GUIA No 1Teoría de Conjuntos

Versión 1.02 Marzo. 2008

UNIVERSIDAD ALEJANDRO DE HUMBOLDTCURSO INTRODUCTORIO Y PREINGRESOAsignatura: RAZONAMIENTO LÓGICOAutor: José Manuel Díaz Fumero

CONTENIDO1.Teoría de Conjuntos...........................................................................................................2

1.1. Definición....................................................................................................................21.2. Formas de determinar o describir conjuntos..........................................................2

1.2.1. Por Extensión.......................................................................................................21.2.2. Por Comprensión................................................................................................2

1.3. Simbología...................................................................................................................31.4. Clases de Conjuntos...................................................................................................41.6. Conjunto Numérico....................................................................................................71.7. Ejercicios.....................................................................................................................8

1

1.Teoría de Conjuntos

1.1. DefiniciónConjunto: es la colección de reunión de objetos en la que se sabe cuáles pertenecen a

ella y cuáles no. Los objetos que componen un conjunto se denominan elementos. Hay conjuntos que tienen un solo elemento; otros no tienen elemento alguno.

Ejemplos de conjuntos:

Conjunto formado por todas las piezas de un carro. Conjunto compuestos por los objetos dentro de la cartera de una Dama. Conjunto constituido por las instalaciones de un Conjunto Residencial. Conjunto formado por los componentes de un computador. Conjunto formado por las piezas publicitarias para un producto. Conjunto al que pertenecen los números pares.

1.2. Formas de determinar o describir conjuntosExisten dos formas para determinar, describir o definir un conjunto: por extensión y

por compresión.

1.2.1. Por ExtensiónUn conjunto se determina por extensión cuando se nombran cada uno de los

elementos del conjunto.

Ejemplos:

A={parachoques, cauchos, amortiguadores, motor, caja, volante..........}B={monedero, lentes, lápiz labial, polvo compacto, pastillero..............}C={apartamentos, conserjería, ascensores, estacionamiento, escaleras....}D={pantalla, mouse, teclado, unidad de discos, cpu}E={comercial de tv, anuncio de radio, vallas, anuncios de prensa, volantes, internet}1.2.2. Por Comprensión

Un conjunto se determina por extensión cuando se da por una propiedad o una regla que verifican todos sus elementos y solo ellos.

Ejemplos:

A={ piezas de un carro}B={ objetos dentro de la cartera de una Dama}C={ instalaciones de un Conjunto Residencial}

2

D={ componentes de un computador}E={ piezas publicitarias para un producto}

1.3. SimbologíaLos conjuntos como ya se expreso en los puntos anteriores se representan usualmente

con letras mayúsculas (A, B, C....), los elementos con letras minúsculas van separados por

comas y encerrados entre llaves ({}).

La forma gráfica de representar los conjuntos es mediante el uso del diagrama de

Venn. En estos diagramas se utilizan áreas rectangulares y circulares para visualizar los

conjuntos. Como se muestra en la siguiente figura.

Para denotar que un elemento x forma parte de un conjunto A, lo denotamos dela

siguiente forma: x A que expresa que: “x pertenece a A”.

La no pertenencia o bien la propiedad de no ser el elemento a un objeto del conjunto

A, lo expresamos como sigue: a A que expresa: “x no pertenece a A”.

En el desarrollo del curso se usaran con frecuencia entre otros los siguientes

símbolos:

= símbolo de igualdad

símbolo usado para expresar “diferente de”

˄ y

˅ o

> mayor que

3

D

E

mayor o igual que

< menor que

menor o igual que

/ tal que

subconjunto de

intersección de conjuntos

C complementación de conjuntos

1.4. Clases de ConjuntosConjunto Vacío: es el que no contiene ningún elemento y se simboliza por Ø o { }.

Ejemplo:

A={conjunto de perros que hablan}

Conjunto Unitario: reciben el nombre de conjunto unitario aquellos conjuntos

compuestos por un sólo elemento.

Ejemplo:

B={mes del año que empiece por f}

Conjunto Finito: es el conjunto compuesto por un número determinado de elementos.

C= {x / x Z+ , x < 5} o C=={1,2,3,4}

Conjunto Infinito: es el conjunto que por su cantidad de elementos es difícil de

cuantificar.

Ejemplo:

C= {x / x Z} Z son los números enteros

Conjunto Universal

4

Conjuntos Disjuntos o Disyuntos son los conjuntos cuya intersección no existe, es

decir no se interceptan entre sí

1.5. Operaciones con Conjuntos

Antes de describir las operaciones de conjuntos vale destacar las siguientes

relaciones de conjuntos.

Relación de Contenencia o Subconjunto: si todos los elementos de un conjunto cualquiera S

pertenecen a otro R, decimos que el primero está incluido en el segundo o que S es

subconjunto de R y se denota:

S R

Partes de un conjunto: se denomina parte de un conjunto A, al conjunto formado por todos

los subconjuntos de A y se simboliza por P(A). El número de elementos del conjuntos

partes de A es 2n, donde n es el número de elementos de A.

Ejemplo:

Dado el conjunto A={ guante, pelota, bate}

El número de subconjuntos de A es 8, ya que 23 = 8 y dichos subconjuntos son:

{guante},{pelota}, {bate},{guante, pelota}, {guante, bate}, {pelota, bate},

{ guante, pelota, bate}, { }

Luego P(A)= {{guante},{pelota}, {bate},{guante, pelota}, {guante, bate}, {pelota, bate},

{ guante, pelota, bate}, { }}

5

R

S

El cardinal de un conjunto: es el número de elementos de un determinado conjunto y se

denota con la letra n y acompañado entre paréntesis del nombre del conjunto. Ejemplo el

cardinal del conjunto A se representará como n(A).

Las operaciones con conjunto más comunes son: la unión, la intersección, el

complemento y la diferencia.

Unión: cuando se unen dos conjuntos A y B, se obtiene un tercer conjunto C

formado por todos los elementos de A, de B de a ambos. La unión se simboliza AB

En general: AB = C ={ x / x A x B }

n(AB)= n(A)+n(B)- n(AB)

Intersección: cuando se intersecan dos conjuntos A y B, se obtiene un tercer conjunto C

formado por los elementos comunes a los dos conjuntos. La unión se simboliza AB y se

lee A intersección B.

En general: AB = C ={ x / x A x B }

Diferencia cuando se hace la diferencia entre dos conjuntos A y B, se obtiene un tercer

conjunto C formado por los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. La unión se

simboliza A-B y se lee A diferencia con B.

6

AU

B

AU

B

AB

En general: A-B = C ={ x / x A x B }

Complemento: cuando se quiere obtener el complemento de un conjunto A dado, se

escribe un conjunto C, formado por todos los elementos del conjunto universal que no están

en A. Se simboliza AC y se lee A complemento.

En general: AC = C ={ x / x U x A }

7

AU

B

A-B

A

U

AC

1.6. Conjunto NuméricoEntre los conjuntos numéricos que existen están los conjunto de puntos de una recta,

el conjunto de puntos de los puntos de un plano que constituyen una figura geométrica,

entre otros.

El conjunto de los números naturales:

N = {0, 1, 2, 3, 4,...........}

El conjunto de los números enteros:

Z = {....-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...........}

El conjunto de los números racionales: una fracción común a/b con numerador a y

denominador b distinto de cero.

Q = {a/b / a Z, bZ , b0}

1.7. Ejercicios1.- Describa por extensión los siguientes conjuntos:

P={x / x es país de sur América que tiene costa sobre el océano Pacífico}

A={x / xZ+ , x<15}

H={x / xZ, x≥10x≤25}

D={x / xR/ x2-9x+14=0}

L={x / x es letra de la palabra América}

F={x /xN x sea par}

2.- Escriba por comprensión los siguientes conjuntos:

A={1,2,3,4,5,6,..........}

B={x,y,z}

C={2,4,6,8}

D={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2}

E={a,b,c,d,e,f.............z}

8

3.- En cada diagrama sombree la operación indicada

A) (A-B) (A-C) B) (AB) (BC)

U

C) ACBC CC

U

4.- A continuación se presentan los principales productos de exportación de países de la

comunidad andina de naciones

Bolivia Colombia Ecuador Perú Venezuela

Estaño Café petróleo cobre petróleo

gas natural petróleo camarones petróleo acero

Plata Banano bananoderivados del

pescadocafé

Antimonio esmeraldas café zinc aluminio

Café Frutas cacao café cacao

a) Determinar por extensión los conjuntos B, C, P y V, cuyos elementos son los

principales productos de exportación de Bolivia, Colombia, Ecuador, Perú y

Venezuela, respectiva.

b) Determinar un conjunto que sirva como conjunto universal para B, C, E, P y V.

c) Encuentre:

I. CP

II. BC

9

AUB

C

A B C C A B

III. EC (exprese en palabras el significado de este conjunto)

IV. B-E

V. BCEPV ¿Qué significado tiene este conjunto?

5.- En el siguiente diagrama de Venn muestra ciertas características de los empleados de

una empresa donde:

H: representa el conjunto de los hombres

C: representa el conjunto de casados

E: representa el conjunto de extranjeros

Determine:

a) ¿Cuántas personas forman el conjunto universal?

b) ¿Cuántos hombres casados hay?

c) ¿Cuántas mujeres extranjeras solteras hay?

d) ¿ Cuántas personas extranjeras hay en la empresa?

e) ¿ Cuántas hombres nativos solteros hay?

f) ¿Hay igual números de hombres que de mujeres?

g) ¿Hay igual número de extranjeros que de nativos?

h) ¿Cuántas mujeres casadas hay?

i) ¿ Cuántas mujeres nativas solteras hay?

6.- Sabiendo que:

n(A) =35 y n(B)=40, halle n(AB) si:

a) n(AB)=8

b) A y B son disjuntos.

7.- En una encuesta realizada a 100 personas sobre sus inversiones, se observó que 45

personas poseían acciones, 60 poseían bonos y 90 poseían por lo menos una de las dos

inversiones. Se desea obtener la siguiente información:

10

E C 4 8 16 9 3 2 H 5 7

a) El número de personas que tienen ambas inversiones

b) El número de personas que no tienen ninguna de las dos inversiones

c) El número de personas que posee solamente acciones

d) El número de personas que poseen exactamente una de las dos inversiones

8.- En una encuesta sobre tres artículos A, B, C se obtuvieron los siguientes datos:

n(AB)=75, n(A)=43, n(C)=52, n(AB)=15, n(AC)=18, n(BC)=16, n(AC)=77

y n((ABC)C=113

Se desea saber:

a) El número de personas que prefieren el artículo B

b) Cuántas prefieren sólo el artículo B o C, pero no ambos

c) Cuántas prefieren por lo menos uno de los artículos

d) El número de personas a las que se les hizo la encuesta

e) El número de personas que sólo prefieren el artículo A

f) El número de personas que no prefiere ninguno de los tres artículos.

9.- En una universidad al analizar los horarios de clase se observo que:

El 43% de los estudiantes tienen clase a las 7 a.m

47% tiene a las 8 a.m.

40% a las 9 a.m

16% tienen clase a las 7 a.m. y a las 8 a.m

18% a las 7 a.m y a las 9 a.m

14% a las 8 a.m y a las 9 a.m

6% a las 7 a.m, 8 a.m y a las 9 a.m

Se desea conocer:

a) Que porcentaje de estudiantes tienen clase durante esas tres horas

b) Sólo a las 8 a.m

11

c) Qué porcentaje no tiene clase durante esas tres horas

d) Sólo a las 7 a.m y a las 8 a.m

12