Guia de Ejercicios Desarrollada1

8/19/2019 Guia de Ejercicios Desarrollada1

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Desarrollo de guía de trigonometría para el área de salud Profesor Eduardo Flores

Los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 cm. y 4 cm, respectivamente.

¿Cuánto mide el coseno del menor ángulo?

Dada la construcción del triangulo, la medida del

la hipotenusa estará dada por el teorema de

Pitágoras, por ende

2 2 23 4 x+ = Tal que

2 23 4 x = +

Entonces la medida de dicho lado corresponde a

25 5 x = =

Entonces las razones trigonométricas solicitadas

serán

( )

3sin( )

5

4cos( )

5

3tan

4

α

α

α

=

=

=

Si el coseno de un ángulo es 1

2. ¿Cuál es el ángulo?

Tal como se observa en el triangulo equilátero de lado

uno, la relación del coseno de 60 equivale a lo solicitado,

por ende

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

360 cos 30

2

1cos 60 30

2

tan 60 cotan 30 3

sen

sen

= =

= =

= =

Si cosecante de un ángulo es 2, entonces ¿cuál es el seno del mismo ángulo?

Dado que la cosecante de un ángulo corresponde a la inversa del seno se tendrá que

( )

( )

( )

( )

1 1 1cosecante

cosecante 2

sen

sen

α α

α α

= ⇒ = =


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2


La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 m y el cateto adyacente a un

ángulo mide 8m. ¿Cuál es el valor de la tangente del mismo ángulo?

α

8

10x

Por Pitágoras se tendrá que

2 2 28 10 100 64 36 6 x x+ = ⇒ = − = =

Por ende la tangente del ángulo estará dado por ( )6

tan8 8

xα = = . Al Simplificar quedara

3

4

¿Cual es el valor de la expresión ( ) ( )2 245 cos 30sen +

?

Sabemos que ( )

245

2sen =

, por ende ( )

2

2 2 2 1452 4 2

sen⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Del mismo modo ( )

3cos 30

2=

, por ende ( )

2

2 3 3cos 302 4

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

En consecuencia bastara adicionar adecuadamente

1 3 2 3 5

2 4 4 4 4+ = + =

En el siguiente triangulo calcula las seis razones trigonométricas para sus

ángulos agudos

Por construcción

( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

( )( )

8 4 6 3 8 4 cos tan

10 5 10 5 6 3

1 5 1 5 1 3csc sec

4 cos 3 tan 4

sen

ctgsen

α α α

α α α α α α

= = = = = =

= = = = = =

del mismo modo se obtienen las relaciones para el ángulo β

8 10

6

α

β


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3


Dado el rectángulo ABC, calcular la medida de los

lados AB y BC

Dada la posición del ángulo las razones más

convenientes a usar, en mi humilde opinión, son la

tangente y el seno del ángulo mostrado

( )( )

4 4tan 39 4,9396

tan 39a

a° = ⇒ = =

°

( )( )

4 439 6,3561

39sen c

c sen° = ⇒ = =

°

Dado el triángulo EFG determinar la medida del

ángulo EFG

Simplemente usando el seno del ángulo se tendrá

que

( ) 113 13

54,340916 16

sen senα α − ⎛ ⎞

= ⇒ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

Por Pitágoras se tendrá que la medida faltante será

2 2 2 216 13 256 169

256 169 87

x x

x x

= + → = +

→ = − → =

Por ende por medio de la tangente o el coseno llegamos a que

( ) 113 13

tan tan 54,340987 87

α α − ⎛ ⎞

= → = =⎜ ⎟⎝ ⎠

O bien

( ) 187 87

cos cos 54,340913 13

α α − ⎛ ⎞

= → = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠


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4


Si ( )13

5sen α =

calcule el valor de

• ( )cos α • ( )tan α •

( )

( )

2

2 cot

4 9 sec 1

α

α

−

− −

Pongámonos

de

acuerdo

en

algo. El valor máximo para seno y coseno es 1, por ende el

problema no tiene ningún sentido.

Sin embargo podemos desarrollar el caso en que ( )5

13sen α =

Por la estructura del seno tendemos que la relación establecida entre el cateto opuesto y la

hipotenusa, por ende el triangulo a usar es e siguiente

Por Pitágoras tenemos que la medida faltante es 12

Por ende

( )12

cos13

α =

( )5

tan12

α =

( )12

cot5

α =

( )13

sec12

α =

( )

( )2 2

12 10 1222 cot 5 5

169 1444 9 sec 1 13 4 94 9 1144 144

122 2

5 5 525 4 94 9

12144

2 22 12 245 5

48 45 3 5 3 1512 12 12

α

α

−−−

= =− − ⎛ ⎞ − −− −⎜ ⎟

⎝ ⎠− −

= =− ⋅−

− −− −

= = = ⋅ =

−


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5


Sabiendo que ( ) ( ) ( )

( ) ( )

tan tantan

1 tan tan

α β α β

α β

++ =

− ⋅ , determine la medida de ( )tan 105°

Por conveniencia se tendrá que ( ) ( )tan 105 tan 60 45° = ° + °

Por ende

( ) ( ) ( )

( ) ( )

tan 60 tan 45 3 1 3 1tan 105

1 tan 60 tan 45 1 3 1 1 3

° + ° + +° = = =

− ° ⋅ ° − ⋅ −

Racionalizando convenientemente

( )

( )

( )( )

2

22

1 3 2 2 33 1 1 3 1 2 3 3 4 2 32 3

1 3 2 21 3 1 31 3

+ ++ + + + +⋅ = = = = = − +

− − −− +

−

Un observador que viaja en un avión,

horizontalmente, detecta un objetivo en tierra

con un ángulo de depresión de 45°. Luego de volar

12 km dicho ángulo aumenta en 15°. ¿Qué

distancia tendrá que volar, si mantiene la misma

dirección, para pasar exactamente encima del

objetivo?

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

12 tan 45tan(60 ) tan 60 tan 45

12 tan 45 12 tan 45

h xh hh x

x x h x

= + ⋅ °° = ⇒ = ⋅ ° ° = ⇒

+ = ⋅ ° + ⋅ °

por ende, igualando ambas expresiones se tendrá que

( ) ( ) ( )tan 60 tan 45 12 tan 45 x x° = ⋅ ° + ⋅ °

Ordenando y despejando el valor de x se tendrá que

45° 60°

12 x

h

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

tan 60 tan 45 12 tan 45

tan 60 tan 45 12 tan 45

12 tan 45 126 3 1

tan 60 tan 45 3 1

x x

x

x

° − ⋅ ° = ⋅ °

° − ° = ⋅ °⎡ ⎤⎣ ⎦

⋅ °= = = ⋅ +

° − ° −


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6


Un observador de 1,73 metros de altura mira al extremo superior de una torre eléctrica con un ángulo de elevación de 30°. Si el ángulo de elevación hacia el extremo superior de la torre es 60° después de caminar 100 metros. Calcular la altura de la torre.

Por construcción se tendrá que

( ) ( )tan 60 tan 60h

h x x

= ⇒ = ⋅ °

Del mismo modo

( ) ( ) ( )tan 30 100 tan 30100

hh x

x° = ⇒ = + ⋅ °

+

Por ende, bastara igualar las expresiones para tener que

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

tan 60 100 tan 30

tan 60 100 tan 30 tan 30

tan 60 tan 30 100 tan 30

tan 60 tan 30 100 tan 30

100 tan 30

tan 60 tan 30

x x

x x

x x

x

x

⋅ ° = + ⋅ °

⋅ ° = ⋅ ° + ⋅ °

⋅ ° − ⋅ ° = ⋅ °

⋅ ° − ° = ⋅ °⎡ ⎤⎣ ⎦

⋅ °=

° − °

Por ende, dado que ( )tan 60h x= ⋅ ° se tendrá que

( )( ) ( )

( )100 tan 30

tan 60tan 60 tan 30

h⋅ °

= ⋅ °° − °

Mas la altura del observador, e en este caso es 1,70 metros, por ende la altura de la torre será

( )

( ) ( )

( )100 tan 30

tan 60 1,73

tan 60 tan 301 100

1003 3

3 1,73 3 1,731 3 1

33 3

100

33 1,73 50 3 1,73 88,3325

3 1

3

H

H

H

⋅ °= ⋅ ° +

° − °

⋅

= ⋅ + = ⋅ +−

−

= ⋅ + = + =−

60°30°

100 x

h


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7


Desde dos puntos A y B ubicados sobre

una misma dirección respecto a un cerro

se observa la parte más alta del

mismo, con ángulos de elevación de

30° y 60° respectivamente. Si la

distancia del punto B al cerro es 1.000

metros, calcular la distancia entre A y B.

En este caso se tendrá que

( ) ( )tan 60 1000 tan 60 1000 3 1732,05081000

hh° = ⇒ = ⋅ ° = ⋅ =

Y, del mismo modo

( ) ( ) ( )tan 30 tan 30 10001000

hh x

x° = ⇒ = ° ⋅ +

+

Igualando ambas expresiones se tendrá que

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

tan 30 1000 1000 tan 60

tan 30 1000 tan 30 1000 tan 60

tan 30 1000 tan 60 1000 tan 30

1000 tan 60 tan 30

tan 30

11000 3

3

13

3 1 20001000

3 32000

1 1

3 3

x

x

x

x

x

x

° ⋅ + = ⋅ °

⋅ ° + ⋅ ° = ⋅ °⋅ ° = ⋅ ° − ⋅ °

⋅ ° − °⎡ ⎤⎣ ⎦=°

⎡ ⎤⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦=

−⎡ ⎤⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦= = =

60°30°

x 1000

h


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8


Dos aviones se dirigen a un aeropuerto desde direcciones opuestas y a una misma

altura. El piloto informa que está a 25 km de la torre con un ángulo de elevación de

37°; el piloto B informa que está a 30 km de la torre, ¿cuál es su ángulo de elevación?

Consecuentemente en relación al grafico mostrado se tendrá que

( ) ( )tan 37 25 tan 37 18,833925h h° = ⇒ = ⋅ ° =

Del mismo modo

( ) ( )tan 30 tan30

hhα α = ⇒ = ⋅


( ) ( )30 tan 25 tan 37α ⋅ = ⋅ °

Despejando la tangente

( ) ( )25 tan 37

tan30

α ⋅ °

=

Por ende el ánguloα estará dado por el arco tangente de lo obtenido

( )1 25 tan 37tan 32,127230

α − ⋅ °⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎝ ⎠

h

25 30

37° α


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9


Una balsa se aproxima hacia un faro. En un determinado instante, el faro es observado

por el tripulante de la balsa con un ángulo de elevación de π/12. Al recorrer 36 metros

adicionales

vuelve

a

observar

encontrando

esta

vez

un

ángulo

de

π/6.

Encuentre

la

altura del faro (desprecie la altura del tripulante que hizo la observación).

Sera necesario explicar que la medida de los ángulos está dada en radianes, por ende tenemos

dos opciones.

1. Convertir la medida de

dichos ángulos a formato

sexagesimal

2. Trabajar en radianes

Opto por la primera opción

Como se puede observar la estructura de la notación en

radianes se basa en la medida de la

longitud del arco subtendido por el

ángulo inscrito, por ende bastara

relacionar en base a una proporción.

12 180 15180 12

x x

π π °= ⇒ = = °

° °

Y del mismo modo

6 180 30180 6

x x

π π °= ⇒ = = °

° °

Por ende el problema se podrá describir de la siguiente forma

30°15°

36 x

h


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10


Luego se tendrá que

( ) ( )tan 30 tan 30h

h x x

° = ⇒ = ⋅ °

Y del mismo modo

( ) ( ) ( )tan 15 36 tan 1536

hh x

x° = ⇒ = + ⋅ °

+


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

tan 30 36 tan 15

tan 30 36 tan 15 tan 15

tan 30 tan 15 36 tan 15

tan 30 tan 15 36 tan 15

36 tan 15

tan 30 tan 15

x x

x x

x x

x

x

⋅ ° = + ⋅ °

⋅ ° = ⋅ ° + ⋅ °

⋅ ° − ⋅ ° = ⋅ °

⋅ ° − ° = ⋅ °⎡ ⎤⎣ ⎦

⋅ °=

° − °

Por ende, dado que la medida de h estaba dada por

( )tan 30h x= ⋅ °

Se tendrá que

( )( ) ( )

( )36 tan 15

tan 30tan 30 tan 15

h⋅ °

= ⋅ °° − °


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11


Un hombre que mide 1,70 metros de estatura observa su sombra a las 16:00 horas,

asumiendo que amanece a las 6:00 y que el sol hace un círculo sobre el hombre

¿cuánto mide su sombra?

Basando los datos en una

distribución de ángulos se puede asociar sin incurrir en errores que

al amanecer corresponde al

alguno de 180°, en tanto que el

anochecer al ángulo 0°.

(Claramente estamos hablando

de un caso ideal, remotamente

cercano a la realidad, pero

adecuado para su resolución),

por ende el mismo problema

implica que el ángulo de

elevación del Sol es aproximadamente 30°, por lo

tanto todo se reduce al siguiente

triangulo

Por ende la relación a establecer se basa en la tangente de 30°, es decir

( )( )

1,70 1,70tan 30

tan 30

metros metrossombra

sombra° = → =

°

06.00 am 18.00 pm

12.0013.00

14.00

15.00

16.00

17.00

15°15°

15°15°

15°15°

1 . 7

0 m

30°


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12


El asta de bandera está clavada verticalmente en lo alto de un edificio a 6 metros de

distancia de la base del edificio, los ángulos de elevación de la punta del asta y la parte

superior del edificio son de 60° y 30° respectivamente ¿Cuál es la longitud del asta de

La bandera?

Este problema me causo algunas divergencias en torno a la interpretación, sin embargo me parece adecuado expresarlo bajo el siguiente modelo

Teniendo como base que la

tangente de 30 corresponde

a la relación entre la altura

del edificio y el observador

del mismo modo que la

tangente de 60 corresponde

a la atura del hasta mas la del edificio con respecto a la

posición del mismo

observador tendremos que

( )( )

6 6tan 30

tan 30 x

x° = ⇒ =

° y ( )

( )6 6

tan 60tan 60

h h x

x

+ +° = ⇒ =

°

Por ende, bastara igualar

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

6 6

tan 60 tan 30

6 tan 30 6 tan 60

6 tan 30 tan 30 6 tan 60

6 tan 60 6 tan 30

tan 30

6 tan 60 tan 30

tan 30

h

h

h

h

h

+

=° °

+ ⋅ ° = ⋅ °

⋅ ° + ⋅ ° = ⋅ °

⋅ ° − ⋅ °=

°

⋅ ° − °=

°

Aun cuando me cabe la posibilidad de este contexto, el cual no he resuelto por carecer

de más datos. ;)

6 m

30°

60°

x

h

30°

60°

x

h

6

m


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13


Teoremas del seno y del coseno

Sea el triangulo ABC. ¿Cuál es la medida

del lado AB?

Dado que es un triangulo isósceles se puede determinar fácilmente que la

medida del ángulo faltante es 120°

Por ende bastara aplicar el teorema del seno

Es decir

( ) ( )2

30 120

x

sen sen=

° °

Entonces ( )

( )

2 120

30

sen x

sen

⋅ °=

°

Dos lados de un triangulo miden 42 y 32 cm, respectivamente. El ángulo que forman

mide 150°. Calcular la medida del tercer lado

En este caso bastara plantear el teorema del

coseno para buscar la medida del lado

faltante, x.

( )2 2 232 42 2 32 42 cos 150 x = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° Resolviendo

2 31024 1764 26882

32788 2688

2

x

x

= + − ⋅

= − ⋅


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14


En un triangulo sus lados son 9, 10 y 17. Calcular la tangente de la mitad del ángulo

mayor

Tan solo como ejercicio será conveniente despejar la medida de cada ángulo, sin

embargo el ángulo mayor estará asociado al lado mayor

Por teorema del coseno, en todo triangulo

( )2 2 2 2 cosa b c b c α = + − ⋅ ⋅ ⋅

Por ende el coseno de dicho ángulo estará dado por

2 2 21

cos2

b c a

b cα −

⎛ ⎞+ −= ⎜ ⎟

⋅ ⋅⎝ ⎠

Por ende el ángulo buscado corresponde a

( )

( )

( )

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 21

17 9 10 2 9 10cos

2 9 10cos 9 10 17

9 10 17cos

2 9 10

9 10 17cos

2 9 10

α

α

α

α −

= + − ⋅ ⋅

⋅ ⋅ = + −

+ −=

⋅ ⋅

⎛ ⎞+ −= ⎜ ⎟

⋅ ⋅⎝ ⎠

Lo cual corresponde a ( )1 1108

cos cos 0,6 126,8698976180α

− −−⎛ ⎞

= = − = °⎜ ⎟⎝ ⎠

Ahora, la mitad de dicho ángulo es 63,434948822

α =

Y la tangente de dicho ángulo es ( )tan tan 63,43494882.. 22

α ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠


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15


Una torre esta al pie de una colina

cuya inclinación al plano horizontal es

de 15°, una persona se encuentra en

la colina a12 metros de la base y

observa la parte más alta de la torre

con un ángulo de inclinación de 45°.

¿Cuál es la altura de la torre?

Comprendida la estructura del

problema todo se relaciona fácilmente

con un triangulo tal que sus ángulos

interiores son conocidos, al igual que

uno de sus lados

Luego

( ) ( )12

45 60

h

sen sen=

° °

Entonces

( )

( )12

6045

h sensen

= ⋅ °°

Es decir

12 36 3

1 2h = ⋅ =

1 2 m e

t r o s


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16


Al poco rato de haber despegado, dos aviones se cruzan en el aire cuando son las 16:00

horas. Uno se dirige en línea recta hacia una isla ubicada 68,25° al N.O., mientras que

el otro va hacia una ciudad ubicada al este. Si le primero se desplaza con una velocidad

de 650 km/h y el segundo a 820 km/h. ¿Qué distancia habrá entre ellos a las 17:30

horas?

Considerando el punto O como el punto de encuentro, el primer avión se habrá

desplazado 650 1,5 975⋅ = kilómetros en la recta OB, en tanto que el segundo avión se

habrá desplazado 820 1,5 1320⋅ = kilómetros en la recta OC. Esto da origen a una triangulo tal que conocemos dos lados y un ángulo, por lo tanto usamos el teorema del

coseno

( )2 2 2975 1320 2 975 1320 cos 158.25 x = + − ⋅ ⋅ ⋅

Por ende,

( )2 2975 1320 2 975 1320 cos 158.25 x = + − ⋅ ⋅ ⋅


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17


Dos faros A y B distan 6.3 kilómetros entre sí. En un mismo instante ambos faros

iluminan un punto C que se encuentra a 4,5 kilómetros de A y 3.8 kilómetros de B.

¿Cuál es la posición del punto C respecto a cada uno de esos faros?

El problema se puede plantear en base a un triangulo en que la medida de cada lado es

conocida

Bastara aplicar el teorema del coseno para determinar los respectivos ángulos y luego

relacionar adecuadamente

( )2 2 23,8 6,3 4,5 2 6,3 4,5 cos α = + − ⋅ ⋅ ⋅ Entonces

( )2 2 26,3 4,5 3,8

cos2 6,3 4,5

α + −

=⋅ ⋅ ⋅

Y aplicando el arco coseno se llegara a que

2 2 21 6,3 4,5 3,8cos

2 6,3 4,5

α − ⎛ ⎞+ −

= ⎜ ⎟

⋅ ⋅⎝ ⎠

Aplicando el mismo criterio para los ángulos β y δ se tendrá que

2 2 21 6,3 3,8 4,5cos

2 6,3 3,8 β −

⎛ ⎞+ −= ⎜ ⎟

⋅ ⋅⎝ ⎠

2 2 21 3,8 4,5 6,3cos

2 3,8 4,5δ −

⎛ ⎞+ −= ⎜ ⎟

⋅ ⋅⎝ ⎠


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18

D ll d í d t i t í l á d l d P f Ed d Fl

En un instante determinado

un avión se encuentra a 8

kilómetros de la torre de

control de un aeropuerto y a

7,5 kilómetros de un

dirigible. Si ambos son observados bajo un ángulo

de 30°. ¿a qué distancia de la

torre se encuentra el

dirigible?

Claramente es otro problema

de triángulos, por lo tanto el

que usaremos es el siguiente

Nuevamente aplicamos el teorema del coseno

( )2 2 2 27,5 8 distancia 2 8 distancia cos 30= + − ⋅ ⋅ ⋅ °

Lo cual da origen a una ecuación cuadrática

En l personal no me agrada demasiado, por lo tanto opto por otro camino

Aplicando el teorema del seno

( ) ( )

( )( )1 1

8 307,5 80.53 32.231

30 7,5

sensen sen

sen senα α α

α

− −⋅ °⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ = ⇒ = °⎜ ⎟° ° ⎝ ⎠

Lo cual implica que el ángulo β se obtiene por la diferencia con 180°, por ende es

117.76

En consecuencia aplicando nuevamente el teorema del seno

( ) ( )( )( )

7,5 117.76°7,5 13.272530 117.76° 30

send d sen sen sen

⋅= ⇒ = =° °

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