Guia Funciones Mate 1
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MAT100-Matemática I
GUÍA DE APRENDIZAJE
“Funciones en iR”
(Apuntes y ejercicios)
ProfESORA Erika Sagredo C.
MATEMÁTICA I: FUNCIONES EN IR Página 1 de 36
Presentación
Las Guías de Aprendizaje para estudiantes de Administración Pública
de la Universidad de Chile, han sido elaboradas para apoyar el proceso
enseñanza - aprendizaje de las cátedras de Matemática, que forma
parte de los contenidos de formación general de la malla curricular de
la carrera.
En el caso de Matemática I se han escogidos los cinco ejes temáticos
siguientes:
Elementos de Lógica Proposicional.
Introducción a la Teoría de Conjuntos.
Funciones en R.
Sucesiones y Series
Introducción a las Matrices.
En cada Guía de Aprendizaje, se presenta un resumen de los conceptos
fundamentales, las propiedades centrales de cada eje temático, un
conjunto de ejercicios resueltos y propuestos para poner en práctica
los conocimientos adquiridos durante la clase lectiva, además se
entrega una bibliografía para complementar y profundizar el
aprendizaje.
MATEMÁTICA I: FUNCIONES EN IR Página 2 de 36
Contenidos de la unidad
Concepto de función, dominio y recorrido
Gráfico de funciones.
Combinación de funciones
Composición de funciones
Propiedades de funciones :funciones inyectivas, sobreyectivas y
biyectivas
Función inversa
Tipos de funciones :Función lineal y función cuadrática y
Aplicaciones de las funciones lineales y cuadrática a la economía.
Objetivos generales de la unidad
Determinar el dominio y recorrido de una función real
Graficar funciones
Combinar funciones ya sea mediante la adición, multiplicación,
cociente o la composición.
Determinar si una función es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva
Determinar la función inversa de una función biyectiva.
Aplicar las funciones lineales y cuadráticas para resolver
problemas en el ámbito de la economía.
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3. Funciones en IR
Introducción
El concepto de función surge con fuerza en el campo de las ciencias y
de la aplicación de la Matemática al estudio y resolución de problemas
concretos en biología, administración, economía y ciencias sociales. Su
estudio constituye uno de los sustentos de la matemática actual. Se
relaciona con la necesidad de considerar situaciones en la que distintas
magnitudes variables están relacionadas entre sí, sabiendo que los
valores que toman alguna de ellas dependen y están ligados a los
valores de los demás.
La noción de correspondencia y la necesidad de establecer relaciones y
dependencias, se presenta con frecuencia en nuestro quehacer diario:
El consumo de bencina de un automóvil está en función de la
velocidad del mismo.
El número de personas que contraen una enfermedad, depende del
tiempo trascurrido desde que se detectó una epidemia.
La demanda de un producto varía según al precio al que se venda.
La cuenta mensual de agua, está en función de los metros cúbicos
gastados
Con frecuencia las funciones pueden utilizarse para modelizar
problemas del mundo real. Por ejemplo un fabricante desea conocer la
relación entre la ganancia de su empresa y sus nivel de producción, un
biólogo se interesa por el cambio del tamaño de cierto cultivo de
bacterias con el paso del tiempo. Al desarrollar un modelo matemático
como representación de datos reales la idea es poder predecir el
comportamiento de estos valores en el futuro.
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3.1 Definición de función
Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un
conjunto A, exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto B
El conjunto A se llama dominio de la función. y B el conjunto de
llegada. El número f(x) es el valor de f en x y se lee “f de x”. El conjunto
imagen o recorrido de f , es el conjunto de todos los valores posibles de
f(x), conforme x varía en todo el dominio A.
Una función puede representarse mediante un enunciado verbal, por
medio de una tabla de valores, por medio de una expresión algebraica
o mediante una representación gráfica, y es importante el pasaje de
una forma a otra para interpretarla mejor.
MATEMÁTICA I: FUNCIONES EN IR Página 5 de 36
Ejemplo: cuatro maneras de representar una misma función
Mediante un enunciado verbal A cada número le asociamos su cuadrado, más 2
Mediante una fórmula algebraica f(x) = x2 + 2
Mediante una tabla de valores x -2 -1 0 1 2 f(x) = x2 + 2 6 3 2 3 6
Mediante un gráfico
3.2 Representación gráfica de funciones
La representación gráfica de una función muestra la dependencia entre
las variables x e y lo cual ayuda a comprender sus propiedades y nos
da una imagen útil del comportamiento “la historia de vida” de una
función.
Puesto que una función no es más que un conjunto de pares de
números (x, y), su representación se reduce a dibujar cada uno de ellos
en el plano cartesiano. (ver figura 1)
MATEMÁTICA I: FUNCIONES EN IR Página 6 de 36
º º
Figura 1
Ejemplo
Determinar el dominio y el recorrido de y = g(x) = , graficar.
Solución
Ya que la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real,
la expresión x- 2 debe ser no negativa.
Es decir ;
Para graficar construimos una tabla de valores
x 2 3 4 11
f(x) 0 1 2 3
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Ejemplo 2
Determinar el dominio de
, graficar
Solución
Se debe cumplir que x + 1 > 0 , es decir x > -1
3.3 Combinación de funciones
Se pueden combinar las dos funciones f y g para formar las nuevas
funciones f + g, f – g; fg y f/g.
Sean f y g funciones con dominio A y B. Entonces las funciones f + g,
f – g; fg y f/g. se define como sigue
(
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Ejemplo1
Sea h(x) =
f g
Solución 1
Dom h = dom f dom g
a) Dom f
=>
(x + 5)(x + 2) =>
[(x + 5) ≥ 0 ( x + 2) ≥ 0] [(x + 5) ≤0 ( x + 2) ≤ 0] =>
[x ≥ -5 x ≥ -2] [x ≤ -5 x ≤ -2] =>
[ x ≥ -2] [ x ≤ -5] = ] - ∞, -5] [-2 , + ∞[ = Dom f
b) Dom g
x – 2 ≥ 0=>
x ≥ 2 = [ 2 , + ∞[
c) Dom h = ] - ∞, -5] [-2 , + ∞[ [ 2 , + ∞[ = [2, + ∞[ (Ver figura 2 )
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Figura 2
Solución 2: Usando tablas
Dom h = dom f dom g
a) Dom f
=>
(x + 5)(x + 2) =>
Buscamos los valores para la cual cada factor se hace cero, es decir x = -
5 y x = -2 y luego los ubicamos en la recta real para formar los
intervalos .
- ∞ -5 -2 +∞
] - ∞, -5] [-5, -2 ] [-2 , + ∞[
(x +5) - + +
(x+2) - - +
(x+5)(x-2) + - +
Dom f = ] - ∞, -5] [-2 , + ∞[
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b) Dom g
x – 2 ≥ 0=>
x ≥ 2 = [ 2 , + ∞[
c) Dom h = ] - ∞, -5] [-2 , + ∞[ [ 2 , + ∞[ = [2, + ∞[
3.3.1 Composición de funciones
Para la función f yg la función compuesta de g con f se representa por
g ◦f, tiene los valores del recorrido definidos por
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) y su dominio son todas las x del
dominio de f para los cuales f(x) está en el dominio de g.
Ejemplo 1
Sea f(x) = x2 – 1 y g(x) = encontrar f ◦g y g ◦ f
Solución
(f ◦ g)(x) = f(3x + 5) = (3x + 5)2 – = 9x2+ 30x + 24
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(g ◦ f)(x) = g(x2 -1) = 3(x2 -1) + 5 = 3x2 +2
Ejemplo 2
Un estudio del SESMA, ha determinado, que el nivel promedio diario
de monóxido de carbono en el aire, de cierta comuna de la región
metropolitana, será de C(p) = 0,5 p + 1 ppm(partes por millón) cuando
la población de la comuna sea de p(t) = 10 + 0,1 t2 mil habitantes.
a) Exprese el nivel de monóxido de carbono en el aire como una
función del tiempo.
b) En qué momento el nivel de monóxido de carbono alcanzará 6,8
ppm
Solución
a) Como el nivel de monóxido de carbono está relacionado con la
variable p mediante la ecuación
y la variable p está
relacionada con la variable t mediante la ecuación
Se deduce que la función compuesta
=
Expresa el nivel de monóxido de carbono en el aire como una función
de la variable t.
b) 6 + 0,05t2 = 6,8
0,05t2 = 0,8
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t2 = 0,8/0,05 = 16
t = 4
Es decir, dentro de 4 años el nivel de monóxido de carbono será 6,8
ppm.
3.4 Tipos de Funciones
3.4.1 Función inyectiva (uno a uno) Se dice que f : A → B es inyectiva si dos elementos distintos de A tienen imágenes distintas en B
f inyectiva si y sólo si para cada x1, x2 lo que es equivalente a demostrar que si x1 =x2
Figura 3
En la figura 3, f es inyectiva y g no es inyectiva ya que 1 y 2 tienen la misma imagen 7
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Ejemplo 2 f(x) = x2 no es inyectiva ya que , pero -
Figura 4
En la figura 4 podemos observar que si una recta horizontal corta
a la curva en más de un punto, la grafica no representa una
función inyectiva (Prueba de la recta horizontal).
Ejemplo 3
Demostrar que f(x) = x3 + 2 es inyectiva
Solución 1 (Estrategia algebraica)
Usando la definición x1 =x2
x13 + 2 = x2
3 + 2 /+(-2)
x13 = = x2
3 /
f es inyectiva
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Solución 2 (Estrategia gráfica)
En la figura 5 podemos observar que las horizontales sólo cortan en un
punto a la curva, ya que la función es estrictamente creciente, por lo
tanto f(x) = x3 + 2 es inyectiva.
Figura 5
3.4.2 Función sobreyectiva ( epiyectiva) Una función f : A → B se dice que es sobreyectiva si todo elemento de B es imagen de algún elemento de A. En otras palabras, f es sobreyectiva si Rec f = B Ejemplo
f(x) = x3 + 2
MATEMÁTICA I: FUNCIONES EN IR Página 15 de 36
Figura 6
En la figura 6, f es sobreyectiva y g no lo es, ya que Rec g = {4,5,6 } = B
3.4.3 Función biyectiva: .(Biunívoca)
Una función es biyectiva, si y sólo sí, es inyectiva y sobreyectiva a la vez.
Ejemplo 1
Para la función f de la figura 7 se tiene:
Figura 7
i) f es inyectiva, pues cada elemento del rango es imagen de un sólo elemento del dominio.
ii) f es sobreyectiva, ya que cada elemento del conjunto de llegada es imagen de algún elemento del dominio.
f es biyectiva.
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Ejemplo 2 Dada la función f: IR →IR definida por f(x) = x2. Analice porqué f no es biyectiva, y restrinja el conjunto de llegada, de manera que sea biyectiva. Solución
f no es biyectiva ya que no es inyectiva (como se probó anteriormente) ni sobreyectiva, ya que existen números en el conjunto de llegada que no están relacionados con ningún número en el dominio es decir Rec f = IR0
+ que es distinto al conjunto de llegada (IR).
Restringiendo el dominio y conjunto de llegada tenemos que f: IR0
+ → IR0+ , sí es biyectiva
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3.5 Funciones inversas Sea f una función con dominio A y recorrido B, entonces su función inversa tiene dominio B y recorrido A y se define
Ejemplo De acuerdo a la figura 8 podemos observar:
Figura 8
Procedimiento para encontrar de una función biyectiva 1. Escribir y = f(x) 2. Despejar x en términos de y ( si es posible) 3. Para expresar en términos de x, intercambiar y por x. la
ecuación resultante es y = (x).
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Ejemplo Encontrar la función inversa de Solución Demostraremos que f(x) es una función biyectiva Como f es una función con dominio IR y recorrido IR, basta demostrar que f es una función inyectiva, en efecto: i) Para todo x1, x2
3x1 – 2 = 3x2 – 2 /(+2)
3x1 = 3x2 /
x1 = x2
es inyectiva ii) Buscamos su inversa
– ( Escribimos )
(Despejamos x)
(Cambiamos y por x)
(Función inversa)
Figura 9
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Observación
De la figura 9 podemos observar que f y son simétricas con respecto a la recta y = x Además se cumple
3.6 Función Lineal
Una función lineal es una función de la forma
donde m y b son constantes
Ejemplo
La función es una función lineal donde m = 3 y b = -1.
3.6.1 Rectas
La gráfica de una ecuación lineal es una recta. la pendiente de la recta que pasa por (x1, y1) y (x2, y2) es se expresa por la fórmula
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La gráfica de la función lineal f(x) = mx + b, es una recta con pendiente m y intersección en y igual a b.
Ejemplo La recta de la figura 10 muestra la relación entre el precio p de un artículo (dólares) y la cantidad q de ese artículo ( en miles) que los consumidores comprarán a ese precio. Determine e interprete la pendiente.
Figura 10
Por cada unidad que aumente la cantidad, (un millar de artículos) corresponde una disminución de ½ dólar en el precio de cada artículo.
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3.6.1.2 Ecuaciones de líneas rectas
Recta vertical: x = a
Recta horizontal: y = b
Forma punto pendiente: y – y1 = m ( x – x1)
Forma pendiente – ordenada al origen y = mx + b
Forma general: Ax +By + C = 0
Ejemplo 1
Trazar la recta representada por la ecuación – Solución Buscamos las intersecciones con los ejes
x y
0 -3 4 0
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Ejemplo 2 Encuentre una fórmula para la función graficada en la figura 11
Figura 11
Solución
La recta que pasa por tiene pendiente m = 1 y su ordenada al origen b = 0 de forma que su ecuación es La recta que pasa por tiene pendiente m = -1 y su ecuación de la forma punto-pendiente
y – 0 = -1( x – 2) o y = 2 – x de forma que su ecuación es ) =2 - x ; f(x) = 0 si x> 2.
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< Por lo tanto la función queda definida por partes como:
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3.6.2 Aplicaciones de las funciones lineales a la Economía
3.6.2.1 Modelo costo, ingreso y utilidad
Una función costo especifica el costo C como una función de la cantidad de artículos x. En consecuencia, C(x) es el costo de producir x artículos, y tiene la forma:
Costo = Costo variable + Costo fijo En la que el costo variable es una función de x y el costo fijo es constante. Una función costo de la forma C(x) = mx + b se llama una función
costo lineal; el costo variable es mx y el costo fijo es b. La pendiente m, representa el costo marginal y mide el costo incremental por artículo.
Una función ingreso I específica el ingreso I(x) que resulta de la venta de x artículos.
Una función utilidad U especifica la utilidad (ingreso neto) U(x) que resulta de la venta de x artículos. Las funciones costo, ingreso y utilidad se relacionan con la formula
U(x) = I(x) - C(x).
El equilibrio ocurre cuando
U(x) = 0
o, equivalentemente, cuando
I(x) = C(x).
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Ejemplo
La Junta Nacional de Jardines Infantiles (JUNJI) licita a través del Portal Chile Compras, la compra internacional de textos escolares para el nivel Pre kinder y Kínder, para todos sus establecimientos del país. La Editorial Antares, que presentó su propuesta para los textos de Pre kinder, puede producirlos a un costo de 12 dólares cada uno. Sus costos fijos son de 720 dólares, y desea vender cada texto en 20
dólares. En base a lo anterior, determinar: a) Las gráficas de las ecuaciones que representan el costo-producción y el Ingreso-ventas. b) Punto de equilibrio, interprete su significado. c) ¿Cuántos textos de Pre kinder debe vender la editorial Antares, para obtener una ganancia diaria de 200 dólares?.
Solución
. a) C(x) = costo variable + costo fijo = ; x:
número de textos producidos; x ≥ 0
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I(x) = 20x ; x: número de textos vendidos
b) C(x) = I(x)
12x + 720 = 20x
8x = 720
x = 90, y = 1800 pto.de equilibrio (90, 1800)
Cuando la cantidad vendida y producida corresponde a 90 textos, el
costo y el ingreso corresponden a 1800 dólares, por lo tanto la editorial
está en equilibrio, es decir no existe pérdida ni ganancia.
c) G(x) = I(x) – C(x) = 20x – ( 12x + 720) = 8x – 720 ; x : número de
textos vendidos ; x > 90
G(x) = 8x – 720 = 200
x = 115
Nº de textos vendidos o producidos
Dólares
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Deben venderse 115 textos para obtener una ganancia de 200
dólares.
3.6.2.2 Ley de la oferta y demanda
La función de demanda para un artículo, D(x), relaciona el número de
unidades que se producen, con el precio unitario, p = D(x), para la cual
todas las x unidades serán demandadas (vendidas) en el merado. De
manera similar, la función de oferta, O(x), indica el precio
correspondiente p = O(x) al cual los productores están dispuestos a
ofertar x unidades.
La ley de oferta y demanda postula que, en un ambiente de mercado
competitivo, la oferta tiende a ser igual a la demanda, y cuando esto
ocurre, se dice que el mercado está en equilibrio y este ocurre en el
nivel de producción xe y el precio unitario pe se denomina el precio de
equilibrio.
MATEMÁTICA I: FUNCIONES EN IR Página 28 de 36
Ejemplo
Para un artículo en particular, se da las funciones de oferta y demanda, , en términos del nivel de producción x
a) Encuentre el valor de xe, para el cual alcanza el equilibrio y el correspondiente precio de equilibrio pe
b) Dibuje las rectas de oferta y demanda, en la misma gráfica
c) ¿Para qué valores de x hay escasez y abundancia en el mercado?.
Solución
a) Igualamos O(x) = D(x)
3x + 150 = -2x + 275
5x = -125 => xe = 25
La cantidad de equilibrio es 25 unidades.
pe = 3(25) + 150 = 225 (precio de equlibrio)
b) Los gráficos de O(x) y D(x)
MATEMÁTICA I: FUNCIONES EN IR Página 29 de 36
c) Cuando el nivel de producción es menor que 25 unidades, es mayor la demanda que la oferta, y resulta una escasez, y cuando el nivel de producción es mayor que 25 unidades es mayor la oferta que la demanda, resultando una abundancia en el mercado.
3.7 Función cuadrática
Son las funciones de la forma: f(x)= ax 2 + b x + c; . a, b, c ;
a Dom f: . Su gráfico es una curva llamada parábola.
<= Pto. de equilibrio (25, 225)
MATEMÁTICA I: FUNCIONES EN IR Página 30 de 36
3.7.1 Raíces o ceros de la función:
Son las abscisas de los puntos de intersección de la parábola con el eje
x. Para hallarlas, si es que existen, en la fórmula de la función se
reemplaza la variable y por 0 y se resuelve la ecuación.
a
acbbx
2
42
3.7.2 Discriminante: Tipo de soluciones:
= b 2 - 4 a c
Int. decrecimiento ) (
> 0 Dos raíces reales distintas
= 0 Una raíz real doble
< 0 No tiene raíces reales, es decir, la
gráfica no corta al eje x, las raíces son
números complejos conjugados
> 0 = 0 < 0
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3.7.3 Construcción del gráfico
Se calcula Se marca en el gráfico
Se aplica la fórmula resolvente y
se obtienen las raíces x1 y x2
Si las raíces son reales se marcan
los puntos de contacto con el eje x
en x1 y x2
Coordenadas del vértice :
x0 = (x1 + x2 ) /2
o
x0= -b /2a
y0= f(y0 ) Se reemplaza en la
función x por x0 -
Vértice : V( x0, y0)
Eje de simetría: recta vertical que
pasa por x0 (se marca con línea
punteada).
Ordenada al origen : (0 ; c)
Punto de contacto con el eje y
Si a > 0
Si a < 0
Concavidad hacia arriba
Concavidad hacia abajo
MATEMÁTICA I: FUNCIONES EN IR Página 32 de 36
Ejemplo
Graficar f(x) = -x² + 4x - 3
1. Vértice
x 0 = - 4/-2 = 2 ; y0 = -(2)² + 4· 2 - 3 = -1 V(2, 1)
2. Puntos de corte con el eje OX.(Igualamos f(x) a 0)
= -x² + 4x – 3= 0 /(-1)
x² - 4x + 3 = 0
(3, 0) (1, 0)
Observación
La ecuación anterior, se puede resolver también factorizando.
(x - 3)(x -1 )= 0
=> x1 = 3 ; x2 = 1
3. Punto de corte con el eje OY.: (0, -3)
4. Concavidad
Como a < 0 la gráfica posee concavidad hacia abajo
5. Gráfico
MATEMÁTICA I: FUNCIONES EN IR Página 33 de 36
Ejemplo (propuesto en prueba semestre otoño 2011)
La función de ingresos para cierto producto está dada por I(x)=4000x2 + 40x en dólares. Además la función de costos de este producto, también en dólares, está representada por C(x) = 400x +17.000 , donde x representa la cantidad de unidades producidas. Formule la función de Utilidades, grafíquela encontrando sus intersecciones con los ejes y encuentre la cantidad de unidades debe producirse para maximizar las utilidades. ¿Cuál es esa máxima utilidad?. Determine el dominio contextualizado a la situación. Solución
U(x) = I(x) – C(x) = 4000x - 40x2 – (400x +17.000) = - 40x2 +3600x- 17.000
1. Intersección eje x
- 40x2 + 3600x- 17000 = 0
80
)17000)(40(4)3600(3600 2 x
x1 = 5; x2 =85 (5,0); (85,0)
MATEMÁTICA I: FUNCIONES EN IR Página 34 de 36
2. Intersección eje y : (0, -17.000)
3. Vértice
x0 = -3600/ -80 = 45
y0 = f( 45) = 64.000
4. Concavidad: hacia abajo
5. Gráfico
Dominio contextualizado a la situación: ]5, 85[
MATEMÁTICA I: FUNCIONES EN IR Página 35 de 36
Bibliografía
Haeussler, F, Ernest , Matemática para la Administración y Economía, Pearson Educación, México. Miller, Charles et al, Matemática: Razonamiento y aplicaciones
Pearson Addison Wesley.
Stewart James, Precalculo, Thomson, 2007.