Guía de Ejercicios - Programa Tutorías MII

PROGRAMA DE TUTORAS MII(SET DE PROBLEMAS MIDTERM)

I.

DATOS DEL CURSO Y MATERIAS DE ANLISIS 1. Sigla del curso. IND-3100 (Modelos cuantitativos para la toma de decisiones) 2. Contenidos (de acuerdo al programa). Anlisis de Decisiones; Fundamentos de Probabilidades I; Fundamentos de Probabilidades II; Muestreo Estadstico; Simulacin; Modelos de Regresin I. Modelacin.

Fecha: 22-04-2012

Contacto: [email protected]. Tutoras: Todos los viernes de 12:30 a 14:00, sala de estudios MII.

II.

EJERCICIOS

La presenta gua contiene una serie de ejercicios que han sido tratados en versiones anteriores del curso por lo que se recomienda fuertemente la realizacin de stos. Si bien algunos ejercicios incorporan las respuestas correctas, en ningn caso se darn los desarrollos pues lo que se busca es que entre ustedes se genere discusin y consenso. Cualquier duda, escrbanme al correo que yace en el pie de pgina. Mucho xito!


PROBLEMA 1

Respuestas (a) 0,599 (b) 0,955 (c) 0,297 (d) 0,995

(e) 0,949


PROBLEMA 2

Respuestas (a) 0,012 (b) 0,236 (c) 10199 (d) 9600 (e) El evento que una persona se presente no es independiente del evento que la persona anterior (o las dems que conforman su grupo) se haya presentado.


PROBLEMA 3

Respuestas (a) 0,329 y 0,098 (b) 0,380 y 0,156 (c) 0,643


PROBLEMA 4

Respuestas (a) 135 pies. (b) 0,866.


PROBLEMA 5

Respuestas (a) 0,7 en A; 0,3 en B. (b) 3,67% (c) 2,83% (d) 0,6818


PROBLEMA 6

La compaa Alpha est tratando de decidir si introducir al mercado o no un nuevo producto. Como en muchas situaciones de marketing de nuevos productos, hay una gran incertidumbre sobre el xito que eventualmente pueda tener el nuevo producto. Alpha cree que podra ser inteligente introducirlo como test en un mercado regional antes de introducirlo nacionalmente. As, la primera decisin de la empresa es si llevar a cabo o no el test. Si Alpha decide hacer el test, tendr que esperar por los resultados. Luego, en base a estos resultados, podr decidir si lanzar el producto nacionalmente o simplemente abandonarlo. Por otra parte, si la decisin es no realizar el test, la otra decisin (introducir nacionalmente o abandonar) puede ser tomada inmediatamente. Alpha ha estimado que sin un test regional el nuevo producto tendr xito o fracaso a nivel nacional con igual probabilidad. Basados en su amplia experiencia en test de mercados, Alpha ha estimado tambin que el 84% de los productos que son exitosos al introducirlos nacionalmente han tenido un test regional positivo, es decir, la probabilidad que un test regional haya sido positivo dada una introduccin nacional exitosa es 0.84. Tambin estim que el 64% de los nuevos productos que fracasaron nacionalmente haban tenido un test regional negativo.(a) Desarrolle la tabla de probabilidades. (b) Cul es la probabilidad condicional de un xito nacional dado que el test regional result

positivo? Cul es la probabilidad condicional de un fracaso nacional dado que el test regional result negativo?(c) Construya (sin resolver) el rbol de decisin. Indique claramente en cada nodo si

corresponde a uno de decisin o a uno de evento, e indique los nombres de cada rama, y las probabilidades de las ramas de eventos.Respuestas (a) Tarea. (b) 0,7; 0,8. (c) Tarea.


PROBLEMA 7

Conteste las siguientes preguntas: (a) Recuerde el problema de diversificacin de activos en que las v.a. X e Y correspondan a los retornos de dos acciones. Suponga que usted invierte una proporcin f en una accin y (1 - f) en la otra. Explique por qu la varianza del retorno de su portfolio es menor al promedio ponderado que tendera a calcular una persona intuitivamente. Si las v.a. estuviesen perfectamente correlacionadas negativamente, por qu la varianza del portfolio podra ser incluso cero? En qu caso sera cero? (b) Considere un experimento en el que lanza una moneda cargada en que saldr sello con probabilidad p. Suponga que usted lanza la moneda n veces. Cul ser el valor esperado del nmero de sellos que aparecern? Y cul ser la desviacin estndar? Podra decir que el nmero de sellos tiene algn tipo de distribucin conocida, o le falta informacin? (c) Considere que la variable aleatoria X tiene una distribucin normal con media y varianza . Demuestre que al normalizar X la variable aleatoria Z resultante, tiene media cero y varianza uno. (d) Por qu una distribucin binomial puede ser aproximada por una distribucin normal? Qu condicin debe cumplirse para avalar dicha aproximacin, y por qu? (e) Suponga que usted va a realizar un muestreo de n observaciones donde cada observacin estar identificada por la variable aleatoria , en que todas tienen la misma distribucin con media y varianza y que son independientes entre s. Si definimos la v.a. Y como la media muestral, cul ser la media y desviacin estndar de Y? Sea explcito en sus pasos para demostrar el resultado. (f) Por qu una distribucin binomial puede ser aproximada por una distribucin normal? Qu condicin debe cumplirse para avalar dicha aproximacin, y por qu? (g) Se cree que las ventas semanales de un producto de limpieza en un supermercado tiene una distribucin normal con media 2550 botellas y una desviacin estndar de 415 botellas. El jefe de tienda pone rdenes al comienzo de cada semana. Le gustara encargar suficientes botellas de manera tal que la probabilidad de quedarse sin stock sea de 2,5 %.Cuntas botellas debiera encargar cadasemana? (h) Explique en forma breve pero precisa en qu consiste el resultado del Teorema Central del Lmite y cul es su relevancia


(i) Cuando se hace una simulacin como las mostradas en clases y las desarrolladas por ustedes usando Crystal Ball, por qu es necesario realizar varias repeticiones de la simulacin? (j) Explique qu significa que los nmeros aleatorios generados por el computador (por ejemplo, usando la funcin ALEATORIO o RAND de Excel) sean aleatorios? (k) Dos variables aleatorias que tienen covarianza igual a 0 son independientes, es eso cierto o no? Explique. (l) Un barco sale a pescar todos los das durante 30 das. En cada da la probabilidad de tener xito en la pesca es de un 70%. Escriba una expresin para la probabilidad de que hayan al menos 10 das de los 30 en que se tenga xito en la pesca (m) Explique en qu sentido los nmeros aleatorios usados en simulacin se consideran aleatorios. (n) Recuerde nuevamente el ejemplo que presentamos en clases, el de Conley Fisheries, en donde se estimaba la utilidad que se obtena de llevar la pesca al puesto de Rockport. Presentamos varias simulaciones usando Excel en las cuales se repetan escenarios aleatorios de utilidades y posteriormente se determinaba la utilidad promedio, entre otras cosas. Explique cmo determinara, a partir de ese tipo de simulacin, un intervalo de confianza para la utilidad media con un nivel de confianza del 95%. Explique los supuestos que haga. Qu pasa con el intervalo a medida que repite y repite la simulacin? (o) Explique qu se entiende exactamente por una muestra aleatoria representativa de una poblacin. (p) Explique por qu es tan importante graficar los residuos despus que se ha hecho una regresin lineal. (q) Los modelos de regresin lineal slo pueden usarse cuando se intuye una relacin lineal entre cierta variable dependiente y otras variables explicativas independientes. Es esto verdad o no?


PROBLEMA 8

Juan Pablo es un ingeniero joven muy talentoso y emprendedor que posee ya bastante experiencia en el rea de desarrollo de sistemas, con especializacin en Java y otras plataformas similares. Juan Pablo se encuentra viviendo en estos momentos en Suiza ya que tiene nacionalidad de ese pas por lazos familiares, y pretende trabajar en ese pas hasta Diciembre de este ao. Ha postulado a algunos trabajos y acaba de recibir una oferta concreta de la empresa Orculo Developments. Esta le est ofreciendo un contrato con un ingreso mensual equivalente a US$7.000 mensuales, a partir de Mayo, pero debe aceptar ese contrato de inmediato o perder la oportunidad. Juan Pablo estaba considerando seriamente aceptar esa oferta cuando ayer recibi un llamado de otra empresa, Guigle, en el que le informan que est preseleccionado y debe acudir a una entrevista el 15 de Mayo. Si sale seleccionado para el cargo, comenzar a trabajar a partir de Junio y por un ingreso mensual de US$9.000. Si Juan Pablo falla en sus dos opciones y se queda sin trabajo, no podr volver a aspirar a algn empleo antes de tres meses, es decir, recin de Agosto en adelante y, en ese caso, el salario que podra conseguir es de slo US$8.000 mensuales. El resultado de la entrevista es, evidentemente, incierto. Llamemos p a la probabilidad de que el resultado de la entrevista sea positivo.(a) Construya el rbol de decisin asociado a este problema. (b) Determine el mnimo valor de p que hace atractiva la alternativa de rechazar la oferta de

Orculo Developments y esperar por el resultado de la entrevista con Guigle.(c) Suponga que p es igual 0,8. En cunto puede disminuir el sueldo ofrecido por Guigle de

modo tal que an sea conveniente esperar por el resultado de la entrevista?(d) Suponga que ahora Juan Pablo se da cuenta que el salario esperado a partir de Agosto es

en realidad apenas una estimacin. Consultando con muchos amigos ha podido determinar un histograma del salario que podra obtener: distintos valores de salarios y la frecuencia con que se presentan. Si Juan Pablo decide aceptar la oferta de Orculo, cmo calculara la probabilidad de que el ingreso que obtendr sea mayor que el que tendra si hubiera tomado la opcin de la entrevista? Justifique con precisin (esta pregunta puede tener ms de una respuesta correcta).


PROBLEMA 9

Una empresa de sushi desea instalar un restaurante en una cierta zona de la ciudad donde se sabe que hay demanda por estos productos. Tambin hay competencia: ya hay instalados algunos otros restaurantes en este rubro. Un dato necesario para evaluar el negocio es la demanda y para esto la empresa realiza una encuesta destinada a estimar cunto es el gasto semanal en sushi. La siguiente tabla muestra los resultados de la encuesta: Caso Respuesta 1 Respuesta 2 Respuesta 3 Respuesta 4 Respuesta 5 Respuesta 6 Respuesta 7 Respuesta 8 Respuesta 9 Gasto semanal ($) 3.500 6.327 9.812 3.600 23.900 4.600 5.990 5.320 4.700

(a) Determine, sobre la base de los datos de la encuesta, un estimador para el gasto semanal

y un estimador de la desviacin estndar de la poblacin.(b) Indique cmo se construira un intervalo de confianza al 95% para la media de la

poblacin. No tiene que calcular el intervalo exacto, deje expresado el resultado pero indique qu distribucin de probabilidad tiene que usar.(c) Cunto es la mediana de los datos (el valor tal que 50% de los datos son mayores que l y

el otro 50% es menor)? Hay alguna razn por la cual la mediana podra ser un mejor nmero para usar en la evaluacin del gasto estimado de los clientes que el valor medio calculado en a)?


PROBLEMA 10 Nuestros amigos de Conley Fisheries (los que presentamos como ejemplo en clases) deciden salir en su barco a buscar pesca a los Great Banks, frente a las costas de Nueva Inglaterra. Sin embargo, el Servicio Meteorolgico acaba de informar que se est formando una tormenta. Esta no es, afortunadamente, la Tormenta Perfecta pero tendr un efecto en la pesca. La probabilidad de tormenta se estima en un 75%. La pesca puede ser buena o mala. Si no hay tormenta, la pesca ser buena con probabilidad de un 80% mientras que si hay tormenta, la pesca ser buena slo con probabilidad 60%.(a) Calcule la probabilidad de que haya buena pesca. (b) Supongamos ahora que estamos en temporada de clima tranquilo, as que se estima que

para los prximos 30 das no habr tormentas. Escriba una expresin para la probabilidad de que al menos en 10 de esos 30 das haya buena pesca.(c) Suponga ahora que frente al pronstico de un 75% de probabilidades de tormenta y

conociendo las probabilidades de buena o mala pesca segn si hay o no tormenta, indicadas arriba, el capitn quiere decidir si salir a pescar o no. Si no sale, se incurre en un costo del barco detenido igual a US$300. Si sale y la pesca es buena, tendr una utilidad neta (resultante de la venta de los peces menos todos los costos) de US$10.000. Por otro lado, si la pesca es mala termina teniendo una prdida neta igual a US$18.000. Construya un rbol de decisin que le permita al capitn identificar la mejor estrategia. Comente los resultados: qu hara realmente usted?


PROBLEMA 11 El departamento de Recursos Humanos de Indian Technologies (IT) est planeando entrevistar a 7 ingenieros de software para 3 posiciones de trabajo que se abrieron la semana pasada. En base a resultados de una encuesta en el mercado laboral, el sueldo anual esperado por un ingeniero de software con 3 aos de experiencia distribuye uniforme entre $65.000 y $85.000 dlares. Los 7 entrevistados tienen 3 aos de experiencia, sus expectativas de sueldo son independientes entre s, y corresponden a la distribucin de probabilidades indicada por la encuesta. Suponga que IT decide poner el sueldo inicial para cada una de las 3 posiciones en $70.000 dlares.(a) Cul es la probabilidad de que los 7 entrevistados tengan una expectativa de sueldo

menor o igual a $70.000?(b) Cul es la probabilidad de que al menos 3 de los 7 entrevistados tengan una expectativa

de sueldo menor o igual a $70.000? (puede dejar expresado el resultado, sin hacer el clculo final).(c) Suponga que en estos momentos hay en el mercado 300 ingenieros de software con 3

aos de experiencia. Calcule aproximadamente la probabilidad de que al menos 30 de ellos tengan una expectativa de sueldo menor o igual a $70.000. (Indicacin: use una aproximacin apropiada, explicando por qu puede hacerlo).


PROBLEMA 12

(a) Escriba el modelo lineal estimado por esa regresin. (b) Cules de los coeficientes estimados son significativamente distintos de 0 a una

confianza de un 95% y cules no? Justifique con precisin.(c) Use el modelo de regresin de a) para predecir el salario anual de un empleado, Juan

Prez, que tiene un rendimiento en la universidad de 3,5 y 10 aos de experiencia(d) Sobre la base de los datos entregados y lo que usted sabe, proponga una estimacin del

error que podra tener su prediccin de c). Justifique con precisin su respuesta y todos los supuestos que haga. Contacto: [email protected]. Tutoras: Todos los viernes de 12:30 a 14:00, sala de estudios MII.

PROBLEMA 13 El Gobierno de un pas est estudiando el impacto de algunos factores socioeconmicos en el rendimiento educacional de los escolares. Para esto dispone de datos de un test a nivel nacional para una muestra relativamente grande de alumnos. Este test se llama MTEST. Se postula que el rendimiento en el MTEST se ve afectado por los siguientes factores: nivel socioeconmico de la familia (medido en un indicador gubernamental estandarizado), salario del padre de familia, esfuerzo gubernamental en la regin educacional a la que pertenece cada estudiante en particular (medido tambin segn un ndice estandarizado). EL consultor a cargo del estudio ha hecho una regresin lineal para explicar el puntaje en el MTEST y los otros factores, obteniendo varios resultados, algunos de los cuales se muestran en la siguiente tabla:

Sobre la base de los datos presentados, es esta una buena regresin? Explique con precisin sus conclusiones y cualquier otra observacin o hiptesis que tenga respecto a lo que ve como resultados.


PROBLEMA 14 Una compaa industrial enfrenta la decisin de construccin de una nueva planta y su eventual expansin, decisin que es considerada sobre un horizonte de 10 aos. Suponga que se puede construir en el primer ao una planta grande por una inversin de inicial de $5.000.000 o una pequea por una inversin de $1.000.000. Por otro lado, la demanda de mercado a lo largo de los 10 aos puede ser alta con probabilidad 0,75 o baja con probabilidad 0,25. Despus de transcurridos 2 aos, y siempre que la demanda de mercado sea alta, la planta pequea puede ser ampliada por un costo adicional de $4.200.000. Despus de ampliada la planta, la demanda de mercado puede nuevamente ser alta o baja con las mismas probabilidades indicadas antes. Las utilidades netas ao a ao (sin considerar el monto de la inversin inicial) dependern del tipo de planta y de si la demanda es alta o baja, segn se indica a continuacin:(a) Si la planta inicial es grande y la demanda es alta la ganancia es de $1.000.000 anuales. (b) Si la planta inicial es grande y la demanda es baja la ganancia es de $300.000 anuales. (c) Si la planta inicial es pequea y la demanda es alta la ganancia es de $250.000 anuales. (d) Si la planta inicial es pequea y la demanda es baja la ganancia es de $200.000 anuales. (e) Si la planta pequea se amplia y la demanda es alta despus del segundo ao, la ganancia

a partir de ese momento es de $900.000 anuales.(f) Si la planta pequea se amplia y la demanda es baja despus del segundo ao, la ganancia

a partir de ese momento es de $200.000 anuales. Construya el rbol de decisin para este problema e identifique la decisin que maximiza las utilidades netas totales (considerando la inversin inicial) sobre el horizonte de 10 aos.


PROBLEMA 15


PROBLEMA 16


PROBLEMA 17 Una compaa del rea de las comunicaciones debe ejecutar en el curso de un ao una serie de obras de infraestructura como ser: cableado de redes, instalacin de centrales subterrneas, etc. Para realizar estas obras se recurre a subcontratistas, los cuales, para adjudicarse una obra, deben ofertar un precio. Dada la variedad de trabajos, la empresa ha definido una unidad estandarizada de obras llamada punto. Existe un total de contratistas y los trabajos deben efectuarse en zonas en las que se ha dividido el pas. Sea la cantidad de puntos que se han de ejecutar en la zona , i = 1,.., n. El precio unitario ofertado por el contratista para obras en zona i es . a) Formule un modelo de optimizacin que ayude a decidir cuntos puntos de obra asignar a cada contratista en cada zona. (Indicacin: aqu tiene que obtener una formulacin algebraica general, como en el problema de produccin visto en clases. Sin embargo, hay dos dimensiones: contratistas y zonas. Las variables de decisin debern indicar cuntos puntos asignar a un contratista en una zona: es un tipo de variable que debe tener dos ndices). b) Suponga ahora que existe una capacidad anual mxima cambia el modelo? para cada contratista, Cmo


PROBLEMA 18 Usted trabaja en una empresa de armado de lnea blanca que est a punto de enfrentar una negociacin colectiva con el sindicato que agrupa a todos los empleados de la fbrica. El gerente general le ha designado como el encargado de representar los intereses del directorio en esta delicada instancia, y para eso, le ha entregado la siguiente informacin que l cree que podra serle til para la negociacin. Actualmente la empresa produce tres productos: refrigeradores, lavadoras y cocinas, y para esto se requieren cuatro tipos de trabajadores: 1, 2, 3 y 4. Adems para producir una unidad de cada tipo de producto se requiere un cierto nmero de horas hombre de cada tipo (ver Tabla 1). El precio de venta de cada producto es $800.000, $200.000 y $140.000 respectivamente. El costo de produccin de cada unidad sin considerar sueldos de los trabajadores ni los costos administrativos, fijos y financieros de la empresa (slo los insumos y costos variables directamente atribuibles a cada unidad) es de $200.000, $60.000 y $50.000 respectivamente. El departamento de Marketing le informa que la demanda por los productos es aproximadamente plana durante el ao (no hay estacionalidades) y se estima su valor mximo en 2.000 refrigeradores, 3.000 lavadoras y 4.000 cocinas mensuales. La jornada laboral actualmente es de diez horas diarias por turno, incluyendo una hora para colacin (nueve horas netas de trabajo). Se trabaja de lunes a viernes, 52 semanas al ao, pero cada trabajador tiene derecho a tres semanas de vacaciones. Adems producto de los feriados debe descontarse una semana hbil adicional. El nmero actual de operadores se encuentra en la Tabla 1. Sin embargo, la empresa est pensando reestudiar el nmero de trabajadores, pues no tiene seguridad de que el tamao de planta sea ptimo. Como usted ser el encargado de la negociacin, podr adems definir el nmero ptimo de trabajadores para la empresa en los prximos aos, si as lo requiriese. El sueldo mensual de los trabajadores se encuentra en la Tabla 1. La planta no est diseada como para tener demasiados trabajadores, por lo que se estima que el nmero mximo de trabajadores de cada tipo que podran trabajar simultneamente est restringida por la capacidad de los galpones. El galpn donde trabajan los operadores tipo 1 tiene una capacidad para 200 operarios. El de los de tipo 2, para 100 operarios. Y los operarios de tipo 3 y tipo 4 trabajan juntos en un galpn para 450 operarios mximo. Contacto: [email protected]. Tutoras: Todos los viernes de 12:30 a 14:00, sala de estudios MII.

El costo fijo de la empresa (independiente de los trabajadores y de la produccin, como por ejemplo arriendo, sueldo de administrativos, etc.) se estima en $100.000.000 anuales.

Ha pasado un tiempo y usted ha encontrado una respuesta sumamente dura del sindicato. De hecho, las comunicaciones se han roto e incluso ha comenzado un paro que es muy costoso para la empresa. Usted se rene con el presidente del sindicato quien le seala que l tambin quisiera terminar con la huelga, pero que para detenerla necesita mostrar a sus compaeros algn tipo de logro de parte del sindicato para poder validarse como dirigente y no volver con las manos vacas. Especficamente le dice lo siguiente: Dentro del pliego de peticiones que nosotros hemos hecho a la empresa, hay algunos tems que son ms fciles de cumplir para ustedes, mientras que hay otros ms difciles. Yo no s cules son los fciles y cules los difciles, porque no manejo toda la informacin, pero quiero ofrecer a mi gente al menos 25 puntos sindicales. Adems le seala los siguientes requerimientos con sus respectivos puntos de popularidad en el sindicato. I. Aumentar la hora de colacin sin alargar la jornada de 10 horas. Por cada 10 minutos adicionales se considerarn 3 puntos sindicales. Que se otorgue un bono de fin de ao igual para cada trabajador. Por cada $5.000 de bono por trabajador, se considerarn 2 puntos sindicales. Los trabajadores desean participar de las utilidades de la empresa. Por cada 1% de participacin que se otorgue, se considerarn 20 puntos sindicales.

II.

III.

Usted comprende el punto de vista del presidente del sindicato y le indica que estudiar su oferta. Para esto formule en forma clara y eficiente el problema de negociacin colectiva de la empresa siguiendo los siguientes pasos: a) Construya un modelo que permita determinar la produccin ptima y el nmero ptimo de trabajadores de modo que el beneficio sea lo ms alto posible para la empresa, sin considerar los requerimientos del sindicato. b) Codifique este modelo en Excel y resulvalo usando el Solver. c) Incorpore al modelo desarrollado en a) la oferta del presidente del sindicato de satisfacer al menos 15 puntos sindicales a elegir entre los requerimientos i a iii. d) Modifique o ample su planilla Excel para considerar los elementos anteriores y resuelva nuevamente el problema con el Solver.


PROBLEMA 19 El siguiente es un ejemplo de problema de "programacin de proyectos". Un hospital se prepara para instalar un acelerador lineal en reemplazo de una antigua unidad de cobalto. La tabla siguiente muestra las actividades necesarias para llevar a cabo el proyecto de instalacin. Algunas de las actividades deben realizarse antes que otras, y eso est indicado en la tabla como "actividades predecesoras". Se indica tambin la duracin, en das, de la actividad.

a) Escriba un modelo de programacin lineal que permita determinar el instante de tiempo en que deben comenzar las distintas actividades, de modo que el proyecto total se complete en el menor tiempo posible y se respeten todas las relaciones de precedencia entre las actividades. Para simplificar puede suponer que el proyecto comienza en el instante de tiempo t=0, y para que el modelo sea lineal continuo, suponga que el tiempo se puede considerar en forma continua, es decir est permitido considerar fracciones de da.

b) Suponga que le dicen ahora que los datos de duracin de las actividades son slo promedios y que cada uno de esas duraciones vara, como variable aleatoria. Si le dieran adems la desviacin estndar de esas duraciones, qu acciones propondra usted para poder estudiar mejor la duracin estimada del proyecto? Qu otra informacin pedira? Qu metodologas adicionales utilizara?


PROBLEMA 20 Una empresa del sector forestal posee un total de plantaciones de rboles (pino radiata). La plantacin tienen disponible una total de de madera, . Estas plantaciones pueden ser cortadas total o parcialmente para obtener madera que debe satisfacer cierta demanda a travs del tiempo. Supondremos entonces que enfrentamos un horizonte de T perodos de tiempo (trimestres, por ejemplo, sobre dos aos). La demanda por madera en el periodo t es total. Cortar madera en la plantacin en el periodo tiene un costo de $/m3. Escriba un modelo de Programacin Lineal que permita determinar una planificacin de la cosecha de modo de satisfacer la demanda pero al mnimo costo. Indicacin: aqu tambin hay dos dimensiones en las decisiones, lugar y tiempo.


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