COMPENDIODECIENCIAS3 ERAODESECUNDARI AINSTITUCINEDUCATIVAPRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZA.05295375103129155199COMPENDIODECIENCIASPg.3ER AO DE SECUNDARI AII - BIMESTRE3 ERAODESECUNDARI ARAZ. MATEMTICOII BIMESTRESUCESI ONESANALOG AS Y DI STRI BUCI ONESUSO DE LA SI GMACONTEO DE FI GURASOPERACI ONES MATEMTI CAS ARBI TRARI ASCRI PTOGRAMASPg.71115182125....- 7 -II BIMESTREINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASRAZONAMIENTO MATEMTICOSUCESIONESQu es sucesin?Una sucesi n esun conjunto ordenado de el ementos(pueden ser nmeros, letras, fi guras o una combinacin de los anteriores casos), y que cada uno ocupa un lugar establecido de modo que, gracias a este orden, se puede distinguir el primero, el segundo, el tercero y as sucesivamente, acorde con una ley de formacin, criterio de orden o frmula de recurrencia. A los elementos de este orden se les denomina trminos de la sucesin.*4; 7; 10; 13; ... es una sucesin numrica y est constituida de modoquecadael ementoes obtenido al aadir 3 unidades al el emento anteri or, a partir del segundo elemento.*B; D; F; H; ... es una sucesin literal donde cada trmino que sigue se obtiene considerando elorden que la letra ocupa en el alfabeto, dejando un lugar y tambin la siguiente letra.Ejemplos:*1;5; 9;13 ;... es una sucesin grafonumrica, donde cada elemento est constituido por una figura y un nmero.En elpresente captulo analizaremos las sucesiones numricas y literales.A continuacin mostramos algunas sucesiones importantes:Nombre Sucesin Regla de formacinDe los nmeros naturalesDe los nmeros paresDe los nmeros imparesDe los nmeros triangularesDe los nmeros tetradricosDe los nmeros pentagonalesDe los nmeros hexagonalesDe los nmeros cuadradosDe los cubos perfectosDe los nmeros primos1;2;3;4;5;...2;4;6;8;10;...1;3;5;7;9;...1;3;6;10;15;21;...1;4;10;20;35;...1;5;12;22;...1;6;15;28;...1;4;9;16;25;...1;8;27;64;125;...2;3;5;7;11;13;...tn= ntn= 2ntn =2n-1tn =2n+ 1tn=n (n +1)2tn=n (n+ 1) (n+ 2)6tn=n (3n - 1)2tn= n (2n-1)tn= n2tn= n3-Sucesiones numricas notables y especiales- 8 - 3ER AO DE SECUNDARIAINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASRAZONAMIENTO MATEMTICO+3Una sucesin numrica es un conjunto ordenado de elementos numricos, en el cual cada uno de ellos tiene un orden designado, es decir, a cada uno le corresponde un nmero ordinal, de tal manera que pueda distinguirse a uno como el primero, otro como el segundo, otro como el tercero y as sucesivamente de acuerdo a cierta ley de formacin.A.Sucesin AritmticaEs una sucesin numrica en la cual se fija el primer trmino, y cada trmino siguiente, a partir del segundo, se obtiene sumando el anterior un mismo nmero llamado diferencia comn o razn de la progresin aritmtica.2; 5;8;11;...+ 3 + 3 + 324 ; 20 ; 16;12;...- 4 -4 -4B.Sucesin GeomtricaEs una sucesin numrica en la cual se fija el primer trmino diferente de cero y cada trmino siguiente, a partir del segundo, se obtiene multiplicando el anterior por un mismo nmero diferente de cero, llamado razn de la progresin geomtrica.2; 6;18 ;54;... 3 3 324 ; 12 ;6 ;3;...121212C.Sucesin CombinadaEs aquella que combina las reglas de formacin de las sucesiones aritmticas y geomtricas.5; 10 ;13 ;52;57; S2 +3 410 ; 30 ;25;75; 70;M; N+5 6S=3423 -5 3 -5 3 -5M=210 N=205D. Sucesin AlternadaCuando los nmeros pertenecen a dos o ms series que, al escribirse juntas, aparentanformar una sol asecuenci aquesehace incoherente.2; 10 ; 5 ;8 ;8; 6 ; 11 ;4 ;A ;B+3 +3 +3-2 -2 -2 -2A = 14 B = 234;81; 12; 27; 36;9;C ;D3 33C = 108 D = 33 3Una sucesin literal es un conjunto ordenado de letras de acuerdo a un determinado criterio. Estos criterios son diversos y los ms considerados son:a)Lugar que ocupa la letra en el alfabeto.b)Iniciales de palabras conocidas.c)Formacin de palabras.SUCESIONES NUMRICASEjemplos:Ejemplos:SUCESIONES LITERALESGeneralmentre al elaborar las preguntas sobre sucesiones literales no se consideran las letras: CH; LL y RR. Por este motivo, al resolver los ejercicios dados no se toman en cuenta dichas letras, a no ser que se indique lo contrario.ObservacinEjemplos:1)2)1)2)a)b)- 9 -II BIMESTREINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASRAZONAMIENTO MATEMTICO* Qu letra contina?F, H, J, L, N, ...Es una sucesin literal, veamos:F;G; H; I ;J;K;L; M;N ;; OF; H ;J ;L; N; ...Observacin: No hemos considerado la letra "LL".Respuesta: ResolucinLa letra "O"*Qu letra contina?M,V,T,M,...Si tratamos de resolver el problema por el criterio (a) (lugar que ocupa la letra en el alfabeto), no encontramos coherencia. Sin embargo, podemos ver que las l etras son i nicial es de palabras.M,V,T,M,...EEIARNERCURTUSRERA IOResolucinEs un nmero que, asociado a la unidad, ha sido muy recurrente en l a Bibli a. Moi ss pas 40 das y 40 noches en el Monte Sinai. Jesucristo pas 40 das de penitencia en el desierto. El Diluvio Universal dur 40 das. Los grandes reyes judos Salomn y David reinaron 40 aos, los mismos que el pueblo judo estuvo errante en el desierto.El nmero 401)1 ; 5 ; 12 ; 21 ; 31 ; ...a) 39b) 43c) 41d) 42e) 385)5; 5; 6; 7; 8; 10; 11; 14; ...a) 15b) 14c) 19d) 17e) 18I.Encada caso, encuentrael nmero que contina.2)2 ; 5 ; 20 ; 56 ; 104 ; 173; ...a) 253b) 254c) 252d) 250e) 2553)1 ; 2 ; 4 ; 16 ; 192 ; ...a) 9218b) 9214c) 9215d) 9216e) 92204)3 ; 4 ; 6 ; 11 ; 21 ; 34;...a) 58b) 56c) 64d) 60e) 62 6)A ; D ; H ; M ; R; ...a) Wb) Yc) Xd) Ze) V 7)A ; D ; G ; K ; ; S ; ...a) Yb) Wc) Vd) Xe) Z 8)A ; B ; D ; H ;...a) Qb) Oc) Pd) e) RRespuesta: J(JPITER) 9)2 ; 7 ; 4 ; 14 ; 6 ; 28 ; x ; yHalla "x + y".a) 61b) 64c) 57d) 52e) N.A.10)12; 48; 9; 36; 6; 24; ...a) 3b) 60c) 23d) 6e) 8011)4 ; 3 ; 1 ; -2 ; ...a) -4b) -6c) -10d) -8e) -912)c ; p; e; r; g; t; i; ....a) tb) sc) vd) ue) z13)72; 36; 12; 6; 2; ...a) 2b) -1c) 1d) -2e) 1014)2M ; 5J ; 20V; 25S; ...a) 120Db) 150Dc) 35Pd) 150Re) N.A.15)2; 2; 6;2 2 ; ...a) 10b) 10c) 12d) 12e) 13- 10 - 3ER AO DE SECUNDARIAINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASRAZONAMIENTO MATEMTICOII.En cada caso, determina el nmero que contina. 1)1 ; 1 ; 3 ; 9 ; 13 ; ...a) 17b) 65c) 57d) 71e) N.A. 2)A ; E ; I ; M; ... a) Ob) Pc) Qd) Re) S 3)2 ; 8; 5; 20; 17; 68; 65; ...a) 260b) 310c) 150d) 145e) 185 4)MNO; MN; MNN; MN...a)S b) Oc) Md)Le) 5)t; q; o; n; k; i; h; ...a) fb) ec) gd) he) m 6)3M ; 6M ; 12L; 24D; ...a) 48Pb) 48Sc) 36Td) 48Qe) N.A. 7)3/2 ; 6/5 ; 12/8 ; 24/11 ; x/y ; ...halla "x + y".a) 50b) 46c) 62d) 53e) N.A. 8)4 ; 14/5 ; 16/7 ; 2 ; ...a) 21/11b) 23/11c) 20/9d) 20/11e) 21/10 9)Indicalas dos letras que continan en la siguiente sucesin:W; J; Q; ; M; R; I; U; ... ; ...a) F;Wb) F;Xc) E;Wd) E;Xe) N.A.10)En la siguiente sucesin, qu nmero sigue?0; 6; 24; 60; 120; ...a) 270b) 310c) 210d) 40e) 370- 11 -II BIMESTREINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASRAZONAMIENTO MATEMTICOANALOGAS Y DISTRIBUCIONESSon aquel l as di sposi ciones de nmeros colocados generalmente en filas y columnas, donde uno de ellos es dado de incgnita. Este nmero buscado se encuentra utilizando la rotacin existente entre los dems nmeros dados.En cada columna el ltimo nmero es el triple de la diferencia de los primeros. Entonces:1.a columna: 18 - 16 = 2 2 x 3 =62.a columna: 25- 20 =5 5 x 3 =153.a columna:4 - 3 =1 1 x 3 =31. Analogas NumricasComparaci n hori zontalentre relaciones numricas. Generalmente se relacionan los trminos extremos, para as hallar el centro.Ejemplo 1:*Qu nmero falta?6( 9 )34( 8 )47(...)2a) 6b) 7c) 11d) 14 e) 13Resolucin6(9)34(8)47(...)2extremos#central Encontraremos que:6 x 32= 94 x 42= 8Piden: 7 x 22= 7. Rpta.:bTambin la clave puede ser 9, ya que6 + 3 = 9 y4 + 4 = 8, pero en ninguna alternativa hay 9.ObservacinEjemplo 2:*Halla el nmero que falta en:14 (77) 1112 (72) 1210 (...)13a) 66b) 55c) 65d) 59e) 56ResolucinEncontraremos que:(14 x 11) 2 = 77(12 x 12) 2 = 72Piden:(10 x 13) 2 = 6514(77) 1112(72) 1210(...)13. Rpta.:cNotaEntre las mltiples operaciones que pueden explicar la relacin entre los extremos y el nmero central ,sersi empremejor aceptada la que implique los clculos ms simples y verosmiles, sin caer en operaciones rebuscadas o clculos extravagantes.2. Distribuciones NumricasEn este caso se consideran grupos denmerosdi stri bui dosenfi l as (horizontales) y columnas (verticales), pudiendo establecerse analogas entre filas como en el caso anterior; tambin entre columnas, sin que la incgnita sea necesariamente el nmero central. Por este motivo, las operaciones a realizarse alcanzan una mayor diversidad y exigen ms raciocinio.Ejemplo 3:*Qu nmero falta?1825416203615...a) 2b) 3c) 4d) 5 e) 8Resolucin. Rpta.:b- 12 - 3ER AO DE SECUNDARIAINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASRAZONAMIENTO MATEMTICOEjemplo 4:*Qu nmero falta?81751216...10119a) 3b) 4c) 0d) 2 e) 1ResolucinEn cada fila, la suma de los nmeros es constante:1.a fila:8 + 17 + 5=302.a fila: 10 + 11 + 9 = 303.a fila: 12 + 16 + x =30 x = 2a) N y Lb) S y Pc) P y Rd) M y P e) P y T*Qu letras faltan?AD OE??EL. Rpta.:d3. DistribucionesGrficasSon situaciones numricas donde se buscar alguna relacin operativa entre sus nmeros dispuestos en un determinado grfico.Ejemplo 5:a) 18b) 77c) 9d) 4 e) 8* Halla x en:8 256 12911 7xResolucinAnalizando las primeras figuras se deduce que:*8 + 22=5*6 +122=9Semi-sumax=11 + 72=9. Rpta.:cEjemplo 6:a) 38b) 45c) 41d) 39 e) 47* Qu nmero falta?6 27427 40668 ?78ResolucinEncontramos que:N. superior=doble de la diferen- cia entre basesPara cada figura:42 = (27 - 6) x 266 = (40 - 7) x 278 =(x - 8)x 2 x = 47. Rpta.:eEn estos casos no hay ningn mtodogener al par al a resolucin. Se puede decir que son adivinanzas numricas, es cuestin de imaginacin.Observacin4. Relaciones LiteralesSon distribuciones de letras.La idea esformar palabras o encontrar una relacin con el abecedario.pato(mata)macavaca (...)poroa) potab) pococ) pacod) poro e) pomo*Qu palabra falta?Ejemplo 7:Resolucinpato(mata) macavaca (paco)poro. Rpta.:cNotaNoseconsi der anl os significados de las palabras, ms bien, se observa y se busca con qu letras ha sido formada la palabra central.Ejemplo 8:ResolucinAnalizandotendremos:Las que faltansern:M y PD OEAMPEL. Rpta.:dRetoSetr atade un hombr ede 1,80 m de estatura que camina sobre el Ecuador terrestre y da as toda la vuelta a nuestro planeta. Qul ongi tud habr recorrido ms su cabeza que sus pies? Y si lo hace sobre elecuador de la Luna?- 13 -II BIMESTREINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASRAZONAMIENTO MATEMTICO1) 4( 5 )63( 6 )97( x )1a) 2b) 4c) 6d) 8e) 102) 101 ( 7 )203210 ( 6 )111102 ( x )221a) 12b) 10c) 8d) 6e) 183) 531642973xa) 20b) 18c) 24d) 22e) 264)Halla el valor de "x" en:2(72) 34(1600)55( x ) 8a) 8000b) 7000c) 4000d) 5000e) 60005)Halla el valor de "x" en:a) 15b) 14c) 13d) 7e) 9868 4 2573 8 1109x 7 5 6)Indica el nmero que falta en:a) 18b) 14c) 11d) 16e) 13x9 1107 288 46 5 4 3 2 46 x 10 7)Indica el nmero que falta en:a) 10b) 8c) 5d) 6e) 7 8)Indica el nmero que falta en:a) 45b) 47c) 50d) 53e) 426 7 5 6 3 415 33 xEncuentra los nmeros que faltan en los siguientes ejercicios:11)Encuentra el valor de "x".2421520133x0a) 2b) 3c) 5d) 7e) 8 9) 4( 12 )68( x )63( 28 )12a) 24b) 23c) 32d) 23e) 4210) 83( 6 )4127( x )3494( 4 )54a) 4b) 3c) 2d) 1e) 512)Indica el nmero que falta:a) 1b) 4c) 5d) 9e) 611 7818 6x1263x5 49 3202 36 283 14 213)Indica el nmero que falta:a) 54b) 52c) 24d) 10e) 5014)Indica el nmero que falta:a) 4b) 5c) 9d) 6e) 84 6 6 513 8938 4x59 5615)Halla x.a) 6b) 12c) 8d) 17e) 591512 13x125 165 5339 1) 85( 210 ) 12547( 90 )4360(x)35a) 95b) 75c) 85d) 59e) 58Encuentra los nmeros que faltan en los siguientes ejercicios:- 14 - 3ER AO DE SECUNDARIAINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASRAZONAMIENTO MATEMTICO 2) 75( 15 )10540( 25 )9015(x)81a) 22b) 44c) 66d) 55e) 33 3) 201695731513xa) 7b) 8c) 9d) 10e) 11 4)Halla "x".56112737313109xa) 16b) 17c) 15d) 23e) 41 5)Indica el nmero que falta:a) 23b) 32c) 46d) 13e) 15x9 37 2128 64 935 78 4x6 118 925 86 762 74 5 6)Indica el nmero que falta:a) 7b) 4c) 6d) 8e) 5 7)Indica el nmero que falta:a) 22b) 23c) 24d) 25e) 267 29x7 43313 2511 8)Encuentra el valor de x.a) 10b) 12c) 9d) 3e) 63 435 369 693 7x 9)Halla el nmero que falta en el grfico.a) 72 b) 82 c) 92d) 98 e) 10212 781560 49?510)Indica el nmero que falta en:a) -5b) 4c) 6d) 5e) -41 2 2351041121341115x65394-2- 15 -II BIMESTREINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASRAZONAMIENTO MATEMTICOUSO DE LA SIGMANotacin SigmaNota1.Los lmites superior e inferior de la sumatoria son constantes respecto del ndi ce de l a sumatoria.2.El lmite inferior es cualquier nmero entero menor o igual que el lmite superior; es decir, n m.Lo denotaremos como:Las sumatori as ms usuales en nuestro estudio son:El origen de la sigmaEnuni deogramadel a escritura egipcia que mostraba unos lotos (plantas acuticas con flores) emergiendo de un lago, se encuentra el origen de la letra S.Los fenicios, ms tarde, lo simplificaron, dndole una forma semejante a la W, y lo llamaron samek.A su vez, cuando adoptaron el alfabeto fenicio, los griegos le pusieron el nombre de sigma a esa letra y la giraron 90 grados; fue as como adquiri la forma parecida al nmero 3, aunque con el paso del tiempo perdi la primitiva angulosidad y se hizo ms redondeada. Los etruscos, que la escriban invirtindola hacia la derecha, la hicieron bastante parecida a la S que usamos hoy, aunque fueron los romanos quienes le dieron su aspecto definitivo.Eluso de l a sigma griega mayscul apara representar una sumatoria se debe a Euler, que empez a usarla en 1755 con estas palabras: SummamIndicabimus signo .Parece que al ser sigma la letra griega equivalente a la S de suma fue la causa de su eleccin.La suma de los trminos:an ; an+1 ; an+2 ; ...; amak =an+ an+1+ an+2+ ...+ amk= nmDonde:k :es el ndice de la sumatoria.ak :es el k-simo trmino de la suma o trmino general de la sumatoria.n:esel l mi tei nfer i or del a sumatoria.m :esel l mi tesuperi ordel a sumatoria.1. NOTACIN: este smbol o es la dcima octava letra del alfabeto griego, y se usa para representar la sumatoria.Selee: la sumatoria de los elementos ak desdek = nhasta k = m.ak k=nmLmiteSuperiorLmiteInferiork = 1+2+3+...+n = k = 1mn(n+1)2k2 = 12 + 22 + 32 + ... + n2k=1mn(n + 1) (2n + 1)6=k3 = 13 + 23 + 33 + ... + n3k=1mn(n + 1) 2= 21.Representa l a siguiente suma-toria: 1 + 2 + 3 + 4 +... + 30ResolucinLasucesi nestformada por todos los enteros positivos desde 1 hasta 30. Sea i un entero cualquiera cuyo valor mnimo es 1 (lmite inferior) y el valor mximo es 30 (lmite superior).Porl otanto,l asucesi n indicada la podemos representar como:ii = 130- 16 - 3ER AO DE SECUNDARIAINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASRAZONAMIENTO MATEMTICOResolucinCada trmino a sumar es de la forma "2i - 1", donde "i" toma los valores 3, 4 y 5.(2i - 1) =5 +7 + 9 =21i =35Para Trminosi = 3i = 4i = 52 . 3 - 1 =5 2 . 4 - 1 =72 . 5 - 1 =9(3k-1) = 3(3)-1+3(4)-1+3(5)-1k= 35k =3 k =4 k =5=8 + 11 + 14= 33aii=nmNt rminos = m-n+1Halla el nmero de trminos de la siguiente sumatoria:aii= 2380N trminos = 80 - 23 + 1 = 58k. aii = nmaii = nmk ==2ii = 4ii = 472Obtn el resultado de las siguientes sumas:2.Calcula(2i - 1) i=353.Calcula: (3k - 1)k= 35Resolucin2. PROPIEDADESA.Nmero de trminos de la sumatoriaEjemplo:B.Si K es un valor constanteEjemplo:7C.ai; bi son trminos que dependen de la variable "i"(3i i2) = 43ii=14i2i=14+ +i=1Ejemplo:ai bi = i=nmaii=nmbii=nm++ D.Sumatoria de una constante (k = cte.)i=nm = k (N trminos)k = k (m - n + 1) i=48 =10(8 - 4 + 1)= 50 10Ejemplo:1)1+2+3+4+5+6+7+8+9 a) 50b) 45c) 70 d) 36e) 552)1 +3 +5 +7 +... +990a) 25 . 103d) 24. 104b) 249 001 e) 25 . 104c) 26 . 1043)12+22 + 32 +...+102 a) 2562d) 2550b) 2450e) 2652c) 2756 4)13+ 23 +33 + ...+ 113 a) 4 583d) 4 536b) 3 025e) 4 356c) 6 0845)22.1+22.2+22.3+... +180a) 4 040d) 4 410b) 4 140e) 4 400c) 4 230 6)3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8a) d) b) e)N.A.c) nn= 38n - 1n=48n2n= 18n+2n=17 7)21 + 21 + 21 + 21a) d) b) e) c) 21k=1321k=254k=42121k=2621k=05- 17 -II BIMESTREINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASRAZONAMIENTO MATEMTICO 8)32 + 42 + 52 + ... + 576a) d) b) e) c) n2 n = 324n2+1n=224n2 n = 325n2 n = 124n2 - 1n = 425 1)Halla: a) 156b) 64c) 72d) 78e) 82ii = 1i = 12 9)Halla: a) 210b) 250c) 220d) 230e) 2402ii=1i=15 2)Halla la cantidad de sumandos a partir de: a) 25b) 24c) 23d) 26e) 27(2k - 7)k=53010)Halla la cantidad de sumandos en: a) 8b) 7c) 9d) 10e) 15tkk=715 3)Halla la cantidad de sumandos en: a) 9b) 8c) 7d) 6e) 107k=31111)Halla el resultado de la suma anterior.a) 70b) 63c) 42d) 56e) 77 4)Halla:a) 168b) 182c) 224d) 216e) 176ii=8i = 2012)Halla:a) 630b) 650c) 580d) 670e) 6802ii=9i=26 5)Halla:a) 324b) 360c) 320d) 348e) 340(2i - 1)i=1i=1813)Calcula la suma de cifras del resultado:a) 19b) 21c) 24d) 27e) 29kk=133514)Calcula:a) 518b) 513c) 418d) 712e) 7163kk=118F= (k) + 75k=125615)Indica el resultado de efectuar:a) 40b) 45c) 90d) 62e) 60 6)Evala: T = a) 128b) 168c) 148d) 178e) 198i (i +1)i=47 7)Halla:a) 4048b) 4262c) 4804d) 4903e) 51028a2a=111 8)Calcula el valor de:a) 200b) 210c) 0d) 426e) 320k -S= k=1205 pp=1157 9)Calcula:a) 460b) 525c) 843d) 715e) 462k k +k=130k=12710)Halla:a) 1024b) 1041c) 1008d) 1030e) 10322kk=1033- 18 - 3ER AO DE SECUNDARIAINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASRAZONAMIENTO MATEMTICOCONTEO DE FIGURASMtodos de ConteoNotaNo existen frmulas generales, sloparaciertoscasos particulares.1. CONTEO VISUAL-DIRECTOSe observa 4 tringulos pequeos y uno grande, en total 5.Se utiliza en casos donde la cantidad de figuras a contar parezca muy grande.Consi steenanal i zarcasos particulares y luego generalizar, para hallar el total.Este mtodo se emplea para determi nar l as frmul as en ciertos casos particulares.Requiere de agudeza visual y sobre todo prctica.Cuntos tringulos hay?Ejemplo 1:2. CONTEO NUMRICOConsiste en poner dgitos a l as figuras que nos interesa contar ei r combi nndol os en forma ordenada.Cuntos tringulos hay?Ejemplo 2:De 1 figura: 1 , 2, 3 = 3De 2 figuras: 12, 23, 3x, 1x = 4De 4 figuras: 123x = 1Total = 8321x3. CONTEO POR INDUCCIN*Dentrodeestoscasos tenemos:PARA TRINGULOS1 2 3 ... n1 2 3 4 5PARA NGULOSCuntos tringulos hay?N tringulos == 15 5(6)2N ngulos== 10 4(5)23214n321n(n+1)2n(n+1)2Cuntos ngulos hay?Ejemplo 3:Ejemplo 4:n(n+1)2PARA SECTORES CIRCULARESn321Cuntos sectores circulares hay?3214PARA CUADRADOSn(n+1)(2n+1)6N cuadrados = n321 2 3 n...N sectores= = 10 En total: 10 . 2 = 20 sectores4 x 52Ejemplo 4:- 19 -II BIMESTREINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASRAZONAMIENTO MATEMTICO3(4)2() 2Cuntos cuadrados hay?PARA CUADRILTEROSN cuadrilteros=n(n+1)2m(m+1)2.N cuadrilteros == 1505 x 624 x 52xPARA CUBOSn1 ... n1nN cubos = Paran = 3Tenemos: = 36 cubos5321 2 3 5 44n = 5N cuadrados = = 55 m (m+1)2m21 2 3 ... n-2 n-1 nn (n+1)2Cuntos cuadrilteros hay?421 2 334 54 x 525 x 62[]2Ejemplo 6:5 x 6 x 116Ejemplo 7:Ejemplo 8:1)Cuntos tringulos hay en la figura?a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 72)Cuntos tringulos hay en la figura?a) 10 b) 12 c) 13d) 11 e) 143)Cuntos tringulos hay en la figura?a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 104)Cuntos cuadrados hay en la figura?a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 85)Cuntos cuadrilteros hay en la figura?a) 14 b) 16 c) 18d) 20 e) 22n(n+1)2 6)Cuntos tringulos hay en la siguiente figura?a) 8 b) 9c) 10d) 11e) 12 7)En la siguiente figura, cuntos cuadrilteros hay?a) 6b) 5c) 4d) 8e) 9 8)Cuntos tringulos hay en la siguiente figura?a) 8b) 12c) 14d) 16e) 15 9)Halla el total de segmentos que se observan:a) 144b) 154c) 164 d) 174e) 17810)Cuntostri ngul oscomo mxi mosecuentanenl a figura?a) 30b) 26 c) 21d) 15e) 1411)Cuntos ngulos menores que 180o se pueden contar en la figura?a) 1b) 5 c) 10d) 15e) 20- 20 - 3ER AO DE SECUNDARIAINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASRAZONAMIENTO MATEMTICO 1)Cuntos segmentos se cuentan en la siguiente figura?a) 561b) 488c) 624d) 936e) 33033 1 2 3 4 ... 32 2)Cuntos segmentos se pueden contar?a) 165 b) 105 c) 60d) 30e) 90 3)Cuntostri ngul oscomo mxi mosecuentanenl a figura?a) 21b) 42 c) 63d) 158e) 200ABCDEFGH 4)Halla el total de ngulos menores de 180.a) 56b) 28 c) 14d) 32e) 64 5)Halla el total de cuadrilteros.a) 13b) 14 c) 15d) 16e) 1713)Halla el total de cuadrilteros en:a) 360b) 520c) 481d) 640e) 468 6)Cuntos rectngulos hay en la siguiente figura?a) 79b) 82 c) 84d) 78e) 8714)Cuntos cuadrados y cuntos cuadrilteros, respectivamente, se pueden observar en esta figura?a) 50 y 125 d) 30 y 100b) 55 y 225 e) 55 y 155c) 75 y 250 7)Cuntos tringulos hay en la figura?a) 35 b) 36 c) 37d) 39e) 1915)Cuntos tringulos se cuentan como mximo en la figura?a) 30b) 36 c) 50d) 60e) 70 8)Cuntos tri ngul os que no contenganasteri sco(*)se pueden contar?a) 11b) 10 c) 9d) 12e) 13* * 9)Cuntos tringuloshay en la figura?a) 30b) 36 c) 40d) 44e) 4810)Cuntos cuadrados se pueden observar en esta figura?a) 40b) 50c) 55d) 60e) 4412)Hallar el nmero de sectores circulares.a) 10b) 12 c) 14d) 16e) 18- 21 -II BIMESTREINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASRAZONAMIENTO MATEMTICOOPERACIONES MATEMTICAS ARBITRARIASObjetivosConocer entodassus variantes, el concepto de operacin matemtica.Conocerl asdi ferentes formas de definicin de una operacin matemtica.Potenci arl aapti tudde reconoci miento y manejo adecuadoden uev as estructur assi mbl i cas r el aci onadasconl as operaciones matemticas.I gual ocurreconunaoperaci n matemti ca (representada por l a mquina), ya que ella se encarga de obtener resultados, despus de un conjunto de procesos que se efectan sobre determinadas cantidades. Estos procesos son diferenci ados por el operador que se emplee (representado por los botones). Esteesuncap tul oquebasasu importancia en la gran aplicacin que tiene sobre los procesos condicionados y reglamentados, que permite medir la capacidad para captar relaciones u operaciones nuevas, a las que se supone estamos poco acostumbrados. Permite tambin analizar nuevas operaciones matemticas (definidas a partir de las ya conocidas), su definicin y el modo de aplicarlasbajo las condiciones o restricciones en las cuales ha sido definida. Para tal efecto, debemos entender lo que es una operacin matemtica y lo que es un operador matemtico. Veamos: Imaginemos que tenemos una mquina procesadora de algodn, tal como se muestra en la figura. Esta mquina recibe l a materia prima que es el algodn y la transforma en un producto terminado despus de un determinado proceso, dependiendo del botn que se haya escogido. Es un proceso que consi ste en la transformacin de una o ms cantidades en una cantidad llamada resultado, bajo ciertas reglas o condiciones en la cual se define la operacin.Toda operacin matemtica presenta una regla de definicin y un smbolo que la identifica llamadooperador matemtico.Comoej empl osdeoperaci ones matemticas tenemos a la adicin, la sustraccin, la multiplicacin, etc. Es aquel smbolo que representa a una operacin matemtica. Nos permite reconocer la operacin matemtica a emplear con su respectiva regla de definicin.Comoej empl osdeoperadores matemticos tenemos:Aqu mostramos otros operadores:m n = m+nOperacinOperadorRegla de formacinEstas operaciones surgen cuando establecemos una regla de definicin distinta no tradicional, arbitraria y escogemos para representarla un smbolo cualquiera, por ejemplo: *,,, etc, que ser su operador matemtico.Notaci n:Conestosoperadores podemosestabl ecer cual qui er operacin matemtica, teniendo como REGLA DE FORMACI N alguna combinacin de operaciones bsicas conocidas que podemos crear.Las operaciones matemticas pueden ser:En este grupo tenemos todas l as oper aci onesconoci das,como porej empl o:l aadi ci n(+ ),l a multiplicacin (x), la divisin (), la sustraccin (-), la radicacin ( ),etcNociones Previas: Hilo delgado: Hilo grueso: Tela1. QU ES UNA OPERACIN MATEMTICA?2. QU ES UN OPERADOR MATEMTICO?OPERADOR OPERACIN+-x()nAdicinSustraccinMultiplicacinDivisinRadicacinPotenciacinn*#@Operador asteriscoOperador cuadradoOperador nablaOperador grillaOperador tringuloOperador rectnguloOperador diamanteOperador arroba*Operacionesconreglade definicin universal*Operacionesconreglade definicin arbitraria- 22 - 3ER AO DE SECUNDARIAINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASRAZONAMIENTO MATEMTICOEn este caso el operador es . La regla de formacin es m + n2.Lo que tenemos que hacer es hallar el valor numrico de tal regla para m = 5 y n = 3. Por lo tanto:m n5 3 Luego de identificar los valores de m y n, procedemos a reemplazarlos en la regla de formacin: m n=m+n25 3=5+32Efectuando operaciones combi-nadas:- Primero la potenciacin:5 3=5+9 - Luego la adicin:5 3=14El valor de 5 3 es 14. 2.Si a b = (ab)2 - a,halla5 1.Para observarl oconcl ari dad hacemos lo siguiente: Sabemos: ab = (ab)2- aNos piden: 51Al efectuar oper aci ones combinadas se procede en el siguiente orden:(1.) Potenciacin o radicacin(2.) Multiplicacin o divisin(3.) Adicin o sustraccin3.Si a * b = ,halla6 * 2.a + ba - bHacemos a = 6 y b = 2 y reemplazamos enLuego:6 * 2 == = 26 * 2 = 2a + ba - b6 + 26 - 2844.Si m # n = 2m - n; sim > nm # n = 2n - m; si: m < nhalla(5 # 2) # (-3 # -1)5#2 = 2(5) - 2 = 8m > n-3#-1 = 2(-1) - (-3) = -2 + 3 = 1m n5.Sihalla (4 3)(2 1)1 2 3 4 1 4 2 4 2 2 3 3 3 4 3 1 3 2 1 4 2 4 1 1 Si se nos da:a * by se nos pide:1 * 2slo tenemos que identificar ambas expresiones tal como lo indican las flechas.a = 1b = 21.Si m n = m + n2,calcular 5 3 .a) 11b) 10c) 14d) 12e) 13Resolucin. Rpta.:cImportanteEs decir: a = 5; b = 1 (en el ejercicio)=5 1 = (5.1)2 - 5 = 20ResolucinRecuerdaResolucin. Rpta.:2Resolucin. Rpta.:15Resolucin4 3 = 1 porque es el cruce de la fila que contiene al 4 y la columna que contiene al 3.Adems: 2 1 = 2Reemplazando los resultados:(1) (2) = 31 2 3 4 1 4 2 4 2 2 3 3 3 4 3 1 3 2 1 4 2 4 1 1 4 3 = 1. Rpta.:3En todo anlisis de datos, es muy importante que distingamos los val ores absol utos (frecuencias absol utas)del osv al or es por centual es(f r ecuenci a relativa).Veamos un ejemplo. Compararemos elnmero de enfermos de SIDA entre el pas X (10 000 casos) y elpa s Y (20 000 casos).Es ms la influencia epidemio-lgica en X o en Y? A la vista parece que elpas Y ti ene la enfermedad ms desarrol l ada. Pero este dato puede ser engaoso, porque si sabemos que el pas X tiene 100 000 habitantes y el pas Y tiene 2 000 000 habitantes, en qu pas crees que la enfermedad es ms preocupante?Ciertamente en el pas X porque hay 10 000 enfermos entre 100 000 habitantes, lo que significa que el 10% de la poblacin est enferma. En cambio en el pas Y sl o el1% de la poblacin est enferma.Ahora s podemos comparar los datos.%- 23 -II BIMESTREINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASRAZONAMIENTO MATEMTICO1)Si a # b = (a+b) (a-b),calcula7 #2.a) 46b) 44c) 42d) 45e) 492)Sia T b = ab - ba, calcula2 T 3.a) 0b) 1c) -1d) 2e) -23)Si a b = 4a - 5ba b = 7a - 3b;halla (3 2) (4 3) a) 10b) 9c) 15d) 11e) 64)Se sabe que: Hallaa) 1b) 0c) 5d) 4e) 613 14a=a - 52a - 62, si aes impar.,si a es par.-5)Se sabe que: x+1 =x -3 xHalla 65 a) 5b) 4c) 6d) 9e) 8 6)Si: a = ,calcula el valor de:A = (...(((2)))...)(en total hay 97 operadores)a) 2b) 1c) 0d) 3e) 4a2 - 1(a-1)2 7)Se define: a * b = 2a b * a,entonces el valor de 1*27 es:a) 24b) 36c) 81d) 48e) 72 8)Sin =(n-1)2halla x en x =64 si x = Z+.a) 2b) 3c) 4d) 6e)5 1)Si2p =p - pq,halla8 3 a) -12b) -20c) -25d) 30e)32q2 9)Si A= A2 - 2B ,halla2 3 a) 81b) 80c) 72d) 64e)551b 2)Si:halla (3 4) (2 1)a) 1b) 2c) 3d) 4e) 3 2 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 3 4 1 3 3 4 1 2 4 4 1 2 3 10)Sabiendo que: y:calculaa) 37b) 42c) 38d) 40e) 35543 2= 21a b = ax + 3b11)Sabiendo que:a b= a2 - 1;(si a > b) a b= b2 - a;(si b > a)simplifica: 5 (4 17 ) a) 12b) 14c) 24d) 16e) 20 a b c d a c b a d b d c b a c a d c b d b a d c 12)Definimos la siguiente operacin o mediante la siguiente tabla:Segn esto, halla x en:(x o a) o d = (d o b) o (c o a)a)ab)bc) cd)de)a o b 13)Si: halla(3 * 4) * (2 * 1)a)1b) 2 c) 3d)4e)2 3 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 3 4 1 3 3 4 1 2 4 4 1 2 3 14)Si n = n2 - 1 yademsn = n + 5 ,hallar 3(n> 0)a)4b)3 c) 5d)2e)615)Sabiendo que x =3x - 8 yademsx = 3x2 + 12x + 10,halla2a)12b)25 c) 16d)23e)18- 24 - 3ER AO DE SECUNDARIAINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASRAZONAMIENTO MATEMTICO 3)Si y:halla el valor de:a) 125b) 120c) 205d) 81e) 60B + M + 152=BM3x=14x25 4)Si p + q = 3p - 2q,halla:R = a) 1b) 3200c) 0d) 2500e) (5 + 4) (4 + 3)(3 + 2)...(100 + 99) factores 5)Si: halla(51)7.a)b)c) d)e) 27143749133a+b42a - b3a b = ; si a > b; si a < b 6)Dada la siguiente tabla: halla [(3 5) (4 2)]1a)1b) 2 c) 3d)4e) 5 1 2 3 4 1 3 5 2 4 2 4 3 1 5 3 5 4 3 2 5124 4 1 2 5 4 3 5 2 1 4 3 5 8)Sedefi nenl ossi gui entes operadores: x+1 = x- 1 x+3= 3x +5halla el valor de: E = 5 + 4 a)9b)10c) 11d)12e)13 9)Si a # b = b-1,calcula5#[5# { 5#(5# )}]a) -2b) 1c) 3d) 5e) 10()a2b+ 35b4a30 operadores 7)Se sabe que: m=m2 - 1 m= m(m+2) , m> 0 Halla 10a)10b)12 c) 15d)11e)17x2 - xyx - y10)Si: x * y =- 1 para x y; xy 0, calcula: 8 * (8 * (8 * (8 * ...))) a) xb) 7c) 2d) x - 1e) F.D.- 25 -II BIMESTREINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASRAZONAMIENTO MATEMTICOCRIPTOGRAMASDefinicin CRI PTO si gni fi ca'ocul to'y GRAMAsignifica 'escritura'. En este sentido un CRIPTOGRAMA es una operacin matemtica que ha sido encriptada, es decir, sus cifras se han ocultado empleando para ello letras o asteriscos.El objetivo de la criptoaritmtica es redescubrir las operaciones bsicas de adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin, radicacin y potenciacin.Por eso, se aconseja que se dediquen a este gnero de problemas slo los lectores pacientes y minuciosos como ustedes.Cada l etra representa slo una cifra.A letras diferentes les corresponden valores diferentes.A letrasiguales les corresponden valores iguales.Sise uti l i zan s mbol os que no sonl etras,cadas mbol ono necesariamente representa cifras diferentes.Lal etra O nor epresenta necesariamente al cero, a menos que sea indicado en el problema.Nociones BsicasResolucinEjemplo 1:Si abcx 3 = abc1 ,calculaa + b + c + d .abcx 3abc11 3xc = 21; para que termineen 1.72 3 x b + 2 = __73xb = 15 ;para que termine en 5. 3 3 x a + 1 =db3 x a + 1 = d53 x a = d4; para que termine en 4..a + b + c + d = 8 + 5 + 7 + 2 = 22c = 7b = 5 a = 8= d = 2ABC +B3 5C81Ejemplo 2:En las unidades: C + 5 = 11 C= 6 (llevo 1).En las decenas:B + 3 + 1 = 8B = 4Otra opcin:B + 3 + 1 = 18B = 14 (no puede ser de dos cifras)En las centenas:A + 4 = 6 A = 2ResolucinLuego, la operacin reconstruida es: 2 4 6+435681Ejemplo 3:Si:ExDEJE = 29 936yTxDEJE = 37 420 ,calcula TE x DEJEa) 673 560 d) 404 816b) 404 316 e) 404 613c) 404 136El productoTE x DEJE, se puede escribir como:ResolucinProductosParciales DEJE xTEE x DEJE = 29936 +T x DEJE =37420 404136. TE x DEJE = DEJE x TE = 404 136Ejemplo 4:En la operacin: cul es el valor de a+b+ c+ d+f+ g?a) 13b) 16 c) 14d) 18e) 1967b8 abdc 2fg- abab- -8ResolucinEn primer lugar, dividimos: 67b8 ab2= Donde: 2 x ab < 67Como se observar este ltimo resultado; ab debe tomar el valor de 32 (aproximadamente). Para eso, vamos a verificarlo. Veamos:Donde:67b8 abdc 2fg- abab- - 867b8 ab64210- 3232- - 8 a b=3 2. Rpta.:c- 26 - 3ER AO DE SECUNDARIAINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASRAZONAMIENTO MATEMTICOPor comparacin de trminos, obtenemos:Para las pregunta 9, se sabe que:* * 1 *5 * 2 * *0*x. Rpta.:ba = 3;b = 2;c = 4d = 6;f = 1;g = 0. a + b + d + f + g = 16Ejemplo 5:ResolucinSi se cumple que: hallaabc - bac .a) 270b) 260c) 180d) 250e) 190(a b c) abc x14 * * ** * * * 5 1 8i) c x 4 =8Donde cpuede tomar valor de 2 7.Si probamos con c= 2 (no cumple).Ahoraprobamos con c =7.ii) Luego, en forma conveniente se tratar de ir completando dicha operacin. abc x14 * * ** * ** 5 1 8Ahora s es ms fcil completar la operacin, veamos: a37 x14* 4 8 * 3 7 * 5 1 8 abcx14 * * 8* * 7* 5 1 8a37 x14 * * 4 8 * 3 7 *5 1 8537 x14 2 1 4 8 5 3 7 7 5 1 8Luego:537 x14 2 1 4 8 5 3 7 7 5 1 8 a b c x1 4 * * ** * ** 5 1 8Por comparacin de trminos:a=5 ,Ahora llamamos el valor de:abc-bac=537-357=180 b =3y c=71)SiAAB + BAA = 1352,hallaA x B . a) 12b) 32c) 35d) 24e) 165)La suma de las cifras del segundo producto parcial es:a) 6b) 7c) 8d) 9e) 10 6)La suma de las cifras del divisor es:a) 5b) 6c) 7d) 8e) 9Para las preguntas 11, 13, se sabe que: * * * ** **83**- 9 * * 0 * 2 ** * * - * 23)Si: halla + .a) 5b) 6c) 7d) 8e) 94 + 57114)Si: hallaA+B .a) 11b) 6c) 12d) 8e) 104A5B - 52A A8352)Si hallaB + 2C. a) 9b) 4c) 13d) 14e) 25 CBCxB351CC7 7)La suma de las cifras del dividendo es:a) 18b) 20c) 16d) 17e) 19 9)SiA + B + C = 17, hallaABC + BCA + CAB .a) 1 777b) 1 877c) 1 888d) 1 887e) 1 98711)Si: MM = PMMNM, hallaP + M + N .a) 11b) 12c) 15d) 18e) 20 8)Si SI x 99 = ... 57 ,hallaS + I + I + I .a) 24b) 18c) 21d) 17e) 1310)SiABC x9 = ...121halla A + B + C .a) 16b) 17c) 18d) 19e) 20- 27 -II BIMESTREINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASRAZONAMIENTO MATEMTICO 1)Si: hallaA + B + C + D.a) 11b) 12c) 13d) 14e) 15A A + B B C CA 3 D 2)Si A + B + C = 19 ,halla AAA + BBB + CCC .a) 1 999b) 2 009c) 2 019d) 2 109e) 2 999 4)SiAA = BC, halla A + B + Ca) 10b) 12c) 15d) 14e) 16m + nm - 112)Sabiendo que: a b = a2 - b2p q =(p - 2) (q + 3)m n=halla(8 2) (5 3) a) 270b) 285c) 350d) 290e) 360 5)SiTU6=***TU6 ,hallaU + T. a) 8b) 9c) 10d) 11e) 1213)SiABCD = D ,hallaA+C+A+B+A+D+A. a) 16b) 17c) 18d) 19e) 20D 6)Si PERU = *y el (*)representa un mismo nmero, hallaP+E+R+U. a) 10b) 11c) 12d) 13e) 14*14)Si TEZ = 5 x T x E x Z ,hallaET2. a) 5 041b) 3 600c) 3 061d) 5 184e) 2 60415)SiBURLAx3 = URLA3 ,hallaB+U+R+L+A . a) 19b) 21c) 23d) 24e) 25 8)Hallaa + x + ysi: a) 16b) 10c) 12d) 14e) 11a * a1 2* * x y- 8 * * *- 1 3)Si PAZx1001 = ...729 ,halla a) 4b) 6c) 5d) 8e) 9P + ZA******* *** * ***8**- - - ** * * - ******-- 8 7)Hal l al a sumadeci fras del dividendo. a) 29b) 30c) 31d) 32e) 34 9)Si ab . ba = 574, hallaa + b. a) 5b) 6c) 7d) 8e) 910)Hal l a l a suma de ci frasdel producto:a) 19b) 12c) 21d) 13e) 15* * x9 8* ** * ** * * * - 28 - 3ER AO DE SECUNDARIAINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASRAZONAMIENTO MATEMTICO3 ERAODESECUNDARI AARITMTICAII BIMESTREADI CI NSUSTRACCI NMULTI PLI CACI NDI VI SI NPOTENCI ACI NTEOR A DE LA DI VI SI BI LI DADPg.313538424549- 31 -II BIMESTREINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASARITMTI CAADICIN1. ADICIN:Esunaoperaci nquehace corresponder a cada par de nmeros m, n e N otro nmero natural llamado suma, denotado por m + n.A. Propiedad de ClausuraSi sumamos dos o ms nmeros naturales, el resultado tambin es otro nmero natural.B. Propiedad CommutativaEl orden de los sumandos no altera la suma.7 + 3 = 3 + 7C. Propiedad AsociativaLa forma como agrupamos los sumandos no altera la suma.(a + b) + c = a +(b + c)(4 + 9) + 1 = 4 + (9 + 1)13+1 = 4 + 10 14 = 14D.Elemento Neutroa + 0 = a7 + 0 = 72. PROPIEDADES1.La suma de los nprimeros enteros positivos:1 + 2 + 3 +... + n = 1 + 2 + 3 + ... +48 == 117648(48+1)22.Lasuma de l osnpri meros nmeros pares positivos: 2 + 4 + 6 + ... + 2n= n(n+1)2 + 4 + 6 + ... + 92= 46(46+1)= 21623. SUMAS NOTABLES(SUMATORIAS)Demostracin:a + 0 = aa + (p - p) = aa + p = a + pa = an(n+1)2Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:- 32 - 3ER AO DE SECUNDARIAINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASARITMTI CAEjemplo:Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:x+ (x + 1) = 212x + 1 = 212x = 20x = 10Los nmeros son 10 y 11.4.La suma de los nprimeros cuadrados perfectos:

12 + 22 + 32 +...+ n2=3.La suma de los nprimeros nmeros impares positivos:1 + 3 + 5 + 7 + ...+ (2n 1) = n21 + 3 + 5 +... + 59 = 302 = 900 12 + 22 + 32+ ........ + 622 == 8137562(62 + 1)(2.62 + 1)65.La suma de los nprimeros cubos perfectos: 13 + 23 + 33 +...+ n3=[]n(n + 1)213 + 23 + 33 +...+ 243 == 90000[]24(24 + 1)226.La suma de los nprimeros productos de 2 enteros consecutivos:1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + ...+ n ( n + 1 ) = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + 4 x 5 + ... + 74 x 75 = = 14060074(74 + 1) (74 + 2)32La mayor biblioteca del mundo es la del Congreso de los EE.UU., ubicada en Washington DC. Posee 108'433370 items, ocupa una superficie de 265000 metros cuadrados, tiene 856 km de anaqueles y alrededor de 4600 empleados.Ejemplo 1:Efecta: 2 + 22 + 222 +...+ 222222Resolucin:Ejemplo 2:La suma de dos nmeros consecutivos es 21, halla dichos nmeros.Resolucin:22 22 2 22 2 2 22 2 2 2 22 2 2 2 21 21 0 .8 . .6 . . .4 . . . .2 . . . . . 2 4 6 9 1 2......... ...= 6 x 2= 5 x 2= 4 x 2= 3 x 2= 2 x 2= 1 x 2Sean los nmeros: x, x + 1+n(n+1)(n+2)3n(n+1)(2n+1)6- 33 -II BIMESTREINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASARITMTI CA1)Halla el valor de S si:S = 1 + 2 + 3 + ... + 85a)3655d) 4000b) 3254e) 5000c) 3321Ejemplo 3:Halla la suma:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10Resolucin:1+2+3+4+5+6+7+8+9+105x ( 11) = 55111111Ejemplo 4:Si a + b + c = 6, halla: a b c +c a bb c aResolucin:a b c +c a bb c a6 6 6Ejemplo 5:Si tres nmeros consecutivos suman 303, halla dichos nmeros.Resolucin:x + (x + 1) + (x + 2) = 3033x + 3 = 3033x = 300x = 100100, 101 y 102.Ejemplo 6:Halla la suma:1 + 2 + 3 + 4 + ... + 20Resolucin:21 x 10 = 210Ejemplo 7:Si (a + b + c)2 = 289,calcula abc + bca + cab.Resolucin:a + b + c = 17Disponiendo en columna:abc+bcacab1717171887Rpta.: 1887Ejemplo 8:Calcula las 3 ltimas cifras de 5 + 55 + 555 + ... (37 sumandos).Resolucin:5+55555 55.... 555Unidades : 37 x 5 =Decenas : 36 x 5 = Centenas :35 x 5 = Rpta.: 48537Ejemplo 9:Si UU + NN + II = UNICalcular U.N.I.Resolucin:UU+NN I IUN IUnidades: U + N = 10; llevo 1Centenas: U = 1 N = 9Reemplazando en la operacin se obtiene: I = 8. U.N.I. = 1 . 9. 8 = 722)Halla S si:S = 2 + 4 + 6 + ... + 96a)3000d) 4500b) 2352e) 6700c) 23083)Halla E si:E = 1 + 3 + 5 + ... + 121a)3721d) 4005b) 3000e) 3800c) 8700Sean los nmeros: x, x + 1, x + 220 (21)2185 +180....... 175.........485.... 4)Halla S si:S = 1 + 4 + 9 +... + 400a)3000d) 5034b) 2750e) 6000c) 28705)Si a83 + 5b9 + 64c = 1659,halla a + b + c.a)10d) 15b) 13e) 7c) 96)Hallaa+b+c si se cumple que: x1x+x2x+x3x+....+x9x = abc4a)13d) 16b) 14e) 20c) 15- 34 - 3ER AO DE SECUNDARIAINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASARITMTI CA 13) Si 1+2+3+ ... + x = (2a)(2a)(2a),hallax + a.a)39d) 42b) 40e) 43c) 416)Si abc + cba = 1272, calcula el valor de b.a)3d) 8b) 4e) 9c) 57)Halla a + b + csi: a1a+a2a+a3a+ ... +aaa = 8abc1a)10d) 18b) 13e) 21c) 158)Si ab + ca = 111, hallaba + ac.a)111d) 121b) 120e) 230c) 110 14) Halla a + bsi: ab8 + ba9 = 1ab7a)1d) 16b) 12e) 15c) 189)Si a + b + c= 14, calcula el valor deab3 + c2b + 4ac + bca.a)1177d) 1777b) 1977e) 19999c) 1544 10) Si ab + bc = 89 ya+b+c=12, halla a b + c.a)1d) 4b) 2e) 5c) 3 15) Calcula (a + b + c + x), si:1x1+2x2+3x3+...+9x9 = ab8ca)14d) 20b) 15e) 21c) 167)Si (a + b + c)2 = 361,halla abab + caba + bccc .a)19994d) 21009b) 198888e) 34532c) 211091)Halla la cifra de las centenas de la siguiente suma :S = 3 + 33 + 333 + 333+...,sabiendo que hay 25 sumandos.a)0d) 4b) 6e) 8c) 2 10) Halla la cifra de los millares de la siguiente suma:S = 5 + 55 + 555 + 5555 +... (27 sumandos)a)1d) 7b) 3e) 9c) 58)SiL + F + V = 15,hallaLFV + FVL + VLFa)1665d) 1565b) 1555e) 1666c) 16539)Hallaa + b + c si:a7c + c62 + 5ba = 1c26a)12d) 15b) 13e) 16c) 142)Si abc + bc + a0a = c7a , y 0 = cero, halla a + b + c.a)14d) 13b) 11e) 12c) 15 11) Halla la suma de los 40 nmeros de la siguiente serie:S = 9 + 99 + 999 + 9999 +....+ 999...9 Da como respuesta la suma de las cifras del resultado.a)40d) 45b) 38e) 50c) 473)Hallax + y + asi:a1x + a2x + a3x + ....+ a7x = 38y1a)6d) 9b) 7e) 10c) 8 12) Hal l al asumadetodosl os nmeros naturales de tres cifras que se puedan formar con las cifras 1, 4 y 5 . Da como respuesta la cifra de mayor orden de dicha suma.a)1d) 7b) 3e) 9c) 55)Sabiendo que la suma de 25 nmeros naturales consecutivos es 775, hal l a la suma de l os 25natural esconsecuti vos siguientes.a)920d) 975b) 1400e) 1000c) 8254)Determina la suma de cifras del resultado de la siguiente adicin :7 + 97 + 997 + ....+ 999...997a)70d) 69b) 50e) 80c) 6560 cifras- 35 -II BIMESTREINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASARITMTI CAEn la antigedad, el matemtico griego Diofanto utilizaba el signo para indicar la sustraccin y los hindes usaban un punto. Ya en la Edad Moderna, los algebristas italianos la representaban con una m, letra inicial de la palabra minus. Los algebristas alemanes e ingleses fueron los primeros en utilizar el signo actual -, el cual es, al parecer, una alteracin de la letra m manuscrita, al que denominaron signumsubtractorum. Los signos + y - fueron publicados por primera vez en1489 por el alemn Johann Widman.InteresanteSUSTRACCINPROPIEDADESEjemplos:Es una operacin aritmtica inversa a la adicin que consiste en que dados 2 nmeros: Minuendo y Sustraendo, se busca un tercer nmero llamado Di ferenci aquesumadoconel Sustraendo nos da el minuendo.18 - 6 = 12En general:Donde:M: MinuendoS : SustraendoD: Diferencia M - S = D18 excede a 6 en 12 unidades1.En una sustraccin siempre se cumple que:S+D= M2.La suma de los tres trminos de una sustraccin es:M+S+D=2M3.Dada la sustraccin:Siabc-cba=xyzentonces:x+1 = a - c, y = 9,x+z = 9721 - 127 = 594482 - 284 = 198935 - 539 = 396En otras bases:5317 - 1357 = 36375238 - 3258 = 1768CA(2) =10 - 2= 8CA (64) =100 - 64 =36Ca (759) = 1000 - 759 = 241Siabcn-cban=xyzn,entonces:x+1 = a-c,y = n-1,x+z = n - 1El complemento aritmtico de un nmero entero es la cantidad que le falta para ser una potencia de 10, siendo sta la menor posible.En general: SiNtienekcifrasCA (N) = 10k - NEjemplos:COMPLEMENTO ARITMTICOEjemplos:CA (5372)= (9-5)(9-3)(9-7)(10-2) =4628CA(279)= ___________________CA(1384) = __________________CA(5172) = __________________En otras bases:CA(1425) = 10005 - 1425 = 3035CA(2357) = 10007 - 2357 = 4327En general:Si N es un numeral de k cifras en base n.CA(N) = nk - NEjemplos:Completar:MTODO PRCTICOCA(abcd) = (9-a)(9-b)(9-c)(10-d)Donde d oEjemplo:- 36 - 3ER AO DE SECUNDARIAINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASARITMTI CA1) Si la suma del minuendo, sustraendo y diferencia de una sustraccin es 2460, halla el sustraendo si se sabe que el minuendo es el triple de ste.a) 410 b) 310c) 230d) 250 e) 1902) Si en una sustraccin el minuendo aumenta en 20 uni dades y el sustraendoaumentaen15, en cuntas unidades vara la diferencia?a) Aumenta 4 b) Aumenta 5c) Aumenta 6d) Disminuye 7e) Disminuye 83) En una sustraccin, el minuendo termina en 283 y la diferencia en 589. Halla la suma de las tres ltimas cifras del sustraendo.a) 16b) 17c) 18d) 19e) 206) Si la suma de cifras de un nmero de tres ci fras si gnifi cati vas es 17, halla la suma de cifras de su complemento aritmticoa) 10b) 11c) 12d) 13e) 144)Halla x + y si:abc - cba = y(y+4)(2x) a) 5b) 6c) 7d) 8e) 95) Halla el mayor valor de a + b + c siabc - cba = 4xyyabc + cba = **21a) 10b) 11c) 15d) 16e) 108) Halla a + bsi: a) 10b) 11c) 12d) 13e) 147696ab + 100= CA ( ab )7) Si CA (abc) = a + b + c,calcula CA (a + b + c).a) 71b) 73c) 75d) 77e) 799) El CA de abc es igual al producto de sus cifras de mayor y menor orden. Halla c si:xyz - zyx = 2ab a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5 11) Si el complemento aritmtico de (a + 2)(b - 1)(c + 3) es(a + 1)(b + 4)(c - 1), halla a + b + c. a) 10b) 12c) 14d) 16e) 18 10) Halla a + b + csi el CA de (a + 4)(b + 3)(c + 2)es(a+3)(b+2)(c-4). a) 7b) 8c) 9d) 10e) 6 13) La suma del CA de los siguientes nmeros:a10,a11,a12,...,a89es 52040, halla a. a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5 14) I ndi cal asumadeci fr as encontradas:43-253378a) 11 b) 12c) 13d) 14 e) 15 15) Halla ST si T00 = S0 + S0a) 1b) 5 c) 6d) 7e) 9 12) Cul es la menor diferencia enabcd - xyz si cada letra representa un nmero diferente? a) 25b) 36c) 45d) 16e) 121) Halla a.b si: a) 15b) 16c) 17d) 18e) 2087041ab= CA ( ab ) - 37 -II BIMESTREINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASARITMTI CA2) El CA de abc es igual al producto de sus cifras de primer y tercer orden. Halla c si: xyz - zyx = 3ab a) 1b) 2c) 3d) 4e) 54)El CA de un nmero de tres cifras distintas est formado por tres cifras consecutivas. Halla la cifra de segundo orden del nmero original si es el mayor posible y la suma de sus cifras es 16. a) 3b) 4c) 5d) 6e) 73) El complemento aritmtico de un nmero formado por tres cifras consecutivas es otro nmero de tres cifras distintas cuya suma de cifras es 13. Halla la cifra de segundo orden del nmero original si es el mayor posible. a) 6b) 5c) 7d) 4e) 85) Cul es la menor diferencia enabc - pmn si cada letra representa un nmero distinto. a) 1b) 2c) 3d) 4e) 56) Halla la suma de cifras encontradas 43-2571698a) 11 b) 10c) 9d) 8e) 7 7) Halla la suma de cifras del minu-endo en :413-353008a) 9b) 10c) 11d) 13 e) 149)HallaF x M si1121 - FMF = 7FMa) 24 b) 32c) 48d) 21 e) 30 10)Halla A + B + EsiAAAA - BEF = BAEa) 15 b) 10c) 12d) 14 e) 78)Si H0MER - FR0M = MEM0,calculaH + M + R + F; adems 0 = cero.a) 10b) 12c) 15d) 18 e) 20- 38 - 3ER AO DE SECUNDARIAINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASARITMTI CAMULTIPLICACINDEFINICINEs una operacin aritmtica que consisteen adici onar una mi sma cantidad un nmero determinado de veces.ALGORITMO DE LA MULTI-PLICACINEjemplo:Donde:M: multiplicandom : multiplicadorP : productoEn general: 259 x 2718135186993MultiplicandoMultiplicadorProductoDonde:1813= 259 x 7518 = 259 x 21. P. Asociativa(a x b) x c = a x (b x c)Productos Parciales5 x 4 = 5 + 5 + 5 +5 = 204 veces M x m = M + M + ... + M = P mvecesEjemplo:PROPIEDADES2. P. Conmutativa a x b = b x aEjemplo:2 x (a x 3)= 2 x (3 x a)= (2 x 3) x a= 6 x a4. La terminacin del producto de dos nmeros es igual a la terminacin del producto de sus ltimas cifras* (... 3) x (... 4) = (... 2) ya que 3 x 4 termina en 2.5. Producto de Enteros Consecutivos..... 0n(n +1) = ..... 2..... 6* 5 (6) = 30* 6 (7) = 42* 7 (8) = 566. Cantidad de cifras de un productoSi A tiene 5 cifras y B tiene 4 cifras, entonces: 104 A < 105103 B < 104Multiplicando:107 AxB < 109Luego AxB tiene 8 9 cifras.Si A tiene n cifras y B tiene m cifrasA x B tienen + m 1 o n + m3. P. Distributivaa x (b + c) = a x b + a x cEjemplo:ab . 99 = ab (100 - 1)= ab00 - abEjemplo:* Si abc x 3 = xy7c= 9 ya que 9 x 3 termina en 7.Observaciones:(# Par) (# Entero) = (# Par)(# Impar) (# Impar) = (# Impar)(..... 5) (# Impar) = (....... 5)(..... 5) (# Par) = (....... 0)(......9) (.....x) = [...... (10 - x)]Ejemplos:Ejemplo:En general:Ejemplo:Halla la mnima cantidad de cifras de abcd x mn .Solucin:abcd 4 cifrasmn 2 cifrasLuego:abcd x mn (4 + 2) - 1 = 5 cifras- 39 -II BIMESTREINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASARITMTI CALEYES FORMALESEl productodedosnmeros enteros es un nmero entero. Simblicamente se denota de la siguiente manera: a, b Z a . b = P ZA B = B AI.ClausurativaII. ConmutativaEl orden de los factores no altera el producto.III. Elemento Neutro MultiplicativoExiste uno y slo un nmero que se denota por "1", tal que:a . 1 = a o 1 . a = aa) 31b) 32c) 33d) 34e) 35TEOREMADado P = a . b, si "a" aumenta o disminuye en "n" unidades, entonces P aumenta o disminuye en "n . b" unidades.Enunamul ti pl i caci n,si el multiplicando aumenta 6 unidades, el producto aumenta en 78 unidades.Calcula el multiplicador.Resolucin: 6 . m = 78m = 13 el multiplicador es 13.Ejemplo:Si:ab . a = 679ab . b = 873Halla la suma de las cifras del producto:abab a0bRetoLA MULTIPLICACIN EN OTROS SISTEMAS5 3 28 3 48 5 1 5 02 0 162 5 33 08Describi una forma matemtica de manejar pares de nmeros reales. Esas reglas se usan en la actualidad para operar con nmeros complejos. Ms adelante descubri la clave para operar con ternaso n-uplas de nmeros, en el caso de n > 2, que consista en descartar l a propi edad conmutati va de la multipl icacin usual. A l os nuevos objetos que cre los llam cuaterniones, precursores de lo que ahora son los vectores. Su monumental obra acerca de este tema, Treatiseon Quaternions, fue publicada en 1853. R. HALMITON (1805 - 1865)El nmero circular es uno de los nmeros ms curiosos de la matemtica, debido a que al multiplicarlo por cada uno de los nmeros menores que su cantidad de ci fras, estas per mutandeunafor ma impresionante.142857 x 1 = 142857142857 x 3 = 428571142857 x 2 = 285714142857 x 6 = 857142142857 x 4 = 571428142857 x 5 = 714285Trata de encontrar otro nmero circular. 125 487El Smbolode laMultiplicacinWilliam Oughtred fue el primero en usar el signo "x" en vez de la palabra "veces", que en la lengua rabe comenzaba con dicha letra. Gottfried Wihelm Leibniz propone utilizar el punto para indicar la multiplicacin, puesto que la "x" ya se utilizaba para denotar las variables en lgebra, y en 1637, Ren Descartes empez a usar la yuxtaposicin de los factores.Ms adelante, en 1688, Leibniz utiliz para denotar esta operacin.- 40 - 3ER AO DE SECUNDARIAINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASARITMTI CA1)En cuntas veces aumenta el producto de tres nmeros si el primero se duplica, el segundo aumenta en su cudruplo y el tercero en su duplo?a) 20b) 30c) 40d) 29e) 352)Si el producto de dos nmeros es 517, y el multiplicando aumenta en 5 unidades, el nuevo producto es 752. Halla el multiplicador.a) 47b) 49c) 51d) 54e) 613)Halla a + b + c + m + nsi abc2 . 9 = mnnnna) 20b) 22c) 24d) 30e) 324)Halla a + b + csiabc . 999= ...276a) 11b) 12c) 13d) 14e) 155)En la multiplicacin abcd x 74 la diferencia de los productos parciales es 7944. Halla (a + b) . (c + d) a) 80b) 84c) 91d) 96e) 100 6)Halla a + b + c + esi abcde3 x 7 = 12abcdea) 10b) 12c) 21d) 15e) 17 7)Halla x + ysix [CA(x)] . y [CA(y)] = 2368, y adems x - y = 3.a) 8b) 7c) 6d) 9e) 10 8)Si a dos nmeros se les aumenta y di smi nuye11uni dades respectivamente, el producto de ellos aumenta en 319 unidades. Calcula la diferencia de dichos nmeros.a) 20b) 27c) 34d) 40e) 45 1)Si a dos nmeros se les aumenta ydi smi nuye15uni dades respectivamente, elproducto quedaaumentadoen1125. Calcula la diferencia de dichos nmeros.a) 20b) 25c) 40d) 45e) 60 9)Halla b + c si: aaa8 = bc1a) 5b) 6c) 7d) 8e) 910) Calcula la cifra de las decenas de:1234567890123x342973x2532 + 7637a) 2b) 5c) 7d) 3e) 011) Si se sabe que A tiene 8 cifras B 12 cifras y C 5 cifras, cul es la mayor cantidad de cifras que puede tener la expresin?E = A2 . B3 . Ca) 53b) 54c) 55d) 56e) 5712) Si abcn = ...abc, calcula a + b + c , n Z+. a) 13 17b) 16 17c) 16 18d) 13 16 e) 14 1713) Calcula la suma de cifras de:E = 999...9 x 999...920 cifras20 cifras a) 180b) 90c) 45d) 150e) 3614) Si abc . a . b . c = 992,halla a2 + b2 + c2.a) 20b) 21c) 22d) 23e) 2415) Si xyz 6 = (z - 1) 384,halla x + y + z.a) 8b) 10c) 15d) 13e) 18 2)Halla x + y + z si: xxxx5 = yz8a) 7b) 8c) 13d) 11e) 15 3)La cifra de segundo orden de 7529es:a) 2b) 0c) 7d) 9e) 5 4)Si se sabe que A posee 6 cifras, B tiene 8 cifras yC 12 cifras, cul es la mnima cantidad de cifras que puede tener?E = A . C2 . B3a) 47b) 48c) 49d) 50e) 51 5)Si abcdn = ...abcd,calcula a + b + c + d sin Z+. a) 17 o 21b) 21 o 25c) 17 o 25d) 13 o 25 e) 13 o 17- 41 -II BIMESTREINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASARITMTI CA 6)Si abc c = 549,halla a + b + c.a) 12b) 13c) 14d) 15e) 16 7)Si abc c = 1536,halla a + b + c.a) 8b) 9c) 10d) 11e) 13 8)Calcula a + b + c + dsi abcd 4 = dcba.a) 16b) 17c) 18d) 19e) 20 9)Sabiendo que:mnp x m =2930mnp x n = 4 688mnp x p = 3 516halla mnp x pnm.a) 410 414 d) 401 402b) 410 401 e) 410 410c) 41 04110) Si abcde1 = 3 x (1abcde),halla el valor de "a + b + c + d + e". a) 25b) 26c) 27d) 28e) 29- 42 - 3ER AO DE SECUNDARIAINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASARITMTI CAEn toda divisin se cumple que el residuo es menor que el divisor.cero residuo < divisorEn la divisin entera inexacta se cumple que:residuo mximo = divisor - 1residuo mnimo = 1En una divisin exacta para que el cociente aumente o disminuya 1, entonces al dividendo se aumenta o disminuye 1 divisor.Si se multiplica o divide el dividendo y el divisor por un mismo nmero, el cociente no vara, pero el residuo queda multiplicado o dividido, segn el caso, por dicho nmero. SiD=dq+RD.k =(d.k)q+R.k En una divisin exacta el mximo val orquepuedeaadi rseal dividendo para que el cociente no vare es:divisor - 1 DIVISINDEFINICINEs l a operaci n i nversa de l a multiplicacin que tiene por objeto, dados dos nmeros: dividendo (D) y divisor (d), hallar un tercer nmero llamado cociente (q), que multiplicado por el divisor y sumar su residuo, nos da el dividendo.CLASES DE DIVISINEn general:1.Divisin ExactaEjemplo:1355___27 05 est contenido 27 veces en 135135 = 5 . 27Es aquella en la cual el dividendo contiene al divisor un nmero entero (exacto) de veces y, por tanto, el residuo es cero.D d q 0D = d . qSe cumple:donde:D: Dividendod : Divisorq : CocienteR : ResiduoD d q R2.Divisin InexactaEs aquella en la cual el divisor no est contenido de forma exacta en el dividendo y, por tanto, existe un residuo distinto de cero.a)Divisin Inexacta por Defecto:El segmento bc parece ms largo que el ab, aunque en realidad son iguales.La ilusin de Mller-Lier Rd < dD d qRdD = dq + RdSe cumple:Ejemplo:14715___9 1215 est contenido 9vecesen147, q u e d a n d o 12 unidades.147 = 15 . 9 + 12b)Divisin Inexacta por Exceso:Re < dD dq+ 1-ReD = d(q+1)-ReSe cumple:Ejemplo:14715___10-315 est contenido 10vecesen 147, excediendo en 3 unidades.147 = 15 . 10 - 3PROPIEDADESa b cDKd.qK= +RK- 43 -II BIMESTREINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASARITMTI CASon varios los signos que tenemos para i ndi car l a di visi n: La barra horizontal, de origen rabe, ya era usada por Fibonacci en el siglo XIII, aunque no se generaliz hasta el siglo XVI. Es, desde luego, la forma ms satisfactoria, pues no slo indica la operacin sino que en el caso de que sean varias las operaciones a realizar establece el orden de prioridad entre ellas (digamos que adems de signo es parntesis). La barra oblicua, (/), variante de la anterior para escribir en una sola lnea, fue introducida por De Morgan en 1845.En 1659, el suizo Johann Heinrich Rahn invent para la divisin el signo , que resulta bastante grfico una vez que la barra de fraccin es norma general. No tuvo mucho xito en su pas, Suiza, pero s en Gran Bretaa y los Estados Unidos, aunque no tanto en la Europa continental.Los dos puntos se deben a Leibniz (1684), que l os aconsejaba para aquellos casos en los que se quisiese escribir la divisin en una sola lnea y la notacin con raya de fraccin no fuese por tanto adecuada. Este signo mantiene el parentesco de la divisin con l a multipli cacin, para la que Leibniz usaba un punto. En cuanto al gnomon o ngulo que utilizamos para separar dividendo, divisor y cociente en la divisin larga no se dispone de una informacin precisa. Boyer, en su Historia dela matemtica, p.182, dice: "Los rabes, y a travs de ellos ms tarde los europeos, adoptaron la mayor parte de sus artificios aritmticos de los hindes, y por tanto, es muy probable que tambin provenga de la India el mtodo de "divisin larga" conocido como el "mtodo de la galera", por su semejanza con un barco con las velas desplegadas. Pues bien: en dicho "mtodo de la galera" se utilizaba un ngulo parecido al que se usa en la actualidad para separar el divisor de los otros nmeros. Esta es la referencia ms antigua que he encontrado".Leonardo de PisaDivisin :Leonardo de Pisa, fue el primero que utiliz la denominacin de nmeros quebrados al llamarle nmeros ruptos (rotos).1)En una divisin inexacta el divisor es 12 y el cociente 27. Halla el dividendo si el residuo es mni-mo.a) 325b) 300c) 250d) 352 e) 2712)Al sumar dos nmeros se obtiene 170y al dividirlos se obtiene 2 como cociente y 17 como residuo. Halla el menor de dichos nmeros.a) 51b) 55c) 57d) 59 e) 603)En una di visi n i nexacta el resi duo por defecto es 17 y el cociente por exceso es 24. Calcula el dividendo si el residuo por exceso es 12.a) 684b) 531c) 472d) 728e) 8534)Si al dividir un nmero entre 105 se obtiene por residuo 60 y al dividirlo entre 117 se obtiene 12 por residuo, halla dicho nmero si en las dos divisiones se obtuvo el mismo cociente.a) 530b) 610c) 750d) 480e) 8705)En una divisin el resto por exceso es el triple del resto por defecto. Si el cociente por defecto es 15 y el dividendo ms el divisor es 520, calcula el divisor.a) 30b) 31c) 32d) 33e) 35 6)En unadi vi si ni nexacta el cociente es 21 y el residuo 4. Si el dividendo se aumenta en 100 unidades y se vuelve a dividir, se obtiene una divisin exacta de cociente 25. Halla el dividendo original.a) 550b) 620c) 730d) 470e) 350 7)Cuntos nmeros de tres cifras existen tales que al dividirlos por 23 den un residuo que es el doble de su cociente?a) 8b) 9c) 10d) 11e) 12 8)En una divisin al residuo le faltan 9 unidades para ser mximo y ser mnimo al restarle 31. Halla el dividendo si el cociente es la mitad del residuo.a) 703b) 704c) 705d) 706e) 707 9)En una di vi si ni nexactal a suma de los trminos es 113. Si triplicamos el dividendo y el divisor, la suma de los cuatro trminos resulta ahora 331. Halla el cociente.a) 3b) 4c) 5d) 6e) 710) En una divisin inexacta el divisor es 50 y el residuo es el triple del cociente respecti vo. Hal l a el mximo valor que puede tomar el dividendo. a) 848b) 771c) 215d) 253e) 59411) En una divisin el cociente es 18, el divisor es el doble del cociente y el residuoel mximo posible. Halla la suma de cifras del dividendo. a) 12b) 17c) 21d) 25e) 29- 44 - 3ER AO DE SECUNDARIAINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASARITMTI CA 1)En una divisin por defecto al residuo le falta 36 unidades para ser mximo y ser m ni mo si restamos 34. Halla el dividendo si el cociente es la quinta parte del residuo.a) 329b) 151c) 539d) 623e) 715 2)La suma de los trminos de una divisin inexacta es 128. Si el dividendo y el divisor se reducen a su tercera parte, la nueva suma es 50. Halla el cociente. a) 11b) 12c) 13d) 14e) 15 3)En una divisin inexacta el divisor es 37 y el residuo es el doble del cociente. Cul es el mximo valor que puede tomar el dividendo? a) 604b) 702c) 553d) 671e) 800 4)En una divisin el cociente es 12, el divisor es el triple del cociente y el residuo es mnimo. Halla la suma de cifras del dividendo. a) 10b) 11c) 12d) 13e) 1412) Cuntosnmerosenteros menores que 400 pueden ser dividendo de una divisin cuyo cociente es 12 y su resto 14? a) 32b) 15c) 19d) 18e) 20 5)Cuntos nmeros menores que 500 pueden ser divi dendo de una divisin cuyo cociente es 15 y su residuo cuatro tercios del cociente? a) 12b) 14c) 13d) 11e) 1013) Al dividir dos nmeros enteros positivos se obtiene 18 de resto y 7 de cociente. Si el dividendo excede al divisor en una cantidad igual al cuadrado del resto, calcula el divisor. a) 51b) 53c) 28d) 38e) 61 6)En una divisin inexacta el divisor es el menor capica de 3 cifras, el cociente es la mitad del resto que es mximo. Entonces el dividendo es:a) 5150b) 5050 c) 5250d) 5350e) 550014) En una divisin inexacta el divisor y cociente poseen las mismas 2 cifras: 6 y 7 pero en orden inverso, siendo el resto mximo. El menor valor del dividendo es:a) 5158b) 5198 c) 5167d) 5307e) 5107 7)Enunadi vi si ndeenteros positivos el divisor es 12 y el resto 7. Si el dividendo se multiplica por 12, el resto de la divisin ser ahora:a) 7 b) 6 c) 5d) 4e) 015) Enunadi vi si ndeenteros positivos el resto y divisor son 15 y 4 respecti vamente. Si el dividendo se quintuplica y se repite la operacin, el nuevo resto ser:a) 2b) 3 c) 4d) 5e) 6 8)En una divisin de enteros positivos el resto y divisor son 18 y 13 respectivamente. Si el dividendo se cuadruplica, entonces volviendo a dividir, el resto ser:a) 12b) 13 c) 14d) 15 e) 16 9)En una divisin exacta cuyo divisor es 23, cul ser el menor valor que se debe aadir al dividendo para que el cociente aumente 3 unidades.a) 45b) 46 c) 68d) 69 e) 2610) En una divisin el divisor y resto son 7 y 15 respectivamente. Calcula el menor valor que debe aumentarse al dividendo para que el cociente aumente en una unidad.a) 8b) 22 c) 14d) 21e) 15- 45 -II BIMESTREINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASARITMTI CAPOTENCIACINPotenciaOperaci nqueconsi steen multiplicar un nmero por s mismo varias veces.2x2x2=235x5x5x5=54Ejemplos:En general:b x b x b x b x ... x b = bnn factores PotenciaPerfectaExponenteTeorema FundamentalParaqueunnmeroseauna potencia de n, es condicin necesaria y suficiente que todos los exponentes de los factores primos de su descomposicin cannica sean mltiplo de n.En general: =ao . b| . c n = aon . b|n . cnCuadrado PerfectoUn nmero es cuadrado perfecto si en su descomposicin cannica, los factores primos, estn elevados a exponentes mltiplos de 2.k2 = a2o . b2| . c236 = 32 . 222500 = 22 . 54CriteriosdeInclusiny Exclusin de CuadradosA. SEGN SU LTIMA CIFRA6400 = 64 . 102 = 82 . 102 = 28 . 52k ...0 ...1 ...2 ...3 ...4 ...5 ...6 ...7 ...8 ...9k2...0 ...1 ...4 ...9 ...6 ...5 ...6 ...9 ...4 ...1Conclusin:Todo k2 NO puede terminar en 2; 3; 7 y 8B. POR LA TERMINACIN DE CIFRAS CEROSEjemplo:En general:abc... x 0000 ... 00 = k2cuadradoperfecto2n ceros52 = 25252 = 625152 = 225C. TERMINACINENCIFRA 5Ejemplos:Ejemplos:Reconocer cuando un nmero tiene posibilidad de ser k2 a fin de efectuar clculos con rigu-rosidad.Cuadrados PerefctosPOTENCIACINCaracteres de exclusinAplicaciones- 46 - 3ER AO DE SECUNDARIAINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASARITMTI CAEn general:Si abc...xy5 = n5 2y = 2 . abc...x = n(n+1)D. NMERO PAR k2 ES 4142 = 196 es4 182 = 324 es4En general:(2n)2 = 4n2 es 4E. NMERO IMPAR k2 ES 8 + 1152 = 225 es8 + 1172 = 289 es8 + 1En general:(2n+1)2= 4n2+ 4n + 1= 4n (n+1) + 1es8 + 1.F.APLICANDO EL CRITERIO DEL 9Todo k2 puede ser 9; 9 + 1 ; 9 + 4 9 + 7. 152 =225 es 9232 =529 es 9 + 7312 =961es 9 + 7172 =289 es 9 + 1162 =256 es 9 + 4Ejemplo 1:Resolucin:Cul de los siguientes nmeros puede ser k2?a)ab44b)ab66c)cd02(a) pues si es par debe ser 4. Ejemplo 2:Resolucin:Cul de los siguientes no es k2?a)cde6b)abc4c)abc7(c) el k2 no puede terminar en 7.Ejemplo 3:Resolucin:Cul de los siguientes nmeros no puede ser k2?a)(a 2)(8 a) 61b)b(b + 2)(5 b)(10 b)c)(a 1)a a(8 3a) No puede ser k2, la clave (b).a)Suma de cifras es 13 9 + 4 b)Suma de cifras es 17 9 + 8 c)Suma de cifras es7 9 + 7Ejemplo 4:Un k2 tiene por cifras 0; 2; 5; 7 y 8. Calcula la raz cuadrada.Se sabe muy poco de la vida de Pitgoras, parece haber nacido en Grecia, en la Isla de Samos, a mediados del siglo VI a.C. Se piensa que fue discpulo de Tales, que viaj por Egipto pero que a su regreso estando su pas ocupado por los Persas, se fue a las colonias italianas de Grecia donde fund su famosa escuela Pitagrica.Pitgoras(582 a.C. - 497 a.C.)Una adivinanzaAugustus de Morgan (1806 - 1871) fue un matemtico ingls nacido en la India. Acostumbraba a recrearse en el planteamiento de adivinanzasy problemas ingeniosos.Estepersonaje, nacido en el siglo XIX, planteaba esta adivinanza sobre su edad: En el ao x2 tena x aos. En qu ao nac?Ejemplos:- 47 -II BIMESTREINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASARITMTI CAResolucin:Slo puede terminar en 0 5, debe ser 5, pues slo hay un 0.La decenas debe ser el 2.Las posibilidades son:78025870257082580725Lo que precede a 25 debe terminar en 0, 2 6 y adems debe ser n(n+1).78025 87025Luego 87025 = 2952 La raz es 295.No 29x30Ejemplo 5:Resolucin:n no puede ser 0; 1; 5; 6; 7; 8 9.Tampoco no puede ser 3 pues la decena no ser 2.Las posibilidades son:n = 2 3254 es 9 + 5, Non = 4 5476 n = 4Ejemplo 6:Si (n +1)n(n +3)(n +2) =k2, calcula n.Si 55yx5 = k2, calcula y + x + k.x = 255y =n(n + 1)550No552=23 x 24556NoLuego55225 = 2352y + x + k = 2 + 2 + 235 y + x + k = 239Resolucin:Ejemplo 7:Resolucin:Si 7ab6 = k2, calcula la suma de los valores de ab.7006 s k2 s 799683,7s k s89,4 k 84; 85; 86; 87; 88; 89 pues :k = 84 842 = 7056k = 86 862 = 7396 ab = 05 39suma = 44Ejemplo 8:Resolucin:Demuestra que en el sistema de base 12 todo k2 no puede terminar en 2; 3; 5; 6; 7; 8; o ni |.Un nmero del sistema de base 12 puede terminar en 0, 1, 2, ..., o y |; donde o = 10 y | = 11.Ahora bien, sus cuadrados:kk20 0112439445160718499o411 1Es decir, para: 5 52=25 =12 + 1 5 1Luego no puede terminar en: 2; 3; 5; 6; 7; 8; o y |1)Cul de los siguientes nmeros no puede ser k2?a)ab36d) abc8b)bc5e) 1ab4c)abc92)Cul de los siguientes nmeros no puede ser k2?a)a9d)ab24b)xy25e)xy66c)ab443)Cul de los siguientes nmeros no puede ser k2?a)(a + 2)a(8 2a)9b)a1(6 a)6c)(7 + a)(a + 2)(4 2a)9d)(4 + a)(5 a)(a 3)(10 a)e)6(a + 3)(10 a)4- 48 - 3ER AO DE SECUNDARIAINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASARITMTI CA4)El menor valor entero positivo por el cual se debe dividir 12 para que sea k2, es:a)1d)12b)2e)48c)35)Cul de los siguientes nmeros no puede ser k2?a)11d)11 + 1b)11 + 9e)11 + 6c)11 + 510)El menor valor entero positivo que debe multiplicarse a 23 . 49 para que sea k2 es:a)1d)49b)2e)98c)8 6)Si 3b1 = k2, calcula k - b.a)10d)13b)11e)14c)12 7)Si ab5 = bc2, calcula a + b + c.a)10d)13b)11e)14c)12 8)Si aba = ca2, calcula a + b + c.a)12d)15b)13e)16c)14 1)Si ab = (a + b)2, calcula a . ba)6d)12b)8e)24c)10 9)Si 8ab = k2, calcula a + b + k.a)31d)34b)32e)35c)33 2)Si 7ab y 7cd son k2, calcula a + b + c + d.a)20d)23b)21e)24c)22 3)Si N = 43 x 63 x 125, cul es el menor entero positivo que debe multiplicarse a N para que sea k2?a)120d)6b)24e)4c)1211)Si 12p = n2, entonces p es de la forma:a)p = 12k2d)p = 8k2b)p = 3k2e)p = 12c)p = 6k2 4)Si 24n = k2, entonces n es de la forma:a)n = 24p2d)n = 2p2b)n = 6p2e)n = 24c)n = 3p212)Si 18n = p2, entonces n es de la forma:a)n = 18k2d)n = 2k2b)n = 6k2e)n = 4k2c)n = 3k2 5)Qu entero positivo bastar multiplicar a 75 para que sea k2?a)3d)9b)5e)11c)713)Si A = 33 . 5 . 72, por cunto habr que multiplicar a A para que sea k2?a)9d)25b)5e)50c)1514)Cul es el menor nmero entero por el cual debo multiplicar a 168 para que el resultado sea un cuadrado perfecto?a)21d)42b)14e)49c)615)Cul es el menor nmero entero por el cual debo multiplicar a 540 para que el resultado sea un k2?a)5d)45b)15e)50c)40 6)Cul es el menor nmero entero por el cual debes multiplicar a 792 para que el resultado sea un k2?a)11d)33b)22e)66c)44 7)Cul es el menor nmero entero por el cual debo multiplicar a 2448 para que el resultado sea un k2?a)17d)20b)18e)21c)19 8)Cul es el menor nmero entero por el cual hay que dividir a 108675 para que el cociente sea un cuadrado perfecto?a)575d)69b)115e)139c)483 9)Si ab5c0 es un cuadrado perfecto, calcula a + b + c. (ab5c0 es el mximo posible)a)6d)9b)7e)10c)810)Cuntos nmeros de 4 cifras son cuadrados perfectos?a)60d)68b)64e)69c)66- 49 -II BIMESTREINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASARITMTI CATEORA DE LA DIVISIBILIDADEn el conjunto Z de los enteros, se define:dadoslosenterosaybo cualesquiera, se dice:b es divisor de a y se escribe:a/bsi existe un entero k, tal que:a = b.ktambin se dice: a es divisible por b oa es mltiplo de b.* 60 es divisible por 10, pues60 = 10 x 6* - 20 es mltiplo de 4, pues -20 = 4 x(-5)* 8 es mltiplo de 8, pues 8 = 8 x 1 * 0 es mltiplo de 5, pues 0 = 5 x 0* 5 es divisor de 40, pues*7 no es divisible por 0, pues *6 es divisor de -24, puesEjemplos:405= 8no existe70= -4-246-1 es divisor de todo nmero.-0 es mltiplo de todo nmero, excepto de l.NOTACIN DE UN MLTIPLO DE nn ; n eZ-Indica los mltiplos de 12.stos son: ...; -24; -12; 0; 12; 24; 36; ...OBTENCIN DE UN MLTIPLOSi a = n a = n.kEjemplo 1:Calcula la suma de los 20 primeros enteros positivos divisibles por 11.Resolucin11 x 1 + 11 x 2 + ... +11 x 2011 x (1 + 2 + 3 + ... + 20) 11 x 231020 x 212Ejemplo 2:Cuntos enteros mltiplos de 7 hay entre 100 y 1394?Resolucin100 BD.3. RectnguloEs elparal el ogramo que ti ene los lados consecutivos de diferente longitud y las medidas de sus ngulos iguales a 90.ABDCOa abb En la figura:AC = BC4. CuadradoEs el paralelogramo que tiene sus cuatro lados de igual longitud y las medidas de sus ngulos iguales a 90.En la figura:AC = BDO: centro del cuadrado ABCD.En todo trapezoide asimtrico, si se reunen los puntos medios de sus lados se forma un paralelogramo.TEOREMAA DBCNMPQ MNPQ: es un paralelogramo.Demostracin:En el A ABC; MN es base media entonces MN //AC.En el A ADC; QP es base media entonces QP //AC.Entonces MN //QP; de la misma manera MQ //NP.Entonces el cuadriltero MNPQ es un paralelogramo.A DBCNQPMResolucin:Se traza CQ //AB=A CDQ es issceles. AD = 101.En la figura, ABCD es un trapecio (BC //AD), BC = 4 y CD = 6. Calcula AD.A DB C7040A DB CQ46670 70 40704ABDC n nn n454545454545 4545O- 95 -II BIMESTREINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASGEOMETRAResolucin:2.En la figura, ABCD es un rombo. Calcula x.BC //AD=50 = 500 = 10Luego:50 + 10 + x = 180. x = 120A CBDE50x050DBA CE50500xxResolucin:3.Hal l aADsi ABCDesun romboide.A DB CPo2omnResolucin:=x + 75 + 75 + 60 = 360 x = 360 - 210. x = 1504.En la figura, ABCD es un cuadrado y AED es un tringulo equiltero. Calcula x.ABDCExABDCEx60 606075 75Resolucin:5.En el grfico, ABCD es un romboide y EFGD es un cuadrado. Si AF = FC, calcula .A DB CEFGPor 53/2. = 53/21)Enl afi gura,ABCDesun romboide, BM =ME, CN = ND, BC = 12 y CD = 4. Calcula MN.a) 8 b) 9 c) 10d) 12 e) 16A DB CN ME002)Enl afi gura,ABCDesun romboide, BC = 10, CD = 6, BM = MA y CN = NE. Calcula MN.a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12BA EDCM N3)En elgrfi co, ABCD es un romboide, CD = 10, AP = PE y BQ = QD. Calcula PQ.a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 A DB C EP Q004)En la figura, ABCD es un trapecio (BC //AD), BC = 4 y CD = 6. Calcula AD.a) 6 b) 8 c) 9d) 10 e) 12A DB C70405)En la figura, ABCD es un rombo y BD = 12. Calcula su permetro.a) 20b) 40c) 50 d) 60e) 35 ABDC 74=AD = n + mA DB C Pn mnmnoo22A DEFGB C 2aaa aa a2aa- 96 - 3ER AO DE SECUNDARIAINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASGEOMETRA6)En la figura, ABCD es un rombo. Calcula x.a) 80b) 90c) 100d) 110e) 120ACBDEx603007)En la figura, ABCD es un rombo de permetro igual a 60. Calcula AC.a) 12b) 24c) 32d) 36 e) 42A CBD1068)En la figura, ABCD es un rombo. Calcula x.a) 90b) 100c) 110d) 120e) 140A CBDEx0 50509)En la figura, ABCD es un rombo AD = BE.a) 10b) 20 c) 30d) 15e) 18ABCD5xE2x10)Enl afi gura,ABCDesun rectngulo. Calcula x. a) 20b) 30 c) 35d) 50 e) 60ABDCE20x11)Enl afi gura,ABCDesun rectngulo, BC = 4k y CD = 3k. Calcula x. a) 37 b) 27 c) 16d) 24 e) 12ABDCEx12)Enl afi gura,ABCDesun rectngulo, AM = ME, CN = ND, AD = 8 y CD = 4. Calcula MN. a) 4 b) 6 c) 8d) 5 e) 12ABDCEM N4513)Si ABCD es un cuadrado y el A AED es equiltero, halla x. a) 20b) 18c) 15d) 25e) 30ABDCEx14)Si ABCDesunromboi de, BO = 2x, OD = 16u y AO = 3x, halla AC. a) 36b) 48c) 28d) 32e) 44A DB CO15)Siendo ABCD un rectngulo, halla x. a) 46b) 56c) 52d) 48e) 45ABDCx62 1)Si ABCD es un paralelogramo, AB = 9u y EF = 2u, halla AD. a) 18 ub) 16 uc) 20 ud) 22 ue) 24 uA DB C E Foo00 2)En elgrfico, ABCD es un trapecio de base menor, BC = 8 y CD =13u. Halla AD si adems ABCE es un romboide. a) 20 ub) 22 uc) 21 ud) 18 ue) 17 uA DB CE00 3)Hal l aADsi ABCDesun romboide. a)2m + n d)m + nb)m + 2n e) c)2(m + n)3(m + n)2A DB P Co2omn- 97 -II BIMESTREINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASGEOMETRA 4)Halla x si ABCD es un cuadrado y el AMD es equiltero. a) 36b) 30c) 40d) 45e) 20ABDCEMx 5)Si ABCD es un cuadrado y BQPC es un romboide, calcula x. a) 20b) 15c) 30d) 25e) 40ABDCQPx120 6)Si ABCDesunromboi de, AM = MB y PN = ND. Adems AD = 12 y DC =4, calcula MN. a) 12b) 10c) 8d) 4e) 6A DB P CM N00 7)Si ABCDesunr omboy BM = MC, calcula x. a) 45b) 60c) 30d) 75e) 53A DB C Mx 8)Si ABCD es un cuadrado y ECF es un tringulo equiltero, calcula AE/DF. a) 1/2b) 2c) 1d) 1/3e) 3ABCEDF 9)Si ABCD es un rectngulo, tal que QC = 13u y CD = 8u, halla el segmento que une los puntos medios de AQ y CD. a) 18b) 19c) 15d) 17e) 14ABDCQ4510)Siendo ABCD un rectngulo, AP = 8u y CT = 5u, halla BQ. a) 12 ub) 9 uc) 11 ud) 13 ue) 14 uABCDTPQ- 98 - 3ER AO DE SECUNDARIAINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASGEOMETRALA CIRCUNFERENCIADEFINICINEs un conjunto de puntos que pertenecen a un plano y que equidistan de otro punto fijo de dicho plano denominado centro.BNAEFMQPORTLSLTTEOREMAS FUNDAMENTALES3.A arcos congruentes le corresponden cuerdas congruentes y viceversa.Si AB = CDmAB = mCDABCDaa 004.En toda circunferencia se cumple que los arcos comprendidos entre cuerdas paral el as ti enen i gual medida.ADBC00Si BC //ADmAB = mCD1.Todo radio es perpendicular a una recta tangente en su punto de tangencia.TOLOTL5.Los segmentos de tangentes trazados desde un punto exterior a una circunferencia son congruentes. OABP00PA = PBTEOREMA DE PONCELETa bcRa + b = c + 2RTEOREMA DE PITOTa + b = x + ya byxTEOREMA DE STEINERa - m = b - nADBCmnabEn la circunferencia de centro O y de radio R se observa lo siguiente:MN :Cuerda.AB:Cuerda mxima o dimetro.PQ:Flecha o sagita.EF:Arco EF (mEF: medida del arco EF).LS:Recta secante.LT:Recta tangente.T :Punto de tangencia.Longitud de la circunferencia:LL = 2rRMedida angular de la circunferencia: 360.2.Todo dimetro perpendicular a una cuerda biseca a sta y al arco que subtiende.A BPQO H00PH = HQmPB = mBQ- 99 -II BIMESTREINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASGEOMETRADemostraciones1. Resolucin:Luego:c = a - R + b - R=a + b = c + 2Ra-R b-RRRRa bc2. Resolucin:a + b = m + n + p + qx + y = m + n + p + q=a + b = x + ym nqpyabx1.Calcula x.Resolucin:Aplicamos el teorema de Pitot:2x + 3x = 10 + 55x = 15. x = 3A DBC10 52x3x2.En la figura, calcula r.Resolucin:A pl i camosel teor emade Poncelet:a + 12 = a + 4 + 2r 8 = 2r. r = 4raa+4123.En la figura, calcula x si P, Q y R son puntos de tangencia.Resolucin:50 + 180 - 2x = 90 140 = 2x. x = 70A CBQPR65xA CBQPR65x65x50 180-2x1)Calcula x si AB = 20.a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6CDAB3x2x2)Calcula x si PQ = 9.a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5PQAB2xx3)Calcula r si AB = 8.a) 4b) 6c) 8d) 2e) 5AOBr374)Calcula r si PQ = 3.a) 3b) 4c) 5d) 6e) 7POrQ53- 100 - 3ER AO DE SECUNDARIAINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASGEOMETRA5)Cal cul a r si AB= 5y AC = 12.a) 1b) 2c) 3d) 4e) 1/2A CBr6)Calcula r si AB = 6 y BC = 8.a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5B CAr7)Calcula la flecha correspondiente a la cuerda AB si AB = 8.a) 5/2b) 4c) 3d) 2e) 1AB58)Calcula la flecha correspondiente a la cuerda PQ si PQ = 24.a) 6b) 7c) 8d) 9e) 10PQ139)Calcula x.a) 2b) 3c) 4d) 5e) 1A DB C10 53x2x10)Calcula x. a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5AB CD1288x2x11)Si AC = 26 y BC = 22, calcula R. Adems T es punto de tangencia. a) 12b) 13c) 14d) 15e) 16RC ABT12)Si AC = 12 y BC = 10, calcula R. Adems M es punto de tangencia. a) 3b) 4c) 5d) 6e) 7RMABC13)Si D, E, C y B son puntos de tangencia, calcula x. a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5ABCDE122x6x14)Si las dos circunferencias son congruentes, calcula x. a) 100b) 110c) 120d) 130e) 140A BM Nx15)En la figura AB = 8, AD = 7 y CD = 3. Calcula BC. a) 2b) 3c) 4d) 5e) 1ABDC 1)En la figura, calcula x si O es centro, AO = 5 y OC = 3. a) 37b) 53c) 30 d) 60e) 45AxBO C 2)En la figura, calcula r. a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5a12(a+4)r 3)Si el cuadriltero mostrado es circunscriptible, calcula x. a) 4b) 6c) 8d) 9e) 52x 3x1525- 101 -II BIMESTREINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASGEOMETRA 4)En la fi gura, cal cula x siO escentroyBespuntode tangencia. a) 25b) 50c) 40d) 45e) 35A CBODx 25 5)En la figura, calcula x si P, Q y R son puntos de tangencia. a) 65b) 55c) 85d) 80e) 70A CBQPR65x 6)En la figura, calcula el radio r de la circunferencia inscrita en el sector AOB. a) 1b) 2c) 3d) 4e) 6OABr1674 7)En la figura, el permetro del tringulo ABC es 30 y AB = 12. Calcula BF. a) 1b) 2c) 3d) 4e) 6AC DBFE 8)En la figura, calcula x si O es centro y BC = CD. a) 20b) 30c) 40d) 50e) 60AD EOBCx40 9)En la figura, calcula el permetro del trapecio ABCD. a) 12b) 22c) 24d) 26e) 30ABCD43010)En la figura, calcula x si P, Q, R y S son puntos de tangencia. a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6PQRS123xUn gran gemetraLa geometra no euclideana continu siendo durante dcadas unaspectomargi nal del a matemtica, hasta que se integr en ella completamente gracias a las concepciones extraordinarias de Riemann (1826 - 1866).- 102 - 3ER AO DE SECUNDARIAINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REINA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASGEOMETRATRIGONOMETRAII BIMESTREPROPIEDADES DE LAS RAZONESTRIGONOMTRICAS DE NGULOS AGUDOSRESOLUCIN DE TRINGULOSRECTNGULOSGEOMETRA ANALTICACOORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UNSEGMENTOECUACIN DE LA RECTANMEROS REALES105108113117121125INSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REI NA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASTRI GONOMETR AII BIMESTRE 105MOTI VACI NU no de los genios m s extraordinarios de la historia dela m atem tica fue el m atem ticoalem n K arl Friedrich G auss (1777-1855). G auss dem ostr antes quenadie el Teorem a Fundam ental del lgebrayefectuim portantesestudios que lo llevaron a dejarfundam entada la A ritm tica superior.Su obra principal fue DisquisitioneArithmeticae.Razones Trigonomtricas RecprocasSi u es un ngulo agudo se cum ple:1csc sen csc 1senu = u u =u1sec cos sec 1cosu = u u =u1ctg tg ctg 1tgu = u u =uEjemplo:D eterm inar x en cada uno de los casos:1.ngulos iguales( ) Si:cos 60 5 .sec 1 60 560 610x x x xxx = ===2.( ) Si:tg 3 .ctg 80 5 1 3 80 58 8010x x x xxx = = = =ngulos igualesRazones Trigonomtricas de nguloscomplementariosabco|o | + = 90sen cos ;cos senb ac c| = o = | = o =tg ctg ; ctg tgb aa b| = o = | = o =sec csc ; csc secc ca b| = o = | = o = seno y cosenotangente y cotangentesecante y cosecante.Se denom inan co-razones trigonom tricas una de laotra respectivam ente.Ejemplo:D eterm inar x.1. :tg 3 ctg 3 3 3 906 9015Si x x x xxx= + = = = 2. Si: sec(4x20) =csc7x 4x 20+ 7x =9011x =110 x =10Karl Friedrich GaussPROPI EDADESDELASRAZONESTRI GONOMTRI CASDENGULOSAGUDOSINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REI NA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASTRI GONOMETR A3ER AO DE SECUNDARIA 1061. C alcular x,si: sen csc15 1 x =R pta.:...........................................................2. C alcule x,si: cos3x.sec12= 1R pta.:...........................................................3. C alcule x,si:tg4x.ctg(2x+ 30)= 1R pta.:...........................................................4. C alcule x,si:sec(2x50) . csc(x+ 20)= 1R pta.:...........................................................5. C alcule x,si:tg2x= ctg60R pta.:...........................................................6. C alcule x, si: sec(x+ 20)= csc(x20)R pta.:...........................................................7. Sim plifique:sen 20 tg35Ecos70 ctg55 = + R pta.:...........................................................8. R educe:sec20 ctg10 cos31csc70 tg80 sen59+ R pta.:...........................................................9. C alcule:( ) E sen10 csc10 3 sec80 = + R pta.:...........................................................10. ReduceM=cos22 (sec22 8csc68)R pta.:...........................................................11. Sabiendo que:cos(60x).sec2x= 1sen3x= cos3yD eterm ine (2yx) .R pta.:...........................................................12. D eterm ine:(3yx), si:cos2x.secy= 1tg40.ctg2y= 1R pta.: ...........................................................13. D eterm ine x.tg15 ctg 7516 8x =R pta.:...........................................................14. C alcule m del grfico:AB C D4umA dem s:tg75 ctg 0 u =R pta.:...........................................................15. Si:90C alcule :senE ctg .ctgcoso + u = u= o u +oR pta.:...........................................................INSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REI NA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASTRI GONOMETR AII BIMESTRE 1074. R educe:E tg1 tg2 tg3 ...tg89 = R pta.:...........................................................5. C alcule x, del grfico:AB C Dxu8A dem s:( ) tg 2 45 ctg 0 u + u =R pta.:...........................................................1. C alcule x, si: ( ) ( ) tg 2 40 ctg 10 1 x x =R pta.:...........................................................2. Sim plifique:cos8 sec16 tg25Esen72 csc74 ctg65 = + + R pta.:...........................................................3. C alcule:E 9 sen40 csc40 = R pta.:...........................................................6. C alcule x, si: senx.csc 10 =1A ) 10 B ) 20 C ) 30D ) 5 E) 157. C alcule y, si: cos 2y.sec 20 =1A ) 5 B ) 20 C ) 10D ) 30 E) 158. C alcule tg x, si: tg(x+ 10)= ctg(x10)A ) 4 B ) 1 C ) 5D ) 3 E) 29. Sim plifique:E =(sen 40 +2 cos 50).csc 40A ) 1 B ) 2 C ) 3D ) 4 E) 510. Sim plifique:E =tg 10.tg 20.tg 30 ... tg 80A ) 1 B ) 2 C ) 3D ) 2 3 E)33INSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REI NA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASTRI GONOMETR A3ER AO DE SECUNDARIA 108MOTI VACI NI ntroduccinhistricaU no de los m s grandes algebristas del siglo X IXfue elm atem tico noruego H iels H enrik A bel (1802-1829).A bel dem ostr el teorem a general del binom io y laim posibilidad de la resolucin de las ecuaciones dequinto grado. Por su trabajo sobre las funciones elpticasobtuvo el G ran Prem io de M atem tica del Instituto deFrancia.CLCULO DE LADOSEs el procedim iento m ediante el cual se calculan loslados desconocidos de un tringulo rectngulo, enfuncin de un lado y un ngulo agudo, tam binconocido. E l criterio a em plear es el siguiente:( )lado desconocido= R.T ngulo conocidolado conocidoD espejndose de esta expresin, el lado incgnita. LaR .T. a colocar; responde directam ente a la posicin delos lados que se dividen respecto al ngulo conocido.Es decir:Se tienen los siguientes casos:I . ConocidoelnguloagudoyelcatetoLadyacente a dicho ngulo.A BCLxyo A plicando:tg L tgLsec L secLxxyy= o = o= o = oEs decir:A BCLoA BCLoLsecoLtgoI I . ConocidoelnguloagudoyelcatetoLopuesto adichongulo. A BCLxyo

A plicando:ctg L ctgLcsc L cscL= o = o= o = oxxyyA BCLoA BCoLctgoLcscoLI I I . Conocido el ngulo agudo y la hipotenusa Ldel tringulo.

A BCLxyo A plicando :sen LsenLcos L cosL= o = o= o = oxxyyEs decir:A BCLoA BCoLcosoLsenoLRESOLUCI NDETRI NGULOSRECTGULOSINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REI NA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASTRI GONOMETR AII BIMESTRE 109READEUNTRI NGULOE l rea de un tringulo cualquiera es igual alsem iproducto de dos de sus lados m ultiplicado por elseno del ngulo que form an dichos lados. En el grfico;S rea del tringulo A B C .ABC Hac hb

.S2bh=pero: h= asenC. sen.sen2 2ba C abS C = =Es decir:S sen C sen B sen A2 2 2ab ac bc= = =Por ejem plo; en el tringulo A B C :37ABC107S 7.10S sen3723pero :sen3757.10 3luego :S .2 5S 21= === 5343753NGULOSVERTI CALESDEFI NI CI NLos ngulos verticales son aquellos que estn ubicadosen un plano vertical. E sto es, los ngulos verticalesform ados por una lnea visual y una lnea horizontal.Lnea Visual:Es la lnea recta que une el ojo de un observador conun objeto que se observa.Lnea Horizontal:Es la lnea recta paralela a la superficie horizontalreferencial, que pasa por el ojo del observador.En el grfico:planohorizontallnea visuallnea visualouy o u :ngulos verticales por su ubicacin, se clasifican en:o :ngulo de elevacinu:ngulo de depresinLos problem as en este captulo, son bsicam ente paradibujar correctam ente el enunciado, reconociendo losngulos de elevacin y depresin para su correcto trazo.Por ejem plo:1. U n nio de estatura h observa lo alto de un postecon un ngulo de elevacin o .visualohorizontalh2. D esde un punto en tierra se divisa lo alto de unedificio con un ngulo de elevacin | .horizontalvisual|punto entierraINSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REI NA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASTRI GONOMETR A3ER AO DE SECUNDARIA 1101. C alcule B Cen el grfico:10 ABCoR pta.:...........................................................2. D eterm ine x; en el tringulox860R pta.:...........................................................3. D eterm ine el perm etro del tringulo dado:omR pta.:...........................................................3. D esde lo alto de una torre se divisa un objeto en elsuelo con un ngulo de depresin o .horizontalvisualoobjeto4. U n nio de estatura h divisa una horm iga en elsuelo con un ngulo de depresin u.horm igavisualhorizontalho5. D esde lo alto de un poste se ve lo alto de un edificocon un ngulo de elevacin oy desde lo alto deledificio se ve la base del poste con un ngulo dedepresin | .o|6. U n nio observa los ojos y pies de su padre, conngulos de elevacin y depresinoy| ,respectivam enteo|Los grficos en realidad, deben ser referencialesy lo m s concretos posibles.4. C alcule el perm etro del tringulo dado:a uR pta.:...........................................................5. C alcule senu , si A B C Des un rectngulo. .AB CD2 23uR pta.:...........................................................INSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REI NA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASTRI GONOMETR AII BIMESTRE 11111. D esde la parte m s alta de un edificio situado auna distancia d de una torre se le ve la parte m salta con un ngulo de elevacin o y la m s bajacon un ngulo de depresin |. C alcule la altura dela torre.R pta.:...........................................................12. U n nio de 1,5mde estatura; est ubicado a 6mde una torre y observa su parte m s alta con unngulo de elevacin de 53. C ul es la altura dela torre?R pta.:...........................................................13. D esde un punto en tierra se divisa una antena quese halla sobre una casa bajo un ngulo de 60. Laparte superior de la casa de elevacin de 30. Si laantena m ide 8m , cul es la altura de la casa?R pta.:...........................................................14. D eterm ine x, del grfico.o 45ABC DxnR pta.:...........................................................15. C alcule tg x, del grfico.3 2 ABCuxDR pta.:...........................................................6. C alcule, senu , si A B C Des un rectngulo. .AB CD12 916 uR pta.:...........................................................7. U na persona de 2mde estatura divisa lo alto deun poste con un ngulo de elevacin de 45. Si laaltura del poste es de 20m . Aqu distancia de lse halla la persona?.R pta.:...........................................................8. D esde lo alto de un edificio de 8 pisos, se ve unpunto en tierra con un ngulo de depresin de 45.C unto m ide cada piso del edificio?, si el puntoobservado se halla a 24mdel m ism o.R pta.:...........................................................9. D esde lo alto de un rbol se ve un pajarito en tierracon un ngulo de depresin o (1ctg3o = ). Aqu distancia de la base del rbol se halla el pajarito;si el rbol m ide 9m ?R pta.:...........................................................10. U na colina est inclinada un ngulo urespectoa la horizontal. Auna distancia d del inicio de lacolina y sobre ella se encuentra un objeto. Aqualtura se encuentra ste respecto a la horizontal?R pta.:...........................................................INSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REI NA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASTRI GONOMETR A3ER AO DE SECUNDARIA 1128. C alcule A Cen el grfico.ABCDH|oA ) H (ctg o +tg |) B ) H (ctg o - tg |)C ) H (tg | +tg o) D ) H (tg o - tg |)E) H (ctg o - ctg |)9. D esde un punto de tierra ubicado a 10 mde unatorre, se observa la parte m s alta con un ngulode elevacin o. C alcule la altura de la torre; si:tg o =2/5.A ) 2m B ) 3m C ) 4mD ) 1m E) 5m10. U n nio de 1,5mde estatura divisa una piedra enel suelo con un ngulo de depresin de 37. Aqu distancia del nio se encuentra la piedra?A ) 1m B ) 3m C ) 5mD ) 4m E) 2m1. D esde un puntoubicado a 24mde una torre, sedivisa su parte m s alta con un ngulo de elevacinde 53. C ul es la altura de la torre?R pta.:...........................................................2. U na persona de 2mde estatura, ubicada a 32mde una torre de 34mde altura; divisa la parte m salta con un ngulo de elevacin de:R pta.:...........................................................3. D esde lo alto de un edificio de altura h se divisauna piedra en el suelo con un ngulo de depresin|. Aqu distancia de la base del edificio, se hallala piedra?R pta.:...........................................................4. D esde un punto en Tierra se divisa lo alto de unatorre con un ngulo de elevacin o. S i elobservador se acerca 20mel ngulo de elevacinsera |. C alcule la altura de la torre, si adem s sesabe que: o | = ctg ctg 0,25R pta.:...........................................................5. D esde lo alto de un faro se oberva a un m ism olado, dos barcos con ngulos de depresin o y|(o < | ). Si la altura del faro es de 15m , calculela distancia de separacin de los barcos, si:ctg o ctg | =0,8R pta.:...........................................................6. C alcule B Cen el grfico:CA BxmoA ) m sen o B ) m cos oC ) m tg o D ) m sec oE) m ctg o7. C alcule el perm etro del tringulo A B C .CA B4uA ) 4(sen u +cos u)B ) 4( tg u +ctg u)C ) 4(1+sen u +cos u)D ) 4(1 +sec u +csc u)E) 4(1 +csc u)INSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADAMARA REI NA DE LA ESPERANZACOMPENDIO DE CIENCIASTRI GONOMETR AII BIMESTRE 113Llam ado tam bin sistem a de coordenadas rectangulares,es aquelsistem a de referencia form ado por el corteperpendicular de dos rectas num ricas en un puntodenom inado origen del sistem a.XY(+ )(+ )( ) ( ) IC IICIVC IIICEn el grfico adjunto se puede apreciar la divisin delplano en cuatro regiones, cada una de las cuales se vaa denom inar cuadrante y tienen la num eracin que seindica. Las rectas num ricas se llam an:eje X : eje de abscisas.eje Y: eje de ordenadas.N ota: Los cuadrantes no consideran a punto sobre eleje Xe Y.Sobre este plano cartesiano, R en D escartes dio origenasuG eom etraA nalticayarepresentargeom tricam enteecuacionesalgebraicasquerelacionaban dos variables (x e y); tal es el caso de lasrectas, las cnicas (parbola, elipse, hiprbola), lacircunferencia y otras curvas m aravillosas (lem niscatas,cicloides, espirales de A rqum edes, etc.); que son m ateriade anlisis en un curso m s com pleto de G eom etraA naltica que el que aqu presentam os.PARORDENADO(X;Y)Es un