Gua de Ejercicios para Matemticas IIIINTENSIVO UNEXPO-2013Elaborada por el Profesor Carlos MarreroPARTE I: Superficies, Cudricas y funciones vectoriales1. Identifique cuales de las siguientes ecuaciones corresponden a las de tres variables adems clasifquela segn los tipos de superficie visto en clases.a.b.c.d.e.f.g.h.i.2. Dado los siguientes grficos indicar a qu tipo de superficie correspondeI. II.III.IV.V.VI.VII.VIII.IX

3. Represente las siguientes superficies planas1. 2.3.4.5.6..4. Represente las siguientes superficie de revolucin en el espacioi. si y el eje de giro es .ii. y eje de giro el eje que no aparece en la ecuacin.iii. y eje de giro el eje que no aparece en la ecuacin.iv. y eje de giro el eje que no aparece en la ecuacin.v. con y eje de giro el eje que no aparece en la ecuacin.vi. y eje de giro el eje x.5. Represente la superficie cilndrica segn la generatriz y la curva dada en cada caso: Generatriz rectas al plano xz y curva directriz Generatriz rectas al plano xz y curva directriz Generatriz rectas al plano xz y curva directriz Generatriz rectas al plano xz y curva directriz Generatriz rectas al plano yz y directriz curva Generatriz rectas al plano yz y directriz curva Generatriz rectas al plano xy y directriz curva Generatriz rectas al plano xy y directriz curva 6. Sabiendo que la generatriz de una superficie cilndrica es el eje y, su interseccin con el plano xz es una circunferencia de centro el punto y radio . Dibujar la superficie y obtener su ecuacin.7. Encuentre una ecuacin del conjunto de puntos con la propiedad de que el cuadrado de la distancia de cada punto al eje z sea igual al doble de su distancia al plano yz. Construya la grfica.8. Encuentre una ecuacin del conjunto de puntos, tal que cada punto es equidistante del punto (0, 0, 5) y el eje x. Construya la grfica.Sugerencia para 7 y 8: Escriba las relaciones dadas en cada problema, use la frmula de distancia, luego desarrolle y simplifique.9. Trazar la grfica de cada ecuacin dada y decir el nombre de la superficie. (analice con cuidado)10. Probar que la proyeccin en el plano xy de la curva de interseccin de las superficies es una elipse.11. Probar que la proyeccin en el plano xy de la curva de interseccin de las superficies es una circunferencia.12. (a)Considere el elipsoide

Y hallar el rea A(k), usando integracin, de la seccin elptica en el plano horizontal . Indicacin: recordar que el rea de una elipse es donde A y B son los semiejes de la elipse comparar con lo obtenido en (a).(b)Use la tcnica de slido de revolucin para obtener el valor del volumen del elipsoide.13. Encuentre una ecuacin de la esfera que satisface la siguiente condicin:A. los extremos de un dimetro son los puntos (6, 2, -5) y (-4, 0, 7).B. Pasa por los puntos (0, 0, 4), (2, 1, 3) y (0, 2, 6) y tiene su centro en el plano yz.14. Transformar a coordenadas rectangulares las siguientes coordenadas cilndricas a. ()b.()c.()15. Transformar a coordenadas esfricas las siguientes coordenadas rectangularesb. ()b.( 2)c.()16. Transformar a coordenadas cilndricas las siguientes coordenadas esfricasc. ()b.()17. Transformar a coordenadas esfricas las siguientes coordenadas cilndricas d. ()b.()c.()18. Encuentre una ecuacin en coordenadas cilndricas y otra en esfricas para las ecuaciones dadas en coordenadas rectangulares:a. b.19. Encuentre una ecuacin en coordenadas cartesianas y otra en esfricas para las ecuaciones dadas en coordenadas cilndricas:a. b. c.d. 20. Encuentre una ecuacin en coordenadas cartesianas y otra en cilndricas para las ecuaciones dadas en coordenadas esfricas:b. b. c.d. 21. Trazar la grfica de las siguientes funciones vectoriales A. B. C. D. E. esta curva es llamada Cbica Enroscada.F. esta curva corresponde con la rama derecha de una Hiprbola equiltera.G. esta curva es llamada Hlice. Trazar para a=b=1.H. esta curva es llamadaCicloide. Trazar para a=2.I. esta curva es llamadaHipocicloide. Trazar para a=4b para este valor es llamada Astroide.J. esta curva es llamadaTractriz.Trazar para b=1.22. Determinar el mximo conjunto de que sirva de dominio a cada funcin vectorial dada:a. ) b. ) 23. Calcular los lmites, si existen, de las siguientes funciones vectoriales:a. b. c. 24. Para cada terna de funciones obtenerle las siguientes derivadas, y I. II. 25. Hallar la derivada de orden 2 de la siguiente funcin vectorial

26. Hallar la integral indefinida de las siguientes funciones vectoriales: 27. Si hallar .28. Si hallar .29. Encontrar el valor de la longitud de arco de la curva dada en el intervalo :a. b. c. d. 30. Demostrar los siguientes hechos:a) Si son funciones vectoriales diferenciables en un intervalo, entoncesI. II. III. b) Si es una funcin vectorial es diferenciable en un intervalo y adems es no nula de magnitud constante y direccin variable para todo t en el intervalo, entonces los vectores son ortogonales.c) Si son funciones vectoriales diferenciables en un intervalo y es la medida en radianes del ngulo entre los vectores . Deducir una frmula para y aplicarla a las funciones .d) Si una curva plana C tiene ecuacin polar de la forma , entonces la frmula de la longitud de arco es de la forma demostrar este hecho y usarlo para obtener la longitud de arco de una cardioide de ecuacin Sugerencia: para la primera parte usar las coordenadas polares y usar la forma especial de la ecuacin, y para la segunda parte usar la simetra de la cardioide.e) Demostrar que la curva cerrada generada por

Tiene longitud de arco igual a 10 en el intervalo .31. A cada una de las siguientes curvas C, dadas por las siguientes funciones vectoriales en el valor dado obtenerle: I. II. III. La ecuacin de los planos Osculador, Normal y rectificado.Para1) 2) 3) .4) 32. Determinar la velocidad, la rapidez y la aceleracin de una partcula que se mueve segn la trayectoria dada por la funcin vectorial 33. Determinar los vectores velocidad y la posicin de una partcula que se mueve con aceleracin , velocidad inicial y posicin inicial

PARTE II: Clculo en Varias Variables1. Determine el mximo conjunto que sirva de dominio para cada una de las funciones dadas por las siguientes frmulas, adems represntelo:a) y b) y c) y d) y 2. Representar la funcin dada dibujando algunas de sus curvas de nivel, e intente visualizar la superficie a partir de los mapas de contornos:a) b) c) d) 3. Demostrar los siguientes lmitesI. II. III. 4. Probar que los siguientes lmites no existena) b) c) d) e) f) 5. Usando coordenadas polares determinar si existe o no los lmites :a) b) c) 6. Estudie la continuidad de las siguientes funciones , ,, y . Y clasificar las discontinuidades que aparezcan y corregir las que sean posibles.7. Determinar el valor de a para que la funcin sea continua en el origen.8. Usando la definicin obtener cada una de la derivadas parciales para las funciones:a) b) c) 9. Encontrar las derivadas parciales de las siguientes funciones manteniendo todas las variables constante excepto una y luego usar las reglas de derivacinI. II. III. IV. 10. Verificar las siguientes ecuacionesI. si II. 11. Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva de interseccin de la superficie con el plano en el punto (1, 2, 5). Hacer un dibujo de la situacin.12. La temperatura en cualquier punto (x, y) de una placa es grados y . Si la distancia se mide en pies, encontrar la rapidez de cambio de la temperatura con respecto a la distancia recorrida a lo largo de la placa en las direcciones de los ejes x e y, respectivamente, en el punto (3, 1).13. Estudie la continuidad de las derivadas parciales de la funcin en el origen.14. Considere la superficie dada por .a) El plano intersecta a la superficie en una curva. Hallar la ecuacin de la recta tangente a esta curva en el punto b) El plano intersecta a la superficie en una curva. Hallar la ecuacin de la recta tangente a esta curva en el punto.

15. Obtener las derivadas parciales de segundo orden de las siguientes funciones:a) b)c)16. Probar que las siguientes funciones satisfacen la ecuacin indicada en cada caso:a) .b) .c) .d) 17. Hallar una funcin tal que

18. Hallar la derivada o la parciales de dos modos: (a) utilizando la regla de la cadena y despus sustituyendo todo en trminos de , y (b) primero sustituyendo y luego derivando: I. II. III. IV. 19. Si es cualquier funcin (continuamente diferenciable), probar que es una solucin de la ecuacin en derivadas parciales

20. Si son constantes y , probar que

21. Si , probar que

22. Si donde probar que

23. Si es una constante y donde probar que

24. Si donde probar que

25. Utilizando el teorema de funcin implcita obtenga u obtenga segn sea el caso:I. II. III. IV. 26. Use el teorema de la funcin implcita para obtener demostrar que existe una funcin tal que su derivada o sus parciales cumplen la (s) condicin (es) dadas:A. y .B. y .C. y .D. y .27. Si tiene derivadas parciales de segundo orden continuas y la ecuacin define una funcin como una funcin dos veces diferenciable, probar que si , entonces

Usar este resultado para obtener si:(a) (b)PARTE III: INTEGRALES MULTIPLES1. Encontrar un valor aproximado de

Usando la particin dada por las rectas Tmese el centro de cada sub rectngulo.2. Aproximar el volumen del slido en el primer octante acotado superiormente por la superficie , los planos y los planos coordenados. Tmese una particin en el plano , dibujando las rectas y tmese el centro de cada rectngulo como .3. Calcule cada una de las siguientes integrales iteradasa) A)b) B)c) C)d) D)e) E)4. Escriba una integral iterada equivalente con el orden de integracin invertido en cada caso:a) A)b) c) d) 5. Escriba una integral iterada equivalente con el orden de integracin invertido en cada caso y resolver ambas, luego compare los resultados:a) A)b) 6. Use integrales iterados para calcular el volumen de las regiones del espacio dadas. Adems represente cada regin.a) La regin en el primer octante limitada por el plano y el cilindro b) La regin en el primer octante limitada por los planos coordenados y el plano .c) La regin en el primer octante limitada por la superficie 7. Usar integrales dobles para obtener el rea de la regin limitada por las curvas y las rectas dadas en cada caso:a) b) c) d) e) f) 8. Usar integrales dobles para obtener los volmenes sobre el plano acotado por las superficies dadas: a) b) c) 9. Hallar una integral doble cuyo valor sea el volumen dado, exprese esta integral doble como una integral iterada en las dos formas posibles y calcule la que considere ms sencilla de resolver:a) Acotada superiormente por y limitada inferiormente por la Regin b) Acotada superiormente por y limitada inferiormente por la Regin R 10. Calcule los siguientes integralesa) b) .c) 11. Hallar el volumen de la regin acotada por .12. Hallar el volumen de la regin acotada por.13. Hallar el volumen de la regin acotada por .14. Dibuje una figura que muestre un slido cuyo volumen se puede calcular con la integral iterada y luego calcule la integral e interprete el resultado.

15. Calcule el volumen de una esfera de radio r por integrales dobles.16. Calcule el volumen de un esferoide de ecuacin por integrales dobles.17. Una regin R del plano est limitada por las rectas .a) Dibujar en el plano .b) Dibujar con c) Calcular d) Comparar el resultado de b) con la relacin entre las reas de .18. Sea .a) Encontrar .b) Calcular .c) Use el teorema de cambio de variable (T.C.V.) para obtener una integral equivalente a la anterior.19. Una regin R del plano est limitada por las rectas

a) Dibujar en el plano .b) Dibujar con c) Calcular 20. Una regin R del plano est limitada por .a) Dibujar en el plano .b) Dibujar con c) Calcular d) Calculeusando T. C. V.21. Calcule usando un cambio de variable adecuado donde R est limitada por 22. Hallar el rea de un circulo de radio r usando cambio a coordenadas polares.23. Hallar el rea de una elipse de semiejes a y b usando un cambio de variables que simplifique la expresin de la regin de integracin.24. Sea el paralelogramo limitado por . Calcular la integral . Sugerencia: use el recinto de integracin para decidir el cambio.25. Sea calcular la integral . Sugerencia: use un cambio que simplifique el integrando.26. Sea y el cambio de variables a) Calcular .b) calcular la integral c) con el cambio volver a calcular la integral anterior.d) Cules razones motivaron ambos cambios.27. Obtenga el determinante del Jacobiano en casa caso:a) b) c) PARTE IV: NMEROS COMPLEJOS1) Calcule las integrales iteradasa) b) c) 2) Cambiar el orden de integracin poniendo los limites adecuados en el segundo miembro:

3) Cambiar el orden de integracin poniendo los limites adecuados en el segundo miembro:

4) Calcular las siguientes integrales triplesa) donde R es el slido limitado por la superficie y los planos b) donde R es el slido limitado por el paraboloide y los planos c) donde 5) Calcule las siguientes integrales triples usando, segn convenga, un cambio a coordenadas cilndricas o esfricas.a) donde R es el slido limitado por 2.b) donde R es el slido limitado por la esfera de radio y centro en el origen.c) El volumen del slido por dos esferas concntricas de radios d) Calcular el volumen del slido limitado por el cilindro de ecuacin e) Calcular el volumen del slido limitado por el paraboloide de ecuacin Sugerencia: sustituya la ecuacin del paraboloide en la de la esfera y analice la ecuacin cuadrtica resultante.f) Calcular el volumen del slido limitado por el cono 6) Halle en cada caso:a) b)c)d) e) f)g)7)Represente:(a) en la forma trigonomtrica el nmero complejo

(b) en la forma binmica el nmero complejo

8) Calcule:

9)Dado el nmero complejo halle el par tal que . Al par se le llamainverso multiplicativo de . Concluya que el par es nico y que el no tiene inversomultiplicativo.10)Verifique si para cuales quieras nmeros complejos se cumple:a)b) son conjugados.c)d)11)Verifique que para cualquier nmero complejo se cumple que . Luego use la frmula para calcular: 12)Sabiendo que calcule:(a)(b)(c)(d)13)Resolver las ecuaciones:(a)(b)(c)(d)(e)(f)(h)(i)(k)14)Describa el subconjunto del plano complejo de todos los nmeros complejos tal que(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)(h)15)Demostrar los siguientes hechos para nmeros complejos(a).(b).c).16)Dado los complejos use la forma exponencial para calcular(a)(b)(c)(d)(e)17) Halle las races cuadradas de -1 y verifique que son .18)Halle las races cbicas de 1.19)Halle las races cbicas de -1.20)Halle las races cuadradas del nmero y exprselas en la forma binmica.21)Halle las races cbicas del nmero y exprselas en la forma binmica.22)Halle las races cuadradas de -y represntelas en el plano complejo.23)Muestre que .24)Halle:(a) ,(b) ,(c) .25)Muestre que .