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Análisis Numérico I Facultad de Ingeniería-UBA

Menéndez-Cavaliere-Pérez Berro-Tarela Pág. 1/26 26/04/02

75.12 ANÁLISIS NUMÉRICO I

FACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES

GUÍA DE PROBLEMAS APLICADOS

1. DINAMICA DE LA PARTICULA

Problema DP-1: Caída libre Un objeto que cae verticalmente a través del aire está sujeto a resistencia viscosa, además de la atracción gravitatoria. Si su masa es m, la ecuación dinámica (segunda ley de Newton) para la posición vertical s(t), considerada positiva hacia abajo, es

md sdt

mg kdsdt

2

2= −

donde t es el tiempo, g es la aceleración de la gravedad (9,80 m/s2) y k representa el coeficiente de resistencia del aire. Si la posición inicial del objeto es s0 , la solución de esa ecuación es (demostrarlo!)

s t smgk

tm gk

e kt m( ) ( )/= + − − −0

2

21

Suponer s0 =90 m, m = 100 g y k = 0,15 kg / s. Hallar, con una precisión de 0,01 segundos, el tiempo que le toma llegar al suelo. Problema DP-2: Recorrido de un móvil Un automóvil que viaja a lo largo de un camino recto es cronometrado en una cantidad de puntos. En la siguiente tabla se muestran los datos de las observaciones, donde el tiempo está en segundos, la distancia en metros y la velocidad en m/s.

Tiempo 0 3 5 8 13 Distancia 0 69 117 190 303 Velocidad 22,9 23,5 24,4 22,6 21,9

a) Predecir la posición del automóvil y su velocidad para el tiempo t = 10 segundos

utilizando en la interpolación tanto las distancias como las velocidades medidas. b) Utilizar sólo los tiempos y distancias provistas en la tabla para estimar las velocidades

en los instantes especificados y compararlas con los valores provistos en la tabla.



Problema DP-3: Desaceleración por resistencia viscosa Una partícula de masa m se mueve a través de un fluído sujeta a una resistencia viscosa R, que es función de la velocidad v. La relación entre la resistencia R, la velocidad v y el tiempo t está dada por la segunda ley de Newton

mdvdt

R v= ( )

que puede reescribirse como

tm

R udu

v t

v t= ∫ ( )( )

( )

0

Suponer R(v) = - K v v para un fluído particular, donde R está en Newtons, v en m/s y K=1 kg/(ms)1/2. Si m = 10 kg y v(0) = 10 m/s, calcular numéricamente el tiempo requerido por la partícula para bajar su velocidad a 5 m/s. Compararlo con el valor obtenido por integración exacta. Problema DP-4: Disparo vertical Un proyectil de masa m = 0,11 kg, disparado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial v(0)= 8 m/s, se desacelera debido a la fuerza de la gravedad y la resistencia del aire, por lo que su ecuación de movimiento es (considerando v positivo hacia abajo)

mv’ = mg - kvv donde g = 9,8 m/s2 es la gravedad y k = 0,002 kg/m el coeficiente de resistencia del aire. a) Hallar la velocidad en pasos de 0,1 segundos hasta un tiempo de 1 segundo. b) Calcular, con una precisión de una décima de segundo, cuándo el proyectil alcanza la

máxima altura y comienza a caer.



2. MECANICA DEL SOLIDO Problema MS-1: Centro de masa Una lámina plana se define como una delgada hoja de masa continuamente distribuída. Si σ es una función que describe la densidad de una lámina por unidad de espesor que tiene la forma de una región R en el plano x-y, el centro de masa de la lámina x y, se define como

x

x x y dA

x y dAy

y x y dA

x y dAR

R

R

R

= =∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

σ

σ

σ

σ

( , )

( , ),

( , )

( , )

Hallar en forma numérica el centro de masa de una lámina cuya forma es ¼ de círculo, descripta por

{ }R x y x y x= ≤ ≤ ≤ ≤ −( , ) / ,0 1 0 1 2

con una función densidad dada por la distribución guassiana σ ( , ) ( )x y e x y= − +2 2

. Comparar con el valor exacto. Problema MS-2: Deflexión de una viga Un problema común en ingeniería civil es el de la deflexión de una viga de sección transversal uniforme sujeta a una carga distribuída, mientras sus extremos están soportados de forma tal que no pueden deflectarse (ver figura).

La ecuación que describe esta situación física es de la forma

d wdx

SEI

wqxEI

x l2

2 2= + −( )



donde w(x) es la deflexión a una distancia x desde el extremo izquierdo de la viga, l la longitud de la viga, q la intensidad de carga por unidad de longitud, E el módulo de elasticidad, S la tensión en los puntos extremos e I el momento principal de inercia. La condición de no deflexión en los extremos se expresa como w(0) = w(l) = 0. Sea una viga de acero y sección transversal en I con las siguientes características: l = 36 m, q = 1460 N/m, E = 20,7 x 107 kPa, S = 4,4 kN, I = 5,4 m4. a) Calcular la deflexión de la viga cada 2 m. b) Supóngase que la ley municipal establece que max w x mm

x l01

< <<{ ( )} . Cumple esta viga

con esa ley?



3. MECANICA DE LOS FLUIDOS Problema MF-1: Descarga por un orificio Un líquido de baja viscosidad, tal como el agua, fluye desde un tanque cónico invertido con un orificio circular. La velocidad v a través del orificio se expresa por medio de la ecuación

v C gxd= 2 donde Cd=0,6 es el coeficiente de descarga y x la altura de agua en el tanque por sobre el orificio. Teniendo en cuenta que

vQA

Q A xdxdt

A ro

o= = − =, ( ) , π 2

donde Q es el caudal, Ao el área del orificio, A(x) el área de la sección transversal del tanque a una distancia x del orificio y r el radio del orificio. Combinando estas relaciones se obtiene

dxdt

r gx

A x= −0 6 22,

( )π

Suponer r = 3 cm, g = 9,8 m/s2 y que el tanque tiene un nivel inicial de 2,4 m y un volumen inicial de 15,2 m3. a) Calcular el nivel de agua luego de 10 minutos. b) Determinar, con una precisión de 1 minuto, cuándo se vacía el tanque.



4. DISEÑO MECANICO E INDUSTRIAL Problema DM-1: Falla de vehículos terrestres En el diseño de vehículos terrestres es necesario considerar la falla del vehículo cuando se trantan de negociar dos tipos de obstáculos. Un tipo de falla se denomina “de colgadura” y ocurre, típicamente, cuando el vehículo intenta cruzar un obstáculo que causa que el fondo del vehículo toque el suelo (o el obstáculo). El otro tipo de falla se denomina “pegada de nariz” y ocurre, comúnmente, cuando el vehículo desciende en una zanja y su nariz toca el piso. La siguiente figura muestra las componentes asociadas con la falla de pegada de nariz.

Puede mostrarse que el máximo ángulo a que puede ser negociado por un vehículo, cuando b es el máximo ángulo al cual la falla de colgadura no ocurre, satisface la ecuación

A sen a cos a + B sen2 a - C cos a - E sen a = 0 donde A = l sen b1 B = l cos b1 C = (h + 0,5D) sen b1 - 0,5D tan b1 E = (h + 0,5D) cos b1 - 0,5D a) Se establece que cuando l = 226 cm, h = 124 cm, D = 140 cm y b1 = 11,5° el ángulo a

vale aproximadamente 33°. Verificar este resultado. b) Hallar a para la situación cuando l, h y b1 son como en el punto anterior, pero D = 76

cm. Problema DM-2: Construcción de envase de hojalata



Debe construirse una lata con la forma de un cilindro circular recto para contener 1000 cm3. La tapa y el fondo circulares de la lata deben tener un radio 0,25 cm mayor que el radio de la lata, de modo que el exceso pueda ser usado para formar un sello con el lado. La hoja de material usada para el lado de la lata también debe ser 0,25 cm más larga que la circunferencia de la lata, de modo que se pueda formar un sello. Encontrar, con una precisión de 10-4, la cantidad mínima de material necesaria para construir la lata. Problema DM-3: Freno a disco Para simular las características térmicas de los frenos de disco (ver figura), Secrist y Hornbeck necesitaron aproximar numéricamente la temperatura media areal del revestimiento del cojinete de freno mediante la ecuación

TT r r dr

r drm

pr

r

pr

r

e

e

=∫

∫

( ) θ

θ

0

0

donde re es el radio al cual el contacto cojinete-disco comienza, r0 es el radio externo de ese contacto, θp es el ángulo subtendido por el sector de cojinete de freno (rθpdr es, entonces, el área elemental) y T(r) es la temperatura en cada punto del cojinete, obtenida numéricamente de la ecuación del calor.

Supóngase que re = 9,4 cm, r0 = 14,6 cm, θp = 0,7051 radianes y que la temperatura está dada en la siguiente tabla:



r (cm)

T(r) (°C)

9,4 337 9,9 423 10,4 474 10,9 506 11,5 557 12,0 573 12,5 601 13,0 622 13,5 651 14,1 661 14,6 671

Hallar una aproximación para Tm.



5. ELECTRICIDAD Problema EL-1: Voltaje instantáneo en un circuito En un circuito con un voltaje impreso ε(t) y una inductancia L, la primera ley de Kirchhoff da la relación

ε = +Ldidt

Ri

donde R es la resistencia del circuito e i es la corriente. Supóngase que se efectuaron mediciones de corriente para varios valores de t, obteniéndose:

t 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 i 3,10 3,12 3,14 3,18 3,24

donde t está medido en segundos e i en amperes. La inductancia L vale 0,98 henries y la resistencia R es 0,142 ohms. Obtener los valores aproximados del voltaje en cada uno de los 5 instantes de tiempo usando una fórmula de diferenciación de al menos 3 puntos. Problema EL-2: Corriente instantánea en un circuito En un circuito con voltaje impreso ε, resistencia R, inductancia L y capacitancia C en paralelo (ver figura), las leyes de Kirchoff proveen las relaciones

ε = = = + + =∫Ldidt C

i dt Ri i i i i12 3 1 2 3

1,

de donde surge que la corriente total i satisface la siguiente ecuación diferencial

didt

Cddt R

ddt L

= + +2

2

1 1ε ε ε

Suponer C=0,3 faradios, R=1,4 ohms, L=1,7 henries y un voltaje dado por

ε(t) = e-0,06πt sen(2t-π) Si i(0)=0, encontrar la corriente i para los tiempos t = 0,1*j, con j=0,1,2...,100.



Problema EL-3: Corrientes permanentes en un circuito Las leyes de Kirchhoff de los circuitos eléctricos establecen que el flujo neto de corriente a través de un punto de ramificación es nulo, y que la caída de voltaje neta alrededor de cada lazo cerrado también es nula. Supóngase que un potencial de V volts es aplicado entre los puntos A y G del circuito de la figura, y que i1, i2, i3, i4, e i5 representan los flujos de corriente, tal como se muestra en la misma figura. Utilizando G como punto de referencia, las leyes de Kirchhoff implican que se satisfacen las siguientes ecuaciones: 5i1 + 5i2 = V i3 - i4 - i5 = 0 2i4 - 3i5 = 0 i1 - i2 - i3 = 0 5i2 - 7i3 - 2i4 = 0 Hallar las corrientes suponiendo que V = 5,5 volts.

Problema EL-4: Potencial electrostático Sea u el potencial electrostático entre dos esferas metálicas concéntricas de radios R1 y R2 (R1 < R2), tal que el potencial de la esfera interna se mantiene constante a V1 volts y el potencial de la esfera externa es nulo. El potencial entre las dos esferas está gobernado por la ecuación de Laplace, que, en este caso con simetría esférica, se reduce a

d udr r

dudr

2

2

20+ =

para R1 ≤ r ≤ R2. Suponer R1 = 5 cm, R2 = 10 cm y V1 = 110 volts.



a) Obtener u(3) mediante un método numérico. b) Comparar el resultado obtenido con la solución cerrada

u rV R

rR r

R R( ) =

−−

1 1 2

2 1



6. GEOTECNIA Problema GE-1: Coeficiente de atenuación Para determinar la relación funcional entre el coeficiente de atenuación del sonido y el espesor de una muestra de taconita, Singh ajustó una colección de datos mediante una recta por cuadrados mínimos. Los datos mostrados en la siguiente tabla está tomada de su trabajo. Hallar esa recta.

Espesor (cm)

Coef. atenuación (db/cm)

0,040 26,5 0,041 28,1 0,055 25.2 0,056 26,0 0,062 24,0 0,071 25,0 0,071 26,4 0,078 27,2 0,082 25,6 0,090 25,0 0,092 26,8 0,100 24,8 0,105 27,0 0,120 25,0 0,123 27,3 0,130 26,9 0,140 26.2

Problema GE-2: Hundimiento en suelo La presión requerida para hundir un objeto grande y pesado en un suelo blando homogéneo que yace sobre una base de suelo duro puede ser predicha en base a la presión requerida para hundir objetos más pequeños en el mismo suelo. Específicamente, la presión p requerida para hundir una placa circular de radio r una distancia d en el suelo blando, tal que la base de suelo dura yace a una distancia D > d por debajo de la superficie, puede ser aproximada por una ecuación de la forma

p k e k rk r= +1 32

donde k1, k2 y k3 son constantes, con k2 > 0, que dependen de d y de la consistencia del suelo, pero no del radio de la placa.



a) Hallar los valores de k1, k2 y k3 suponiendo que una placa de 2,5 cm requiere una presión de 69 kPa para hundirse 30 cm en un campo de barro, una placa de 5 cm requiere una presión de 82,8 kPa para hundirse 30 cm y una placa de 7,5 cm requiere una presión de 103,5 kPa para hundirse la misma distancia (suponiendo, por supuesto, que el barro tiene más de 30 cm de profundidad).

b) Predecir el tamaño mínimo de una placa circular requerido para sostener un peso de 2200 N sobre ese campo, con un hundimiento menor a 30 cm.



7. QUIMICA Problema QU-1: Velocidad de reacción La reacción química irreversible en la cual dos moléculas de dicromato de potasio sólido, dos moléculas de agua y tres átomos de sulfuro se combinan para dar tres moléculas de dióxido de sulfuro gaseoso, cuatro moléculas de hidróxido de potasio sólido y dos moléculas de óxido crómico sólido puede ser representada simbólicamente por la ecuación esteiquiométrica

2K2Cr2O7 + 2H2O + 3S → 4KOH + 2Cr2O3 + 3SO2 Si originalmente están disponibles n1 moléculas de dicromato de potasio, n2 moléculas de agua y n3 moléculas sulfuro, la siguiente ecuación diferencial describe la cantidad x(t) de hidróxido de potasio luego de un tiempo t:

dxdt

k nx

nx

nx= − − −( ) ( ) ( )1

22

23

3

2 234

donde k es la constante de velocidad de reacción. Si k=6,22 x 10-19, n1= n2=2 x 103 y n3=3 x 103, cuántas unidades de hidróxido de potasio se habrán formado luego de 0,2 segundos?



8. BIOLOGIA Problema BI-1: Sustancia inhibidora Se sospecha que altas cantidades de tanino en hojas de roble maduras inhibe el crecimiento de las larvas de la polilla de invierno que dañan extensivamente estos árboles en ciertos años. La siguiente tabla presenta el peso promedio de dos muestras de larvas a ciertos tiempos durante los primeros 28 días de vida. La primera muestra fue levantada de hojas de roble jóvenes, mientras que la segunda muestra corresponde a hojas maduras del mismo árbol.

Día Peso muestra 1 (mg) Peso muestra 2 (mg) 0 6,67 6,67 6 17,33 16,11 10 42,67 18,89 13 37,33 15,00 17 30,10 10,56 20 29,31 9,44 28 28,74 8,89

Hallar el peso máximo para cada muestra. Para ello construir una función interpolante del tipo spline cúbica para cada muestra y derivarla. Problema BI-2: Consumo de oxígeno de una larva En un trabajo que trata con la eficiencia de la utilización de energía de las larvas de la polilla Modest Sphinx, Schroeder utiliza los datos de la siguiente tabla para determinar la relación entre W, el peso de la larva en gramos, y R, el consumo de oxígeno de la larva en ml/hora. Por razones biológicas, se supone que la relación es de la forma R = b Wa.

W R W R W R W R W R 0,017 0,154 0,025 0,23 0,020 0,181 0,020 0,180 0,025 0,234 0,087 0,296 0,111 0,357 0,085 0,260 0,119 0,299 0,233 0,537 0,174 0,363 0,211 0,366 0,171 0,334 0,210 0,428 0,783 1,47 1,11 0,531 0,999 0,771 1,29 0,87 1,32 1,15 1,35 2,48 1,74 2,23 3,02 2,01 3,04 3,59 3,34 2,83 1,69 1,44 4,09 3,58 4,28 3,28 4,29 3,40 5,48 4,15 2,75 1,84 5,45 3,52 4,58 2,96 5,30 3,88 4,83 4,66 5,96 2,40 4,68 5,10 5,53 6,94

a) Hallar la recta logarítmica de ajuste de mínimos cuadrados planteando ln R = ln b + a ln

W. Calcular el error cuadrático medio asociado con la aproximación mediante

( )E R bWi ia

i

= −

=∑ 2

1

37 1 2/



b) Mejorar el ajuste anterior agregando el término cuadrático c(ln W)2 y hallando el polinomio logarítmico cuadrático de cuadrados mínimos. Determinar la fórmula del error cuadrático medio asociado a la aproximación anterior y calcularlo.

c) Como tratamiento alternativo para ajustar la relación R = b Wa, utilizar el método de Newton-Raphson para determinar las constantes a y b que minimizan E2, donde E fue definido en el punto a). Calcular el error asociado con esta aproximación y compararlo con el de la aproximación del punto a).

d) Repetir el punto c), pero utilizando el método de Broyden.



9. MEDICINA Problema ME-1: Acción de un medicamento Un medicamento administrado a un paciente produce una concentración en el torrente sanguíneo dada por c(t) = A t e-t/3 mg/ml luego de t horas de haber inyectado A unidades. La concentración máxima segura es de 1 mg/ml. a) Qué cantidad debe ser inyectada para alcanzar la concentración máxima segura? Cuándo

ocurre este máximo? b) Se debe administrar una dosis adicional de esta droga al paciente cuando la

concentración cae a 0,25 mg/ml. Determinar, con una precisión del minuto, cuándo debe ser inyectada esta segunda dosis.

c) Suponiendo que la concentración de inyecciones sucesivas es aditiva y que en la segunda inyección se administra el 75% de la cantidad originalmente inyectada, cuándo es tiempo de aplicar la tercera inyección?

Problema ME-2: Modelo de propagación de enfermedades En la teoría de propagación de enfermedades contagiosas, se puede plantear una ecuación diferencial relativamente elemental para predecir la cantidad de individuos infectados en la población en un dado momento, siempre que se introduzcan hipótesis simplificativas apropiadas. En particular, supóngase que todos los individuos en una dada población tienen la misma chance de ser infectados, y que una vez infectados permanecen en ese estado. Sea x(t) la cantidad de individuos susceptibles de ser infectados a tiempo t e y(t) la cantidad de infectados a ese tiempo. La tasa dy/dt a la cual cambia la cantidad de infectados (es decir, el aumento de la cantidad de infectados por unidad de tiempo) dependerá tanto de la cantidad de infectados como de la cantidad de susceptibles presentes en el tiempo t. Por lo tanto, es razonable suponer que esa tasa es proporcional al producto de x(t) e y(t). Si la población es lo suficientemente grande como para suponer que x(t) e y(t) son variables continuas, el problema se puede expresar entonces como

dydt

k x t y t= ( ) ( )

donde k es una constante y x(t) + y(t) = m, la población total. Esta ecuación puede ser reescrita sólo en términos de y(t) (ecuación de Bernouilli):

dydt

k y t m y t= − ( ) [ ( )]

a) Tomando m = 100.000, y(0)=1000, k=2 x 10-6 1/día, hallar la cantidad de individuos

infectados luego de 30 días utilizando un método numérico. b) La ecuación de Bernoulli puede ser transformada en una ecuación diferencial lineal en la

variable u(t), si ésta se define como u(t)≡1/y(t). Usar esta técnica para hallar la solución



exacta de la ecuación y comparar el valor exacto con el aproximado. c) Cuál es la solución asintótica del problema para tiempos largos? Coincide con su

intuición? Problema ME-3: Otro modelo de propagación de enfermedades En el modelo del problema anterior, todos los individuos infectados permanecen en la población para propagar la enfermedad. Un planteo más realista consiste en introducir una tercera variable z(t) para representar la cantidad de individuos que son removidos de la población afectada, al tiempo t, por aislamiento, recuperación e inmunidad consecuente, o muerte. En este caso la tasa dependerá de la cantidad de infectados expuestos, es decir, de y(t)-z(t), por lo que se tendrá que

dy

dtk x t y t= 1 ( ) ( )

donde k1 es el coeficiente de la tasa de infección. Además se tiene que x+y+z=m y se supondrá que la tasa de remoción es proporcional a la cantidad de infectados, es decir

dzdt

k y t= 2 ( )

donde k2 es el coeficiente de la tasa de remoción. Combinando estas expresiones y utilizando las aproximaciones z << y y k1 x >> k2 , la solución aproximada puede expresarse en la forma x(t) = x(0) e-(k

1 / k

2 ) z(t) e y(t) = m - x(t) - z(t)

con z(t) determinado de la siguiente ecuación diferencial

dzdt

k m z t x e k k z t= − − −2 0 1 2 [ ( ) ( ) ]( / ) ( )

Encontrar z, y y x a 30 días suponiendo que m=100.000, x(0)=99.000, k1=2 x 10-6 1/día y k2=10-4 1/día.



10. SOCIOLOGIA Problema SO-1: Modelo de producción de individuos no-conformistas Considérese el problema de la producción de no-conformistas en una sociedad. Supóngase que una sociedad tiene una población de x(t) individuos al tiempo t. El aumento ∆x de población durante el intervalo de tiempo ∆t puede expresarse como

∆x = (Tasa de nacimientos - Tasa de mortandad) ∆t Si se denominan b y d a las tasas relativas (es decir el cambio por unidad de tiempo y de población) de nacimientos y mortandad, respectivamente, la ecuación anterior puede reescribirse, tomando el límite para ∆t → 0, como

dxdt

b d x t= −( ) ( )

Ahora puede plantearse una ecuación similar para la producción de individuos no-conformistas xn(t). Si se supone que todo no-conformista que se reproduce con una pareja no-conformista tienen un descendiente que también es no-conformista, la ecuación para xn(t) tiene el mismo aspecto que la anterior; pero si, además, se agrega la hipótesis de que una fraccción r de todos los otros descendientes también son no-conformistas (y que los conformistas y no-conformistas forman parejas al azar) el problema puede ser expresado mediante la siguiente ecuación diferencial:

dxdt

b d x t r b x t x tnn n= − + −( ) ( ) [ ( ) ( )]

a) Si se introduce la variable p(t)≡xn(t)/x(t) para representar la proporción de no-

conformistas en la sociedad al tiempo t, mostrar que las ecuaciones anteriores pueden ser combinadas y simplificadas a la única ecuación diferencial

dpdt

r b p t = −[ ( )]1

b) Tomando p(0)=0,01, b=0,02 1/año, d=0,015 1/año y r=0,1, calcular p(t) hasta 50 años

mediante un método numérico, utilizando un paso de cálculo de 1 año. c) Resolver la ecuación diferencial en forma exacta y comparar los resultados con los

obtenidos numéricamente.



11. DEMOGRAFIA Problema DE-1: Predicción de población La siguiente es una tabla con el censo poblacional de los EE UU desde 1930:

Año Población (en miles) 1930 123.203 1940 131.669 1950 150.697 1960 179.323 1970 203.212 1980 226.505

a) Estimar las poblaciones en los años 1920, 1965 y 2000. b) La población en 1920 era de aproximadamente 105.711.000. En base a este dato, estimar

la precisión de los valores pronosticados para 1965 y 2000. Problema DE-2: Modelo de crecimiento de población El crecimiento de grandes poblaciones sobre cortos períodos de tiempo puede ser modelado suponiendo que hay un crecimiento continuo a una tasa proporcional a la cantidad de individuos existentes en cada instante. Denominando N(t) a la cantidad de individuos a tiempo t y λ a la tasa relativa de nacimiento, supuesta constante, debe satisfacerse la siguiente ecuación diferencial

dNdt

N t= λ ( )

La solución de esta ecuación es N(t)=N0eλt, donde N0 denota la población inicial (a tiempo cero). Este modelo es válido sólo si la población está aislada, es decir, no hay inmigración desde fuera de la comunidad. Si se supone que hay una tasa absoluta contante de inmigración v, la ecuación diferencial se transforma en

dNdt

N t v= +λ ( )

cuya solución es

N t N ev

et t( ) ( )= + −0 1λ λ

λ



Supóngase que una cierta población está constituída inicialmente por un millón de individuos, que en el primer año inmigran 435.000 individuos y que al final del año la población es de 1.564.000 individuos. Para determinar la tasa de nacimientos de esta población es necesario obtener λ de la siguiente ecuación

1564 000 1000 000435000

1. . . ..

( )= + −e eλ λ

λ

Hallar el valor de λ y utilizarlo para predecir la población al final del segundo año, suponiendo que la tasa de inmigración permanece igual a la del primer año. Problema DE-3: Otro modelo de crecimiento de población Continuando con los modelos de poblaciones, supóngase ahora que la tasa de inmigración es despreciable, pero que se incorpora la pérdida de población por muertes. Si se considera que la tasa relativa de mortandad es proporcional a la cantidad de habitantes, debido a superpoblación, se obtiene la denominada ecuación de logística

dNdt

N t k N t= −λ ( ) [ ( )]2

Tomando los valores N0 = 50.976 λ = 2,9 x 10-2 1/año k = 1,4 x 10-7 1/año encontrar la población luego de 5 años.



12. FINANZAS Problema FI-1: Plan de retiro El valor acumulado de una cuenta de ahorros basada en pagos periódicos regulares puede ser determinado mediante el siguiente razonamiento: si A es el monto de la cuenta, P la cantidad depositada regularmente e i la tasa de interés por período, se tiene que Período de depósito=1 A = P Período de depósito=2 A = (1+i)P+P=[(1+i)+1]P Período de depósito=3 A = (1+i)[(1+i)+1]P+P=[(1+i)2+(1+i)+1]P ..........................................................................................................

Período de depósito=n A=[ ( )10

1

+=

−

∑ i k

k

n

]P=Pi

i n[( ) ]1 1+ −

que es la ecuación de la anualidad esperada. Un ingeniero querría tener una cuenta de ahorro de $75.000 luego del retiro dentro de 20 años, pero puede aportar $150 por mes para este objetivo. Cuál es la tasa mínima de interés a la cual debe ser depositada esta cantidad, suponiendo que el interés es compuesto mensualmente? Problema FI-2: Plan hipotecario Los problemas que relacionan la cantidad de dinero requerida para pagar una hipoteca sobre un período de tiempo fijo involucran la fórmula

APi

i n= − + −[ ( ) ]1 1

conocida como la ecuación de la anualidad ordinaria. En esta ecuación A es el monto de la hipoteca, P el monto de cada pago e i la tasa de interés por período para los n períodos de pago. Su justificación surge a partir de la fórmula de la anualidad esperada desarrollada en el problema anterior. En efecto, si se interpreta el resultado obtenido en ese problema como el monto M efectivamente pagado, el valor presente A de ese monto es M/(1+i)n. Supóngase que se necesita una hipoteca de 30 años de una casa y que el prestatario puede pargar cuotas de a lo sumo $450 por mes. Cuál es la tasa de interés máxima que el prestatario puede aceptar?



13. ECOLOGIA Problema EC-1: Modelo de dinámica de poblaciones El estudio de modelos matemáticos para predecir la dinámica de poblaciones de especies en competencia tiene su origen en trabajos independientes publicados al comienzo del presente siglo por A.J. Lotka y V.Volterra. Considérese el problema de predecir la población de dos especies, una predadora cuya población a tiempo t es x2(t), que se alimenta de la otra, la presa, cuya población es x1(t). Se supondrá que la presa siempre tiene una provisión adecuada de comida y que la tasa de nacimiento en cualquier instante es proporcional a la cantidad de presas vivas en ese momento. Ahora bien, la tasa de mortandad de la presa depende tanto de la cantidad de presas como la de predadores vivos en un dado tiempo. Por simplicidad, se supondrá que esa tasa es proporcional al producto de ambas cantidades. Por otro lado, la tasa de nacimiento del predador depende de la provisión de comida, x1(t), y de la cantidad de predadores disponibles para la reproducción. Entonces, se supondrá que esa tasa es proporcional al producto de x1(t) y x2(t). La tasa de mortandad del predador se tomará simplemente como proporcional a la cantidad de predadores vivos al tiempo t. Dado que dx1/dt y dx2/dt representan la variación por unidad de tiempo de las poblaciones de presa y predador, el problema se expresa mediante el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales no lineales:

dxdt

k x t k x t x t11 1 2 1 2= - ( ) ( ) ( )

dxdt

k x t x t k x t23 1 2 4 2= - ( ) ( ) ( )

Suponiendo que la población inicial de la presa es 1000 y del predador 200, y que las constantes valen k1=3, k2=0,002, k3=0,0006 y k4=0,5, calcular la evolución de las poblaciones para 0 ≤ t ≤ 4. Efectuar un gráfico con la solución y describir los fenómenos que tienen lugar a lo largo del tiempo. Hay una solución estable para este modelo de población? Si es así, para qué valores de x1 y x2 es la solución estable? Problema EC-2: Poblaciones de equilibrio Considérese el problema de determinar las poblaciones de equilibrio de las dos especies tratadas en el problema anterior. El criterio matemático que debe satisfacerse es que, simultáneamente,

dxdt

ydxdt

1 20 0= =

Esto ocurre cuando la primera especie está extinta y la segunda especie tiene una población de 20.000, o bien cuando la segunda especie está extinta y la primera especie tiene una



población de 13.333. Puede ocurrir el equilibrio en alguna otra situación? Problema EC-3: Contribución de hembras de una especie En una publicación técnica denominada “Population Waves” (ondas de población), Bernardelli hipotetiza un tipo de escarabajo simplificado, que tiene un tiempo de vida natural de tres años. La hembra de esta especie tiene una tasa de supervivencia de ½ en el primer año de vida y de 1/3 en el segundo año, y da a luz a un promedio de seis nuevas hembras antes de expirar al final del tercer año. Entonces, si

x

x

x

x

=

1

2

3

y b

b

b

b

=

1

2

3

son las cantidades de hembras de 1, 2 y 3 años en un determinado año y en el siguiente, respectivamente, la relación probabilístca entre esos dos vectores puede expresarse de la forma b=Ax, donde la matriz A representa la contribución que hace un escarabajo hembra, en un sentido probabilístico, a la población de hembras de esa especie. Es decir, si A = (aij), cada elemento de la matriz es la contribución que una sóla hembra de edad j hace a la población de hembras de edad i del próximo año. Con las hipótesis del modelo se tiene, entonces, que

A =

0 0 612

0 0

013

0

a) La contribución que un escarabajo hembra hará a la población dentro de dos años podría

ser determinada, entonces, como las entradas de A2. De la misma manera, la contribución a la población dentro de tres años surge de A3. Construir A2 y A3 y, a partir de ellas, encontrar una expresión general para la contribución a la población dentro de n años, para cualquier entero positivo n.

b) Utilizar las conclusiones obtenidas en el punto anterior para describir qué ocurrirá en años futuros a una población de estos escarabajos que inicialmente consiste de 6000 hembras en cada uno de los tres grupos de años.

c) Construir A-1 y describir su significado en relación a la población de esta especie. Problema EC-4: Cadena alimenticia El estudio de cadenas alimenticias es un tópico importante en la determinación de la propagación y acumulación de contaminantes ambientales en la materia viviente. Suponer



que una cadena alimenticia tiene tres eslabones. El primer eslabón consiste de vegetación de tipos v1, v2 ,... vn, que provee todos los requerimientos de comida a herbívoros de especies h1, h2 ,... hn en el segundo eslabón. El tercer eslabón consiste de carnívoros animales c1, c2 ,... cn, que dependen enteramente de los herbívoros del segundo eslabón como fuente alimenticia. La coordenada aij de la matriz A, de n filas y m columnas, representa la cantidad total de plantas del tipo vi ingeridas por los herbívoros de la especie hj, mientras que bij de la matriz B, de m filas y k columnas, representa la cantidad de herbívoros de la especie hi devorados por los animales del tipo cj. a) Mostrar que la cantidad de plantas de tipo vi que, eventualmente, terminarán en animales

de la especie cj estará dada en las entradas de la fila i y la columna j de la matriz AB. b) Qué significado físico está asociado con las matrices A-1 , B-1 y (AB)-1 = B-1 A-1 ? Problema EC-5: Muestreo Para determinar la relación entre la cantidad de peces y la cantidad de especies de peces en muestras tomadas para una porción de la Gran Barrera de Corales, Sale y Dybdahl ajustaron una recta por cuadrados mínimos a la siguiente colección de datos tomados sobre un período de dos años:

Cantidad de peces Cantidad de especies 13 11 15 10 16 11 21 12 22 12 23 13 25 13 29 12 30 14 31 16 36 17 40 13 42 14 55 22 60 14 62 21 64 21 70 24 72 17 100 23 130 34



Hallar ese ajuste lineal.

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