Guía de Matemáticas III

Guía de Matemáticas III. Tercer Bimestre.

Guíade

Matemáticas III

Centro Teccom de México. Página 1


TEMARIO

UNIDAD I SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES.

1.1 Distancia entre dos puntos.

1.2 Calculo de perímetros y áreas.

1.3 Pendiente de una recta.

UNIDAD II LA LINEA RECTA.

2.1 Ecuaciones de la recta.

UNIDAD III LA CIRCUNFERENCIA.

3.1 Ecuación de la circunferencia.

3.2 Ecuación general de la circunferencia.

3.3 Ecuación de la circunferencia conocidos dos puntos.

3.4 Ecuación de la circunferencia dadas tres condiciones.

UNIDAD IV LA PARABOLA.

4.1 Parábola con vértice en el origen.

4.2 Foco, directriz y lado recto de una parábola.

4.3 Ecuación de la parábola con vértice fuera del origen.



UNIDAD I SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES.

PROFESORObjetivo: Calcular perímetros, áreas, y ángulos inferiores de figuras planas a partir de las coordenadas dadas.

Iniciaremos por conocer el plano cartesiano para poder graficar coordenadas

Plano Cartesiano

Y

X

Ahora graficaremos algunas coordenadas de forma práctica lo cual nos ayudara para la solución de problemas posteriores.

Coordenada A (2, 8)Coordenada B (3,-5)Coordenada C (-2,6)Coordenada D (-3,-8)

Primero debes identificar que número tomaremos para el eje X o de las abscisas y cual para el eje Y o de las ordenadas.

Ejemplo: Coordenada A ( 2 , 8 )

Este valor se tomará

en el eje X.


CuadranteII

Eje Y o eje de las ordenadas

(El eje Y abarca toda la línea en forma vertical).

Eje X o eje de las abscisas

(El eje X abarca toda la línea de forma horizontal )

Cuadrante III

Cuadrante IV

Este valor se tomará en el eje Y.


Eje Y

Ahora vamos a graficar la coordenada C ( –2, 6)

Como observaste el primer valor lo tomamos del eje X y el segundo lo tomamos del eje Y.

Grafica en el plano anterior las coordenadas B y D.TEREA

Ejercicio:En tu cuaderno traza un plano cartesiano y grafica las siguientes coordenadas.

A ( -5, -6)B ( 4, 8 )C ( -4, 2 )D ( 2, -1 )E ( 0, -1 )F ( -8, 0 )G ( -6, 5 )H ( 3, -7 )

Pide a tu profesor (a) que revise el ejercicio para así despejar cualquier duda y puedas seguir con los temas y ejercicios posteriores.

Distancia entre dos puntos.

Para calcular cualquier distancia entre dos puntos utilizaremos la siguiente fórmula:

poner formula en treo no se ve

d =

Si pudiste observar para poder aplicar la fórmula anterior es necesario tener dos coordenadas para

sustituir X1 , X2 Y1 y Y2


Eje X

( X1 – X2) 2 + (Y1 – Y2)2

CoordenadaA

CoordenadaC


Ejemplo: Dadas las siguientes coordenadas encuentra su distancia.

Ya identificados los valores vamos a sustituir en la fórmula. ( recuerda que en cualquier fórmula los números y signos determinados no cambian).

d =

d =

d =

d =

salonEjercicios:

Encuentra las distancias entre los siguientes puntos o coordenadas.1. A ( 6, 3 )

B ( 4, 2 )

2. F ( -2, 4 )G ( -3, -6)

3. M ( -5, 7 )N ( 6, -2 )

Compara tus resultados, si tienes alguna duda puedes recurrir al apoyo de tu profesor (a).

1. d = 2.23 2. d = 10.04 3. d = 14.21

Cálculo de perímetros y áreas de figuras planas a partir de coordenadas


Siendo A la coordenada uno aquí identificaremos X1 y Y1. Recuerda que siempre el primer valor de la coordenada es X y el segundo valor es Y.

Siendo B la coordenada dos entonces identificaremos X2 y Y2.

d = 12 . 36 Esta es la distancia entre las coordenadas anteriores.

( X1 - X2) 2 + (Y1 - Y2)2

( 3 -6) 2 + (-4 -8)2

9 + 144

153


Encuentra el perímetro de la figura que obtengas después de graficar los siguientes puntos.

A(-4, -2) B(1, 4) C(4, 5) D(5, -2)

Si primero graficamos y unimos los puntos obtenemos:

9Ahora tenemos que sacar la distancia entre cada punto, es decir, encontrar la distancia entre el punto A y B tomando como referencia las coordenadas para poder sustituir las literales en la fórmula de la distancia.

Paso 1. Como la coordenada A = (-4, -2) y la coordenada B = (1, 4) aplicando la fórmula de la distancia calcularemos el valor de ese lado de la figura que obtuvimos después de graficar.

A (-4, -2) B ( 1, 4) X1 Y1 X2 Y2

d =

d =

d =

d =

d =

Paso 2. Ahora de la misma forma calcularemos la distancia del punto B al C tomando como referencia sus coordenadas.

B (1 , 4) C ( 4, 5 ) X1 Y1 X2 Y2


7.817.07

3.16

C (4, 5)

D (5, -2)A (-4,-2)

(X1 – X2) 2 + (Y1 – Y2)2

(-4 -1) 2 + (-2 -4)2

(-5) 2 + (-6)2

25 + 36

61

d = 7. 81 Esto quiere decir que el lado del punto A al B vale 7. 81


d =

d =

d =

d =

d =

Paso 3. Encontraremos la distancia entre el punto C y D.

C ( 4, 5 ) D ( 5 , 2 ) X1 Y1 X2 Y2

d =

d =

d =

d =

d =

Paso 4. Por último calcularemos la distancia entre el punto D y el punto A.

D ( 5 , -2 ) A ( -4 , -2 ) X1 Y1 X2 Y2

d =

d =

d =

d =


(1 -4) 2 + (4 -5)2

(-3)2 + (-1)2

9 + 1

d = 3.16 El valor que va del punto B al C vale 3.16

10

(X1 – X2) 2 + (Y1 – Y2)2

(4 -5) 2 + (5 -(-2))2

(-1)2 + ( 7)2

1 + 49

50 d = 7 . 07 Distancia entre C y D.

(X1 – X2) 2 + (Y1 – Y2)2

(5 + 4) 2 + (-2 + 2)2

(9)2 + (0)2

81

(5 -(-4) ) 2 + (-2 –(-2))2


Paso 5. Por último para obtener el perímetro de la figura que obtuvimos solo hay que sumar los lados.

Lado 1 = 7.81

Lado 2 = 3.16

Lado 3 = 7.07

Lado 4 = 9.00

Perímetro = 27. 04 PROFESOR

Ejercicios

Ahora realiza los siguientes ejercicios, en los casos que sea necesario obtener área de alguna figura tendremos que utilizar la fórmula adecuada para cada una.

1) Grafica y demuestra que los puntos: (3, 2) , (-3, -3) y (5 , -5) son los vértices de un triángulo y encuentra su perímetro.

2) Grafica los siguientes puntos y encuentra su perímetro y su área. A (3, 3) , B (-3, 3) , C (-3,-3) y D (3, -3).

3) Demuestra que los puntos (-4, -2) , (4, 4) y (10, - 4) son los vértices de un triángulo isósceles.

4) Encuentra el área de la figura que obtengas después de graficar los siguientes puntos.(3, -3), (-9, 5) y (6, 4).

Pendiente de una recta.

Para obtener la pendiente de cualquier recta utilizaremos la siguiente formula:

m = Y1 - Y2

X1 - X2

Es igual al valor de la

pendiente.

Podemos decir que habrá dos casos para poder calcular la pendiente (m) de una recta y esto dependerá de los datos que nos proporcionen en los problemas a resolver.

Caso 1.

Cuando nos den como datos los puntos por los que pasa una recta.

Ejemplo: Hallar la pendiente de una recta que pasa por los puntos ( 3, 18 ) y ( 15, -6 ).

En los puntos dados podemos identificar X1 , Y1 , X2 y Y2.

( 3 , 18 ) ( 15 , -6 )

X1 Y1 X2 Y2


d = 9 El valor que va del punto D al punto A es igual a 9.


Si sustituimos en la fórmula obtenemos:

m = 18 - (-6) 3 - 15

m = 18 + 6 24 -12 12

Nota: Cuando la fracción final no se puede dividir de modo que obtengamos un número entero será más conveniente dejarla como fracción simplificándola hasta su mínima expresión.

Hallar la m (pendiente) de una recta que pasa por los:

( 4 , -4 ) ( 9 , 20 ) X1 Y1 X2 Y2

m = -4 - 20 - 24 24 4 – 9 -5 5

Caso 2.

Cuando nos dan el valor de la pendiente (m) una coordenada y la abscisa u ordenada de una segunda ordenada.

Ejemplo:Una recta tiene una pendiente m = 6 que pasa por el punto ( 6, 4 ). La abscisa de otro punto de la

recta es 8. Hallar la ordenada.

Fórmula:

m = -Y1 - Y2 X1 - X2

Los datos dados son:

m = 6 X1 Y1

Punto o coordenada uno ( 6 , 4 ) X2 Y2 Del punto o coordenada dos tenemos ( 8, __ )

Sustituyendo, la fórmula queda de la siguiente forma:

m = Y1 - Y2

X1 - X2

6 = 4 - ? (Valor que se desconoce) 6 - 8

6 = 4 - ? -2

Si vamos despejando la incógnita ( ? ), como -2 esta dividiendo lo pasamos hacia el otro lado del signo de igual multiplicando y obtenemos:


m = -2


-2(6) = 4 - ? -12 = 4 - ?

Ahora también tenemos que pasar al 4 del otro lado del signo de igual y como se encuentra sumando pasará restando.

-4 -12 = -? -16 = -?

Aunque la incógnita ha quedado sola no puede quedar con el signo de menos por lo que tendremos que despejar.

- 16 = ? - 1

16 = ? Por lo tanto 16 es el valor de la ordenada.

Los datos completos del problema quedan de la siguiente forma:m = 6

Primer punto o coordenada uno ( 6, 4 )

Segundo punto o coordenada dos ( 8, 16 )

Ejercicios:

Basándote en cada uno de los problemas expuestos realiza los siguientes ejercicios.

1. Hallar la pendiente de una recta que pasa por los puntos ( 2, 12 ) y (10, -4)

2. Encuentra la m de una recta que pasa por los puntos ( -5, 4 ) y ( 9, -6 )

3. Una recta tiene como pendiente m = 12 y pasa por el punto ( 12, 8 ). La abscisa del segundo punto es igual a 16. Encuentra la ordenada.

4. Una recta pasa por el punto ( 6, 4 ), tiene como pendiente m = 6, la ordenada del segundo punto es igual a 4. Encuentra la abscisa.

5. Demuestra que los puntos ( 2, 3 ) , ( 6, -8 ) y ( -5 , -7 ) son vértices de un triángulo y encuentra la pendiente de cada uno de sus lados.

Unidad II LÍNEA RECTA.

Objetivo: Determinar el modelo matemático y la representación gráfica de una recta a partir de la ecuación general.

Línea Recta. Es la distancia más corta entre dos puntos.

Es el lugar geométrico que se da entre dos o más puntos.


Dato calculado a partir de la fórmula inicial

Las Respuestas del Ejercicio Cinco son: La pendiente de la recta que va del punto A al B vale -5 / 2. La pendiente de la recta que va del punto B al C vale -1 / 11 La pendiente de la recta que va del punto C al A vale 10 / 7.


Caso 1.

Ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada.

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto ( 2, 10 ) y tiene una pendiente igual a 4.Para resolver este problema utilizaremos la siguiente fórmula:

Valor de la pendiente.

y –y1 = m ( x -x1 )

Es el valor de Y en la coordenada dada.

Nota: ni X ni Y serán sustituidas en la fórmula anterior.

Para llegar a una ecuación del siguiente tipo: Ax + By + C = 0

Datos identificados en el problema:

Punto (2 , 10)

a b Pendiente ó m = 4

Si sustituimos, la fórmula queda de la siguiente forma:

y – b = m ( x – a )

y – 10 = 4 ( x – 2 )

y – 10 = 4x – 8

Para llegar a la ecuación de la recta tenemos que ordenar todos los términos en la primera parte de la ecuación, moviendo cada uno con su signo u operación contraria para que la ecuación quede igualada a cero.

y – 10 – 4 x + 8 = 0

Ahora tenemos que acomodar los términos, empezando con la letra X y el número que se encuentre a su lado, la letra Y con el número que le corresponda y por ultimo reducir los dos números que no tienen literal o letra.

- 4x + y - 2 = 0

Ecuación final de la recta


Valor de X de la coordenada dada.


Caso 2.

Ecuación Pendiente-ordenada al origen Y=mx+b

Ejemplo: Encuentra la ecuación de la recta cuya pendiente es igual a - 6 y su intersección con Y es igual a - 4 .

A) estableciendo los valores :m = - 6

b= –4

Entonces: y = -6x -4

6x + y + 4 = 0 Ecuación general de recta

Caso 2. Ecuación de una recta que pasa por un punto y es paralela a otra recta determinada por dos puntos.

Ecuación dos puntos: y – y1 = y2 – y1

x – x1 x2 – x1

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto ( -5, 3 ) y es paralela a la recta determinada por los puntos ( 2, 14) y ( -7 , 4 ).

Como primer paso tenemos que calcular la pendiente con los puntos de la recta paralela.

( 2, 14 ) y ( -7, 4 )

X1 Y1 X2 Y2

m = Y1 - Y2

X1 – X2

m = 14 – 4 = 10 m = 10 2 – (-7) 9 9

Ahora con el punto de la recta inicial y calculada la pendiente, tenemos que sustituir en la fórmula:

y- y1 = m ( x –x1)

Punto ( - 5 , 3 )m = 10 9

y – 3 = 10 ( x - ( - 5 ) ) 9

( 9 ) y – 3 = 10 ( x + 5 )



Como observaste el denominador del valor de la pendiente lo pasamos a la primera parte del signo de igual multiplicando y el 10 multiplica los términos que están dentro del paréntesis así la ecuación queda de la siguiente forma:

9 y – 27 = 10 x + 50

Si la igualamos a cero y la ordenamos obtenemos como resultado;

9 y – 27 - 10 x – 50 = 0

- 10x + 9y – 77 = 0

Ecuación final de la línea recta

Realiza los siguientes ejercicios:

1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto ( 2, 6 ) y tiene como pendiente m = 3.

2. Encuentra la ecuación de la recta cuya pendiente es -5 y su intersección con x es igual a -4

3. Cuál es la ecuación de la recta que tiene como pendiente 7 y cuya intersección con y = -6.

4. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto ( -9, 3 ) y es paralela a la recta determinada por los puntos ( 0 , - 6 ) y ( 15 , 6 ).

5. Investiga como encontrar la ecuación de una recta que pasa por 2 puntos (ecuación simétrica de la recta) y resuelve los siguientes ejercicios.

Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos A ( -3, -1 ) y B ( 2, -6 ). Hallar los valores que deben tener los coeficientes de la ecuación general A x + B y + C = 0 de

una recta para que pase por los puntos ( -2, 5 ) (4, -3 ) además determina como quedaría la ecuación.

Unidad III Circunferencia.

Objetivo: Entender y aplicar las fórmulas necesarias para dar solución a diferentes casos que hacen referencia a el tema de la circunferencia.

Circunferencia. Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano.

Caso I.Ecuación de una circunferencia cuando contamos con el centro y radio de la misma.

Ejemplo: Determina la ecuación de la circunferencia con centro C ( -1, 3 ) y radio r = 2.

La fórmula que utilizaremos será:



( x – h)2 + ( y – k ) 2 = r2

Para poder llegar a la ecuación de la circunferencia del siguiente tipo:

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

En la fórmula: ( x – h )2 + ( y – k )2 = r2 solo vamos a sustituir h y k de modo que X y Y no serán sustituidas.

Los datos que tenemos son:

C ( -1 , 3 ) radio = 2

Valor que vamos Valor que vamos Valor que se sustituyea tomar para a tomar para en r.

sustituir h en la sustituir k en lafórmula. fórmula.

( x – ( -1 ) )2 + ( y – 3 )2 = 22

( x + 1 )2 + ( y – 3 )2 = 4

Cada uno de estos los resolveremos utilizando el binomio cuadrado perfecto:

( a + b )2 = a2 + 2ab +b2

( x + 1 )2 = x 2 +2 ( x ) (1 ) + ( 1 )2 + ( y – 3 )2 = y2 - 2 ( y ) ( 3 ) + ( 3 )2 = 4x2 + 2x + 1 + y2 – 6y + 9 = 4

Si igualamos la ecuación a cero tenemos:

x2 + 2 x + 1 + y2 - 6 y + 9 – 4 = 0

Ahora reducimos +1 , + 9 y – 4 y la ecuación final de la circunferencia es la siguiente:

x2 + 2x + y2 - 6y + 6 = 0

x2 + y2 + 2x - 6y + 6 = 0

Ecuación general de la circunferencia.

Ejemplo: Encuentra la ecuación de la circunferencia que tiene como centro C (4, 5) y radio = 5

Siguiendo el mismo procedimiento que en el ejemplo anterior tenemos:

Datos Formula C = (4, 5)

( x – h ) 2 + ( y – k ) 2 = r 2

r=

Al sustituir tenemos:(x – 4)2 + ( y – 5 )2 =

x2 - 8x + 16 + y2 - 10y + 25 = 5 La raíz queda eliminada con la potencia.


5

5


Igualando a cero:x2 – 8x + 16 + y2 - 10 y + 25 – 5 = 0

Si acomodamos cada término y reducimos, la ecuación de la circunferencia queda:

x2 + y2 - 8x – 10 y + 36 =0

Caso 2. Ecuación de una circunferencia cuando solo tenemos como datos dos puntos.

Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene como puntos A ( -4, 8 ) y B ( 9 , 7 ).

Primero vamos a sustituir el punto A ( - 4 , 8 ) en la fórmula de la circunferencia:

( x – h ) 2 + ( y – k ) 2 = r 2

( x – ( - 4 ) )2 + ( y – 8 )2 = r2

Resolviendo obtenemos:

( x + 4 )2 + ( y – 8 )2 = r2

x2 + 8x + 16 + y2 – 16y + 64 = r2

Ahora el punto B ( 9 , 7 ) lo vamos a sustituir el la ecuación que obtuvimos para poder encontrar el valor del radio.

Valor que vamos a Valor que vamos a sustituir en X. sustituir en Y.

92 + 8 ( 9 ) + 16 + 72 -16 ( 7 ) + 64 = r 2

81 + 72 + 16 + 49 – 112 + 64 = r2

Reduciendo

170 = r2

= r


Se obtiene por la reducción de 16 + 25 – 5 = 36

170


Ya que encontramos el valor del radio volvemos a tomar la ecuación que obtuvimos y lo sustituimos para obtener la ecuación final de la circunferencia:

x2 + 8x + 16 + y2 – 16y + 64 = r2

x2 + 8x + 16 + y2 – 16y + 64 = ( ) 2

x2 + 8x + 16 + y2 – 16y + 64 = 170

x2 + 8x + 16 + y2 – 16y + 64 – 170 = 0

x2 + y2 + 8x - 16y - 90 = 0

Caso 3.Ecuación de una circunferencia teniendo como datos tres condiciones o puntos.

Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene los siguientes puntos: A ( 3 , 2 )B ( 2 , 4 )C ( -1 , 1 )

Basándonos en la ecuación de la forma x2 + y2 + Ax + By + C = 0 sustituiremos cada punto para llegar a un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.Tomando el punto A ( 3 , 2 ) y resolviendo obtenemos:

32 + 22 + 3A + 2B + C = 09 + 4 + 3A + 2B + C = 03A + 2B + C = -9 -43A + 2B + C = - 13 Ecuación I

Con el punto B ( 2 , 4 )

22 + 42 + 2A + 4B + C = 0 4 + 16 + 2A + 4B + C = 0

2A + 4B + C = -4 - 162A + 4B + C = - 20 Ecuación 2

Al sustituir C ( -1 , 1 )

( -1 )2 + 12 -1A + 1B + C = 01 + 1 -1A + 1B + C = 0-1A + 1B + C = -1 -1-1A + 1B + C = - 2 Ecuación 3

Por lo tanto tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

3A + 2B + C = - 132A + 4B + C = - 20-1A + 1B + C = - 2


170


Resolviendo este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas por cualquiera de los métodos aprendidos en matemáticas uno se obtiene:

A = - 5 B = - 13 C = 2 3 3 3

Así, la ecuación pedida es:

x2 + y2 -5 x - 13y + 2 = 0 3 3 3

Caso 4. Dada la ecuación de una circunferencia encontrar el centro y el radio.

Para encontrar el centro y radio de la circunferencia aplicaremos las siguientes fórmulas:

Centro

a = - A b = - B 2 2

Radio

r = A 2 + B 2 - 4C 4

Ejemplo: Encontrar el centro y radio de la siguiente ecuación.

x2 + y2 + 8x + 4 y + 10 = 0

Primero tenemos que identificar en la ecuación los valores de A, B y C.

x2 + y2 + 8x + 4 y + 10 = 0

A B C

Si sustituimos en cada una de las fórmulas obtenemos:

Centro Radio

a = - A b = - B 2 2 r = A 2 + B 2 - 4C

4

a = - 8 b = - 4 r = 8 2 + 4 2 -4 (10) 2 2 4

a = - 4 b = - 2 r = 64 + 16 - 40 4

r = 40 4



Por lo tanto: Centro Radio

C ( -4 , -2 ) r = 10

Resuelve los siguientes ejercicios:

Encuentra la ecuación de la circunferencia que cuenta con los siguientes puntos: ( -2 , 2 ), (6 , 10) y ( 8 , -5).

Cual será la ecuación de una circunferencia que cuenta con un radio igual r = 36/18 y un centro igual a C = ( -9 , 6 ).

Cual es la ecuación de la circunferencia que tiene como puntos A ( -4 , 6 ) y B ( 3 , 5 ). Encuentra el radio y el centro de las siguientes ecuaciones:

x2 + y2 - 8x + 12y + 6 = 0

x2 + y2 - 2x - 9y = - 16

x2 + y2 + 10x - 4y = - 2

x2 + y2 + 9x + 3y + 1 = 0

Unidad IV PARÁBOLA.

Objetivo: Saber determinar la ecuación, foco, ecuación de la directriz y longitud del lado recto de una parábola en sus diferentes casos. Parábola. Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta.

Caso 1. Cuando la parábola tiene vértice en el origen.

FÓRMULAS

Ecuación de una parábola con vértice en el Ecuación de una parábola con vértice en origen y que cruza con el eje X. el origen y que cruza con el eje Y.

Ecuación de la parábola Ecuación de la parábola

y2 = 4px x2 = 4py

Ecuación de la directriz Ecuación de la directriz

x = - p y = - p

Foco ( p , 0 ) Foco ( 0 , p )

Longitud del lado recto Longitud del lado recto

4p 4p

Si p es mayor que 0 la parábola abre Si p es mayor que 0 la parábola abre hacia la derecha. hacia arriba. Si p es menor que 0 la parábola abre Si p es menor que 0 la parábola abre hacia la izquierda. hacia abajo.



Ejemplo: Una parábola cuyo vértice esta en el origen y su eje coincide con el eje Y pasa por el punto (6,-4). Hallar la ecuación de la parábola, el foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto.

Como primer paso tenemos que identificar con que eje cruza la parábola para saber cual de las fórmulas anteriores aplicaremos.

En este ejemplo la parábola coincide con el eje Y por lo tanto aplicaremos:

Ecuación de la parábola: x2 = 4py

Ecuación de la directriz: y = - p

Longitud del lado recto: 4p

Foco: ( 0 , p )

El único dato con el que contamos es el punto:

( 6 , - 4 )

0 P Valor que tendremos que sustituir en la ec. de la directriz, el foco y longitud del lado recto.

Por lo tanto al sustituir tenemos:

Ecuación de la parábola: x2 = 4py ______ x2 = 4( -4 ) y _____ x2 = - 16y

Ecuación de la directriz: y = - p ______ y = - ( -4 ) _____ y = 4

Longitud del lado recto: 4p ______ 4( -4 ) _____ 16

Foco: ( 0 , p ) ___________________________ ( 0 , -4 )

Tomando en cuenta las condiciones para p la parábola en este caso abre hacia arriba debido a que P que vale 4 ( valor tomado del resultado de la ecuación de la directriz) es mayor que cero.

Caso 2.

Dada la ecuación de una parábola determinar: el foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto.

Ejemplo: Dada la ecuación y2 = 32x encuentra: el foco, la ecuación de la directriz y longitud del lado recto.

Como primer paso tenemos que encontrar el valor de p para así poder sustituir en cada una de las fórmulas, analizando la ecuación vemos que se trata de una parábola que coincide con el eje X debido a que la literal que se encuentra al cuadrado es Y.



P lo calcularemos pensando en un numero que multiplicado por cuatro nos de como resultado el número que se encuentra junto a X.

La ecuación dada es: y2 = 32 x

Que proviene de la forma: y2 = 4px

Por lo tanto: y2 = 4( ? ) x

8 4 x 8 = 32

Valor de p

Como ya habíamos identificado que la ecuación de la parábola coincidía con X utilizaremos las siguientes fórmulas:

Ecuación de la directriz: x = - p _____________________ x = -8

Longitud del lado recto: 4p ______ 4 (8) ____ 32

Foco: ( p , 0 ) __________________ ( 8 , 0 )

La parábola abre hacia la izquierda ya que p que es igual a -8 es menor que cero.

Caso 3.Ecuación de una parábola sin vértice en el origen.

FÓRMULAS

La ecuación de una parábola cuyo vértice La ecuación de una parábola cuyo vérticees el punto ( h , k ) y cuyo eje es paralelo es el punto ( h , k ) y cuyo eje es

paralelo

al eje Y es: al eje X es:

( x - h )2 = 4p ( y - k ) ( y - k )2 = 4p ( x - h )

Foco: Foco:( 0 , p ) ( p , 0 )

Ecuación de la directriz: Ecuación de la directriz:

y = - P x = - p

Longitud del lado recto: Longitud del lado recto:

4p 4p



Ejemplo: Encuentra la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto ( 6 , 8 ) y cuyo foco es ( 6 , 2 ), además encuentra la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto.

Empezaremos por identificar el eje paralelo para determinar que fórmulas emplearemos; como puedes observar dentro del vértice y el foco el valor de X es el mismo por lo tanto identificamos que es paralelo al eje Y y viceversa.

Por lo tanto para poder sustituir primero debemos determinar el valor de p el cual estará dado por la resta de los valores de Y1 y Y2 de l punto del vértice y del foco respectivamente.

Vértice ( 6 , 8 ) 8 – 2 = 6 Valor de p Foco ( 6 , 2 )

Ya determinado el valor de p las fórmulas que aplicaremos son:

Datos:Vértice ( 6 , 8 )

h k

Foco ( 6 , 2 )

Valor que vamos a sustituir en el foco.

Ecuación de la parábola:

( x - h )2 = 4p ( y - k ) Para sustituir h y k los valores son tomados del vértice y p

( x - 6 )2 = 4(-6) ( y - 8 ) es el valor determinado anteriormente el cual en este caso esigual a 6.

( x - 6 )2 = -24 ( y - 8 )

Foco:( 0 , p ) Si observas el foco ya este determinado el la redacción del

problema por lo que solo tenemos que sustituir en donde seencuentra p.

( 0 , 2 )

Ecuación de la directriz:

y = - p

Como p es igual a 6 tenemos:

y = - 6



Longitud del lado recto:

4p

4( -6) = -24 = 24 La parábola abre hacia abajo ya que p que vale –6 es menor que cero.

Resuelve los siguientes ejercicios:

Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son los puntos ( -8 , 7 ) y ( -4 , 7 ). Hallar también directriz y lado recto.

Una parábola cuyo vértice esta en el origen y eje coincide con el eje X pasa por el punto ( -10 , 20 ). Halla la ecuación de la parábola, el foco, la ecuación de la directriz y el lado recto.

Dadas las siguientes ecuaciones calcula: el foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto.

x2 + 12y = 0

y2 - 16 = 0 2

Con la asesoría de tu profesor investiga la función cuadrática de la parábola.



EJERCICIOS

1. Demostrar por medio de pendientes que los puntos A(0,9) B(3,1) C(11,4) C(11,4) D(8,12) son los vértices de un rectángulo.

2.-El siguiente par de números son los pendientes de dos rectas. Encontrar el ángulo que forman 2, -3.

3.-La pendiente de una recta es - y la inclinación de la otra es 60º, encontrar el valor del ángulo agudo

entre ellas.

4.-Si el punto medio de un segmento es C(6,3) y un extremo del segmento es A(-4,-7) ¿Cuáles son las coordenadas del otro extremo?

5.- Encontrar la ecuación de la recta determinada por la siguiente condición:

Pasa por (-5,-3-) y tiene pendiente .

6.- Encuentre las ecuaciones de los lados del triangulo cuyos vértices son A(-3,2) B(5,6) C(1,-4).

7.- Encuentre la altura correspondiente al lado BC del triangulo cuyos vértices son A(1,-2) B(7,0) C(3,3).

8.- Encontrar el centro y el radio de la siguiente circunferencia

9.-Escribir la ecuación de la parábola que satisface las siguientes condiciones:Foco en (0,-3) directriz y=3

10.- Para la siguiente ecuación de la parábola . Encontrar las coordenadas del vértice, foco, ecuación de la directriz y longitud del lado recto.


Guía de Matemáticas III

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