Guia Didactica de Ejercicios Tema 5 Turbinas

UNEFM - MÁQUINAS HIDRÁULICAS - MSc. ANA CAROLINA MUSTIOLAUNEFM - MÁQUINAS HIDRÁULICAS - MSc. ANA CAROLINA MUSTIOLA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTALFRANCISCO DE MIRANDA

ÁREA DE TECNOLOGÍAPROGRAMA DE INGENIERÍA MECÁNICA

MÁQUINAS HIDRÁULICAS

GUIA DIDÁCTICA DE EJERCICIOS GUIA DIDÁCTICA DE EJERCICIOS TEMA 5TEMA 5

TURBINAS HIDRÁULICAS TURBINAS HIDRÁULICAS 1.- FORMULAS Y NOMENCLATURA:1.- FORMULAS Y NOMENCLATURA:

FORMULARIO (TURBINAS PELTÓN)

Q=V.A

Donde;Q= caudalV= velocidadA= área

A=

Donde;A= áread=diámetro del rodete

A=

Donde;A= áreadch= diámetro del chorro.

Q=V.

Donde;


Q= caudaldch= diámetro del chorro.V= velocidad

U=

Donde;U= velocidad periférica o velocidad absoluta del álabed= diámetro del rodeteN= rpm

Donde;Pa= potencia útil, potencia restituida, potencia al freno, potencia del eje Q= caudalH= altura neta

= peso específico del agua

nt= rendimiento total ó rendimiento global.

P=Q. H

Donde;P=Potencia teórica (potencia absorbida o potencia neta=potencia hidráulica puesta a disposición de la turbina)Q= caudal


H= altura neta

U=0.45

Donde;U= velocidad periférica o velocidad absoluta del álabeg= fuerza de gravedadH= altura neta


=0.97

Donde;

=velocidad absoluta del fluido (a la entrada)

g=fuerza de gravedadH=altura neta

Donde;

= número específico de revoluciones

= rpm

=rendimiento total

= caudal

H= altura neta

Donde;

=potencia interna

F=fuerza tangencial

= velocidad periférica o velocidad absoluta del álabe (a la entrada)

FORMULARIO (TURBINAS FRANCIS Y KAPLAN)

ηh= =

Donde;ηh= Rendimiento hidráulicoHu= Altura teóricaH= Altura neta

= Velocidad periférica ó velocidad absoluta del álabe (a la entrada)

= Componente periférica de la velocidad absoluta del fluido (a la entrada)




g= Fuerza de gravedad

Q= τ π

Q=caudal

= diámetro a la entrada del rodete

= ancho del rodete

= Componente meridional de la velocidad absoluta del fluido

= área útil a la entrada del rodete (ejemplo: los álabes ocupan un 8% del área útil a la

entrada del rodete, de ser así, τ es igual a 100%-8%, es decir, τ= 92%)

Q= τ π

Q=caudal

= diámetro a la salida del rodete

= ancho del rodete


= = área útil a la salida del rodete, de suponerse afilados los álabes τ=1.

m=

Donde;

= Componente meridional de la velocidad absoluta del fluido (a la entrada)


= ancho del rodete

= ancho del rodete


= Componente meridional de la velocidad absoluta del fluido (a la salida)

F=Q ρ ( )


Donde;F= fuerza tangencial ejercida por el chorro sobre las cucharas.Q= caudalρ = densidad del agua.

= componente periférica de la velocidad relativa (a la entrada)

= componente periférica de la velocidad relativa (a la salida)

U=

Donde;U= velocidad periférica o velocidad absoluta del álabed= diámetro del rodeteN= rpm

Donde;Pa= potencia útil, potencia restituida, potencia al freno, potencia del eje Q= caudal



+

Donde;

=potencia interna

= potencia útil, potencia restituida, potencia al freno, potencia del eje

= potencia de rozamiento mecánico

Donde;

=potencia interna

F=fuerza tangencial

= velocidad periférica o velocidad absoluta del álabe (a la entrada)


=Q γ

Donde;Q= caudal

=potencia interna


= Altura teórica

H=

Donde;H=altura neta

=altura teórica

= Perdidas interiores

ηh=

Donde;ηh= rendimiento hidráuljcoH=altura neta

=altura teórica

ηm,=

Donde;ηm= rendimiento mecánico

=potencia interna


ηt,=

Donde;


ηt= rendimiento total o global


P= potencia neta

ηi,=

Donde;ηi= rendimiento interno

= potencia interna

P= potencia neta

=

Donde;

= radio de entrada del rodete

= radio de salida del rodete

Ecuación de Bernoulli

Donde;Pe= Presión de entradaVe= Velocidad de entradaZe= cota de entradaH= Altura netaPs= Presión de salidaZs= Cota de salidaVs= Velocidad de salidaρ= Densidad del aguag=fuerza de gravedad

Donde;


= rpm


=rendimiento total

= caudal

H= altura neta

2.- EJERCICIOS RESUELTOS. 2.- EJERCICIOS RESUELTOS. 2.1. En este problema no se tendrá en cuenta la fricción en los álabes. El inyector de una turbina Peltón suministra un chorro de 70m/s con un caudal de 1500 l/min, α1=0°,

el chorro es desviado por las cucharas 170°, u=0.5 . El diámetro del rodete es 30

veces mayor que el diámetro del chorro.Calcular:

Diámetro del rodete. Rpm Potencia desarrollada por la turbina (Pa).

Energía del chorro no aprovechada ( .

El primer dato que arroja el problema es la velocidad del chorro

=70m/s (velocidad del chorro)

A continuación debemos llevar 1500 lts/min a

1 =1000 lts, 1min=60seg

Q=1500

Q=0,025

Aplicando la siguiente ecuación del caudal

Q=V.

Donde;Q= caudaldch= diámetro del chorro.V= velocidad

Despejando el diámetro del chorro obtenemos;


dch=

Sabiendo que V= y sustituyendo en la ecuación anterior;

dch=

Sustituyendo ahora Q=0,025 y =70m/s en la ecuación del diámetro del chorro se

obtiene:

dch=

dch=0,02133 mEl enunciado nos dice que diámetro del rodete es 30 veces mayor al diámetro del chorro entonces;d= 30.dchd= 30. (0,02133)d=0.64mDe esta manera resolvemos la primera incógnita del problema.Procedemos a calcular las rpm(revoluciones por minuto) de la turbina mediante la siguiente ecuación,

u=

Donde;u= velocidad periférica o velocidad absoluta del álabed= diámetro del rodeteN= rpm

Despejando N(rpm) se obtiene que,

N= (Ecuación 1)

Para poder continuar debemos calcular u(velocidad periférica), el enunciado nos dice que;

u=0.5 (Ecuación 2)

Se tiene que, por teoría que la velocidad absoluta del fluido a la entrada es aproximadamente


=

Donde;

=velocidad absoluta del fluido (a la entrada)

g=fuerza de gravedadH=altura neta

Despejamos H y sustituimos el valor de =70m/s en la ecuación resultante,

H=

H=

H= sustituyendo este valor en la ecuación 2 tenemos que,

u=0.5

u=35m/sEl valor de u=35m/s y el d=0.64m deben ser sustituidos en la ecuación 1,

N=

N=1044,89rpmAhora procedemos a calcular la potencia desarrollada por la turbina mediante la ecuación;

Donde;Pa= Potencia útil, potencia restituida, potencia al freno, potencia del ejeQ= Caudal

= Peso específico del agua

nt= Rendimiento total ó rendimiento globalRecordemos que tenemos los siguientes datos:

Q=0.025

=9810

H=249.83m El problema no arroja ningún dato referente al rendimiento de la turbina, por lo que se asume un rendimiento total del 100%, es decir, nt=1Pa=(0.025).(9810).(249.83).(1)


Pa=61125 kW = 61125 000 W

Para calcular la energía del chorro no aprovechada ( debemos conseguir la velocidad

absoluta del fluido ( .

Siendo el ángulo de desviación del chorro 170°, y observando la siguiente figura es fácil ver

que .

=10°

Si no se toma en cuenta la fricción en los álabes;

Del triángulo de entrada deducimos

=(70- 35)m/s

= 35m/s

Por relación de triángulos

= Sen .

=Sen10°. 35


=6,0777m/s=

=34,468 m/s

En las turbinas Pelton

= +

= -

=0,532m/s

Finalmente;

=6,1009m/s

Sustituimos en la ecuación de la energía del chorro no aprovechada;

2.2 Una turbina Pelton gira a 375 RPM y su altura neta es de 60m, desarrolla una

potencia en el eje de 100kW, u=0.45 , c1=0.97 . El rendimiento total de la

turbina es 80%. La velocidad a la entrada de la turbina es 1,5 m/s.Calcular:

Diámetro del rodete. Caudal. (en litros/seg) Diámetro del chorro. Lectura en bar del manómetro situado a la entrada del inyector.

DatosN=375RPMH=60mPa=100kWnt=80%

u=0,45 =


=0,97 =33,281m/s

Tenemos la altura neta (H) podemos calcular rápidamente u y .

u=0,45 =15,44m/s

=0,97 =33,281m/s

Despejamos el diámetro de la ecuación

u=

d=


Tenemos los siguientes datos:N=375RPMu=15,44m/s

d=

d=0,786mAhora calculamos el caudal despejando de la ecuación;





Q=

Todos los datos ya son conocidos, solo sustituimos;Pa=100 kW=100000 WH= 60mNt=80%

=9810 N/

Q

Q=0.212 /s

Llevamos de /seg a lts/seg como lo pide el enunciado;

Q=0,212

Q = 212,4 lts/s

Aplicando la siguiente ecuación del caudal

Q=V.

Donde;Q= caudaldch= diámetro del chorro.V= velocidad

Despejamos el diámetro del chorro obtenemos;

dch=

Sabiendo que V= y sustituyendo en la ecuación anterior;

dch=


Sustituyendo ahora Q=0,212 y =33,281 m/s en la ecuación del diámetro del chorro se

obtiene:

dch=

dch=0.090m

Aplicando Bernoulli desde la salida del inyector hasta las cucharas podemos calcular lectura del manómetro situado a la entrada del inyector.

Para este planteamiento la presión de salida es la presión atmosférica ya que las turbinas pelton no tienen carcasa, por ser la presión atmosférica nuestro punto de referencia la presión de salida será cero,

La velocidad de salida también será cero ya que el análisis se hace en el punto de choque entre el chorro de agua y loas cucharas de la turbina (en este punto hay un cambio de dirección del chorro)

El chorro sale del inyector a una cota igual a la que impacta contra las cucharas de la turbina, entonces Ze-Zs=0.

H=

Nos queda la siguiente ecuación, despejando Pe tenemos que,

Pe=

Donde;Pe=presión de entradaVe= velocidad de entradaH= altura neta

= densidad del agua


g= fuerza de gravedad

Ahora sustituimos H=60m y Ve=c1=33,281m/s,

Pe=

Pe=587475 Pa , convertimos de Pa a bar

Pe=587475 Pa

= 5.87bar

2.3 Un pequeño motor hidráulico que funciona con agua absorbe un caudal de 1500 lts/min. Antes del motor en la tubería de admisión la presión relativa es de 6bar y después del motor en la tubería de descarga, y en un punto que se encuentra 5m por debajo del punto de conexión del manómetro de entrada, la presión relativa es de 3bar. Se despreciarán las pérdidas.Calcular.Calcular la potencia desarrollada por el motor.

A continuación debemos llevar 1500 lts/min a

1 =1000 lts, 1min=60seg

Q=1500

Q=0,025

P1=6barP2=6bar

Planteamos la ecuación de Bernoulli desde el punto ubicado a 5m por debajo del punto de conexión del manómetro (este punto representa ahora nuestro punto de entrada).Nuestros datos serán:Prelat=Pe=3bar=300000PaZe=5m

La segunda expresión de la altura neta nos indica que;

= = 0


= 0

Entonces la ecuación de Bernoulli que planteada de la siguiente manera;

Sustituyendo Ze= 5m y Pe=300000Pa nos queda;

Despejamos la altura neta (H);

H=

H=35,581m

Solo nos queda encontrar la potencia desarrollada por el motor (P);

P=Q. H



H= altura neta

Sustituyendo H=35.581m Q=0.025 m3 /seg =9810 N/m3

P=(35,581).(0,025).(9810) P=8,726kW= 8726W

2.4 Una turbina hidráulica fue ensayada en un laboratorio bajo un salto neto de 20m.

Para una cierta apertura del distribuidor se midió una caudal de 50lts/s (0,05 a

275 rpm con un rendimiento de 75%Calcular.La potencia al freno (Pa).La potencia suministrada a la turbina (P).

Datos:H=20m


Q=0,05

N=275RPMnt=75%

Rápidamente aplicamos la ecuación de potencia al freno (Pa) debido a que conocemos todos sus elementos;Pa=Q*γ*H*nt

Q=0.05 , H=20m, nt=75%, =9810 N/m3

Pa=(0,05).(9810).( 20).(0,75)Pa=7,357kW

Recordemos que,

P=

Donde;P= Potencia netaPa= Potencia útil potencia restituida, potencia al freno, potencia en el eje.nt= rendimiento total o global.Sustituimos Pa= 7,357kW y nt=75%

P=

P= 9.810kW

2.5 Una turbina Francis tiene las siguientes características, =240cm, =300 cm,

α2=90°, N=100 rpm, =15 m/s, = 16 m/s, = = 300 mm.

Calcular. El caudal de la turbina. El par hidráulico comunicado al rodete.

Datos:

=240cm=2,4m

=300cm=3m

=15m/s

=16m/s


= =300cm=0,3m

Buscamos el caudal por la ecuación;Q=π.d1b1c1m

La única incógnita es c1m, debemos trabajar con los triángulos de velocidad, comencemos por buscar u1,

u1=

u1=

u1=15,708m/s

u2=

u2=12.566m/s =w2u

Tenemos w2 =16m/sPor Pitágoras encontramos c2m;

c2m=

c2m=

c2m=c2 =w2m=9,904m/s

Como Q1=Q2 entonces,π.d1b1c1m= π.d2b2c2mDespejamos c1m,

c1m=

Donde;



= ancho del rodete

= ancho del rodete




c1m=

c1m=7,923m/s

Con este valor de c1m= 7.923m/s ya podemos calcular el caudal pero antes terminaremos de calcular los elementos restantes de los triángulos de velocidad.

w1=

w1u=

w1u =12.737m/sEn el triángulo de entrada se observa que u1=c1u+w1u, despejamos c1u; c1u=u1-w1uc1u =15.708-12.737c1u =2.971m/s

c1=

c1=

c1=8.462m/sProcedemos a calcular el caudal, Q=π.d1b1c1mQ=caudal


= ancho del rodete


= área útil a la entrada del rodete (ejemplo: los álaben ocupan un 8% del área útil a la


Q= π.(3). (0,3). (7,923)Q=22,403m3/s

Ahora vamos a calcular el par hidráulico comunicado al rodete a través de la ecuación.

P= Q. H




H= altura neta

No tenemos el valor de la altura neta(H) pero podemos calcularlo por la siguiente ecuación,

ηh=

La incógnita necesaria para calcular H es Hu, que podemos conseguirla aprovechando que ya calculamos todos los componentes de los triángulos de velocidad.

Hu=

Donde;Hu= Altura teórica






Hu=

Hu=

Hu=4,747m

Asumimos un ηh=100%, es decir, ηh= 1, debido a esto la altura neta es igual a la altura teórica.

=> H=Hu


Ahora si podemos proceder a calcular el par hidráulico comunicado al rodete,

P= Q. H

P= (22,403). (9810) (4,474)

P=1,046kW = 1046W

2.6 Se prevé una central hidroeléctrica aprovechando un salto de 80m con un caudal

medio de 5 / s.

Calcular. La potencia neta en esta central (P).

Datos:

Q=5 / s.

H=80m

Conseguimos la potencia neta a través de la ecuación,P=Q.γ.H



H= altura neta

P=(5). (9810). (80)P=3924kW

2.7 Una turbina Francis tiene las siguientes características, =1200mm, =600mm,

α1=90, c2u=0, H=30m, u1= , cm igual a la entrada y a la salida (c1m=c2m).

Calcular: Rpm β2

Datos:d1=1200mm=1,2md2=600mm=0,6mα1=90°


c2u=0 (esto implica que c2=c2m=w2m esto observa en el triángulo de velocidad de salida)El primer paso será calcular u1,

u1=0,7

u1=16,98m/sMediante la siguiente ecuación podemos despejar N,

u=


Despejamos N,

N=

Sustituimos u1=19,98m/s y d1=1,2m

N=

N=270.24rpm

Mediante la siguiente relación de diametros podemos hacer una relación de velocidades periféricas (u).Recordemos que: d1=1,2m y d2=0,6md1=2d2

u1=2u2

despejamos u2;

u2= = 8,49m/s

Observamos el triángulo de velocidad de entrada, tenemos α1, tenemos el cateto adyacente (u1) y buscamos el cateto opuesto (c1m).

Tanα1=

Tan90°=


c1m=16,98.Ta90°c1m=4,55m/s

Recordemos que c1m=c2m=4,55m/sDel triángulo de velocidad deducimos que;

Tanβ2=

Despejamos β2

β2= tan-1 c2m=4,55m/s y u2=8,49m/s

β2= tan-1

β2=28,18°

2.8.- Una turbina absorbe un caudal de 5m3/s. La lectura del manómetro a la entrada de la turbina,Me=10 m.c.a y la del manómetro a la salida de la turbina,Ms= -4m.c.a. El rendimiento de la turbina, que se supondrá limitada por las secciones E y S, es 75%, Ze - Zs= 2m. Diámetro de la tubería de entrada 1m, diámetro del tubo de aspiración en la seción donde está conectado el manómetro Ms=150cm.Calcular.

Calcular la potencia desarrollada por la turbina (Pa)

Datos:Q=5m3/s.Me=10 m.c.a(10 metros de columna de agua)Ms=-4m.c.a (-4metros de columna de agua)nt=75%Ze-Zs=2md1=1md2=150cm=1,5m

Calcularemos la potencia desarrollada por la turbina mediante la ecuación,





La única incógnita es la altura neta (H)

Lo primero que haremos será conseguir las velocidades de entrada y salida aprovechando que tenemos los diámetros y el caudal. (recordemos que el caudal a la entrada y a la salida siempre es el mismo)Q=V*ADonde;Q= caudalV= velocidadA= área

Despejamos la velocidad;

V=

Sustituimos el valor del área

A=

Donde;A= áread=diámetro del rodete

V=

Con =1m

V1=

V1=

V1=6,3662 m/s

De esta manera obetenemos la primera velocidad, de la misma manera calculamos la segunda,


V2=

V2=

Con =1,5 m

V2= 2,8294 m/s

Ya teniendo las velocidades de entrada y salida podemos trabajar con la ecuación de Bernoulli para conseguir la altura neta(H);Sustituimos las velocidades calculadas;

Pasamos el término Zs al otro lado de la igualdad

Ze-Zs= 2m

Solo nos queda sustituir las presiones y despejar H, nótese que las presiones están en unidades m.c.a (metros de columna de agua), esto quiere decir que el valor de Me=10m.c.a sustituirá al término (Pe/ρg) al igual que Ms=-4m.c.a a (Ps/ρg).

H=17,66 m

Procedemos a calcular la potencia desarrollada por la turbinaPa=Q.γ.H.nt



nt= rendimiento total ó rendimiento global.nt=75%


Q=5m3/s.H=17.66mPa=(5).(9810).(17,66).(0,75)Pa=649,667kW = 649667 W

2.9.-. Una turbina de reacción tiene las siguientes características d1= 0,75, d2=0,63, N=400rpm, α1=15°, c1= 14m/s, c2m= 5m/s, c2u=0, relación ancho/diámetro=0,15; rendimiento hidráulico=0,8; la entrada en la turbina se encuentra 4m por encima del nivel superior del agua en el canal de salida, la velocidad del agua en la tubería de entrada es de 2m/s, se pierden por rozamiento mecánico 3,7 kW. Supongase τ=1, Cs=0, nv=1.Calcular.

Los triángulos de velocidad a la entrada y a la salida. La altura útil (Hu) El salto neto (H) El caudal. Potencia útil suministrada por la turbina (Pa). La presión relativa a la entrada de la turbina en bar.

Debemos calcular los componentes de los triángulos de velocidad comenzando por u1;

u1=

d1=0,75 N=400rpm

u1=

u1=15.71m/s

Conocemos α1=15° y c1=14m/sDel triángulo de velocidad deducimos que,

Cosα1=

c1u= Cos15°

c1u=13.52m/s

Senα1=

c1m= Senα1


c1m=14.Sen15°c1m=3.63m/s

u1=w1u+c1uw1u= u1- c1uw1u=15,71-13,52w1u =2.19m/s

w1=

w1=4.23m/s

Cosβ1=

β1=Cos-1

β1=Cos-1

β1=58.82°

Ya tenemos todos los elementos del triángulo de entrada, calcularemos ahora los componentes del triángulo de salida;

u2=

u2=

u2=13.20m/s

c2m=5m/s

w2=

w2=

w2=14,12m/s

Cosβ2=


β2=Cos-1

β2=20.79°c2u=0

Hu=







Hu=

Hu=

Hu=21,65mBuscamos H por la siguiente ecuación sabiendo que nh=80%

ηh=


=altura teórica

H=

H=27.06mPara calcular el caudal usamos la ecuación;


Q=τ*π* * * m

Q=caudal


= ancho del rodete




El enunciado nos da una relación ancho/diámetro=0.15

b1=d1. (0,15)b1= (0,75).(0,15)b1= 0,1125mYa tenemos todos los elementos necesarios para calcular el caudal solo falta sustituir en la ecuación;

Q=τ*π* * * m

Recordemos que el ejercicio no dice que τ1=1

Q=(1).π.(0,75).

Q=0.9622 /s

Ahora calculamos la potencia útil suministrada por la turbina (Pa).Pa=Q.γ.H.nt



H= altura netant= rendimiento total ó rendimiento global

Pa=(0,9622).(9810).(27,06).ntnt=nh.nm.nv

Donde;nt=rendimiento totoal o golbal.


nh=rendimiento Hidráulico.nm=rendimiento mecánico.nv=rendimiento volumétrico.nh=0,8nm=1nv=1nt=(0,8).(1).(1)nt=0,8Pa=(0,9622).(9810).(27,06).(0,8)Pa=200.318kW

Considerando la perdida por rozamiento mecánico=3.7kWPa=(204,018.47 – 3,700)kWPa=200.318kW=200318W

Para el calculo de la presión relativa a la entrada de la turbina en bar(Pe) trabajaremos con la ecuación de Bernoulli (basándonos en la segunda expresión de la altura neta).Ps=0 (porque la presión de salida es la presión atmosférica)Zs=0 (porque es nuestra cota o nivel de referencia)Vs=0

Despejamos Pe;

Pe=

Pe=

Pe=224218,6Pa

Pe=224218,6Pa.

Pe=2.24bar

2.10.- Una turbina de reacción tiene las siguientes características, d1=680mm, b1=150mm, d2=500mm, b2=200mm, H=20m, c1m=3m/s, α1=12°, C2U=0Calcular.

Potencia en el eje (Pa). Rpm.


Angulo de los álabes a la salida del rodete ( ).

Datos:d1=680mm=0,68mb1=150mm=0,15md2=500mm=0,5mb2=200mm=0,2mH=20mc1m=3m/sα1=12°

Trabajamos con un rendimiento total (nt) igual al 100% entonces Pa=P

Por esta razón podemos calcular la potencia en el eje por la siguiente ecuaciónP=Q*γ*g*H

Para ello necesitamos el caudal

Q=

Q=caudal


= ancho del rodete




Q=

=1

Q=

Q=0,9613

Sustituimos el valor de caudal y de la altura neta(20m)P=Q.γ.HP=(0,9613).(9810).(20)P=188,6kW=188600WBuscamos N(rpm) por la ecuación,


N=

Antes debemos calcular u1;

Tanα1

c1u=c 1m. tanα1c1u=(3). Tan12°c1u=14.11m/sC 2U=0

Hu=







Hu=

Despejamos u1

u1=

Ya que estamos trabajando con un rendimiento hidráulico del 100% entonces; H=Hu

u1=

u1=

u1=13.905m/sAhora solo nos queda calcular N;

N=


N=

N=390,5rpm

β2=

β2=16,66°

2.12 Una turbina de reacción está diseñada para alcanzar su óptimo rendimiento cuando gira a 600 rpm bajo un salto neto de 30m desarrollando una potencia de

125kW, nt=75%, u1=0.95 .

Calcular. El caudal. El diámetro de entrada en el rodete.Rápidamente calculamos el caudal ya que el ejercicio nos da todos los datos para hacerlo;

Q



H= altura neta

=

Q=0.56

De la siguiente ecuación despejamos el diámetro

U1=

d1=


Pero necesitamos u1;

u1=0.95

H=30m

u1=0.95

u1=23.048m/s

Solo queda sustituir en la ecuación del diámetro de entrada (d1)

d1=

d1=

d1=0.73m

2.13.- Una turbina de reacción tiene las siguientes características: Q=3 , =280cm,

=240cm, α1 =12°, N=46rpm, ancho del rodete b constante=290mm, perdida de carga

en el rodete Hpp=0.20 , altura de presión a la salida del rodete /ρg=3.5m abs.

Componente periférica de la velocidad absoluta a la salida del rodete nula ( =0).

Calcular. Perdida de carga en el rodete (Hpp).

.

Q=3 /s

d1=280cm=2,8md2=240cm=2,4mα1=12°N=46rpmb1=b2=290mm=0,29m

Hpp=0.20

c1m=


Donde;



= ancho del rodete

= ancho del rodete



c1m =0.8571m/s

Q= τ π

c1m=

c1m=1,1760m/s

c2m=

c2m=1.3721 m/s

u2=

u2=

u2=5.7805m/s

w2=

w2=5,9411m/s

Hpp=0.20

Hpp=0,3598m


Q=V1*A1

A1=

A1= 6,1575

A1=

A1= 4,5239

V1=0,7872m/sV2=0,6631m/s

H=

u1=6,374m/s

Tanα1=

c1u=

c1u=5,5326 m/s

H=3.8012m

Pe=

Pe=71725.94PaPe=0.1773bar

2.14.-. El rodete de una turbina Pelton de 200cm de diámetro es alimentado por un

chorro de 150mm de diámetro, la velocidad del chorro es de 100m/s, α1=15°, c1= ,

rendimiento hidráulico es 85%, las perdidas mecánicas pueden despreciarse.Calcular.


El par sobre el rodete para las velocidades de éste de 0, 20, 40, 60, 80, 100m/s. L a potencia de la turbina

Datos:d=200cm=2mdch=150mm=0.15mC1=100m/sCalcularemos la potencia de la turbina mediante la siguiente ecuación,Pi=Hu.Q.γDonde;Q= caudal

=potencia interna


Lo primero que haremos será despejar H de la ecuación de c1.

H=

Luego sustituimos el valor de c1=100m/s y obtenemos H.

H=

Con este valor de H y nh calculamos HuHu=H*nhDonde;ηh= rendimiento hidráuljcoH=altura neta

=altura teórica

Hu=(509,685).0,85Hu=433,231m Ahora buscamos el caudal;Q=V.A (Ecuación 3)Donde;Q= caudalV= velocidadA= áreaA su vez,

A= (Ecuación 4)


Donde;A= áreadch= diámetro del chorro.Sustituyendo la ecuación 4 en la ecuación 3 se obtiene;

Q=V.

V=c1=100m/sDch=0,15

Q=100.

Q=1,767

Entonces Pi será;Pi=Hu.Q.γHu=433,231m

Q=1,767

γ =9810N/m3

Pi= (433,231). (1,767). (9810)Pi=7509kWEl par sobre el rodete se determina por la ecuación

T=

Donde;T= El par sobre el rodeteD=diámetro del rodeteF=fuerza tangencial o periférica.Esta fuerza puede calcularse por la ecuación;

F=

Donde;Pi= Potencia internau=velocidad periféricaNos dan los siguientes valores de u;0, 20, 40, 60, 80, 100m/sCalculamos la fuerza y el par para cada uno de estos valores;Para u1=0m/s


F= =∞

Por ende;T=∞Para u1=20m/s

F=

d=2m

T=

T=

T=375450NmPara u=40m/s

F=

d=2m

T=

T=


F=

d=2m

T=

T=


F=

d=2m


T=

T=

T= 93000NmPara u=100m/s

F=

d=2m

T=

T=

T=75000Nm

2.15.- Una turbina Pelton trabaja bajo una altura neta de 240m; c1=0,98 El

diámetro del chorro es de 150mm y el del rodete de 1800mm, α1=0°,β2=15°, w2=0,70w1 y u1=0,45c1.Calcular.

La fuerza tangencial ejercida por el chorro sobre las cucharas. La potencia transmitida por el agua al rodete. Rendimiento hidráulico de la turbina. Si el rendimiento mecánico es de 0,97, calcular el rendimiento total de la turbina.

Tomando como eje x la dirección de la velocidad periférica del rodete en el punto en que el eje del chorro corta a éste, la fuerza tangencial ejercida por el chorro sobre las cucharas es igual y de sentido contrario a la que las cucharas ejercen sobre el fluido.

F=Q ρ ( )

Donde;F= fuerza tangencial ejercida por el chorro sobre las cucharas.Q= caudalρ = densidad del agua.

= componente periférica de la velocidad relativa (a la entrada)

= componente periférica de la velocidad relativa (a la salida)


Calculemos los triángulos de velocidad a la entrada y a la salía del rodete de esta turbina.Triángulo de entrada:

c1=0,98 m/s

u=u1=u2 (las turbinas Pelton son turbinas tangenciales y en ellas la velocidad periférica a la entrada y salida es la misma).u=0,45c1=30,262m/sSiendo α1=0w1=w1u=c1-u=36,987 m/sTriángulo de salidaw2=0,7w1=25,891 m/sw2u= -w2cosβ2= -25,008 m/s

Por otra parte

Donde;Q= caudal.d= diámetro del chorro.c1= velocidad absoluta del fluido.

Sustituyendo los valores hallados en la ecuación 1 tendremos.F= 73,673 N.

La potencia transmitida por el aguaal rodete, según la conocida ecuación de la mec{anica,P=F.u

será (esta potencia es la potencia interna Pi):Pi=2,229.106 WPi=2,229 kW

ηh=


=altura teórica

Buscamos Hu por la ecuación,


Donde;Pi= potencia interna.Q= caudalH= altura teórica


Hu=

Sustituyendo los valores de Pi=2,229kW y Q=1,188 m3/s,

Hu=

Hu=191,214mPor tanto,

ηh= =0,7968

nh= 79,68%ntot=nm.nh=(0,97).(0,7968)=0,7729 ó 77,29%

2.16 Una turbina de reacción, en la que se despreciarán las perdidas, tiene las siguientes características: N=375rpm, β1=90°, α1=10°, c1m=c2m=2m/s, d2=1/2d2, b1=100mm. El agua sale del rodete sin componente periférica. El espesor de los álabes resta un 4% al área útil a la entrada del rodete.Calcular:

Salto neto. β2

d1 y d2

Potencia desarrollada por las turbinas.

Como no hay pérdidas,H=Hu (altura útil o altura de Euler)Como el agua sale del rodete sin componente periférica (triángulo de salida rectángulo en α) c2u=0, entonces,

Hu=






Como el triángulo de entrada es rectángulo en β, tendremos:

c1u=u1= = = 11,343 m/s

Luego,

Hu=

Hu=13,115 m =H =salto neto

Por la relación de diámetros d2=1/2d1 deducimos que,u2=0,5u1=5,671 m/sBuscamos β2 ya que tenemos u2 y c2m,

tan β2=

β2=tan-1

β2= tan-1

β2=19,43°

u1=

Donde;u1= velocidad periférica o velocidad absoluta del álabed1= diámetro del rodeteN= rpm

Luego despejamos d1,

d1=

d1=

d1=0,578m=57,8cm


d2=0,5d1=0,289m=28,9cm

La potencia desarrollada por el rodete es la potencia interna que, en este caso, coincide con la potencia útil o potencia en el eje, porque no se consideran las perdidas mecánicas, y con la potencia neta, porque no se consideran las perdidas hidráulicas y volumétricas. Luego según la ecuación,Pi=P=QγH

Y teniendo en cuenta que,

Q= τ π

Q=caudal


= ancho del rodete




τ= 96% (El espesor de los álabes resta un 4% al área útil a la entrada del rodete)τ= (100-4)%=96%=0,96Q= (0,96).π. (0,578). (0,1).( 2)Q=0,3484 m3/s

Ahora tendremos que,Pi=P=QγH= (0,3484).(9810).(13,115)Pi=P=44,828kW

2.17.- Una turbina pelton de un solo chorro se alimenta de un embalse cuyo nivel de agua se encuentra 300m por encima del eje del chorro, a través de un conducto forzado de 6km de longitud y 680mm de diámetro interior. El coeficiente de rozamiento de la turbina es λ=0,032. La velocidad periférica de los álabes es 0,47 la velocidad del chorro. El coeficiente de velocidad absoluta a la entrada del rodete,kc1=0,97. El ángulo α1=0°. Las cucharas desvían el chorro 170°, y la velocidad relativa del agua se reduce en un 15% a su paso por ellas. El diámetro chorro tiene un diámetro de 90mm. El rendimiento mecánico de la turbina es 88%.Calcular.

Altura neta de la turbina. Altura de euler o altura útil. Caudal. Rendimiento hidráulico.


Potencia útil en el eje de la turbina. Rendimiento total de la turbina.

En virtud de la segunda expresión de la altura neta.

H=300-Hr A-E=300- λ =300-0,032. =300-14,39Vt2 (ecuación 5)

Donde;dt=diámetro de la tubería forzadaVt= velocidad en la tubería forzadaPor otra parte,

c1=0,97

despejamos H,

H= = (ecuación 6)

Por la ecuación de continuidad:

Q= . = .

Donde;Q= caudalD=diámetro del chorrodt=diámetro de la tubería forzadaVt= velocidad en la tubería forzada

Luego vt=

=3,069.10-4c12

Valor que sustituido en la ecuación 5, nos para la altura neta la expresión,H=300-44,16.10-4c1

2 (ecuación 7)

Igualamos las expresiones 6 y 7 para la altura neta y despejando c1 se obtiene;C1=71,56m/sSustituyendo este valor en la ecuación 6 se obtiene la altura neta:


H=277,4m

Para obtener la altura de Euler o altura útil hay que hallar los triángulos de velocidadc1u=c1=71.56m/su=0,47c1=33,63m/sw1=c1-u=37,93m/sw2=0,85w1=32,24m/sSiendo el ángulo de desviacoón del chorro de 170°, es fácil ver que β2=180°-170°=10° y cos 10°=0,9848.C2u=u-w2 cosβ2=1,89m/s

Luego, Hu=

Hu=238,9m

Q= .

Q=0,4552 m3/s

Por la ecuación,

ηh=


=altura teórica

nh=

nh=86,11%La potencia interna de la turbina será,

=Q γ

Donde;Q= caudal

=potencia interna



= Altura teórica

Pi=(0,4552).(9810).(239,9)Pi=1067W=1,067kW

Suponiendo un rendimiento volumétrico igual a la unidad y la potencia útil en virtud de la ecuación,

Pa=Pi.nm=(1,066). (0,88) =938,8kWSolo falta calcular el rendimiento total suponiendo un rendimiento volumétrico igual a la unidad,ntot=nh.nm=(0,8611).(0,88)ntot=0,7578

2.18.- De una turbina francis de eje vertical se conocen los datos siguientes: diámetro de entrada del rodete, 45cm; ancho del rodete a la entrada 5cm; diámetro de salida del rodete 30cm; ancho a la salida del mismo 7cm, los álabes ocupan un 8% del área útil a la entrada del rodete (a la salida del rodete los álabes pueden suponerse afilados =1); ángulo de salida del distribuidor 24°, ángulo de entrada de los álabes del rodete 85°, ángulo de salida de los álabes del rodete, 30°; LAS perdidas hidráulicas en el interior de la turbina equivalen a 6m de columna de agua. Velocidad de entrada en la turbina 2m/s, altura piezométrica a la entrada de la turbina sobre la cota de salida del rodete 4m, rendimiento mecánico 94%. La turbina carece de tubo de aspiración, estableciéndose la norma para esta turbina de que la salida de la turbina se encuentra a la salida del rodete. Rendimiento volumétrico 1.Calcular.

Rpm. Altura neta. Altura útil. Rendimiento hidráulico y rendimiento total. Caudal. Potencia interna. Potencia al freno.

Mediante la siguiente ecuación podemos despejar N,

u=

Donde;u= velocidad periférica o velocidad absoluta del álabed= diámetro del rodete


N= rpm

Despejamos N,

N=

Conocemos d1=0,45=45cm sustituimos en la ecuación de N y dejamos todo en función de u1,

N=

Pongamos los lados de ambos triángulos de velocidad en función de c1m:

u1=c1u+w1u= =c1m =2,3335c1m

c1m= =2,2460c1m

Donde;



= ancho del rodete

= ancho del rodete




u2= =1,5557 c1m

m= = c1m=0,9857

c2u=u2-w2u=u2- =0,1516c1m

C2= =0,9973c1m

H= - Ec(5)

Por otra parte,

H=Hu+ =Hu+6

Hu= = c1m2= 0,5583 c1m2 Ec(6)







H=0,5583 +6 Ec(7)

Igualando 5 y 7 y despejando c1m se obtiene:54,2039-0,0507c1m2=0.5583 c1m2+6

C1m= = 8,8968 m/s Ecuación(8)

u1=20,7607 m/sN=881,1041 m/s


Calculo de la altura neta (H),De la ecuació 5 y teniendo en cuenta la (8) se deduce:El valor de c1m encontrado se sustituye en,

m= = c1m=0,9857

c2u=u2-w2u=u2- =0,1516c1m

De esta manera encontramos m y c2u, luego por Pitágoras encontramos c2 que

sustituyendo en la siguiente ecuación nos arroja el valor de H,

H= - Ec(5)

H=50,1911m De la misma manera encontramos Hu a través de la ecuación,

Hu= = c1m2= 0,5583 c1m2 Ec(6)

Hu=44,1911 mCálculo de rendimiento hidráulico y total,

ηh= = =0,8805


=altura teórica

ntot= nh. nm=0,8276Calculo de caudal,

Q= τ π = (0,92). π. (0,45). (0,05) .(8,8968) =0,5786m3/s

Q=caudal


= ancho del rodete





Calculo de potencia interna,

Pi=Q Hu= 0,5786. 1000. 9,81. 44,1911 =250,831 kW

Donde;Q= caudal

=potencia interna


= Altura teórica

Calculo de potencia al frenoPa=Pi.nm=235,782kW

2.19.- Una pequeña turbina hidráulica de eje vertical de reacción tiene las siguientes dimensiones: diámetro de entrada del rodete 630mm, diámetro de salida 390mm, ancho a la entrada 95mm, ancho a la salida 100, α1=8°, β2=70°. Un manómetro situado detrás de la válvula de admisión de la turbina marca una presión equivalente a 25 m de columna de agua estando la turbina en funcionamiento. Cotas: entrada en la turbina y salida del rodete a la misma cota 4m y por encima del nivel inferior del salto. Se despreciará la energía cinética del agua en la tubería forzada. El coeficiente de obstrucción de los álabes a la entrada de rodete es de 0,85 y a la salida del mismo aproximadamente igual a 1. Rendimiento hidráulico=89%, mecánico=92%, volumétrico=1. La salida del rodete se supondrá sin circulación (c2u=0), las pérdidas desde la entrada en la turbina a la salida del rodete son iguales a 5 c2m2/2g.

Calcular. Altura neta Número de revoluciones Caudal Potencia útil Número específico de revoluciones Perdidas en el tubo de aspiración (incluyendo las de salida del mismo) % de altura útil que se perdería si se quitara el tubo de aspiración, suponiendo

que la energía del agua a la entrada del rodete permaneciera constante en ambos casos, así como la energía cinética a la salida del rodete y a la fricción en el mismo.

Cálculo de altura neta

H=


=0

H=

=25m y Ze=4m

H=29m

Calculo de número de revoluciones

Ctgα1=

Ctgβ1=

Ctgα1+ Ctgβ1=

=

=u1- = u1- Ctgβ1 = u1-- = u1

Hu= = = =0,0970

Por otra parte


Hu=H.nh=29. 0,89 =25,81Debido a que el rendimiento hidráulico es igual a 1, H=Hu

Hu=0,0970 consegimos u1

u1=16.314 m/s

Ahora procedemos a calcular N de la ecuación de u1,

U1=

Donde;u= velocidad periférica o velocidad absoluta del álabed1= diámetro del rodete a la entrada.N= rpm

Despejando N(rpm) se obtiene la siguiente ecuación;

N=

Recordemos que diámetro a la entrada es 630mm=0,63mN=494,6rpm

Calculo del caudal,

=

= 0 =2,181 m/s

Q= τ π =0,85. π. 0,630 . 0,095. =0,3845 m/s

Q=caudal


= ancho del rodete

= Componente meridional de la velocidad absoluta del fluido a la entrada



Calculo de potencia útilntot=nh. nm = 0,82. 0,92 = 0,8188


Pa=Q.γ.H.ntot= 0,3486. 1000. 9,81. 29. 0,8188= 81183 W=81,183 W

Calculo de número específico de revoluciones

Donde;


= rpm

=rendimiento total

= caudal

H= altura neta

ns= =78,03

Cálculo de pérdidas en el tubo de aspiración,Hr-int=H-Hu=29-25,81 =3,19 mHr-int=HrE-2+Hra

HrE-2=5

= = 2,845 m/s

HrE-2=5 =2,062 m

Hra=1,128 m

Calculo de pérdida de altura útil en % sin tubo de aspiraciónSe HR la altura correspondiente a la energía total a la entrada del rodete y HrR las perdidas en el mismo. Escribamos la ecuación generalizada de Bernoulli entre la entrada y salida del rodete:

Con tubo de aspiración,

HR- HrR-Hu=

Sin tubo de aspiración


HR- HrR-Hu=

(Sin tubo de aspiración = 0 )

Restando ordenadamente

Hu-Hu’=

(Ps presión a la salida con tubo de aspiración).Escribamos la ecuación de Bernoulli entre 2 y Z (nivel inferior de salto, NI) con tubo de aspiración:

-Hra=0

=0,4124 m

Luego

= Hra-Zs- = 1,126 -4 0,4128= -3,284 m

Por tanto

. 100 = 12,73%

Guia Didactica de Ejercicios Tema 5 Turbinas

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