZAJE

2. INTRODUCCIN

Gua de Aprendizaje

Pgina 2 de 5

El doble o duplo de un nmero: 2x, El triple de un nmero: 3x, El cudruplo de un nmero: 4x, La mitad de un nmero: x/2., Un tercio de un nmero: x/3, Un cuarto de un nmero: x/4, Un nmero es proporcional a 2, 3, 4, ...: 2x, 3x, 4x,.., Un nmero al cuadrado: x2, Un nmero al cubo: x3, Dos nmeros consecutivos: x y x + 1, etc

Las ecuaciones ocupan un lugar importante en el estudio de las matemticas, pues proporcionan una herramienta til y cmoda para resolver mltiples problemas que, sin ellas, se resuelven de forma ms complicada. Los problemas pueden resolverse por mtodos aritmticos y algebraicos. En muchos casos la resolucin aritmtica es ms sencilla, pero en muchos otros es mucho ms fcil plantear una ecuacin para resolverlo.

3.1 Actividades de Reflexin inicial. Analizar la aplicabilidad del algebra en la vida cotidiana. Analice y discuta con sus compaeros de grupo, la importancia de las ecuaciones algebraicas en el contexto real y como se aplicaran en su vida profesional.

En grupos de tres responde la pregunta: Para que se utiliza el lgebra en la vida cotidiana?

3.2 Actividades de contextualizacin e identificacin de conocimientos necesarios para el aprendizaje.

Utilizar los conocimientos previos de matemticas para iniciar una etapa de exploracin del pensamiento variacional.

3.2.1 Resuelve el juego propuesto por el instructor. (Anexo 1 sesin 1) 3.2.2 Despus de la instruccin del instructor resuelve en tros el taller de paso de lenguaje natural al algebraico y viceversa. (Anexo 2 sesin 1 )

3.3 Actividades de apropiacin del conocimiento (Conceptualizacin y Teorizacin).

Identificar las caractersticas de las expresiones, clasificacin, operacin con polinomios algebraicas y resolucin de problemas aplicando ecuaciones de primer y segundo grado .

3.3.1 Leer el anexo 3 y resolver los ejercicios propuestos para afianzar tus conocimientos de las enseanzas de algebra trabajadas hasta el da de hoy. (Anexo 3 sesion1).

3.3.2 Resuelve el crucinmero de operaciones con polinomios (Anexo 4 sesin 2) 3.3.3 Recordar los conceptos previos para desarrollar ecuaciones de primer y segundo grado.

Criptonumero. (Anexo 5 sesion2) 3.3.4 Desarrollar gua de ecuaciones lineales y grficas. (Anexo 5 sesin 3) 3.3.5 Leer la gua de resolucin de problemas de ecuaciones de primer grado y resolver los

problemas de aplicacin. (Anexo 6 sesin 3 ) 3.3.6 Resolver los problemas de aplicacin de segundo grado. (Anexo 7 sesin 4 ) 3.3.7 Con el fin de reforzar sus conocimientos resuelve 5 de los puntos la actividad de forma individual

a manera de informe para entregar el prximo lunes. (Anexo 8 )

3. ESTRUCTURACION DIDACTICA DE LAS ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

Gua de Aprendizaje

Pgina 3 de 5

Juego de lgica aplicando expresiones algebraicas.

Taller de traduccin de lenguaje natural al algebraico y viceversa.

Gua de caractersticas y operaciones algebraicos.

Crucinmero de aplicacin con operaciones algebraicas.

Decodificador para resolver ecuaciones de primer y segundo grado.

Gua de resolucin con ecuaciones de primer grado.

Gua de resolucin con ecuaciones de segundo grado.

Actividad de refuerzo de resolucin de problemas.

3.4 Actividades de transferencia del conocimiento.

3.4.1 Aplicar el teorema de Pitgoras y de Thales en la solucin de situaciones de la vida cotidiana.

Realice la lectura del anexo 9. (Sesin 5)

Resuelva los ejemplos de forma grupal con la asesora del instructor aclarando las dudas que hayan surgido al momento de la lectura.

Identifique y escriba la aplicabilidad que tienen esta clase de teoremas en la vida cotidiana.

Resuelva el taller prueba saber que se presenta en la ltima pgina del anexo 9.

El instructor propondr una situacin problema para cada grupo con el fin de que sea resuelta y expuesta en un tiempo no mayor a 5 minutos por los pequeos grupos.

3.5 Actividades de evaluacin.

Evidencias de Aprendizaje Criterios de Evaluacin Tcnicas e Instrumentos de

Evaluacin

Evidencias de Producto: Resolucin de juego de lgica

Taller de lenguaje natural.

Gua de caractersticas.

Crucinmero.

Criptonmeros.

Talle de resolucin de problemas ecuaciones de primer grado.

Problemas de ecuaciones de segundo grado.

Actividad de refuerzo.

Analiza la informacin matemtica de un contexto real teniendo en

cuenta los conocimientos

asociados a los datos cuantitativos.

Resuelve problemas de contexto real mediante el uso de diferentes

mtodos matemticos de solucin.

Listas de chequeo

4. RECURSOS PARA EL APRENDIZAJE

Gua de Aprendizaje

Pgina 4 de 5

Expresin algebraica: es una combinacin de nmeros y letras asociados mediante operaciones aritmticas.

Clasificacin de expresiones algebraicas: pueden ser monomios de un trmino, binomios de dos trminos, trinomios de tres trminos y polinomios de ms de tres trminos.

Trminos semejantes: son aquellos que tienen la misma parte literal.

Fraccin algebraica: es el cociente indicado de dos polinomios, donde el divisor es diferente de 0.

Factorizar: Transformar un polinomio en un conjunto de polinomios.

Ecuacin lineal: su mayor exponente es uno.

Ecuacin cuadrtica: significa encontrar el valor o los valores de las incgnitas que hacen verdadera la igualdad.

Variable: es un smbolo que permite identificar a un elemento no especificado dentro de un determinado grupo.

Incgnita: En una expresin o ecuacin matemtica, cantidad que no se conoce y se debe averiguar, que, generalmente, se representa por una de las letras iniciales o finales del alfabeto.

Coeficientes: Es un factor multiplicativo vinculado a un monomio. Dado un divisor del monomio, el coeficiente es el cociente del monomio por el divisor. As el monomio es el producto del coeficiente y el divisor.

Lgica: Es la disciplina que estudia mtodos de anlisis y razonamiento; utilizando el lenguaje de las matemticas como un lenguaje analtico

Teorema: Proposicin matemtica demostrable a partir de axiomas o de proposiciones ya demostradas.

Triangulo rectngulo: En geometra, se llama tringulo rectngulo a todo tringulo que posee un ngulo recto, es decir, un ngulo de 90-grados.

Rectas paralelas: Dos rectas que no se cruzan en ningn punto del plano.

Segmentos: Un segmento de recta es una porcin o parte de una lnea que esta acotada por dos puntos.

Pitgoras: Pitgoras de Samos fue un filsofo y matemtico griego considerado el primer matemtico puro. Contribuy de manera significativa en el avance de la matemtica helnica, la geometra y la aritmtica.

Bibliografa: Hipertexto grado noven editorial Santillana. Precalculo editorial Thomson. Algebra intermedia editorial Pearson.

Webgrafa: www.vitutor.com/ecuaciones/1/ecua4contenidos.html

htpp//descartes.cnice.mec.es/Descarte1/4a eso/Ecuacin de segundo grado/Ecua seg.html#probl.

Anagarciaazcarate.wordpress.com

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras

https://www.google.com.co/search?newwindow=1&q=TEOREMA%20DE%20PItagoras&rct=j

http://www.vitutor.com/geo/eso/ss_1.html

http://calculo.cc/temas/temas_trigonometria/trian_semejante/problemas/p_tales.html

5. GLOSARIO DE TERMINOS

6. BIBLIOGRAFA/ WEBGRAFA

Gua de Aprendizaje

Pgina 5 de 5

Nombre Cargo Dependencia Firma Fecha

Autores Andrea Carolina Tejero Ruiz.

Cristofer Bolaos Scalante

Carlos Andrs Varela Garca.

Orlando Morales Muoz.

Instructor

- CENIGRAF

- Cafam los

Naranjos

Octubre 09

del 2014

Asesora

Pedaggica

Revisin

Aprobacin

7. CONTROL DEL DOCUMENTO (ELABORADA POR)

Anexo1

JUEGO PIRAMIDE

3 jugadores: dos jugaron y el tercero ser el juez.

Objetivo: llegar a la sima de la pirmide resolviendo las ecuaciones.

Inicio: uno de los jugadores lanza un dado hasta obtener uno, luego resuelve la ecuacin y

vuelve a lanzar el dado, el nmero obtenido debe ser la respuesta de la ecuacin dada,

sino logra el nmero adecuado continua el siguiente jugador, el juez verifica los

resultados.

m*m*m=27

8/4x=2 11=m+m-1

2x+x=6 Y*Y=9

3+x=4x

z=-8+5

2x+1=x+2

(x+x)/2=3 5x-2x=3

x+x=8 2x-3=7 3x/2=6

x*4=8 x/3=1 x+3=9

9

1

Anexo 3

Caractersticas de los polinomios.

Polinomios

Un polinomio es as:

Estn conformados por:

Literales o variables: son las letras del alfabeto que se utilizan para representar nmeros

que se desconocen inicialmente.

Coeficientes: son los nmeros que acompaan a las letras.

Constantes: son nmeros que aparecen solos dentro del polinomio.

Exponentes: son los nmeros que se encuentran en la parte superior de una letra.

Los polinomios se pueden combinar por medio de las operaciones.

Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los trminos del mismo grado.

4x2

+2x2 + 2x + 2= 6 x

2 +2x+2

La diferencia consiste en sumar el opuesto del sustraendo.

2x2

2x 22x+2x=2x2 2x2

Multiplicacin de polinomios

Producto de un nmero por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el nmero.

Producto de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

Producto de polinomios

1 Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.

2 Se suman los monomios del mismo grado.

(4x2

+ 1)*(2x2

+ 1) =8x4+ 4x

2 + 2x

2+1=8x

4+ 6x

2 +1

Divisin de polinomios

P(x) / Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo . Si el polinomio no es

completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del

divisor.

Multiplicamos cada trmino del polinomio divisor por el resultado a nterior y

lo restamos del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer

monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo

restamos al dividendo.

Repetimos el proceso anterior hasta que el grado del resto sea menor que el

grado del divisor, y por tanto no se puede continuar dividiendo.

Estos son polinomios:

3x

x - 2

3xyz + 3xy2z - 0.1xz - 200y + 0.5

Grado

El grado de un polinomio con una sola variable es el mayor exponente de esa variable.

Ejemplo:

El grado es 3 (el mayor exponente de x)

Ejercicios:

Escribe 5 polinomios ordenados.

Identifica cada parte de los polinomios que escribi.

Suma el primer polinomio con el segundo.

Resta el tercer polinomio con el cuarto.

Multiplica el primer polinomio con el quinto.

Anexo 4

CRUCINMERO

Resuelve el crucinmero:

A B C

1

2

3

Horizontales:

x4 3x

5 + 2x

2 + 5

1. Encuentra el grado del polinomio.// Encuentra el coeficiente principal.//

escribe la constante.//

2. Resuelve 4x + 1=5// Reemplazar x por 3 en el polinomio 2x2 2x 2

//Remplazar x por 1 en el polinomio 4x2 1.

3. Multiplicar el polinomio (4x2 1) * x

2 Encontrar el grado del

polinomio// el coeficiente principal del polinomio// la constante del

polinomio.

Verticales:

A. Solucionar la ecuacin: 2x+4=14// Solucionar la ecuacin 3z -

2z=1//Resuelve la ecuacin 1/2x + 4=12.

B. x3 6x

2 + 4 encuentra el grado del polinomio.// x

2 + 1 reemplazar por 3

// solucionar la ecuacin 2x+2x=16.

C. Indicar el grado del polinomio x3 + x

5 + x

2 // 8x-5x=9// constante del

polinomiox3 + x

5 + x

2

ANEXO 2

NOMBRE_____________________________________________________________________

Traduccin del lenguaje cotidiano al algebraico

1. Coloree la expresin algebraica y su correspondiente expresin verbal de un mismo

color. Como se muestra en el ejemplo.

Expresin verbal Expresin algebraica

El triple de un nmero Un nmero cualquiera El producto de dos

nmeros diferentes

La suma de dos nmeros

diferentes El cubo de un nmero

cualquiera

La quinta parte de un

nmero.

La mitad de la diferencia

de dos nmeros

cualesquiera

Cul es el nmero que

agregado a 3 suma 8?

Cul es el nmero que

disminuido de 20 da por

diferencia 7?

Cuatro veces la suma de

dos nmeros

cualesquiera

Traduccin de un lenguaje algebraico a un lenguaje cotidiano

2. Escriba en frente de cada expresin algebraica el enunciado, como se muestra en el

ejemplo.

La suma de dos nmeros cualquiera dividida entre su diferencia

3. Escriba la expresin algebraica que corresponda.

3.1 El doble de un nmero cualquiera._________________________________________

3.2 El triple de un nmero cualquiera disminuido en 2.____________________________

3.3 El doble de un nmero cualquiera aumentado en 5. ___________________________

3.4 La quinta parte de un nmero aumentado en 8._______________________________

3.5 La diferencia entre un nmero y 8._________________________________________

3.6 La diferencia de dos nmeros cualquiera es 6.________________________________

3.7 La suma de dos nmeros diferentes es 15.___________________________________

3.8 El doble de un nmero dividido en otro._____________________________________

3.9 El producto de 3 nmeros aumentados en 2._________________________________

3.10 La tercera parte de un nmero aumentado en 5 ____________________________

4. Halle la ecuacin y diga cunto dinero tiene cada uno.

5. Halle la ecuacin y diga cuales son las edades.

Anexo 5

Actividad uno: resuelve mental mente.

X + 8 = 18 x - 2= 8 6 + 3 x = 12 12 4 + x = 22

Qu valor tiene x en cada caso?

Esta etapa sera un aprestamiento mental, el cual podra durar algunos minutos, la intencin es

que entiendan que x es un nmero que tengo que encontrar, que es un buen juego de lgica.

Actividad dos: Aplica la teora

Despeja la siguiente ecuacin a travs de la tabla. Una vez desarrollada esta primera parte utiliza

el valor final de la incgnita y remplzalo por uno de los smbolos que lo representa.

Ejemplo

4x - 6 = 6 + x

4 es la letra D

-x+4x - 6 =6

3x-6 =6

3x =6+6

3x =12

x =12/3

x =4

A es 1

B es 2

C es 3

De esta manera

sucesivamente.

D A

Desarrolla:

A) . 9x 8 = 37

B) . 3x-5=2(x+7)

C) . 2x+9=41

D) .6 =25

+ 1

E) . 5x+9=59

F) . 45

9 = 0

G) .3(2x-3)=15

H) .2x-2=x+3

I) .22 + 4 = 54

J) .x(x+2)2=117

K) .x2-50=391

Ecuaciones de segundo grado

Una ecuacin de segundo grado es

toda expresin de la forma:

ax2 + bx +c = 0 con a 0.

Estos casos se resuelven mediante la

siguiente frmula:

Frmula

Ejemplo: x2 + 1x -2=0

a=1 b=1 c=-2

=(1) (1)2 4(1)(2)

2(1)

=(1) 1 + 8

2

=(1) 9

2

=1 3

2

1 =1 + 3

2= 1

2 =1 3

2= 2

Una de las respuestas es 1 el cual representa

en nuestra actividad la letra A

l)x2-5x+6=0

Ya tienes pistas suficientes cual es el

ttulo que tiene el tema de hoy.

Actividad dos

Mira la teoria y repressenta las funciones

Tenemos la siguiente funcin: y = 1.5 x + 3

la pendiente es 3/2, cuando aumentamos x en una unidad y aumenta en 3/2 de unidad, b = 3 entonces la recta corta el eje y en el punto y = 3.

Para graficar podemos hacer una tabla de valores y graficamos cada punto en el plano

cartesiano.

Funciones cuadrticas

Una funcin cuadrtica es una funcin polinmica de segundo grado que se escribe : f(x) =

ax2 + bx + c

a, b y c = nmeros reales diferentes a cero.

Si a>0 el vrtice de la parbola estar en la parte inferior y si o a

Completa la tabla de valores de la funcin lineal y = 5x

Representa las funciones cuadrticas

1y = x + 4x 3

2y = x + 2x + 1

3y = x + x + 1

x y

1

0

-1

-2

ANEXO 6

RESOLUCION DE PROBLEMAS - ECUACIONES DE 1

Ecuaciones de la forma ax + b = c.

Recuerda que para despejar x:

1. Lo que est sumando pasa al otro miembro restando, y viceversa.

2. Lo que est multiplicando pasa al otro miembro dividiendo, y viceversa.

Una ecuacin de primer grado puede tener:

Una nica solucin: ej. x+2 = 5, slo tiene como solucin x=3 ; (3 + 2 = 5)

Infinitas soluciones: (realmente es una identidad), ej. 2x + 4 = 2(x+2)

Ninguna solucin: ej. x + 1 = x + 3

Ecuaciones con parntesis:

Se eliminan los parntesis aplicando la propiedad distributiva.

Se pasan a un miembro los trminos con x y a otro los trminos sin x.

Se simplifican ambos miembros y se despeja la incgnita x.

Ecuaciones con denominadores:

Se eliminan los denominadores reduciendo todos los trminos a comn denominador.

Se eliminan los parntesis.

Se contina igual que antes.

A la hora de resolver problemas mediante una ecuacin de primer grado se deben tener en cuenta los

siguientes pasos:

1.- Entender el problema: debemos leer detenidamente el enunciado del problema, para entender bien tanto lo que

en l se describe como la pregunta que se nos plantea. De qu datos disponemos? Cmo podemos relacionarlos?

Hemos resuelto algn problema similar anteriormente? Qu expresiones y clculos matemticos vamos a necesitar?

2.- Planificar: tenemos que buscar la incgnita adecuada y relacionarla con los datos conocidos. A continuacin,

planteamos la ecuacin, para lo cual hay que expresar en lenguaje algebraico la informacin proporcionada (de la

misma forma que lo has hecho al principio de la unidad).

3.- Realizar los clculos: resolvemos la ecuacin.

4.- Comprobar: comprobamos que la solucin obtenida es correcta y conforme al enunciado y a la situacin del

problema planteado. Revisamos todo el proceso.

Ejemplo:

El peso de una paella es igual a 0,8 kg ms el peso de su mitad.

Determinar mediante el planteamiento y resolucin de una ecuacin el peso de dicha paella.

Resolucin del problema:

Primero:

Determinamos cuntas incgnitas (datos para determinar) tiene el problema. Observamos que es una sola incgnita, el peso de la paella. Por tanto:

x = peso de la paella en kilogramos

Segundo

Traducimos la condicin que nos dan a una ecuacin: x = 0,8 + x/2

Tercero

Ahora basta con resolver la ecuacin: x = 0,8 + x/2 => 2x = 1,6 + x => 2x - x = 1,6 => x = 1,6 Por tanto la solucin es: el peso de la paella es de 1,6 kg

Finalmente

Comprobamos que su cumple el enunciado: 0,8 + 1,6/2 = 0,8 + 0,8 = 1,6 (correcto)

PROBLEMAS DE APLICACIN

Problema 1.Si el lado de un cuadrado aumenta 4 cm el permetro vale 52 cm. cunto mide el lado del primer

cuadrado?

Problema 2.La base de un rectngulo es el doble de su altura. cuales son sus dimensiones si el permetro mide 30

cm? Cunto mide el rea del rectngulo?

Problema 3. El permetro de una finca rectangular es 480 m. Cunto miden el largo y el ancho?, el largo mide 5x y

el ancho x.

Problema 4. Si al triple de un nmero le restas dicho nmero, resulta 30. Cul es ese nmero?

Problema 5. La suma de un nmero natural y el siguiente es 13. Averigua mentalmente cules son estos nmeros.

Despus plantea una ecuacin y resuelve con ella el problema planteado.

Problema 6. La suma de un nmero con su mitad es igual a 45. Cul es ese nmero?

Problema 7. Ana pregunta a Sergio la edad que tiene y Sergio contesta: la mitad de mis aos, ms la tercera parte,

ms la cuarta parte, ms la sexta parte de mis aos suman los aos que tengo ms 6. Cuntos aos tiene Sergio?

Problema 8. El doble de un nmero menos siete es igual a 8. Cul es ese nmero?

Problema 9. Un nmero ms el doble del anterior es igual a 19. Cules son los nmeros?

Problema 10. Calcula la cantidad de colesterol en mg recomendada por persona y da sabiendo que la suma de su

quinta parte y su sexta parte es 40 mg menor que su mitad.

Problema 11. La medida de los tres lados de un tringulo son tres nmeros consecutivos. Si el

Permetro del tringulo es 12 cm, cunto mide cada lado?

ANEXO 7

RESOLUCION DE PROBLEMAS - ECUACIONES DE 2

La ecuacin cuadrtica a una ecuacin polinmica, que tiene como mayor exponente el nmero 2. La ecuacin cuadrtica tiene la forma: 2+ + =0

Ejemplos de ecuacin cuadrtica:

* 82+ 910 =20

* 22 + 8=15

* 32 4=0

* 226+5=0

Es importante tener en cuenta para este ltimo ejemplo que: a=2 (a es el coeficiente de la 2), que b=-6 (b es el coeficiente de la x)

y c=5 (c es el valor constante).

Ecuaciones cuadrticas disfrazadas

Algunas ecuaciones no parece que sean cuadrticas, pero con manipulaciones astutas se pueden transformar en una:

Disfrazadas Qu hacer En forma estndar a, b y c

x2 = 3x -1 Mueve todos los

trminos a la izquierda x2 - 3x + 1 = 0 a=1, b=-3, c=1

2(x2 - 2x) = 5 Desarrolla parntesis 2x2 - 4x - 5 = 0 a=2, b=-4, c=-5

x(x-1) = 3 Desarrolla parntesis x2 - x - 3 = 0 a=1, b=-1, c=-3

5 + 1/x - 1/x2 = 0 Multiplica por x2 5x2 + x - 1 = 0 a=5, b=1, c=-1

Forma de solucionar una ecuacin cuadrtica:

Caso primero: ecuacin cuadrtica de la forma donde pertenecen a los nmeros reales.

La pasa a dividir quedando

, y para eliminar la raz cuadrada y terminar de despejar la x hallo la raz

cuadrada a ambos lado de la igualdad, final mente

.

Caso segundo: ecuacin cuadrtica de la forma donde pertenecen a los nmeros reales. Factorizo la x (factor comn) quedando x(ax + b) = 0, luego la x pasa a dividir con 0 (cero) lo que indica

que se cancela y queda una ecuacin simple de primer grado ax + b =0.

Caso tercero: ecuacin cuadrtica completa de la forma donde a, b, y c son nmeros que pertenecen a los nmeros reales. Para solucionar este tipo de ecuaciones uso la una formula llamada la frmula de la cuadrtica que es:

Y reemplazo cada uno de los valores en la frmula para as hallar los posibles valores de x, que puede

presentarse de las siguientes maneras: un nmero real, dos reales, un imaginario o dos imaginarios.

Podemos encontrarnos numerosas situaciones en las que aparecen ecuaciones con x2 o x elevado a otro exponente,

ecuaciones con x tanto en el numerador como en el denominador de una fraccin, ecuaciones con x dentro de una raz

cuadrada o de otro ndice, ...,Si nos metemos en temas ms profundos, como en economa o en estudios de la

dinmica de poblaciones, podemos encontrarnos con ecuaciones donde aparecen logaritmos, exponenciales, etc.

A la hora de resolver problemas mediante una ecuacin de primer segundo grado se deben tener en

cuenta que:

Los distintos pasos que se indicaron para poder afrontar la resolucin de problemas mediante ecuaciones de primer

grado son tambin vlidos para aquellos que se necesiten resolver pero mediante ecuaciones de segundo grado.

Muchos de estos problemas suelen estar basados en aspectos geomtricos como el rea, ya que, como sabes, las

unidades de medidas son cuadrticas (m2, cm2, etc, es decir obtenidas por el producto de dos dimensiones).

Tambin se debe tener en cuenta que, como generalmente las ecuaciones de segundo grado dan generalmente dos

soluciones, tendrn que comprobar si slo vale como solucin una de ellas o las dos.

Ejemplo 1:

Se quiere realizar un toldo estampado como el de la figura. Su superficie

total es de 12m2 y una de sus partes es de forma cuadrada.

Conteste las siguientes cuestiones:

a) Cunto mide el lado de la parte cuadrada del toldo?

b) Cunto mide cada lado del toldo?

Tendrs que utilizar para resolver este problema tus conocimientos de geometra

y lo que has aprendido sobre las operaciones con polinomios

Resolucin del problema:

Primero:

Los lados del toldo miden x+2 y x+3, por tanto al ser el rea total 12 m2, tenemos que (x+2)(x+3)=12

Segundo:

Realizamos el producto y simplificamos.(x+2)(x+3)=12 => x2+5x+6=12 => x2+5x+6-12 = 0=> x2+5x-6 = 0

Tercero:

Resolvemos la ecuacin x2+5x-6 = 0, y obtenemos como soluciones x=1, x=-6

Cuarto:

Observamos las dos soluciones y determinamos cul de ellas es la vlida. Como vemos de ellas la solucin vlida

es x=1 ya que la otra es negativa y no tiene sentido una longitud para los lados del toldo que sea negativa.

Por tanto el lado del cuadrado del toldo mide 1 m y las dimensiones del toldo sern por tanto 1+2=3 m y 1+3=4 m.

Quinto:

Comprobamos que la solucin es correcta, para ello vemos que efectivamente el rea total del toldo es 34=12 m2

23

Ejemplo 2.

Si la diagonal de un cuadrado mide 23cm encontrar la longitud del lado y el rea del cuadrado.

Representaciones:

lado del cuadrado: x

rea del cuadrado: x2

Diagonal del cuadrado: 23cm

Aplicamos el teorema de Pitgoras y la ecuacin quedara: Ecuacin: x2

+x2 =232

sumamos trminos semejantes.2x2= 529

dividimos entre dos la ecuacin 2 =264,5

sacamos raz a ambos trminos. = 16,26 Por lo tanto la magnitud del lado es

x = 16,26 cm y el rea es x2= 264,5

Estudiante de cafam si desea continuar con su estudio personal en casa, el siguiente es un link donde encontrara

problemas resueltos y por resolver para que recuerde y refuerce sus conocimientos.

http://www.vitutor.com/ecuaciones/1/ecua4_Contenidos.html

PROBLEMAS DE APLICACIN

Los siguientes problemas se plantean mediante una ecuacin de segundo grado, aunque luego al resolverla pueda dar lugar a una ecuacin de primer grado en algn caso.

Problema 1.- Calcular la hipotenusa de un tringulo rectngulo, sabiendo que las medidas de sus lados son tres nmeros consecutivos. Teniendo en cuenta el teorema de Pitgoras, se cumple: (x+2)2 = (x+ 1)2 + x2.

Problema 2.- Un rectngulo la base mide el triple que la altura. Si disminuimos en 1 cm. cada lado, el rea inicial disminuye en 15 cm . Calcular las dimensiones y el rea del rectngulo inicial. (Sugerencia: Realiza un dibujo del problema).

OJO. La solucin de los dos problemas anteriores se encuentran en : http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/4a_eso/Ecuacion_de_segundo_grado/Ecua_seg.htm#probl

Pero no vas a encontrar los procedimientos, verifica tus resultados.

Problema 3. A mi hermana le dijo su amiga que el nmero de su casa era curioso: se haba dado cuenta de que al cuadrado de dicho nmero era igual a nueve ms ocho veces dicho nmero. Ayuda a mi hermana a calcular el nmero

de la casa de su amiga.

Problema 4. La base de un rectngulo es 7m ms larga que la altura. Su rea mide 494m2. Calcular las dimensiones del rectngulo.

Problema 5.En un tringulo rectngulo, el cateto ms pequeo mide 8 cm menos que la hipotenusa y 7 cm menos que el otro cateto. Calcula la longitud de sus tres lados.

Problema 6. El permetro de un terreno rectangular es de 350m. Sabiendo que el largo del terreno es el triple de su ancho, cules son las dimensiones de la parcela?Cul es el rea del terreno?. Redondea a dos cifras decimales.

Problema 7. Si el lado de un cuadrado aumenta 4 cm, el permetro vale 52 cm. Cul es el lado del primer cuadrado?

Problema 8. La altura de un tringulo es 2 cm menor que la base, su rea es de 684 cm2. Cules son las medidas de la base y de la altura de dicho tringulo?

Problema 9. El rea de un piso rectangular es de 209 m2, el piso tiene 8m de largo que de ancho. Cules son las dimensiones del piso?

Problema 10. Calcula la medida del largo y el ancho de un terreno rectangular sabiendo que su rea es de 2244,50

m2 y que su largo es el doble de su ancho.

ANEXO 8

ANEXO 9

TEMA

TEOREMA DE PITGORAS Y TEOREMA DE THALES

PRESENTACIN

Son unas herramientas matemticas que sirven para el desenvolvimiento de problemas cotidianos que influyen ngulos y tringulos rectngulos.

CONTENIDO TEMTICO

Teorema de Pitgoras Establece que en todo tringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa (el

lado de mayor longitud del tringulo rectngulo) es igual a la suma de los

cuadrados de los catetos (los dos lados menores del tringulo, lo que conforman

el ngulo recto). Por tanto como se muestra en las siguientes figuras:

Segn las figuras anteriores el teorema de Pitgoras se puede definir como el

cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos en

un triangulo rectngulo. Se tiene:

Donde las letras respectivas representan:

Ejemplo:

1. Utilizando el teorema de Pitgoras encontrar los lados correspondientes

que hacen falta:

Utilizando la ecuacin respectiva se deba hallar la hipotenusa que se

denota por la letra c, por tanto se realiza el siguiente proceso

reemplazando los valores respectivos se tiene:

Entonces se completa los valores del triangulo rectngulo con sus tres valores

respectivos por tanto a=3, b=4 y c=5.

2. Utilizando el teorema de Pitgoras encontrar los lados correspondientes

que hacen falta:

Ahora en el segundo ejemplo se tiene la hipotenusa y el cateto adyacente y me

estn pidiendo el cateto opuesto, se utiliza el proceso aritmtico adecuado por

tanto se tiene:

Por tanto se demuestra los valores de la parte superior, y se realiza el mismo

proceso para hallar el cateto adyacente.

TEOREMA DE THALES

Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos

determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos

correspondientes en la otra. Como se muestra en la figura

Teorema De Thales En Un Tringulo

Dado un tringulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de

los lados del triangulo, se obtiene otro tringulo AB'C', cuyos

lados son proporcionales a los del tringulo ABC.

Ejemplos:

1. Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.

Utilizando el teorema se encuentra el valor de x, por tanto se tiene:

2. Hallar las medidas de los segmentos a y b.

Utilizando el teorema se encuentra los valores a y de b, por tanto se tiene:

Ahora se encuentra el valor de b de la siguiente manera:

EVALUACIN -Prueba Saber-

Segn la explicacin descrita en contenido temtico responder las siguientes preguntas

1. El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos en un triangulo rectngulo, lo anterior es la definicin de:

a. Teorema de Pitgoras b. Teorema de THALES c. Teorema de newton d. Teorema de Leibniz. 2. Una ciudad se encuentra 18km al oeste y 10 km al norte de

otra. Cul es la distancia real lineal entre las dos ciudades? a. 20,591 km b. 25 km c. 20km d. 21km

3. Segn el siguiente triangulo rectngulo encontrar el lado que

hace falta y escoger la respuesta correcta:

a. 11,18m b. 12m c. 11,90m d. 11,00 m

4. Utilizando el teorema de THALES encontrar el valor de x segn corresponda:

a. 9cm b. 10cm c. 9,6cm d. 9,9cm

5. Utiliza el teorema de THALES para encontrar x.

a. 3,59cm b. 4,00cm c. 3,8 cm d. 3,1 cm

Aplicacin Del Teorema De Pitgoras En La Cotidianidad

En la cotidianidad se aplica este teorema en diversos campos del conocimiento e

incluso para resolver problemas de diario vivir, cuando un problema represente

una figura geomtrica es recomendable y necesario dibujarlo. A esta

representacin grfica se le llama figura de anlisis. Conviene en ella volcar los

datos e incgnitas. A partir de este dibujo resulta ms sencillo elaborar un plan

para organizar la solucin. Por tanto se tiene:

1. La longitud reglamentaria de una mesa de ping-pong es de 2,74m. se sabe

que la diagonal es, aproximadamente, de 3,14m., determinen el ancho

reglamentario de una mesa de ping-pong.

Si observamos el dibujo, vemos dos tringulos rectngulos. Slo nos detendremos en uno de ellos. De all sacamos los datos:

un cateto (b)= 2,74 m

hipotenusa (a)= 3,14 m

otro cateto (c)= ancho de la mesa, que es nuestra incgnita.

Por tanto aplicaremos el teorema de Pitgoras para encontrar el ancho de la mesa:

Por tanto de la ecuacin anterior se despeja el cateto c.

Por tanto el ancho de la mesa de pingpong mostrado en la imagen es de 1,53 m.

https://sites.google.com/site/439matematica/pitagoras-en-la-vida-diaria

Aplicacin Del Teorema De Thales En La Cotidianidad

Has pensado alguna vez como es posible medir ciertas alturas, a las cuales no

podemos llegar con una escalera u otro instrumento. Thales fue un gran filsofo y

matemtico griego. Cuenta la leyenda que en su recorrido por el mediterrneo se

encontr con un faran de Egipto que lo invit a pasar una temporada en su

palacio. Juntos pasaban largos das hablando de Matemtica y Astronoma. Una

maana, haciendo una recorrida por el lugar, pasaron por la pirmide de Keops.

En grupos de dos o tres personas responder la siguiente pregunta:

Qu hizo Thales de Mileto para averiguar la altura de esta gran pirmide?

1. Las rectas a, b y c son paralelas hallar la longitud de x.