Guia de Ejercicios Resueltos Algebra CBC UBA

7/21/2019 Guia de Ejercicios Resueltos Algebra CBC UBA

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Trgtlgms 4 m ;

ikchrm

Cxmgtms Lfkcflcrm

84=7


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Trgtlgm 4

=

TXGZLGM 4

FOZM M IOW MISEFOW2Ios tcems quc sc lfgiuycf cf cstm prgtlgm sc supofcf gofogljos por ustcjcs.

Jchljo m quc ci gofoglelcfto jc ios elseos scr fcgcsmrlo m io imrko jc tojo ci gurso, cs

aufjmecftmi quc m eojo jc rcpmso, rcsucivmf cstos cbcrglglos gofsuitmfjo hlhilokrmam y/o

mi jogcftc.

Cbcrglglo =.- Gmiguimr= = = = =8 = = = =

m)= ( ) h) ( ) (= 8 )8 7 : 3 8: < 3 : 3

+ + + + +

= 8 =( ) = = = = = = 8 = = 8 7< 1 :

g) j) ( ) ( = ) 8( ) (7( ) ( ))= 8 7 1 3 < =0 3 : 7 ; =:(3 );

+ + + + +

+

Cbcrglglo 8.-Qcrlalgmr ims lkumijmjcs7 = = 7

( 2 ) ( 2 ): 7 7 :m) 8:,7 h) 8= 3 8

( )< 1 > > > h) > >

3 1 ; < =3 3 0 =444< 7 8 = =

g) > > > > 8 > 7 7 > 7 > > > > ( ) > (=44) > (=44)3 : < ; =;


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8

Cbcrglglo 1.-Mfmilzmr im vmiljcz jc ims slkulcftcs proposlglofcs> jmr uf goftrmcbcepio pmrmims quc fo sof viljms

8 8 8 88

8 8

8

8 8 4

8 (8 )

8

m) 4 > 4 l) 4

= h) ( ) b) 4

g) n) 4

j) i) ( ) 4

c) (8 ) 8 e) = 4

a ) (8 ) 8 f) 71 1 4

k) 4 o) (3 3) 3 4

= = =`) p)

f

e f e f

e f e f

f f

f

m h m h m h m m m m

m h m h m mm

m h m h m m m

m m m m m

m m

m m m

m m m m

mm gh

gm h m h h j j

+

5 5

+ 5 + 5 + 5 + 5

5 5 5 5

5 5

+ 5

5 + 5+

Xtms2 Q, A, A, A, Q, A, Q, A, Q, A, A, Q, Q, Q, A, A.

Cbcrglglo ;.-Sfm soiuglf sc jlgc es gofgcftrmjm quc otrm sl tlcfc emyor proporglfcftrc im sustmfglm mgtlvm y ci jliuycftc quc im otrm. Ci hotlgmrlo tlcfc uf hotciif jc = iltro y

ecjlo jofjc =/3 cs sustmfglm mgtlvm y uf hljf jc 8 iltros jofjc 8/7 cs sustmfglm mgtlvm.

Cf gui jc ios jos cfvmscs im soiuglf cs es gofgcftrmjm?

Cbcrglglo 0.- Ci prcglo jc uf cqulpo jc mujlo gof ci =3 % jc jcsgucfto cs jc $ 7:=;. Guicrm ci prcglo orlklfmi?

Cbcrglglo


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Trgtlgm 4

7

Cbcrglglo =8.-Xcprcscftmr cf ci pimfo ios slkulcftcs gofbuftosM= 5 { ( x, y) / x 5 = } M8 5 { ( x, y) / x 8 } M7 5 { ( x, y) / y 9 8 }

M: 5 { ( x, y) / 7 9 y 9 8 } M 3 5 { ( x, y) / x 5=, y 9 8 } M 1 5 { ( x, y) / x 5 y }

M; 5 { ( x, y) / x 5 8 y } M0 5 { ( x, y) / x 5 8 y + =} M< 5 { ( x, y) / x . y 9 4 }

M=4 5 { ( x, y) / x . y 5 4 } M == 5 M: M1 M=8 5 M8 M;

M=7 5 M7 M=4 M=: 5 M7 M: M=3 5 (M0 M7) M<

Cbcrglglo =7.-Jcalflr mikchrmlgmecftc ios slkulcftcs gofbuftos jci pimfom) h)

g) j)

Cbcrglglo =:.- Wcmf ios slkulcftcs suhgofbuftos jci pimfo M 5 {( x, y) / =/8 x 8 > = y = } H 5 {( x, y) / x8 + y8 = }

G 5 {( x, y) / x 5 y } J 5 {( x, y) / x =/7 > y =/8 }

C 5 { ( x, y) / 4 9 x 988

> 4 9 y 988

}

@miimr kralgmecftc M H> M H> HG > M J > M J > H J > C H> C H> M C .

Qcrlalgmr quc C H.

y

x 7

y

x

8

x

y

x

y

: 1


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:

Cbcrglglo =3. -Wcm W im glrgufacrcfglm jc

rmjlo = y gcftro cf ci orlkcf. Wcm uf fkuio,

4 9 714 , gof vrtlgc cf ci orlkcf, ufo jc

guyos imjos golfgljc gof ci scelcbc posltlvo jc

ims x. WcmT ci pufto jofjc ci otro imjo jc

lftcrscgm mW .

WlT 5 ( x, y), sc jcalfc

gos 5 x > scf 5 y.

m) Gufto vmicf scf gos =04 > gos

8;4 > scf =04 ?

h) Jcgljlr sl sof posltlvos o fckmtlvos scf 7; > gos 88: > scf =03.

g) Tmrm tojo sc tlcfc scf 8 + gos 8 5 =. Tor qu?

Jcjuglr quc = scf = y quc = gos =.

j) Im iofkltuj jc im glrgufacrcfglm jc rmjlo = cs 8 . @miimr im iofkltuj jci mrgo quc

gorrcspofjc m ios slkulcftcs fkuios2

5 74 5 :3 5 14 5 ;8 5 744

5 8=4 5 8;4 5 ;34 5 :78 5


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Trgtlgm =

3

TXGZLGM =

QCGZOXCW CFX 8 y CF X 7

JCALFLGLOFCW \ TXOTLCJMJCW Sfm aicg`m, quc slrvc pmrm rcprcscftmr gmftljmjcs aslgms (aucrzms, vciogljmjcs), cs ufvcgtor .Tmrm jmr uf vcgtor fcgcsltmeos uforlkcf ( M) y uf cxtrceo ( H)quc io jctcrelfmf totmiecftc, proporglofmfjo su jlrcgglf,iofkltuj y scftljo.Qcgtorcs cqulvmicftcs sof ios quc tlcfcf lkumi jlrcgglf, iofkltuj y scftljo.

Ios vcgtorcs jc imlzqulcrjm sof tojoscqulvmicftcs mv.

Ios vcgtorcs sc pucjcf suemr.Im suem (v + w), jc v y w cs cqulvmicftcm ufm jc ims jlmkofmics jci pmrmiciokrmeo

jc imjosv y w.Zmehlf sc pucjc euitlpilgmr uf vcgtor por uf fecro (csgmimr).

Ci rcsuitmjo cs uf vcgtor jc lkumi jlrcgglf quc ci jmjo, ci fecro macgtm im iofkltuj y ciscftljo jci vcgtor.

Cf ci pimfoX 8 ios puftos cstf jmjos por pmrcs jc fecros rcmics (sus goorjcfmjms)> pmrm

jmr uf vcgtor hmstmr jmr jos pmrcs jc fecros rcmics quc gmrmgtcrlgcf su orlkcf y sucxtrceo.

v

wv

v + w

v 8v

vv


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1

MH5v

cst jmjo por M 5 (=,8) y H 5 (3,7)

OG 5w

cst jmjo por O 5 (4,4) y G 5 (8,=)

Miko mfioko sc pucjc jcglr cf ci cspmglo jc trcs jlecfslofcsX 7> m`orm, gmjm pufto, cf

pmrtlguimr ci orlkcf y ci cxtrceo jc uf vcgtor, cstmr jmjo por ufm tcrfm jc fecros rcmics.

MH5v

cst jmjo por

M 5 (8,:,7) y H 5 (:,=4,1)

OG cst jmjo por

O 5 (4,4,4) yG 5 (8,4,4)

Cf mjcimftc trmhmbmrceos gof vcgtorcs guyo orlkcfO tlcfc tojms sus goorjcfmjms lkumics m

gcro (O 5 (4,4) cfX 8, O 5 (4,4,4) cfX 7 ) ljcftlalgmfjo cftofgcs ci pufto M gof im aicg`m

OM.

Jmjos M y H cfX 8

, M 5 (m=,m8) y H 5 (h=,h8), jcalfleosimsuem M + H 5 (m=+ h=, m8 + h8) y

ci projugto por uf csgmimrg X g M 5 (gm=, gm8).

Mfiokmecftc, cfX 7, sl M 5 (m=, m8, m7) y H 5 (h=, h8, h7)

G

H

M8

7

=

8O x3

y

=

H

M

v

G

O y

z

x


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Trgtlgm =

;

imsuem M + H 5 (m=+h=, m8+h8, m7+h7) y

ci projugto por uf csgmimrg X g M 5 (gm=, gm8, gm7).

Troplcjmjcs2

=) M + ( H + G ) 5 ( M + H) + G 8) M + H 5 H + M

7) Wlg X , g ( M+ H) 5 g M + g H

:) Wlg= X y g8 X , (g= + g8 ) M 5 g= M + g8 M y (g= g8 ) M 5 g= ( g8 M)3) O + M 5 M 1) = M 5 M ;) M + (=) M 5 O Fotmglf M 5 (=) M

0) 4 M 5 O Cf cstc goftcxto,

m) MHcs cqulvmicftc mGJ sl y sio sl J G 5 H M > cf pmrtlguimr,

MHcs cqulvmicftc mOT sl y sio slT 5 H M.

h) MHy GJ sof pmrmicios o tlcfcf lkumi jlrcgglf sl cxlstcn cf X , n 4 tmi quc

H M 5 n ( J G ).

Wln 6 4, MH y GJ tlcfcf lkumi scftljo> sln 9 4, MH y GJ tlcfcf scftljos opucstos.

IOFKLZSJ JC SF QCGZOX

Cf X 8, sl v 5 (v=, v8), imforem o iofkltuj jc v, quc fotmrceos v , cs 8 8= 8v v5 +v

Mfiokmecftc, cfX 7, slv 5 (v=, v8, v7) imforem o iofkltuj jc v cs 8 8 8= 8 7v v v5 + +v

Troplcjmjcs2

=) Wl M 5 O, cftofgcs M 5 4> sl M O, cftofgcs M 6 4.

v

v=

v8


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0

8) M 5 M

7) Wlg X Mg 5 g M .

:) Jcslkumijmj trlmfkuimr2 H M + M + . H

Wl M y H sof jos puftos jc X 8, imjlstmfglm cftrc M y H cs im iofkltuj jci vcgtor H M

(cqulvmicftc m MH) y sc fotm

j( M, H) 5 H M

Mfiokmecftc, cfX 7, imjlstmfglm cftrc jos puftos M y H cs

j( M, H) 5 H M

Sf vcgtor M sc jlgc ufltmrlo sl M 5 =.

FKSIO CFZXC JOW QCGZOXCW

Iimemrceos fkuio cftrc M y H mi fkuio ( M, H) quc jctcrelfmf ios jos vcgtorcs y

vcrlalgm 4 ( M, H) .

TXOJSGZO LFZCXFO O CWGMIMX

Jmjos jos vcgtorcs M y H iimemrceos projugto lftcrfo (o csgmimr) jc M y H mifecro rcmi

gos H M H M 5 ( 5 ( M, H) ).

Troplcjmj2

8 8 8=( )8

M H H M H M 5 +

Cf pmrtlguimr sl M y H sof vcgtorcs cf ci pimfo, M 5 (m=,m8) y H 5 (h=,h8)

M H 5 m=h=+ m8 h8

H M

H

M

M

H


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Trgtlgm =

sl M O, cftofgcs M 6 4.

8) M 5 M

7) Wlg X Mg 5 g M .

:) Jcslkumijmj trlmfkuimr2 H M + M + . H


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Trgtlgm =

=7

Wl M 5 (m=, m8, m7, ...,mf ) y H 5 (h=, h8, h7, ...,hf ), iimemrceosjlstmfglm cftrc M y H m imiofkltuj jci vcgtor MH

8 8 8

= = 8 8j( , ) ( ) ( ) ( )

f f M H H M h m h m h m5 5 + + +

Wl M 5 (m=, m8, m7, ...,mf ) y H 5 (h=, h8, h7, ...,hf ) iimemrceos projugto csgmimr jc M y H mifecro rcmi

M H 5 m=h=+ m8 h8+ ... +mf hf

Troplcjmjcs2

TC=.- M H 5 H M

TC8.- M ( H +G ) 5 M H + M G 5 ( H + G ) M

TC7.- Wln X , (nM) H 5 n ( M H) 5 M (nH)

TC:.- Wl M 5 O , M M 5 4. Wl M O, M M 6 4

TC3.- Jcslkumijmj jc Gmug`y-Wg`wmrz2 M H M H

Jmjos cf X f uf vcgtor M y uf pufto T im cgumglf pmrmetrlgm jc im rcgtm I quc pmsm porT cf im jlrcgglf jc M cs2

P 5 t M + T (t X ).

CBCXGLGLOW

Cbcrglglo =.-Cacgtumr ims opcrmglofcs lfjlgmjms.m) M + H> M + 8 H> M H> M + (=/8) H> M 7 H, sl M 5 (7,8) y H 5 (8,:) h) M 7 H> M + G H> 8 M 8 (G + H), sl M 5 (=,8,4)> H 5 (8,4,4) yG 5 (=,=,=)

Cbcrglglo 8.- @miimr, sl cs poslhic, x> y> z tmics qucm) ( x, x +=) 5 (7, y) h) (8 x + y, x 8 y) 5 (=,7)g) (8,:) 5 (8 x + y, x 8 y) j) (=,8,7) 5 x (8,:,7) + y (=,8,=8) + z (4,4,7)

Cbcrglglo 7.- Cfgoftrmr ims goorjcfmjms jci pufto ecjlo jci sckecfto MH pmrmm) M 5 (8,=)> H 5 (:,=) h) M 5 (=,4,3)> H 5 (8,:,;)


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=:

Cbcrglglo :.-Gmiguimr im iofkltuj jc ios vcgtorcs

(7,4)> (8,=)> (7,:)> )7,7,7( > (8,7,4)> 7 (8,7,1)

Cbcrglglo 3.-Krmalgmr cf ci pimfo ci gofbufto W 5 {( x, y) X 8 / ),( y x 5 =}

Cbcrglglo 1.-@miimr im jlstmfglm cftrc M y H slm) M 5 (=,7)> H 5 (:,=) h) M 5 (:,8,1)> H 5 (7,:,:) g) M 5 (=,8,7)> H 5 (7,8,4)

Cbcrglglo ;.- Jctcrelfmr tojos ios vmiorcs jcn tmics quc

m) M 5 8 sl M 5 (=,n , 4)

h) j ( M, H) 5 8 sl M 5 (=,=,=)> H 5 (n , n ,8)

g) M 5 = sl M 5 n (8,8,=)

Cbcrglglo 0.- Wl v 5 (8,=,=)> w 5 (=,4,8)> u 5 (8,8,=), gmiguimr

m) h) g) 7 7+ + +v w v w v w

j) v u c) = ww

a) + v w u

Cbcrglglo H 5 (=,8)>G 5 (8,=)> J 5 (=,4)> C 5 (4,4)>A 5 ( x, y)Gmiguimr M H> M G > M C > H G >

H ( G + J )> ( J G ) M> A M> A C

h) Wcmf M 5 (=,=,=)> H 5 (=,=,4)>G 5 (8,=,=)> J 5 (8,7,=)> C 5 (=,4,8)

Gmiguimr M H> M G > M ( H + G )> M (8 H 7G )>

M J > M C > J ( M + C )

Cbcrglglo ==.-m) Cfgoftrmr y rcprcscftmr cf ci pimfo tojos ios vcgtorcs ( x, y) ortokofmics ml) M 5 (=,8) ll) C = 5 (=,4) lll) C 8 5 (4,=)

h) cfgoftrmr tojos ios vcgtorcs ( x, y, z) jc X 7 ortokofmics ml) C = 5 (=,4,4) ll) C 8 5 (4,=,4) lll) C 7 5 (4,4,=)


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Trgtlgm =

=3

lv) C = y C 8 v) C = y C 7 vl) C 8 y C 7

Cbcrglglo =8.- Jmjos M 5 (=,8) y H 5 (7,:), `miimr tojos ios vcgtorcs ( x, y) jc X 8 tmics quc M ( x, y ) 5 M H

Cbcrglglo =7.- m) Cfgoftrmr uf vcgtor ortokofmi m (=,=) jc iofkltuj 0, cs flgo? h) cfgoftrmr tojos ios vcgtorcs ortokofmics m (4,4,=) jc iofkltuj => jlhubmrios.g) Cfgoftrmr uf vcgtor quc scm ortokofmi m M y m H sl M 5 (=,8,=) y H 5 (8,4,=)

Cbcrglglo =:.- @miimr ci fkuio quc aoremf M y H cf ios slkulcftcs gmsosm) M 5 (=,=)> H 5 (=,4) h) M 5 (=,8)> H 5 (8,=)

g) M 5 (=, 7 )> H 5 (8,8 7 ) j) M 5 (8,=,=)> H 5 (=,=,8)

Cbcrglglo =3.- Cf gmjm gmso, cfgoftrmr H tmi quc

m) sl M 5 (=,=), ( M , H) 5 / : y H 5 8

h) sl M 5 (=,4), ( M , H) 5 / 7 y H 5 =

Cbcrglglo =1.-Wcm M uf vcgtor jc iofkltuj 7. Wl H cs uf vcgtor tmi quc ( M , H) 5 / :

y ( M H) cs ortokofmi m M, gmiguimr . H

Cbcrglglo =;.- Cfgoftrmr ufm cgumglf pmrmetrlgm jcm) im rcgtm quc pmsm por (=,7,=) y tlcfc jlrcgglf (=,8,8) h) im rcgtm quc pmsm por (=,=) y (8,7)g) im rcgtm quc pmsm por ci orlkcf y cs pmrmicim m im rcgtm quc goftlcfc m

M 5 (8,8,=) y H 5 (7,8,=)j) jos rcgtms jlstlftms I= y I 8 quc pmscf por (8,=,8) y scmf pcrpcfjlguimrcs m im rcgtm

I 2 P 5 (8,8,8) + (=,4,=)

Cbcrglglo =0.-Cfgoftrmr im lftcrscgglf jc gmjm pmr jc rcgtmsm) P 5 (8,8,8) + (=,4,4) P 5 (=,=,=) + (4,=,=)

h) P 5 (=,7,=) + (4,=,8) P 5 (8,=,4) + (=,=,8)

g) P 5 (8,8,=) + (7,4,8) P 5 (8,=,=) + (=,=,8)


17/98

=1

Cbcrglglo = H 5 (=,=,8)>G 5 (8,8,=), gmiguimr

M H> H M> M G > M ( H G )> ( M H) G > ( M H) M > ( M H) G

Cbcrglglo 84.- @miimrv, jc forem =, quc scm ortokofmi m M 5 (=,=,=) y m H 5 (=,=,=)

Cbcrglglo 8=.-Gmiguimr ci rcm jcm) ci pmrmiciokrmeo jc vrtlgcsO, M, H y ( M + H ) sl M 5 (8,=,4) y H 5 (=,3,4) h) ci trlfkuio jc vrtlgcs M 5 (=,7,8)> H 5 (=,3,4) y G 5 (=,=,8)

Cbcrglglo 88.- Jmr ufm cgumglf jci pimfo .

m) cs pcrpcfjlguimr m F 5 (=,8,=) y pmsm porT 5 (3,7,7)

h) goftlcfc m ios puftos M 5 (8,=,7)> H 5 (8,=,=) yG 5 (7,7,8)

g) goftlcfc m ios cbcs x c y j) cs pmrmicio mi pimfo 2 7 x + y : z 5 8 y pmsm por ci puftoT 5 (=,=,8)

Cbcrglglo 87.-Wcmf 2 8 x y + 7 z 5 3> 2 x + 7 y z 5 8

I 2 P 5 (=,=,=) + (=,4,8)> I 2 P 5 (7,3,=) + (4,=,8).

Gmiguimr2 I > I > .

Cbcrglglo 8:.-Wcmf I2 P 5 (n 8 +=, n , n +;) y 2 x + 8 y 7 z 5 8.

Jctcrelfmr tojos ios vmiorcs jcn pmrm ios gumics I 5

Cbcrglglo 83.-Wl I 2 P 5 (=,=,7) + (4,8,=) y M 5 (=,8,7),

m) `miimr ufm cgumglf jci pimfo quc goftlcfc m I y mi pufto M

h) `miimr ufm cgumglf jc im rcgtm I pcrpcfjlguimr m quc pmsm por M

g) gmiguimr I y I .

Cbcrglglo 81.- m) Jmr ufm cgumglf jci pimfo quc goftlcfc m ims rcgtms

I2 P 5 (=,8,=) + (7,4,4) y I2 P 5 (8,:,8) + (4,=,=)

h) Wl I2 P 5 (=,8,4) + (=,=,=), jmr ufm cgumglf jci pimfo quc goftlcfc m I y tmi quc

im rcgtm I2 P 5 (=,4,=) + (=,8,7) cs pmrmicim m .


18/98

Trgtlgm =

=;

Cbcrglglo 8;.- Wcmf 2 x= + x8 + x7 5 3 y I2 P 5 (=,=,8). @miimr ufm rcgtm I

goftcfljm cf quc scm pcrpcfjlguimr m I. Cs flgm?

Cbcrglglo 80.- Wcm 2 7 x= 8 x8 + : x7 5 =

m) Jmr ims cgumglofcs jc jos rcgtms I= y I 8 , goftcfljms cf y pcrpcfjlguimrcs cftrc s h) Jmr im cgumglf jc ufm rcgtm I goftcfljm cf quc scm pcrpcfjlguimr m im rcgtmI2 P 5 t (8,7,=) + (8,=,8)

Cbcrglglo 8


19/98

=0

7. Wcmf T5(=,8,4) , ]5(8,=,=) yI 2(=,=,=)+(4,=,7).

Jmr ufm cgumglf jci pimfo quc goftlcfc m im rcgtm pmrmicim mI quc pmsm por T, y m im

rcgtm pmrmicim mI quc pmsm por ].

:. Wcmf ci pimfo 2 8 8 = + 5 x y z , (=,=,=)5 M y (7,8, =)5 H . @miimr tojos ios puftos

y G J tmics quc MHGJ cs uf gumjrmjo.

3. Wcmf = 2 (4,=, =) (4, =,4) + I y 8 2 (=,=,=) (8,7,4)+ I .

Cfgoftrmr, sl cs poslhic, uf pimfo tmi quc ( , ) 8 1 5j T pmrm tojo =T I y pmrm tojo8T I .

1. Wcmf = 27 8 : x y z + 5 , y 8 ci pimfo quc goftlcfc m ios puftos M5(4,=,=),H5(7,=,=) y G5(7,4,=).@miimr tojos ios puftos jci pimfo= quc cstf m jlstmfglm 8 jci pimfo8 .

;. Wcmf = 2 ; 3 8 4 5 x y z , 8 23 : 4 5 x y z , y I im rcgtm quc pmsm por ios puftosT 5 (8,7,7) y ] 5 (=,8,=). @miimr tojos ios pimfos quc vcrlalgmf sleuitfcmecftc2

l) = 8 5 ll) ( , ) =: 5j X pmrm tojo X I .

0. Wcmf 8=2 ( , , =)+ n n n n I >

82 (:,=, =) (8 ,4,8 ) + n n I y 2 8 8 7 + 5 x y z .

@miimr tojos iosn X pmrm ios gumics ( , ) ( , ) 5 j T j ] pmrm tojo =T I y tojo 8] I

I 82(4,=,=)+(8,=,=) y I 72(=,7,=)+(4,3,4).

Cfgoftrmr, sl cs poslhic, ufm rcgtmI tmi quc I =I 8I > I 7I y I I 7 .

=8. Wcmf cf 7X ci pimfo = 8 72 8 8 : x x x + 5 , T5(8,8,8) y ]5(=,4,=).Jctcrelfmr uf pimfo ' quc goftcfkm m T, m ], y mi pufto X jc tmi quc j(T,X)5j(T, ).


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Trgtlgm 8

= cx`lhlr imlfvcrsm gumfjo cxlstm.

= 4 7 4 = 8 = 8 5 5 5 5

4 = 4 7 4 = = 8 M H G J

8 = = 8 = =

5 4 = = 5 4 = =

7 = = 8 4 4

C A = = = =

5 5 +4 8 4 8

K @ K @

Cbcrglglo =7.-Wcm M5= 7 8

4 = =

= 4 =

. Jcgljlr sl M= cs soiuglf jci slstcem


30/98

Trgtlgm 8

8 (8, :, :)5 v > (4,4,4)5w

h) (=, =,7), (8,=, =)5 W (4, 7,8)5 v > ( =, 3,==)5 w

g) (=, =,8,:), (8,=,7, =),(4, 8,=,4)5 W (7,8,:,7)5v > (4, =,4,=)5 w

Cbcrglglo 7.- @miimrmX pmrm quc ci vcgtorw pcrtcfczgm mi suhcspmgloW.

m) (=,8,=),( =,7,8)5 W (8, , 4)m5w

h) (=,4,4,=),(4,8,=, =), (=, , =,4)m5 W (=, =,8,7)5 w

Cbcrglglo :.- Jcgljlr sl ci gofbufto jc vcgtorcs jmjo kcfcrmQ .

m)Q 5X 7 { }(=,=,=),(7,8,=),(=,=,4),(=,4,4)

h) Q 5X7 { }(=,8, =),(4,=, =),(8,3, 7)

g) Q 5X : { }(=, =,4,=), (=, =, =,8),(4,=,8,=), (=,7,=,7)

j) Q 5X 88 = 4 = = = 4

, ,4 8 = = = 4


48/98

Trgtlgm :

:;

Cbcrglglo 3.- @miimr uf gofbufto jc kcfcrmjorcs jci suhcspmgloW.

m) { }7 = 8 7/ : 4 x x x5 + 5x XW

h) { }3 = 8 3 8 7 :/ : 8 4 x x x x x x5 + 5 + 5x XW

g) 8 8= = = =

/ . .8 = 8 =

5 5

P P P XW

j) 8 8= 8

/ . 4, gof8 :

P M P M 5 5 5

XW

Cbcrglglo 1.- Cfgoftrmr uf slstcem jc cgumglofcs guyo gofbufto jc soiuglofcs scmW.

m) (=,4,=)5W

h) (4,=,8, =) , (=,4,=,4)5 W

g) (=,=,=,=) , (8,=,4, =) , (=,4,=,=)5 W

j)= 8 = = 4 =

, ,4 = 8 4 = 4

5

W

Cbcrglglo ;.- Cstujlmr im jcpcfjcfglm o lfjcpcfjcfglm ilfcmi jci gofbufto jc vcgtorcs.

m){ }(8,=,8),(=, 7,4),(3, =,:)

h)= 7 = 7 4 = 4 8

, , ,7 = 4 7 = 4 = =

g) { }(3,:,7,8,=)

j) { }(4,8,=, =),(=,4,4,=),(=,7, 8,=),(8,=, 7, :)

Cbcrglglo 0.- Jctcrelfmr ios vmiorcs rcmics jcn pmrm ios gumics ci gofbuftos jc vcgtorcs csilfcmiecftc lfjcpcfjlcftc.

m){ }(4,=, 8) , (=, =, ) , (=, 7,4)n

h) { }(=, =,7) ,( , =, :) , ( =, =, )n n n n n n + + + +


49/98

:0

g)= 4 = 8 = = 8 7

, , ,4 = 8 4 4 4

n n

n n n

+

Cbcrglglo 8 = 8 78 75 +w v v v > 7 8 785 +w v v

ll) = = 8 75 + w v v v > 8 = 88 75 w v v > 7 8 73 85 w v v

h) pmrm qu vmiorcs jc cs { }= 7 = 8 8 7, 7 , 7 + +v v v v v v ilfcmiecftc lfjcpcfjlcftc?

Cbcrglglo =4.- @miimr hmsc y jlecfslf jc ios slkulcftcs suhcspmglos.

m) { }8 = 8/ 1 8 4 x x5 5x XW

h) { }7 = 8 7/ 7 4 x x x5 + 5x XW

g) { }: = 7 = 8 : = 8 7 :/ 8 8 8 4 x x x x x x x x x5 5 + + 5 5x XW

j) : == 4 = =

/ 4 = 8 =

8 = : =

5 5

XW x x 4

c) 8 8= 8 = 8

/= = = =

P P P 5 5

W X

a) (=,8,7),(7,=,4)5W

k) 78

(8,0, 7), ( =, :, )5 W

`) (=, =,8,=), (8,=,=,=),(=,8, =,4),(4,=,=,=)5 W

l)8 = = 4 4 = 7 =

, , ,= 4 = 8 = : 8 8

5

W


50/98

Trgtlgm :

:4 8 4 = 5

Z

Cbcrglglo =


52/98

Trgtlgm :

3=

g) { }: = 8 7 :/ 8 8 7 4 x x x x5 + + 5x XW (=, =,4,4),(4,=, =,4),(4,=,4, =)5 Z

j)= = 4 = 4 4

, ,8 = = = = = 5

W { }8 8 == 8= 88/ 4 M m m m5 + 5XZ

c) (8,=,4), (=,=, =)5 W (4,=,8),(=,7, =)5 Z

Cbcrglglo 84.- @miimr hmsc y jlecfslf jc +W Z .

m) (=, =,4,=) , (8,=,=,=)5 W (7,4,8,8)5Z

h) (8,=, =) , (=,4,7)5 W { }7 = 8 7/ 8 4 x x x5 + + 5x XZ

Cbcrglglo 8=.-Wcmf { }:

= 8 : = 7 :/ 8 8 4 x x x x x x5 + 5 + 5x XW y(=,7,=, =)>(4,=, 8, 8)5 Z .

m) @miimr ufm hmsc jc +W Z .

h) Csgrlhlr (7,3, ;,=)5v goeo 5 +v s t , gof s W y t Z , jc jos emfcrms jlstlftms.

Cbcrglglo 88.-Wcmf { }7 = 8 7/ 4 x x x5 + + 5x XW , (4,=,8)>(=, =,=)5 Z y (7,=,8)5v .@miimrs W y t Z tmics quc ,v s t .

Cbcrglglo 87.-Wcmf { }: = 8 : = 7/ 8 4 x x x x x5 + 5 + 5x XW y{ }: 8 7 = 7 :/ 8 7 7 4 x x x x x5 + 5 + + 5x XZ . @miimr ufm hmsc jcX : quc goftcfkm m ufm hmsc

jc W y m ufm hmsc jcZ .

Cbcrglglo 8:.-Wcm { }= 8 7 :, , , H 5 v v v v hmsc jc uf cspmglo vcgtorlmiQ y scmf

= 8 8 78 ,5 + +v v v vW y 7 : = 8 :,5 + + +v v v v vZ .

m) @miimr hmsc y jlecfslf jcW Z y jc +W Z .

h) @miimr uf vcgtor +v W Z tmi quc v W y v Z .


53/98

38

Cbcrglglo 83.-Jcgljlr sl + 5 @W Z .

m) { }: = 7 8 7 :/ 8 4 x x x x x5 + 5 + 5x XW , (=,8,=,4)>(4,4,=, =)5 Z ,{ }: = 8 7 :/ 4 x x x x5 + + 5x X@

h) { }3 7 : = 3 = 8 3/ 8 8 4 x x x x x x x5 5 + 5 + 5x XW , (=, 8,=,=,4)>(4,=,8,7,=)5 Z ,{ }3 = 8 3/ 8 4 x x x5 + 5x X@

g) (=,4,=,7)>(8,8,8,7)5W , (7,8,7,1)>(4,4,=,4)5Z , (=,=,4, =)>(8,=,=,8)>(4,=,=,=)5 @

Cbcrglglo 81.- @miimr jos suhcspmglos jlstlftosZ y Z tmics quc 5 5 Q W Z W Z .

m):5 XQ (=,8,=,4), ( =,7,=,=)

5 W

h) 35 XQ { }3 = 7 : 3 = 8 8 7 : 3/ 8 7 8 4 x x x x x x x x x x5 + + 5 5 + + 5x XW

g) { }: = 8 7 :/ 8 4 x x x x5 + + 5x XQ (=, =,4, =),(=, =,=,4)5 W

Cbcrglglo 8;.- Wcmf = 4 = =,4 = 8 4 5

W y { }8 8 == =8 8=/ 4 M m m m5 5 5XZ .

m) Trohmr quc8 8 5 X W Z .

h) Csgrlhlr7 7

goeo gof y3 4

5 5 +

w w s t s tW Z .

Cbcrglglo 80.- Wcmf { }7 = 8 7 8 7/ 8 4 x x x x x5 + + 5 5x XW y{ }7 = 8 7 = 8/ 8 4 x x x x x5 + 5 + 5x XZ . @miimr uf suhcspmglo[ tmi quc

7 y 5 XZ [ W [ .

Cbcrglglo 8


54/98

Trgtlgm :

37

Cbcrglglo 74.- Wcmf { }: = 7 : = 8 7 :/ 4 x x x x x x x5 + 5 + + + 5x XW y

{ }: = 8 7 : = 8 7 :/ 8 4 x x x x mx hx gx jx5 + + + 5 + + + 5x XZ

Jctcrelfmr tojos ios vmiorcs rcmics jcm, h, g, j pmrm ios gumics im suem+W Z fo cs

jlrcgtm.

Cbcrglglo 7=.- Wcmf { }3 = 8 7 : 3/ 8 4 x x x x x5 + 5x X@ ,{ }3 = 8 7 : 3 / 8 4 x x x x x5 + + + + 5x X@ , (=,4,4,=,4)>(4,4,=,4,4)>(=, =,=,=,=)5 [ ,

{ }3 = 8 7 : 3/ 8 4 x x x x x5 5 5x XW y { }3 = 8 7 : 3 / 8 4 x x x x x5 + 5 + + 5x XW .

Cfgoftrmr uf suhcspmglo 3XZ quc vcrlalquc sleuitfcmecftc2

5@W Z > 5@W Z > { }4 Z [ .

Cbcrglglo 78.-Cfgoftrmr tojos ios vcgtorcs jc 7X quc sof ortokofmics m tojos ios vcgtorcsjci gofbufto{ }(=,4, =)>( =,=,7) .

Cbcrglglo 77.-Cfgoftrmr ci goepicecfto ortokofmi jci suhcspmgloW.

m) { }: = 8 7 : = :/ 8 4 x x x x x x5 + + 5 + 5x XW .

h) (=,=,7)>(8,=, =)5 W

g) (8,=,8,4)>(=,4,8,=)>(7,=,:,=)5 W

Cbcrglglo 7:.-Cf 7X , cfgoftrmr ci goepicecfto ortokofmi jc2

m) ci cbc x>

h) ci pimfo goorjcfmjo yz>g) ci pimfo jc cgumglf= 8 77 8 4 x x x+ 5 >

j) im rcgtm jc cgumglf ( =,8,3) P 5 .


55/98

3:

Cbcrglglo 73.-Wcm (8,4,4,7,=)>(4,=,=, =,4)5 W . @miimr ufm hmsc jcW , y jmr uf slstcemjc cgumglofcs guyo gofbufto jc soiuglofcs scm ci suhcspmgloW.

Cbcrglglo 71.-m) Wcmf = 8 721 : 4 x x x + 5 y T 5 (;,3,


56/98

Trgtlgm :

33

Cbcrglglo :4.-Wcm H5{ }= 8 7 :, , ,v v v v ufm hmsc jcX : y scm

= 8 7 = : = 8 7 :, , 7 8n n 5 + + + + +v v v v v v v v vZ .

Jctcrelfmr tojos ios vmiorcs jcn cf X pmrm ios gumics jle 7n 5Z .

Cbcrglglo :=.-Wc smhc quc H5{ }= 8 7, ,w w w cs ufm hmsc jcX 7 y quc ims goorjcfmjms jc iosvcgtorcs (4, =,=), (=,4,=) y (=,=, =) cf im hmsc H sof, rcspcgtlvmecftc, (=,8,8), (=,=, =) y( =, =,4). @miimr im hmsc H.

Cbcrglglo :8.-Wcm { }7 = 8 7/ 8 45 + 5 x x xx XW . @miimr ufm hmsc H jcX 7 quc goftcfkm mufm hmsc jcW y m ufm hmsc jcW , y tmi quc quc vcgtor (4,3,8) tcfkm goorjcfmjms (4,=,:) cfim hmsc H.

CBCXGLGLOW WSXZLJOW

=.Wcm { }= 8 7 :> > >5 H v v v v ufm hmsc jc uf cspmglo vcgtorlmiQ . Wcmf = 7 : 88 >5 v v v vW

y = 8 7 : = 8 7 : = 8 7 :> 8 >5 + + + + + n n n v v v v v v v v v v v vZ .

@miimr tojos ios vmiorcs jcn X pmrm ios gumics 5W Z Q .

8. Wcmf (=,8,4,=)>(4, =,=,4)5 W y { }: = 8 7 : = 7 :/ 8 45 + 5 5 x x x x x x xxZ X .@miimr, sl cxlstc, uf suhcspmglo[ jc eojo quc sc vcrlalquc sleuitfcmecftc2

jle( ) = 5W [ > jle( ) = 5Z [ > jle(( ) ) =+ 5W Z [ > jle 85[

7. Wcmf cf :X ios suhcspmglos (8,=,4,=)5W , { }: = 8 7 :/ 8 45 + 5 x x x xx@ X y

{ }: = 8 : 8 7 :/ 8 45 + + 5 + 5 x x x x x xx[ X .@miimr, sl cs poslhic, uf suhcspmgloZ quc vcrlalquc sleuitfcmecftc2 5W Z @ y {4} Z [ .


57/98

31

:. Wcmf (=,8,=,4)>(4,7,4,8)5W y (=,=,=,=)>(7, =,7, :)5 Z . @miimr ufm hmsc jc:X quc

goftcfkm m ufm hmsc jcW y m ufm hmsc jcZ .

3. Wcmf cf:

X ios suhcspmglos (=,4,=,8)>(=,=,4, =)5 [ ,

{ }:= = 8 7 :/ 8 45 + 5 x x x xx@ X y { }:8 = 8 7 :/ 45 + + 5 x mx x hxx@ X .@miimr, m h X y uf suhcspmgloW tmics quc sc vcrlalquc sleuitfcmecftc2

= 5[ W @ y 8 5[ W @ .

1. Wcmf { }3= = 8 7 = 3/ 8 4>: 4 x x x x x5 + + 5 + 5xW X y

{ }3 8 88 = 8 7 : 3 = 8 7 : 3 8 7 :/ 7 4> 8 3 7 4> 8 4 x x x x n x x x x x n x x x nx5 + + 5 + + 5 + 5xW X .@miimr tojos iosn X pmrm ios gumics= 8

5W W .

;. Wcmf { }= 8 7> >5 H v v v , { }8 7 = 7 8' > >5 + H v v v v v y { }8 7 = 7 ='' > >5 + + H v v v v v

hmscs jc uf cspmglo vcgtorlmiQ y scmf yv w tmics quc (=, =,=)5 Hv y ' (8,4, =)5 Hw .

@miimr "(8 )+ Hv w .

0. Wcmf cf :X ci suhcspmglo { }: 8 7 : = 8 7 :/ 8 45 + 5 + + + 5 x x x x x x xxW X y im hmsc

{ }(=,=,=,=)>(=,=,8,4)>(=,8,4,4)>(8,4,4,4)5 H .

@miimr tojos ios vcgtorcsv quc pcrtcfcgcf mW y guyms goorjcfmjms cf im hmsc H sof jc imaorem (m,h,m,h).

(7,=,4, =)5 Z . @miimr uf suhcspmglo[ jc :X , [ Z jc emfcrm quc sc

vcrlalquc sleuitfcmecftc2 5W [ W Z y + 5W [ +W Z .


58/98

Trgtlgm :

3;

=4. Wcm { }= 8 7 :, , , H 5 v v v v hmsc jc uf cspmglo vcgtorlmiQ .Wcmf = 8 7 : 8 7 :8 8 ,5 + + +v v v v v v vW y = 8 7 = 78 ,5 + + +v v v v vZ .

@miimr uf suhcspmglo tmi quc ( ) 5[ Q [ W Z Q .

==. Wcm (=,=, 4, 8)> (4, ,=, =)> (=, 4, =, )> (4, =, =, 8)m h h5 W .

@miimr tojos ios vmiorcs jcm y h tmics quc (=, =,=,4) 5 W .

=8. Wcmf (=,8,=,=)5W , { }:= = 8 7 :/ 8 4 x x x x5 + 5x X@ y{ }:8 = 8 7 :/ 8 4 x x x x5 + + 5x X@ .

@miimr, sl cs poslhic, ufm hmsc jc:X quc goftcfkm m ufm hmsc jcW, m ufm hmsc jc=@ y m

ufm hmsc jc 8@ sleuitfcmecftc.

=7.Wcmf (=, =,4,4)>(4,4,4,=)>( ,4,=, =)m5 [ y (=,=,=,4)>(8,4,=,=)5W .

Jctcrelfmr mX y uf suhcspmglo@ jc jlecfslf 8, tmi quc + 5W @ [ .

=:. Wcmf (=, =,=,4)>(4,8, =, 8)5 W , { }: = 8 :/ 4 x x x5 + + 5x X@ y im hmsc

H5{(=,4,=,4)> (4,=,4,=)> (4,8,4,4)> (=,4,=,4)}.@miimr uf suhcspmglo : jc XZ tmi quc 5Z W @ , y pmrm tojov Z , ims goorjcfmjms jcvcf im hmsc H sof jc im aorem (m,h,m,h).

=3. Wcmf { }7 7 == 88 77/ 4 M m m m5 + + 5XZ , 7 7, L 5XW W jofjc L cs im emtrlzljcftljmj. Gmiguimr jle( )+W Z .

Wl

= 8 4

= 8 8= = 7

H

5 , `miimr y tmics qucW Z H W Z 5 +W Z .


59/98

30

=1. Im emtrlz8 71 7

tlcfc goorjcfmjms (=,8,4,7) cf im hmsc

= 4 4 4 4 => > >

= = 4 = = 4m h

Hg j

5

. Gmiguimr ims goorjcfmjms jc= 77 8

cf im hmsc H

=;. Wcmf H5{(=,=,4,8)>(4,=,8,4)>(8,=,=,4)>(4,4,4,=)} y

{ }= 8 : 8 7 :/ 8 4 x x x x x x5 + 5 5:x XW . @miimr tojos ios :v X tmics quc v W y ims

goorjcfmjms jcv cf im hmsc H sof jc im aorem (m,4,h,4).


60/98

Trgtlgm 3

3

ci rmfko alim jc M cs im jlecfslf jci suhcspmglo kcfcrmjo por ims alims jc M .

Zcorcem2 Wl M X e f

, cftofgcsrmfko alim jc M 5 rmfko goiuefm jc M

Cstm lkumijmj fos pcreltc `mhimr jc rmfko jc M, quc fotmrceos rk M.

Troplcjmj2 jle Le a 5 rk ( ) E a .

Zcorcem2 Wl M X e f , im jlecfslf jci suhcspmglo jc soiuglofcs jc Mx 5 4 cs f rk M.

Wcmf H 5 {v=, ..., vf } hmsc jc uf cspmglo vcgtorlmi Q jc jlecfslf f y H 5 { w=, ..., we }

hmsc jc uf cspmglo vcgtorlmi [ jc jlecfslf e .

Wl a 2Q [ cs ufm trmfsaoremglf ilfcmi y a (v b) 5 m= bw= + ... + mebwe , = bf ,

iimemeos emtrlz msoglmjm m a cf ims hmscs H y H, m im emtrlz jc e f 2

== =8 =

8= 88 8

= 8

( )

f

f HH

e e ef

m m m

m m m E a

m m m

5

Fotmr quc cf im goiuefm b jc ( ) HH E a cstf ims goorjcfmjms jc a (v b) cf hmsc H .


64/98

Trgtlgm 3

17

Im emtrlz ( ) HH E a cs tmi quc sl v Q , ( )( ) ( ( )) HH H H E a a 5v v .

Ohscrvmglf2 Wl a 2 X f X e y C y C sof ims rcspcgtlvms hmscs gmfflgms,

( ) ( ) CC E a E a 5 .

Fotmglf2 Wl[ 5 Q y H 5 H, csgrlhleos ( ) H E a cf iukmr jc ( ) HH E a .

Troplcjmj2 rk ( ) HH E a 5 jle Le a > jc csto sc jcjugc quc ci rmfko jc ufm emtrlz msoglmjm m

ufm trmfsaoremglf ilfcmi fo jcpcfjc jc ims hmscs cickljms.

Troplcjmj2 Emtrlz jc im goeposlglf 2

WcmfS , Q y [ cspmglos vcgtorlmics, y scmf H, H y H hmscs jc S , Q y [ rcspcgtlvmecftc.

Wl a 2S Q y k 2Q [ sof trmfsaoremglofcs ilfcmics, sc tlcfc2

( ) ( ) ( ) HH H H HH E k a E k E a 5

Troplcjmj2 Wl a 2Q [ cs uf lsoeoralseo y H y H sof hmscs jc Q y [ rcspcgtlvmecftc,

= = ( ) ( ( )) H H HH E a E a

5 .

Wl H y H sof jos hmscs jci cspmglo vcgtorlmi Q , iimemeos emtrlz jc gmehlo jc hmsc jc H m

H, m im emtrlz ( ) HH HHG E lj 5 .

Troplcjmj2 = ( ) H H HHG G 5

Troplcjmj2 Wl a 2Q Q cs ufm trmfsaoremglf ilfcmi y H y H sof hmscs jc Q ,

( ) ( ) H HH H H H E a G E a G 5

o, cf vlrtuj jc im proplcjmj mftcrlor,

= ( ) ( ) ( ) H H H H H H E a G E a G

5


65/98

1:

CBCXGLGLOW

Cbcrglglo =.- Jctcrelfmr sl im aufglf a cs trmfsaoremglf ilfcmi.

m) a 2X 7 X 8 , a ( x=, x8, x7) 5 ( x= x8, 8 x=)

h) a 2X 8 X 7 , a ( x=, x8) 5 ( x= x8, 4, 4)

g) a 2X 8 X 78 , a ( x=, x8) 5= = 8

=

4 4

4

x x x

x

j) a 2X 87 X 78 , a ( M) 5 Mt

Cbcrglglo 8.- @miimr im cxprcslf jc im trmfsaoremglf ilfcmi a .

m) a 2X 7

X :

tmi quc a (=,4,4) 5 (8,=,=,=), a (4,=,4) 5 (7,=,=,4) y a (4,4,=) 5 (4,4,:,=). h) a 2X 7 X 7 tmi quc a (=,=,=) 5 (4,7,=), a (=,4,=) 5 (8,=,=) y a (=,=,4) 5 (7,8,:).

g) a 2X 8 X 88 tmi quc a (=,=) 58 =

7 4

y a (=,=) 54 =

8 =

.

Cbcrglglo 7.- Jcgljlr sl cxlstc ufm trmfsaoremglf ilfcmi a quc smtlsamgc2m) a 2X 7 X 8 , a (=, 8,4) 5 (7,:) , a (8,4,=) 5 ( =,=) , a (4,:,=) 5 ( ;, ;)

h) a 2X 7 X 7 , a (=,=,=) 5 (8,7,:) , a (4,=,=) 5 (=,8,=) , a (=,8,8) 5 (=,=,3)

g) a 2X 8 X 7 , a (=,=) 5 (8,=,=) , a (=,4) 5 (4,8,4) , a (3,8) 5 (:,0,8)

Cbcrglglo :.- @miimr ufm hmsc y im jlecfslf jc Fu a y jc Le a .

m) a 2X 7 X 7 , a ( x=, x8, x7) 5 ( x= + x8 + x7, x= x8, 8 x8 + x7)

h) a 2X : X : , a ( x=, x8, x7, x: ) 5 ( x= + x7, 4, x8 +8 x7, x= + x8 + x7 )

g) a 2X 7 X 88 , a ( x=, x8, x7) 5 8 7 = 7= 8 8 7

x x x x

x x x x

+ +

Cbcrglglo 3.- Wcm a 2X 7 X 8 im trmfsaoremglf ilfcmi a ( x=, x8, x7) 5 ( x= x8, x8 + x7)

y scmf v 5 (8,7) > W 5 (=, 8,=) > Z 5 { x X 8 / 7 x= 8 x8 5 4 }.

@miimr a (W), a =(v) y a =(Z ).


66/98

Trgtlgm 3

13

Cbcrglglo 1.- Gmiguimr jle Fu a y jle Le a .

m) a 2X 7 X 3 eofoeoralseo h) a 2X : X 7 cpleoralseo

g) a 2X : X : a (x) 58 x

Cbcrglglo ;.- Wcm H 5 {v=, v8, v7} ufm hmsc jc Q . Wcm a 2Q Q ufm t.i. tmi quc2 a (v=) 5 v= v8 v7 > a (v8) 5 mv8 + v7 > a (v7) 5 v= + v8 + mv7.

Jctcrelfmr tojos ios vmiorcs jc m pmrm ios gumics a fo cs eofoeoralseo. Tmrm gmjm ufo jc

ciios gmiguimr ci fgico jc a .

Cbcrglglo 0.- Jcalflr ufm trmfsaoremglf ilfcmi quc vcrlalquc ims gofjlglofcs cfufglmjms.

m) a 2X 8 X 8 tmi quc Fu a 5 { x X 8 / x= + 8 x8 5 4 }, Le a 5 (=,4)

h) a 2X : X : tmi quc Fu a 5 { x X : / x= + x8 + x: 5 x8 + x7 5 4 }

g) a 2X 7 X : tmi quc (=,=,8) Fu a , Le a 5 (=,4,=,=),(8,=,4,=)

j) a 2X : X 8 tmi quc (=,4,=,7) Fu a y a cs cpleoralseo

c) a 2X : X : tmi quc Fu a 5 Le a 5 (8,=, =,4), (4,=,4,=)

a) a 2X 7 X 7 tmi quc a fo cs eofoeoralseo y (=,=,=) Le a

k) a 2X : X : tmi quc Fu a 5 Le a y a (7,8,=,=) 5 a (=,8,4,=) 4.

Cbcrglglo x= 7 x7 + x: 5 4 } >

W8 5 { x X : / 8 x= x8 x7 + x: 5 4 } > Z = 5 (=,4,=),(4,=,=) > Z 8 5 (8,=,7),(4,4,=) .

@miimr ufm trmfsaoremglf ilfcmi a 2X : X 7 quc vcrlalquc sleuitfcmecftc2

a (W=) Z = > a (W8) Z 8 > jle Fu a 5 =.

Cbcrglglo =4.- @miimr` 5 k a , t 5 a k y jctcrelfmr ci fgico y im lemkcf jc a , k, ` y t .

m) a 2X 7 X 8 , a ( x=, x8, x7) 5 ( x=, x= + x8 x7), k 2X 8 X 7 , k ( x=, x8) 5 ( x= x8, x=, x8).

h) a 2X 7 X 7 im trmfsaoremglf ilfcmi tmi quc

a (4, 4, =) 5 (4, =, =) , a (4, =, =) 5 (=, 4, =) , a (=, =, =) 5 (=, =, 4)

k 2X 7 X 7 , k ( x=, x8, x7) 5 (8 x= + x7, x8 x7, 8 x= + x8)


67/98

11

Cbcrglglo ==.- @miimr im aufglf lfvcrsm jci lsoeoralseo a .

m) a 2X 7 X 7 a (=, =, =) 5 (=, =, =) , a (8, 4, =) 5 (=, =, 4) , a (4, =, 4) 5 (4, 4, =)

h) a 2X 8 X 8 a ( x=, x8) 5 ( x= , x= x8)

g) a 2X 87 X 78 a ( M) 5 Mt

Cbcrglglo =8.- WcmW 5 { x X : / x= + x8 5 4, x7 + x: 5 4, x= x7 + x: 5 4 }.

Jcalflr ufm t.i. a 2X : X : tmi quc W Fu a Le a y a (=,4,=,4) 5 (=,4,=,4).

Cbcrglglo =7.- Wcmk 2X 7 X : im t.i. k ( x=, x8, x7) 5 ( x= x8, x7, x= + x7, x=).

Jcalflr, sl cs poslhic, ufm t.i. a 2X : X : tmi quc2

a 4 , a k 5 4 y Fu a + Le a 5 X :

Cbcrglglo =:.- WcmfW 5 { x X : / x= x8 x7 5 x= + x7 x: 5 4} y

Z 5 { x X : / 8 x= x8 x: 5 4}.

Jcalflr ufm t. i. a 2X : X : quc vcrlalquc sleuitfcmecftc Fu a 5 W y Fu a a 5 Z .

Cbcrglglo =3.- Jcalflr uf proycgtor p tmi quc

m) p 2X 8

X 8

, Fu p 5 ( =, 8) c Le p 5 ( =,=) . h) p 2X 7 X 7 , Fu p 5 (=,=, 8) . Cs flgo?

g) p 2X : X : , Fu p 5 (=,=,=,=), ( =,4,=,=),(=, 8,7,7) , Le p 5 (=,8,4,=),( =,=,:,8)

Cbcrglglo =1.- Csgrlhlr im emtrlz ( ) E a .

m) a 2X 7 X 8 a ( x=, x8, x7) 5 ( x= + : x8 7 x7, x= + x7)

h) a 2X 8 X : a ( x=, x8) 5 ( x= + x8, 8 x= + x8, x= + 7 x8, x=)

g) a 2X 7 X : tmi quc a (=,4,4) 5 (8,7,=,=)> a (4,=,4) 5 (8,=,7,8)> a (4,4,=) 5 (4,=,8,=).

j) a 2X 7 X 7 tmi quc a (8,4,4) 5 (:,8,8) > a (4,:,4) 5 (=,=,=) > a (4,4,7) 5 (4,4,=).


68/98

Trgtlgm 3

1;

Cbcrglglo =;.- Wcm a 2X 7 X 7 tmi quc ( ) E a 5= 8 =

7 = 8

8 4 8

.

m) Gmiguimr a (=, 8, =)> a (3, ;, 8)> a (4, 4, =).

h) @miimr hmscs jc Fu a c Le a .

Cbcrglglo =0.- Cf gmjm gmso `miimr ( ) HH E a .

m) a 2X 7 X 7 a ( x=, x8, x7) 5 (8 x= + x8, x= x7, x= +8 x8 + x7)

H 5 H 5 C

h) a 2X 8 X 8 a ( x=, x8) 5 ( x= 8 x8, x=)

H 5 {(=,4), (=,=)} H

5 {(=,=), (4,=)}g) a 2X 7 X 8 a ( x=, x8, x7) 5 ( x= x8, x= + x8 + x7)

H 5 {(=,=,8), (4,8,=), (4,4,=)} H 5 {(8,=), (=,=)}

j) a 2X : X 7 a ( x=, x8, x7, x: ) 5 ( x= x7, 8 x: , x8 + x7)

H 5 {(=,=,8,4), (4,8,=,=), (4,4,8,=), (4,4,4,=)} H 5 C

Cbcrglglo =


69/98

10

Cbcrglglo 88.-Wcm a 2X 7 X : tmi quc ( ) HH E a 5

= = =

= 4 8

= 8 4

4 = =

, gof

H 5 {(4,4,8), (4,=,=), (8,=,4)} y H 5 {(=,4,4,4), (=,=,=,4), (=,=,4,=), (4,=,=,=)}

m) Gmiguimr a (4,8,=)

h) @miimr ufm hmsc jc Le a y ufm hmsc jc Fu a .

Cbcrglglo 87.- Wcm p 2X 8 X 8 uf proycgtor quc fo cs ljftlgmecftc fuio y cs jlstlfto jc

im ljcftljmj. Trohmr quc cxlstc ufm hmsc H jc X 8 tmi quc ( ) H E a 5= 4

4 4

.

Cbcrglglo 8:.- Wcm a 2X : X 7 im trmfsaoremglf ilfcmi tmi quc im emtrlz jc a cf ims hmscs

H 5 { v=, v8, v7, v: } y H 5 { w=, w8, w7} cs ( ) HH E a 5= 7 = 4

8 8 = =

= = = =

.

m) Gmiguimr2 a (v= 8v7) > a (v7 + v: )

h) Jmr hmscs jc Fu a c Le a .

g) Gmiguimr a =(w=)

Cbcrglglo 83.- Wcm a 2X 7 X 7 tmi quc ( ) HH E a 5= = 4

4 8 =

= 4 m

gof

H 5 {(=,=,=), (=,=,4), (=,4,4)} y H 5 {(=,=,=), (4,=,=), (4,4,=)}.

@miimr tojos ios vmiorcs jc m pmrm ios gumics a (=,8,=) 5 (4,=,1).

Cbcrglglo 81.-

m) Wcm a 2X 7 X 7 tmi quc ( ) E a 58 :

8 =

= =

n n

n

.

Cfgoftrmr tojos ios vmiorcs jc n pmrm ios gumics a fo cs uf eofoeoralseo.


70/98

Trgtlgm 3

1 a (=,4,4,4) 5 (=,8,8,=) > a (4,=,4,4) 5 (4,=,=,4).

Gmiguimr ( ) E a .

:. Wcm a 2X 7 X 7 ufm trmfsaoremglf ilfcmi tmi quc ( ) E a 58 = 4

3 =

0 8

n

n

.

@miimr tojos ios vmiorcs jc n X pmrm ios gumics Fu a {4} y Fu a Le a .

3. Wcmf { }: = 8 7 : = 7 :/ 8 7 4 x x x x x x x5 + 5 + 5x XW y{ }: = 8 :/ 8 4 x x x5 5x@ X .

@miimr ufm trmfsaoremglf ilfcmi a 2X : X : quc vcrlalquc sleuitfcmecftc2

a (W) W > Le a 5 @ > Fu ( ) a a 5 W.

1. Wcmf cf:X

ios suhcspmglos (=, 8, =, 8)5 W

, (4, 8,7,8)>(=, =,=, 8)5 [

y

{ }: = 8 7 :/ 45 + + 5 x x x xxZ X .Jcalflr, sl cs poslhic, uf lsoeoralseo : :2 a X X quc smtlsamkm sleuitfcmecftc2

( )+ 5 + a W Z W [ > { }( ) 4 5 a W W > { }( ) 4 5 a W [ .


73/98

;8

;. Wcm a 2X : X : = 8 7 : = 8 7 7 : = 8 : = 8 7( , , , ) ( 8 , , 8 , 8 : 8 )5 + + + + + + + a x x x x x x x x x x x x x x x .

Jcalflr, sl cs poslhic, ufm trmfsaoremglf ilfcmi k2X : X : quc vcrlalquc

sleuitfcmecftc2 Le ( ) Le5 a k a y 45k a .

0. Wcm a 2X 3 X : im t.i. jmjm por ( ) E a 5

8 = 8 : == 4 = 8 4

7 = 7 1 =

= 1 = 8 4

m) @miimr ufm hmsc H= pmrm Fu a y cfgoftrmr uf gofbufto H 8 jc vcgtorcs jc X 3 tmi quc

H 5 H = H8 cs ufm hmsc jc X 3.

h) Trohmr quc ios trmfsaoremjos jc ios vcgtorcs jc H 8 por a , sof ilfcmiecftc

lfjcpcfjlcftcs y cxtcfjcr cstc gofbufto m ufm hmsc H jc X : .

g) Gmiguimr ' ( ) HH E a .

(=,=,=,=)>(=, 8,4,=)5Z Jcalflr, sl cs poslhic, ufm t. i. a 2X : X : quc vcrlalquc sleuitfcmecftc

( ) ( )5 a a W Z y jle(Fu ) =5 a .

=4.Wcmf cf :X ios suhcspmglos (=,4, =,=)>(=,=,4, =)5 [ y

{ }: = 7 :/ 4 x x x5 5x@ X y scm cf 7X ci suhcspmglo { }7 = 8 7/ 8 4 x x x5 + 5x XW .Jcalflr, sl cs poslhic, ufm trmfsaoremglf ilfcmi : 72 a X X quc smtlsamkm

sleuitfcmecftc2 ( ) a 5@ W > ( ) a 5[ W > (=,=, =,=) (8, 8, 7) a 5 .

==.Wcmf W 5 { }: = 8 7 :/ 4 x x x x + + + 5x X y a 2 X : X : im t.i. jmjm por= 8 7 : = : 8 : = 8 = 8 :( , , , ) ( , , , 8 ) a x x x x x x x x x x x x x5 .

Jcalflr, sl cs poslhic, ufm t.i. k2 X 7 X : tmi quc Fu ( ) a k 5 9( =,4,8)6 c Le k 5 W.

=8.Wcmf { }(=,=,=)>(=,=,4)> (=,4,4)5 H y { }' (4, 4,=)>(4,=,=)>(=,=,=)5 H hmscs jc 7X y scm

7 72 a X X im t.i. tmi quc '

= 7 4

( ) = 4 7

8 8 :

5

HH E a . Gmiguimr a-=(8,8,3).


74/98

Trgtlgm 3

;7

=7. Wcm {(=,=,4,4)>(4,=,=,4)>(=,4,4,=)>(4,4,4,=)} H 5 y scm : :2 a X X ufm

trmfsaoremglf ilfcmi tmi quc

= = =

4 = = 4( )

= 4 4 4

= = =

HC

m

E a

h

5

.

Jctcrelfmr m y h sl sc smhc quc (8,7,=, =) (8,=,8,:) a 5 y jle(Fu ) = a 5 .

=:. Wcmf { }= 8 7> > H 5 v v v y { }= 8 8 7 = 7' > >5 + + + H v v v v v v hmscs jc uf c.v. Q >

a 2 Q Q im trmfsaoremglf ilfcmi tmi quc

8 =

( ) = 4 7

= = 8

5

HH

m

E a y 8 735 +v v v .

Jctcrelfmr m X tmi quc jle(Le ) 85 a , y pmrm cim `miimjo jcgljlr sl Le a v .

=3. Wcm 7 72 a X X im trmfsaoremglf ilfcmi tmi quc '= 4 8

( ) = 8 4

= = =

5

HH E a , gof

{(=,=,=)>(4,=, =)>(4,4, =)}5 H y ' {(=, =,4)> (4,4,=)> }5 H v hmscs jc 7X .

@miimrv pmrm quc (4, 4, =) (8, 7, 8) 5 a .Jmr ufm hmsc jc ( ) a W , sl ( =,=,4)5 W .

=1.Wcmf a 2X 7 X 7 jmjm por = 8 7 = 8 = 8 7 8 7( , , ) ( , : , 8 )5 + + a x x x x x x x x x x y k2X 7 X 7

im t. i. tmi quc

= = 8

( ) 4 = =

4 7 8

5

H E k , gof { }(4,4, =)>(=, =, 8)>(4,=,7)5 H .

Gmiguimr (7, =, 7) a k .

=;. Wcmf { }= 8 7> >5 H v v v y { }8 7 = 8 7 = 8' > >5 + + H v v v v v v v hmscs jc uf c.v. Q y scm

2 a Q Q im t.i. tmi quc '

= 8 =

( ) 8 = 8

= 7 7

5

HH E a . @miimr ufm hmsc jc Le( ) a a .


75/98

;:

=0.Wcmf { }= 8 7> > H 5 v v v y { }= 8 7 8 7 7' > >5 + + + H v v v v v v hmscs jc uf c.v. Q y


= = 4

( ) 4 4 4

4 = =

5

HH E a .

@miimr, sl cs poslhic, ufm hmsc " jc H Q tmi quc "

4 = 4

( ) 4 4 4

4 4 =

5

H E a .

= ' (=,3,8,=), (4,8,8,8)5W >

{ }= 8/ 4 x x5 5:

xZ X y ' (=, 8,4,4), (=,=,=,=), (=,4,4,4)5Z .

Jcalflr ufm t.i. : :2 a X X quc vcrlalquc sleuitfcmecftc2

l) ( ) a W Z ll) ( ') ' a W Z lll) jle ( ') jle( ') a + 5 +W W W W

88. Wcm a 2 X 7 X : , = 8 7 = 7 = 8 7 8( , , ) ( 8 , , , ) a x x x x x x x x x5 + + y scmf

W 5 9 (=,4,=)> (4,=,=)6 y v5(=,7, =).

Jcalflr ufm t. i. k2 X : X 7 tmi quc ` 5 ko a smtlsamkm` (v) W y jle(Fu ` )5=.

87. Wcmk2 X 7 X 8 im t.i. = 8 7 = 8 8 7( , , ) ( ,7 )k x x x x x x x5 +

Jcalflr uf proycgtor p2 X 7 X 7 tmi quc 4k p 5 .


76/98

Trgtlgm 3

;3

8:. Wcm H5{(8,=,=)>v>w} hmsc jc X 7 y a 2 X 7 X 7 im t.i. tmi quc= 8 =

( ) 4 = 7

= 7 8 CH E a

5

@miimrv y w sl sc smhc quc a (1,

7,=) 5 (=,8,=) y a (3,

8,=) 5 (=,

=,4).

83. Wcm { }7 = 8/ 8 4 x x5 5x XW . Wcm H5{(=,=,=)> (=,=,4)> (=,4,4)} y a 2X 7X 7 tmi quc

( ) HC E a 58 8

= 4 4

0 0 0

= =

m m

m m m

+ +

.

@miimr tojos ios vmiorcs jc m pmrm ios gumics { a (4,=,8)> a (=,4,:)} cs hmsc jc W.

81. Wcmf H 5 {v=, v8, v7+v=, v: } ufm hmsc jc X : , W 5 9 v=, v8 , v7 6 y a 2X : X : jmjm por

( ) H E a 5

4 = = 4

= 8 4 =

= 7 = =

8 8 8 4

. @miimr im jlecfslf y ufm hmsc jc a (W) Fu a .

8;. Wcm a 2X 7X 7 tmi quc8 = 4

( ) 3 =

0 8

E a n

n

5 . Jctcrelfmr tojos ios vmiorcs jc n pmrm ios

gumics cs Fu {4} a y Fu Le a a .

80. Wcmf H 5 {(=,=,4)>(4,=,=)>(4,4,=)} y a y k2 X 7 X 7 jmjms por

= 8 7 = 7 = 8 8 7( , , ) ( , , )k x x x x x x x x x5 + + y= 4 =

( ) = = 4

4 = 4 H E a

5

. @miimr =( ) (=,=,=) a k .


77/98

;1

8 >( , , ) H m h g5 v w scm ufm hmsc

jc X 7 y3 4

( ) 3 4

4 4 HC

m E a h

g

5 .

74. Wcmf H 5 {(4,=,=)>(=,4,4)>(=,=,4)}, a 2 X 7 X 7 jmjm por= 4 =

( ) 4 = =

= = = HC E a

5

y

{ }7 = 8 7/ 8 3 4 x x x5 + 5x XW . Jcgljlr sl (


78/98

Trgtlgm 1

;;

TXGZLGM 1FECXOW GOETICBOW \ TOILFOELOW

JCALFLGLOFCW \ TXOTLCJMJCW

FECXOW GOETICBOW

Ci gofbufto G jc ios fecros goepicbos cs2

G 5 { z 5 m + hl / m, h X > l8 5 =}

Wl z G , im rcprcscftmglfm + hl sc iimem aorem hlfelgm jc z.

Im pmrtc rcmi jc z cs m2 Xc z 5 m.

Im pmrtc lemklfmrlm jc z cs h2 Le z 5 h.

Wl z, w G z 5 w Xc z 5 Xc w c Le z 5 Le w

Wcmf z 5 m + hl y w 5 g + jl jos fecros goepicbos>

im suem cs z + w 5 (m + g) + (h + j )l

ci projugto cs z w 5 (mg hj ) + (mj + hg)l

Im suem cs msoglmtlvm y gofeutmtlvm> ci projugto cs msoglmtlvo y gofeutmtlvo y vmic im

proplcjmj jlstrlhutlvm rcspcgto jc im suem.

Fotmglf2 m + ( h)l 5 m hl m + 4l 5 m 4 + hl 5 hl

Wl z G , z 5 m + hl , iimemrceos gofbukmjo jc z m z m hl5

y iimemrceos ejuio jc z mi fecro rcmi fo fckmtlvo 8 8 z m h5 +

Ohscrvmglofcs =) 8 5 z z z 8) Wl z 4, = 8 5 z z

z

Troplcjmjcs2

G=) z z5

G8) z w z w+ 5 +

G7) 5 z w z w

G:) Wl z 4, = =( ) z z 5

G3) 8Xc+ 5 z z z G1) 8(Le ) 5 z z z l

E=) z 5 4 4 z 5

E8) 5 z w z w

E7) z z5

E:) z z5

E3) Wl z 4 == z z 5

E1) Wl w 4 z z

w w5


79/98

;0

Wl z G , z 5 m + hl , z 4, iimemrceos mrkuecfto jc z mi flgo fecro rcmi mrk z tmi

quc 4 mrk z 9 8 > gosmrk 5 m z z

> scf mrk 5 h z z

Wl z G , im aorem trlkofoetrlgm jc z cs (gos mrk scf mrk )5 + z z z l z

Wl z 5 (gos + lscf ) y w 5 (gos + lscf ), gof , 6 4 , , X , cftofgcs

z 5 w 5 (cs jcglr z w5 ) y 5 + 8n pmrm mikfn R .

Zcorcem jc Jc Eolvrc. Wcmf z, w G , z 4, w 4.

Wl (gos scf )5 + z z l y (gos scf )5 +w w l cftofgcs

(gos( ) scf( ))5 + + + z w z w l Goroimrlo.

== (gos( ) scf( ))

(gos( ) scf( ))

(gos( ) scf( ))

(gos( ) scf( ))

5 + 5 +

5 +

5 + ff

z z l

z z l

z zl

w w

z z f l f f

R

Wlw G , w 4, ufmrmz f-slem jc w cs uf fecro z G tmi quc zf 5 w.Troplcjmj. Wl z cs ufm rmzf -slem jc w cftofgcs2

= mrk 8 mrk 8(gos scf )+ +5 +f w n w n z w lf f

pmrm mikf cftcron tmi quc 4 n f =.

Wl z G , (gos scf )5 + z z l , imfotmglf cxpofcfglmi jc z cs l z z c 5

Troplcjmjcs. Wl , X

( )

l l l

l l l

c c c

c c c

+

5 55


80/98

Trgtlgm 1

; z cs rmz jcT sl y sio sl ( x z) | T.

Zcorcem.

WlT N ^PU y m=, m8, ..., mr N sof rmgcs jcT gof ml m b sl l b, cftofgcsT( x) 5 ( x m=)( x m8)...( x mr ) ] ( x) gof ] N ^PU.

Goroimrlo. WlT cs uf poilfoelo jc krmjo f cftofgcs T tlcfc m io sueo f rmgcs.


81/98


82/98

Trgtlgm 1

0=

CBCXGLGLOW

FECXOW GOETICBOW

Cbcrglglo =.- Jmr im aorem hlfelgm jc z.

m)=

(7 ) ( 3 )3 z l l5 + + h) ( 8 )( 7 ) z l l5 + g)= =

(7 )(7 ) (7 8 )7 7 z l l l5 + + +

Cbcrglglo 8.- Jmr im aorem hlfelgm jc z.m) =(= 8 )(= 8 ) z l l 5 + h) (= )(8 7 )(7 8 ) z l l l5 + + +

g) =(= ) ( 8 8 ) ( 8 3 ) z l l l5 + + + +

Cbcrglglo 7.- Gmiguimr z .

m) ( 8 ) (7 8 7 ) z l l5 + + h) =(= )(= ) z ml ml m5 + X

g) =(7 ) z l 5 j) = z l l l5 + +

c) (= )(= 8 )(7 ) z l l l5 + a) =47(= 7 ) z l5 +

Cbcrglglo :.- Jmr im aorem hlfelgm jc z .

m) = z l l5 + h) = z l l l5 + + +

g) (= 8 )(8 ) z l l5 j) (= 7 )(= 7 ) z l l5 +

Cbcrglglo 3.- Xcprcscftmr cf ci pimfo tojos ios zG tmics quc2m) 7 z 5 h) 8 z g) z z5

Cbcrglglo 1.-

m) Xcprcscftmr cf ci pimfo ci gofbuftoH { / = 8} z z l5 + G .

h) Xcprcscftmr cf ci pimfo ci gofbufto H { / = 7 } z z z l5 + G .

g) Wl =M { / Xc =, Le }8

z z z5 G y H { / = 7 3} z z l5 5G , rcprcscftmr

G M H5 .

Cbcrglglo ;.- Csgrlhlr cf aorem hlfelgm tojos ios zG tmics quc2

m) 8 = : 7 z l5 h) 8 =1 =: 7 z l5 +

g) 8 8 7 4 z z+ + 5 j) 8 3 8 z l z5

Cbcrglglo 0.- @miimr tojos ios zG tmics quc su gofbukmjo golfgljc gof su gumjrmjo.


83/98

08

Cbcrglglo


84/98

Trgtlgm 1

07

Cbcrglglo =1.-

m) Csgrlhlr cf aorem hlfelgm lc , 7l

c

, 8 lc ,31

lc

.

h) Cxprcsmr cf aorem cxpofcfglmi ims rmgcs qulftms jc =.

g) Trohmr quc t X cs gos 8

lt lt c ct

+5 y scf 8

lt lt c ct l

5

TOILFOELOW

Cbcrglglo =;.- GmiguimrT] , 7T + ] y T8 ] c lfjlgmr ci krmjo jc gmjm ufo.m)T( x) 5 8 x + = ] ( x) 5 x8 + 7 x 8

h) T( x) 5 7 x8 + x = ] ( x) 5 < x8 7 x + 1

g) T( x) 5 x7 7 ] ( x) 5 x7 + 8 x8 + =

Cbcrglglo =0.- Cfgoftrmr, sl cxlstcf, m, h y g cf X tmics quc2

m) 7 x 8 5 m( x8 + x + 7) + h( x8 8 x + =) + g( x8 7)

h) (8 x =)( x + =) 5 mx8 + h( x + =)( x + 7)

Cbcrglglo =


85/98

0:

c) T( x) 5 x3 83 x7 + 03 x8 =41 x + :3 smhlcfjo quc (8 + l) cs rmz

a) T( x) 5 x: T(8) 5 8 > T(=) 5 4

h) Cfgoftrmr im cgumglf jc ufm pmrhoim quc pmsc por T=, T8 y T7, jofjc

T= 5 (=,=) > T8 5 (4,=) > T7 5 (8,8)

g) Cfgoftrmr uf poilfoelo jc krmjo : quc smtlsamkm2

T(=) 5 = > T(4) 5 = > T(=) 5 :

CBCXGLGLOW WSXZLJOW

=.@miimr tojos ios z G tmics quc2m) 7 7 z lzz5 h) 7(= 7 ) 8l z z+ 5

8. Wcm z

G , z

=, tmi quc z 5=. Gmiguimr=

Le( )=

+

z

l z .

7. @miimr uf poilfoeloT X P U, jc krmjo efleo, quc vcrlalquc2T(=+l) 5 4 > = cs rmz johic jcT > Le(T(l)) 5 80

:. WcmT( x) 5 ( x7 mx8 m8 x + =)( x8 m8). @miimrm pmrm quc = scm rmz johic jcT.

3. WcmfT( x) 5 x: + x7 ; x8 0 x 0 y ] ( x) 5 x7 =. Wc smhc qucT y ] tlcfcf miecfos ufm rmz goef. @miimr tojms ims rmgcs jc T cf G .

1. @miimr uf poilfoelo ^ UT P X , jc krmjo efleo, quc vcrlalquc sleuitfcmecftc2ims soiuglofcs jc 8 3 z z5 sof rmgcs jcT> T tlcfc mikufm rmz johic>T(=) 5 7=.

;. Cfgoftrmr tojms ims rmgcs jcT( x) 5 x3 + x: + x7 + 8 x8 =8 x 0 , smhlcfjo quc tlcfcmikufm rmz lemklfmrlm purm.


87/98

01

0. m) @miimr tojms ims rmgcs scxtms jc (= +l)

h) Cxlstc ufm rmz scxtm jc (= +l) guyo gofbukmjo scm tmehlf rmz scxtm jc (= +l)?

g) @miimr ci projugto jc tojms ims rmgcs scxtms jc = +l.

T(=) 5 7> T(=) 5 7.

==. Cfgoftrmr tojos ios z G tmics quc ; 7 =48 z z l5 .

=8. @miimr z= y z8 tmics quc mehos scmf soiuglofcs jc 8(= ) (8 8 )l z l z 5 + y quc mjces

vcrlalqucf =Xc( ) 4 z 9 > = 8Le( ) 4 z z 6 .

=7. Cfgoftrmr uf poilfoelo ^ UT P X jc krmjo efleo quc tcfkm por rmgcs m imssoiuglofcs jc im cgumglf 8(8 Le Xc ) 3 =8 z l z l 5 + .

=:. @miimr uf poilfoelo ^ UT P X jc krmjo :, quc guepim ims slkulcftcs gofjlglofcs2l) ci gocalglcftc prlfglpmi jc T cs lkumi m 1 ll)=l cs rmz jcT

lll) ci goglcftc cftrc jos jc sus rmgcs rcmics cs lkumi m : lv)T(4)5=


88/98

Trgtlgm ;

0;

TXGZLGM ;MSZOQCGZOXCW \ MSZOQMIOXCW

JCALFLGLOFCW \ TXOTLCJMJCW

Wcm M

X f f

. Sf vcgtor v

X f

, v

4, cs uf mutovcgtor jc M (o vcgtor proplo), slcxlstc X tmi quc Mv 5 v.

Jlrceos quc ci fecro cs uf mutovmior jc M (o vmior proplo) y quc ci vcgtor v cs uf

mutovcgtor jc M msoglmjo mi mutovmior .

Wcm a 2Q Q ufm trmfsaoremglf ilfcmi. Sf vcgtor v Q , v 4, cs uf mutovcgtor jc amsoglmjo mi mutovmior , sl a (v) 5 v.

Ci gofbufto W 5 { v Q / a (v) 5 v } cs ci suhcspmglo msoglmjo mi mutovmior .

Wcm a 2X f X f ufm trmfsaoremglf ilfcmi. Wl v cs uf mutovcgtor jc a msoglmjo mi

mutovmior y M 5 ( ) E a , cftofgcs v cs uf mutovcgtor jc M msoglmjo mi elseo

mutovmior , pucs Mv 5 a (v) 5 v

Troplcjmj2 cs mutovmior jc M sl y sio sl im emtrlz M L fo cs lfvcrslhic, o scm, sl y

sio sl jct( M L ) 5 4.

Ci poilfoelo T( ) 5 jct( M L ) sc iimem poilfoelo gmrmgtcrstlgo jc M. Wu krmjo cs f y

ios mutovmiorcs jc M sof rmgcs jc T.

Troplcjmj2 Wl l b l b y v=, ..., vr sof mutovcgtorcs jc M msoglmjos m ios muto-

vmiorcs =, ..., r , rcspcgtlvmecftc, cftofgcs { v=, ..., vr } cs ilfcmiecftc lfjcpcfjlcftc.

Im trmfsaoremglf ilfcmi a 2Q Q sc jlgc jlmkofmilzmhic sl cxlstc ufm hmsc H jc Q tmi

quc ( ) H E a cs jlmkofmi.

Troplcjmj2 Wl a 2Q Q cs ufm trmfsaoremglf ilfcmi y H cs ufm hmsc jc Q aoremjm

por mutovcgtorcs jc a , cftofgcs ( ) H E a cs jlmkofmi.

Troplcjmj2 Wl jle Q 5 f y a tlcfc f mutovmiorcs jlstlftos, cftofgcs a cs jlmkofmilzmhic.

Troplcjmj2 Wl H y H sof jos hmscs jc Q , y a 2Q Q cs ufm trmfsaoremglf ilfcmi,

cftofgcs ims emtrlgcs ( ) H E a y ( ) H E a tlcfcf ios elseos mutovmiorcs.


89/98

00

Sfm emtrlz M X f f sc jlgc jlmkofmilzmhic sl cxlstc ufm emtrlz jlmkofmi J X f f y

ufm emtrlz lfvcrslhic G X f f tmics quc M 5 G J G =

Troplcjmj2 Sfm emtrlz M X f f cs jlmkofmilzmhic sl y sio sl tlcfc f mutovcgtorcs

ilfcmiecftc lfjcpcfjlcftcs, v=, ..., vf .

Cf cstc gmso G cs im emtrlz guyms goiuefms sof v=, ..., vf , y

=

8

4

4 f

J

5

,

jofjc l cs ci mutovmior msoglmjo mvl.

CBCXGLGLOW

Cbcrglglo =.- Tmrm gmjm emtrlz gmiguimr tojos ios mutovmiorcs y pmrm gmjm ufo jc ciios`miimr ci suhcspmglo msoglmjo.

m); 3

=4 0

h): 8

7 7

g)8 =

: 8

j): =

4 :

c)

8 7 =

= = :

= 8 =

a)7 3

= =

k)

= 8 =

4 3 :

4 0 ;

Cbcrglglo 8.-

m) @miimr tojos ios n X pmrm ios gumics M 5

4 4 7

= 4 =

= =n

tlcfc m = goeo mutovmior.

h) Tmrm ios vmiorcs jc n `miimjos, gmiguimr tojos ios mutovmiorcs jc M.

Cbcrglglo 7.- Cfgoftrmr ufm hmsc H jc X 7 pmrm im gumi ( ) H E a scm jlmkofmi.

m) a 2X 7 X 7 tmi quc ( ) E a 57 = =4 3 4

4 ; 8

.

h) a 2X 7 X 7 tmi quc ( ) E a 5

8 8 :

4 : 4

1 8 0

.


90/98

Trgtlgm ;

0 (4, =, =)> (4, 4, =) } y a 2X 7 X 7 im t. i. jcalfljm por

( ) H E a 5

3 4 4

7 = =

= 4 7

. Cfgoftrmr ufm hmsc H jc X 7 tmi quc ( ) H E a scm jlmkofmi.

Cbcrglglo 3.- Wcm H 5 {(=, =, 4)> (4, 4, =)> (7, 8, 4)} y a 2X 7 X 7 im t.i. tmi quc

( ) HC E a 5

7 8 Le a 5Z

y Fu a W

.

0. Wcmf H 5 {(4,=,=), (=/8,=/8,4), (4,4,=)} ufm hmsc jc X 7 y a 2X 7 X 7 im t.i. tmi quc

( ) CH E a 5

7 8 8

: 4 8

3 8 =

. @miimr ufm hmsc H tmi quc ( ) H E a scm jlmkofmi.


92/98

Trgtlgm ;

v8> v7 } y H5{v => v= v7> v8 + v 7 } hmscs jc X 7 y scm a 2 X 7 X 7

tmi quc '

4 : :

( ) = : 74 = 4

HH E a

5

. Jcgljlr sl a cs jlmkofmilzmhic.

=:. Wcmf H5 {v=, v8, v7} y H5 { v8+v7>v8 v=>v8} hmscs jc Q . Wcm a 2Q Q im t. i. tmi

quc ( ) H H E a 5

7 = 4

4 = 7

8 4 4

y scm k2Q Q jcalfljm por k(v) 5 a (v) 8 v.

@miimr ufm hmsc H jcQ tmi quc ( ) H E k scm jlmkofmi.

=3. Wcm 7 72 a X X ufm t. i. quc vcrlalgm2 a (=,=,4) 5 (8, =4, n ) > a (4,=,4) 5 (4, 7, 4) y

a (4,=,=) 5 (8, 8, :).

@miimr, sl cs poslhic, ios n X pmrm ios gumics a fo cs eofoeoralseo.Tmrm ios vmiorcs jc n cfgoftrmjos, jcgljlr sl a cs jlmkofmilzmhic.


93/98

(4, =,4)>(4,=, =)5 H y a 2X 7 X 7 im t. i. tmi quc

8

8 4 4

( ) 4 =

3 4 8

5

CH E a n

n

.

@miimr tojos ios vmiorcs jc n pmrm ios gumics = cs mutovmior jc a y a cs jlmkofmilzmhic.

=;. Wcmf { }= 8 7> > H 5 v v v y { }= = 8 = 8 7' > > 85 + H v v v v v v hmscs jc uf c.v. Q y


3 8 8

( ) 4 =

4 = :

5

HH E a m .

@miimr, sl cs poslhic, ufm hmsc jc mutovcgtorcs jc a , smhlcfjo quc 8 78 v v cs ufmutovcgtor jc a .


94/98

MIKCHXM(8;) Trlecr Tmrglmi M Cf gmjm cbcrglglo csgrlhm tojos ios rmzofmelcftos quc bustlalgmf im rcspucstm.

=. Wcmf 2 (=, =, 8) (8,=,=) +I y (7,=,4)T 5 . @miimr tojos ios pimfos quc sof pmrmicios mi pimfo quc goftlcfc m I y mT y tmics quc j( , ) 8 ==T 5 .

8. Wcm4 =1 7 :

4 4

n

M n

n

5 +

. @miimr tojos ios vmiorcs jc n X pmrm ios gumics ios

slstcems 4 M 5x y M 5 x x tcfkmf lfalfltms soiuglofcs. Tmrm ios vmiorcs ohtcfljos

rcsoivcr ci slstcem M 5 x x .

7. Wcm { }7 = 8 7/ 7 4 x x x5 + 5x XW . @miimr ufm hmsc { }= 8 7> > H 5 v v v jc 7X tmi quc

=v W> 8 v W> 7

v W > ci vcgtor (7,1,=) tlcfc goorjcfmjms (8,7,4) cf im hmsc H y ci

vcgtor ( 3,8, 3) tlcfc goorjcfmjms (4,=, =) cf im hmsc H.

:. Wcmf { }: = 7 :/ 8 4 x x x5 + + 5x X@ , { }: = 8 7 : = 8/ 4 x x x x x x5 + + 5 + 5x XW y(7, 8,=, =)>(=,=,=,4)5 Z .

Cfgoftrmr, sl cs poslhic, uf suhcspmglo [ tmi quc { }4 [ Z y 5[ W @ .

MIKCHXM(8;) Trlecr Tmrglmi H Cf gmjm cbcrglglo csgrlhm tojos ios rmzofmelcftos quc bustlalgmf im rcspucstm.

=. Wcmf = = 72 = x x + 5 y 8 = 8 72 8 7 x x x + + 5 . @miimr jos rcgtms = 8yI I qucvcrlalqucf sleuitfcmecftc2

= = I > 8 8 I > = 8 I I > = 8I I .

8. Jctcrelfmr pmrm qu vmiorcs jc m y h,

8

4=

P

5

cs ufm jc ims lfalfltms soiuglofcs jc

im cgumglf= 4 = 8 = =7 = = = 8 = 8= 4 = = 7 :

h

P P

m

5 +

.

Tmrm ios vmiorcs `miimjos, cfgoftrmr tojms ims soiuglofcs jc im cgumglf.

7. Wc smhc quc { }= 8 7> > H 5 v v v y { }= 8 = 8 7 >8 > H 5 +v v v v w sof hmscs jc uf cspmglo

vcgtorlmi Q .

Jctcrelfmr w smhlcfjo quc ci vcgtor = 8:+ +v v w tlcfc ims elsems goorjcfmjms cf

mehms hmscs.

:. Wcmf (=,8, =, 8)>(7,8,=, 1)5 W y { }: :/ 4 x5 5x@ X .@miimr, sl cs poslhic, uf suhcspmglo Z quc vcrlalquc sleuitfcmecftc2

Z @ > jle 85Z > :+ W Z X > :+ W Z X .


95/98

MIKCHXM(8;) Wckufjo Tmrglmi M

Cf gmjm cbcrglglo csgrlhm tojos ios rmzofmelcftos quc bustlalgmf im rcspucstm.=. Wcmf (=, =, 8,4)>(7, =,7,=)5 W , { }: = : 8 :/ 4 x x x x5 5 5xZ X y (=, =, 8,7)5 [ .Jcalflr ufm trmfsaoremglf ilfcmi : :2k X X tmi quc Fu k 5 [ > ( )k ZW y ( )k Z W.

8. Wcm { }(=,=,4)>(8,=,4)>(4,4,=)5 H ufm hmsc jc 7X y 7 72 a X X im trmfsaoremglf

ilfcmi tmi quc= = 8

( ) = 4 == 4

CH

n

E a n

n n

+ 5 +

.

@miimr tojos ios vmiorcs jc n X tmics quc jle(Le ) 85 a y (:,7, =) Le a .

7. Wcm : 7 8 8( ) 8 ( =) 1 (3 1)T x x x x x5 + + + + . @miimr tojos ios vmiorcs jc X

pmrm ios gumics = cs rmz eitlpic jc T. Tmrm ios vmiorcs jc `miimjos, csgrlhlr m T

goeo projugto jc poilfoelos jc krmjo =.

:. Wcmf { }(=,=,=)>(=,=,4)>(4,=, =) H 5 y { } (4,=,=)>(4,4,=)>( =,4,4) H 5 hmscs jc 7X . Wcmf ims t. i.

7 72 a X X tmi quc8 4 4

( ) 4 4 44 4 7

H E a

5

y 7 72k X X tmi quc

0 0 7( ) =4 =4 4

7 7 7 CH E k

5

.

Wc smhc quc a y k tlcfcf ios elseos mutovcgtorcs. @miimr ios mutovmiorcs jc k y ios jc a k .

MIKCHXM(8;) Wckufjo Tmrglmi HCf gmjm cbcrglglo csgrlhm tojos ios rmzofmelcftos quc bustlalgmf im rcspucstm.

=. Wcmf (=, =, 8,=)>(=,4,=,4)5 Z y { }: = 8 7 :/ 8 4 x x x x5 + + + 5x X[ .

Jcalflr, sl cs poslhic, ufm trmfsaoremglf ilfcmi : :2 a X X quc vcrlalquc

sleuitfcmecftc2 ( ) a Z Z > Le a 5 [ .

8. Wcmf { }= 8 7> > H 5 v v v y { }= 8 8 7 8 > > H 5 +v v v v v hmscs jc uf cspmglo vcgtorlmi Q .Wcmf 2 a Q Q y 2k Q Q ims trmfsaoremglofcs ilfcmics tmics quc

8 4 =( ) = = =

4 = = H E a

5

y

4 = =( ) = = 4

= = = H H E k

5

. Gmiguimr = 8 7(8 )k a +v v v .

7. Ci poilfoelo ^ U( )T x P X , : 7 8( ) 83 71T x x mx x x h5 + + tlcfc mi ecfos ufm rmz

rcmi, y tojms sus rmgcs tlcfcf pmrtc rcmi lkumi m 8.

@miimr tojms ims rmgcs jc ( )T x .

:. Wcm 7 72 a X X ufm trmfsaoremglf ilfcmi tmi= 8 4

( ) 4 = 84 =

E a

5

.

@miimr X pmrm quc (=,=,8) scm mutovcgtor jc a y jcgljlr sl a cs jlmkofmilzmhic.


96/98

MIKCHXM(8;) CPMECF ALFMI

Tmrm mprohmr ci cxmecf cs fcgcsmrlo tcfcr por io ecfos 0 rcspucstms gorrcgtms, y es rcspucstmsgorrcgtms quc lfgorrcgtms. Cf gmjm cbcrglglo emrquc im flgm rcspucstm gorrcgtm.

. =. Wcmf = 8 7 2 : x x x+ + 5 y 2 (=, 4,=) (4, =, =)+ I . Wl T 5 I , cftofgcs ( , )j T O cs lkumi m

7 =: 8 =: .

8. Wcm 8( , =,4, =)>(4, , 8,4)n n 5 W . Ci gofbufto jc ios n X tmics quc (=, 8, , 8)n W cs

{ }8 { }8 { }8>8 { }8>8 X .

7. Wcmf (=, =,4)>(4, 8, 8)5 W y ( =,=,8) M5 . Sfm cgumglf jc im rcgtm pcrpcfjlguimr m W quc pmsm por M cs

(=,=, =) (4,8,=) P 5 + ( =,=, 8) (=,=, =) P 5 + (=,=,4) ( =,=,8) P 5 + (=,=, =) P 5

.

:. Wcmf { }8 8 / M MH HM5 5XW y = =4 4

H

5

. Im jlecfslf jc W cs

4 = 8 7.

3. Wcmf { }= 8 7> > H 5 v v v y { }= 8 = 8 7 > > H 5 + v v v v v hmscs jc uf c.v. Q . Ims goorjcfmjms jc= 8 775 v v v v cf im hmsc H sof

( 8,3,=) (8,8,=) (7, =, =) (=, 8,7) .

1. Wl : 8 :( ) ( 8 =)(8 8)T x x x x5 + + + cftofgcs l cs ufm rmz jc T jc euitlpilgljmj= 7 : 8

.

;. Wcm 7 72 a X X im t.i. = 8 7 = 7 = 8 = 8 7( , , ) ( ,7 , 8 )n n a x x x x x x x x x x5 + + + . Ci gofbufto jc ios n X pmrm ios gumics a cs lsoeoralseo cs

{ }8 { }8>7 { }8>7 X .

0. Wcmf 7 7, M H X . Wl jct(7 ) 7 M 5 y jct( ) 7 MH 5 , cftofgcs =jct( ) H cs lkumi m=7

7=

8; 8;

.

H 5 v v ufm hmsc jc uf c.v. Q y 2 a Q Q im t.i. tmi quc = =( ) 7 a 5v v y 8( ) 4 a 5v .Wcm 2k Q Q im t.i. tmi quc ( ) ( ) 8k a 5 +v v v pmrm tojo v Q . Ios mutovmiorcs jc k sof

3 y 8 7 y 8 3 y 4 7 y 4.


97/98

==. Wl 7 = z l5 cftofgcs ci mrkuecfto jc 3 z pucjc scr;

:

3

:

7 :

= :

.

=8. Im suem jc ims rmgcs jci poilfoelo : 7 8( ) (8 1 0 1)( =)( 8)T x x x x x x x5 + + + cs lkumi m7 ; : ;

.

=7. Wcmf { }(=,=,=)>(=,4,=)>(4,4,=) H 5 y 7 72 a X X im t.i. tmi quc8 = =

= = 4

8 4 8

( ) HC E a

5 .

Ci Fu a cs lkumi m

( =,=, =) (4,=,=) ( 8,4,8) { }4.

=:. Wl

= 8 =

4 = =

= 4 =

( ) E a

5

cftofgcs Fu Le a a cs lkumi m

( =,=,=) (=,4,=) ( =,=,=)>(=,4,=) { }

4 .

=3. Wcm uf mutovmior jc im emtrlz M. Jmjms L2 ( ) M L 5x h tlcfc soiuglf flgm>LL2 M 5x x tlcfc lfalfltms soiuglofcs>

L cs vcrjmjcrm y LL cs vcrjmjcrm L cs vcrjmjcrm y LL cs amism

L cs amism y LL cs vcrjmjcrm L cs amism y LL cs amism.

=1. Wl (=, =,8)>(=,=, =)>(4, , 7)m5 W y (4, 8, )h5Z , cftofgcs 7 5 X W Z pmrm

8> 7m h5 5 8> 7m h 5 8> 7m h5 8> 7m h .

=;. Wcmf { }7 = 8 7/ 4 x x x5 5x XW y ( =, =,=)>(=,4,8)5 Z . Wl 7 72 a X X cs ufm t.i. quc

vcrlalgm ( ) a 5W Z

y ( ) a 5Z W

, cftofgcs (8,=,=) a pucjc scr lkumi m(4,4,4) (8, 8, :) (8,4,:) (:,8,8)

.

=0. Wcmf { }(=,4,=)> >(4,=, =) H 5 v ufm hmsc jc 7X y 7 72 a X X im t.i. tmi quc= = 4

4 = =

= = =

( ) CH E a

5

. Wl (8, =, 8) (:, 3, 3) a 5 , cftofgcs v cs lkumi m

(=, =,=) (=, 8,=) (4,=,4) (=,7, =) .

=


98/98

TXOKXMEM

IKCHXM G.H.G. (TMXM MISEFOW JC GLCFGLMW CPMGZMW C LFKCFLCXM

=.- IKCHXM QCGZOXLMI

Tuftos cf ci cspmglo f-jlecfslofmi Qcgtorcs Trojugto csgmimr Forem Xcgtms y pimfos Trojugto vcgtorlmi.

8.- CWTMGLOW QCGZOXLMICW

Jcalflglf Troplcjmjcs Wuhcspmglos Lfjcpcfjcfglm ilfcmi Goehlfmglf ilfcmi Wlstcems jc kcfcrmjorcs Hmscs Jlecfslf Wuem c lftcrscgglf jc suhcspmglos Wuem jlrcgtm Cspmglos gof projugto lftcrfo.

7.- EMZXLGCW \ JCZCXELFMFZCW

Cspmglos jc emtrlgcs Wuem y projugto jc emtrlgcs Cgumglofcs ilfcmics Cilelfmglfjc Kmuss-Borjmf Xmfko Zcorcem jc Xog`-Arohcflus.

Jctcrelfmftcs Troplcjmjcs Jctcrelfmftc jc uf projugto Jctcrelfmftcs c lfvcrsms.:.- ZXMFWAOXEMGLOFCW ILFCMICW

Jcalflglf Fgico c lemkcf Eoforalseos, cpleoralseos, lsoeoralseos Goeposlglfjc trmfsaoremglofcs ilfcmics Zrmfsaoremglofcs ilfcmics lfvcrsms.

3.- FECXOW GOETICBOW \ TOILFOELOW

Fecros goepicbos Opcrmglofcs Aorem hlfelgm y trlkofoetrlgm Zcorcem jc JcEolvrc Xcsoiuglf jc cgumglofcs Toilfoelos Krmjo jc uf poilfoelo Opcrmglofcsgof poilfoelos Xmgcs Zcorcem jci rcsto Jcsgoeposlglf amgtorlmi Zcorcemaufjmecftmi jci ikchrm Areuim jc lftcrpoimglf jc Imkrmfkc.

1.- ZXMFWAOXEMGLOFCW ILFCMICW \ EMZXLGCW

Emtrlz jc ufm trmfsaoremglf ilfcmi Emtrlz jc im goeposlglf Emtrlz jc im lfvcrsm Gmehlos jc Hmscs.

;.- MSZOQMIOXCW \ MSZOQCGZOXCW

Qcgtorcs y vmiorcs proplos Toilfoelo gmrmgtcrstlgo Mpilgmglofcs Wuhcspmgloslfvmrlmftcs Jlmkofmilzmglf

Guia de Ejercicios Resueltos Algebra CBC UBA

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