Guía del mapa de karnaugh

CIRCUITOS DIGITALES II

1 Prof. Luis Zurita

MAPA DE KARNAUGH (MK)

Es un método gráfico para la simplificación de ecuaciones lógicas

booleanas y resolución de problemas lógicos combinatorios.

Se basa en algunos teoremas boléanos para su funcionamiento. Para

lograr una simplificación más efectiva y mejor, es necesario integrar dos

elementos: Las reglas de agrupamiento y la práctica por parte del estudiante.

Al igual que la tabla de la verdad permite ordenar las variables con su

comportamiento en la salida, y pasar a la construcción de las ecuaciones lógicas

y el dibujo del circuito lógico correspondiente.

MK de 2, 3, 4 variables

Están constituidos por un grupo de celdas.

Celdas

MK de 4 variables

MK de 2 variables MK de 3 variables


2 Prof. Luis Zurita

En los bordes superiores y laterales, se colocan los valores que pueden

tomar las variables participantes en la ecuación lógica ó el problema que se

está resolviendo, y en la barra diagonal el nombre de las variables.

Recuerde el valor asignado a las variables:

Ahora: ¿que encontramos en cada celda? Recordando algo de matrices, cada

expresión de celda estará constituida por el producto de las variables de la fila

y la columna asociada a la celda, por ejemplo:

Ecuación Valor

SDP 0:Variable Negada o Complementada ( A )

1: Variable sin complementar ( A )

PDS 0: Variable sin complementar ( A )

1: Variable Negada o Complementada ( A )

0

1

A B 0 1

0 0 0 1 1 1 1 0

0

1

A B C

Variables

Datos que toman las variables

La celda sombreada, está

constituida por el producto de A (0)=

A y BC (11)= BC, los cuales a su vez

están multiplicados por el 1 presente

en la celda. Por ejemplo veamos los

términos que estarían contentivos en

un MK de 4 variables:

0 0 1 0

0 0 0 0

0 0 0 1 1 1 1 0

0

1

A B C


3 Prof. Luis Zurita

Algunos autores, en vez de colocar unos y ceros para representar los

valores que toman las variables, colocan directamente a la variable en su forma

normal o complementada.

Lo que al momento de determinar la expresión de la celda se hace de una

forma directa.

Evalúe usted el método que se le haga más fácil de entender y utilizar.

Por cierto, ¿Este MK de tres variables es igual al mostrado en páginas

anteriores? Demuéstrelo.

00 01 11 10

00

01

11

10

NOTA: La enumeración de

las variables se hace de

menor a mayor, en código

Gray. Repase el concepto

de Adyacencia. Rellene

usted los recuadros que

faltan en cuanto a

numeración se refiere.

AB CD

A B D C A B D C

A B D C A B D C

AB C

AB

AB

AB

AB

C C


4 Prof. Luis Zurita

REGLAS DE AGRUPAMIENTO Y SIMPLIFICACION

Cada grupo de celdas le permitirá a usted tener un término SDP ó PDS

simplificado. A medida que logres formar un grupo más grande de celdas, el

término será más reducido y simplificado.

Repase las notas colocadas en la guía de ejercicios.

Grupos válidos: 1, 2, 4, 8 y 16 celdas. Bajo el concepto de adyacencia.

Con respecto a los otros números de grupos de celdas que no aparecen y que

son NO VALIDOS, como por ejemplo, 3, 5, 6, 7 etc., Pueden ser agrupados en

varios subgrupos dentro del número válido de celdas, recordando que cada

grupo es un término simplificado.

NOTA: Adyacencia: Se refiere a dos celdas en las cuales sólo cambia

una variable entre una y otra celda. Para esto se basa en el código Gray visto

por usted en Informática. Dos celdas diagonales NO son adyacentes,

Generalmente son adyacentes las celdas contiguas en horizontal y/o vertical.

EJEMPLOS

GRUPOS DE 2 CELDAS:

NOTA: Si una celda ya pertenece a un grupo, NO es necesario involucrarla a otro grupo, a

menos que exista una celda adyacente a esta que la tome para hacer un grupo. El grupo

subrayado es innecesario.

Note que para este mismo ejemplo, hay

varias formas de agrupamiento, las cuales

respetando las normas, son perfectamente

válidas, lo que le llevará a concluir que NO HAY

una sola forma de resolución sobre un MK.

1 1 0 1

1 0 1 1

0 1 0 0

1 0 0 1

1 0

1 1 1 1

1 1 0 1

0 0

¡Innecesario!


5 Prof. Luis Zurita

Por cada grupo de dos celdas propuesto, se reduce en una variable el

término producto. Por ejemplo: Se tiene un MK de 2 variables, el término le

queda en 1 variable, si tiene un MK de 3 variables, el término le queda en 2

variables y así sucesivamente.

GRUPOS DE 4 CELDAS

En este caso la expresión vale 1. Todas las

celdas son adyacentes entre si y se anulan o

neutralizan.

1

1

1 1

1

0

0 1

0

1

1 0

1

0

0 1

0

1

1 0

00 01 11 10

0

1

0

1

0 1

1

0

1 0

00 01 11 10

0

1

1

1

0 0

1

1

0 0

00 01 11 10

0

1

1

0

1 0

0

1

0 1

0

1

Este agrupamiento NO es válido.

Y lo podemos sustituir por

ejemplo por estos subgrupos:

00 01 11 10


6 Prof. Luis Zurita

NOTA: Cada grupo reduce en dos variables a las expresiones lógicas del total de las

variables participantes.

GRUPOS DE 8 CELDAS

La expresión vale 1. Todas las celdas son

adyacentes entre sí y se neutralizan.

NOTA: Cada grupo reduce en 3 variables a las expresiones lógicas del total de las variables

participantes, lo que da origen a un término de una variable. Al igual que los MK anteriores, un

grupo de 16 celdas, origina una expresión que vale 1.

1 1 1 1

1 1 0 0

0 1 0 0

0 1 0 0

1 0 0 1

0 1 1 0

0 1 1 0

1 0 0 1

1

1

1 1

1

1

1 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 1 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

1 1 1 1

0 1 1 0

0

0 1 1 0

0 1 1 0

0 0 1 1 0

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

= 1


7 Prof. Luis Zurita

Es normal que dentro de un MK se encuentren grupos de 1, 2, 4 u 8

celdas e incluso 16 celdas, solitarios o combinados.

¿QUE HACEMOS CON CADA GRUPO FORMADO Y SIMPLIFICADO?

Los sumamos si se trata de una expresión SDP o los multiplicamos si se

trata de una expresión PDS, y conseguimos nuestra “Expresión Lógica

Simplificada”

NOTA: Todos los grupos fueron formados tomando como base los 1´s presentes.

¿Será posible hacer lo mismo tomando como base a los 0´s? ¿Cuál será la diferencia?

VARIABLES IRRELEVANTES (Don´t Care)

Estas variables se representan con la letra X u otra de su preferencia, y

significa que pueden tomar el valor de 1 ó 0.

Siguen las mismas normas y reglas de agrupamiento vistas hasta ahora, y

son tomadas en cuenta, a CONVENIENCIA, es decir, si nos sirven para

simplificar un grupo, las usamos, si no nos sirven, ¡No! Las usamos. Y nuestro

resultado será más simplificado ó menos simplificado.

NO debemos formar grupos de x, solamente ya que estaríamos

adicionando términos ficticios e innecesarios.

¿Cuándo Hacemos uso de las variables irrelevantes? Cuando no han sido definidas en las condiciones de funcionamiento y operación de un

problema. Pueden Ocurrir o no. No afectan el funcionamiento de nuestro diseño lógico, más sin

embargo, nos pueden servir para simplificar nuestras expresiones.

1 0

x 0

1

0

1 x

0

x

x 1

1 0 0 x

1

0

0 1 x

x x x 1

0 1 x x 0

Este grupo

NO es válido

1 x x x

1

0

0 x 1

0 0 0 0

0 1 x 1 x


8 Prof. Luis Zurita

Ejercicios propuestos

Agrupe, simplifique y halle las expresiones en los siguientes mapas de Karnaugh:

Nota:

1. Coloque usted el conteo donde haga falta.

2. Recuerde:

a. Un grupo de 1 celda da origen a un término producto de 4 variables.

b. Un grupo de 2 celda da origen a un término producto de 3 variables.

c. Un grupo de 4 celda da origen a un término producto de 2 variables.

d. Un grupo de 8 celda da origen a un término producto de 1 variables.

e. Un grupo de 16 celda da origen a que la expresión valga 1.

3. Una vez agrupados y simplificados se suman los términos mínimos encontrados.

4. Si considera los 1’s, la función encontrada es una S.D.P.

5. Si considera los 0’s la función encontrada es una P.D.S.

6. A medida de que los grupos sean más grandes, la función tendrá menos variables.

1 0 1 0

0 0 0 1

1 1 0 0

0 0 1 0

1 0 0 1

0 1 1 0

0 0 0 0

1 1 1 1

0 1 0 0

0 1 1 0

1 1 1 1

1 1 1

1 1

1 0 0 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 0 0 1

1 1 0 0

1 0 1 0

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 1 1

1 0 1 0

0 1 1 0


9 Prof. Luis Zurita

Agrupe, simplifique y halle las expresiones en los siguientes mapas de Karnaugh:

Nota:

1. Coloque usted el conteo donde haga falta.

2. X representa una condición irrelevante, o no ocurre o no tiene ningún efecto sobre la

salida.

3. Se tratan como 1’s ó 0’s, A CONVENIENCIA.

4. Deben ser tomadas en cuenta a medida de que ayuden a simplificar el circuito.

5. Se siguen las mismas reglas de agrupamiento.

6. NO se pueden agrupar solo X.

7. A medida de que los grupos sean más grandes, la función tendrá menos variables.

0 1 1 0

x x x x

x x x x

x x x x

0 1 x x

1 1 x x

1 1 x x

1 1 x x

1 x 0 1

0 x x 1

1 1 0 x

x x 0 1

1 0 1 1

1 0 1 1

0 x 0 1

x

1

0 x x

1 0 0 1

x x x 1

0 x 1 x

1 x 0 1

1 0 0 0

1 x x 1

x x 1 1

0 0 0 0

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