Guia de Estudio de Matematica Superior Para Ingenieros
90
GUIA DE ESTUDIO DE MATEMATICAS SUPERIOR PARA INGENIEROS Universidad Tecnológica de Panamá Facultad de Ingeniería en Sistemas Profesor Narciso Agudo 2011 Elaborado por: Luis Eduardo Vivar
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Guia de estudio para estudiantes de la Universidad Tecnologica de Panama para el curso de Matematica Superior para Ingenieros. Elaborado por: Luis E. Vivar 2011
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GUIA DE ESTUDIO
DE MATEMATICAS SUPERIOR PARA
INGENIEROS
Universidad Tecnológica de Panamá
Facultad de Ingeniería en Sistemas
Profesor Narciso Agudo
2011
Elaborado por: Luis Eduardo Vivar
CONTENIDO DEL PORTAFOLIO
Introducción ........................................................................................................................................ 4
INFORMACIÓN GENERAL ............................................................................................................... 5
OBJETIVOS GENERALES Y ESPECÍFICOS ........................................................................................ 6
Objetivos Generales: ....................................................................................................................... 6
Objetivos Específicos: ...................................................................................................................... 6
METODOLOGÍA ................................................................................................................................ 8
EVALUACIÓN .................................................................................................................................... 8
DESCRIPCIÓN DE LA MATERIA ...................................................................................................... 8
CONTENIDO ................................................................................................................................. 9
1. LA TRANSFORMADA DE LA PLACE: .............................................................................. 9
2. SERIES E INTEGRALES DE FOURIER. ............................................................................... 9
3. ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y SUS APLICACIONES.
10
4. TRANSFORMADA Z ........................................................................................................ 10
BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................. 11
........................................................................................................................................................... 13
............................................................................................................ 13
............................................................................................... 14
Definición de la Transformada de Laplace ................................................................................ 15
Primer teorema de traslación para transformada y transformada inversa ............................... 28
Derivada de una transformada. ................................................................................................. 35
Transformada de una derivada. ................................................................................................. 35
Integral de una transformada. ................................................................................................... 36
Solución de ecuaciones diferenciales lineales mediante transformada de Laplace. .................. 41
........................................................................................................................ 45
....................................................................................................................................................... 45
Otra forma de Denotar la Serie de Fourier ............................................................................. 49
Función “par” e “impar” ............................................................................................................ 49
Propiedades: .............................................................................................................................. 50
Desarrollo de funciones de medio intervalo .............................................................................. 52
Representación Compleja de La Serie de Fourier .................................................................... 54
Transformada de Fourier .......................................................................................................... 55
................................................................. 56
Restricciones ............................................................................................................................. 57
Notación General ...................................................................................................................... 58
Orden de una ecuación diferencial de derivadas parciales. ...................................................... 58
Linealidad ................................................................................................................................... 59
Tipos de ecuaciones diferenciales parciales .............................................................................. 60
Métodos para la Solución de las ecuaciones diferenciales parciales ......................................... 61
Ecuación de calor ...................................................................................................................... 73
Prueba Formativa de Matemáticas Superiores para Ingenieros .................................................... 86
............................................................................................................ 88
Las sucesiones para las cuales xk=0 para k<0 se llaman sucesiones causales .................... 89
BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................................. 90
Introducción
Estos apuntes han sido elaborados con el objetivo de contribuir al desarrollo del curso
Matemática Superior para Ingenieros dictado en la Universidad Tecnológica de Panamá, de
manera que puede ser utilizada tanto por estudiantes como profesores en dicho curso.
En el desarrollo del contenido se presentan los diferentes teoremas más importantes y al
mismo tiempo se presentan ejemplos típicos de problemas resueltos para facilitar la
comprensión y el mejor uso del material., donde podemos decir como tema de
introducción que las matemáticas es la base hoy día para el diario vivir, con ellas es
posible conocer los fenómenos que se dan y no son percibidos así a simple vista.
Basándonos en este concepto , viendo su importancia y sabiendo la complejidad que
podían tener algunos métodos matemáticos la asignatura de matemáticas superiores para
ingenieros, quiere lograr en cada estudiante un análisis lógico y expansión de la mente al
momento de analizar un problema matemático en el campo de la ingeniería. Se presentan
los siguientes métodos: transformada de la place para la resolución de ecuaciones con
cambios de variables, la transformada de Fourier para ver el comportamiento de las ondas,
resolución de ecuaciones parciales como métodos para analizar funciones en el tiempo y
la transformada Z para aplicaciones en resoluciones de campo eléctrico en tres
dimensiones.
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
DEPARTAMENTO CIENCIAS EXACTAS
LIC. EN INGENIERIA EN SISTEMAS Y COMPUTACION
MATEMÁTICAS SUPERIORES PARA INGENIEROS
INFORMACIÓN GENERAL
1) Denominación:
2) Facultades:
3) Carreras:
4) Año y Semestre:
5) Código:
6) Frecuencia Semanal:
7) Créditos:
8) Requisitos:
Matemáticas Superiores para Ingenieros
Ingeniería Civil, Ingeniería Eléctrica, Ingeniería
Industrial, Ingeniería Mecánica e Ingeniería de Sistemas
Computacionales.
Licenciatura en Ingeniería.
Segundo año, segundo semestre
8321
Teoría: 5 hrs.
5
Ecuaciones Diferenciales
OBJETIVOS GENERALES Y ESPECÍFICOS
Objetivos Generales:
1.1. Obtendrá la información teórica y práctica para aplicar con precisión esta
asignatura en el estudio de fenómenos físicos.
1.2. Analizará críticamente los conceptos y técnicas adquiridas en el curso para
resolver los diferentes problemas que se le presentan en el campo de la
ingeniería.
1.3. Utilizará el razonamiento lógico mediante la aplicación de algoritmos
matemáticos, que faciliten encarar estudios superiores interdisciplinarios y
la resolución de los problemas que los mismos plantean.
Objetivos Específicos:
1.4. Definir el concepto de transformada de Laplace.
1.5. Determinar la transformada de funciones elementales.
1.6. Calcular la transformada de funciones dadas.
1.7. Definir el concepto de transformada inversa.
1.8. Determinar la transformada inversa de funciones elementales.
1.9. Calcular transformada inversa de funciones dadas.
1.10. Utilizar el primer teorema de traslación para calcular la transformada de
Laplace y la transformada inversa de funciones dadas.
1.11. Definir el concepto de función escalón unitario.
1.12. Escribir una función dada en término de funciones escalón unitario.
1.13. Calcular la transformada de la función escalón unitario.
1.14. Utilizar el segundo teorema de traslación para calcular la transformada de
Laplace y la transformada inversa de funciones dadas.
1.15. Calcular la derivada de una transformada.
1.16. Calcular la transformada de una derivada.
1.17. Calcular transformada de integrales.
1.18. Utilizar el teorema de la convolución para calcular la transformada inversa
de funciones dadas.
1.19. Calcular la transformada de una función periódica.
1.20. Resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformada de
Laplace.
1.21. Resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales mediante la
transformada de Laplace.
1.22. Enunciar las propiedades de la transformada en Z.
1.23. Determinar la transformada Z inversa a partir del conocimiento X(z).
1.24. Determinar una ecuación en diferenciales para representar sistemas de
tiempo discreto.
1.25. Establecer la relación entre la Transformada de Laplace y la Transformada
Z.
1.26. Determinar los coeficientes de Euler de una serie Trigonométrica.
1.27. Desarrollar en serie de Fourier una función dada.
1.28. Desarrollar en serie de Fourier funciones pares e impares.
1.29. Desarrollar en serie de senos o cosenos una función definida en medio
intervalo.
1.30. Calcular la integral de Fourier.
1.31. Definir el concepto de transformada de Fourier.
1.32. Resolver aplicaciones de señales periódicas.
1.33. Resolver ecuaciones diferenciales en derivadas parciales por integración
directa.
1.34. Resolver ecuaciones diferenciales en derivadas parciales utilizando factor
de integración.
1.35. Resolver ecuaciones diferenciales en derivadas parciales por el método de
separación de variables.
1.36. Resolver la ecuación de calor, de onda y de Laplace.
1.37. Resolver problemas de vibraciones longitudinales y transversales de una
viga mediante ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.
1.38. Resolver ecuaciones diferenciales en derivadas parciales mediante la
transformada de Laplace.
METODOLOGÍA
1) Las clases se desarrollarán mediante un método activo dinámico.
2) Se utilizará el recurso de preguntas y respuestas después de cada exposición
teórica.
3) Se resolverán problemas ejemplos y se someterán a discusión. Los estudiantes
tendrán una participación activa.
4) Se asignarán tareas al estudiante que requieran el completo dominio de lo
expuesto en clases.
5) Hacer una sesión de repaso antes de cada prueba parcial.
EVALUACIÓN
Se sugiere una evaluación formativa y sumativa.
4 pruebas parciales…………… (40%)
Prueba semestral……………… (40%)
Portafolio estudiantil……………(20%
DESCRIPCIÓN DE LA MATERIA
En este curso se estudia la: Transformada de Laplace; Transformada Z,
Transformada de Fourier, series e integrales de Fourier; ecuaciones diferenciales
en derivadas parciales y sus aplicaciones.
CONTENIDO
1. LA TRANSFORMADA DE LA PLACE: (20 horas)
1.1. Definición de la Transformada de Laplace. Notación.
1.2. Propiedades: linealidad, existencia.
1.3. Transformada de Laplace de algunas funciones elementales.
1.4. Transformada inversa.
1.4.1. Definición
1.4.2. Transformada inversa de funciones elementales
1.4.3. Propiedad de linealidad
1.5. Primer teorema de traslación para transformada y transformada inversa.
1.6. Función escalón unitario y función impulso. Aplicaciones a deformación de
vigas.
1.7. Segundo teorema de traslación.
1.8. Derivada de una transformada.
1.9. Transformada de una derivada.
1.10. Integral de una transformada.
1.11. La convolución.
1.12. Transformada de funciones periódicas.
1.13. Función impulso o Delta de Dirac.
1.14. Solución de ecuaciones diferenciales lineales mediante transformada de
Laplace.
2. SERIES E INTEGRALES DE FOURIER. (22 horas)
2.1. Funciones periódicas. Series Trigonométricas.
2.2. Series de Fourier, coeficientes de Euler.
2.3. Funciones que tienen período arbitrario.
2.4. Funciones pares e impares.
2.5. Desarrollo de medio rango.
2.6. Convergencia de las series de Fourier.
2.7. Derivación e integración de series de Fourier.
2.8. La integral de Fourier. Teoremas básicos
2.9. La transformada de Fourier.
2.9.1. Propiedades de la transformada de Fourier
2.9.2. La respuesta de frecuencia.
2.9.3. Transformación de la función escalón impulso
2.9.4. Transformada de Fourier en tiempo discreto
2.9.5. Transformada de Fourier en tiempo continuo
2.10. Aplicaciones a la ingeniería
2.10.1. Respuesta a la frecuencia y sistemas oscilatorios.
2.10.2. Aplicaciones a tipos especiales de señales periódicas.
2.11. Transformada inversa de Fourier.
3. ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y
SUS APLICACIONES. (20 horas)
3.1. Ecuaciones diferenciales en Derivadas Parciales.
3.2. Solución por integración, factor de integración y ecuaciones no
homogéneas.
3.3. Ecuaciones en derivadas parciales separables
3.4. Ecuaciones clásicas y problemas de valor en la frontera
3.4.1. La ecuación de transmisión de calor.
3.4.2. La ecuación de onda
3.4.3. La ecuación de Laplace
3.5. Vibraciones longitudinales y transversales de una viga.
3.6. Aplicaciones de la transformada de Laplace en la solución de ecuaciones
diferenciales en derivadas parciales.
4. TRANSFORMADA Z (13 horas)
4.1. Definición y notación de transformada Z.
4.2. Propiedades de la transformada Z.
4.3. Transformada Z inversa.
4.4. Sistemas de tiempo discretos y ecuaciones en diferencias.
4.5. Sistemas lineales discretos.
4.6. La relación entre la transformada de Laplace y la transformada Z.
BIBLIOGRAFÍA
1) Peter V. O’ Neil Matemáticas Avanzadas para Ingeniería. Volumen 1 y 2;
Tercera Edición. Editorial CECSA. México 1999.
2) Glyn, James Matemáticas Avanzadas para Ingeniería. Segunda edición.
Pearson Educación. México 2002.
3) Murray, Spiegel Transformadas de Laplace. Mc Graw Hill. Primera
Edición 1998.
4) Pablo Irrajabal Analisis de señales. Mc Graw Hill. Primera Edición 1999.
5) Murray Spiegel Matemática Avanzada para ingenieros y científicos. 2001.
.
Universidad Tecnológica de Panamá
Facultad de Ciencias y Tecnología
Departamento de Ciencias Exactas
Calendario de Actividades del II Semestre de 2011
Matemática Superiores para Ingenieros
CONTENIDO N° DE HORAS
APROXIMADAS
FECHA PROBABLE
DE PARCIALES 1. La Transformada de
Laplace (1.1 a 1.14) 20 5 de septiembre
3. Series e Integrales
de Fourier (3.1 a
3.11).
20 7 de octubre
4. Ecuaciones
Diferenciales en
Derivadas Parciales y
Aplicaciones.
15 1 de noviembre
2. Transformada Z
(2.1 a 2.6). 13 25 de noviembre
Profesora: Digna Camarena.
Coordinadora de Matemática Superiores.
Móvil: 67211378
Definición de la Transformada de Laplace
En el modelo matemático lineal de un sistema físico, como el de una masa y un resorte o
en el de un circuito eléctrico en serie podemos observar que el lado derecho de la
ecuación diferencial, en el caso no homogéneo, existe una función f(t) impulsadora o E(t),
que es un voltaje aplicado. Por lo general, estas funciones son continuas; sin embargo, no
es raro encontrarse con funciones discontinuas. Por ejemplo, el voltaje aplicado a un
circuito podría ser continuo por tramos y periódico. En este caso, es difícil hallar la
solución de la ecuación diferencial, los métodos de variación de parámetros o el de los
coeficientes determinados. Es por esto que la transformada de Laplace es una valiosa
herramienta para resolver estos problemas.
En el curso elemental de cálculo aprendimos que la diferenciación y la integración
transforman una función en otra función; por ejemplo si f(x) = x 2 , entonces esta función
por derivación la podemos transformar en una función lineal: f´( x ) = 2x; es decir se
transforma en una ecuación lineal. De igual manera, se transforma en
una familia de ecuaciones cúbicas.
Podemos agregar que estas dos transformaciones poseen la propiedad de
linealidad; esto es: la transformada de una combinación lineal de funciones es
una combinación lineal de las transformadas. Simbólicamente,
Siempre y cuando exista cada derivada e integral. En nuestro caso, la transformada de
Laplace también goza de la propiedad de linealidad, es por ello que es muy útil para
resolver problemas de valor inicial lineales.
En esta parte introductoria a la definición de la transformada de Laplace tomaré una
función en dos variables f(x,y); luego la integraré con respecto a una de las variables, lo
cual producirá otra función de la otra variable; observe que al mantener a y constante se
tiene que:
De igual manera, una integral definida de la forma transforma una
función f(t), ( función de tiempo continuo), en una función F (s), algebraica.
Esto nos conduce a la transformada integral, donde el intervalo de integración no acotado
es, [ 0, ∞). Si f(t) está definida para t ≥ 0, entonces la integral impropia
se define como un límite:
Si existe el límite, se dice que la integral es convergente; si no existe, entonces la integral
es divergente. En general, el límite anterior se da sólo para ciertos valores de la variable s.
La elección k ( s, t ) = e – s t proporciona una información integral importante.
Definición
Sea f una función definida para t ≥ 0. Entonces la integral,
– = –
Se llama transformada de Laplace de f, siempre y cuando la integral converja.
Observación: Esta integral impropia transforma una función f ( t ) en una
función del parámetro s.
Ejemplo 1.
Evalúe:
Solución.
= –
=
=
=
=
= ; s › 0
En general, evalúe ; a, constante
Ejemplo 2: Evalúe:
Solución.
= –
=
=
=
= ; s › 0
Al evaluar , y En general, concordamos que:
Ejemplo 3. Evalúe:
= –
=
=
=
u = - t ( s – a )
du = - ( s – a ) dt
=
=
= ; s › a
Ejemplo 4. Evalúe:
= –
=
=
=
=
+ =
u = sen 2t dv = e – st dt
du = 2 cos 2t dt v =
u = cos 2t dv = e – st dt
=
= s › 0
Propiedades: linealidad, existencia.
Al igual que las transformadas derivadas e integrales, la transformada de Laplace goza de la
propiedad de linealidad.
Sean f ( t ) y g ( t ) dos funciones que tienen transformada de Laplace, entonces
Ejemplo 5.Evalúe:
= = s › 0
Continuidad a trozos
Definición:
Una función f continua se dice que es continua a trozos o seccionalmente continua en un
intervalo [ a, b ] si f es continua en cada punto del intervalo salvo posiblemente en un
número finito de puntos en los que hay discontinuidad de salto, es decir, en cada uno de
esos puntos existen los límites laterales pero son distintos. Una función f se dice continua
a trozos en [ 0, ∞ ) si f es continua en [ 0, b ] para todo b › o.
Podemos decir que:
a) La función es continua sobre cada intervalo.
b) La función tiende a un límite finito conforme se tiende hacia los puntos
extremos de cada sub-intervalo desde su interior.
Orden Exponencial
Definición:
Se dice que una función f es de orden exponencial si existe una constante y
constantes positivas t 0 y M tales que,
para todo t › t 0
Observación: Si, por ejemplo, f es una función creciente entonces la condición
para todo t › t 0, simplemente expresa que la gráfica de f en el intervalo ( t 0, ∞ ) no crece
más rápidamente que la gráfica de donde ahora es una constante positiva.
Por ejemplo, la función definida por
no es de orden exponencial ya que, como se muestra en la siguiente figura, su gráfica
crece más rápidamente que cualquier para todo .
Probar que la función es de orden exponencial.
Solución: En efecto, se cumple
y t 0 es cualquier número real positivo.
Teorema de Existencia
Se han definido los dos conceptos anteriores, continuidad a trozos y orden exponencial de
una función, persiguiendo la convergencia de la integral que define la transformada de
Laplace. Para la función f la continuidad a trozos asegura su integración y el orden
exponencial indica que su producto por e -s t está acotado. Estas dos condiciones son
suficientes para que exista la transformada de Laplace de una función.
Teorema:
Si la función f es continua a trozos en [ 0, ∞ ) y de orden exponencial α, entonces
existe su transformada de Laplace [f (t)] para valores s › α.
Transformada de Laplace de algunas funciones elementales.
f ( t )
1
t
t n ;
e k t , k cte.
sen at, a cte.
cos at, a cte.
senh at, a cte
cosh at, a cte
Transformada inversa
1. Definición:
La utilización práctica de la transformada de Laplace requiere no solo el cálculo de la
misma a partir de una función dada, sino también el problema inverso, es decir, encontrar
una función f conocida su transformada de Laplace ( f ). Dos interrogantes se plantean:
1. Dada una función F, ¿existe siempre una función f cuya transformada sea F?
No necesariamente, ya que existen funciones F que no son transformadas de ninguna
función f.
2. Suponga que tal función existe, ¿es única?
No necesariamente, pues dos funciones que difieran sólo en un punto tienen la misma
transformada. Sin embargo, de todas las funciones que posiblemente tengan la misma
transformada una sola de ellas es continua.
Ejemplo 6. Evalúe:
Solución: = 2
=
=
Ejemplo 7.Evalúe:
Solución:
=
=
=
Transformada inversa de funciones elementales
- 1{ f ( t)} f ( t )
1
T
t n ;
e k t , k cte.
sen at, a cte.
cos at, a cte.
senh at, a cte
cosh at, a cte
Propiedad de linealidad
El operador - 1 , también es lineal
Ejemplo 8. Evalúe:
Solución:
=
= –
Ejemplo 9. Evalúe:
Solución:
=
=
=
= - 2 cos2t + 3 sen2t
Primer teorema de traslación para transformada y transformada
inversa
No es adecuado utilizar la definición cada vez que se quiera calcular una transformada,
por ejemplo, la integración por partes involucrada al calcular es bastante
tediosa.
Por esta razón vamos a enunciar algunos teoremas que ahorran trabajo en el cálculo de
este tipo de transformadas.
Si conocemos que, podemos calcular la transformada de
como una traslación, de F ( s ) a, F ( s – k ) como lo enuncia el siguiente
teorema.
Primer teorema de traslación
Si k es un número real y { f ( t )}, existe, entonces , donde
.
Problema 10:
Problema 11:
Forma inversa del primer teorema de traslación
Observación:
Si consideramos a como una variable real, entonces la gráfica de F ( s – k ) es la misma
de F ( s ) trasladada unidades sobre el eje . Si k › 0 , la gráfica de F ( s ) se
desplaza unidades a la derecha, mientras que, si , la gráfica se traslada unidades
a la izquierda.
Para enfatizar en la traslación se acostumbra escribir
Ejemplo 12. Evalúe:
Solución: Usando el primer teorema de traslación
=
=
Ejemplo 13. Use la forma inversa del primer teorema de traslación para calcular
Solución: Usando el primer teorema de traslación
=
=
Ejemplo 14. Evalúe:
Solución: Para usar la forma inversa del primer teorema de traslación debemos completar
el cuadrado en el denominador
=
=
=
= - 2
=
=
1.1. Función escalón unitario y función impulso. Aplicaciones a deformación de
vigas
En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados
de sí o no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que
actúa sobre un sistema mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un
circuito, puede tener que suspenderse después de cierto tiempo. Para
tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene
introducir una función especial llamada función escalón unitario.
Definición de función de Heaviside
La función escalón unitario o función de Heaviside se define como
Problema 15:
Problema 16:
La función escalón
Segundo teorema de traslación.
Si ;
Ejemplo 17: Resuelva
Solución:
Ejemplo 18: Resuelva
Solución:
Resuelva
Solución:
Ejemplo 19: Hallar la ℒ de la función representada en la siguiente figura.
Solución:
Inversa del Segundo Teorema de Traslación
Ejemplo 20: Calcular,
Ejemplo 21: Calcule,
Ejemplo 22: Calcule,
Derivada de una transformada.
Para n=1, 2, 3…
Ejemplo 23: Calcular,
Transformada de una derivada.
Ejemplo 24: Calcular,
Integral de una transformada.
Convolución
Si dos funciones f y g son continuas parte por parte para t≥0 entonces la convolución de
f y g está definido por:
Ejemplo25: Hallar la convolución de
Solución:
Teorema de convolución
Sean y dos funciones continuas parte por parte para t≥0 y de orden exponencial,
entonces:
Ejemplo 26: calcular
Solución:
El teorema de convolución para calcular la transformada inversa está dada por:
Ejemplo27: Determinar
Solución:
Transformada de funciones periódicas.
Si una función periódica tiene periodo t, siendo t>o, entonces, . La transformada de
Laplace de una función periódica puede obtenerse integrando sobre el periodo.
Funciones periódica
Función serpentina
T=2a
Función onda cuadrada
T=2a
Función onda triangular
T=2
Teorema:
Sea contínua a trazos para t≥0 y de orden exponencial. SI es periódica de
periodo T entonces:
Ejemplo28: Hallar la transformada de Laplace de la función periódica mostrada en la
siguiente figura:
T=2
Solución:
Ejemplo29: Hallar la transformada de Laplace de la función periódica mostrada en la
siguiente figura:
Solución:
Solución de ecuaciones diferenciales lineales mediante
transformada de Laplace.
Ejemplo30:
Resolver:
*Paso1: Expresar cada ecuación como la derivada de una transformada.
*Paso2: Formar el sistema de Laplace
*Paso3: Resolver el sistema utilizando determinantes:
Ejemplo 31:
Resolver:
*Paso1: Expresar cada ecuación como la derivada de una transformada
*Paso2: Formar el sistema de Laplace
*Paso3: Resolver el sistema
Universidad Tecnológica de Panamá
Facultad de Ciencias y Tecnología
Prueba Parcial de Matemática Superior
Nombre: ___________________________________ Cedula: _________________
Grupo: __________________ Profesor: _____________________ 13-09-2011
Resolver cada problema de manera clara y ordenada. Todo aquello que no sea legible se
considerara nulo. Haga un uso adecuado de los teoremas explicados en clases para que pueda
obtener resultados óptimos.
1. Use la definición para encontrar L{f(t)}, si f(t) = t sent
2.
3.
4. L{ sent U{t- }
5. L{
6. Resolver la siguiente ecuación diferencial:
La Serie de Fourier surge de la práctica de representar una función f(t) en términos de
seno y cosenos.
La razón se debe a la facilidad con que se resuelven ciertos problemas cuando se
transformar a series periódicas de Fourier.
Una representación general de la serie de Fourier:
Dónde:
, donde son números de Fourier.
Ejemplo 1: Obtener la expansión en Serie de Fourier de la función periódica f(t) de
período 2π definida por f(t) = t, para 0 < t < 2π
.
Entonces con los tres números de Fourier la serie quedaría así:
Ejemplo 2: Obtener la expansión en Series de Fourier de la función periódica de período
2π definida por:
Cuando esto se evalúa como en los ejemplos anteriores queda un término como cosnπ,
el cual es igual a , el cual es reemplazado en la ecuación quedando como resultado
final:
en este caso sucede que sennπ = 0.
La serie quedaría así:
Otra forma de Denotar la Serie de Fourier
Dónde,
y,
T = 2p en donde el T es el período.
Resolviendo el ejemplo anterior, pero con la segunda notación de la Serie De Fourier
podemos comprobar que ambas formas de resolución para estos problemas son valederas
y las respuestas son las mismas.
Función “par” e “impar”
a. Una función es par si: f(-x) = f(x).
Ejemplo de esto:
Visto gráficamente con el y = cosx que es par:
b. Una función es impar si f(-x) = –f(x)
Veamos el ejemplo con la gráfica del y = senx que es
impar:
Propiedades:
Una función par por otra función par es igual función par.
Una función impar por otra función par es igual a una función impar.
Una función par por otra función impar es igual a una función impar.
Si f es par la:
Si f es impar la:
Nota: Entonces si la función es par solo hay que buscar los valores de .
En caso tal de que sea impar solo se busca .
Ejemplo 3: Sea f(x) = x y -2<x<2
f(x) es impar, entonces solo buscaremos a .
p = 2
Quedando
Entonces la serie sería:
Ejemplo 4: f(x) = |x| para –π<x<π, es par entonces se buscan
p = π
Entonces la serie sería:
Desarrollo de funciones de medio intervalo
Proyección par:
Consta en trazar la gráfica y haciendo su proyección par calculamos su recorrido en medio
intervalo para definir su par en cosenos.
Proyección impar:
Tiene el mismo procedimiento solo para definir recorridos en términos de senos.
Proyección periódica
Ejemplo 5: f(x) = x^2 -L<x<L P = L
a. Proyección par
b. Proyección impar:
c. Proyección periódica
Se vuelve normal sin importar si es par o par.
Es decir, se buscan los tres números de La Serie de Fourier.
Representación Compleja de La Serie de Fourier
Ejemplo 1:
P = π
Entonces la Serie en forma compleja quedaría expresada así:
Transformada de Fourier
Se emplea en series periódicas a diferencia de La Serie De Fourier. Las condiciones para
obtener la transformada de Fourier son las Condiciones de Dirichlet, es decir, que la señal
sea absolutamente integrable, lo que significa que:
a. Que tenga un grado de oscilación finito.
b. Que tenga un número máximo de discontinuidad.
La transformada de Fourier es la particularización de ℒ con s = jw.
Para existe una inversa que se expresa como:
Formas equivalente de ℒ:
La función F(α) se llama transformada de Fourier de f(x) y se suele escribir:
Y la función f(x) es la transformada inversa de Fourier de y se escribe:
Ejemplo 6:
a. Transformada de Fourier
b. Representar f(x) y su transformada para α = 3
a-
para α ≠ 0
Parte b:
Una ecuación diferencial en derivadas parciales es una relación entre una función de varias
variables independientes con sus derivadas parciales respecto a cada una de esas variables.
Si , entonces
Restricciones
A nuestra ecuación general vamos a hacerle ciertas restricciones para adecuarlas a los
problemas que vamos a desarrollar.
Una ecuación diferencial en derivadas parciales lineal con dos variables de 2doorden es una
ecuación de la forma:
Donde A,B,C,D,E,F,G son constantes.
Reducimos la ecuación diferencial a una ecuación diferencial en derivadas parciales con
coeficientes constantes.
Una ecuación diferencial en derivadas parciales muy simple puede ser: donde u es
una función de x,y. Esta relación implica que los valores de son completamente
independientes de x, entonces la solución general de esta ecuación es u(x,y)= f(y) es una
función arbitraria de y.
La ecuación diferencial ordinaria análoga a esta es y la solución es u(x)=c, ces
constante independiente de x.
Este ejemplo ilustra que la solución general de las ecuaciones diferenciales ordinarias son
constantes, para las soluciones de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales son
funciones arbitrarias. Lo que si es cierto, es que la solución general de una ecuación
diferencial parcial no es única, por lo que de esta forma, tienes que proporcionar
condicionales de contorno capaces de definir la solución única.
Notación General
En las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales es muy común denotar las derivadas
parciales empleando un subíndice tensorial:
En física matemática se suele utilizar el operador nabla ( ) denotado por
en coordenadas cartesianas espaciales y un punto upara las derivadas que evolucionan en
el tiempo, por ejemplo:
La ecuación de Onda
(Notación matemática)
(Notación física)
Orden de una ecuación diferencial de derivadas parciales.
El orden de una ecuación diferencial en derivadas parciales la da la mayor derivada parcial
que aparece en la ecuación
Ejemplo1:
4to orden
Ejemplo2:
2do orden
Ejemplo3:
, t>0 orden 2
Linealidad
Por la compleja que pueda ser la diferencial parcial de orden n restringimos la ecuación diferencial
a una de segundo orden.
Definición
Ecuación diferencial lineal parcial de 2do orden:
Se dice que es lineal si ésta se puede escribir de la forma:
Con A,B,C,D,F y G funciones de x y y.
Observaciones: muchas veces es más fácil diferencial o visualizar cuando una ecuación diferencial
parcial no es lineal:
1. Cuando hay un producto entre la función y su derivada.
2. Cuando el grado de la función y su derivada es distinto de 1.
3. Cuando la función y sus derivadas están multiplicadas por una función hiperbólica.
Ejemplos:
Determine cuál de las ecuaciones son lineales o no.
1.
Resp:Es lineal porque tiene la forma de la definición.
2.
Resp: No es lineal porque el exponente respecto a x es distinto de 1.
Tipos de ecuaciones diferenciales parciales
Una ecuación diferencial parcial lineal de 2do orden con dos variables dependientes y con
coeficientes constantes de la forma:
Se puede clasificar en:
1. Hiperbólica si
2. Parabólica si
3. Elíptica si
Ejemplo:
Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales parciales:
1)
Es una ecuación hiperbólica
2)
Es una ecuación elíptica
3)
Es una ecuación parabólica
Métodos para la Solución de las ecuaciones diferenciales parciales
Esta primera parte de resolver ecuaciones diferenciales parciales está ligada a los métodos
de resolver ecuaciones diferenciales parciales ordinarias con una pequeña transformación
de la ecuación diferencial parcial la podemos llevar a una ecuación diferencial ordinaria.
Solución por integración:
si la ecuación diferencial parcial es de la forma
Su solución se define al integrar n veces la expresión recordando que:
Ejemplo7:
Ejemplo8:
Ejemplo9:
Ejemplo4:
Solución por factor de integración
Este método consiste en transformar una E.D.P.L de segundo orden en una ecuación
diferencial lineal de primer orden y tratarla como una ecuación diferencial parcial
ordinaria.
Ejemplo5:
F.I=
Ejemplo6
F.I=
Solución de Ecuaciones diferenciales parciales no homogéneas.
Las ecuaciones que se tratan tienen la característica que las derivadas parciales que van a
aparecer son con respecto a una sola de sus variables para poder encontrar el método.
Ejemplo 7:
= solución complementaria
Ejemplo8:
= solución complementaria
Solución de ecuaciones diferenciales parciales separables
El método de separación de variables busca una solución particular en forma de un
producto de una función de la variable x por la variable y o sea:
La idea del método es convertir una ecuación lineal de dos variables, en una ecuación
diferencial ordinaria, por lo que tenemos que hacer:
El método se puede reducir en tres pasos:
1. Se obtienen dos ecuaciones diferenciales ordinarias
2. Se buscan las soluciones de estas ecuaciones que cumplan con la condición de
frontera
3. Se forma una combinación lineal de las soluciones para satisfacer las soluciones
iniciales.
Ejemplo 9 Determinar la solución de:
Caso 1:
i )
ii)
Caso 2:
i )
ii)
Caso 3:
i)
ii)
Ejemplo 9: Hallar la solución de la ecuación diferencial parcial ,k>0 que
satisface las condiciones de frontera u(0,t)=0, u(l,t)=0
Caso 1:
i)
ii)
Por las condiciones de frontera tenemos que:
(Solución trivial)
(Solución trivial)
Caso 2:
i)
ii)
Por las condiciones de frontera tenemos
(Solución trivial)
Caso 3:
i)
ii)
Por las condiciones de frontera tenemos
;n=1,2,3,4…..
Ejemplo 10
Hallar la solución de la ecuación diferencial parcial ,0<x<2, t>0
Para
Para evitar la solución trivial resolveremos directamente el caso 3 para
i)
ii)
Por las condiciones de frontera tenemos:
n=1,2,3,4…..
n=1,2,3,4….
Con la condición inicial
La cual representa una serie de Fourier de medio recorrido en seno.
Ecuación Clásica y problemas de valores en la frontera
Definición (Ecuaciones clásicas)
Llamaremos a las ecuaciones diferenciales
k>0 (1)
(2)
(3)
Las ecuaciones clásicas de la física matemática con algunas pequeñas variantes, según la
aplicación, a estas ecuaciones clásicas se les llaman:
(1) Ecuación de calor en una dimensión
(2)Ecuación de onda unidimensional
(3)Ecuación de Laplace en 2 dimensiones
Decir “una dimensión” significa que x representa una variable espacial y representa el
tiempo . Estas ecuaciones según su tipo se clasifica en:
Parabólicas
Hiperbólicas
Elípticas
Ecuación de calor
k>0
Se origina en la teoría del flujo de calor; esto es, el calor transferido por conducción en
una varilla o alambre delgado, donde la función u(x,t) es la temperatura en un punto x a
lo largo de la varilla en cierto tiempo t.
Una varilla delgada de longitud L con sección transversal A en el intervalo [0,L] tiene
temperatura inicial f(x)y sus extremos se mantienen a una temperatura 0 en todo
momento t>0;
Si esta varilla satisface lo siguiente:
i. El flujo de calor dentro de la varilla solo tiene dirección x.
ii. La superficie lateral o curva de la varilla está aislada, esto es, no se escapa calor a la
superficie.
iii. No se genera calor dentro de la varilla.
iv. La varilla es homogénea, es decir, su masa por unidad de volumen ρ es constante.
v. El calor específico y la conductividad térmica del material de la varilla K son
constantes.
Condiciones iniciales
Como la solución de la ecuación de calor depende del tiempo t, podemos indicar que
ocurre cuando t=0, esto es, podemos establecer las condiciones iniciales.
Si f(x) representa la distribución inicial de la temperatura en la varilla, entonces u(x,t) debe
satisfacer la única condición inicial:
x
Sección transversal
A
Condiciones de frontera
x=0 y x=L
Lo cual traducimos en dos condiciones de frontera de la siguiente manera:
y t>0.
Como f(x) es continua, entonces f(0)=0 y f(L)=0.
En general hay tres tipos de condiciones de frontera asociados a la ecuación de calor;
En la frontera podemos especificar una de las siguientes ecuaciones:
i. u
ii.
iii. h=constante.
representa la derivada normal de u (derivada direccional de u, en dirección
perpendicular a la frontera).
La condición i se le llama condición de frontera de I tipo (condición de Dirichlet);
ii se le llama condición de frontera de II tipo (condición de Newman) y iii se le llama
condición de frontera de III tipo (condición de Robin).
Por ejemplo, cuando t>0, la condición frecuente en el extremo derecho de la varilla puede
ser:
a) , U0 constante
b)
c) , constante
La condición a expresa que la frontera x=L se mantiene a una temperatura constante en
todo momento t>0 por algún medio.
La condición b expresa que la frontera x=L está aislada según según la ley empírica de la
transmisión de calor, el flujo del mismo a través de una sección (esto es, la cantidad de
calor por unidad de área y por unidad de tiempo que es conducida a través de la frontera)
es proporcional al valor de la derivada normal de la temperatura u. Así, cuando la
frontera
x = L está térmicamente aislada, no entra ni sale calor de la varilla y
La condición c representa el calor que se pierde del extremo derecho de la varilla al estar
en contacto con un medio como aire o agua, que permanece a una temperatura
constante. Según la ley de Newton del enfriamiento, el flujo del calor que sale de la varilla
es proporcional a la diferencia entre la temperatura de la misma u(L, t) en el extremo y la
temperatura u, del medio que la rodea. Observamos que si se pierde calor del extremo
izquierdo, la condición en la frontera es
El cambio de signo algebraico concuerda con la hipótesis de que la varilla tiene una
temperatura mayor que el medio que rodea sus extremos; de manera que:
Se pueden especificar condiciones distintas al mismo tiempo en los extremos de la varilla
y t>0
La condición de frontera (a) es homogénea si , si es no homogénea. La
condición (b) es homogénea y (c) es homogénea si y si es no homogénea.
Observaciones:
En el análisis de una variedad de fenómenos físicos se llega a ecuaciones como 1,2 o 3 y
sus generalizaciones donde intervienen una mayor cantidad de variables espaciales. En
ocasiones la ecuación (1) se denomina ecuación de difusión, porque la difusión de las
sustancias disueltas en una solución es análoga al flujo de calor en un sólido. En este caso,
la función u(x,t)satisface la ecuación diferencial que representa la concentración de
sustancias disueltas.
La ecuación (1) también surge en el estudio de flujo de electricidad por un cable largo o
línea de transmisión, por lo que en este contexto se llama ecuación del telégrafo, también
se puede demostrar que bajo ciertas hipótesis, la corriente y el voltaje en el conductor
son funciones que satisfacen dos ecuaciones idénticas de la forma (1).
Solución de la ecuación de calor con valores en la frontera
Una varilla circular delgada de longitud L, con temperatura inicial f(x) y que sus extremos
se mantienen a la temperatura 0 en todo momento t>0.
El problema de los valores de frontera establecen que:
0<x<L t>0
t>0
0<x<L
Por las condiciones iniciales tenemos:
n=1,2,3,4…
n=1,2,3,4…
n=1,2,3,4…
Esta es la solución del problema de flujo de calor donde los extremos están a 0 grados
centígrados, por lo que indica condiciones de fronteras homogéneas.
En el modelo anterior del problema de flujo de calor en un alambre uniforme, si
suponemos que los extremos del alambre están aislados, es decir, no fluye calor hacia
afuera o hacia adentro por los extremos del alambre. El principio de conductividad de
calor implica que el gradiente de la temperatura debe anularse en los extremos.
t>0.
Luego el problema de la ecuación de calor o flujo de calor con valores iniciales y valores
de frontera
0<x<L
Por las condiciones iniciales:
n=0,1,2,3,4…
n=0,1,2,3,4…
Cuando los extremos del alambre se mantiene a 00 Celsius o cuando están aislados, las
condiciones en la frontera son homogéneas. Pero cuando los extremos del alambre se
mantienen a temperatura constante, es decir, y t>0
Entonces las condiciones en la frontera son no homogéneas, luego la solución del
problema de flujo de calor, con las condiciones no homogéneas en la frontera consta de
una solución en estado estacionario que satisface las condiciones no homogéneas en la
frontera más una solución transitoria es decir .
Ejemplo 11:
Una barra metálica de 100cm de longitud tiene x=0 a x=100 inicialmente la mitad de la
barra está a 60o C mientras que la otra mitad está a 40oC. Asumiendo una difucividad de
0,16U y7 que la superficie de la barra está aislada, determinar la temperatura de toda la
parte de la barra al tiempo T.
Formulación matemática:
0<x<100
Condiciones de frontera: u(0,t)=0 u(100,t)=0
Condiciones iniciales:
x=0
x=100
L=100 K=0.16
Por condiciones de frontera:
n=1,2,3,4…..
n=1,2,3,4…..
n=0,1,2,3,4…
n=0,1,2,3,4…
Buscamos
Valoramos n:
Al analizar los resultados podemos destacar que:
I. Para n impar la serie corre:
II. Para n par la serie corre: n=2,6,10,14…..
III. Para n=4,8,12,16….. =0 se anulan
se escribe así:
Respuesta final:
La ecuación de Onda
La ecuación de onda es de la forma
Considere una cuerda de longitud L, tensa entre dos puntos sobre el eje x en x=0 y x=L,
al hacer vibrar la cuerda, el desplazamiento es de manera vertical en el plano xu de tal
modo que cada punto de la cuerda se mueve en dirección perpendicular al eje x
(vibraciones transversales). Representa el desplazamiento vertical de cualquier
punto de la cuerda, medido a partir del eje x cuando t>0.
Si esta cuerda cumple con:
1. La cuerda es perfectamente flexible.
2. La cuerda es homogénea, es decir, su masa por unidad de longitud es constante.
3. Los desplazamientos u son pequeños en comparación con la longitud de la cuerda.
4. La pendiente de la cuerda es pequeña en los dos puntos.
5. La tensión t actúa tangente a la cuerda y su magnitud T es tangente en todos los
puntos.
6. La tensión es grande en comparación a la fuerza de gravedad.
7. No hay otra fuerza externa actuando sobre la cuerda.
Condiciones iniciales
Es posible especificar el desplazamiento de la cuerda (o forma) inicial f(x)y su velocidad
inicial g(x). En términos matemáticos, se busca una función u(x,t) que satisfaga la ecuación
de onda y las dos condiciones iniciales.
0<x<L
La cuerda se puede tomar y hallar de acuerdo a la gráfica adjunta soltándola desde el
reposo en x=0
Condiciones de frontera
La cuerda está fija en 2 extremos en el eje x1x=0 y x=L. Esto se traduce en las condiciones
de frontera siguientes: t>0
h
Solución de la ecuación de onda con valores de frontera
Ecuación de onda:
Condiciones de frontera:
Condiciones iniciales:
Por las condiciones de frontera
n=1,2,3,4…..
n=1,2,3,4…..
Para determinar y utilizaremos la condición inicial
Luego y se reemplazan en la ecuación.
Universidad Tecnológica de Panamá
Facultad de Ciencias y Tecnología
Prueba Formativa de Matemáticas Superiores para Ingenieros
Nombre:____________________________ Grupo:________________
I Use la definición de transformada de Laplace para obtener la transformada de f( t ),
cuando f(t) está definida por:
a) t e – t b) t sent
II Utilice el teorema de linealidad para obtener las siguientes transformadas
a) t 2 + e t sent b) cosh bt
III Calcule
a) b)
c )
d)
III Trace la gráfica de:
a) –
IV Use el teorema de la derivada de un transformada de Laplace, de manera inversa, es
decir: f ( t ) = n = 1
a) b)
V Calcule las integrales y luego la transformada de Laplace
a) b)
VI Calcule
a) a )
VII Calcule la transformada de La place de la función periódica
VII Resuelva las ecuaciones diferenciales, utilizando la transformada de Laplace
y´´ + y = sent y(0) = 1 y´ (0) = -1
Y ´´ - y ´ = e t cost y(0) = 0 y´ (0) = 0
Una sucesión finita, la cual denotamos par es un conjunto de n+1 números reales, o complejos ordenados,
este conjunto de números esta ordenado, así que la posición que ocupa el número es importante la posición
está definida con el índice k llamado índice de posición k(k .
Si el número de elementos es finito, entonces tenemos una sucesión finita y si el número de elementos es
finito tenemos una sucesión finita de la forma.
, }
Cuando tratamos con nuestras de función en el tiempo t es necesario contara con medios que nos permitan
tener t<0 para esto, tenemos que la sucesión de números se extiende al infinito en ambos sentidos y lo
denotamos como
, }
Las sucesiones para las cuales xk=0 para k<0 se llaman sucesiones causales
Definición y notación de la Transformada Z
La transformada Z es una sucesión denotada por
Z = x(Z) =
Siempre que la sumatoria exista y Z es una variable compleja e indefinida y X(Z) se conocen como
par de transformadas para las sucesiones causales es decir Xk = 0 para k<0, la transformada Z se
define por:
= x(Z) =
Ejemplo #1: Calcular la transformada Z de { }
Z { } =
=
xk = ak
x(z) =
Serie Geométrica
0< < 1 Converge
r≥1 Diverge
BIBLIOGRAFÍA
Moodle, Matemáticas Superiores para Ingenieros, Profesor Narciso
Agudo, 2011
es.wikipedia.org/wiki/Transformada_Z
es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace
es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Fourier
www.unizar.es/pde/fjgaspar/Aplicaciones.pdf
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, Vol. 1, Ecuaciones
Diferenciales, Dennis G. Zill, Michael R. Cullen
Folleto de Matemática Superior para Ingenieros, Profesora Xenia de
Hill, Panamá 1992
Guía de Problemas resueltos de Matemática Superior para
Ingenieros
