GUA N 01 GEOMETRA

CENTRO PRE UNIVERSITARIO

GEOMETRIA - TRIGONOMETRIA

CENTRO PRE UNIVERSITARIO

GEOMETRIA - TRIGONOMETRIA

Puntos Notables

INCENTRO:

Es el punto de concurrencia de las tres bisectrices interiores de un tringulo

Nota:

Para hallar el Incentro basta con trazar dos bisectrices interiores.

Caractersticas:

1) El Incentro es el centro de la circunferencia Inscrita en el tringulo.2) El Incentro siempre es un punto interior al tringulo.3) El Incentro equidista de los lados del tringulo.

EXCENTROEs el punto de concurrencia de dos bisectrices exteriores y de una bisectriz interior de un tringulo.

Caractersticas:

1) Para hallar uno de los tres Excentros basta con trazar dos bisectrices exteriores

2) Son centros de las circunferencias ex_inscritas al tringulo cuyo radios se denominan exradios

3) Los centros equidistan exteriormente de los lados de todo tringulo.

BARICENTROEs el punto de interseccin de las tres medianas de un tringulo.

Caractersticas:

1) El baricentro siempre es un punto interior a todo tringulo

2) El baricentro dista de cada vrtice los dos tercios de la longitud de la mediana.

3) El baricentro divide a la mediana en dos segmentos cuyas longitudes estn en relacin de 2 a 1, siendo mayor el adyacente al vrtice.

ORTOCENTROEs el punto de concurrencia de las rectas que incluyen las tres alturas de un tringulo.

Caractersticas:

1) Para hallar el Ortocentro de un tringulo, basta con trazar dos alturas.

2) El Ortocentro no siempre es un punto interior al tringulo; solo es interior cuando el tringulo es acutngulo.

3) El Ortocentro es un punto exterior cuando el tringulo es obtusngulo4) El Ortocentro es un punto ubicado en el vrtice cuando el tringulo es rectngulo. (vrtice del ngulo recto).

CIRCUNCENTROEs el punto de interseccin de las tres mediatrices de un tringulo.

Caractersticas:

1) Para determinar el circuncentro de un tringulo basta con trazar dos mediatrices.

2) El circuncentro equidista de los vrtices de todo tringulo.

3) Representa el centro de la circunferencia circunscrita al tringulo, cuyo radio se denomina circunradio.

4) EL circuncentro no siempre es un punto interior al tringulo

5) El circuncentro es un punto Interior, si el tringulo es acutngulo; Exterior, si el tringulo es obtusngulo; en medio de la hipotenusa si el tringulo es rectngulo.Nota:En todo tringulo, el ngulo que se forma al unir dos vrtices con el circuncentro, siempre su medida es igual al doble de la medida del ngulo del tercer vrtice

Propiedades

En todo tringulo se cumple que la distancia del Ortocentro a un vrtice es el doble de la distancia trazada desde el Circuncentro al lado opuesto a dicho vrtice.

En un tringulo no equiltero el Ortocentro, Baricentro y Circuncentro estn en lnea recta. (Recta de Euler)

En todo tringulo no equiltero se cumple que la distancia del Ortocentro al Baricentro es igual al doble de la distancia del baricentro al circuncentro.

( En todo tringulo equiltero el Circuncentro, Baricentro, Incentro y Ortocentro coinciden. Todo tringulo equiltero tiene infinitas rectas de Euler.

EJERCICIOS1. Hallar la distancia del circuncentro al baricentro de un triangulo si sus lados miden 5, 12 y 13.A) 13/6 B) 15/6 C) 12 D) 13 E) 10

2. Si la suma de dos ngulos exteriores de un triangulo mide 270 y el lado mayor mide 48 m, hallar la distancia del baricentro al circuncentro.

A) 11 B) 6 C) 12 D) 8 E) 10

3. En un cuadriltero ABCD se sabe que: m(B = 120, m(D = 110, m(ABD = 60 y m(ADB = 40. Hallar la medida del ngulo que forman las diagonales.A) 70 B) 65 C) 80 D) 78 E) 754. En un triangulo acutngulo la distancia del circuncentro al ortocentro es 24 m. Calcular la distancia del ortocentro al baricentro del triangulo mencionado.A) 14 B) 16 C) 20 D) 18 E) 175. Calcular el valor de x, si E es el excentro del triangulo ABC. Adems se sabe que: AM = MB.

A) 60 B) 55 C) 40 D) 28 E) 306. En un triangulo rectngulo ABC recto en B, la altura BH mide . Calcular la distancia del vrtice B a la recta que contiene a los incentro de los triangulos AHB y BHC.A) 4 B) 6 C) 5 D) 8 E) 77. En un triangulo rectngulo ABC recto en B, se traza la mediana AM, si se sabe que: m(BAC = 2m(AMB y AC = 27. Calcular AB.A) 11 B) 10 C) 9 D) 8 E) 78. En la figura E es el excentro del triangulo ABC y O el circuncentro. Hallar PC, si PD = 2.

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 79. Desde un punto P exterior a una circunferencia de centro O se trazan las tangentes PA y PB. Sobre OP se ubica el punto E de modo que m(EAB m(BAO. Qu punto notable es E del PAB?A) excentro B) baricentro C) incentro D) circuncentro E) ortocentro10. Si el triangulo ABC es issceles, hallar x:

A) 50 B) 45 C) 40 D) 28 E) 3011. En un triangulo ABC las medianas AN, BQ y CM se intersectan en el punto G, sean D, E y F puntos medios de BG, CG y AG. Hallar el permetro del exgono MDNEQF, si: AN = 12, BQ = 6 y CM = 9.

A) 21 B) 20 C) 19 D) 18 E) 1712. En un triangulo ABC por su incentro se traza una recta paralela al lado AC que corta a los lados AB y BC en los puntos M y N. Hallar MN, si AM = 5 y NC 0 4.A) 11 B) 0 C) 9 D) 8 E) 7TAREA DOMICILIARIA

13. En un triangulo rectngulo issceles DOR, (m(R =90) se traza la mediana DM. Si I es el incentro del triangulo DRM. Hallar: m(IOR. A) 14 B) 13,5 C) 15 D) 13,5 E) 13,2514. En un triangulo acutngulo ABC de circuncentro O, se trazan las alturas AE y CD, encontrar el angulo formado por BO y DE.A) 70 B) 85 C) 90 D) 78 E) 8015. La altura en un triangulo acutngulo ABC mide 12 , la recta que pasa por el ortocentro y el baricentro es paralela al lado AC. Hallar el circunradio de dicho triangulo si AC = 16.

A) B) C) D) E)

TRIGONOMETRIA

REDUCCION AL PRIMER CUADRANTE

A la comparacin entre los valores de las razones trigonomtricas de un ngulo de cualquier medida con respecto a otra cuyo ngulo es agudo se denomina reduccin al primer cuadrante.Se presentan los siguientes casos:

Primer CasoRT(90+() = (() Co-RT(()

RT(180+() = (() RT(()

RT(270+() = (() Co-RT(()

RT(360+() = (() RT(()

Se debe tener en cuenta dos aspectos:

La medida de ( se debe considerar como un ngulo agudo aunque no lo sea.

El signo + que se debe elegir para el segundo miembro depende del cuadrante asumido para el ngulo a reducir y del operador trigonomtrico.

Segundo Caso

Las razones trigonomtricas de un ngulo no se alteran porque se le suma o resta al ngulo cualquier mltiplo de 360 o 2(.

RT(360k + () = RT(() (k ( Z.

Sugerencia

Cuando se reduce al primer cuadrante la RT de un ngulo mayor que una vuelta se divide dichos ngulos entre 360, donde la razn trigonomtrica de dicho ngulo ser igual a la misma en la divisin planteada.

Propiedades

1) Si ( + ( = 180 se verifica:

Sen( = Sen(

Ctg( = Ctg(Cos( = Cos(

Sec( = Sec(Tg( = Tg(

Csc( = Csc(2) Si ( + ( = 360 se verifica:

Sen( = - Sen(

Ctg( = - Ctg(Cos( = Cos(

Sec( = Sec(Tg( = - Tg(

Csc( = - Csc(Tercer Caso (Arcos Negativos)Sen(-() = - Sen(

Ctg(-() = - Ctg(Cos(-() = Cos(

Sec(-() = Sec(Tg(-() = - Tg(

Csc(-() = - Csc(Observacin 1:

Sen ((-() = - Sen((-()

Cos ((-() = Cos((-()

Tg((-() = - Tg((-()

Ctg ((-() = - Ctg((-()

Sec ((-() = Sec((-()

Csc((-() = - Csc((-()

Observacin 2:

Propiedades:RT[k( ( (] = (() RT(()

RT[(2k +1)(/2 ( (] = (()Co-RT(()

Recordar que el signo en el segundo miembro depende de la RT inicial y del cuadrante al cual pertenece el ngulo a reducir.PROBLEMAS1) Calcular: .

A) B) C) D) E)

2) Reducir:

A) B) C) D) E)

3) Hallar el signo de las expresiones trigonomtricas, en el orden dado:

;

A) (+)(+)(-) B) (-)(+)(-) C) (-)(+)(+)

D) (-)(-)(+) E) (+)(-)(+)

4) Simplificar:

A) -1 B) C) D) E)

5) Si:

Ademas III C. Calcular:

A) 3 0 B) 31 C) -30 D) 28 E) -316) Reducir:

A) B) C) D) E)

7) Calcule:

A) 0 B) 2 C) 1 D) -1 E) -28) Si los ngulos internos de un triangulo ABC estn en progresin aritmtica (A( B( C). Reducir:

A) 0,5 B) 2 C) 1 D) 1,5 E) 09) Si , simplificar:

A) 0,5 B) 1 C) 1,5 D) -0,5 E) 0

10) Determinar BM en trminos de R y ( en la figura:A) RB) Rsen(C) Rcos(D) Rsec(E) Rtg(11) Simplificar la expresin:

A) B) C) D) E)

12) Reducir:

A) 0,5 B) -1 C) 2 D) 0 E) 1

TAREA DOMICILIARIA

13) Si A, B y C son los ngulos de un triangulo. Simplificar:

A) -3 B) -2 C) 1 D) -1 E) 0

14) Efectuar:

A) 1 B) 2 C) D) E)

15) Si y . Determinar el valor de m que hace que ( y ( sean suplementarios.A) B) C) D) 0 E)

M

O

45

E

D

C

B

B

A

R

x

x

A

C

B

E

B

C

x

UNIVERSIDAD NACIONAL JOS FAUSTINO SANCHEZ CARRIN

CENTRO PRE UNIVERSITARIO

ALUMNO:GEOMETRIA-TRIGONOMETRIA

GUIA N 07DOCENTE: Castaeda Samanam Miguel Angel

30

M

P

A

E

2(

(

R

B

A

C

O

O

R

P

Q

B

C

A

O (Baricentro

Q

y

x

(

P

T

H

B

C

A

H(Ortocentro

2m

m

T

M

N

(

(

(4k +3)(/2

2k( +3 (/2

(2k + 1)(

2k (

2k( + (/2

(4k + 1)(/2

180 + (

270 - (

III C

IV C

270 + (

360 - (

C

B

A

G

G(Baricentro

E(Excentro relativo a BC

C

B

A

E

(

(

(

(

(

(

r

r

r

r ( Inradio

I ( Incentro

3

(

(

(

(

90 - (

90 + (

180 - (

II C

I C

I

(

(

CICLO: VERANO ENERO MARZO 2005-IPg. 01CICLO: Setiembre Diciembre 2005-IIIPg. 01

_1184944637.unknown

_1184945521.unknown

_1184945643.unknown

_1184945699.unknown

_1184945735.unknown

_1184945753.unknown

_1184945776.unknown

_1184945791.unknown

_1184945761.unknown

_1184945742.unknown

_1184945707.unknown

_1184945663.unknown

_1184945688.unknown

_1184945648.unknown

_1184945553.unknown

_1184945625.unknown

_1184945527.unknown

_1184945475.unknown

_1184945508.unknown

_1184945514.unknown

_1184945499.unknown

_1184945492.unknown

_1184944687.unknown

_1184945441.unknown

_1184945448.unknown

_1184945454.unknown

_1184944699.unknown

_1184944660.unknown

_1184839406.unknown

_1184847550.unknown

_1184847650.unknown

_1184848903.unknown

_1184939384.unknown

_1184944517.unknown

_1184849030.unknown

_1184936903.unknown

_1184849031.unknown

_1184848958.unknown

_1184848516.unknown

_1184848533.unknown

_1184848493.unknown

_1184847597.unknown

_1184847626.unknown

_1184847573.unknown

_1184840869.unknown

_1184840911.unknown

_1184842689.unknown

_1184840887.unknown

_1184840814.unknown

_1184840839.unknown

_1184840093.unknown

_1184838049.unknown

_1184839241.unknown

_1184839382.unknown

_1184839203.unknown

_1184837964.unknown

_1184837991.unknown

_1184837950.unknown