Difracción de la Luz. V1.0 Silvestre Marino, Fernando E Dugarte M

En esta experiencia se realiza un estudio de la difracción de Fraunhofer de la luz para

varios tipos de rendijas. Además, se observara la dependencia de la intensidad con la

distancia para una onda electromagnética (la luz en este caso). Se observaran las

dependencias de los máximos con el ancho y el tipo de aberturas. Se hará un estudio

utilizando cálculos sencillos, pero la esencia de esta práctica es más cualitativa que

cuantitativa.

Marco teórico

Dependencia de la Intensidad de una onda electromagnética con la distancia

Se sabe que la luz es una onda electromagnética, que consiste en un campo eléctrico E,

producido por una carga, y un campo magnético B, causado por el movimiento acelerado

de la misma, que se desplaza en dirección perpendicular al plano que forman los campos.

Dicha onda electromagnética tiene asociado un vector de Poynting Sr

con el que podemos

describir la densidad de energía que lleva la onda. Por definición, se tiene que el vector de

Poynting esta dado por

Ya que los vectores de campo eléctrico E y de magnético B, son perpendiculares, esta

ecuación se puede escribir de una forma mas simple.

Además, sabiendo que las funciones de ondas asociados al campo eléctrico y magnético

están en fase y que la razón entre las magnitudes de estos campos es c, tenemos que

Consideremos las densidades de energía asociados a los campos eléctricos y magnéticos

respectivamente,

La densidad total u, de energía es la suma de ue con ub.

Si consideramos un área arbitraria A en el plano que forman los vectores E y B, y sabiendo

que la onda recorre una distancia dx = c.dt, la onda barre un diferencial de volumen dV =

A.dx.

Fig. 1

(Volumen que barre el área A arbitraria, al desplazarse la onda.)

Conseguimos la energía integrando la densidad de energía en un volumen dV, o sea,

Por lo que,

Donde P es la potencia asociada con el flujo de energía dU/dt.

Por definición, denominamos intensidad al valor promedio de la magnitud del vector de

Poynting.

Si consideramos una fuente puntual de luz, como un bombillo pequeño, podemos decir que

el frente de onda asociado a la onda electromagnética de luz es esférico, por lo que,

Donde r es la distancia desde un punto arbitrario a la fuente de luz.

Difracción

La difracción es la dispersión de las ondas que encuentran un obstáculo durante su

trayectoria (ya sea, una barrera o una rendija) que sea del mismo orden de magnitud que su

longitud de onda.

Cuando la luz pasa a través de un orificio cuyo ancho es del orden de magnitud de la

longitud de la onda, se producen una serie de bandas alternadas donde la intensidad varía.

Esto sigue afirmando que la luz es una onda electromagnética.

Vamos a enfocarnos en el caso de difracción por rendijas rectangulares simple (una

rendija), doble (dos rendijas) y para aberturas circulares.

Difracción con una rendija rectangular.

Consideremos una onda plana que incide sobre una placa la cual tiene una rendija

rectangular. Cuando dicha onda llegue a la rendija, se difractará.

Fig. 2

(Una onda plana incide sobre una rejilla de una rendija, y se difracta.)

Considere los puntos que se encuentran dentro de la rendija en la figura 2. Como la onda

incidente es plana, es posible considerar a cada punto como un emisor puntual de ondas

esféricas (Principio de Huygens-Fresnel). El fenómeno de difracción consistirá entonces en

la superposición de las ondas generadas por cada una de estas fuentes puntuales, que se

interfieran destructivamente o constructivamente para formar el patrón de difracción que se

muestra en la figura 3.

Fig. 3

(Se observan los lugares donde las ondas se construyen y se destruyen.)

Tenemos que la ecuación que encuentra el ángulo de dispersión para las franjas de

interferencia destructiva esta dada por

Donde λ es la longitud de onda de la onda electromagnética difractada, a es el ancho de la

rendija, m es el orden del mínimo y θ es el ángulo de dispersión.

Rendija doble

A medida que se agregan rendijas vamos a conseguir patrones de difracción cada vez mas

definidos, o sea, menos difusos. Para el caso de una rendija se observan máximos y

mínimos, únicos y continuos, cosa que cambia cuando agregamos más rendijas a la

experiencia. Vemos en la figura 4, lo que ocurre con el patrón de difracción cuando vamos

aumentando el número de rendijas.

Fig. 4

(La primera es difracción por una rendija, y la segunda es difracción por dos rendijas)

Observamos lo que llamamos máximos secundarios que se definen cada vez más a medida

que aumentamos el número de rejillas como observamos en la figura 4.

Los sitios de los máximos no cambian a medida que aumenta el número de rendijas,

cambian el ancho y la nitidez de los máximos secundarios. Limitándonos a estudiar los

máximos secundarios en el máximo principal podemos suponer de nuevo que cada rendija

es una fuente de ondas esféricas, aproximación valida si nos referimos a la difracción de

Fraunhofer.

La ecuación que relaciona la posición de los máximos secundarios en el máximo principal

es,

Donde d es la distancia entre las rendijas.

Difracción en una abertura circular

Considere una experiencia de difracción para una sola rendija a través de la difracción de

Huygens-Fresnell. Si rotamos la rendija sobre un eje perpendicular que pase por la mitad de

la misma, rotamos también el patrón de difracción, formando círculos concéntricos que

conforman las bandas de intensidad.

En la figura 5 observamos un patrón de difracción a través de una rendija de forma circular,

donde reconocemos evidentemente el primer máximo de intensidad.

Fig. 5

(Difracción a través de una rendija circular.)

En el análisis matemático de la difracción causada por una abertura circular indica, bajo las

consideraciones de Fraunhofer, que el primer mínimo ocurre en un ángulo del eje central

dado por,

Instrumentación

Fig. 6

(Observe la numeración)

1) El artefacto señalado es una fuente emisora de luz, que consta de un bombillo pequeño

(para que simule las condiciones de Fraunhofer), que origina un haz de luz coherente, que

es necesario para observar un patrón definido de difracción.

5

1

2 3

4

2) Utilizaremos la regla de medición para conseguir los datos trigonométricos que nos

ayudaran a conseguir el ángulo en el cual se hayan las bandas de intensidad.

3) Este objeto es una rejilla de difracción, que consiste en una placa con una serie de rejillas

identificadas, las cuales poseen configuraciones distintas en cuanto a las rendijas que las

constituyen. Observamos en la figura 7 una tabla con el número de rendijas, el ancho de

ellas y su forma.

Fig. 7

(Observe la forma de las rendijas y vea el ancho de las mismas)

4) Este es el riel, el cual es la base donde encajan el resto de las piezas de forma magnética.

A su costado tiene una escala métrica para ubicar la posición de los objetos en el riel.

5) Esta es la mascara colimadora, la cual colima y dirige al haz de luz directamente sobre la

rejilla de difracción.

6) También se utilizara una red de difracción que consta 600 líneas/milímetro.

Fig. 8

7) Regulador de intensidad de abertura variable.

Fig. 9

8) Filtros de colores.

Fig. 10

9) Otros:

Láser

Regla

Soportes

Parte experimental

Objetivos de la práctica:

� Demostrar la dependencia de la intensidad de una onda electromagnética con el

inverso del cuadrado de la distancia.

� Calcular el ancho de banda para los máximos secundarios en el fenómeno de

difracción de dos rendijas.

� Calcular la longitud de onda de las ondas que se interfieren formando un mínimo en

el patrón de difracción.

� Observar las propiedades ondulatorias que ocurren cuando hacemos difracción por

rendijas circulares de forma cuadriculada o arbitraria.

Parte teórica de la experimentación

Dependencia de la intensidad con el cuadrado de la distancia

Encontramos en la parte teórica que la intensidad, definida como el promedio de la norma

del vector de Poynting, depende inversamente del cuadrado de la distancia. Se realizara una

demostración experimental de este hecho.

Tenemos que,

Así que, aplicando logaritmo en ambos lados,

Aplicando correctamente ciertos cambios de variables, podemos llevar esta expresión a una

de la forma,

Y proceder por medio de métodos gráficos para demostrar que la pendiente de la recta que

origina la ultima ecuación es -2.

Red de difracción

El proceso de difracción por múltiples rendijas hace que dentro de los máximos de

intensidad podamos encontrar máximos secundarios, que a medida que el numero de

rendijas aumenta se hacen mas visibles y nítidos.

Observamos en la figura 11, como cambia el patrón de difracción a medida que

aumentamos el número de rendijas.

Fig. 11

(Observamos en la figura 11 como varían los máximos secundarios con el número de rendijas.)

Para difracción de dos rendijas, aparecen en el máximo principal, algunos máximos

secundarios, que si la onda incidente tiene una longitud de onda que se encuentra en el

rango de visión de los ojos del ser humano, podemos observar la descomposición de los

colores que forman dichos máximos secundarios. Si aumentamos el número de rendijas se

empezaran a formar máximos secundarios que para el ojo humano parecen ser continuos.

La figura 12 plasma una manera de medir un rango de longitudes de onda, para que una

onda electromagnética de luz a cierta longitud de onda sea de un determinado color para el

ojo humano.

Fig. 12

1) Ojo observador.

2) Rendija de difracción.

3) Diferencia de camino óptico y ley de Bragg.

4) Patrón de difracción.

1

2

3

4

Se utiliza la ley de Bragg para calcular la longitud de onda para cierto color, producto de la

descomposición de la luz en la difracción.

Tenemos una red de difracción que posee 600 líneas por milímetro, que es capaz de desviar

grandes ángulos las ondas difractadas. Se puede considerar una distribución de máximos

secundarios, ya que como hay tantas rendijas los mínimos secundarios van haciéndose más

pequeño y no son percibidos por el ojo que hace el papel de la pantalla donde ocurre el

patrón de difracción.

Difracción de una rendija

En el fenómeno de difracción de una rendija, podemos hacer incidir un rayo

monocromático en la abertura. Observando las distancias del eje central a los mínimos en el

patrón difracción, podemos encontrar por medio de argumentos trigonométricos el ángulo

de dispersión de las ondas que se interfieren destructivamente. Si aplicamos la ley de Bragg

para varios mínimos, encontramos las longitudes de ondas de dichas ondas que se

aniquilan.

Fig. 14

1) Ojo observador.

2) Rejilla de difracción de una rendija.

3) Diferencia de camino óptico es múltiplo entero de la longitud de onda para los mínimos.

4) Proyección del patrón de difracción.

Parte practica de la experimentación Dependencia de la intensidad con el cuadrado de la distancia

Monte la fuente de luz sobre el riel como se muestre en la figura 15.

Fig. 15

1

2

3 4

Utilizando un fotómetro, medir la intensidad a medida que aumenta la distancia entre el

bombillo de la fuente y dicho fotómetro.

Realice mínimo 25 mediciones de la intensidad en función de la distancia.

Grafique, realizando cambios de variable apropiados, de tal forma que demuestre la

dependencia inversa y cuadrática de r con respecto a I.

Red de difracción

Fig. 16

Arregle el equipo como se observa en la figura 16. Las piezas están dotadas de zonas

magnéticas para unirse unas con otras como lo muestra la figura.

Cuando hacemos incidir luz visible sobre la rejilla de difracción, ocurre dicho efecto. El

experimentador deberá ver a través de las rendijas correspondientes y observará el

fenómeno de difracción que se proyecta en su ojo.

Para esta parte de la experimentación se utilizaran las rejillas D, E y F, rendijas dobles.

Observe el ancho de las bandas de colores descompuestos para las rendijas mencionadas.

Describa lo que observa cualitativamente.

Observamos de la figura 13, que el ángulo θ’ define la difracción de las ondas y que

podemos calcularlo a través de relaciones trigonometricas, tomando como datos la longitud

de la rejilla a la pantalla L y la distancia X del eje central y un punto sobre el patrón de

difracción. Además, utilizando la ley de Bragg, podemos conseguir el rango de longitudes

de onda de cada color descompuesto en el fenómeno de difracción.

Reemplace la rejilla de difracción por la red de difracción, que tiene 600 rendijas por

milímetro y vuelva a observar los anchos de bandas para cada color

Utilice la ley de Bragg para obtener el ancho de banda correspondiente a cada color. Llene

la tabla 1.

Tabla 1

¿Cómo influye la cantidad de rendijas en el fenómeno de difracción?

Difracción de una rendija

Fig. 17

Conserve la configuración pasada, solamente coloque uno de los tres filtros (azul, verde,

rojo) enfrente de la ventana en el emisor de luz visible.

Como se hará difracción de una rendija, colocamos la rejilla de difracción en las rendijas A,

B y C.

Para cada una de las rendijas, calcule la longitud de onda de las ondas que interfieren

destructivamente en los tres primeros mínimos, cuando incidimos luz proporcionada por el

uso de los filtros. Llene la tabla 2.

Tabla 2

Donde W es el ancho de la rendija y n es el orden de los mínimos.

Si el ancho W de la rendija se hace más pequeña que la longitud de onda de la onda

incidente.

¿Cómo varían los máximos en el experimento de difracción de una rendija?

Difracción en abertura circular

Monte el equipo como lo muestra la figura 18.

Fig. 18

Ahora trabajaremos con las rendijas H, I y J.

Colocar la abertura variable en su máxima capacidad. Cerrándola poco a poco, observar

como varían la intensidad y el brillo de los patrones de difracción para cada una de las

rendijas H, I y J.

¿Qué ocurre con el patrón de difracción cuando agregamos un filtro de color?

Con los filtros puestos, gire la rejilla mientras observa por la rendija H (en cruz), el patrón

de difracción.

¿Qué ocurre con los patrones individuales de difracción correspondientes a cada una de las

rendijas en forma de cruz?

Arreglos de rendijas en forma de cruz.

Cambie la fuente de luz por un láser sobre el riel, y realice la difracción sobre las rendijas

en cruz (H), sobre una pantalla, NO OBSERVE DIRECTAMENTE EL LASER.

Explique lo que observa.

Arreglos aleatorios de aberturas circulares.

Conservando la misma configuración, cambie ahora a la rendija I, y repita la experiencia

sobre una pantalla, NO OBSERVE DIRECTAMENTE EL LASER..

Explique lo que observa. Haga un dibujo del patrón de difracción.

¿Qué ocurre en los círculos en el patrón de difracción a medida que disminuye el diámetro

de los mismos?

Arreglos cuadrados de aberturas circulares

Cambie ahora a la rendija J, he haga incidir el láser de tal forma que ocurra difracción sobre

una pantalla. NO OBSERVE DIRECTAMENTE EL LASER.

Explique lo que observa. Haga un dibujo del patrón de difracción.

Compare el patrón de difracción, con el que se realizo en la parte anterior. ¿En que se

diferencian?

Cuestionario

1) Defina difracción e interferencia y explique sus diferencias.

2) Demuestre la relación para los mínimos en la difracción de una rendija.

3) ¿Cómo es la distribución de intensidad para el patrón de una difracción de una

rendija?