Guia del 3º D
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Gerson Villa González [email protected]
3º Departamental
Gerson Villa Glez.
Ecuaciones Diferenciales
3º Departamental
Ecuaciones Diferenciales
Gerson Villa González [email protected]
Series de Potencias
1. Determine dos soluciones en forma de serie de potencias, de la ecuación
diferencial, respecto al punto ordinario 0x .
a. '' 2 ' 0y xy y
b. 1 '' ' 0x y y
2. Use el método de series de potencias para resolver el problema respectivo de valor
inicial.
a. ( 1) '' ' 0, (0) 2, '(0) 1x y xy y y y
b. 2 2 '' 3 ' 0x y xy y
3. Para determinar dos soluciones de la ecuación diferencial respectiva, en forma de
series de potencias, alrededor del punto ordinario 0x .
a. '' 0y senx y
b. '' ' 0xy e y y
Ecuaciones Diferenciales en modelos matemáticos
Mezclas
1. Suponga que un tanque grande mezclado contiene inicialmente300 galones de
agua, en los que se disolvieron 50 libras de sal. Al tanque entra agua pura con un
flujo de 3 gal/min y, con el tanque bien agitado, sale el mismo flujo. Deduzca una
ecuación diferencial que exprese la cantidad de sal que hay en el tanque, al
tiempo .
Circuitos en Serie
2. Un circuito en serie tiene un resistor y un inductor (vea la siguiente figura).
Formule una ecuación diferencial para calcular la corriente , si la resistencia es
, la inductancia es y el voltaje aplicado es .
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Caída libre y resistencia del aire
3. Cuando un cuerpo como el del paracaidista que se ve en la figura antes de que se
abra el paracaídas se mueve a gran rapidez en el aire, la resistencia del mismo se
describe mejor con la velocidad instantánea elevada a cierta potencia. Formule
una ecuación diferencial que relacione la velocidad de un cuerpo de masa m
que cae, si la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad
instantánea.
Drenado de un tanque
4. El tanque cónico circular recto de la Fig. pierde agua por un agujero circular en el
fondo. Determine una ecuación diferencial para describir la altura h del agua del
tiempo t. El radio del agujero es 2 pulgadas, 232 /g pies seg , y el factor de
fricción y contracción es 0.6c .
Modelos matemáticos diversos
5. En la teoría del aprendizaje, se supone que la rapidez con que se memoriza algo es
proporcional a la cantidad que queda por memorizar. Suponga que representa
la cantidad total de un tema que se debe de memorizar, y que es la cantidad
memorizada cuando el tiempo es . Deduzca una ecuación diferencial para
determinar la cantidad .
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Sistemas masa‐resorte: movimiento libre no amortiguado
6. Se fija el periodo de 4lb a un resorte cuya constante es 16 lb/pie. ¿Cuál es el
periodo del movimiento armónico simple?
7. Se fija una masa de 20 kg a un resorte. Si la frecuencia del movimiento armónico
simple es 2/ oscilaciones por segundo, ¿Cuál es la constante k del resorte? ¿Cuál
es la frecuencia del movimiento armónico simple si la masa original se reemplaza
con una de 80 kg?
Sistemas masa‐resorte: movimiento libre amortiguado
1. Un resorte de 4 pies alcanza 8 pies al colgarle un contrapeso de 8 lb. El medio a
través del cual se mueve ofrece una resistencia numéricamente igual a 2 veces
su velocidad instantánea. Deduzca la ecuación del movimiento si el contrapeso se
suelta de la posición de equilibrio con una velocidad de 5 pies/s hacia abajo.
Calcule el tiempo en que llega a su desplazamiento extremo respecto a la posición
de equilibrio. ¿Cuál es su posición en ese instante?
2. Una masa de 1 kg está unida a un resorte cuya constante es 16 N/m y todo el
sistema se sumerge en un líquido que imparte una fuerza de amortiguamiento
numéricamente igual a 10 veces la velocidad instantánea. Formule las ecuaciones
del movimiento, si:
a. El contrapeso se suelta, partiendo del reposo a 1m debajo de la posición de
equilibrio.
b. El contrapeso se suelta 1 m debajo de la posición de equilibrio con una
velocidad de 12 m/s hacia arriba.
Sistemas masa‐resorte: movimiento forzado
1. Un contrapeso de 16 lb estira 8
3pie un resorte. Al principio, el contrapeso parte del
reposo a 2 pies debajo de la posición de equilibrio y el movimiento ocurre en un
medio que presenta una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a la
mitad de la velocidad instantánea. Deduzca la ecuación del movimiento si el
contrapeso está impulsado por una fuerza externa igual a ( ) 10cos3f t t .
Análogo de un circuito en serie
2. Determine la carga del capacitor en un circuito en serie LRC cuando
0.01 , 0.05 , 2 , 0.01 , ( ) 0 , (0) 5 (0) 0 .t s L h R C f E t V q C e i A
Encuentre el primer momento en el que la carga ene l capacitor es cero.
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Ecuaciones Diferenciales con Derivadas Parciales
3. Resuelva la ecuación diferencial en derivadas parciales dada.
a. 2 yuu e
y
b. 0u
yx
c. 2
22
8 1u
xyx
d. 2
2 42
yux u xe
y
4. Resuelva la ecuación dada sujeta a las condiciones indicadas
a. 2
22
6 ; (0, ) , (1, ) 1u
x u y y u y yx
5. Encuentre soluciones en forma de producto que satisfagan la ecuación dada y las
condiciones indicadas
a. 2 2
2 20
0; 0, 0, ( ,0) 0x x
u u u uu x
x y x x
6. Resuelva la ecuación del flujo de calor 2
2, 0
u uk kx t
sujeta a las condiciones
dadas. Suponga que la varilla tiene longitud L.
a. (0, ) 0, ( , ) 0
( ,0) ( )
u t u L t
u x x L x
7. Resuelva la ecuación de onda 2 2
22 2
u ua
x t
, sujeta a las condiciones dadas.
a.
0
(0, ) 0, ( , ) 0
( ,0) 0, ( )t
u t u L t
uu x x L x
t
Series de Fourier
1. Encuentre la serie de Fourier de f en el intervalo dado.
a. 0, 1 0
( ),0 1
xf x
x x
b. 0, 0
( )1,0x
xf x
e x
2. Desarrolle la función dada en la serie de cosenos o de senos apropiada.
