GUIA DE ESTUDIO CONJUNTOS NUMERICOS …jtd.politecnicojuanterrier.cl/primeros/MATEMATICAS 4...

FUNDACIÓN NACIONAL DEL COMERCIO PARA LA EDUCACIÓN

INSTITUTO POLITÉCNICO SUPERIOR “JUAN TERRIER DAILLY”

COORDINACIÓN DE ASUNTOS PEDAGÓGICOS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA.

GUIA DE ESTUDIO CONJUNTOS NUMERICOS

NUMEROS NATURALES

2.1 Definición

Son los números desde el 1 al infinito positivo.

IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}

2.2 Números consecutivos

Una de las características importantes de los números naturales es que tienen

un antecesor y un sucesor, a excepción del 1, que no tienen antecesor.

Si un número natural cualquiera se representa por “n”. Entonces, el número que se

obtiene al restarle uno será su antecesor, y el número que se obtiene al sumarle uno,

será su sucesor.

Existen discrepancias respecto de incluir el cero dentro del conjunto de los naturales.

Desde la mirada histórica, el cero aparece tan tarde que algunos no creen que sea

justo incluirlo en los números naturales. En este apunte, no se considerará el cero

como natural.

Ejemplo:

http://www.preunab.cl/wp-content/uploads/2014/03/F1.jpg





2.3 Números pares e impares

2.3.1 Números pares

Los números pares son de la forma general: 2n, donde n pertenece a IN.

Los números pares son, por lo tanto, múltiplos de 2.

Números pares consecutivos: Se denotan o designan de acuerdo al siguiente

cuadro:

Ejemplo: Tres números pares consecutivos: 2n ; 2n+2 ; 2n +4

2.3.2 Números impares

Los impares son de la forma general: 2n + 1, donde n pertenece a IN.

Números impares consecutivos

2.3.3 Propiedades de la paridad:

La suma de dos números pares es un número par.

La suma de dos números impares es un número par.

La suma de un número par y uno impar es un número impar.


http://www.preunab.cl/wp-content/uploads/2014/03/f31.jpg





El producto de dos números pares es un número par.

El producto de dos números impares es un número impar.

El producto de un número par por uno impar es un número par.

El cuadrado de un número par es un número par.

El cuadrado de un número impar es un número impar.

Ejemplo: si x es un natural par e “y” es un natural impar, entonces la expresión , ¿es

par o impar?

Solución:

Como x es par, entonces 3x es par.

Como y es impar, entonces 2y es par.

Entonces, (3X +2Y) es par.

Entonces, (3X + 2Y)² es par.

2.4 Números primos

Los números primos se definen como todo número Natural mayor que 1 y que solo se

puede dividir por 1 y por sí mismo.

Los primeros números primos de la recta numérica son:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31…

Los números naturales mayores que 1 que no son primos, se denominan números

compuestos.

Ejemplos:

El 14 no es primo, porque se puede dividir por 2 y por 7.

El 7 es primo porque solo es divisible por 1 y por 7.

el 12 no es primo y es un número compuesto porque 12 = 3 · 4 o bien 12

= 2 · 6 , etc.

El teorema fundamental de la aritmética establece que todo número natural tiene una

representación única como producto de factores primos, salvo el orden. Un mismo

factor primo puede aparecer varias veces.

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_de_la_aritm%C3%A9tica





Para recordar:

El número 1 no es primo.

El primer primo es el 2.

La primera prueba indiscutible del conocimiento de los números primos se remonta a

alrededor del año 300 a.C. y se encuentra en la obra Los Elementos, de Euclides.

Euclides define los números primos, demuestra que hay infinitos de ellos, define

el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo y proporciona métodos para

determinarlos y que hoy en día se conocen como algoritmos de Euclides.

2.5 Múltiplos de un número

Se definen, por ejemplo, los múltiplos del 4, como M(4) = {4, 8, 12, 16, 20, …}

En general, los múltiplos de k son el conjunto que se obtiene al multiplicar k • n ,

donde n es un número natural.

2.6 Divisibilidad







NUMEROS CARDINALES

3.1 Definición: Es el conjunto de los Naturales, incluyendo, además el cero.

IN0 = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}

El aporte de este conjunto es que incluye al cero. En este conjunto se cumplen las

mismas propiedades y características que en los Naturales.

NUMEROS ENTEROS

4.1 Definición: Son los enteros positivos, los negativos y el cero.

4.2 Recta numérica de los enteros

4.3 Valor absoluto o Módulo de un número entero ( I I )






4.4 Operatoria en Z

Para operar con números positivos y negativos a la vez, se debe prestar atención a

los signos y las reglas de la operación.

Vamos a representar dos números cualesquiera por a, b . Entonces:

4.4.1 Adición (suma) ⇒ a + b. (importante: )

Caso 1: Suma de enteros de igual signo:

Si a y b tienen igual signo, se suman y se conserva el signo.

Ejemplo: –7 + –15 = -22

Caso 2: Suma de enteros de distinto signo:

Si a y b tienen distinto signo: se restan y se conserva el signo del número con mayor

valor absoluto.

o Ejemplo: -20 + 4 = –16

o o bien: 4 –20 = –16

4.4.2 Multiplicación y/o división ⇒ a · b o a ÷ b

Se deben multiplicar (o dividir) los números y luego los signos de acuerdo a la

siguiente regla:

Caso 1: Signos iguales: el producto (o división) es positivo.

Caso 2: Signos distintos: el producto (o división) es negativo.

Esta regla se sintetiza en la tabla siguiente:





Ver ejemplo

4.4.3 Sustracción (resta) ⇒ a – b

La diferencia se transforma en la adición: a – b = a + (-b).

Observa que (-b) es el opuesto de b. Entonces, para restar a – b, se le suma a al

opuesto de b.

Después de esta transformación, se aplican las reglas operatorias de la adición.

Ejemplo: 57 – 34 = 57 + (-34) = 23

Ejemplo: (-12) – 22 = –12 + –22 = –34

Ejemplo: –25 – (–6) = –25 + 6 = –19

NMEROS RACIONALES

5.1 Definición

Es el conjunto de todos los números que pueden escribirse como fracción

,donde:

a: Numerador; b: Denominador (b ≠ 0); y k: Cuociente

Ejemplos de racionales:






5.2 Números decimales

Todo número racional se puede escribir como número decimal. Un número decimal se

obtiene al efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción.

Caso 1: Decimales finitos: Tienen una cantidad limitada de dígitos decimales.

Ejemplo: 3,75.

Caso 2: Decimales infinitos periódicos: Tienen una cantidad ilimitada de dígitos

decimales, y tienen el período inmediatamente después de la coma decimal.

Ejemplo Período 43.

Caso 3: Números decimales infinitos semiperiódicos: Tienen una cantidad

ilimitada de dígitos decimales y tienen, después de la coma el anteperíodo y luego el

período.

Ejemplo Antiperíodo 5 y período 24.

(Ver Esquema General)






5.3 Aproximación Decimal

Con frecuencia, nos encontramos con cálculos donde intervienen números con

muchas cifras decimales, lo que hace difícil su operación. En estos casos es posible

realizar una aproximación decimal.

Caso 1: Si el primer dígito de la parte que se va a eliminar es igual o mayor que 5 ,

se aumenta en una unidad el dígito anterior.

Ejemplo: 3,14159265 aproximado a 4 decimales, es:

En este caso el primer dígito a desechar es 9, que es igual o mayor que 5. Esto hace

que el ultimo dígito a conservar, es decir el 5, aumente en una unidad.

Caso 2: Si el primer dígito de la parte que se va a eliminar es menor que 5, se

conserva el dígito anterior.

Ver ejemplo

Ejemplo: 3,14159265 aproximado a 2 decimales, queda:

En este caso, el primer dígito a desechar es 1, que es menor que 5. Esto hace que el

último dígito a conservar, es decir el 4, quede igual.

http://www.preunab.cl/wp-content/uploads/2014/03/C41.jpg





5.4 Fracciones equivalentes (iguales)

Esto es, dos fracciones son equivalentes solo si el producto del denominador de una

por el numerador de la otra es igual al producto del numerador de la primera por el

denominador de la segunda fracción (producto cruzado).

La igualdad es falsa. Por lo tanto, las fracciones dadas no son equivalentes.

5.5 Operaciones con números racionales







5.6 Amplificar y simplificar una fracción

5.6.1 Amplificar una fracción: es multiplicar su numerador y su denominador por el

mismo número, obteniéndose una fracción equivalente:

Ver ejemplo

http://www.preunab.cl/wp-content/uploads/2014/03/C1.jpg






5.6.2 Simplificar una fracción: es dividir el numerador y el denominador de una

fracción por el mismo número, obteniéndose una fracción equivalente:

Ver ejemplo

5.7 Transformación de racionales

Caso 1: De fracción a decimal: Para esto, basta dividir el numerador por el

denominador.

Ver ejemplo

Caso 2: De decimal finito a fracción común: La fracción resultante tiene como

numerador un número sin la coma y como denominador una potencia de 10 con

tantos ceros como el número total de decimales.

Ver ejemplo








Caso 3: De decimal periódico a fracción común: La fracción resultante tiene como

numerador el número, sin coma, incluyendo el período, menos los enteros. Como

denominador, tantos 9 como cifras tenga el período.

Ver ejemplo

Caso 4: De decimal semiperiódico a fracción común: la fracción resultante tiene

como numerador una cifra formada por el número sin la coma, menos los enteros y

anteperíodo. Como denominador lleva un número de tantos 9 como cifras tenga el

período, seguidos de tanto ceros como cifras tenga el anteperíodo decimal.

Ver ejemplo







NUMEROS IRRACIONALES

6.1 Definición

Es el conjunto de los números que no pueden escribirse como fracción a/b, siendo a

y b enteros, con b ≠ 0.

Los números irracionales se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no

siguen ningún patrón repetitivo.

En general son irracionales todas las raíces cuadradas de enteros positivos que no

son cuadrado de otro entero.

http://www.preunab.cl/wp-content/uploads/2014/03/ej.jpg





7.1 Definición: Es el conjunto resultante de la unión de los Racionales con los

Irracionales.

Lo que hoy conocemos como toda la recta numérica.

Pertenecen al conjunto de los Reales IR:

El cero, los enteros positivos y negativos;

Las fracciones;

Los decimales finitos y los decimales periódicos y semiperiódicos; y

Los irracionales

Lo anterior se resume en el siguiente diagrama:





7.2 La Recta Real

Recta real es la recta sobre la que se representan los números reales. Para ello se

destaca uno de sus puntos, O, que se toma como origen y al que se le asigna el

número cero, 0, y, separados entre sí por intervalos de amplitud fija (unidad), se sitúan

correlativamente los números enteros, los positivos a la derecha de 0 y los negativos

a su izquierda.

Los números reales se sitúan sobre la recta valiéndose de construcciones

geométricas o bien mediante aproximaciones decimales que pueden ser tan precisas

como se desee sin más que tener en cuenta tantas cifras decimales como sea

necesario. De este modo se establece una correspondencia biunívoca entre números

reales y puntos de la recta (a cada punto de la recta le corresponde un número real y

viceversa).

Ver ejemplo





7.3 Prioridad de operatoria matemática en los Reales

En la operatoria combinada con números reales, se procede según la siguiente

prioridad:

1°Paréntesis

2°Potencias y raíces

3°Multiplicaciones y divisiones

4° Sumas y restas

Ver ejemplo

Ejemplo 1:

http://www.preunab.cl/wp-content/uploads/2014/03/ej11.jpg





13 – (-7 + 3 9) – 32 =

Primero: el paréntesis (-7 + 3 x 9)

Dentro de él, primero el producto 3 x 9 = 27.

Dentro del paréntesis, ahora la suma: -7 + 27 = 20

Segundo: el cuadrado de 3 = 9

Está quedando: 13 – 20 – 9

Finalmente las sumas y restas: 13 – 20 – 9 = -16.

http://www.preunab.cl/wp-content/uploads/2014/03/ej2.jpg

GUIA DE ESTUDIO CONJUNTOS NUMERICOS …jtd.politecnicojuanterrier.cl/primeros/MATEMATICAS 4...

Documents

Transcript of GUIA DE ESTUDIO CONJUNTOS NUMERICOS …jtd.politecnicojuanterrier.cl/primeros/MATEMATICAS 4...