Guia Calculo 09 2010-1

UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIADepartamento de Matematica

MATEMATICAS IIMAT- 022

Ejercicios

0.1. Aplicaciones de las integrales definidas

Calculo de volumenes por secciones transversales y por rotacion alrededor de un eje Calculo devolumenes por medio de casquillos cilndricos Longitudes de curvas planas. Momentos y centro de masaAreas de superficies de revolucion y el teorema de Pappus Trabajo. Presiones y fuerzas en fluidos

1. Sea R la region en el semiplano {(x, y) R2 | x 0}, limitada por las curvas y = ex, y = cosx y larecta x = 2pi.

a) Calcular el area de la region R.

b) Escriba la integral que determina el volumen del solido generado po R al rotar en torno:

i) al eje y.ii) a la recta y = 1.

2. La superficie encerrada por x = y2; x = 8 y2, gira en torno de x = 1. Encuentre el volumen delsolido as formado.

3. Calcular la longitud de la curva:

x = a cos t+ at sin ty = a sin t at cos t ; 0 t pi/2; a > 0

4. Comprobar que un arco de la curva y = sinx, x [0, 2pi] tiene la misma longitud que la elipse:

x2 +12y2 = 1

5. Calcule la longitud del arco de la curva:

y = x1

t2 1dt,

entre los puntos para los cuales x = 1, x = 2.

6. Considere las curvas:y = sinx ; 0 x pi

x2 + y2

b2 = 1 ; y 0

1


a) Detremine b R+ tal que las longitudes de ambas curvas sean las mismas.Indicacion: Las integrales son del tipo Integrales elpticas y no son calculables va antiderivadas.

b) Compare las areas de las superficies de revolucion generadas por las curvas anteriores(Cuandoambas tienen igual longitud) al girar en torno al eje X.

7. Determine la longitud del arco de la curva:

x(t) = ln1 + t2

y(t) = arctan(t)

Desde t = 0 a t = 1.

8. La base de cierto solido es una region del plano xy acotada por las graficas de y = x2; y = x3. Determineel volumen de este solido si cada seccion transversal perpendicular al eje x es un cuadrado cuya baseesta en el plano xy.

9. Sea R la region encerrada por la grafica de la funcion f() = sin comprendida entre = pi, = pi ey = 0. Exprese las integrales que permiten cancular el volumen del solido S de revolucion generado alrotar la region R en torno a la recta = 0.

10. Sea R la region bajo la curva y = 1x(1+x)

, con x [1.+[.

a) Obtenga una integral impropia para el area de R mediante la utilizacion de secciones transversalesverticales.

b) Calcule la integral en a).

c) Sea S el solido de revolucion por la rotacion de R en torno al eje x. Plantee una integral (impropia)para calcular el volumen de S

d) calcule la integral en c).

11. determine le volumen que se genera al rotar el area encerrada por las graficas de x = y2 y x = 2 y2en torno al eje x = a; a 0

12. La region del plano encerrada por la elpise x2 + y2

9 = 1 se rota en torno al eje Y . Encuentre medianteintegracion el volumen generado.

13. determine el volumen generado al rotar la region encerrada por

y = x2 , y = x+ 6

en torno al eje x = 3.

14. Hallar el volumen de la interseccion de dos cilindros de igual radio cuando sus ejes se intersectan enangulo recto.

15. Encuentre el volumen del solido obtenido al girar alrededor del eje y la region limitada por las siguientescurvas:

y2 = x ; x = 2y

16. Encuentre el volumen del solido de revolucion que se obtiene al rotar la region encerrada por y2 = x ey = x3 en torno a la recta x = 1.

17. Hallar el volumen del solido generado cuando la region encerrada por y = x2 e y = x+2, gira elrededorde la recta x = 1

18. Calcule el volumen V del solido generado al rotar el triangulo acotado por: x = 0, y = 0 e 2x+ y = 2alrededor de la recta x = 1

2


19. La region limitada por las graficas de

y = (x 1)2 ; y = 1 + x

se hace girar alrededor del eje x = 2. Hallar el volumen resultante.20. Encuentre el volumen del solido generado al girar en torno a la recta x = 1 la region encerrada por

x = 0, x = 2pi y la curva y = 1 + sinx.

21. Determine el volumen del solido de revolucion generado al rotar la curva y = ex sinx , x [0, 2pi[ entorno al eje y.

22. Considere la region acotada por las curvas y = cosx; y = 1; x = pi2 . Determine el volumen del solido derevolucion que se obtiene rotando la region acotada alrededro del eje x.

23. Encontar el volumen del solido generado al rotar alrededor de la recta x = 4 la region acotada porlas dos parabolas x = y y2 e x = y2 3.

24. Considere la parabola y2 = x+ 2 y la recta y = x 4.a) Calcule el area de la region acotada por la parabola y la recta.

b) Dibuje la region R encerrada por y =x+ 2, la recta y = x 4 y la recta y = 2.

c) La region R anteriormente dibujada, gira alrededor del eje x. Calcule el volumen del solido derevolucioon que se genera.

25. Plantear integrales que permiutan calcular el volumen generado al rotar la region del plano encerradapor: y = x2, y = x3, en torno a:

a) el eje Y .

b) la recta x = 1

(no resuelva las integrales)

26. Encuentre el volumen del solido de revolucion que se genera de la rotacion alrededor del eje y de laregion plana acotada por la grafica de las ecuaciones:

y = x; y = 0; y =1 x

27. La region acotada por las graficas de y = sinx e y = 1/2 entre x = pi/4 y x = 3pi/4 gira alrededor de

la recta x = pi. Calcule el volumen del solido resultante.

28. Determine el volumen del solido generado al girar la region encerrada por x = 12(y2y3); x = 0; y = 0en torno a la recta y = 1.

29. La region infinita acotada por los ejes coordenados y la curva y = lnx, en el primer cuadrante, girasobre el eje x para generar un solido. Halle el volumen del solido.

30. Determine el area bajo la curva y = lnxx2 desde x = 1 hasta x +31. Encuentre el volumen del solido de revolucion que se genera de la rotacion alrededor del eje y de la

region plana acotada por la grafica de las ecuaciones:

y = x; y = 0; y =1 x

32. Halle el volumen de un solido cuya base sea un disco de radio 5 y cada seccion transversal perpendicularal eje x sea un cuadrado.

3


33. Sea R la region encerrada por

y =1

(1 + x2)2, x2 = 1 y la recta y = 0.

Halle el volumen del solido producido por la rotacion R en torno al eje y.

34. Encontrar el volumen del solido de revolucion, generado por la region encerrada por y = x2 e y = 4, alrotar elrededor de la recta y = 1.

35. Dadas las semi-circunferencias

c1 : x2 + y2 = 9, c2 : (x 2)2 + y2 = 1, y 0

Encuentre el volumen del solido generado por la rotacion del area interior a c1 y exterior a c2, alrededordel eje x.

36. Calcule el volumen del solido que se obtieneal rotar la region plana encerrada por:

y = 1 + sinx, y = 0, x = 0, x = 2pi

en torno a la recta :x = 1.37. a) Calcule el centroide de la region acotada por y = sinx, x [0, pi], y el eje x.

b) Determine el volumen del solido generado al rotar la region anterior en torno de y = x.38. Considere la region limitada por las curvas:

x2

9+y2

4= 1, x =

932y2, y 0

Exprese las integrales que determinan:

a) El permetro de la region encerrada.

b) Volumen que se obtiene al rotar la region en torno a y = 1c) Volumen que se obtiene al rotar la region en torno al eje y.

d) Area superficial del solido obtenido en c).

39. Establezca sin evaluar, la integral que da el area de la superficie de revolucion, generada al girar el arcode y = x3/2, x [1, 4], en torno a la recta x = 2.

40. la superficie encerrada por x = y2; x = 8 y2, gira en torno de x = 1. Encuentre el volumen delsolido as formado.

41. calcular la superficie total del solido generado por la rotacion, en torno al eje x, de la region limitadapor las curvas:

y2 = 4x e y2 = 3 + x

42. Calcular el area de la superficie de revolucion, generada por los arcos de la parabola

x = y2 + 2y, 3 x 35

al rotar alrededor de la recta y = 10.

43. Exprese mediante integrales el area de la superficie de revolucion generada al rotar la parabola y =x2 5x+ 6, en torno al eje X para x entre 2 y 3.

44. Establezca sin evaluar, la integral que da el area de la superficie de revolucion, generada al girar el arcode y = x3/2, x [1, 4], en torno a la recta x = 4.

4


45. Sea R la region del plano encerrada por y = x2 y y = x3.

a) Calcular el volumen del solido de revolucion obtenido al girar R en torno a:

i) eje OYii) x = 1

b) Exprese mediante integrales el permetro de la region R.

46. La region R esta limitada por y = x2 e y =x. Entonces:

a) Calcule el area de la region R.

b) Pruebe qu la distancia del centroide de R a la recta y = x 3 es 322.

c) Calcule por Pappus el volumen obtenido al rotar R en torno a la recta y = x 3.47. Una lamina delgada tiene la forma de un cuadrado de lado 2a, de una de sus esquinas se ha cortado un

cuadrante de crculo de radio a. Hallar el centroide de la region resultante.

48. Determine el area de la region Rn acotada por la grafica de las ecuaciones

y = x; y = xn; x 0

para todo valor de n N.a) Calcular el centro geometrico Cn = (xn, yn) de la region Rn.

b) Calcular (si existe)lm

n+xn ; lmn+ yn

49. Encontrar el centroide del anillo:1 x2 + y2 2, x, y 0

50. Sea una constante mayor o igual a uno. Sea R la region bajo y = x, sobre el eje x, entre las rectasx = 0 y x = 1. Calcule el centroide (x, y) de R. Halle:

lmn+x ; lmn+ y

51. Encontrar el centroide de la region acotada por las curvas y = x2 y la recta y = 2x+ 3.

52. Calcule el centroide C = (x, y) del area encerrada por y = 4x x2.53. Determine el centro geometrico de la region plana limitada por las rectas

x = 1/2, x = 1, y = x, y el arco x2 + y2 = 1

54. Determine le centroide de la region limitada por la curva

y = 1 x2, y la recta y = 0

55. Encuentre el centroide de la region

R = {(x, y)/0 x 5/2; x/2 y 3x x2}

56. Determine el volumen de un solido cuya base es un cuadriletero con vertices (3, 0), (0, 3), (3, 0), y(0,3) y cuyas secciones transversales perpendiculared al eje x son semi-crculos.

57. a) Calcule el centroide de la region acotada por y = sinx, x [0, 2pi], y el eje x.b) Determine el volumen del solido generado al rotar la region anterior en torno de y = x.

5


58. Si el centroide de la region plana acotada por la parabola y2 = 4x y la recta x = b, (b > 0), es el puntoC = (1, 0), calcular b.

59. Calcular el centroide de la region plana limitada por las curvas:

y = x2 4 e y = 2x x2

60. Determinar el centroide de la region limitada por las parabolas de ecuaciones:

y = x2 4 e y = 2x x2

61. Una curva de ecuacion y = f(x) pasa por el origen. Por un punto arbitrario de la curva se trazan rectasparalelas a los ejes coordenados del plano cartesiano, formandose de este modo un rectangulo con losejes coordenados.Si la curva divide a dicho rectyangulo en dos regiones cuyas areas estan en la razon 1 : a con a > 0.Hallar la(s) curva(s).

62. Encuentre la longitud de la curva

y =13(x2 + 2)3/2

desde x = 0 hasta x = 3.

63. Considere la prabola y = x2 2 y la recta y = x+ 4a) Calcule el area encerrada por ambas curvas.

b) Si la region anterior gira en torno al eje x = 10 que volumen engendra?.64. Dada la region del plano limitada por los graficos (y solo por ellos) de:

i) y x2ii) y 1/xiii) x 3iv) y 0Se pide escribir la(s) integral(es) con su(s) respectivos lmites de integracion que permitan calcular (nose pide resolver la(s) integral(es)):

a) el area de la region.

b) el permetro del area dada en a).

c) el volumen que se genera al rotar la region dada en a) en torno a la recta y = 2.

d) el volumen que se genera al rotar la region dada en a) en torno a la recta x = 2.e) la superficie total (interna, externa y lateral) del volumen obtenido en c).

65. Calcule el volumen obtenido por la rotacion de la region encerrada por y = ex, y = ex y el eje OX,en torno a OX.

66. Calcular el volumen generado al rotar, en torno al eje y, el area limitada por las curvas:

y = 3; x = 3; x = 9; y =23

x2 9 + 3

67. Calcular el volumen generado por la region limitada por la parabola: y = x2 3x 6 y la rectay = 3 x, an rotar alrededor de la recta x = 3.

6


68. Sea R la region plana acotada por las cirvas

y2 = 4x; x =53

Determinar:

a) El centroide de R.

b) El volumen generado al rotar R en torno a la recta x = 2.69. Calcular el volumen encerrado por;

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1

a, b, c > 0, distintos entre s.

70. Considere la region limitada pory = x (x 2)2 e y = x

Encuentre:

a) Area de la region.

b) Exprese mediante integrales el permetro de la region.

c) Exprese mediante integrales el volumen generado al rotar la figura en torno al eje y = 1.71. Sea R la region encerrada por las tres curvas siguientes:

y = x2, y =x, y = x+ 6

Exprese las integrales que permiten calcular:

a) El area de la region R.

b) El volumen del solido de revolucion que se genera al rotar la region R en torno al eje x.

72. Hallar el volumen del solido generado al girar la region entre la parabola x = y2 + 1 y la recta x = k,alrededor de la recta x = k; sabiendo que k 1 0. Grafique V(k), es decir, el volumen obtenido enfuncion de k.

73. Si la densidad de un alambre en [1, 4] es:

(x) =

{ex

2; 1 x 3

e(2x5)2

; 3 x 4

Cual de los dos tramos del alambre [1, 3] o [3, 4] es el que tiene mayor masa?

74. Sea C la curva del plano definido por

x(t) = t1

sinuu

du y(t) = t1

cosuu

du

Sea A = (x(1), y(1)), B = (x(2), y(2)). Calcular la longitud de la curva C desde A hasta B

75. Un punto se mueve sobre una trayectoria dada por

x(t) = 2 cos ty(t) = 1 cos 2t t 0

Calcule la longitud de la trayectoria

7


76. Se va a construir una carretera del punto (2, 1) al punto (5, 3) siguiendo la trayectoria de la parabola

y = 1 + 2x 1Calcule la longitud de la carretera (las unidades en el eje de coordenadas son millas)

77. Determine la longitud de un arco de la cicloide

x(t) = a(t sin t) 0 t < 2piy(t) = a(1 cos t) a 0

78. Se consideran las curvas C1 y C2 dadas en la forma parametrica mediante

C1 ={

x(t) = ty(t) = 12 t

2 C2 ={

x(t) = 12 t2

y(t) = t

a) Los segmentos de las curvas C1 y C2 comprendidos entre t = 0 y t = 2 se hace girar alrededordel eje x, generando dos superficies de revolucion S1 y S2 respectivamente. Determine, cual de lastres siguientes afirmaciones es verdadera:

Area(S1) > Area(S2) Area(S1) < Area(S2) Area(S1) = Area(S2)

b) Justifique claramente su respuesta dada en el item anterior.

79. Hallar el area de la superficie engendrada por un arco de la cicloide

x = 3(t sin t)y = 3(1 cos t)

Al girar alrededor del eje OX

80. Calcular la longitud del arco de curva

x(t) = t1

cos zz

dz y(t) = t1

sin zz

dz

entre el origen y el punto mas cercano donde tenga una tangente vertical.

81. Encuentre el area A de la region que esta dentro de = 1 + sin y fuera de = 1 cos y encima dela lnea = 0

82. Determine el area de la region que es interior a la circunferencia = 3 cos y la cardioide = 1+ cos

83. Encuentre el area interior a la lemniscata 2 = 2 cos y exterior a = 1

84. Encuentre la longitud de la grafica de r = a sin3( 3 )

85. Calcular el area de la region interior a ambas curvas:

r = 2a cos(4)

r = a2 a > 0

86. Encuentre el area de la superficie de revolucion generada al girar la parte superior de la grafica r =1 + cos alrededor del eje polar

87. Considere la hiperbola de ecuaciones parametricas:

C :{

x(t) = coshty(t) = sinht t R

Compruebelo, por integracion, que el area encerrada por C, el semieje positivo OX y la recta por elorigen O y el punto P = (coshT, sinhT ), T R, es igual a T/2

8


88. Calcule la longitud de la cardioide r = 2(1 + cos )

89. Si las ecuaciones parametricas de una curva son

x(t) = f (t) cos t+ f (t) sin t

y(t) = f (t) sin t f (t) cos tPruebe que la longitud de t1 a t2 esta dada por

L = f(t) + f (t)t2t1

90. Sea R la region a 1() = cos y exterior 2() = 1 cos a) Haga un dibujo aproximado de las figuras

b) Calcule el area de la region R

91. Encontrar el area plana interior a la rosa de 4 hojas: r = 2a cos 2 y exterior a la curva r = a a > 0

92. Considere en coordenadas polares las curvas

C1 : r = 3 sin C2 : r = 1 + sin

a) Determine una integral (no la calcule), que permita calcular la longitud de C2b) Encuentre la pendiente de la recta tangente a C2 en = pi3c) Determine el area de la region que se encuentre dentro de C1 y fuera de C2

93. Plantee las integrales que permitan calcular el permetro de la elipse dada por:

C :{

x(t) = 2 cos ty(t) = 3 sin t

(no calcule las integrales)

94. Un vaso que tiene la forma de un cilindro circular recto de radio R y alturaH se encuentra originalmentelleno de agua. Si el vaso gira alrededor a su eje principal, pierde parte de su contenido y la superficielibre del lquido adopta la forma de un paraboloide de revolucion. Para el vaso girando, calcule ladistancia del vertice del paraboloide al fondo del vaso para que se mantenga en rotacion la mitad delcontenido original de agua.

95. Encuentre el area de la superficie generada al girar el lazo derecho de la lemniscata en coordenadaspolares r2 = cos(2), o bien, en coordenadas parametricas{

x(t) =cos(2) cos()

y(t) =cos(2) sin()

pi4

4

alrededor del eje y

96. Bosqueje y encuentre el area exterior a la curva r = 1 + cos e interior a x2 + y2 = 9

97. Calcular el area comun de la Limacon de Pascal r = 2a + a cos y la cardioide r = a(1 cos ), cona > 0

98. Demuestre, usando coordenadas polares que el area A del triangulo rectangulo con uno de sus catetosde medida igual a k viene dado por

A =k

2

0

sec2 d

sin calcular la integral. corresponde al angulo adyacente al cateto de medida k. Ayuda: Escriba enpolares la ecuacion de la recta x = cte

9


99. Calcular el permetro exterior de la region determinada por las curvas r = 3 cos y r = 1 + cos

100. Calcular el volumen del solido obtenido al girar el area encerrada por las curvas.

1. y = ex

2. y = ex

entre x = 1 y x = 2 en torno al eje de coordenadas (x = 0).

Solucion:Metodo de cilindros:

h(x) = ex ex

V = 21

2pix h(x)dx = 21

2pix (ex ex)dx

= 2pi[xex ex + xex + ex] 2

1

= 2pi[2e2 e2 + 2e2 + e2 1e1 + e1 1e1 e1]

2pi[e2 3e2 2e1] = 44, 355

101. Calcular las coordenadas del centroide de la superficie interior a las dos parabolas:

1. y = 2x2

2. y =2x

Solucion:Puntos de interseccion:

2x2 =2x = x = 0 x = 21/3

= y = 0 y = 21/3

A = 21/30

(2x 2x2

)dx =

22

3

(21/3

)3/2 2

3

(21/3

)3=

13

x =

21/30

xdA

A

A x = 21/30

x(

2x 2x2)dx =

22

5

(21/3

)5/2 1

2

(21/3

)4= x = 9

4034

A y = 12

21/30

[(2x)2 (2x2)2] dx = 1

2

[(21/3

)2 4

525/3

]= y = 9

2032

102. Un cilindro de radio a y altura h es coronado superiormente por una semi esfera de radio a.Calcular el momento de innercia de este cuerpo respecto del eje del cilindro.

Solucion:

ITotal = ICilindro + ISemiesfera

ICilindro :dV = 2pirhdr 0 r a

ICilindro =

r2dA = a0

r22pirhdr = 2pih a0

r3dr = 2piha4

4

10


ICilindro =piha4

2ISemiesfera :

r2 + z2 = a2 = 2rdr = 2zdzdV = z2pirdr = 2piz2dz

ISemiesfera =

r2dV = 2 0a

(a2 z2)piz2dz = 2 a

0

(a2z2 z4)piz2dz = 2pi(a2 a3

3 a

5

5

)ICilindro =

4pia5

15

ITotal = pia4(h

2+

415a

)103. a) Sea S la region del plano limitada por las curvas y = x3, y = x, x > 0. calcule el volumen del

solido de revolucion generado al rotar S en torno a la recta x = 1.

b) Determine las coordenadas del centroide de la region acotada por y2 = 2px, p > 0, y > 0 y lasrectas y = 0, x = 1.

Solucion:

a)

V = 2pi 10

(1 x)(x x3)dx = 2pi[x2

2 x

3

3 x

4

4+x5

5

] 1

0

= 2pi760

=7pi30

[u3]

b)

Mx =122p 10

xdx =p

2

My = 10

2px5/2dx =

22p5

A =2p 10

xdx =

22p3

x = MyA

=35; y =

MxA

=32p8

104. Sea R la region en el semiplano {(x, y) R2/x 0}, limitada por las curvas y = ex, y = cosx y larecta x = 2pi.

a) Calcular el area de la region R

b) Escriba la integral que determina el volumen del solido generado por R al rotar en torno:

i) al eje yii) a la recta y = 1

Solucion:

a)

A = 2pi0

(ex cosx) dx = 2pi0

exdx = e2pi 1

b)

V = 2pi 2pi0

x (ex cosx) dx

11


c)

V = pi 2pi0

((ex + 1)2 (cosx+ 1)2) dx

105. Calcular el volumen generado al rotar, la region del plano encerrada por: y = x2, y = x3, en torno a:

a) el eje OY .

b) la recta x = 1.

Solucion:

a)

Vy = pi 10

ydy + pi 10

y2/3dy = pi/10

b)

Vx=1 = pi 10

(1y)2 dy pi 10

(1 y1/3

)2dy = pi/6 pi/10 = pi/15

106. Calcular la longitud del arco de la curva:

y = x0

t2 + 2tdt

entre los puntos para los cuales x = 0 y x = 1.

Solucion:tenemos que y =

x2 + 2x, luego:

l = 10

1 + y2dx =

10

1 + x2 + 2xdx =

10

(1 + x)dx = 3/2

107. Encuentre el centroide del semicrculo: x2+y2 = 1, y 0, y utilice el teorema de Pappus para calcularel volumen del solido que resulta al rotar el semicrculo en torno a la recta y = 1Solucion:Sea C = (x, y) el centroide, por simetra: x = 0

ydA = 2 10

yxdy = 2 10

y1 y2dy = 2

3(1 y2)3/2

10=

23

dA =pi

2 y = 2/3

pi/2=

43pi

C =(0,

43pi

)Por el Teorema de Pappus:

V = 2pi(1 +

43pi

)A = 2pi

(1 +

43pi

)pi

2= pi

(4 + 3pi

3

)

108. Encontrar las coordenadas del centroide de la region encerrada por la curva y = x21

x2+1 y su asntota.Solucion:Es preciso, para calcular el area, evaluar una integral impropia:

A

2= +0

(1 x

2 1x2 + 1

)dx = pi = A = 2pi

Calculo del momento con respecto al eje x, (pues x = 0):

Qx = +

12

(1 +

x2 1x2 + 1

)(1 x

2 1x2 + 1

)dx =

+

2x2

(x2 + 1)2dx

12


Se debe aplicar integracion por partes con:

u = x dv =2x

(x2 + 1)2dx

Se obtiene:

Qx = lma b +

[ xx2 + 1

+ arctan(x)] b

a=

pi

2+pi

2= pi

y = pi2pi

=12

Luego, el centroide esta en:

C =(0,12

)109. Calcule el volumen del solido que se obtiene al girar la region limitada por la semi-elipse x

2

4 + y2 =

1, y 0 y la semi-circunferencia x2 + y2 = 4, y 0, en torno a la recta que pasa por los puntos(3, 0) y (0,4) Solucion:Ecuacion de la recta l:

x

3 +y

4 = 1 = 4x+ 3y + 12 = 0Area de la region:

pi + 2pi = 3pi

Centroide de la region:

y1 =

1 x

2

4; y2 =

4 x2

13pi

22

y1 + y22

(y1 y2) dx = 16pi 22

[(1 x

2

4

) (4 x2)] dx = 1

6pi

22

(34x2 3

)dx

=16pi

(x3

4 3x

) 22

=16pi

(4 12) = 43pi

Distancia desde el centroide a l:

d = d(Rc, l) =

4pi + 1216 + 9

=12pi 4

5pi

Pappus:

V = 2pidA =24pi5

(3pi 1) [u3]

110. Sea una constante mayor o igual a uno. Sea R la region bajo y = x, sobre el eje x, entre las rectasx = 0 y x = 1. Calcule el centroide (x, y) de R. Halle:

lm+x , lm+ y

Solucion:El area de la region es:

A = 10

xdx =1

+ 1

El momento con respecto al eje y es:

My = 10

x xdx = 10

x+1dx =1

+ 2

13


El momento con respecto al eje x es:

Mx = 10

y xdx = 10

x2dx =1

4+ 2

Las coordenadas del centroide son:

(x, y) =(MyA

,MxA

)=(+ 1+ 2

,+ 14+ 2

)Por lo tanto:

lm+x = 1 , lm+ y =

12

111. Determinar el centroide de la region limitada por las curvas y2 = 8 x y x2 = y Solucion:

dA =(

8x x2)dx

A = 20

(8x x2

)dx =

(23

8x3/2 x

3

3

) 2

0

=163 8

3=

83

x =

20x(

8x x2) dx8/3

=38

[25

8x5/2 x

4

4

] 2

0

=38

(25

5 2

4

4

)=

910

y =38

20

(8x+ x2

2

)(8x x2

)dx =

316

20

(8x x4) dx = 3

16

(4x2 x

5

5

) 2

0

=95

Rc =(

910,95

)112. Calcular la longitud de arco de:

y = ln(ex 1ex + 1

)para 1 x 3.

Solucion:

y =ex

ex 1 ex

ex + 1=

2ex

e2x 1

y = 31

1 +

(2ex

e2x 1)2

= 31

1e2x 1

e4x 2e2x + 4e2xdx =

31

e2x + 1e2x 1dx

= 31

dx+ 31

2e2x

1 e2x dx = 2 + ln(1 e2x) 3

1= 2 + ln

(1 e61 e2

)= ln

(e6 1e2 1

) 2

113. Dada la funcion 11+x

a) Encuentre el area encerrada por la funcion y = f(x) entre las rectas x = 0 y x = 1.

b) Encuentre la integral que permite calcular nla longitud de arco de la funcion Y = f(x) para xentre 0 y 1.

Solucion:

14


a)

A = 10

dx

1x

x = u2 u 0dx = 2udu

x = 0; u = 0x = 1; u = 1

A = 10

2udu1 + u

= 2 10

(1 1

1 + u

)du = 2

( 10

du 10

du

1 + u

)= 2 (u ln|1 + u|)

10= 2 (1 ln2) [u2]

b) La expresion mediante integrales de la longitud de arco entre x = 0 y x = 1 es:

l = 10

1 + (f (x))2dx =

10

1 +

14x(1 +

x)4

dx f (x) = 1

2x

(1 +x)2

= 12x(1 +

x)2

l = 10

4x(1 +

x)4 + 1

4x(1 +x)4

dx

114. Sea R la region limitada por las curvas:

y = x2, y = 0, y = (x 4)

Exprese las integrales que permiten calcular:

a) El area de la region R.

b) El volumen del solido de revolucion que se genera al rotar la region R en torno a la recta x = 4,mediante el metodo de los anillos y el metodo de los cilindros.

Solucion:

a)

A =( 2

0

x2dx+ 42

(x 4)2 dx)[u2]

b) Por anillos:

V =(2pi 20

(4 x)x2dx+ 2pi 42

(4 x)(x 4)2dx)[u3]

Por cilindros:

V =(pi

40

(4y)2 dy pi 40

(4 (4y)) dy)[u3]

115. Considere la region encerrada por las curvas y2 = x, y = 2 x, x = 0. Exprese las integrales, sincalcularlas, que permiten calcular:

a) El permetro de la region encerrada por las curvas.

b) El volumen del solido generado al rotar la region anterior en torno al eje x = 2.

c) El area lateral del solido generado al rotar la region anterior en torno al eje x.

Solucion:

a)

P = 2 +2 +

10

1 +

14x

dx

15


b)

V = 2pi 10

(2 x) ((2 x)x) dx[u3]c)

Al =(2pi 10

(2 x)2dx+ 2pi

10

x

(1 +

14x

)dx

)[u2]

116. Para la curva:

c :{

x = ln1 + t2

y = arctan(t) t Ra) Encuentre los puntos donde C tiene recta tangente vertical y recta tangente con pendiente igual

a 1.

b) Calcule la longitud de arco de C entre los puntos encontrados.

Solucion:

a)dydt =

11+t2

dxdt =

t1+t2

}= dy

dx=

dy/dt

dx/dt=

1t

Luego:C tiene tangente vertical para: (

dx

dt= 0 dy

dtY6= 0) t = 0

C tiene tangente con pendiente 1 dydx = 1 t = 1Luego, los puntos buscados son (0, 0) y (ln

2, pi/4)

b) Sea l(C) la longitud de arco de C entre los puntos de a). Entonces:

l(C) = 10

(x(t))2 + (y(t))2dt =

10

(t

1 + t2

)2+(

11 + t2

)2dt =

10

dt1 + t2

Sea t = tan = (dt = sec2 d, t = 0 = 0, t = 1 = pi/4) l(C) =

pi/40

sec d = ln| tan + sec |pi/40

= ln(1 +

2)

117. La parabola y = 19x2 + 2, une los puntos P = (3, 3) y Q = (3, 3).

a) Determine (no calcule) una integral que permita calcular la longitud del arco que una P y Q.

b) Determine (no calcule) una integral que permita calcular el area de la superficie que se generacuando el arco gira alrededor del eje x.

Solucion:

a)

dl =1 + (y)2dx =

1 +

(29x

)2dx

l = 33

1 +

(29x

)2dx

16


b)

A = x2x1

2piydl = 33

2piy

1 +

(29x

)2dx

= 33

2pi(19x2 + 2

)1 +

(29x

)2dx

118. Calcular para x [1, 1] el valor de:

arc cos(x) 2 arcsin(

1 x2

)

SolucionSea = arc cos(x) cos() = x, 0 piLuego:

2 arcsin

(1 x2

)= 2arcsin

(1 cos()

2

)= 2arcsin

(sin(2

))0 /2 pi/2

119. Determine el volumen del solido de revolucion generado por el area bajo la curva y = |ex cosx|, x pi/4, al rotarla en torno al eje x. Justifique adecuadamente.

V = +pi/4

pi (f(x))2 dx = +pi/4

pie2x cos2 xdx = lmt+pi

tpi/4

e2x cos2 xdx

I =

e2x cos2 xdx =

e2xcos 2x+ 1

2dx =

12

e2xdx+

12

e2x cos 2xdx

=12

(12e2x

)+

12

(14e2x (sin 2x cos 2x)

)= 1

4e2x +

18e2x (sin 2x cos 2x)

V = pi lmt+

(14epi/2 1

8epi/2 +

18e2t (sin 2t cos 2t 2)

)V =

piepi/2

8

120. Considere la figura formada por dos semicircunferencias centradas en (4, 2) y de radio 1 y 2 respectiva-mente y por los trazos rectos que all se muestran. Exprese mediante integrales:

a) El volumen del solido que se obtiene al girar la figura en torno a la recta x = 2.b) La superficie del solido que se obtiene al girar la figura en torno a la recta y = 7.

Solucion:

C1 : y = 2 +4 (x 4)2

C2 : y = 21 (x 4)2

a) Por anillos:

V = 2pi 62

(x+ 2)(2 +4 (x 4)2 2)dx+ 2pi

53

(x+ 2)(21 (x 4)2)dx

17


b)

S = 2pi 62

(7

(2 +

4 (x 4)2

))1 +

(x 4)24 (x 4)2 dx

+2pi 53

(7

(2

1 (x 4)2

))1 +

(x 4)21 (x 4)2 dx+ 4pi

32

(7 2)1 + 02dx

121. Que% del volumen del cilindro de la figura queda dentro del volumen engendrado por la rotacion dela curva y = 8

1 xb ?

Solucion:Intrerseccion de la curva con los ejes:

x y0 1b 0

VCilindro = pi 1 b = pi b

VRegion = pi b0

(8

1 x

b

)2dx =

b0

(1 x

b

)1/4dx =

45pib

pi 45b

pib= 80%

122. Calcular el volumen generado por la rotacion de la region encerrada por las curvas: y = ex, y = e2x,y = 4, en torno a la recta y = 4.

Solucion:

V = pi ln20

[(4 ex)2 (4 e2x)2] dx+ pi ln4

ln2

(4 ex)2dx

V = pi ln20

[8ex + 9e2x e4x] dx+ pi ln4ln2

(16 8ex + e2x)dx

V = pi(8ex + 9

2e2x 1

4e4x) ln2

0+ pi(16x 8ex + e

2x

2)ln4ln2

V =(19ln2 33

4

)pi

123. La figura muestra un tronco de cono circular con un agujero conico circular a lo largo de su eje. calculeel volumen por integracion Solucion:El solido puede considerarse como generado por la rotacion, en torno al eje OX de la region achuradaen la figura, donde:

l1(x) =25x+ 4 l2(x) =

15x+ 1

V = 100

[pi

(25x+ 4

)2 pi

(15x+ 1

)2]dx = pi

100

(325x2 +

145x+ 15

)dx

124. Determine el area que se encuentra bajo la recta3y = x y dentro de la cardioide r = 2(1 + cos )

Solucion:

18


Se tiene que el area es A = 2pipi+pi/6

12r

2d + pi/60

12r

2d

A =12

2pipi+pi/6

22(1 + cos )2d +12 4 pi/60

(1 + cos )2d

= 2 2pipi+pi/6

(1 + 2 cos + 1/2(1 + cos 2))d + pi/60

(3/2 + 2 cos +cos 22

)d

= 2[32(2pi pi pi/6) + 2 sin

2pipi+pi/6

+14sin 2

2pipi+pi/6

+32pi

6+ 2 sinpi/6 +

14sin 2pi/6

]= 2

[54pi + 2 sinpi6 1

4sinpi/3 +

pi

4+ 2 sinpi/6 +

14sinpi/3

]= 2(

32pi + 2)

= (3pi + 4)

125. Calcule, por integracion en coordenadas polares, el area del crculo: = cos + sin

Solucion:Interseccion con los ejes: = 0 = 1, = pi/2 = 1 por otro lado = 0 cos + sin = 0 = pi/4, 3pi/4

A = pi/4pi/4

122d

=12

3pi/4pi/4

(cos + sin )2d

=12

3pi/4pi/4

(1 + sin 2)d

=12

[ 1

2cos 2

]3pi/4pi/4

=pi

2

126. Sea R la region exterior a r = sin e interior a r = 1 + cos , situada sobre el eje polar. Calcule lasuperficie lateral del solido obtenido al girar R en torno al eje polar

Solucion:Sea S el area de la superficie lateral del solido, entonces

S =12 2pi 1

2 2pi 1

2 Pappus

+2pi pi/20

r2 sin ds

o

S = 2pi pi/20

r1 sin ds+ 2pi pi/20

r2 sin ds

S =pi2

2+ 2pi

pi/20

(1 + cos ) sin (1 + cos )2 + sin2 d

=pi2

2+ 2pi

2 pi/20

(1 + cos )3/2 sin d

=pi2

2 4pi

2

5(1 + cos )5/2

pi/20

=pi2

2 4pi

2

5+

32pi5

[u2]

19


127. Calcule el area que se encuentre fuera de la circunferencia r =9/2 y dentro de la lemniscata r2 =

9 cos 2

Solucion:Intersecciones: 9 cos 2 = 9/2 de modo que cos 2 = 1/2 2 = pi/3 = pi/6, luego por la simetra setiene

A/2 = 2 pi/60

12(rpi/6+ r2N)d

= pi/60

(9 cos 2) 9/2)d

=92sin 2

pi/60

92pi/60

=92sinpi/3 9

2pi

6

=94

3 3

4pi

=93 3pi4

=34(33 pi)

A =32(33 pi)

20

Guia Calculo 09 2010-1

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