Ken M

atsuda Oteíza

Universidad de La SerenaFacultad de CienciasDepartamento de Matemáticas

EJERCICIOS RESUELTOS DISTRIBUCIÓN NORMAL

Profesor: Ken Matsuda Oteíza

Objetivo:El propósito de esta guía es distinguir las características principales de la distribución probabilística continua más utilizada, la distribución normal, ya que ésta es el soporte para el proceso de inferencia que constituye la base de toda la Estadística (el proceso para llegar a conclusiones sobre las poblaciones basándose en evidencia muestral). El cálculo de valores Z y sus aplicaciones, y por último, la forma de empleo de la distribución normal para estimar probabilidades binomiales.

Instrucciones:

Desarrolle paso a paso cada uno de los ejercicios propuestos y compárelos con las respuestas que se entregan al final de cada ejercicio.

NOTA: Debe tener cuidado al observar la tabla, ya que algunas entregan el valor desde menos infinito al punto, y otras desde el punto hasta infinito

1) Determine el área situada debajo de la curva normal estándar que está a) a la izquierda de 0,94 Respuesta 0.8264b) a la derecha de -0,65 Respuesta 1-0.2578= 0.7422c) a la derecha de z= 1,76 Respuesta 1-0.9608= 0.0392d) a la izquierda de z = - 0,85 Respuesta 0.1977 e) entre z1 = 0,87 y z2= 1,28 Respuesta 0.8997- 0.8078 = 0.0919 f) entre z1= - 0,34 y z2= 0,62 Respuesta 0.7324 - 0.3669 = 0.3655

2) Si z es una variable normal estándar hallar:

a) P(z < 2,23)b) P(z < 3,48) c) P(z < -1,76)d) P(z > 2,45)e) P(z > 3,23)f) P(z > -3,07)g) P(1,13 < z < 2,69)h) P (-0,86 < z < 1,28)i) P (-2,98 < z < -1,32)

Solucionesa) P (z < 2,23) = 0.9871 b) P(z < 3,48)= 0.9997 c) P(z < -1,76) = 0.0392 d) P(z > 2,45) = 1- 0.9929=0.0071 e) P(z > 3,23) = 1-0.9994 = 0.0006 f) P(z > -3,07) = 0.9988 g) P(1,13 < z < 2,69) = 0.9964 - 0.8708= 0.1256 h) P (-0,86 < z < 1,28) = 0.8997 - 0.1949 = 0.7048 i) P (-2,98 < z < -1,32) = 0.0934 - 0.0014 = 0.0920

3) Si x es una variable normal con media 8,47 y desviación típica igual a 1,15 hallar:a) P (x < 9,12)b) P (x < 12,34)c) P (x < 6,42)d) P(x>10,53)e) P (x > 12,62)

Solucionesa) 0.7157b) 0.9996, c) 0.0375d) 1-0.9633 = 0.0367,

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f) P(x > 4,01)g) P(6,12 < x < 11,92)h) P ( 5,06 < x < 6,84)

e) 0, f) 0 g) 0.9987 - 0.0207 = 0.9780,h) 0.0793 - 0.0015 = 0.0778

4) Determine las probabilidades de que una variable aleatoria tome un valor entre 12 y 15 si sigue una distribución normal a) con media 10 y desviación típica 5 b) con media 20 y desviación típica 10

a) 0.8413 - 0.6554 = 0.1859 b) 0.3085 - 0.2119 = 0.0966

5) Se han utilizado dos tipos de pruebas, A y B, para medir los conocimientos sobre cierta materia en una misma población. Los resultados en ambas tienen distribución Normal. La prueba A tiene como media 78,3 y como desviación típica 4,2. La prueba B tiene 85,1 de media y 3,2 de desviación típica. Una persona ha obtenido 83,1 en la prueba A y otra ha obtenido 87,5 en la prueba B. ¿Cuál de las dos se encuentra en mejor posición? ¿Por qué? Solución

La persona de la prueba A está en mejor posición que la de la prueba B. Porque P (A<83.1) = P(Za < 4.8/4.2) ) P(Za < 1.14) = 0.8729 P (B<87.5) = P(Zb < 2.4/3.2) ) P(Zb < 0.75) = 0.7734

6 ) Hallar el valor “a”de la variable normal tipificada z tal que a) P (z < a ) = 0,2033b) P (z < a ) = 0,7734 c) P (z > a ) = 0,9222d) P (z > a ) = 0,0314

Solucióna) P (z < a ) = 0,2033 a = -0.83 b) P (z < a ) = 0,7734 a = 0.75 c) P (z > a ) = 0,9222 P (z < a ) = 1- P (z > a ) = 1-0.9222= 0.0778, a=-1.42 d) P (z > a ) = 0,0314 P (z > a ) = 1-0.0314 = 0.9686, a= 1.86

7 ) Si x es una variable con distribución N(4,3 ; 1,2), hallar el valor de “a” tal que:a) P (x > a ) = 0, 2981 b ) P (x > a ) = 0,5871 c) P (x < a ) = 0,7389 d ) P (x < a ) = 0,6179 Solucióna) P(x > a ) = 0, 2981 a) P(x<a)=1-0,2981=0.7019 (a-4.3)=1.2x0.53=0.636 a=4.3+0.636=4.936 b ) P (x > a ) = 0,5871 a= 4.036c) P (x < a ) = 0,7389 a= 5.068 d) P (x < a ) = 0,6179 a= 4.66

8) El peso de los atletas de pruebas de medio fondo sigue una distribución normal con media 64,3 y desviación típica 2,3 Kgs. Hallar un intervalo centrado alrededor de la media que contenga:

a) el 68,3% de la población. B) el 95,5 % c) el 99,7 % Solución: a) (64.3 -2.3, 64.3 + 2.3) = (62 , 66.6) b) (64.3 - 4.6 , 64.3 + 4.6)c) (64.3 - 6.9 , 64.3 + 6.9)

9) En un curso de estadística formado por 200 estudiantes, las notas se distribuyen normalmente con una media de 30 (sobre 50) y una s=10.

a) ¿Qué tanto por ciento de los estudiantes ha obtenido una nota igual o superior a 10?

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b) ¿Cuál es la probabilidad de que la nota de un alumno elegido al azar esté comprendida entre 30 y 40?

c) ¿Qué porcentaje de alumnos ha suspendido? d) ¿Cuántos alumnos han suspendido? e) ¿Qué puntuación mínima hay que obtener para estar incluido/a en el 25%Solución a) 98%; b) 0.3643 c) 31% ; d) 62 ; e) 36.75

10) En un estudio sobre el comportamiento agresivo de ratones machos que son devueltos al grupo tras cuatro semanas de aislamiento se encontró una media de 18,6 peleas en los 5 primeros minutos y una desviación típica de 3,3 peleas. Si se supone que esta variable se distribuye normalmente según esa media y D.T. ¿Cuál sería la probabilidad de que el ratón intervenga en al menos 15 peleas en los cinco primeros minutos? Solución 1- 0.1379 = 0.8621

11) En un examen las calificaciones se distribuyen según una normal de media 66,5 y desviación típica 12,6. ¿Qué porcentaje de las puntuaciones superará el 74? Solución 28%

12) Una persona viaja frecuentemente de Madrid a Alicante y sabe que el tiempo que tarda se distribuye según una N(4.3 , 0.2 ). Calcular las probabilidades de que el viaje le dura

a) más de 4.5 horas b) menos de 4 horas Soluciones: a) 16% , b) 93%

Otros problemas (Las soluciones al final)

1. La empresa Ball-Bearing, Inc. produce cojinetes de bolas en forma automática en una máquina Kronar BBX. Para uno de tales rodamientos, la media aritmética del diámetro se determina como 20,00 mm. La desviación estándar de la producción durante un largo período se calcula como 0,150 mm.

a) ¿Qué porcentaje de los cojinetes tendrá diámetros entre 20,00 mm y 20,27 mm?b) ¿Qué porcentaje de tales elementos tendrá diámetros de 20,27 mm o más?c) ¿Qué porcentaje de los cojinetes tendrá diámetros entre 19,85 mm y 20,30 mm?d) ¿y qué porcentaje de ellos tendrá un diámetro de 19,91 mm o menos?

2. Un estudio reciente de los sueldos por hora de tripulaciones de mantenimiento para aerolíneas importantes mostró que el salario medio por hora era de $16,50 (dólares), con una desviación estándar de $3,50. Si se selecciona al azar un elemento de la tripulación, ¿cuál es la probabilidad de que gane:

a) entre $16,50 y $20,00 por hora?b) más de $20,00 por hora?c) menos de $15,00 por hora?

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3. A los empleados de la empresa Machaza S. A. se les otorgan puntuaciones por eficiencia. La distribución de éstas sigue, aproximadamente, una distribución normal. La media es 400, y la desviación estándar, 50

a) ¿Cuánto vale el área bajo la curva normal entre 400 y 482?b) ¿Cuánto vale el área bajo la citada curva para puntuaciones mayores que 482? c) Muestre los aspectos de este problema en un diagrama.

4. Con relación a nuestro ejercicio hecho en clases donde la media del ingreso semanal es de $1000 y la desviación estándar es de $100:

a) ¿Qué porcentaje de los ejecutivos tienen un ingreso semanal entre $750 y $1225? Elabore una curva normal y sombree el área deseada en el diagrama.

b) ¿Qué porcentaje de dichos directivos tienen un ingreso por semana entre $1100 y $1225? Elabore una curva normal y sombree el área en cuestión en el diagrama.

5. Un análisis de las calificaciones finales obtenidas en una prueba de un seminario de programas de computación, reveló que seguían, aproximadamente, una curva normal, con media de 75 y desviación estándar de 8. El profesor desea otorgar una calificación de A al 10% superior de las evaluaciones en la prueba. ¿Cuál es el punto divisorio entre las calificaciones A y B?

6. Una población normal tiene una media de 50,0 y una desviación estándar de 4,0.

a) Calcule la probabilidad de un valor entre 44,0 y 55,0.b) Evalúe la probabilidad de uno mayor que 55,0c) Obtenga la probabilidad de uno entre 52,0 y 55,0.d) Determine el valor de x abajo del cual ocurrirá el 95% de los valores.

7. Una máquina expendedora de refresco se ajusta para servir 7,00 oz (onzas) del líquido por vaso. La desviación estándar es de 0,10 oz. ¿Cuál es la probabilidad de que la máquina sirva:

a) entre 7,10 y 7,25 onzas de refresco?b) 7,25 oz o más?c) Entre 6,8 y 7,25 onzas?d) ¿Cuánto refresco se sirve en el máximo 1% de las bebidas?

8. Las cantidades de dinero en solicitudes de préstamo para casas que recibe el Banco del Estado, están aproximadamente distribuidas en forma normal con una media de $70.000 (dólares) y una desviación estándar de $20.000. una solicitud de préstamo se recibió esta mañana. ¿Cuál es la probabilidad de que:

a) la cantidad solicitada sea de $80.000 o más?b) El monto solicitado esté entre $65.000 y $80.000?c) El valor solicitado sea de $65.000 o más?d) 20% de los préstamos sean mayores que cuál cantidad?

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9. Un estudio realizado por la Compañía Aseguradora Magallanes reveló que los propietariosno recuperaron los bienes robados, en 80% de los hurtos reportados a la aseguradora.

a) Durante cierto tiempo en el que ocurrieron los 200 robos, ¿cuál es la probabilidad que no se recuperen los bienes objeto de hurto en 170 o más de los actos de latrocinio?

b) En un período en el que sucedieron 200 robos, ¿cuál es la probabilidad de que no se recuperen los bienes hurtados en 150 o más de los delitos?

10. Supóngase que X tiene una distribución probabilística binomial, con 50n y 25,0p . Calcule lo siguiente:

a) La media y la desviación estándar de la variable aleatoria.b) La probabilidad de que X valga 15 o más.c) La de que X valga 10 o menos.

11. Un estudio realizado por un club de acondicionamiento físico, reveló que el 30% de sus nuevossocios tienen un sobrepeso considerable. Una promoción por carta en el área metropolitana dio como resultado la inscripción de 500 nuevos integrantes.

a) Se ha planteado utilizar la aproximación normal a la binomial para determinar la probabilidad de que 175 o más de los nuevos miembros tengan un sobrepeso de consideración. ¿Se calificaría a este problema como uno del tipo binomial? Explique su respuesta.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que 175 o más de los nuevos socios tengan sobrepeso?c) ¿Cuál es la de que 140 o más de los miembros recientes tengan sobrepeso considerable?

RESPUESTAS

1. a) 46,41%b) 3,59%c) 81,85%d) 27,43%

7. a) 0,1525b) 0,0062c) 0,9710d) 7,233

2. a) 0,3413b) 0,1587c) 0,3336

8. a) 0,3085b) 0,2902c) 0,5987d) 86.800

3. a) 0,4495b) 0,0505

9. a) 0,0465b) 0,9686

4. a) 98,16%b) 14,65%

10. a) 12,5 y 3,0619b) 0,2578c) 0,2578

5. 85,24 11. a) Sib) 0,0084

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c) 0,84166. a) 0,8276

b) 0,1056c) 0,2029d) 56,60

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