Guía Ejercicios Resueltos Hidrodinámica (Caudal y Bernoulli)

Colegio San Mateo Refuerzo: Física General Esteban A. Rodríguez M.

Guía de Ejercicios Resueltos

Física General “Hidrodinámica”

Los ejercicios explicados en este documento son base para la prueba, la mayoría de ellos son

copiados desde el libro.

Aquí se detalla el procedimiento en detalle para llegar al resultado requerido.

1. El agua al interior de una manguera se comporta aproximadamente como un fluido

ideal. Consideremos una manguera de 2 cm de diámetro interno, por la que fluye

agua a 0.5 m/s.

a) ¿Cuál es el gasto de agua que sale de la manguera?

Datos

v1 = 0.5 m/s

d1 = 2 cm

Q = x m3/s

El gasto (volumen de agua por segundo) se traduce matemáticamente como:

1 1·Q A v

Como es el producto del área por la velocidad, y una manguera tiene una

forma circular en su interior, utilizaremos el área de una circunferencia, y

nuestra ecuación quedaría así: 2

1 1· ·Q r v

Como poseemos el diámetro de la manguera que está en centímetros,

debemos calcular su radio y pasarlo a metros de la siguiente manera:

2

2

dr

r2

cm

1r cm

Efectuando la transformación:

1 0.01

0.01

cm m

r m


Y finalmente para calcular el gasto volvemos a nuestra ecuación:

2

1 1· ·Q r v

Ahora tan solo reemplazamos los datos

2

34

·(0.01 ) ·0.5

1,57·10

mQ m

s

mQ

s

2. Un recipiente para guardar agua, abierto a la atmósfera por su parte superior, tiene

un pequeño orificio en la parte inferior, a 6 m por debajo de la superficie del líquido.

(a) ¿Con qué rapidez sale agua por el orificio? (b) Si el área del orificio 1.3 cm2, ¿cuál

es el gasto de agua que sale por el recipiente?

Datos(a)

Altura del recipiente = X m

Altura debajo del extremo del recipiente = 6 m

Presión = Atmosférica = 10125 Pa

Esta clase de ejercicios requieren de mayor trabajo algebraico más que nada, y

como relaciona presiones, y alturas podremos utilizar la Ecuación de Bernoulli,

que relaciona este tipo de variables, que es la siguiente: 2 21 2

1 1 2 22 2

dv dvP dgh P dgh

Antes de realizar cualquier reemplazo es preciso (y así es por lo general), se

trabajan con las letras para llegar a la expresión más simple posible de manera

que sólo trabajaremos con letras inicialmente. 2 21 2

1 1 2 2 /2 2

dv dvP dgh P dgh P

Como el fluido está expuesto a exactamente la misma presión (P1 = P2)

podemos eliminar las presiones restando, reduciendo la expresión a lo

siguiente: 2 21 2

1 22 2

dv dvdgh dgh

Podemos factorizar por la densidad del fluido (que como se trata del mismo

fluido es la misma también), quedando la expresión como: 2 21 2

1 2( ) ( )2 2

v vd gh d gh

Y esa densidad dividirla en ambos lados para eliminarla definitivamente:


2 21 2

1 22 2

v vgh gh

Amplificamos por 2 para eliminar las fracciones y nuestra expresión quedará

así: 2 2

1 1 2 22 2gh v gh v

Ahora tenemos una expresión mucho más simplificada, pero hay que razonar

ciertos datos, como por ejemplo la velocidad inicial de nuestro fluido. Si el

fluido está dentro de un contenedor, éste estará en reposo, y por lo tanto su

velocidad inicial será cero, quedando la expresión más reducida aún:

21 12gh v 2

2 22gh v

21 2 22 2gh gh v

Ahora viene el procedimiento clave, que es despejar definitivamente la

velocidad al salir del recipiente, pero tenemos el inconveniente de que no

sabemos la altura inicial, por lo tanto modificaremos un poco la ecuación bajo

el siguiente razonamiento:

De esta forma podríamos decir que la altura efectiva que ese encuentra el orificio

es a (x-6) metros. Por ende nuestra altura inicial sería X y nuestra altura del orificio

es (x-6) metros, donde modificaríamos la expresión para que quede de la siguiente

forma:

21 1 22 2 ( 6)gh g h v

Multiplicamos las expresiones para llegar a lo siguiente:

21 1 22 2 12gh gh g v

Ahora podemos restar nuestra expresión 2gh1 en ambos lados para anularla,

hacemos el trabajo algebraico correspondiente y nos quedará que:

X metros

6 metros


21 1 2

1

2 2 ( 6)

2

gh g h v

gh 12gh 22

22

2

12 / 12

12 /

12

g v g

g v

g v

Ahora que tenemos esa expresión bastará reemplazar la gravedad por su valor y

obtener el resultado final de la expresión:

2

2

12·9.8

10.8

v

mv

s

Para calcular lo referente a la pregunta b, ahora que tenemos la velocidad de

salida es mucho más fácil para ello contamos con lo siguiente:

Datos

v = 10.8 m/s

Á = 1.3 cm2

Q = x

Lo primero será transformar el área a metros, porque se encuentra en

centímetros, de esta forma llegamos a la siguiente equivalencia:

2 2

2 2

1 0.0001

1.3 1.3·0.0001

cm m

cm m

Y para nuestra definición de caudal, o gasto que es:

·Q A v

Reemplazamos y tenemos que

21.3·0.0001 ·10.8m

Q ms

331.4·10

mQ

s


3. El agua fluye con un gasto de 6 m3/min, a través de una pequeña abertura en el

fondo de un gran tanque cilíndrico, que está abierto a la atmósfera en la parte

superior. El agua del tanque tiene 10 m de profundidad. (a) ¿Con qué rapidez sale el

chorro de agua por la abertura? (b) ¿Cuál sería el gasto de agua de la fuga de agua, si

se aplica una presión adicional equivalente a ¾ de la presión atmosférica?

Datos (a)

Q = 6 m3/min

P1 = Atmosférica

P2 = Atmosférica

h1 = x m

v1 = 0 m/s

v2 = x m/s

h2 =(x-10) m

Analicemos los datos. Según el enunciado, se dice que el fluido está sometido a la

presión atmosférica, es decir ni una fuerza externa actúa sobre este fluido ni cuando

cae desde el agujero. Por ende la presión en ambos lados es la de la atmósfera (10135

Pa).

Como el fluido está en un estanque, éste se encuentra quieto, por lo tanto su

velocidad inicial es 0 m/s.

Ahora por el tema de las alturas, tenemos un problema similar al del problema

anterior. No sabemos la altura inicial, por ende quedaría algo como esto:

Es decir, nuestra altura que no conocemos (h1), y nuestra altura que sabemos que está

bajo la superficie del fluido es decir (h1-h3), a esta altura (10 m), le denominaremos h3,

para que cuando trabajemos algebraicamente no utilicemos números en un principio.

X metros

10 metros


Para empezar, iremos a la ecuación general de la hidrodinámica, es decir, la

ecuación de Bernoulli.

2 21 2

1 1 2 22 2

dv dvP dgh P dgh

Como deducimos anteriormente, la presión es igual y podemos anularla con

una resta:

2 21 2

1 1 2 2 /2 2

dv dvP dgh P dgh P

2 21 2

1 22 2

dv dvdgh dgh

Podemos factorizar las densidades, y dividirlas para eliminarlas

definitivamente:

2 21 2

1 2( ) ( )/ :2 2

v vd gh d gh d

2 21 2

1 22 2

v vgh gh

Como dijimos que nuestra velocidad inicial era 0 m/s, eliminaremos el término

v21.

22

1 22

vgh gh

Amplificando por dos para eliminar las fracciones:

21 2 22 2gh gh v

Ahora dedujimos que nuestra h2 estaba definida como (h1-h3). Reemplazando

en la ecuación quedaría así:

21 1 3 2

1

2 2 ( )

2

gh g h h v

gh 12gh 23 2 1

23 2 3

23 2

3 2

2 / 2

0 2 / 2

2 /

2

gh v gh

gh v gh

gh v

gh v

Tan solo resta reemplazar:


2

2

2·9.8·10

14

v

mv

s

Para entender lo que dice la pregunta B hay que tener en cuenta lo siguiente:

(b) ¿Cuál sería el gasto de agua de la fuga de agua, si se aplica una presión

adicional equivalente a ¾ de la presión atmosférica?

Evidentemente, a un fluido no le podremos aplicar una presión extra al

momento de la salida del recipiente, por ende se le aplica al momento de estar

en el recipiente. Es lógico que el fluido en esta ocasión salga más rápido, tal

como vemos por ejemplo en una jeringa que cuando oprimimos el émbolo sale

más agua a mayor velocidad.

Para empezar consignaremos los datos:

Datos

Q = 6 m3/min => 0.1 m3/s

P1 = P1 + ¾ P1 = 7/4 P1

d = 1000 kg/m3

h1 = x m

h2 = (h1-h3)

g = 9.8 m/s2

Para empezar, utilizaremos la ecuación general para los fluidos, es decir, una

vez más recurriremos a la Ecuación de Bernoulli.

2 21 2

1 1 2 22 2

dv dvP dgh P dgh

Esta vez, no podremos eliminar las presiones, la razón es que las presiones son

distintas en cada lugar, por ende no se cancelan.

La consideración en cuanto a la velocidad inicial, es que al estar en el

recipiente no hay velocidad inicial, quedando la expresión así:

21

1 12

dvP dgh

22

2 2

22

1 1 2 2

2

2

dvP dgh

dvP dgh P dgh


Con los datos que obtuvimos en la pregunta anterior (A), llegamos a la

conclusión de que la altura 2, estaba definida por (h1-h3). Reemplazaremos en

nuestra ecuación.

22

1 1 2 1 3

1 1

( )2

dvP dgh P dg h h

P dgh 2 1P dgh22

3 1/ 22

dvdgh gh

Cancelamos nuestras alturas tal como lo hicimos en el problema anterior, y la

expresión queda de la siguiente forma:

22

1 2 32

dvP P dgh

Haremos el trabajo pertinente para llegar a despejar la velocidad final:

22

1 2 3

21 2 3 2 2 3

21 2 3 2

21 2 32

1 2 32

/·22

2 2 2 / 2 2

2 2 2 / :

2 2 2/

2 2 2

dvP P dgh

P P dgh dv P dgh

P P dgh dv d

P P dghv

d

P P dghv

d

Ahora reemplazamos nuestros datos en la ecuación resultante:

3 2

2

3

72· ·101325 2·101325 2·1000 ·9.8 ·10

4

1000

kg mPa Pa m

m s vkg

m

218.65m

vs

Ahora poseemos la velocidad, pero necesitamos el gasto que esta realiza.

Sabemos que el caudal, gasto o flujo también llamado, es el producto del área

y la velocidad, pero desconocemos el área.


Para resolver este problema, habíamos obtenido en un principio, que la

velocidad expuesta a presión atmosférica era de 14 m/s en la pregunta A, y

que el caudal que tenía era 0.1 m3/s. Como el área es la misma pero la

velocidad es distinta primero despejaremos el área que necesitamos.

· / :Q A v v

QA

v

Reemplazando:

3

3

0.1

14

7.14·10

m

s Am

s

m A

Ahora que poseemos nuestra área, estamos en condiciones de calcular el

caudal que hace nuestra velocidad con presión modificada, como dice el

enunciado de nuestro problema.

3 2

3

·

7.14·10 ·18.65

0.1332

Q A v

mQ m

s

mQ

s

Y ahí tenemos nuestro caudal, en el solucionario del libro, este sale expresado

como m3/min, para llegar a esta unidad de medida tan solo amplificamos por

60 segundos quedando la expresión así:

3

3

3 3

600.1332 /·

60

0.1332·60

60

7.99 8

1min min

mQ

s

mQ

s

m mQ


Consejos Útiles

Para realizar los ejercicios de física, normalmente se exige de una mayor

comprensión de la lógica del problema para poder emplear la ecuación

correspondiente, una sola fórmula puede derivar en muchas más, en ese

sentido memorizar una y otra ecuación carece de sentido.

Los ejercicios en un inicio deben ser trabajados literalmente, de esa forma

cometemos menos errores a la hora de despejar números, y las

expresiones se hacen más amigables. Este método es realmente útil para

simplificar las expresiones y para cuando tenemos más de una incógnita

en una misma ecuación, que por lo general se van cancelando mientras

transcurre el trabajo, además podemos mejorar el trabajo algebraico que

necesita entrenamiento. Al final todo este procedimiento, es habitual

reemplazar todos los datos y operar de manera fácil y segura.

Habitualmente los ejercicios requieren de diagramas y dibujos, esto ayuda

mucho a la hora de razonar lógicamente.

La recomendación es siempre trabajar con las unidades del Sistema

Internacional de Medida, dado que la mayoría de las ecuaciones trabajan

en esta especie de “lenguaje” para las unidades.

Por sobretodo, saber que la física no es tan solo una cuestión que sea

netamente de matemáticas. Las matemáticas en la física son el auxiliar, el

lenguaje en que podemos traducir la lógica, pero todo nace desde las

deducciones e inferencias para empezar el trabajo.

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