[ECUACIONES DIFERENCIALES] Guía del extraordinario 

 

Profesor: Gerson Villa González | Fecha de Aplicación: 9 –Junio‐2010  1 

 

Instrucciones: 

Esto solo es una guía para el examen extraordinario (no es obligatorio que los ejercicios 

que venga aquí se pregunten en el examen extraordinario). 

Recuerda que el examen extraordinario es evaluado al 100%. 

Te puedes apoyar en tus apuntes, libros, etc. Cuando presentes dicho examen 

Los Resultados los puedes checar en el blog de trabajo el día 16 de Junio.  

Recuerda que este último examen no existe ninguna aclaración, evita la pena que te 

diga no. 

Problemas Sugeridos 

1. Compruebe  que  la  familia  indicada  de  soluciones  sea  una  solución  de  la  ecuación 

diferencial. Suponga un intervalo de definición I, adecuado en cada solución. 

a) 3 2

3 2 2 1 21 2 33 2

2 12 ; ln 4d y d y dy

x x x y x y c x c x c x x xdx dx dx

 

2. Modelos matemáticos diversos. Una medicina se  inyecta en el torrente sanguíneo de un 

paciente  a  razón  constante  de  r  gramos  por  segundo.  Al mismo  tiempo,  esa medicina 

desaparece  con  una  rapidez  proporcional  a  la  cantidad  ( )x t presente  del  tiempo  t . 

Formule una ecuación diferencial para  ( )A t  que tome en cuenta los olvidos. 

3. Propagación de una enfermedad/tecnología. Suponga que un alumno portador de virus 

de gripe regresa a una escuela aislada de 1000 alumnos. Deduzca  una ecuación diferencial 

que gobierne la cantidad de personas,  ( )x t , que hayan contraído la gripe, si la rapidez con 

la que se propaga la enfermedad es proporcional a la cantidad de interacciones entre los 

alumnos con gripe y los alumnos que todavía no han estado expuestos a ella. 

4. Determine la solución general de la ecuación diferencial correspondiente. Calcule el mayor 

intervalo en el cual esté definida  la solución general. Busque si hay términos transitorios 

en la solución general. 

a. sec cosdr

rd

 

b. 2yydx ye x dy  

5. Resuelva la ecuación diferencial, encontrando un factor integrante, adecuado.  

a. 2 3 2 35 0y xy dx y xy y seny dy  

b. 2 2 5 , (0) 1x y dx y xy dy y  

6. Resuelva cada una de las ecuaciones homogéneas 

a. 2 2dyx y x ydx

 

b. / / 0, (1) 0y x y xx ye dx xe dy y  

 

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7. Resuelva la ecuación de Bernoulli dada empleando una sustitución adecuada 

a. 2 33 1 2 1dy

t ty ydx

 

b. 21dyx x y xydx

 

8. Utilice un procedimiento adecuado para resolver la siguiente ecuación diferencial 

a. 51 y xdye

dx  

b. 1dy x y

dx x y

 

9. Mezclas. Un tanque está parcialmente lleno con 100 galones de salmuera, con 10 lb de sal 

disuelta. Le entra salmuera con  12   lb sal por galón a razón de 6 gal/min. El contenido del 

tanque  está  bien mezclado  y  de  él  sale  a  razón  de  4  gal/min  de  solución.  Calcule  la 

cantidad de libras de sal que hay en el tanque a los 30 minutos. 

10. La función  1( )y x  es una solución a las ecuaciones diferenciales. Use la reducción de orden 

o la fórmula alternativa, para encontrar una segunda solución  2 ( )y x . 

a. 2 1/214 '' 0; lnx y y y x x  

b. 21'' ' 2 0; lnx y xy y y xsen x  

11. Determine la solución general de la ecuación diferencial de orden superior. 

a. 5 4 3 2

5 4 3 22 7 12 8 0d x d x d x d x

ds ds ds ds  

b. ''' 12 '' 36 ' 0, (0) 0, '(0) 1, ''(0) 7y y y y y y  

12. Resuelva la ecuación diferencial por coeficientes indeterminados. 

a. 4 '' 4 2 xy y x xe  

b. 2''' 8 2 5 8 , (0) 5, '(0) 3, ''(0) 4xy y x e y y y  

13. Resuelva  la  respectiva  ecuación  por  el  método  de  los  coeficientes  indeterminados 

(operador anulador). 

a. 4 2 24 '' 5 xy y x e  

b. 4 '''' , (0) 0, (0) 0, ''(0) 0, '''(0) 0xy y x e y y y y  

14. Resuelva las ecuaciones diferenciales por variación de parámetros 

a. /2 24 '' 4 ' 1xy y y e x  

b. ''' 4 ' sec 2y y x  

15. Use  la sustitución  tx e para transformar  la ecuación respectiva de Cauchy‐Euler en una 

ecuación diferencial con coeficientes constantes. Resuelva la ecuación original a través de 

la nueva ecuación mediante procedimientos adecuados. 

a. 3 2 3''' 3 '' 6 ' 6 3 lnx y x y xy y x  

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b. 2 '' 4 ' 6 0, ( 2) 8, '( 2) 0x y xy y y y  

16. Determine  dos  soluciones  en  forma  de  series  de  potencias,  de  la  ecuación  diferencial, 

respecto al punto ordinario  0x . 

a. 2 2 '' 3 ' 0x y xy y  

b. '' ( 1) ' 0y x y y  

17. Encuentre la serie de Fourier de f en el intervalo dado 

a. 0, 0

( )1,0x

xf x

e x

 

b. ( ) ,xf x e x  

18. Resuelva la ecuación diferencial en derivadas parciales dada. 

a. 2

22

2u

y u ysen xx

 

b. 2

20

usen xy

y

 

19. Determine si el método de separación de variables es aplicable a la ecuación dada. Si lo es, 

obtenga las soluciones en forma de producto. 

a. 0u u

y xx y

 

b. u u

ux y

 

20. Resuelva la ecuación de onda 2 2

22 2

u ua

x t

 sujeta a las condiciones dadas. 

a.

0

0, 0, , 0

,0 0, t

u t u L t

uu x x L x

t