Guía de cálculo II

Temas: Regla de la cadena en varias variables, Máximo y Mínimos.

Resolver para el taller (3 y 4)

Para cada ejercicio encuentre la derivada que se pide;

1. Seaz=x y2+x , conx=sen ( t ) y y=tan ( t ) calcule ∂ z∂t.

2. Seaw=x2+2 xy+ y2 , conx=tcos (t ) y y=t sen ( t )calcule ∂ w∂ t

.

3. Seaz=u√u+v2 , conu=xy y v=arctan ( yx ) .Calcule ∂ z∂ x y ∂ z∂ y .

4. Seanz= y2√ x+1 ,donde x (t )=t 3−t y

y (t )=t2−2t+4. Encontrar ∂ z∂ ty∂2 z∂ t 2

.

Resolver para el taller (8 y 9)

II) Encuentre los puntos críticos de las siguientes funciones y clasifíquelos según los criterios de la matriz Hessiana.

5. f ( x , y )=x2+ y2+xy−2 y+106. f ( x , y )=x4+ y4−4 xy+17. f ( x , y )=x3+3x y2−3 x2−3 y2+48. z=4 x2−xy+ y2

9. z=(x2− y2)e−x2− y2

Problemas: Resolver para el taller (3 y 4)

1. Encontrar las dimensiones de una caja rectangular sin tapa de volumen igual a 250cc. que tiene el área más pequeña.

2. Una distribuidora de alimentos quiere establecer un almacén que distribuya sus productos en tres ciudades. Las ciudades han sido ubicadas en un sistema de coordenadas. Las coordenadas de la ciudad A son (0,0). La ciudad B tiene coordenadas (0,2) y la ciudad C está ubicada en el punto (1,3). ¿Dónde debe establecerse la industria con el objeto de minimizar la suma de las distancias del almacén a las ciudades A, B y C?

3. Cuáles deben ser las dimensiones de un envase de forma rectángulo, volumen de 512cm3 y costo mínimo si el material de los lados de la caja cuestan $10 el centímetro cuadrado y el material de la tapa y el fondo cuestan $20 el centímetro cuadrado.

4. Sea z=xy+ax+ by

la ecuación de una superficie (con a y b constantes). Si P= (1,2) es

un punto crítico de z, determine si en P la función alcanza un máximo relativo, un mínimo relativo o un punto silla.

Vector gradiente, derivadas direccionales y planos tangentes.

Resolver para el taller (2)

1. Sea f ( x , y )=4−x2− y2 la ecuación de una superficie S

a) Calcule Du f (Q ) si u= (−2,1 ) y Q=(1,1,2 ) es un punto de la superficie .b) Encuentre la ecuación cartesiana del plano tangente a S en el punto R=(1,-1,2) que

pertenece a S.

2. Sea x2+ xyz+ z3=1la ecuacióndeunasuperficie S .

a) Calcule Du z (Q ) si u=(−2,1 ) y Q= (1,2,0 ) esun punto de la superficieb) Encuentre la ecuación cartesiana del plano tangente a S en el punto

R=(1,-1,1) que

3. Sea z3+xz+ y=1P=(1,1,0 ) perteniceintea la superficie Sa) Calcule Du z (P ) si u=(1,−2 )