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GUÍA ASTRONÓMICA: 3. ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA Por Juan Carlos Vallejo Velásquez Dirección: Prof. Gonzalo Duque-Escobar Trabajo de la Maestría en la Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales Manizales, Enero de 2014 UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES
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GUÍA ASTRONÓMICA: 3. ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
Por Juan Carlos Vallejo Velásquez Dirección: Prof. Gonzalo Duque-Escobar
Trabajo de la Maestría en la Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Manizales, Enero de 2014
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES
PUNTOS NOTABLES PARA LAS ÓRBITAS PLANETARIAS
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Si tomamos como referencia La Tierra y El Sol y observamos el movimiento de dos planetas, uno interior y otro exterior, podemos destacar Los Puntos Notables de sus órbitas planetarias que son: Conjunción, Oposición, Cuadratura y Elongación.
GUÍA ASTRONÓMICA: 3. ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
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PUNTOS NOTABLES PARA LAS ÓRBITAS PLANETARIAS
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
Conjunción: dos astros están en conjunción, cuando observados desde un tercero se hallan en la misma longitud terrestre. La Luna por ejemplo está en conjunción cuando pasa entre la Tierra y el Sol (Luna Nueva). En un planeta interior (Mercurio), este se halla en Conjunción Inferior, cuando pasa entre el Sol y La Tierra, entonces el planeta está a la mínima distancia de la Tierra y presenta su mayor diámetro y su cara no iluminada. La Conjunción es Superior cuando es el Sol el que se halla situado entre ellos. Los planetas exteriores, sólo pueden encontrarse por su posición con relación al Sol y al astro de referencia en Conjunción Superior.
PUNTOS NOTABLES PARA LAS ÓRBITAS PLANETARIAS
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
Oposición: Es cuando la Tierra pasa entre El Sol y un planeta exterior (para nuestra gráfica - Marte). En general, es la posición ocupada por dos astros que con relación a la Tierra, se encuentran en dos partes del cielo diametralmente opuestas. Sólo los planetas exteriores y La Luna pueden encontrarse en oposición al Sol. Cuando ocurre, el planeta pasa por el meridiano del lugar a media noche, siendo visible durante toda la noche y ocupa su posición más cercana a la Tierra, por lo que su diámetro es el mayor posible y las condiciones de observación telescópica son idóneas. Esto se da, cuando la Oposición tiene lugar cerca del Perihelio del planeta. Las oposiciones lunares ocurren en Luna Llena. Si La Luna está cerca de los nodos de su órbita, ocurrirá un eclipse de Luna. Las oposiciones se repiten cada período sinódico del planeta. Desde la antigüedad se precisó este dato para Marte en 780 días, Júpiter 399 días y Saturno 378 días.
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PUNTOS NOTABLES PARA LAS ÓRBITAS PLANETARIAS
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
Cuadratura: Aspecto de un planeta superior = exterior, tal que el planeta forma con el Sol un ángulo de 90° visto desde La Tierra. Hay 2 cuadraturas, una E y otra W; durante las cuadraturas el planeta muestra una fase mínima. Para la Luna esto se da en las fases de cuarto creciente y cuarto menguante.
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PUNTOS NOTABLES PARA LAS ÓRBITAS PLANETARIAS
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
Elongación: Es la mayor distancia angular que puede tomar un planeta, hacia el Este o El Oeste entre el Sol y un planeta, visto desde la Tierra. Para un planeta interior la elongación adquiere un valor máximo, cuando según la figura, SenEmax = r, donde r es la distancia del planeta interior al Sol en U.A. Para un planeta exterior, la elongación no tiene un valor limitado, vale 0° en la Conjunción, 90° en la Cuadratura y 180° en la Oposición. Esto también se aplica para La Luna y La Tierra.
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ESTRELLAS Y PLANETAS
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
Las estrellas cintilan en el firmamento y los planetas no, ello se debe a la distancia en que se encuentran. Las estrellas más lejanas emiten un rayo de luz que se distorsiona en la atmósfera, los planetas por estar más cercanos, reflejan más luz y ella llega al ojo del observador de manera simultánea y por eso no alcanza a percibirse la distorsión.
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ESTRELLAS Y PLANETAS
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
Los planetas entre sí, se diferencian por su posición con relación al Sol, los interiores no pueden ser vistos a media noche porque no tienen Oposición; según el ángulo de su Elongación serán visibles minutos u horas después del atardecer o antes de la madrugada. Marte se ve de color rojo, Saturno, anaranjado, Venus y Júpiter, blancos. Venus y Mercurio muestran fases y tránsitos por delante y atrás del Sol; además para Venus se pueden apreciar ocultaciones por parte de la Luna.
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ESTRELLAS Y PLANETAS
Venus es el único planeta que tiene movimiento retrógrado y tiene la órbita menos excéntrica de todos los planetas, 0.00677323, el día dura 243 días terrestres. Los planetas exteriores próximos (Marte, Júpiter y Saturno) son visibles y hacen bucles, ya que vistos desde la Tierra su movimiento orbital es más lento.
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
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LONGITUDES GEOCÉNTRICA Y HELIOCÉNTRICA
Son valores angulares para un planeta, tomando como referencia el centro de La Tierra o del Sol. Con estos datos pueden calcularse las “posiciones de interés” y por lo tanto, las Efemérides. La Latitud Heliocéntrica de un astro, es el ángulo que forma el radio vector, partiendo desde el centro del Sol, al centro del astro, con su proyección sobre el plano de la Eclíptica y La Longitud Heliocéntrica, es el ángulo que forma esta proyección con la línea del Equinoccio de Primavera.
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
Guía Astronómica. Gonzalo Duque
LEYES DE KEPLER
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
Basado en las observaciones de Tycho Brahe, sobre todos las relacionadas con el movimiento retrógrado aparente de Marte, que era el planeta más difícil de conciliar con los cálculos y las observaciones; Johannes Kepler, descubre y formula matemáticamente las Leyes del Movimiento Planetario Heliocéntrico, que permiten mejorar las predicciones astronómicas y dimensionar el tamaño del sistema solar. Esto trae cambios en la concepción que se tenía de movimientos circulares eternos y perfectos, heredados del Geocentrismo de Ptolomeo. La elipse es la figura imperfecta, que mejor describe el movimiento aparente de los astros en el firmamento.
teoriasdelsistemaplanetario.blogspot.com
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PRIMERA LEY DE KEPLER
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
Primera Ley de Kepler o Ley de las órbitas elípticas.
Las órbitas de los planetas son elipses que presentan una pequeña excentricidad y donde el Sol se localiza en uno de sus focos. Con base en ello se van a definir elementos para las órbitas planetarias como su excentricidad, El semieje mayor (distancia del planeta al Sol), El Afelio y el Perihelio. Para la mayoría de los planetas del sistema solar la excentricidad es muy pequeña, siendo para La Tierra 0,017 y para Venus los focos casi se confunden: 0,007.
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PRIMERA LEY DE KEPLER. ELEMENTOS DE LA ELIPSE
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
La excentricidad (Ɛ), se define
como la distancia entre los focos,
dividida por el Eje mayor de la
elipse (en el gráfico es la letra a),
establece que tan alargada es la
elipse; su valor está entre 0 y 1, de
tal manera que 0 ≤ Ɛ ≤ 1, (0 si es
un círculo, 1 una línea recta) en el
gráfico es equivalente al segmento
c. Una excentricidad de 0, nos
genera una figura igual a un
círculo, ya que los Focos se
confunden con el punto de origen. Construcción en geogebra
PRIMERA LEY DE KEPLER. PERIHELIO Y AFELIO
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
blogs.elcorreo.com
PRIMERA LEY DE KEPLER. EXCENTRICIDAD TERRESTRE
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
Construcción en geogebra
SEGUNDA LEY DE KEPLER
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
Segunda Ley de Kepler o Ley de las áreas.
La línea que une al Sol con un planeta (el radio
vector), barre áreas iguales en tiempos iguales.
Kepler con la formulación de esta ley, rompe con
otro de los paradigmas de la antigüedad, el cual
sólo aceptaba para los cuerpos celestes un
movimiento perfecto, es decir uniforme, sin
cambios.
Un planeta al moverse a lo largo de la elipse en
su órbita alrededor del Sol, cuando se encuentra
próximo a él, traza en un periodo de tiempo dado
un arco grande, por su proximidad al Foco del
Sol. Al contrario, cuando el planeta se encuentra
alejado del Sol, para el mismo periodo de tiempo
cubre un arco mucho más pequeño, por
encontrarse el Sol más distante. Pues bien,
Kepler descubrió que tanto el área del arco lejano
(cuando está lejos del Sol), como la que barre
cuando está más próximo, eran exactamente
iguales, independientemente de lo excéntrica que
fuera la órbita.
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SEGUNDA LEY DE KEPLER
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
Para que esto sea posible, la velocidad del planeta
no puede ser uniforme, ésta será mayor conforme se
acerque al Sol, siendo máxima en el Perihelio; y
menor conforme se aleje del Sol, siendo mínima en
el Afelio, es decir, la velocidad de un planeta es
inversamente proporcional a su distancia al Sol. Con
esta deducciones Kepler, intuye sin formularlo
matemáticamente, pero nombrándolo como “anima
motrix”, la Ley de Gravitación, ya que es el Sol el que
como fuente central, hace que los planetas varíen
sus movimientos de acuerdo con su cercanía. La ley
de las áreas es equivalente a la constancia del
momento angular. En el Afelio y en el Perihelio, el
momento angular L es igual al producto de la masa
del planeta, por su velocidad y su distancia al centro
del Sol. L= m.r1 . v1 = m.r2 . v2 . Es decir, el vector
posición r de cada planeta, barre áreas iguales en
tiempos iguales; el momento angular es constante, lo
que lleva a las siguientes conclusiones: 1. Las órbitas
son planas y estables. 2. Se recorren siempre en el
mismo sentido y 3. La fuerza que mueve a los
planetas es central.
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TERCERA LEY DE KEPLER
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
Tercera Ley de Kepler o Ley de
los armónicos.
Los cuadrados de los períodos
orbitales sidéreos de los planetas,
son proporcionales a los cubos de
sus distancias medias al Sol. (El
período sidéreo se mide desde el
planeta y respecto de las
estrellas; está referido al tiempo
transcurrido entre dos pasajes
sucesivos del Sol por el meridiano
de una estrella. En otras
palabras, mientras más lejano un
planeta, más tarda en completar
su órbita al Sol. Donde T1 y T2 ,
son los períodos orbitales y d1 y
d2, las distancias a las cuales
orbitan del cuerpo central.
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TERCERA LEY DE KEPLER
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
Planeta
Eje
Semimayor
(UA)
Período
Orbital
(año)
Velocidad
Orbital
(km/segun
do)
Exentricida
d Orbital
(e)
Inclinación
de órbita
a Eclíptica
(°)
Período de
rotación
(días )
Inclinación
del
ecuador
y órbita
(°)
Mercurio 0.3871 0.2408 47.9 0.206 7.00 58.65 0
Venus 0.7233 0.6152 35.0 0.007 3.39 -243* 177.3
La Tierra 1.000 1 29.8 0.017 0.00 0.997 23.4
Marte 1.5273 1.8809 24.1 0.093 1.85 1.026 25.2
Júpiter 5.2028 11.862 13.1 0.048 1.31 0.410 3.1
Saturno 9.5388 29.458 9.6 0.056 2.49 0.426 26.7
Urano 19.1914 84.01 6.8 0.046 0.77 -0.75* 97.9
Neptuno 30.0611 164.79 5.4 0.010 1.77 0.718 29.6
Planetas enanos
Ceres 2.76596 4.599 17.882 0.07976 10.587 0.378 ~3
Plutón 39.5294 248.54 4.7 0.248 17.15 -6.4* 122.5
Haumea 43.335 285.4 4.484 0.18874 28.19 0.163 ?
Makemake 45.791 309.88 4.419 0.159 28.96 ? ?
Eris 67.6681 557 3.436 0.44177 44.187 > 8 hrs ? ?
http://www.windows2universe.org/our_solar_system/planets_orbits_table.html&lang=sp
ELEMENTOS DE LAS ORBITAS PLANETARIAS
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
Sirven para determinar la
órbita de un planeta, un
satélite u otros cuerpos del
sistema. Supongamos que
el plano de una órbita se
describe con relación al
plano de la Eclíptica, para
ello debemos conocer: la
inclinación de ambos
planos, la línea de
intersección entre ellos, la
geometría de la órbita
elíptica y la posición de
esa elipse entre otras
variables.
Guía Astronómica. Gonzalo Duque
ECLIPSES DE SOL Y DE LUNA
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
Los eclipses de Sol suceden en Luna Nueva y los
de Luna, en fase de Plenilunio y cuando está
ubicada en el plano de la órbita terrestre o en las
cercanías del nodo ascendente o descendente. En
el primer caso, La Luna oculta en mayor o menor
medida al Sol; en el segundo, La Luna desaparece
total o parcialmente en la sombra de la Tierra. Los
eclipses de Luna se presentan con una separación
de medio año. Si los nodos de la órbita lunar están
en las proximidades del Equinoccio de Primavera
y Otoño sobre la Eclíptica, habrá eclipses de Sol
en la Luna Llena (21 de marzo y 23 de
septiembre); y habrán eclipses de Luna en la
Fase Llena en este mismo intervalo. En general
hay anualmente entre 2 y 3 eclipses de Sol y de 1
a 5 de Luna.
Como la línea de los nodos es retrógrada (sentido
de las manecillas del reloj), los eclipses se van
adelantando de año en año, repitiéndose
exactamente igual al cabo de 18 años (Ciclo de
Saros), que equivale a 233 meses sinódicos,
entendidos como el período que transcurre entre
dos mismas fases consecutivas de La Luna =
29,53 días.
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ECLIPSES DE SOL
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
Eclipses Parciales: la Luna Nueva, sólo oculta
una parte del disco del Sol. Quien lo aprecia,
estará ubicado en la penumbra de La Luna
Eclipses Totales: el pleno disco solar queda
oculto, quienes lo aprecien, deben encontrarse en
la Umbra de la sombra que proyecta La Luna;
dado que esta sólo tiene un diámetro máximo de
200 km. los eclipses totales sólo son visibles
desde una región muy limitada. Por el efecto
combinado de los movimientos de la Luna
alrededor de La Tierra y de la rotación de esta
última; la sombra de la Luna se mueve con una
velocidad de 28 km/minuto, barriendo la superficie
terrestre sobre el ecuador en una banda de
totalidad de W a E, sobre la cual los observadores
aprecian sucesivamente el eclipse total de Sol,
que tiene una duración máxima de 8 minutos.
Curiosamente nuestra posición en el sistema
solar, hace que los eclipses sean el resultado de
algo aparente, el diámetro del Sol es 400 veces
más grande que el diámetro de La Luna y como La
Luna está 400 veces más cerca, vistos desde la
Tierra, El Sol y La Luna tienen el mismo tamaño.
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ECLIPSES DE SOL
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
Eclipse Anular: se aprecia un anillo del disco
solar. Esta ocultación se produce cuando la
Luna está cerca de su Apogeo (la mayor
distancia de La Tierra), por ello su diámetro
angular es tan pequeño.
Eclipse Híbrido: se presenta con relación al
observador y su ubicación en La Tierra, en
unos momentos es Anular y en otros Total. El
más reciente se presentó en 2013, sucede 10
veces cada siglo y sólo es apreciable en la
zona ecuatorial de África.
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ECLIPSES DE LUNA
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
Eclipse Lunar: Su visibilidad geográfica es
mucho mayor, literalmente desde todo el lado
nocturno de la Tierra, que tiene la Luna Llena
sobre el horizonte; la zona de visibilidad es
mayor al 50% de la superficie terrestre, debido
a que pueden tener una duración máxima de
3,5 horas.
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LA LEY DE GRAVITACIÓN
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
La ley de la gravitación formulada por Isaac Newton, plantea que todas las masas se atraen con una
fuerza F que es proporcional al producto de las masas m1 y m2 e inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia r que los separa, así: F = G m1 m2 / r2, donde G es la constante de gravitación universal, con un valor
de: 6,67392×10 -11 m3/s2kg .
Si queremos calcular la gravedad en la superficie de la Luna y compararla con la de la Tierra, extrapolemos la
Tierra o la Luna de forma esférica y omitamos los efectos de su rotación. La fuerza de la gravedad en la
superficie de la Tierra, es g t , cuyo valor está dado por: g t = G mt/rt2. Se ha denominado mt y rt a la masa y
radio de la Tierra.
El valor de la aceleración gl en la superficie de la Luna, si su masa y radio son ml y rl, esta dado por una
expresión análoga: gl = G ml/rl 2 .
Si dividimos entre sí ambas ecuaciones, se obtiene la relación de las fuerzas de gravedad, al reemplazar
numéricamente masas y radios, encontramos que es seis veces mayor en la Tierra.
De la ley gravitatoria podemos deducir la tercera Ley de Kepler. Para un planeta de masa m tenemos:
Donde M es la masa del Sol y a la distancia Sol-Planeta
Un planeta se encuentra en una órbita estable cuando no cae hacia el Sol, como resultado de la fuerza de
gravedad, ni sale despedido de su órbita por efecto de la fuerza centrífuga. La fuerza de gravedad del Sol y la
fuerza centrífuga se equilibran mutuamente.
La fuerza centrífuga C depende de la masa m del planeta, de su velocidad orbital v y del radio de curvatura r
de la órbita, es decir, de la distancia planeta- Sol. C= mv2/r
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ROTACIÓN DE DOS CUERPOS ALREDEDOR DE UN CENTRO DE MASA
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
Guía Astronómica. Gonzalo Duque
La figura muestra un sistema doble de soles orbitándose entre
sí. Las dos órbitas están en el mismo plano y los focos de las
órbitas deben alinearse de tal manera que ambas tengan un
mismo foco en el centro de masa.
Sea a el centro de masa del sistema.
Al tratarse de elipses, siendo A1 y A2 los semiejes mayores,
la distancia entre los dos cuerpos d1 + d2 , será el producto
entre uno de los semiejes y la razón de las masas X/Y o Y/X
según se trate de A1 o A2. En esta dinámica geométrica, el
período de los planetas es el mismo al igual que la
excentricidad de las elipses.
Si la masa de un cuerpo X es poco significativa, comparada
con la de su acompañante Y, como el caso de los sistemas
Luna-Tierra o Tierra-Sol, el centro de masa coincide con la
masa Y, y la totalidad de la distancia (d1 + d2) se asemeja a
d1. En este caso el segundo cuerpo de mayor masa se
considera en reposo, para que el primero describa una órbita
elíptica, cuyo semieje será igual a la suma de los semiejes
A1+ A2 con el segundo en uno de sus focos.
Para el caso de dos cuerpos con masas parecidas, la órbita
también es una elipse cuyo semieje mayor es igual a la suma
de los semiejes A1 + A2.
VELOCIDAD ORBITAL
ELEMENTOS DE MECÁNICA PLANETARIA
• DUQUE ESCOBAR, Gonzalo. Guía Astronómica. Guía 3. Elementos de Mecánica Planetaria. Universidad Nacional de Colombia. Manizales, 1992.
• Enlace donde el autor hace la demostración de la primera ley de Kepler a partir de la construcción en geogebra de una elipse. http://youtu.be/SC7UCJwwj4s
BIBLIOGRAFÍA
