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LICEO BICENTENARIO INDMITO DE PURNDEPTO. MATEMATICASPROFESORA: BERTA TORRES COFR.NM3/3MEDIO

ATE TICAS FOR ACI N DIFERENCIADA

N EROS CO PLEJOS.

NOMBRE______________________________________________________________CURSO: TERCERO MEDIO B FECHA: 21DE ABRIL DEL 2016

Ejercicio 1:Marquen con una cruz todos los conjuntos numricos a los cuales pertenecen lassoluciones de las ecuaciones:

Ecuacin Resolucin N Z Q I R

x 3 !

x " # !

x $ # !

x% # &

x% " ! &

'omo sa(emos) en R no podemos resol*er ra+ces cuadradas de n,meros ne-ati*os) como

! ) .a que no existe nin-,n n,mero real cu.o cuadrado sea i-ual a !$

/ara eso de0inimos el s+m(olo ipara indicar un n,mero tal que: i = 1 i =!

1eniendo en cuenta la i-ualdad a partir de la cual lo de0inimos) . que este n,mero no es real)

podemos usarlo para expresar las soluciones que no son reales de al-unas ecuaciones$

Ej: x% " ! & x% " # &

x% ! x% #

x ! i x # i x

! # i x # # i

2a que: i% " ! & . i4% " ! & 2a que: # i4% " # & . # i4% " #

&

Ejercicio 2:5tilicen el s+m(olo i para expresar las soluciones de las si-uientes ecuaciones:

a4 x% " 6 & (4 x% " 7 & c4 x% !& # x%

d4 x% 8 & e4 8 x% " !9 & 04 x " 7 4% !& x

-4 !!6%

!=

+x4 x # 4 x # 4 #& i4 x ; 4% !9 x

j4 3 # # x 4 x 6 4 x # 4

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Ejercicio 3: 'ompleten la si-uiente ta(la:N,mero 'omplejo

Z

/arte Real

Re z4

/arte Ima-inaria

Imz4

=es complejo) real o

ima-inario puro>

7 " 3 i

# ;

6 #?3

! 3

# 3 i

7 i

& 6

6 &

& &

CONJUGADO Y OPUESTO DE UN NMERO COMPEJO@ partir de un n,mero complejo z a " (i) se de0inen los si-uientes:

A El conju-ado de z es z = a bi la parte real es i-ual . la parte ima-inaria es opuesta4A El opuesto de z es z = a bi la partBe real . la parte ima-inaria son opuestas4

Ejemplos:

!z ! # i !z ! " # i !z ! " # i

#z 6 i #z 6 i #z 6 i

3z 9 3z 9 3z 9

Ejercicio !: 'ompleten el si-uiente cuadro:

#

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z z z

C " D i

# 9 i

" 3 i

3

7 i

# F i

REPRESENTAC"#N GR$%"CA DE UN N& COMPEJO

Ejercicio ': Representar los si-uientes n,meros complejos:!

z ! i #z 3 " # i 3z # 3i

Ejercicio (: Gado iz 37= ) -ra0icar zzzz ))) $ =Qu relacin existe entreellos>

M#DUO Y ARGUMENTO

)Ejercicio *: Hallar el mdulo . el ar-umento de los si-uientes complejos . -ra0icarlos:

a4 7 # i (4 3 " F i c4 C " i d4 ! i

%ORMAS DE REPRESENTAR UN NMERO COMPEJO

+ %or,- .i/,ic-: 0 = 2 3 i

+ %or,- C-rei-/-: 0 = 4 2 5 3 6

OPERAC"ONES CON NMEROS COMPEJOS

3

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En los si-uientes ejemplos pueden o(ser*ar cmo sumamos) restamos) multiplicamos .

di*idimos n,meros complejos:

S7,-: # " 3 i 4 " ! 7 i 4 # " ! 4 " 3 7 4 i 3 # i

Re-: # " 3 i 4 ! 7 i 4 # ! 4 " 3 74 i4 ! " ; i

M78i98ic-ci/: # " 3 i 4 $ ! 7 i 4 # $ ! " # $ 7i4 " 3 i$! " 3i $7i4 # !& i " 3 i !7 i%

! i recordar que i = 14Diii/:/ara resol*er la di*isin de dos n,meros complejos) siendo el di*isor no nulo) multiplicamos aam(os por el conju-ado del di*isor) del si-uiente modo:

i

i

7!

3#

+

i

i

i

i

7!

7!$

7!

3#

+

+

+

4%7%!

%!73!

i

iii

+++

#7!

!3!3

+

+ i i

#

!

#

!+

Multiplicar por una 0raccin de i-ual numerador . denominador es como multiplicar por !)

por lo tanto) la i-ualdad no se altera$

Ejercicio 1;: 'onsideren los complejos: !z # " i #z 3 " 7 i 3z 6 i .resuel*an las si-uientes operaciones:

a4 !z " #z 3z (4 !z " #z 3z c4 !z 3z d4 7$ 3z

e4 !z " #z 4$ 3z 04 !z " #z 4$ !z 3z 4 -4 !z $ #z 3z 4 3z 4%

Ejercicio 11: 'onsideren los complejos: !z 3 i #z 6 i 3z " # i .resuel*an las si-uientes di*isiones:

a4 =!

#

z

z

(4 =3

!

z

z

c4 =#

3

z

z

d4 =3

#

z

z

e4#

3

$!9z

z

04!

!

z

Ejercicio 12:'ompleten las potencias de i:

=&

i =!

i =#

i =3

i

=6

i =7

i =9

i =E

i

=Qu re-ularidad o(ser*an>

Ejercicio13: 'alcular las si-uientes potencias:

a4 =!#Ei e4 =86i i4 =!!33$ii

(4 =66i 04 =6!#4i j4 =3## : ii

c4 =#6#i -4 =734i

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a4 !& " 3 i 4 " ; " # i 4 " 6 " 7 i 4

(4 " 7 i 4 3 6 i 4 7 " # i 4

c4 ! " F i 4 " 3 3?# i 4 " 6 " i 4

d4 ; " 47

3i " ++ 4

!&

E

6

Ei = 4

!&

3

6

!i

e4 =+++++ 4#3

!7#;4

6!

!7#4

63

364

7# iiii

04 =+++++ 4#

#4

#

#4

##

34

##

3ii

ii

1'4 M78i98ic-ci/ Diii/ ,ero Co,98ejo:

a4 !& " # i 4 $ 3 " !7 i 4

(4 7 " # i 4 $ 7 " # i 4

c4 ! " i 4 $ ! i 4

d4 =ii3

6$

7

3

e4 3# + i4 $ #3 + i 4

04 =++ 4#

#4$6

3

#4$

#

#iii

-4 6 " # i 4 : ! " i 4

4 ! " i 4 : ! i 4

i4 6 " # i 4 : i

j4 =++ 46!

7#:4

7#

6! ii

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d4 # ) # 4 " z # ) 3 # 4 z

e4 ! i 4 $ z ! " i

044#)#

4!)#

+z # ) # 4

-4 # ) # 4 $ z ; ) # 4 & ) # 4

4z

43)3 " ! ) & 4 3 " ! ) 3 4

i4 # i " z 3 i

j4 # 3 i 4 $ z # " 3 i 4 $ i