Guía de ondas cilíndrica perturbada en aproximación de guiado débil

5/11/2018 Guía de ondas cilíndrica perturbada en aproximación de guiado débil - slidepdf.com

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Figura 1: Distribucion del ındice de refraccion en el modelo sin perturbar yen el perturbado.

El problema que estamos estudiando es el de una guıa cilındrica consimetria angular, con una distribucion de ındices de refraccion como en el dela figura 1.

La perturbacion consiste en una pequena disminucion del ındice de re-fraccion en un radio b dentro del nucleo de la fibra. Las permitividades semodelizan de la siguiente forma:

εr =

n

2

1 0 < r < an20 r > a εr =

n2c 0 < r < b

n21 b < r < an2

0 r > a

Y los operadores del siguiente modo:

L = L + λ∆

2t +

ω2

c2εr = 2

t +ω2

c2εr + λ∆

λ = 1 ⇒ ∆ = L− L =

ω2

c2(n2

c − n21) 0 < r < b

0 b < r < a

0 r > a

Como se ve, el nuevo operador que se asocia al problema perturbado L

difiere del operador del problema sin perturbar L en un operador de pertur-bacion ∆ multiplicado por un factor λ que mide la intensidad de la pertur-bacion. Como n2

c − n21 es una cantidad muy pequena, si hacemos λ = 1 se

asegura que ∆ va a ser pequeno, con lo que prescindimos en adelante de λ.Cabe destacar que si nc → n1 el operador ∆ → 0 y L → L, o sea,

la diferencia n2c − n2

1 nos da una medida de cuanta es la perturbaci on delsistema.

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3. Los modos

En la aproximacion de guiado debil los modos a tener en cuenta son losLP y en el caso que nos ocupa es el modo fundamental LP 01, degeneradodoblemente.

Cada modo LP 0m deriva de un modo HE 1m. Cada modo LP 1m deriva deun modo T E 0m, T M 0m y HE 2m. Cada modo LP km(k ≥ 2) deriva de un modoHE (k+1)m y EH (k−1)m.

Como se trata de modos polarizados linealmente se puede escoger unapolarizacion arbitraria, la mas sencilla siendo los campos paralelos a los ejescoordenados, o sea, verticales y horizontales. Elegimos orientar el eje y a lo

largo de la direccion del campo electrico, teniendo en cuenta que existe otroconjunto de modos con los campos en angulo recto respecto del primero.

En general los modos LP km del problema no perturbado tienen la siguienteforma

E yH x

=

E nucH nuc

J k(ukmr)

J k(ukma)cos(kφ) en el nucleo,

E yH x

=

E envH env

K k(wkmr)

K k(wkma)cos(kφ) en la envoltura.

Donde E nuc, H nuc, E env y H env son constantes, k y m son enteros, J k esla funcion k-esima de Bessel y K k es la funcion k-esima de Bessel modificadade segunda especie.

Hemos dividido por los valores de la funci on de Bessel correspondienteevaluada en la frontera de cambio de ındice de refraccion para que la funcionen todo el dominio sea contınua. En concreto en la frontera ambas soluciones(interior y exterior al nucleo) van a valer la unidad.

Tambien u2km =

n21ω2

c2− β 2km = β 21 − β 2km donde β 1 = n1ω

ces el factor de

propagacion para ondas planas TEM en el material del nucleo de la fibra. Y

w2

km

= β 2

km

−n20ω2

c2 = β 2

km

− β 2

0

donde β 0 = n0ω

c

es el factor de propagacionpara ondas planas TEM en el material de la envoltura de la fibra.

Como se puede ver la dependencia funcional con r y φ es la misma tantopara la componente E y como para la H x. Esto se debe al hecho de que en laaproximacion de guiado debil se ha despreciado el termino tεr

εr× t× que

acopla las componentes de los campos. Estando desacopladas y cumpliendola misma ecuacion de autovalores van a tener los mismos valores y vectorespropios.

En nuestro caso, los modos LP 01 no van a depender de la coordenadaangular φ y van a ser de la siguiente forma

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(1)

E yH x

= J 0(u01r)

J 0(u01a)en el nucleo.

E yH x

= K 0(w01r)

K 0(w01a)en la envoltura.

(2)

E xH y

= J 0(u01r)

J 0(u01a)en el nucleo.

E xH y

= K 0(w01r)

K 0(w01a)en la envoltura.

donde estamos considerando los dos conjuntos de campos correspondi-entes a la degeneracion doble (en (1) campo E vertical y campo H horizontal,en (2) campo E horizontal y campo H vertical) y hemos hecho las constantesiguales a la unidad.

4. Teorıa de perturbaciones

El sistema degenerado no perturbado va a cumplir la ecuacion de valorespropios

Lhni = β 2nhni i = 1 ... gn

donde gn es el grado de degeneracion del modo n.El sistema con la perturbacion va a cumplir la ecuacion Lhn = β 2nhn,

donde los nuevos autovectores van a ser combinacion lineal de los degeneradosdel sistema sin perturbar hn =

i αihni y los nuevos autovalores, a primer

orden, van a ser los antiguos mas una correccion β 2n = β 2n + β 2 (1)n .

Para calcular los coeficientes de la combinacion lineal de los nuevos au-tovectores y la correccion a los autovalores hemos de resolver un problemade valores propios de dimension igual al grado de degeneracion

i

∆(n)ij αi = β 2 (1)

n α j ∆(n)ij =

êni

∆hnj

êni

hni

ênj

hnj

donde êni = ηe∗ni con η =

0 1−1 0

.

En la expresion de ∆(n)ij hemos dividido por dos raices cuadradas de los

productos de ê y h con el fin de normalizarla, pues los campos en sı no estannormalizados.

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Los nuevos campos vendran dados por los coeficientes αi que son los au-

tovectores de la anterior ecuacion. La correccion al factor de propagacionviene dada por sus autovalores. Si la perturbacion rompe la simetrıa, es de-cir, si estos autovalores son diferentes entre si, la degeneracion se rompera yhabra dos nuevas β 2. Por el contrario si la simetria se preserva tras la per-turbacion, la degeneracion no cambia y solo tendremos un nuevo valor deβ 2.

5. Calculo del nuevo factor de propagacion

En la seccion anterior se han escrito varios productos entre campos sindefinirlos explıcitamente. Su expresion es la siguiente

ˆeni

hni

=

eni × hni

· uz d2xt

ˆeni

∆hnj

=

eni ×∆hnj

· uz d2xt

Estas son las integrales que hemos de resolver para construir la matrizcuyos valores propios nos van a dar la correcion a primer orden al factor depropagacion.

Para ello hemos de resolver productos vectoriales entre campos. Con-siderando primero productos entre campos del primer y segundo grupos dela degeneracion del modo LP 01 veremos que estos se anulan, significando quela matriz a diagonalizar ya es diagonal y que los autovalores van a estar da-dos separadamente por las integrales que involucran campos solo del primergrupo y las que involucran solo campos del segundo.

Teniendo en cuenta su expresion previamente vista (seccion 3), nuestroconjunto de campos correspondientes al modo fundamental LP 01 es

e01 =

0

E y

,

ˆh01 =

H x

0

, e02 = E x

0

, e02 = 0

H y

Vemos que en efecto se anulan estos productos.

e01 ×∆h02 =

ux uy uz

0 E y 00 ∆H y 0

= 0 e02 ×∆h01 =

ux uy uz

E x 0 0∆H x 0 0

= 0

Continuamos calculando el resto de productos vectoriales.

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e01×h01 =

ux uy uz

0 E y 0H x 0 0

= −E yH xuz e01×∆h01 =

ux uy uz

0 E y 0∆H x 0 0

= −E y∆H xuz

e02×h02 =

ux uy uz

E x 0 00 H y 0

= E xE yuz e02×∆h02 =

ux uy uz

E x 0 00 ∆H y 0

= E x∆H yuz

Como {E y, H x, E x, H y}, o sea, todas las componentes tienen la misma

dependencia funcional, los productos recien calculados van a ser iguales salvoun signo, al igual que las integrales.

ê02

h02

= −

ê01

h01

ê02

∆h02

= −

ê01

∆h01

Por tanto los elementos diagonales de la matriz ∆(n)ij van a ser iguales, lo

que indica que los dos autovalores van a ser los mismos y la correcci on a laβ 2 unica.

∆(0)22 =

ê02

∆h02

ˆ

e02 ˆ

h02 =

ê01

∆h01

ˆ

e01 ˆ

h01 = ∆(0)

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Pasamos ahora a calcular este elemento de matriz independiente. Para ellohemos hecho uso de Mathematica que nos ha permitido obtener integralesanalıticas que involucran las funciones de Bessel del problema. Integrando encoordenadas cilındricas el elemento de superficie perpendicular a la direccionde propagacion de la onda tiene la forma d2xt = rdrdφ. Hemos tomado comolımite superior de integracion en la region de la envoltura r = ∞ porquesuponemos que los campos estan confinados en la region del nucleo y sutamano tıpico es mucho menor que el tamano de la envoltura.

ê01

h01

= −

rdrdφE yH x =

= −2π

a0

drrJ 20 (u01r)

J 20 (u01a)+ ∞

adrr

K 20 (w01r)

K 20 (w01a)

= −πa2

J 21 (u01a)

J 20 (u01a)+

K 21 (w01a)

K 20 (w01a)

ê01

∆h01

= −

rdrdφE y∆H x =

= −2πω2

c2

n2c − n2

1

b0

drrJ 20 (u01r)

J 20 (u01a)= −π

ω2

c2

n2c − n2

1

b2 J 20 (u01b) + J 21 (u01b)

J 20 (u01a)

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Podemos ya escribir directamente la correccion a β 20 .

β 2 (1)0 =

ω2

c2

n2c − n2

1

b2

a2

J 20 (u01b) + J 21 (u01b)

J 21 (u01a) + J 20 (u01a)K 21

(w01a)

K 20

(w01a)

Podemos recuperar el sistema sin perturbar de varias maneras. Si nc → n1

entonces la correccion se anula, lo cual tiene sentido pues se tratarıa deeliminar el salto de ındice perturbador. Tambien podemos obtener el mismoresultado si hacemos b2

a2→ 0. En ese caso la correccion se anularıa igualmente,

pues se esta haciendo la region de perturbacion infinitamente pequena encomparacion con el radio del nucleo. Se puede comprobar con Mathematica

que en ese caso β 2 (1)0 → 0.

6. Conclusion

Hemos visto que la forma del operador de perturbacion ∆ es simple,una constante. Asimismo hemos escrito la forma general de las solucionespara los campos en la aproximacion de guiado debil, concretandolas al modofundamental LP 01 que no depende de la coordenada angular y es doblementedegenerado. Se han hecho los calculos necesarios para ver que de los cuatroelementos de la matriz de perturbacion solo uno es no nulo e independiente,siendo la matriz diagonal de por sı. Finalmente se han resuelto las integralespara calcular el valor del autovalor y por tanto de la correccion al factor depropagacion.

La aproximacion de guiado debil ha simplificado enormemente el prob-lema. Por una parte los campos estan desacoplados y cumplen la mismaecuacion, tienen por tanto la misma dependencia funcional con (r, φ). Porotra parte los modos son linealmente polarizados, permitiendo escoger unsistema de referencia en el que se anulan ciertas componentes de los campos.

Referencias[1] John Gowar, Optical Communication Systems, Prentice Hall Europe,

1993, Capıtulo 8.

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