1.- Se llevó a cabo un experimento para determinar el grado en que la habilidad de pensamiento

para llevar a cabo determinada tarea. Se seleccionaron al azar diez personas de distintas

características y se les pidió que participaran en el experimento. Después de proporcionales la

información pertinente, cada persona llevo a cabo sin nada de alcohol en su organismo. Entonces,

la tarea volvió a llevarse a cabo, después de que cada persona había consumido una cantidad

suficiente de alcohol para tener un contenido en su organismo de 0,1%.

a) Discutir los aspectos importantes de control que el experimentador debe considerar al llevar a

cabo el experimento.

Se debe suponer que existe una distribución normal e independiente entre cada variable siendo X1

(antes) y X2 (después), considerar si las varianzas son: conocidas, iguales pero desconocidas o

desiguales y reflexionar sobre el tamaño de la muestra. Para el experimentador también es

importante saber el nivel de confianza con el cual va a trabajar.

b) supóngase que los tiempo “antes y “después” (en minutos) de los diez participantes son los

siguientes:

Participante 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Antes X 28 22 55 45 32 35 40 25 37 20

Después Y 39 45 67 61 46 58 51 34 48 30

¿Puede concluir a un nivel de α=0,05 que el tiempo promedio “antes” es menor que el tiempo

“después” por más de diez minutos?

Criterios de rechazo para la prueba de hipótesis respecto a las medias de dos distribuciones

normales e independientes con varianzas iguales pero desconocidas.

Sea

Valor de estadístico de prueba bajo

Valor crítico:

Criterios de rechazo

Rechazar cuando Por lo tanto, como , no se rechaza la

hipótesis nula con un nivel de significancia de 0,05%. En el contexto del problema, no existe

evidencia estadística suficiente para rechazar es decir, el tiempo promedio “antes” no es

menor que el tiempo “después” por más de diez minutos.

2. La cantidad promedio que se coloca en una botella en un proceso de llenado es de 20 . En

forma periódica, se recogen al azar 25 botellas y el contenido de cada una de ellas se pesa. Se

juzga al proceso como fuera de control cuando la media muestral es menor o igual a 19,8 o

mayor o igual a 20,2 . Se supone que la cantidad que se vacía en cada botella tiene distribución

normal con desviación estándar 0,5 .

a) Enunciar las hipótesis nula y alternativa que son propias para esta situación.

b) Obtenga la probabilidad de error tipo I (α).

c) Como prueba alternativa considere el rechazo de cuando o cuando . Si

el tamaño máximo de error tipo I es de 0,05 ¿Cuál de las dos pruebas es mejor?

Solución:

a) Se tienen las hipótesis

: Proceso fuera de control

: Proceso no fuera de control

b) La probabilidad de cometer el error tipo I es el de nivel de significancia α:

c) Obtenemos el nivel de significancia α nuevamente:

Si el tamaño máximo de error tipo I es de 0,05 ambos, , cumplen. Se

determinará cuál de estas dos tiene el tamaño más pequeño para el error tipo II.

Queremos obtener el intervalo, es decir:

De la misma manera calculamos el otro para la otra prueba

De esta forma, la probabilidad de que la prueba 1 se equivoque al rechazar la hipótesis nula de

que el proceso es fuera de control es de . Y la correspondiente probabilidad para la prueba

2 es de . Para este valor particular de la hipótesis alternativa, la prueba 1 es mejor que la 2.

Al comparar las pruebas 1 y 2, tolerando un tamaño de error de tipo I hasta de 0,05, entonces la

prueba 1 es mejor que la 2 debido a que sus probabilidades son, de manera uniforme, más

pequeñas que las de la prueba 2.

3.- Un contratista ordena un gran número de vigas de acero con longitud promedio 5 metros. Se

sabe que la longitud de una viga se encuentra normalmente distribuida con una desviación

estándar de 0,02 (*) metros. Después de recibir el pedido, el contratista selecciona 16 vigas al azar

y mide sus longitudes. Si la media muestral tiene un valor más pequeño que el esperado, se

tomará la decisión de enviar de vuelta el pedido al fabricante.

(*)En el libro sale 0,02. Ver “Probabilidad y estadística de George Canavos” página 355 ejercicio

9.12

a) Si la probabilidad de rechazar un embarque bueno es de 0,04. ¿Cuál debe ser el valor de la

media muestral para que el embarque sea regresado al fabricante?

Sean las hipótesis:

Se interpola el valor de la probabilidad 0,0401 y 0,0392 de la tabla de distribución normal, por lo

que da un Z=-1,758

b) Si la longitud promedio real es de 4,98 metros, ¿Cuál es la potencia de la prueba del inciso a?

La función potencia es

4. Una organización gubernamental desea controlar el impacto de las políticas aplicadas sobe la

discapacidad a través del fondo de ayuda a la discapacidad FONADIS. Se desea estudiar la variable

I: Índice de discapacidad. Para medir la variable I, se aplica una encuesta y se construye el índice

en base a las respuestas de cada persona encuestada. El índice varía ente 0 y 10 y valores sobre 7

son aceptables. Para estimar la varianza se tomó una premuestra y se obtuvo una varianza de 4

puntos. Suponiendo distribución normal y un error absoluto de una unidad y para un valor de

error tipo I (α), obtenga el tamaño mínimo de muestra.

Solución

Sea

Calculamos el tamaño de muestra requerido para un α. Dado que se sabe que

Suponiendo distribución normal

Luego,

El valor de error tipo I (α) depende el experimentador, nos damos cuenta que a medida que

aumenta el nivel de confianza, aumenta el tamaño de la muestra.

10,8241 15,3664 20,0704 26,5225 31,5844

5.- Úsese la estadística de Kolgomorov Smirnov para probar la hipótesis nula de que los datos de la

tabla adjunta, se encuentran normalmente distribuida con media 50 y desviación estándar 10.

Úsese α = 0,05.

Tabla de demandas diarias de un producto

38 35 76 58 48 59

67 63 33 69 53 51

28 25 36 32 61 57

49 78 48 42 72 52

47 66 58 44 44 56

Solución:

Considérese la prueba de la siguiente hipótesis nula:

Donde es la función de distribución normal con media 50 y desviación estándar 10 y se

obtiene con Para lo cual se debe ordenar los datos y calcular que

involucra un incremento de 1/30 = 0,0334 al valor previo de la distribución muestral. Recordar que

se define como:

Valores ordenados

Valores

ordenados

38 0,0333 0,1151 0,0817 52 0,5333 0,5793 0,0459

25 0,0667 0,0062 0,0605 53 0,5667 0,6179 0,0512

28 0,1000 0,0139 0,0861 56 0,6000 0,7257 0,1257

32 0,1333 0,0359 0,0974 57 0,6333 0,7580 0,1247

33 0,1667 0,0446 0,1221 58 0,6667 0,7881 0,1215

35 0,2000 0,0668 0,1332 58 0,7000 0,7881 0,0881

36 0,2333 0,0808 0,1526 59 0,7333 0,8159 0,0826

42 0,2667 0,2119 0,0548 61 0,7667 0,8643 0,0977

44 0,3000 0,2743 0,0257 63 0,8000 0,9032 0,1032

44 0,3333 0,2743 0,0591 66 0,8333 0,9452 0,1119

47 0,3667 0,3821 0,0154 67 0,8667 0,9554 0,0888

48 0,4000 0,4207 0,0207 69 0,9000 0,9713 0,0713

48 0,4333 0,4207 0,0126 72 0,9333 0,9861 0,0528

49 0,4667 0,4602 0,0065 76 0,9667 0,9953 0,0287

51 0,5000 0,5398 0,0398 78 1,0000 0,9974 0,0026

La estadística de Kolmogorov-Smirnov se define como

De la tabla de Kolmogorov-Smirnov, se busca el valor crítico de para α = 0,05 el cual es 0,24.

Dado que 0,1526 < 0,24, no puede rechazarse la hipótesis nula que dice que las demandas diarias

de un producto se encuentra normalmente distribuidas con N(50,10).

6. Se supone que el número de goles por partido en la competencia de fútbol nacional siguen una

distribución de Poisson. Los datos son los siguientes. Aplique el test chi cuadrado para determinar

la validez de este supuesto.

Número de goles por partido Frecuencia observada

0 33

1 101

2 105

3 108

4 59

5 23

6 10

7 2

Solución:

Dado que el valor del parámetro de Poisson λ no se especifica, se obtiene el estimado de máxima

verosimilitud de λ con base a la información. El valor de λ se obtiene sumando los productos

correspondientes al número de goles por partido y su frecuencia relativa. Es decir,

*Hay que considerar que después de 7 goles es casi nula la probabilidad.

Número de goles

por partido

Frecuencia observada

Frecuencia relativa

Probabilidad teórica

Frecuencia esperada

0 33 0,0748 0,0904 39,9 1,19

1 101 0,2290 0,2173 95,8 0,28

2 105 0,2381 0,2611 115,1 0,89

3 108 0,2449 0,2092 92,3 2,67

4 59 0,1338 0,1257 55,4 0,23

5 23 0,0522 0,0604 26,7 0,51

6 10 0,0227 0,0242 10,7 0,05

7* 2 0,0045 0,0117 5,2 1,97

441 1 441 7,79

Prueba de hipótesis:

Para k = 8 categorías y con un parámetro estimado el número de grados de libertad es 6. Para

el valor crítico es . Dado que 7,79 , no puede

rechazarse la hipótesis nula de que el número de goles por partido en la competencia de fútbol

nacional siguen una distribución de Poisson.

7. Suponga que Ud. Desea probar la hipótesis:

Por medio de un solo valor que se observa en una variable aleatoria con densidad de probabilidad

. Si el tamaño máximo del error tipo I que puede tolerarse es

de 0,15 ¿Cuál de las siguientes pruebas es la mejor para escoger entre las dos hipótesis?

a) Rechazar

b) Rechazar

c) Rechazar

Solución:

a) La probabilidad de cometer el error tipo I es el de nivel de significancia α:

a) La probabilidad de cometer el error tipo I es el de nivel de significancia α:

b) La probabilidad de cometer el error tipo I es el de nivel de significancia α:

Por lo tanto, como puede tolerarse hasta 0,15 la alternativa a) se elimina, se calcula el error de

tipo II.

De esta forma, la probabilidad de que la prueba b se equivoque al rechazar la hipótesis nula

. Y la correspondiente probabilidad para la prueba c es de . Para este valor

particular de la hipótesis alternativa, la prueba b es mejor que la c.

Al comparar las pruebas a, b y c, tolerando un tamaño de error de tipo I hasta de 0,15, entonces la

prueba b es mejor que la c debido a que sus probabilidades son, de manera uniforme, más

pequeñas que las de la prueba c.